浙江省2021版高考数学一模试卷(理科)D卷
浙江省绍兴市2021届新高考第一次质量检测数学试题含解析
浙江省绍兴市2021届新高考第一次质量检测数学试题一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．定义：{}()()N f x g x ⊗表示不等式()()f x g x <的解集中的整数解之和.若2()|log |f x x =，2()(1)2g x a x =-+，{}()()6N f x g x ⊗=，则实数a 的取值范围是 A ．(,1]-∞- B ．2(log 32,0)-C ．2(2log 6,0]-D ．2log 32(,0]4- 【答案】D 【解析】 【分析】 【详解】由题意得，{}()()6N f x g x ⊗=表示不等式22|log |(1)2x a x <-+的解集中整数解之和为6.当0a >时，数形结合（如图）得22|log |(1)2x a x <-+的解集中的整数解有无数多个，22|log |(1)2x a x <-+解集中的整数解之和一定大于6.当0a =时，()2g x =，数形结合（如图），由()2f x <解得144x <<.在1(,4)4内有3个整数解，为1，2，3，满足{}()()6N f x g x ⊗=，所以0a =符合题意.当0a <时，作出函数2()|log |f x x =和2()(1)2g x a x =-+的图象，如图所示.若{}()()6N f x g x ⊗=，即22|log |(1)2x a x <-+的整数解只有1，2，3.只需满足(3)(3)(4)(4)f g f g <⎧⎨≥⎩，即2log 342292a a <+⎧⎨≥+⎩，解得2log 3204a -<≤，所以2log 3204a -<<. 综上，当{}()()6N f x g x ⊗=时，实数a 的取值范围是2log 32(,0]4-.故选D. 2．甲、乙、丙、丁四位同学利用暑假游玩某风景名胜大峡谷，四人各自去景区的百里绝壁、千丈瀑布、原始森林、远古村寨四大景点中的一个，每个景点去一人．已知：①甲不在远古村寨，也不在百里绝壁；②乙不在原始森林，也不在远古村寨；③“丙在远古村寨”是“甲在原始森林”的充分条件；④丁不在百里绝壁，也不在远古村寨．若以上语句都正确，则游玩千丈瀑布景点的同学是（ ） A ．甲 B ．乙C ．丙D ．丁【答案】D 【解析】 【分析】根据演绎推理进行判断． 【详解】由①②④可知甲乙丁都不在远古村寨，必有丙同学去了远古村寨，由③可知必有甲去了原始森林，由④可知丁去了千丈瀑布，因此游玩千丈瀑布景点的同学是丁． 故选：D ． 【点睛】本题考查演绎推理，掌握演绎推理的定义是解题基础． 3．已知函数()sinx12sinxf x =+的部分图象如图所示，将此图象分别作以下变换，那么变换后的图象可以与原图象重合的变换方式有（ ）①绕着x 轴上一点旋转180︒; ②沿x 轴正方向平移; ③以x 轴为轴作轴对称;④以x 轴的某一条垂线为轴作轴对称. A ．①③ B ．③④C ．②③D ．②④【答案】D【解析】 【分析】计算得到()()2f x k f x π+=，22f x f x ππ⎛⎫⎛⎫-=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故函数是周期函数，轴对称图形，故②④正确，根据图像知①③错误，得到答案. 【详解】()sin 12sin xf x x=+，()()()()sin 2sin 212sin 212sin x k x f x k f x x k x πππ++===+++，k Z ∈， 当沿x 轴正方向平移2,k k Z π∈个单位时，重合，故②正确；co sin 2212co s s s 12in2x f x x x x πππ⎛⎫- ⎪⎛⎫⎝⎭-== ⎪+⎛⎫⎝⎭+- ⎪⎝⎭，co sin 2212co s s s 12in2x f x x x x πππ⎛⎫+ ⎪⎛⎫⎝⎭+== ⎪+⎛⎫⎝⎭++ ⎪⎝⎭，故22f x f x ππ⎛⎫⎛⎫-=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，函数关于2x π=对称，故④正确；根据图像知：①③不正确； 故选：D . 【点睛】本题考查了根据函数图像判断函数性质，意在考查学生对于三角函数知识和图像的综合应用. 4．若0,0ab >>，则“4a b +≤”是 “4ab ≤”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】A 【解析】 【分析】本题根据基本不等式，结合选项，判断得出充分性成立，利用“特殊值法”，通过特取,a b 的值，推出矛盾，确定必要性不成立.题目有一定难度，注重重要知识、基础知识、逻辑推理能力的考查. 【详解】当0, 0a >b >时，a b +≥，则当4a b +≤时，有4a b ≤+≤，解得4ab ≤，充分性成立；当=1, =4a b 时，满足4ab ≤，但此时=5>4a+b ，必要性不成立，综上所述，“4a b +≤”是“4ab ≤”的充分不必要条件. 【点睛】易出现的错误有，一是基本不等式掌握不熟，导致判断失误；二是不能灵活的应用“赋值法”，通过特取,a b的值，从假设情况下推出合理结果或矛盾结果.5．设m r ，n r 均为非零的平面向量，则“存在负数λ，使得m n λ=r r ”是“0m n ⋅<r r”的 A ．充要条件 B ．充分不必要条件 C ．必要不充分条件 D ．既不充分也不必要条件【答案】B 【解析】 【分析】根据充分条件、必要条件的定义进行分析、判断后可得结论． 【详解】因为m r ，n r 均为非零的平面向量，存在负数λ，使得m n λ=r r， 所以向量m r ，n r共线且方向相反， 所以0m n ⋅<r r，即充分性成立；反之，当向量m r ，n r 的夹角为钝角时，满足0m n ⋅<r r ，但此时m r ，n r不共线且反向，所以必要性不成立． 所以“存在负数λ，使得m n λ=r r ”是“0m n ⋅<r r”的充分不必要条件． 故选B ． 【点睛】判断p 是q 的什么条件，需要从两方面分析：一是由条件p 能否推得条件q ；二是由条件q 能否推得条件p ，定义法是判断充分条件、必要条件的基本的方法，解题时注意选择恰当的方法判断命题是否正确． 6．已知函数()sin3(0,)f x a x a b a x =-++>∈R 的值域为[5,3]-，函数()cos g x b ax =-，则()g x 的图象的对称中心为（ ） A ．,5()4k k π⎛⎫-∈⎪⎝⎭Z B ．,5()48k k ππ⎛⎫+-∈⎪⎝⎭Z C ．,4()5k k π⎛⎫-∈⎪⎝⎭Z D ．,4()510k k ππ⎛⎫+-∈⎪⎝⎭Z 【答案】B 【解析】 【分析】由值域为[5,3]-确定,a b 的值，得()5cos4g x x =--，利用对称中心列方程求解即可 【详解】因为()[,2]f x b a b ∈+，又依题意知()f x 的值域为[5,3]-，所以23a b += 得4a =，5b =-， 所以()5cos4g x x =--，令4()2x k k ππ=+∈Z ，得()48k x k ππ=+∈Z ，则()g x 的图象的对称中心为,5()48k k ππ⎛⎫+-∈⎪⎝⎭Z . 故选：B 【点睛】本题考查三角函数 的图像及性质，考查函数的对称中心，重点考查值域的求解，易错点是对称中心纵坐标错写为07．将函数()sin 2f x x =的图象向左平移02πϕϕ⎛⎫≤≤ ⎪⎝⎭个单位长度，得到的函数为偶函数，则ϕ的值为（ ） A ．12π B ．6π C ．3π D ．4π 【答案】D 【解析】 【分析】利用三角函数的图象变换求得函数的解析式，再根据三角函数的性质，即可求解，得到答案． 【详解】将将函数()sin 2f x x =的图象向左平移ϕ个单位长度， 可得函数()sin[2()]sin(22)g x x x ϕϕ=+=+ 又由函数()g x 为偶函数，所以2,2k k Z πϕπ=+∈，解得,42k k Z ππϕ=+∈， 因为02πϕ≤≤，当0k =时，4πϕ=，故选D ．【点睛】本题主要考查了三角函数的图象变换，以及三角函数的性质的应用，其中解答中熟记三角函数的图象变换，合理应用三角函数的图象与性质是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题． 8．如图所示，正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1的棱长为1，线段B 1D 1上有两个动点E 、F 且EF=22，则下列结论中错误的是（ ）A ．AC ⊥BEB ．EF //平面ABCDC ．三棱锥A-BEF 的体积为定值D ．异面直线AE,BF 所成的角为定值【答案】D 【解析】 【分析】A ．通过线面的垂直关系可证真假；B ．根据线面平行可证真假；C ．根据三棱锥的体积计算的公式可证真假；D ．根据列举特殊情况可证真假. 【详解】A ．因为11,,AC BD AC DD DD BD D ⊥⊥=I ，所以AC ⊥平面11BDDB ， 又因为BE ⊂平面11BDD B ，所以AC BE ⊥，故正确；B ．因为11//D B DB ，所以//EF DB ，且EF ⊂/平面ABCD ，DB ⊂平面ABCD ， 所以//EF 平面ABCD ，故正确；C ．因为11224BEF S EF BB =⨯⨯=V 为定值，A 到平面11BDD B 的距离为1222h AC ==， 所以11312A BEF BEF V S h -=⋅⋅=V 为定值，故正确； D ．当1111AC B D E =I ，AC BD G ⋂=，取F 为1B ，如下图所示：因为//BF EG ，所以异面直线,AE BF 所成角为AEG ∠，且222tan 12AG AEG GE ∠===， 当1111AC B D F =I ，AC BD G ⋂=，取E 为1D ，如下图所示：因为11//,D F GB D F GB =，所以四边形1D GBF 是平行四边形，所以1//BF D G ，所以异面直线,AE BF 所成角为AEG ∠，且2232tan 3212AGAEG GE∠===⎛⎫+ ⎪⎝⎭，由此可知：异面直线,AE BF 所成角不是定值，故错误. 故选：D. 【点睛】本题考查立体几何中的综合应用，涉及到线面垂直与线面平行的证明、异面直线所成角以及三棱锥体积的计算，难度较难.注意求解异面直线所成角时，将直线平移至同一平面内.9．在平面直角坐标系xOy 中，将点()1,2A 绕原点O 逆时针旋转90︒到点B ，设直线OB 与x 轴正半轴所成的最小正角为α，则cos α等于( ) A ．25-B ．5-C ．5 D ．25-【答案】A 【解析】 【分析】设直线直线OA 与x 轴正半轴所成的最小正角为β，由任意角的三角函数的定义可以求得sin β的值，依题有OA OB ⊥,则90αβo=+，利用诱导公式即可得到答案.【详解】如图，设直线直线OA 与x 轴正半轴所成的最小正角为β因为点()1,2A 在角β的终边上，所以2225sin 12β==+依题有OA OB ⊥,则90αβo=+，所以25cos cos(90)sin αββo =+=-=-， 故选：A 【点睛】本题考查三角函数的定义及诱导公式，属于基础题.10．已知抛物线C ：24x y =的焦点为F ，过点F 的直线l 交抛物线C 于A ，B 两点，其中点A 在第一象限，若弦AB 的长为254，则AF BF =（ ） A ．2或12B ．3或13C ．4或14D ．5或15【答案】C 【解析】 【分析】先根据弦长求出直线的斜率，再利用抛物线定义可求出,AF BF . 【详解】设直线的倾斜角为θ，则222425cos cos 4p AB θθ===， 所以216cos 25θ=，2219tan 1cos 16θθ=-=，即3tan 4θ=±，所以直线l 的方程为314y x =±+.当直线l 的方程为314y x =+，联立24314x yy x ⎧=⎪⎨=+⎪⎩，解得11x =-和24x =，所以()40401AF BF -==--； 同理，当直线l 的方程为314y x =-+.14AF BF =，综上，4AF BF =或14.选C. 【点睛】本题主要考查直线和抛物线的位置关系，弦长问题一般是利用弦长公式来处理.出现了到焦点的距离时，一般考虑抛物线的定义.11．已知椭圆C ：()222210x y a b a b+=>>的左，右焦点分别为1F ，2F ，过1F 的直线交椭圆C 于A ，B 两点，若290ABF ∠=︒，且2ABF V 的三边长2BF ，AB ，2AF 成等差数列，则C 的离心率为（ ） A ．12B．3CD．2【答案】C 【解析】 【分析】根据等差数列的性质设出2BF ，AB ，2AF ，利用勾股定理列方程，结合椭圆的定义，求得21BF a BF ==.再利用勾股定理建立,a c 的关系式，化简后求得离心率.【详解】由已知2BF ，AB ，2AF 成等差数列，设2BF x =，AB x d =+，22AF x d =+.由于290ABF ∠=︒，据勾股定理有22222BF AB AF +=，即()()2222x x d x d ++=+，化简得3x d =； 由椭圆定义知2ABF V 的周长为233124x x d x d x d d a ++++=+==，有3a d =，所以x a =，所以21BF a BF ==；在直角21BF F V 中，由勾股定理，2224a c =，∴离心率2e =. 故选：C 【点睛】本小题主要考查椭圆离心率的求法，考查椭圆的定义，考查等差数列的性质，属于中档题.12．在ABC ∆中，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，若1a =，c =，sin sin 3b A a B π⎛⎫=- ⎪⎝⎭，则sin C =（ ）A B ．7C ．12D 【答案】B 【解析】 【分析】利用两角差的正弦公式和边角互化思想可求得tan B =，可得出6B π=，然后利用余弦定理求出b 的值，最后利用正弦定理可求出sin C 的值. 【详解】1sin sin cos sin 322b A a B a B a B π⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭Q ，即1sin sin cos sin sin 2A B A B A B =-，即3sin sin cos A B A A =，sin 0A >Q ，3sin B B ∴=，得tan B =，0B Q π<<，6B π∴=.由余弦定理得b ===由正弦定理sin sin c b C B=，因此，1sin sin 7c B C b ===. 故选：B. 【点睛】本题考查三角形中角的正弦值的计算，考查两角差的正弦公式、边角互化思想、余弦定理与正弦定理的应用，考查运算求解能力，属于中等题.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
