完全完全平方公式
完全平方公式
如何用完全平方公式解决实际问题，比如计算房间面积、计算价格等。
用完全平方公式解决实际问题
完全平方公式的证明
解答
用完全平方公式计算代数式的值
验证完全平方公式
用完全平方公式解决实际问题
THANKS
感谢观看
公式表述
$a^2$：一个数的平方是指这个数与自己的平方的乘积。例如，$5^2 = 5 \times 5 = 25$。
平方的含义
$(a \pm b)^2$：一个数的完全平方是指这个数与另一个数的平方和它们两倍的乘积的乘积。例如，$(3 \pm 2)^2 = 3^2 \pm 2 \times 3 \times 2 + 2^2 = 9 \pm 12 + 4 = 13 \pm 12$。
差的平方等于平方的差
公式
$(ab)^2 = a^2b^2$
解释
两个数的乘积的平方等于每个数的平方与另一个数的乘积。
积的乘方等于乘方的积
03
完全平方公式的应用
完全平方公式可以用来简化代数式，将复杂的表达式化为简单的形式。
简化代数式
在解一元二次方程时，完全平方公式可以用来求解方程的根。
解方程
在代数中的应用
完全平方的含义
$(a \pm b)^2 = a^2 \pm 2ab + b^2$：可以用图形表示完全平方公式。首先画一个矩形，长为$a$，宽为$b$。将矩形分割成两个正方形和四个矩形。两个正方形的面积分别为$a^2$和$b^2$，四个矩形的面积分别为两个$ab$。将这些面积相加得到$(a \pm b)^2$。
公式的图形表示
02
完全平方公式的性质
$(a+b)^2 = a^2 + b^2 + 2ab$
完全平方公式
完全平方公式1. 什么是完全平方公式？完全平方公式是用于计算一个二次方程的解的公式。
在代数学中，二次方程是指形如 ax^2 + bx + c = 0 的方程，其中 a、b 和 c 是实数，且 a 不等于 0。
完全平方公式可以用于求解这样的二次方程的根，即求解 x 的值。
2. 如何使用完全平方公式？完全平方公式给出了一个二次方程的两个根的计算公式：x = (-b ± √(b^2 - 4ac)) / (2a)其中，± 表示两个可能的根，√ 表示开方运算。
首先，根据二次方程的形式，确定 a、b 和 c 的数值。
然后，将这些数值代入公式中，计算出两个根的值。
根的值可以是实数，也可以是虚数。
如果b^2 - 4ac 大于等于0，则根是实数；如果 b^2 - 4ac 小于 0，则根是虚数。
3. 完全平方公式的推导过程完全平方公式的推导过程可以通过完成平方的方法来实现。
对于一个二次方程ax^2 + bx + c = 0，我们可以先将其完成平方，再进行化简。
步骤如下：1.将方程的右边移到左边，使等式等于 0。
ax^2 + bx + c = 0变为ax^2 + bx + c - 0 = 0即ax^2 + bx + c + 0 = 02.将常数项 c 写成另外一个数 k 的平方的形式，即 c = k^2。
ax^2 + bx + k^2 + 0 = 03.将二次项和一次项一起进行配方，即将(ax^2 + bx) 这一部分进行平方运算。
(ax^2 + bx)^2 = (ax2)2 + 2(ax^2)(bx) + (bx)^2 = a2x4 + 2abx^3 + b2x2将等式左边也进行同样的平方运算。
(ax^2 + bx + k2)2 = (ax2)2 + 2(ax^2)(bx) + 2(ax2)(k2) + (bx)^2 + 2(bx)(k^2) +k^4 = a2x4 + 2abx^3 + 2ak2x2 + b2x2 + 2bk^2x + k^44.将第3步中得到的结果与方程本身相加。
完全平方公式知识讲解
完全平方公式知识讲解
假设方程的两个解是x1和x2，那么根据求根公式的推导，可以得到
完全平方公式的一般形式如下：
x1 = (-b + √(b^2 - 4ac)) / (2a)
x2 = (-b - √(b^2 - 4ac)) / (2a)
首先，将 ax^2+bx+c=0 变形为 x^2 + (b/a)x + c/a = 0。
然后，将方程右侧的常数项移动到方程左侧，得到x^2+(b/a)x=-c/a。
接着，我们将方程左侧的平方项和一次项组合成一个完全平方，即(x + (b/2a))^2 = (1/4a^2)(b^2 - 4ac)。
继续变形，得到x + (b/2a) = √((b^2 - 4ac)/(4a^2))。
再将方程左侧的二次项系数变为1，即 x = -b/(2a) ± √((b^2 -
4ac)/(4a^2))。
最后，简化形式，得到 x = (-b ± √(b^2 - 4ac)) / (2a)。
通过上述推导过程，我们得到了完全平方公式。
使用这个公式，可以
快速而准确地求解一元二次方程的解。
需要注意的是，完全平方公式适用于任意实数系数的二次方程。
但在
实际应用中，可能会遇到无实数解或有重复解的情况。
因此，在使用完全
平方公式求解一元二次方程时，需要根据情况进行判断和处理。
完全平方公式
完全平方公式1、完全平方公式：()2222b ab a b a ++=+； ().2222b ab a b a +-=-即：两数和（或差）的平方，等于它们的平方和，加上（或减去）它们的积的两倍。
2、深入理解： 完全平方公式的条件：⑴二项式的平方。
完全平方公式的结论：⑴ 三项式 ；⑵有两项平方项，且是正的；另一项是二倍项，符号看前面。
口诀记忆：“头平方，尾平方，头尾两倍在中央”；3、逆运算：()2222b a b ab a ±=+±例1：计算下列各式： （1）、2)52(y x +（2）、2)221(y x -例2：（1）()212-+b a （2）5z)4y -(x 5-4++）（z y x例3：如果多项式92+-mx x 是一个完全平方式，则m 的值是。
例4：计算：()()_________22=--+b a b a ；()__________222-+=+b a b a 练习：1、如果多项式k xy x ++82是一个完全平方式，则k 的值是。
2、已知。
y ，xy y x 的值求22x 60,17+==+3、若13a a +=,求221a a +的值。
课下练习：1、下列计算中正确的是（）A.222)(b a b a +=+B. 222)(b a b a -=-C.22224)2(y xy x y x +-=-D.25541)521(22++=+x x x 2、下列各式计算结果为2xy －x 2－y 2的是（）A ．（x －y ）2B ．（－x －y ）2C ．－（x+y ）2D ．－（x －y ）23、已知,,,则代数式的值为( ) A.12 B.13 C.25 D.264、计算下列各式：（1）(3m-n)(m-2n) （2）()()()()()222312-+++--+x x x x x（3）、()2101684212⨯⨯⨯⨯-（4）、22)(2)())((b a b a b a b a --++-+5、如图15－2－3，AB ＝a ，P 是线段AB 上一点，分别以AP 、BP 为边作正方形.图15－2－3(1)设AP ＝x ，则两个正方形的面积之和S ＝__________；(2)当AP 分别为13a 和12a 时，两个正方形的面积的和分别为S 1和S 2，比较S 1和S 2的大小：__________.。
完全平方公式20种变形
完全平方公式20种变形【最新版】目录1.完全平方公式的基本形式2.完全平方公式的 20 种变形3.变形实例及解题方法正文【1.完全平方公式的基本形式】完全平方公式是指一个二次多项式的平方可以表示为两个一次多项式的平方和。
其基本形式为：(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2【2.完全平