2021年浙江省嘉兴市高考数学一模试卷含答案解析
2021年浙江省嘉兴市高考数学一模试卷一、选择题〔共10小题，每题4分，总分值40分〕1．设复数z=1﹣i〔i是虚数单位〕，那么+z等于〔〕A．2 B．﹣2 C．2i D．﹣2i2．α∈R，那么“cosα=﹣〞是“α=2kπ+，k∈Z〞的〔〕A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件3．a为实数，设函数f〔x〕=，那么f〔2a+2〕的值为〔〕A．2a B．a C．2 D．a或24．实数x，y满足，假设ax+y的最大值为10，那么实数a=〔〕A．4 B．3 C．2 D．15．设S n为等差数列{a n}的前n项和，假设=，那么=〔〕A．B．C．D．6．抛物线y2=4x的焦点为F，直线l过F且与抛物线交于A、B两点，假设|AB|=5，那么AB中点的横坐标为〔〕A．B．2 C．D．17．函数f〔x〕=〔〕x﹣x2的大致图象是〔〕A．B． C． D．8．平面向量、满足||=||=1，•=，假设向量满足|﹣+|≤1，那么||的最大值为〔〕A．1 B．C．D．29．函数f〔x〕=3sin〔3x+φ〕，x∈[0，π]，那么y=f〔x〕的图象与直线y=2的交点个数最多有〔〕A．2个 B．3个 C．4个 D．5个10．如图，点F1、F2是椭圆C1的左右焦点，椭圆C1与双曲线C2的渐近线交于点P，PF1⊥PF2，椭圆C1与双曲线C2的离心率分别为e1、e2，那么〔〕A．e22=B．e22=C．e22= D．e22=二、填空题〔共7小题，多空题每题6分，单空题每题4分，总分值36分〕11．集合A={x|﹣1≤x≤2}，B={x|x2﹣4x≤0}，那么A∪B=，A∩〔∁R B〕=．12．某几何体的三视图如下图〔单位：cm〕，那么该几何体的外表积是cm2，体积是cm3．13．随机变量ξ的分布列如下：ξ 012P b a2﹣那么E〔ξ〕的最小值为，此时b=．14．f〔x〕=x﹣2，g〔x〕=2x﹣5，那么不等式|f〔x〕|+|g〔x〕|≤2的解集为；|f〔2x〕|+|g〔x〕|的最小值为．15．动点P从正方体ABCD﹣A1B1C1D1的顶点A出发，沿着棱运动到顶点C1后再到A，假设运动中恰好经过6条不同的棱，称该路线为“最正确路线〞，那么“最正确路线〞的条数为〔用数字作答〕．16．a＞0，b＞0，且满足3a+b=a2+ab，那么2a+b的最小值为．17．如图，三棱锥A﹣BCD的所有棱长均相等，点E满足=3，点P在棱AC 上运动，设EP与平面BCD所成角为θ，那么sinθ的最大值为．三、解答题〔共5小题，总分值74分〕18．在锐角△ABC中，a、b、c分别是角A、B、C的对边，假设A满足2cos2A+cos 〔2A+〕=﹣．〔Ⅰ〕求A的值；〔Ⅱ〕假设c=3，△ABC的面积为3，求a的值．19．如图，棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，底面ABCD是平行四边形，侧棱AA1⊥底面ABCD，AB=1，AC=，BC=BB1=2．〔Ⅰ〕求证：AC⊥平面ABB1A1；〔Ⅱ〕求二面角A﹣C1D﹣C的平面角的余弦值．20．函数f〔x〕=x﹣alnx+b，a，b为实数．〔Ⅰ〕假设曲线y=f〔x〕在点〔1，f〔1〕〕处的切线方程为y=2x+3，求a，b的值；〔Ⅱ〕假设|f′〔x〕|＜对x∈[2，3]恒成立，求a的取值范围．21．如图，设斜率为k〔k＞0〕的直线l与椭圆C： +=1交于A、B两点，且OA⊥OB．〔Ⅰ〕求直线l在y轴上的截距〔用k表示〕；〔Ⅱ〕求△AOB面积取最大值时直线l的方程．22．数列{a n}满足：a1=，a n=a n﹣12+a n﹣1〔n≥2且n∈N〕．〔Ⅰ〕求a2，a3；并证明：2﹣≤a n≤•3；〔Ⅱ〕设数列{a n2}的前n项和为A n，数列{}的前n项和为B n，证明：=a n+1．2021年浙江省嘉兴市高考数学一模试卷参考答案与试题解析一、选择题〔共10小题，每题4分，总分值40分〕1．设复数z=1﹣i〔i是虚数单位〕，那么+z等于〔〕A．2 B．﹣2 C．2i D．﹣2i【考点】复数代数形式的加减运算．【分析】利用复数的运算法那么、共轭复数的定义即可得出．【解答】解： +z=+1﹣i=+1﹣i=1+i+1﹣i=2．应选：A．2．α∈R，那么“cosα=﹣〞是“α=2kπ+，k∈Z〞的〔〕A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．【分析】cosα=﹣，解得α=2kπ±，k∈Z，即可判断出结论．【解答】解：cosα=﹣，解得α=2kπ±，k∈Z，∴“cosα=﹣〞是“α=2kπ+，k∈Z〞的必要但充分条件．应选：B．3．a为实数，设函数f〔x〕=，那么f〔2a+2〕的值为〔〕A．2a B．a C．2 D．a或2【考点】函数的值．【分析】根据函数的解析式求出函数值即可．【解答】解：∵函数f〔x〕=，∴f〔2a+2〕=log2〔2a+2﹣2〕=a，应选：B．4．实数x，y满足，假设ax+y的最大值为10，那么实数a=〔〕A．4 B．3 C．2 D．1【考点】简单线性规划．【分析】画出满足条件的平面区域，判断最优解的位置，将点的坐标代入求出a 的值即可．【解答】解：画出满足条件的平面区域，如图示：由，解得A〔3，4〕，令z=ax+y，因为z的最大值为10，所以直线在y轴上的截距的最大值为10，即直线过〔0，10〕，所以z=ax+y与可行域有交点，当a＞0时，直线经过A时z取得最大值．即ax+y=10，将A〔3，4〕代入得：3a+4=10，解得：a=2，当a≤0时，直线经过A时z取得最大值．即ax+y=10，将A〔3，4〕代入得：3a+4=10，解得：a=2，与a≤0矛盾，综上：a=2．5．设S n为等差数列{a n}的前n项和，假设=，那么=〔〕A．B．C．D．【考点】等差数列的性质．【分析】利用=，可得d=a1，即可求出．【解答】解：设公差为d，那么=，d=a1，∴==，应选A．6．抛物线y2=4x的焦点为F，直线l过F且与抛物线交于A、B两点，假设|AB|=5，那么AB中点的横坐标为〔〕A．B．2 C．D．1【考点】抛物线的简单性质．【分析】先根据抛物线方程求出p的值，再由抛物线的性质可得到答案．【解答】解：∵抛物线y2=4x，∴P=2，设经过点F的直线与抛物线相交于A、B两点，其横坐标分别为x1，x2，利用抛物线定义，AB中点横坐标为x0=〔x1+x2〕=〔|AB|﹣P〕=〔5﹣2〕=．应选：C．7．函数f〔x〕=〔〕x﹣x2的大致图象是〔〕A．B． C． D．【考点】函数的图象．【分析】利用排除法，即可得出结论．【解答】解：由题意，x=0，f〔0〕=1，排除B，x=﹣2，f〔﹣2〕=0，排除A，x→﹣∞，f〔x〕→+∞，排除C，应选D．8．平面向量、满足||=||=1，•=，假设向量满足|﹣+|≤1，那么||的最大值为〔〕A．1 B．C．D．2【考点】平面向量数量积的运算．【分析】通过向量的数量积的定义，设出向量的坐标，利用向量的坐标运算和向量的模的公式及几何意义，结合圆的方程即可得出最大值为圆的直径．【解答】解：由平面向量、满足||=||=1，•=，可得||•||•cos＜，＞=1•1•cos＜，＞=，由0≤＜，＞≤π，可得＜，＞=，设=〔1，0〕，=〔，〕，=〔x，y〕，那么|﹣+|≤1，即有|〔+x，y﹣〕|≤1，即为〔x+〕2+〔y﹣〕2≤1，故|﹣+|≤1的几何意义是在以〔﹣，〕为圆心，半径等于1的圆上和圆内局部，||的几何意义是表示向量的终点与原点的距离，而原点在圆上，那么最大值为圆的直径，即为2．应选：D．9．函数f〔x〕=3sin〔3x+φ〕，x∈[0，π]，那么y=f〔x〕的图象与直线y=2的交点个数最多有〔〕A．2个 B．3个 C．4个 D．5个【考点】三角函数的最值．【分析】令f〔x〕=2，得sin〔3x+φ〕=，根据x∈[0，π]，求出3x+φ的取值范围，根据正弦函数的图象与性质，可得出函数y=f〔x〕的图象与直线y=2的交点最多有4个．【解答】解：令f〔x〕=3sin〔3x+φ〕=2，得sin〔3x+φ〕=∈〔﹣1，1〕，又x∈[0，π]，∴3x∈[0，3π]，∴3x+φ∈[φ，3π+φ]；根据正弦函数的图象与性质，可得该方程在正弦函数一个半周期上最多有4个解，即函数y=f〔x〕的图象与直线y=2的交点最多有4个．应选：C．10．如图，点F1、F2是椭圆C1的左右焦点，椭圆C1与双曲线C2的渐近线交于点P，PF1⊥PF2，椭圆C1与双曲线C2的离心率分别为e1、e2，那么〔〕A．e22=B．e22=C．e22= D．e22=【考点】圆锥曲线的综合．【分析】设椭圆及双曲线方程，由曲线共焦点，那么a12+b12=c2，a22+b22=c2，求得双曲线的渐近线方程，代入椭圆方程，求得P点坐标，由直角三角形的性质，即可求得丨OP丨=c，利用勾股定理及椭圆及双曲线的性质即可求得答案．【解答】解：设椭圆的方程为：，双曲线的方程为：，P〔x，y〕，由题意可知：a12+b12=c2，a22+b22=c2，双曲线的渐近线方程：y=±x，将渐近线方程代入椭圆方程：解得：x2=，y2=，由PF1⊥PF2，∴丨OP丨=丨F1F2丨=c，∴x2+y2=c2，代入整理得：a14+a22c2=2a12c2，两边同除以c4，由椭圆及双曲线的离心率公式可知：e1=，e2=，整理得：e22=，应选D．二、填空题〔共7小题，多空题每题6分，单空题每题4分，总分值36分〕11．集合A={x|﹣1≤x≤2}，B={x|x2﹣4x≤0}，那么A∪B={x|﹣1≤x≤4} ，A∩〔∁R B〕={x|﹣1≤x＜0} ．【考点】交、并、补集的混合运算．【分析】先求出集合A，B，再求出∁R B，由此能求出A∪B和A∩〔∁R B〕．【解答】解：∵集合A={x|﹣1≤x≤2}，B={x|x2﹣4x≤0}={x|0≤x≤4}，∴∁R B={x|x＜0或x＞4}，∴A∪B={x|﹣1≤x≤4}，A∩〔∁R B〕={x|﹣1≤x＜0}．故答案为：{x|﹣1≤x≤4}，{x|﹣1≤x＜0}．12．某几何体的三视图如下图〔单位：cm〕，那么该几何体的外表积是76cm2，体积是40cm3．【考点】由三视图求面积、体积．【分析】根据几何体的三视图得该几何体是一个底面为直角梯形的四棱柱，由三视图求出几何元素的长度，由梯形的面积公式、柱体的体积公式求出该几何体的体积，由四棱柱的各个面的长度求出几何体的外表积．【解答】解：根据几何体的三视图得：该几何体是一个底面为直角梯形的四棱柱，其底面是正视图中的直角梯形，上底为1cm，下底为4cm，高为4cm，由侧视图知四棱柱的高为4cm，所以该几何体的体积V==40〔cm3〕，由正视图可知直角梯形斜腰是5，1+4+4+5〕×4=76〔cm2〕，那么该几何体的外表积S外表积=2×+〔故答案为：76，40．13．随机变量ξ的分布列如下：ξ 012P b a2﹣那么E〔ξ〕的最小值为，此时b=．【考点】离散型随机变量的期望与方差．【分析】由题意可得：b+a2+=1，即b+a2﹣=，b∈[0，1]，a∈[﹣1，1]．E 〔ξ〕=0+a2+2〔〕=a2﹣a+1=+，利用二次函数的单调性即可得出．【解答】解：由题意可得：b+a2+=1，即b+a2﹣=，b∈[0，1]，a∈[﹣1，1]．E〔ξ〕=0+a2+2〔〕=a2﹣a+1=+，当且仅当a=时取等号，此时b=．故答案为：，．14．f〔x〕=x﹣2，g〔x〕=2x﹣5，那么不等式|f〔x〕|+|g〔x〕|≤2的解集为[，3] ；|f〔2x〕|+|g〔x〕|的最小值为1．【考点】绝对值不等式的解法．【分析】通过讨论x的范围，求出不等式|f〔x〕|+|g〔x〕|≤2的解集即可；根据绝对值的性质求出|f〔2x〕|+|g〔x〕|的最小值即可．【解答】解：∵f〔x〕=x﹣2，g〔x〕=2x﹣5，∴|f〔x〕|+|g〔x〕|≤2，即|x﹣2|+|2x﹣5|≤2，x≥时，x﹣2+2x﹣5≤2，解得：≤x≤3，2＜x＜时，x﹣2+5﹣2x≤2，解得：x≥1，x≤2时，2﹣x+5﹣2x≤2，解得：x≥，综上，不等式的解集是[，3]；|f〔2x〕|+|g〔x〕|=|2x﹣4|+|2x﹣5|≥|2x﹣4﹣2x+5|=1，故|f〔2x〕|+|g〔x〕|的最小值是1，故答案为：[，3]，1．15．动点P从正方体ABCD﹣A1B1C1D1的顶点A出发，沿着棱运动到顶点C1后再到A，假设运动中恰好经过6条不同的棱，称该路线为“最正确路线〞，那么“最正确路线〞的条数为18〔用数字作答〕．【考点】排列、组合的实际应用；棱柱的结构特征．【分析】根据分步计数和分类计数原理即可求出答案【解答】解：从A点出发有3种方法，〔A1，B，D〕，假设选择了A1，那么有2种选法〔B1，D1〕到C1，再从C1出发，假设选择了〔B1，或D1〕，那么只有一种方法到A，假设选择了C，那么有2种方法到A，故“最正确路线〞的条数为C31C21〔1+2〕=18种，故答案为：1816．a＞0，b＞0，且满足3a+b=a2+ab，那么2a+b的最小值为3+2．【考点】根本不等式．【分析】由a＞0，b＞0，且满足3a+b=a2+ab，可得b=＞0，解得1＜a＜3．那么2a+b=2a+=a﹣1++3，利用根本不等式的性质即可得出．【解答】解：由a＞0，b＞0，且满足3a+b=a2+ab，∴b=＞0，解得1＜a ＜3．那么2a+b=2a+=a﹣1++3≥2+3=2+3，当且仅当a=1+，b=1时取等号．故答案为：3+2．17．如图，三棱锥A﹣BCD的所有棱长均相等，点E满足=3，点P在棱AC 上运动，设EP与平面BCD所成角为θ，那么sinθ的最大值为．【考点】直线与平面所成的角．【分析】设棱长为4a，PC=x〔0＜x≤4a〕，那么PE=．求出P到平面BCD的距离，即可求出结论．【解答】解：设棱长为4a，PC=x〔0＜x≤4a〕，那么PE=．设P到平面BCD的距离为h，那么=，∴h=x，∴sinθ==，∴x=2a时，sinθ的最大值为．故答案为．三、解答题〔共5小题，总分值74分〕18．在锐角△ABC中，a、b、c分别是角A、B、C的对边，假设A满足2cos2A+cos 〔2A+〕=﹣．〔Ⅰ〕求A的值；〔Ⅱ〕假设c=3，△ABC的面积为3，求a的值．【考点】余弦定理．【分析】〔Ⅰ〕由三角恒等变换化简2cos2A+cos〔2A+〕=﹣，结合A的取值范围，即可求出A的值；〔Ⅱ〕根据△ABC的面积公式求出b的值，再利用余弦定理求出a的值．【解答】解：〔Ⅰ〕△ABC中，2cos2A+cos〔2A+〕=﹣，∴2•+cos〔2A+〕=﹣，即1+cos2A+cos2Acos﹣sin2Asin=﹣，∴sin2A﹣cos2A=，∴sin2A﹣cos2A=，即sin〔2A﹣〕=；又△ABC是锐角三角形，∴0＜A＜，∴﹣＜2A﹣＜，∴2A﹣=，解得A=；=bcsinA==3，〔Ⅱ〕c=3，且△ABC的面积为S△ABC解得b=4；由余弦定理得a2=b2+c2﹣2bccosA=42+32﹣2×4×3×=13，解得a=．19．如图，棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，底面ABCD是平行四边形，侧棱AA1⊥底面ABCD，AB=1，AC=，BC=BB1=2．〔Ⅰ〕求证：AC⊥平面ABB1A1；〔Ⅱ〕求二面角A﹣C1D﹣C的平面角的余弦值．【考点】二面角的平面角及求法；直线与平面垂直的判定．【分析】〔Ⅰ〕推导出AB⊥AC，AA1⊥AC，由此能证明AC⊥平面ABB1A1．〔Ⅱ〕过点C作CP⊥C1D于P，连接AP，那么AC⊥平面DCC1D1，从而∠CPA是二面角A﹣C1D﹣C的平面角，由此能求出二面角A﹣C1D﹣C的平面角的余弦值．【解答】证明：〔Ⅰ〕∵在底面ABCD中，AB=1，AC=，BC=2，∴AB2+AC2=BC2，∴AB⊥AC，∵侧棱AA1⊥底面ABCD，∴AA1⊥AC，又∵AA1∩AB=A，AA1，AB⊂平面ABB1A1，∴AC⊥平面ABB1A1．解：〔Ⅱ〕过点C作CP⊥C1D于P，连接AP，由〔Ⅰ〕可知，AC⊥平面DCC1D1，∠CPA是二面角A﹣C1D﹣C的平面角，∵CC1=BB1=2，CD=AB=1，∴CP===，∴tan=，∴cos，∴二面角A﹣C1D﹣C的平面角的余弦值为．20．函数f〔x〕=x﹣alnx+b，a，b为实数．〔Ⅰ〕假设曲线y=f〔x〕在点〔1，f〔1〕〕处的切线方程为y=2x+3，求a，b的值；〔Ⅱ〕假设|f′〔x〕|＜对x∈[2，3]恒成立，求a的取值范围．【考点】导数在最大值、最小值问题中的应用；利用导数研究曲线上某点切线方程．【分析】〔I〕根据导数的几何意义可得f′〔1〕=2，f〔1〕=5，列方程组解出a，b即可；〔II〕别离参数得出x﹣＜a＜x+，分别求出左侧函数的最大值和右侧函数的最小值即可得出a的范围．【解答】解：〔I〕f′〔x〕=1﹣，∵曲线y=f〔x〕在点〔1，f〔1〕〕处的切线方程为y=2x+3，∴f′〔1〕=2，f〔1〕=5，∴，解得a=﹣1，b=4．〔II〕∵|f′〔x〕|＜对x∈[2，3]恒成立，即|1﹣|＜对x∈[2，3]恒成立，∴|x﹣a|＜对x∈[2，3]恒成立，∴x﹣＜a＜x+对x∈[2，3]恒成立，设g〔x〕=x﹣，h〔x〕=x+，x∈[2，3]，那么g′〔x〕=1+＞0，h′〔x〕=1﹣＞0，∴g〔x〕在[2，3]上是增函数，h〔x〕在[2，3]上是增函数，∴g max〔x〕=g〔3〕=2，h min〔x〕=h〔2〕=．∴a的取值范围是[2，]．21．如图，设斜率为k〔k＞0〕的直线l与椭圆C： +=1交于A、B两点，且OA⊥OB．〔Ⅰ〕求直线l在y轴上的截距〔用k表示〕；〔Ⅱ〕求△AOB面积取最大值时直线l的方程．【考点】直线与椭圆的位置关系；椭圆的标准方程．【分析】〔Ⅰ〕设l：y=kx+t，A〔x1，y1〕，B〔x2，y2〕，由OA⊥OB，得〔1+k2〕x1x2+kt〔x1+x2〕+t2=0，联立，得x2+3〔kx+t〕2=9，即〔1+3k2〕x2+6ktx+3t2﹣9=0，由此利用韦达定理、根的判别式，结合条件能求出直线l在y轴上的截距．〔Ⅱ〕设△AOB的面积为S，O到直线l的距离为d，那么S=|AB|•d，由此利用点到直线的距离公式和弦长公式能求出△AOB面积取最大值时直线l的方程．【解答】解：〔Ⅰ〕设l：y=kx+t，A〔x1，y1〕，B〔x2，y2〕，∵斜率为k〔k＞0〕的直线l与椭圆C： +=1交于A、B两点，且OA⊥OB，∴∠AOB=90°，∴，∴x1x2+〔kx1+t〕〔kx2+t〕=0，∴〔1+k2〕x1x2+kt〔x1+x2〕+t2=0，〔*〕联立，消去y，得x2+3〔kx+t〕2=9，即〔1+3k2〕x2+6ktx+3t2﹣9=0，那么，x1x2=，且△＞0，代入〔*〕从而得〔1+k2〕〔3t2﹣9〕﹣6k2t2+t2〔1+3k2〕=0，∴3t2﹣9﹣9k2+t2=0，∴，∴t=±，∴直线l在y轴上的截距为或﹣．〔Ⅱ〕设△AOB的面积为S，O到直线l的距离为d，那么S=|AB|•d，而由〔1〕知d=，且|AB|====，∴≤，当时，，解得k=，∴t=，∴所求直线方程为y=或y=．22．数列{a n}满足：a1=，a n=a n﹣12+a n﹣1〔n≥2且n∈N〕．〔Ⅰ〕求a2，a3；并证明：2﹣≤a n≤•3；〔Ⅱ〕设数列{a n2}的前n项和为A n，数列{}的前n项和为B n，证明：=a n+1．【考点】数列递推式；数列的求和．【分析】〔I〕分别令n=2，3即可计算a2，a3，配方得a n+＞〔a n﹣1+〕2，利用{a n+}的增减性得出不等式2﹣≤a n，利用{a n}增减性得出a n≤•3；〔II〕分别使用因式分解和裂项法计算A n，B n，即可得出结论．【解答】解：〔I〕a2=a12+a1==，a3=a22+a2==．证明：∵a n=a n﹣12+a n﹣1，∴a n+=a n﹣12+a n﹣1+=〔a n﹣1+〕2+＞〔a n﹣1+〕2，∴a n+＞〔a n﹣1+〕2＞〔a n﹣2+〕4＞＞〔a n﹣3+〕8＞…＞〔a1+〕=2，∴a n＞2﹣，又∵a n﹣a n﹣1=a n﹣12＞0，∴a n＞a n﹣1＞a n﹣2＞…＞a1＞1，∴a n2＞a n，∴a n=a n﹣12+a n﹣1＜2a，∴a n＜2a＜2•22＜2•22•24＜…＜2•22•24•…•2a1=2•〔〕=•3．综上，2﹣≤a n≤•3．〔II〕证明：∵a n=a n﹣12+a n﹣1，∴a n﹣12=a n﹣a n﹣1，∴A n=a12+a22+a32+…a n2=〔a2﹣a1〕+〔a3﹣a2〕+…+〔a n+1﹣a n〕=a n+1﹣，∵a n=a n﹣12+a n﹣1=a n﹣1〔a n﹣1+1〕，∴==，∴=，∴B n=…+=〔〕+〔〕+〔﹣〕+…+〔〕=﹣．∴==．2021年3月30日。
2021年浙江高三一模数学试卷(浙南名校联盟)-学生用卷
2021年浙江高三一模数学试卷（浙南名校联盟）-学生用卷一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分）1、【来源】 2021年浙江高三一模（浙南名校联盟）第1题4分设集合A={x|1<x<3}，集合B{x|(x+1)(x−2)⩽0}，则A∩B=（）．A. {x|1<x⩽2}B. {x|1<x<2}C. {x|−1⩽x<3}D. {x|1<x<3}2、【来源】 2021年浙江高三一模（浙南名校联盟）第2题4分2021年浙江高三上学期高考模拟（浙南名校联盟第一次联考）第2题4分把复数z的共轭复数记作z，i为虚数单位，若z=1−i，则((1−z)⋅z=（）．A. 1−iB. 1+iC. −1−iD. −1+i3、【来源】 2021年浙江高三一模（浙南名校联盟）第3题4分2021年浙江高三上学期高考模拟（浙南名校联盟第一次联考）第3题4分双曲线y 24−x23=1的渐近线方程为（）．A. y=±√32xB. y=±23√3xC. y=±√52xD. y=±25√5x4、【来源】 2021年浙江高三一模（浙南名校联盟）第4题4分2021年浙江高三上学期高考模拟（浙南名校联盟第一次联考）第4题4分设实数x，y满足不等式组{x−y+1⩾0x−2y−1⩽0x+y−1⩾0，则2x−y的取值范围（）．A. [−4,2]B. [−1,2]C. [−1,+∞)D. [2,+∞)5、【来源】 2021年浙江高三一模（浙南名校联盟）第5题4分2021年浙江高三上学期高考模拟（浙南名校联盟第一次联考）第5题4分设m，n是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，则m⊥n的一个充分不必要条件是（）．A. m⊥α，n//β、α⊥βB. m⊥α，n⊥β，α//βC. m⊂α，n//β、α⊥βD. m⊂α，n⊥β，α//β6、【来源】 2021年浙江高三一模（浙南名校联盟）第6题4分已知a=20.2，b=log20.2，c=log0.20.3，则（）．A. a<b<cB. a<c<bC. b<c<aD. c<a<b7、【来源】 2021年浙江高三一模（浙南名校联盟）第7题4分2021年浙江高三上学期高考模拟（浙南名校联盟第一次联考）第7题4分函数y=xcosx+sinxe x+e−x的部分图象可能是（）．A.B.C.D.8、【来源】 2021年浙江高三一模（浙南名校联盟）第8题4分2021年浙江高三上学期高考模拟（浙南名校联盟第一次联考）第8题4分袋子中装有若干个均匀的红球和白球，从中摸出一个红球的概率是13，依次从中有放回地摸球，每次摸出一个，累计2次摸到红球即停止．记3次之内（含3次）摸到红球的次数为ξ，则随机变量ξ的数学期望Eξ=（）．A. 2627B. 2827C. 89D. 239、【来源】 2021年浙江高三一模（浙南名校联盟）第9题4分2021年浙江高三上学期高考模拟（浙南名校联盟第一次联考）第9题4分已知正方体ABCD−A1B1C1D1的棱长为2√3，M，N为体对角线BD1的三等分点，动点P在三角形ACB1内，且三角形PMN的面积S△PMN=2√63，则点P的轨迹长度为（）．A. 2√69πB. 4√69πC. 2√63πD.4√63π10、【来源】 2021年浙江高三一模（浙南名校联盟）第10题4分2021年浙江高三上学期高考模拟（浙南名校联盟第一次联考）第10题4分定义运算m →=(x 1,x 2,x 3)，n →=(y 1,y 2,y 3)，m →⋅n →=x 1y 1+x 2y 2+x 3y 3，若a →=(sinα,−sinα,sinβ)，b →=(sinα,sinβ,sinβ)，则平立面区域S ={(α,β)|α,β∈[0,π2],a →⋅b →⩽34}的面积为（ ）．A. π6B. π26C. π3D. π23二、填空题（本大题共7小题，共36分）11、【来源】 2021年浙江高三一模（浙南名校联盟）第11题6分2021年浙江高三上学期高考模拟（浙南名校联盟第一次联考）第11题6分在二项式(√x −x)5的展开式中各项系数和为 ，含x 2项的系为 ．12、【来源】 2021年浙江高三一模（浙南名校联盟）第12题6分2021年浙江高三上学期高考模拟（浙南名校联盟第一次联考）第12题6分已知数列{a n }的前项n 和为S n ，满足a 3=13，(a n+1+1)(a n +1)=2，则a 1= ；S 12= ．13、【来源】 2021年浙江高三一模（浙南名校联盟）第13题6分2021年浙江高三上学期高考模拟（浙南名校联盟第一次联考）第13题6分某几何体的三视图（单位：cm）如图所示，该几何体的体积（单位：cm3）是；该几何体的表面积（单位：cm2）是．14、【来源】 2021年浙江高三一模（浙南名校联盟）第14题6分2021年浙江高三上学期高考模拟（浙南名校联盟第一次联考）第14题6分在△ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，∠BAC的平分线交BC于点D，且BD=2DC，(b2+c2−a2)，则A=；若△ABC的面积为√34c+b=．a15、【来源】 2021年浙江高三一模（浙南名校联盟）第15题4分2021年浙江高三上学期高考模拟（浙南名校联盟第一次联考）第15题4分从0，2，4，6中任取2个数字，从1，3，5中任取2个数字，一共可以组成个没有重复数字的四位偶数．16、【来源】 2021年浙江高三一模（浙南名校联盟）第16题4分2021年浙江高三上学期高考模拟（浙南名校联盟第一次联考）第16题4分)与点B关于原点O对称，直线AP与直线BP相交于点P，且它们在平面直角坐标系中，点A(−1,√22的斜率之积为−1，则△ABP的面积的取值范围．217、【来源】 2021年浙江高三一模（浙南名校联盟）第17题4分2021年浙江高三上学期高考模拟（浙南名校联盟第一次联考）第17题4分已知平面向量a →,b →,c →满足a →⋅b →=−3，|a →−b →|=4，c →−a →与c →−b →的夹角为π3，则|c →−a →−b →|的最大值为 ．三、解答题（本大题共5小题，共74分）18、【来源】 2021年浙江高三一模（浙南名校联盟）第18题14分2021年浙江高三上学期高考模拟（浙南名校联盟第一次联考）第18题14分 已知函数f (x )=2sin 2x +√3sin2x −1．(1) 求函数f (x )在[0,π2]上的值域．(2) 若f (x 0)=65，x 0∈(π4,7π12)，求cos2x 0的值．19、【来源】 2021年浙江高三一模（浙南名校联盟）第19题15分2021年浙江高三上学期高考模拟（浙南名校联盟第一次联考）第19题15分 如图，四棱锥P −ABCD 中，面PBD ⊥面ABCD ，AB//DC ，AB =2CD =4，AD =BC =√10，AP =2√3，PB =2．(1) 证明：PB ⊥AC ．(2) 求BD 与面PBC 所成角的正弦值．20、【来源】 2021年浙江高三一模（浙南名校联盟）第20题15分2021年浙江高三上学期高考模拟（浙南名校联盟第一次联考）第20题15分 已知数列{a n }，{b n }，其中{a n }为等差数列，且满足a 1=b 1=1，b 2=3，a n b n+1=a n+1b n +n(n+1)2n ，（n ∈N ∗）．(1) 求数列{a n }，{b n }的通项公式．(2) 设c n=a n−1(2a n+1−b n+1)(2a n−b n)2n ，求证：c1+c2+c3+⋯+c n<2nn−1．21、【来源】 2021年浙江高三一模（浙南名校联盟）第21题15分2021年浙江高三上学期高考模拟（浙南名校联盟第一次联考）第21题15分已知动圆C过点P(0,4)，且在x轴上截得的弦长为8．(1) 求动圆的圆心C的轨迹方程．(2) 当点Q在椭圆E:y24+x2=1上移动，过点Q作曲线C的两条切线记作QA，QB，其中A，B为切点，椭圆的一个顶点为D(0,2)，求|AD|⋅|BD|的最大值．22、【来源】 2021年浙江高三一模（浙南名校联盟）第22题15分已知函数f(x)=e tx−ln xt，t>0．(1) 当t=1时，求函数f(x)的零点个数．(2) 若函数f(x)的图象在x轴的同侧（含x轴），①求t的最小值．②当t取到最小值时，若对任意实数a∈[−1,1]，都有kln√a2+1⩽e xe−f(x)elnx−cosa恒成立，试求实数k的取值范围．1 、【答案】 A;2 、【答案】 D;3 、【答案】 B;4 、【答案】 C;5 、【答案】 D;6 、【答案】 C;7 、【答案】 B;8 、【答案】 A;9 、【答案】 C;10 、【答案】 B;11 、【答案】1;−40;;5;12 、【答案】1313 、【答案】24;48+12√2;;√3;14 、【答案】π315 、【答案】198;16 、【答案】(0,√2);17 、【答案】1+2√3;18 、【答案】 (1) [−1,2]．;(2) −3+4√3．10;19 、【答案】 (1) 证明见解析．;(2) √6．6;20 、【答案】 (1) a n=n，b n=2n−n．2n−1 ;(2) 证明见解析．;21 、【答案】 (1) x2=8y．;(2) 16．;22 、【答案】 (1) f(x)没有零点．;(2)．①1e②k⩽1．;。
浙江省宁波市2021届新高考第一次模拟数学试题含解析
浙江省宁波市2021届新高考第一次模拟数学试题一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为,,a b c ，已知3,1,30a b B ===o ，则A 为( )A ．60oB ．120oC ．60o 或150oD ．60o 或120o【答案】D 【解析】 【分析】由正弦定理可求得3sin A =，再由角A 的范围可求得角A. 【详解】 由正弦定理可知sin sin a b A B =，所以31sin sin 30A =o，解得3sin 2A =，又0180A <<o o，且>a b ，所以60A ︒=或120︒。
故选：D. 【点睛】本题主要考查正弦定理,注意角的范围，是否有两解的情况，属于基础题.2．如图所示，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某多面体的三视图，则该几何体的各个面中最大面的面积为（ ）A 5B ．3C ．8D ．83【答案】B 【解析】 【分析】根据三视图可以得到原几何体为三棱锥，且是有三条棱互相垂直的三棱锥，根据几何体的各面面积可得最大面的面积． 【详解】解：分析题意可知，如下图所示，该几何体为一个正方体中的三棱锥A BCD -， 最大面的表面边长为22ABC ， 23(22)23=， 故选B ． 【点睛】本题考查了几何体的三视图问题，解题的关键是要能由三视图解析出原几何体，从而解决问题． 3．若点(2，k)到直线5x-12y+6=0的距离是4，则k 的值是( ) A ．1 B ．-3C ．1或53D ．-3或173【答案】D 【解析】 【分析】 222512645(12)k ⨯-+=+-，解方程即得k 的值.【详解】 222512645(12)k ⨯-+=+-，解方程即得k=-3或173.故答案为：D 【点睛】(1)本题主要考查点到直线的距离公式，意在考查学生对该知识的掌握水平和计算推理能力.(2) 点00(,)P x y 到直线:0l Ax By C ++=的距离0022Ax By C d A B++=+.4．高三珠海一模中，经抽样分析，全市理科数学成绩X 近似服从正态分布()285,N σ，且(6085)0.3P X <≤=．从中随机抽取参加此次考试的学生500名，估计理科数学成绩不低于110分的学生人数约为（ ） A ．40B ．60C ．80D ．100【答案】D 【解析】 【分析】由正态分布的性质，根据题意，得到(110)(60)P X P X ≥=≤，求出概率，再由题中数据，即可求出结果. 【详解】由题意，成绩X 近似服从正态分布()285,N σ，则正态分布曲线的对称轴为85x =，根据正态分布曲线的对称性，求得(110)(60)0.50.30.2P X P X ≥=≤=-=， 所以该市某校有500人中，估计该校数学成绩不低于110分的人数为5000.2100⨯=人， 故选:D . 【点睛】本题考查正态分布的图象和性质,考查学生分析问题的能力,难度容易.5．已知()21,+=-∈a i bi a b R ，其中i 是虚数单位，则z a bi =-对应的点的坐标为（ ） A ．()12,- B ．()21,-C ．()1,2D ．()2,1【答案】C 【解析】 【分析】利用复数相等的条件求得a ，b ，则答案可求． 【详解】由21a i bi +=-，得1a =，2b =-．z a bi ∴=-对应的点的坐标为(a ，)(1b -=，2)．故选：C ． 【点睛】本题考查复数的代数表示法及其几何意义，考查复数相等的条件，是基础题． 6．若复数12biz i-=+（b R,i ∈为虚数单位）的实部与虚部相等，则b 的值为( )A ．3B ．3±C ．3-D ．【答案】C 【解析】 【分析】利用复数的除法，以及复数的基本概念求解即可. 【详解】()221125b b ibi z i --+-==+，又z 的实部与虚部相等， 221b b ∴-=+，解得3b =-.故选:C 【点睛】本题主要考查复数的除法运算，复数的概念运用.7．设a ，b ，c 分别是ABC ∆中A ∠，B Ð，C ∠所对边的边长，则直线sin 0A x ay c ⋅--=与sin sin 0bx B y C +⋅+=的位置关系是（ ）A ．平行B ．重合C ．垂直D ．相交但不垂直【答案】C 【解析】试题分析：由已知直线sin 0A x ay c ⋅--=的斜率为，直线sin sin 0bx B y C +⋅+=的斜率为，又由正弦定理得，故，两直线垂直考点：直线与直线的位置关系8．已知复数22z a i a i =--是正实数，则实数a 的值为( ) A ．0 B ．1 C ．1- D ．1±【答案】C 【解析】 【分析】将复数化成标准形式，由题意可得实部大于零，虚部等于零，即可得到答案. 【详解】因为2222(1)z a i a i a a i =--=-+-为正实数，所以20a ->且210a -=，解得1a =-. 故选：C 【点睛】本题考查复数的基本定义，属基础题.9．如图是2017年第一季度五省GDP 情况图，则下列陈述中不正确的是（ ）A ．2017年第一季度GDP 增速由高到低排位第5的是浙江省．B ．与去年同期相比，2017年第一季度的GDP 总量实现了增长．C ．2017年第一季度GDP 总量和增速由高到低排位均居同一位的省只有1个D ．去年同期河南省的GDP 总量不超过4000亿元． 【答案】C 【解析】 【分析】利用图表中的数据进行分析即可求解. 【详解】对于A 选项：2017年第一季度5省的GDP 增速由高到低排位分别是：江苏、辽宁、山东、河南、浙江，故A 正确；对于B 选项：与去年同期相比，2017年第一季度5省的GDP 均有不同的增长，所以其总量也实现了增长，故B 正确；对于C 选项：2017年第一季度GDP 总量由高到低排位分别是：江苏、山东、浙江、河南、辽宁，2017年第一季度5省的GDP 增速由高到低排位分别是：江苏、辽宁、山东、河南、浙江，均居同一位的省有2个，故C 错误；对于D 选项：去年同期河南省的GDP 总量14067.43815.5740001 6.6%⨯≈<+，故D 正确.故选：C. 【点睛】本题考查了图表分析，学生的分析能力，推理能力，属于基础题.10．已知直线l ：310kx y k --+=与椭圆22122:1(0)x yC a b a b+=>>交于A 、B 两点，与圆2C ：()()22311x y -+-=交于C 、D 两点.若存在[]2,1k ∈--，使得AC DB =u u u r u u u r，则椭圆1C 的离心率的取值范围为（ ）A．⎣⎦B．3C．(0,3D．3【答案】A 【解析】 【分析】由题意可知直线过定点即为圆心，由此得到,A B 坐标的关系，再根据点差法得到直线的斜率k 与,A B 坐标的关系，由此化简并求解出离心率的取值范围. 【详解】设()()1122,,,A x y B x y ，且线:310l kx y k --+=过定点()3,1即为2C 的圆心，因为AC DB =u u u r u u u r ，所以1212236212C D C D x x x x y y y y +=+=⨯=⎧⎨+=+=⨯=⎩，又因为2222221122222222b x a y a b b x a y a b ⎧+=⎨+=⎩，所以()()2222221212b x x a y y -=--， 所以2121221212y y x x b x x a y y -+=-⋅-+，所以[]2232,1b k a=-∈--，所以2212,33b a ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，所以22212,33a c a -⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，所以()2121,33e ⎡⎤-∈⎢⎥⎣⎦，所以e ∈⎣⎦. 故选：A. 【点睛】本题考查椭圆与圆的综合应用，着重考查了椭圆离心率求解以及点差法的运用，难度一般.通过运用点差法达到“设而不求”的目的，大大简化运算. 11．集合{}|M y y x ==∈Z 的真子集的个数为( )A ．7B ．8C ．31D ．32【答案】A 【解析】 【分析】计算{}M =，再计算真子集个数得到答案. 【详解】{}{}|M y y x ==∈=Z ，故真子集个数为：3217-=.故选：A .【点睛】本题考查了集合的真子集个数，意在考查学生的计算能力. 12．已知函数31()sin ln 1x f x x x x +⎛⎫=++⎪-⎝⎭，若(21)(0)f a f ->，则a 的取值范围为（ ） A ．1,2⎛⎫+∞⎪⎝⎭B ．()0,1C ．1,12⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭【答案】C 【解析】 【分析】求出函数定义域，在定义域内确定函数的单调性，利用单调性解不等式． 【详解】 由101xx+>-得11x -<<， 在(1,1)x ∈-时，3y x =是增函数，sin y x =是增函数，12lnln(1)11x y x x+==-+--是增函数，∴31()sin ln 1x f x x x x +⎛⎫=++⎪-⎝⎭是增函数， ∴由(21)(0)f a f ->得0211a <-<，解得112a <<． 故选：C. 【点睛】本题考查函数的单调性，考查解函数不等式，解题关键是确定函数的单调性，解题时可先确定函数定义域，在定义域内求解．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
2021年浙江省高考数学模拟试卷(一)(2021.03)(解析版)
2021年浙江省高考数学模拟试卷（一）（3月份）一．选择题（共10小题）.1．设集合S＝{1，3，5，7，9}，集合A＝{3，5，9}，B＝{1，3，7，9}，则（∁S A）∩B＝（）A．{1，7}B．{3，9}C．{1，5，7}D．{1，7，9} 2．若z＝1+2i，则＝（）A．i B．﹣i C．1D．﹣13．若x，y满足，则2x+y的最大值为（）A．0B．3C．4D．54．一个圆锥的母线与其轴所成的角为60°，则该圆锥的侧面展开图的圆心角为（）A．B．πC．πD．π5．函数的大致图象是（）A．B．C．D．6．若m，n是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，且m⊥α，n⊂β，则“m∥n”是“α⊥β”的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件7．设{a n}是等差数列，下列结论中正确的是（）A．若a1+a2＞0，则a2+a3＞0B．若a1+a3＜0，则a1+a2＜0C．若0＜a1＜a2，则a2D．若a1＜0，则（a2﹣a1）（a2﹣a3）＞08．已知双曲线的右焦点为F（c，0），右顶点为A，过F作AF 的垂线与双曲线交于B、C两点，过B、C分别作AC、AB的垂线，两垂线交于点D，若D到直线BC的距离小于a+c，则双曲线的渐近线斜率的取值范围是（）A．（﹣∞，﹣1）∪（1，+∞）B．（﹣1，0）∪（0，1）C．D．9．已知a，b∈R，且ab≠0，若（lnx﹣a）（x﹣b）（x﹣a﹣b）≥0在x＞0上恒成立，则（）A．a＜0，b＜0B．a＜0，b＞0C．a＞0，b＜0D．a＞0，b＞0 10．设集合S，T中至少有两个元素，且S，T满足：①对任意x，y∈S，若x≠y，则x+y∈T；②对任意x，y∈T，若x≠y，则x﹣y∈S．下列说法正确的是（）A．若S有2个元素，则S∪T有4个元素B．若S有2个元素，则S∪T有3个元素C．存在3个元素的集合S，满足S∪T有5个元素D．存在3个元素的集合S，满足S∪T有4个元素二、填空题：本大题共7小题，共36分.11．《九章算术》商功中有如下问题：今有阳马，广三尺，袤四尺，高五尺，问积如何？“阳马”这种几何体三视图如图所示，则体积为，最长棱长为．12．若的展开式的常数项为2，则a＝，所有项系数的绝对值之和是．13．在△ABC中，角A，B，C的对应边分别为a，b，c，若，，c＝2，则B＝，S△ABC＝14．设直线l：mx+ny+1＝0（m＞﹣1，n＞﹣1），圆C：（x﹣1）2+（y﹣1）2＝1，若直线l与圆相切，则m+3n的最小值为．15．六个人排成一排，若甲、乙、丙均互不相邻，且甲、乙在丙的同一侧，则不同的排法有．16．甲、乙两袋装有除颜色外其余均相同的白球和黑球若干个，其中甲袋装有2个白球，2个黑球；乙袋装有一个白球，3个黑球；现从甲、乙两袋中各抽取2个球，记取到白球的个数为ξ，则P（ξ＝2）＝，E（ξ）＝．17．已知是空间单位向量，，若空间向量满足（x，y∈R），||＝2，则||的最大值是．三、解答题：本大题共5小题，共74分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤18．已知函数，将y＝f（x）的图象横坐标变为原来的，纵坐标不变，再向左平移个单位后得到g（x）的图象，且y＝g（x）在区间内的最大值为．（1）求m的值；（2）在锐角△ABC中，若，求tan A+tan B的取值范围．19．如图，已知多面体ABCD﹣A1B1C1D1，AA1，BB1，CC1，DD1均垂直于平面ABCD，AD ∥BC，AB＝BC＝CD＝AA1＝CC1＝2，BB1＝1，AD＝DD1＝4．（Ⅰ）证明：A1C1⊥平面CDD1C1；（Ⅱ）求直线BC1与平面A1B1C1所成角的正弦值．20．已知正项数列{a n}，{b n}满足{a n}是首项为1，公差为d的等差数列，．（Ⅰ）求{b n}的通项公式；（Ⅱ）若数列{c n}满足c1＝1+，（c n﹣c n﹣1），证明：++…+＜．21．已知椭圆的长轴长为4，离心率为，一动圆C2过椭圆C1右焦点F，且与直线x＝﹣1相切．（1）求椭圆C1的方程及动圆圆心轨迹C2的方程；（2）过F作两条互相垂直的直线，分别交椭圆C1于P，Q两点，交曲线C2于M，N两点，求四边形PMQN面积的最小值．22．设函数f（x）＝lnx﹣a（x﹣1）e x，其中a∈R．（Ⅰ）若a≤0，讨论f（x）的单调性；（Ⅱ）若0＜a＜，（ⅰ）证明f（x）恰有两个零点；（ⅱ）设x0为f（x）的极值点，x1为f（x）的零点，且x1＞x0，证明3x0﹣x1＞2．参考答案一．选择题（共10小题）.1．设集合S＝{1，3，5，7，9}，集合A＝{3，5，9}，B＝{1，3，7，9}，则（∁S A）∩B＝（）A．{1，7}B．{3，9}C．{1，5，7}D．{1，7，9}解：∵S＝{1，3，5，7，9}，A＝{3，5，9}，B＝{1，3，7，9}，∴∁S A＝{1，7}，（∁S A）∩B＝{1，7}．故选：A．2．若z＝1+2i，则＝（）A．i B．﹣i C．1D．﹣1解：z＝1+2i，z•＝12+22＝5，则＝＝＝﹣i，故选：B．3．若x，y满足，则2x+y的最大值为（）A．0B．3C．4D．5解：作出不等式组对应的平面区域如图：（阴影部分）．设z＝2x+y得y＝﹣2x+z，平移直线y＝﹣2x+z，由图象可知当直线y＝﹣2x+z经过点A时，直线y＝﹣2x+z的截距最大，此时z最大．由，解得，即A（1，2），代入目标函数z＝2x+y得z＝1×2+2＝4．即目标函数z＝2x+y的最大值为4．故选：C．4．一个圆锥的母线与其轴所成的角为60°，则该圆锥的侧面展开图的圆心角为（）A．B．πC．πD．π解：如图所示，设圆锥的母线为l，底面圆半径为r，因为∠ABO＝60°，所以＝sin60°，解得r＝l，所以底面圆的周长为2πr，所以该圆锥的侧面展开图的圆心角为θ＝＝＝π．故选：D．5．函数的大致图象是（）A．B．C．D．解：f（﹣x）＝＝＝f（x），则f（x）是偶函数，排除A，C，＝•，当x→0，→1，→1，则f（x）→1，排除B，故选：D．6．若m，n是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，且m⊥α，n⊂β，则“m∥n”是“α⊥β”的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件解：若m⊥α，m∥n，则n⊥α，又n⊂β，所以α⊥β，即“m∥n”是“α⊥β”的充分条件；若m⊥α，α⊥β，则m∥β或m⊂β，又n⊂β，所以m，n的关系不确定，即“m∥n”是“α⊥β”的不必要条件；所以“m∥n”是“α⊥β”的充分不必要条件．故选：A．7．设{a n}是等差数列，下列结论中正确的是（）A．若a1+a2＞0，则a2+a3＞0B．若a1+a3＜0，则a1+a2＜0C．若0＜a1＜a2，则a2D．若a1＜0，则（a2﹣a1）（a2﹣a3）＞0解：若a1+a2＞0，则2a1+d＞0，a2+a3＝2a1+3d＞2d，d＞0时，结论成立，即A不正确；若a1+a3＜0，则a1+a2＝2a1+d＜0，a2+a3＝2a1+3d＜2d，d＜0时，结论成立，即B不正确；{a n}是等差数列，0＜a1＜a2，2a2＝a1+a3＞2，∴a2＞，即C正确；若a1＜0，则（a2﹣a1）（a2﹣a3）＝﹣d2≤0，即D不正确．故选：C．8．已知双曲线的右焦点为F（c，0），右顶点为A，过F作AF 的垂线与双曲线交于B、C两点，过B、C分别作AC、AB的垂线，两垂线交于点D，若D到直线BC的距离小于a+c，则双曲线的渐近线斜率的取值范围是（）A．（﹣∞，﹣1）∪（1，+∞）B．（﹣1，0）∪（0，1）C．D．解：由题意，A（a，0），B（c，），C（c，﹣），由双曲线的对称性知D在x轴上，设D（x，0），则由BD⊥AB，得•＝﹣1，∴c﹣x＝，∵D到直线BC的距离小于a+c，∴|c﹣x|＝||＜a+c，∴＜c2﹣a2＝b2，∴0＜＜1，∴双曲线的渐近线斜率的取值范围是（﹣1，0）∪（0，1）．故选：B．9．已知a，b∈R，且ab≠0，若（lnx﹣a）（x﹣b）（x﹣a﹣b）≥0在x＞0上恒成立，则（）A．a＜0，b＜0B．a＜0，b＞0C．a＞0，b＜0D．a＞0，b＞0解：令lnx﹣a＝0，得x＝e a，假设b＜0时，则（lnx﹣a）（x﹣b）（x﹣a﹣b）≥0，所以（lnx﹣a）（x﹣a﹣b）≥0，当x＞e a时，lnx﹣a＞0，而e a＞a，故x﹣a﹣b＞0，在x＞e a成立，当0＜x＜e a时，lnx﹣a＜0，此时需成立x﹣a﹣b≤0，即x≤a+b，而x≤a+b对x∈（0，e a）恒成立，所以e a≤a+b，又已知b＜0，故e a＜a与e a＜a矛盾，故b＞0不成立，因为lnx﹣a的正负性与x﹣e a的正负性一致，所以任意x＞0，（lnx﹣a）（x﹣b）（x﹣a﹣b）≥0⇔任意x＞0，（x﹣e a）（x﹣b）（x ﹣a﹣b）≥0，假设a＞0，则e a，b，a+b均大于0，且a+b＞b，下证当a＞0，b＞0时，任意x＞0，（x﹣e a）（x﹣b）（x﹣a﹣b）≥0恒成立，①e a≥a+b，令x＝，则（﹣e a）（﹣b）（﹣a﹣b）＜0，②b≤e a＜a+b，令x＝，则（﹣e a）（﹣b）（﹣a﹣b）＜0，③e a＜b，令x＝b+，（+b﹣e a）（b+﹣b）（b+﹣a﹣b）＜0，综上，可知a＞0不成立，故a＜0，所以a＜0，b＞0，故选：B．10．设集合S，T中至少有两个元素，且S，T满足：①对任意x，y∈S，若x≠y，则x+y∈T；②对任意x，y∈T，若x≠y，则x﹣y∈S．下列说法正确的是（）A．若S有2个元素，则S∪T有4个元素B．若S有2个元素，则S∪T有3个元素C．存在3个元素的集合S，满足S∪T有5个元素D．存在3个元素的集合S，满足S∪T有4个元素解：由条件②可知集合S中的元素必成对出现，他们互为相反数，若S有2个元素，不妨设S＝{a，﹣a}（a≠0），由条件①可知集合T中必含有元素0，若T的另一个元素为a（或﹣a），显然符合条件②，若T的另一个元素不是a或﹣a，不妨设为c（c≠±a），则由条件②可知c，﹣c也是S的元素，与S只有2个元素矛盾，∴S∪T＝{a，﹣a，0}，故A错误，B正确；若S有3个元素，则0必然是S的元素，设S＝{a，0，﹣a}，则由条件①可知S⊆T，再由条件②可知2a∈S，﹣2a∈S，与S有3个元素矛盾，故不存在3个元素的集合S，满足条件①，②，故C错误，D错误．故选：B．二、填空题：本大题共7小题，共36分.多空题每小题6分，单空题每小题6分11．《九章算术》商功中有如下问题：今有阳马，广三尺，袤四尺，高五尺，问积如何？“阳马”这种几何体三视图如图所示，则体积为10，最长棱长为．解：根据几何体的三视图转换为直观图为：该几何体为四棱锥体；如图所示：所以：V＝，，故答案为：20；5．12．若的展开式的常数项为2，则a＝1，所有项系数的绝对值之和是32．解：∵的通项公式为T r+1＝•（﹣1）r•x2﹣r，∴的展开式的常数项为×（﹣1）+a•＝2，则a＝1．所有项系数的绝对值之和，即（x+a）•的各项系数和，令x＝1，可得为（x+a）•的各项系数和（1+a）•24＝32，故答案为：1；32．13．在△ABC中，角A，B，C的对应边分别为a，b，c，若，，c＝2，则B＝，S△ABC＝2解：因为，又由正弦定理可得，可得sin B＝cos B，即tan B＝，因为B∈（0，π），所以B＝，又，c＝2，所以＝，可得sin C＝，由c＜b，可得C为锐角，可得C＝，可得A＝π﹣B﹣C＝，所以S△ABC＝bc＝＝2．故答案为：，2．14．设直线l：mx+ny+1＝0（m＞﹣1，n＞﹣1），圆C：（x﹣1）2+（y﹣1）2＝1，若直线l与圆相切，则m+3n的最小值为﹣4．解：圆C：（x﹣1）2+（y﹣1）2＝1的圆心坐标为C（1，1），半径为1，∵直线l与圆C相切，∴，整理得，2mn+2m+2n+1＝0，即m＝，∴m+3n＝＝3n﹣1+＝3（n+1）+．∵m＞﹣1，n＞﹣1，∴n+1＞0，则m+3n＝3（n+1）+．当且仅当，即n＝﹣1+，m＝时等号成立．∴m+3n的最小值为．故答案为：．15．六个人排成一排，若甲、乙、丙均互不相邻，且甲、乙在丙的同一侧，则不同的排法有96．解：将除甲、乙、丙的三人全排列，再将甲乙丙插入所成的空中，因为甲、乙和丙的顺序有A33＝6种，其中在甲、乙在丙的同一侧的顺序4种，故不同的排法有A33A43＝96种，故答案为：96．16．甲、乙两袋装有除颜色外其余均相同的白球和黑球若干个，其中甲袋装有2个白球，2个黑球；乙袋装有一个白球，3个黑球；现从甲、乙两袋中各抽取2个球，记取到白球的个数为ξ，则P（ξ＝2）＝，E（ξ）＝．解：由题意可得：ξ＝0，1，2，3，P（ξ＝0）＝＝，P（ξ＝1）＝＝，P（ξ＝2）＝＝，P（ξ＝3）＝＝，可得其分布列：ξ0123P（ξ）E（ξ）＝0×+1×+2×+3×＝，故答案为：，．17．已知是空间单位向量，，若空间向量满足（x，y∈R），||＝2，则||的最大值是．解：空间向量满足（x，y∈R），，由||＝2，整理得，即x2+y2+xy＝4，又＝，由于x2+y2≥2xy，所以由x2+y2+xy＝4，整理得3xy≤4，即，所以|x+y|2＝x2+y2+2xy＝x2+y2+xy+xy＝，故，所以＝．故答案为：．三、解答题：本大题共5小题，共74分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤18．已知函数，将y＝f（x）的图象横坐标变为原来的，纵坐标不变，再向左平移个单位后得到g（x）的图象，且y＝g（x）在区间内的最大值为．（1）求m的值；（2）在锐角△ABC中，若，求tan A+tan B的取值范围．解：（1）的图象横坐标变为原来的，纵坐标不变，再向左平移个单位后得到g（x）的图象，则，∵，∴，∴，∴m＝0．（2）∴，∴＝，∵△ABC是锐角三角形，∴，即tan A+tan B的取值范围为（4+2，+∞）．19．如图，已知多面体ABCD﹣A1B1C1D1，AA1，BB1，CC1，DD1均垂直于平面ABCD，AD ∥BC，AB＝BC＝CD＝AA1＝CC1＝2，BB1＝1，AD＝DD1＝4．（Ⅰ）证明：A1C1⊥平面CDD1C1；（Ⅱ）求直线BC1与平面A1B1C1所成角的正弦值．【解答】（Ⅰ）证明：如图，连接AC，∵AA1∥CC1，且AA1＝CC1，∴四边形ACC1A1为平行四边形，即A1C1∥AC．又底面ABCD为等腰梯形，且AB＝BC＝CD＝2，AD＝4，∴AC⊥CD．∵CC1⊥平面ABCD，AC⊂平面ABCD，∴CC1⊥AC．又CD∩CC1＝C，∴AC⊥平面CDD1C1，∴A1C1⊥平面CDD1C1；（Ⅱ）解：法一、由题意得，延长DC，D1C1，AB，A1B1交于点G，取CG中点M，连接BM，AC．∵BM∥AC∥A1C1，BM⊄平面A1B1C1，A1C1⊂平面A1B1C1，∴BM∥平面A1B1C1，∴点B到平面A1B1C1的距离和点M到平面A1B1C1的距离相等．由（Ⅰ）知A1C1⊥平面CDD1C1，又A1C1⊂平面A1B1C1，∴平面A1B1C1⊥平面CDD1C1．过点M作MH⊥GD1于点H，则MH⊥平面A1B1C1，即点M到平面A1B1C1的距离为．设直线BC1与平面A1B1C1所成的角为θ，则，即直线BC1与平面A1B1C1所成角的正弦值为；解法二、以D为坐标原点，DA所在直线为x轴，过点D且垂直于平面ADD1A1的直线为y轴，DD1所在直线为z轴建立如图所示的空间直角坐标系，则，，．设平面A1B1C1的法向量，由，令x＝1，得．设直线BC1与平面A1B1C1所成的角为θ，则，即直线BC1与平面A1B1C1所成角的正弦值为．20．已知正项数列{a n}，{b n}满足{a n}是首项为1，公差为d的等差数列，．（Ⅰ）求{b n}的通项公式；（Ⅱ）若数列{c n}满足c1＝1+，（c n﹣c n﹣1），证明：++…+＜．解：（Ⅰ）∵＝，①∴，当n≥2时，，②①②作差得，，检验b1也符合，又{b n}为正项数列，故；证明：（Ⅱ）由，得，∴，，.....．．累加得，∵c1＝1+，故，c1也符合，则，又{a n}为正项数列，故d＞0，∴++…+＝＜＜．21．已知椭圆的长轴长为4，离心率为，一动圆C2过椭圆C1右焦点F，且与直线x＝﹣1相切．（1）求椭圆C1的方程及动圆圆心轨迹C2的方程；（2）过F作两条互相垂直的直线，分别交椭圆C1于P，Q两点，交曲线C2于M，N两点，求四边形PMQN面积的最小值．解：（1）由已知可得，则所求椭圆方程．由已知可得动圆圆心轨迹为抛物线，且抛物线C的焦点为（1，0），准线方程为x＝﹣1，则动圆圆心轨迹方程为．（2）当直线MN的斜率不存在时，|MN|＝4，此时PQ的长即为椭圆长轴长，|PQ|＝4，从而．设直线MN的斜率为k，则k≠0，直线MN的方程为：y＝k（x﹣1），直线PQ的方程为，设M（x1，y1），N（x2，y2），P（x3，y3），Q（x4，y4），由，消去y可得k2x2﹣（2k2+4）x+k2＝0，由抛物线定义可知：，由，消去y得（3k2+4）x2﹣8x+4﹣12k2＝0，从而，∴，令1+k2＝t，∵k＞0，则t＞1，则，所以，所以四边形PMQN面积的最小值为8．22．设函数f（x）＝lnx﹣a（x﹣1）e x，其中a∈R．（Ⅰ）若a≤0，讨论f（x）的单调性；（Ⅱ）若0＜a＜，（ⅰ）证明f（x）恰有两个零点；（ⅱ）设x0为f（x）的极值点，x1为f（x）的零点，且x1＞x0，证明3x0﹣x1＞2．【解答】（I）解：f′（x）＝﹣[ae x+a（x﹣1）e x]＝，x∈（0，+∞）．a≤0时，f′（x）＞0，∴函数f（x）在x∈（0，+∞）上单调递增．（II）证明：（i）由（I）可知：f′（x）＝，x∈（0，+∞）．令g（x）＝1﹣ax2e x，∵0＜a＜，可知：g（x）在x∈（0，+∞）上单调递减，又g（1）＝1﹣ae＞0．且g（ln）＝1﹣a＝1﹣＜0，∴g（x）存在唯一解x0∈（1，ln）．即函数f（x）在（0，x0）上单调递增，在（x0，+∞）单调递减．∴x0是函数f（x）的唯一极值点．令h（x）＝lnx﹣x+1，（x＞0），h′（x）＝，可得h（x）≤h（1）＝0，∴x＞1时，lnx＜x﹣1．f（ln）＝ln（ln）﹣a（ln﹣1）＝ln（ln）﹣（ln﹣1）＜0．∵f（x0）＞f（1）＝0．∴函数f（x）在（x0，+∞）上存在唯一零点．又函数f（x）在（0，x0）上有唯一零点1．因此函数f（x）恰有两个零点；（ii）由题意可得：f′（x0）＝0，f（x1）＝0，即a＝1，lnx1＝a（x1﹣1），∴lnx1＝，即＝，∵x＞1，可得lnx＜x﹣1．又x1＞x0＞1，故＜＝，取对数可得：x1﹣x0＜2lnx0＜2（x0﹣1），化为：3x0﹣x1＞2．。
2021年普通高等学校招生全国统一考试数学试题(浙江卷)(附答案详解)
2021年普通高等学校招生全国统一考试数学试题(浙江卷)一、单选题（本大题共10小题，共40.0分）1.设集合A={x|x⩾1} , B= {x|−1<x<2}，则A∩B=()A. B. C. D.2.已知a∈R，(1+ai) i =3+i(i为虚数单位)，则a=()A. B. C. D.3.已知非零向量a⃗，b⃗ ，c⃗，则“a⃗⋅c⃗=b⃗ ⋅c⃗”是“a⃗=b⃗ ”的()A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件4.某几何体的三视图如图所示(单位：厘米)，则该几何体的体积是(单位：cm3)()A.B.C.D.5.若实数x , y满足约束条件{x+1≥0x−y≤02x+3y−1≤0，则z=x−12y最小值是()A. B. C. D.6.已知正方体，，分别是，，，的中点，则()A. 直线与直线垂直，直线平面B. 直线与直线平行，直线平面C. 直线与直线相交，直线平面D. 直线与异面，直线平面7.已知函数，则为右图的函数可能是()A.B. y =f(x)−g(x)−14 C.D.8. 已知，，是三个锐角，则，，中，大于的数至多有( )A. 个B. 个C. 个D. 个9. 已知 a , b ∈ R , a b >0，若函数f(x)=ax 2+b (x ∈R)，且f(s −t)，f(s)，f(s +t)成等比数列，则平面上点(s , t)的轨迹是( )A. 直线和圆B. 直线和椭圆C. 直线和双曲线D. 直线和抛物线10. 已知数列满足，，记数列的前和项，则( )A.B.C.D.二、单空题（本大题共7小题，共36.0分）11. 我国古代数学家赵爽用弦图给出了勾股定理的证明，弦图是由四个全等的直角三角形和中间的一个小正方形拼成的一个大正方形(如图所示)，若直角三角形直角边的长分别为3，4，记大正方形的面积为S 1，小正方形的面积为S 2，则S1S 2= ．12. 已知，函数；若，则_________． 13. 已知多项式，则__________；__________．14. 在中，，，是的中点，，则__________；__________．15.袋中有4个红球，个黄球，个绿球，现从中任取两个球，记取出的红球数为；若取出的两个球都是红球的概率为，一红一黄的概率为，则_________，_________．16.已知椭圆，焦点，；过的直线和圆相切，并与椭圆的第一象限交于点，且轴，则该直线的斜率是_________，椭圆的离心率是__________．17.已知平面向量，，满足，，，，记平面向量在，方向上的投影分别为x，y，在方向上的投影为，则的最小值的等于__________．三、解答题（本大题共5小题，共74.0分）18.设函数f(x)=sinx+cosx(x∈R).(1)求函数y=[f(x+π2)]2的最小正周期；(2)求函数y=f(x)f(x−π4)在[0,π2]上的最大值．19.如图，在四棱锥中，底面是平行四边形，，，，，，分别为，的中点，，．1证明：；2求直线与平面所成角的正弦值．20.已知数列a n的前n项和为S n，a1=−9，且4S n+1=3S n−9(n∈N∗).4(1)求数列a n的通项公式；(2)设数列{b n}满足3b n+(n−4)a n=0(n∈N∗)，记{b n}的前项和为T n，若T n≤λb n对任意n∈N∗恒成立，求实数λ的取值范围．21.如图，已知F是抛物线y2=2px (p>0)的焦点，M是抛物线的准线与x轴的交点，且|MF|=2．(1)求抛物线方程；(2)设过点F的直线交抛物线于A , B两点，若斜率为2的直线l与直线MA , MB , AB , x轴依次交于点P , Q , R , N，且满足|RN|2=|PN|·|QN|，求直线l在x轴上截距的取值范围．22.设a , b为实数，且a>1，函数f(x)=a x−b x+e2(x∈R).(1)求函数f(x)的单调区间；(2)若对任意b>2e2，函数f(x)有两个不同的零点，求a的取值范围；(3)当a=e时，证明：对任意b>e4，函数f(x)有两个不同的零点x1，x2(x1<x2)，且满足x2>blnb2e2x1+e2b．答案和解析1.【答案】D【知识点】相等关系与不等关系、交集及其运算【解析】【解析】由题意可知，A∩B= { x | 1⩽x<2 }，故选D．2.【答案】C【知识点】复数的概念、复数的四则运算、复数相等的充要条件【解析】【解析】∵(1+ai) i = −a+i = 3+i，∴a=−3.故选：C．3.【答案】B【知识点】推理、必要条件、充分条件与充要条件的判断、向量的数量积【解析】【解析】∵a⃗⋅c⃗=b⃗ ⋅c⃗，∴(a⃗−b⃗ )⋅c⃗=0，即(a⃗−b⃗ )⊥c⃗，但a⃗≠b⃗ 不一定成立，故充分性不满足，若a⃗=b⃗ ，则a⃗⋅c⃗=b⃗ ⋅c⃗必成立，故必要性满足，所以是必要不充分条件．故选：B．4.【答案】A【知识点】几何体的侧面积、表面积、体积问题、数学模型与数学探究活动、简单多面体（棱柱、棱锥、棱台）及其结构特征、空间几何体的三视图【解析】【解析】由三视图可得，直观图如图所示，四棱柱A B C D−A1B1C1D1，由俯视图可知，底面A B C D为等腰梯形，将四棱柱补形成棱长为2的长方体，则BE=√22，所以V=12×(√2+2√2)×√22⋅1=32．故选：A．5.【答案】B【知识点】数学思想和方法、范围与最值问题、二元一次不等式（组）与平面区域【解析】【解析】由题意可知，可行域如图所示，令直线l：y=2x−2z，当直线l过点A(−1 ,1)时，z有最小值−32．故选：B．6.【答案】A【知识点】空间中直线与直线的位置关系、空间中直线与平面的位置关系、简单多面体（棱柱、棱锥、棱台）及其结构特征、空间中的位置关系 【解析】【解析】连接AD 1，则AD 1与A 1D 交于M ，AD 1⊥AD 1， 在正方体中，∵A B ⊥平面ADD 1A 1，∴A B ⊥A 1D ， ∴AD 1⊥平面ABD 1， ∴A 1D ⊥D 1 B ， ∵M 为AD 1中点， N 为D 1 B 中点， ∴M N//A B ，∴M N//平面A B C D ． 故选：A ．7.【答案】D【知识点】函数的图象、函数的奇偶性、复合函数的单调性、数学模型与数学探究活动 【解析】【解析】易知函数图像表示的是奇函数，y =f(x)+g(x)−14=x 2+sinx 与y =f(x)−g(x)−14=x 2−sinx 均为非奇非偶函数，排除A 和B ，对于C ，y =f(x)g(x)=(x 2+14) sinx 在[0， π2]上单调，与题意不符． 故选：D ．8.【答案】C【知识点】推理、运用反证法证明、三角恒等变换【解析】【解析】假设sinαcosβ，sinβcosγ，sinγcosα均大于12，即sinαcosβ>12，sinβcosγ>12，sinγcosα>12，则(sinαcosβ)⋅(sinβcosγ)⋅(sinγcosα)>18，而另一方面，(sinαcosβ)(sinβcosγ)(sinγcosα)=(sinαcosα)(sinβcosβ)(sinγcosγ)，化简得，12sin2α⋅12sin2β⋅12sin2γ=18sin2α⋅sin2β⋅sin2γ≤18，故sinαcosβ，sinβcosγ，sinγcosα不可能均大于12，取β=π4，α=π3，γ=π6，得到sinαcosβ=√64>12，且sinβcosγ=√64>12，∴大于12的数至多有2个．故选：C．9.【答案】C【知识点】数学思想和方法、圆锥曲线中的对称性问题、直线方程的综合应用、双曲线的概念及标准方程【解析】【解析】∵f(s−t)，f(s)，f(s+t)成等比数列，∴f2(s)=f(s−t)⋅f(s+t)⇒[a(s−t)2+b][a(s+t)2+b]=(as2+b)2，⇒a2(s2−t2)2+a b(2s2+2t2)+b2=a2s4+2abs2+b2，⇒a2(s4−2s2t2+t4)+2abs2+2abt2+b2=a2s4+2abs2+b2，∴a2t4−2a2s2t2+2abt2=0⇒at4−2as2t2+2bt2=0⇒t2(at2−2as2+2b)= 0，当t=0时，(s , t)的轨迹是直线，当at2−2as2+2b=0时，2s2−t2=2ba>0，即s2ba−t2a=1，此时(s , t)的轨迹是双曲线．故选：C．10.【答案】A【知识点】运用放缩法证明不等式、数列的递推关系、数列的求和【解析】【解析】∵a n+1=n1+√a ⇒a n+1+a n+1√a n =a n ，∴a n+1=n n+1√a ，∵√a n >12(√a n +√a n+1)， ∴a n+1<n n+112(√a +√a )=2(√a n −√a n+1)，∴S 100<1+2(√a 1−√a 2+√a 2−√a 3+⋯+√a 99−√a 100)=1+2(1−√a 100)<3， 易知：n ⩾2时，a n ≤12，先证明：n ⩾2时，√a n <712(√a n +√a n+1)⇔5√a n <7√a n+1⇔25 a n <49 a n+1，即：25a n <49⋅n1+√a ⇔√a n <2425(n ⩾2)成立，当n ⩾2，a n+1>n n+1712(√a +√a )=127(√a n −√a n+1)， 由a n+1=n 1+√a ⇒1an+1=1+√a n a n=1a n+√1a n ⇒1a n+1−1a n =√1a n≥1，则1a 2−1a 1>1 , 1a 3−1a 2>1 , ⋯ , 1a100−1a 99>1 ⇒1a 10>100，即a 100<1100， ∴S 100>1+12+127(√a 2−√a 3+√a 3−√a 4+⋯+√a 99−√a 100)=1+12+6√27−127√a 100≥32+6√27−635>52，综上：52<S 100<3． 故选：A ．11.【答案】25．【知识点】数学思想和方法、数学模型与数学探究活动【解析】【解析】由题意可知，大正方形的边长为5，小正方形的边长为1，则S 1S 2=251= 25．故答案为：25．12.【答案】2.【知识点】函数的解析式、复合函数、分段函数【解析】【解析】f(√6)=(√6)2−4=2，f(2)=|2−3|+a =3，解得a =2． 故答案为：2．13.【答案】5；10．【知识点】数学思想和方法、二项展开式的特定项与特定项的系数【解析】【解析】a 1 x 3=C 30x 3(−1)0+C 41x 3=5x 3，则a 1=5； a 2 x 2=C 31x 2(−1)1+C 42x 2=3x 2，则a 2=3； a 3 x =C 32x 1(−1)2+C 43x =7x ，则a 3=7； a 4=C 33x 0(−1)3+C 44=0；a 2+a 3+a 4=3+7+0=10． 故答案为：5；10．14.【答案】2√13；2√3913．【知识点】解三角形、数学模型与数学探究活动、余弦定理 【解析】【解析】因为= 60∘ ，AB =2 ，AM =2√3 ，所以BM =4 ，所以BC =8 ，AC = √AB 2+BC 2−2AB ⋅BC ⋅cosB = 2√13 ， cos∠MAC =AC 2+AM 2−CM 22⋅AC⋅AM = 2√3913。
浙江省湖州市2021届新高考数学一模考试卷含解析
浙江省湖州市2021届新高考数学一模考试卷一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知某口袋中有3个白球和a 个黑球（*a N ∈），现从中随机取出一球，再换回一个不同颜色的球（即若取出的是白球，则放回一个黑球；若取出的是黑球，则放回一个白球），记换好球后袋中白球的个数是ξ．若3E ξ=，则D ξ= ( )A ．12 B ．1 C ．32 D ．2 【答案】B【解析】由题意2ξ=或4，则221[(23)(43)]12D ξ=-+-=，故选B ．2．执行如图所示的程序框图，则输出的S =（ ）A ．2B ．3C ．23D ．12- 【答案】B 【解析】【分析】运行程序，依次进行循环,结合判断框，可得输出值.【详解】起始阶段有1i =，3S =，第一次循环后11132S ==--，2i =，第二次循环后121312S ==+，3i =，第三次循环后13213S ==-，4i =，第四次循环后11132S ==--，5i =，所有后面的循环具有周期性，周期为3，当2019i =时，再次循环输出的3S =,2020i =，此时20202019>，循环结束，输出3S =， 故选：B【点睛】本题主要考查程序框图的相关知识，经过几次循环找出规律是关键，属于基础题型.3．设()f x =()00O ，，()01A ，，()()n A n f n ，，*n N ∈，设n n AOA θ∠=对一切*n N ∈都有不等式22223122222sin sin sin sin 123n nθθθθ+++⋅⋅⋅⋅⋅⋅+ 222t t <--成立，则正整数t 的最小值为（ ） A ．3B ．4C ．5D ．6【答案】A【解析】【分析】 先求得222sin 111n 1n n n n n θ==-++，再求得左边的范围，只需2221t t --≥，利用单调性解得t 的范围. 【详解】由题意知sinn θ=，∴222sin 111n 1n n n n n θ==-++， ∴22223122222sin sin sin sin 111111111112322334n 1n 1n n n θθθθ+++⋅⋅⋅⋅⋅⋅+=-+-+-+⋯+-=-++，随n 的增大而增大，∴11112n 1≤-<+, ∴2221t t --≥，即2210t t --≥，又f(t)=221t t --在t 1≥上单增，f(2)= -1<0，f(3)=2>0， ∴正整数t 的最小值为3.【点睛】本题考查了数列的通项及求和问题，考查了数列的单调性及不等式的解法，考查了转化思想，属于中档题. 4．某公园新购进3盆锦紫苏、2盆虞美人、1盆郁金香，6盆盆栽，现将这6盆盆栽摆成一排，要求郁金香不在两边，任两盆锦紫苏不相邻的摆法共（ ）种A ．96B ．120C ．48D ．72【答案】B【解析】【分析】间接法求解，两盆锦紫苏不相邻，被另3盆隔开有3334A A ，扣除郁金香在两边有23232A A ，即可求出结论.【详解】使用插空法，先排2盆虞美人、1盆郁金香有33A 种，然后将3盆锦紫苏放入到4个位置中有34A 种，根据分步乘法计数原理有3334A A ，扣除郁金香在两边，排2盆虞美人、1盆郁金香有222A 种，再将3盆锦紫苏放入到3个位置中有33A ，根据分步计数原理有23232A A ，所以共有332334232120A A A A -=种. 故选:B.【点睛】本题考查排列应用问题、分步乘法计数原理，不相邻问题插空法是解题的关键，属于中档题.5．设集合{}1,2,3A =，{}220B x x x m =-+=，若{3}A B ⋂=，则B =（ ） A ．{}1,3-B ．{}2,3-C ．{}1,2,3--D ．{}3【答案】A【解析】【分析】 根据交集的结果可得3是集合B 的元素，代入方程后可求m 的值，从而可求B .【详解】依题意可知3是集合B 的元素，即23230m -⨯+=，解得3m =-，由2230x x --=，解得1,3x =-.【点睛】本题考查集合的交，注意根据交集的结果确定集合中含有的元素，本题属于基础题.6．已知a ，b ∈R ，3(21)ai b a i +=--，则（ ）A ．b ＝3aB ．b ＝6aC ．b ＝9aD ．b ＝12a【答案】C【解析】【分析】两复数相等，实部与虚部对应相等.【详解】由3(21)ai b a i +=--， 得312b a a=⎧⎨=-⎩，即a 13=，b ＝1． ∴b ＝9a ．故选：C ．【点睛】本题考查复数的概念，属于基础题.7．过直线0x y +=上一点P 作圆()()22152x y ++-=的两条切线1l ，2l ，A ，B 为切点，当直线1l ，2l 关于直线0x y +=对称时，APB ∠=（ ）A ．30B ．45︒C ．60︒D ．90︒ 【答案】C【解析】【分析】判断圆心与直线0x y +=的关系，确定直线1l ，2l 关于直线0x y +=对称的充要条件是PC 与直线0x y +=垂直，从而PC 等于C 到直线0x y +=的距离，由切线性质求出sin APC ∠，得APC ∠，从而得APB ∠．【详解】如图，设圆22(1)(5)2x y ++-=的圆心为(1,5)C -，半径为2，点C 不在直线0x y +=上，要满足直线1l ，2l 关于直线0x y +=对称，则PC 必垂直于直线0x y +=，∴15222PC -+==，设APC θ∠=，则2APB θ∠=，21sin 222AC PC θ===，∴30θ=︒,260APB θ∠==︒． 故选：C ．【点睛】本题考查直线与圆的位置关系，考查直线的对称性，解题关键是由圆的两条切线关于直线0x y +=对称，得出PC 与直线0x y +=垂直，从而得PC 就是圆心到直线的距离，这样在直角三角形中可求得角． 8．某四棱锥的三视图如图所示，则该四棱锥的体积为（ ）A ．23B ．43C ．2D ．4【答案】B【解析】【分析】由三视图知该四棱锥是底面为正方形，且一侧棱垂直于底面，由此求出四棱锥的体积．【详解】由三视图知该四棱锥是底面为正方形，且一侧棱垂直于底面，画出四棱锥的直观图，如图所示：则该四棱锥的体积为211421333ABCD V S PA =⋅=⨯⨯=正方形. 故选：B.【点睛】 本题考查了利用三视图求几何体体积的问题，是基础题．9．已知命题p ：1m =“”是“直线0x my -=和直线0x my +=互相垂直”的充要条件；命题q ：对任意()2,∈=+a R f x x a 都有零点；则下列命题为真命题的是（ ）A ．()()p q ⌝∧⌝B ．()p q ∧⌝C ．p q ∨D ．p q ∧【答案】A【解析】【分析】先分别判断每一个命题的真假，再利用复合命题的真假判断确定答案即可.【详解】当1m =时，直线0x my -=和直线0x my +=，即直线为0x y -=和直线0x y +=互相垂直， 所以“1m =”是直线0x my -=和直线0x my +=互相垂直“的充分条件，当直线0x my -=和直线0x my +=互相垂直时，21m =，解得1m =±.所以“1m =”是直线0x my -=和直线0x my +=互相垂直“的不必要条件.p ：“1m =”是直线0x my -=和直线0x my +=互相垂直“的充分不必要条件，故p 是假命题． 当1a =时，2()1f x x =+没有零点，所以命题q 是假命题．所以()()p q ⌝∧⌝是真命题，()p q ∧⌝是假命题，p q ∨是假命题，p q ∧是假命题．故选：A ．【点睛】本题主要考查充要条件的判断和两直线的位置关系，考查二次函数的图象， 考查学生对这些知识的理解掌握水平.10．已知点A 是抛物线24x y =的对称轴与准线的交点，点F 为抛物线的焦点，点P 在抛物线上且满足PA m PF =，若m 取得最大值时，点P 恰好在以,A F 为焦点的椭圆上，则椭圆的离心率为（ ）A 1B 1CD ．12【答案】B【解析】【分析】设(),P x y ，利用两点间的距离公式求出m 的表达式，结合基本不等式的性质求出m 的最大值时的P 点坐标，结合椭圆的定义以及椭圆的离心率公式求解即可.【详解】设(),P x y ，因为A 是抛物线24x y =的对称轴与准线的交点，点F 为抛物线的焦点， 所以()()0,1,0,1A F -，则PAm PF ==== 当0y =时，1m =，当0y >时，m ==≤= 当且仅当1y =时取等号，∴此时()2,1P±， 2PA PF ==，点P 在以,A F 为焦点的椭圆上，22c AF ==，∴由椭圆的定义得22a PA PF =+=，所以椭圆的离心率212c c e a a ====，故选B. 【点睛】本题主要考查椭圆的定义及离心率，属于难题.离心率的求解在圆锥曲线的考查中是一个重点也是难点，一般求离心率有以下几种情况：①直接求出,a c ，从而求出e ;②构造,a c 的齐次式，求出e ;③采用离心率的定义以及圆锥曲线的定义来求解．11．已知函数()()sin f x A x =+ωϕ（其中0A >，0>ω，0ϕπ<<）的图象关于点5,012M π⎛⎫ ⎪⎝⎭成中心对称，且与点M 相邻的一个最低点为2,33N π⎛⎫- ⎪⎝⎭，则对于下列判断： ①直线2x π=是函数()f x 图象的一条对称轴； ②点,012π⎛⎫- ⎪⎝⎭是函数()f x 的一个对称中心； ③函数1y =与()351212y f x x ππ⎛⎫=-≤≤ ⎪⎝⎭的图象的所有交点的横坐标之和为7π. 其中正确的判断是（ ）A ．①②B ．①③C ．②③D ．①②③【答案】C【解析】分析：根据最低点，判断A=3，根据对称中心与最低点的横坐标求得周期T ，再代入最低点可求得解析式为()3sin 26f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，依次判断各选项的正确与否． 详解：因为5,012M π⎛⎫ ⎪⎝⎭为对称中心，且最低点为2,33N π⎛⎫- ⎪⎝⎭， 所以A=3，且254312T πππ⎛⎫=⨯-=⎪⎝⎭ 由222T ππωπ=== 所以()()3sin 2f x x ϕ=+，将2,33N π⎛⎫-⎪⎝⎭带入得 6π=ϕ ，所以()3sin 26f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭由此可得①错误，②正确，③当351212x ππ-≤≤时，0266x ππ≤+≤，所以与1y = 有6个交点，设各个交点坐标依次为123456,,,,,x x x x x x ，则1234567x x x x x x π+++++=，所以③正确所以选C点睛：本题考查了根据条件求三角函数的解析式，通过求得的解析式进一步研究函数的性质，属于中档题．12．已知向量(2,4)a =-，(,3)b k =，且a 与b 的夹角为135︒，则k =（ ）A ．9-B ．1C ．9-或1D ．1-或9 【答案】C【解析】【分析】由题意利用两个向量的数量积的定义和公式，求k 的值.【详解】解：由题意可得cos135||||416a b a b ︒⋅===⋅+ 求得9k =-，或1k =，故选：C.【点睛】本题主要考查两个向量的数量积的定义和公式，属于基础题．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
2021年普通高等学校招生全国统一考试(浙江卷)数学(理科)试卷参考答案
普通高等学校招生全国统一考试（浙江卷）数学（理科）试卷参考答案一、选择题：本题考查基本知识和基本运算。
每小题5分，满分50分。
（1）A （2）D （3）D （4）B （5）A （6）B （7）C （8）D （9）B （10）C二、填空题：本题考查基本知识和基本运算。
每小题4分，满分28分。
（11）1（12）257-（13）20 x x （14）266（15）95（16）︒90（17）340≤≤m 三、解答题（18）本题主要考查利用正弦定理、余弦定理来确定三角形边、角关系知识和基本运算能力。
满分14分。
解：（Ⅰ）由题意臃及正弦定理，得12+=++AC BC AB ， AB AC BC 2=+，两式相减，得1=AB 。
（Ⅱ）由ABC ∆的面积C C AC BC sin 61sin 21=⋅⋅，得 31=⋅AC BC ， 由余弦定理，得BCAC AB BC AC C ⋅-+=2cos 222()212222=⋅-⋅-+=BCAC AB BC AC BC AC ， 所以︒=60C 。
（19）本题主要考查空间线面关系、空间向量的概念与运算等基础知识，同时考查空间想象能力和推理运算能力。
满分14分。
方法一：（Ⅰ）证明：因为BC AC =，M 是AB 的中点，所以AB CM ⊥。
又ABC ，EA 平面⊥ 所以EM CM ⊥。
（Ⅱ）解：F ，ED CH H ，CDE ，MN M 于点并延长交连结垂足是平面作过点⊥MF 、连结MD ，FCM ∠是直线所成的角和平面CDE CM 。
因为CDE MH 平面⊥， 所以ED MH ⊥，以因为EDM CM 平面⊥， 所以ED CM ⊥，则MF ED CMF ，ED ⊥⊥因此平面。
设a AC BC BD a EA 2,====， 在直角梯形ABDE 中，a ，22AB =M 是，AB 的中点所以,6,3,3a MD a EM a DE ===得︒=∠∆90EMD ，EMD 其中是直角三角形，所以a DEMDEM MF 2=⋅=。
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浙江省2021版高考数学一模试卷（理科）D卷
姓名:________ 班级:________ 成绩:________
一、选择题： (共12题；共24分)
1. （2分）已知集合U=R，集合，集合，则（）
A .
B .
C .
D .
2. （2分）若复数z满足(1-2i)z=2+i，则z的虚部为（）
A . i
B . -i
C . 1
D . -1
3. （2分） (2019高二上·北京期中) 是等差数列的前项和，如果，那么的值是（）
A . 1
B . 2
C . 3
D . 4
4. （2分）设是两条不同的直线，是两个不同的平面，则下列命题中正确的是（）
A . 若，，则
B . 若，则
C . 若，，则
D . 若，，则
5. （2分） (2020高二下·泸县月考) 三棱锥的三条侧棱两两垂直，其长分别为，则该三棱锥的外接球的表面积（）
A .
B .
C .
D .
6. （2分） (2019高一上·双流月考) 某工厂6年来生产某种产品的情况是：前3年年产量的增长速度越来越快，后3年年产量保持不变，则该厂6年来这种产品的总产量C与时间t（年）的函数关系图象正确的是（）
A .
B .
C .
D .
7. （2分） (2017高一下·淮北期末) 算法如图，若输入m=210，n=117，则输出的n为（）
A . 2
B . 3
C . 7
D . 11
8. （2分） (2018高二下·抚顺期末) 千年潮未落，风起再扬帆，为实现“两个一百年”奋斗目标、实现中华民族伟大复兴的中国梦奠定坚实基础，哈三中积极响应国家号召，不断加大拔尖人才的培养力度，据不完全统计：年份（届）2014201520162017
学科竞赛获省级一等奖及以上学生
51495557
人数
被清华、北大等世界名校录取的学生
10396108107
人数
根据上表可得回归方程中的为1.35，我校2018届同学在学科竞赛中获省级一等奖及以上学生人数为63人，据此模型预报我校今年被清华、北大等世界名校录取的学生人数为（）
A .
B .
C .
D .
9. （2分）函数f（x）=3sin（2x﹣+φ），φ∈（0，π）满足f（|x|）=f（x），则φ的值为（）
A .
B .
C .
D .
10. （2分）(2017·安庆模拟) 已知单位圆有一条长为的弦AB，动点P在圆内，则使得≥2的概率为（）
A .
B .
C .
D .
11. （2分） (2019高二上·荆州期中) 已知为双曲线的一个焦点，为双曲线虚轴的一个端点，以坐标原点为圆心，半焦距为直径的圆恰与直线相切，则双曲线的离心率为（）.
A .
B .
C .
D . 2
12. （2分） (2016高一上·郑州期中) 三个数a=3 ，b=（） 3 ， c=log3 的大小顺序为（）
A . b＜c＜a
B . b＜a＜c
C . c＜a＜b
D . c＜b＜a
二、填空题： (共4题；共4分)
13. （1分）设四边形ABCD为平行四边形，||=8，||=3，若点M，N满足=3，=2，则
•=________
14. （1分）在（n∈N*）的展开式中，所有项系数的和为﹣32，则的系数等于________
15. （1分） (2019高三上·长沙月考) 数列通项公式为，若为数列的前项和，则 ________．
16. （1分） (2017高一下·运城期末) 设变量x，y满足约束条件，则目标函数z=y﹣2x的最小值为________．
三、解答题： (共7题；共70分)
17. （5分） (2020高一下·滕州月考) 已知分别为内角的对边，．
（Ⅰ）求；
（Ⅱ）已知点在边上，，，求．
18. （15分）如图，在多面体ABCDFE中，四边形ABCD是矩形，AB∥EF，AB=2EF，∠EAB=90°，平面ABFE⊥平面ABCD．
（1）若G点是DC中点，求证：FG∥面AED．
（2）求证：面DAF⊥面BAF．
（3）若AE=AD=1，AB=2，求三棱锥D﹣AFC的体积．
19. （10分）(2020·江西模拟) 随着经济的发展，个人收入的提高，自2019年1月1日起，个人所得税起征点和税率的调整，调整如下：纳税人的工资、薪金所得，以每月全部收入额减除5000元后的余额为应纳税所得额，依照个人所得税税率表，调整前后的计算方法如下表：
个人所得税税率表（调整前）个人所得税税率表（调整后）
免征额3500元免征额5000元
级数全月应纳税所得额税率（%）级数全月应纳税所得额税率（%）
1不超过1500元部分31不超过3000元部分3
2超过1500元至4500元的
部分
102
超过3000元至12000元的
部分
10
3超过4500元至9000元的
部分
203
超过12000元至25000元
的部分
20
………………
某税务部门在某公司利用分层抽样方法抽取某月100个不同层次员工的税前收入，并制成下面的频数分布表：收入（元）
人数304010875（1）若某员工2月的工资、薪金等税前收入为7500元时，请计算一下调整后该员工的实际收入比调整前增加了多少?
（2）现从收入在及的人群中按分层抽样抽取7人，再从中选4人作为新纳税法知识宣讲员，用表示抽到作为宣讲员的收入在元的人数，表示抽到作为宣讲员的收入在元的人数，设随机变量，求的分布列与数学期望.
20. （10分） (2019高二上·黑龙江期末) 设椭圆过点 ,离心率为 .
（1）求椭圆的方程；
（2）求过点且斜率为的直线被椭圆所截线段的中点坐标.
21. （5分）已知函数f（x）=2alnx+（a+1）x2+1．
（Ⅰ）当时，求函数f（x）的极值；
（Ⅱ）如果对任意x1＞x2＞0，总有，求实数a的取值范围；
（Ⅲ）求证：．
22. （10分） (2018高三上·长春期中) 在直角坐标系xOy中，以O为极点，x轴非负半轴为极轴，取相同单位长度，建立极坐标系．曲线C的极坐标方程为，M，N分别为C与x轴、y轴的交点．（1）写出C的直角坐标方程，并求M，N的极坐标；
（2）设MN的中点为P，求直线OP的极坐标方程．
23. （15分） (2019高一上·鲁山月考) 据气象中心观察和预测：发生于M地的沙尘暴一直向正南方向移动，其移动速度v(km/h)与时间t(h)的函数图象如图所示，过线段OC上一点作横轴的垂线l，梯形OABC在直线l左侧部分的面积即为t(h)内沙尘暴所经过的路程s(km)．
（1）当时，求s的值；
（2）将s随t变化的规律用数学关系式表示出来；
（3）若N城位于M地正南方向，且距M地650km，试判断这场沙尘暴是否会侵袭到N城，如果会，在沙尘暴发生后多长时间它将侵袭到N城？如果不会，请说明理由．
参考答案一、选择题： (共12题；共24分)
1-1、
2-1、
3-1、
4-1、
5-1、
6-1、
7-1、
8-1、
9-1、
10-1、
11-1、
12-1、
二、填空题： (共4题；共4分)
13-1、
14-1、
15-1、
16-1、
三、解答题： (共7题；共70分) 17-1、
18-1、
18-2、
18-3、
19-1、
19-2、
20-1、20-2、
21-1、
22-1、22-2、23-1、23-2、
23-3、。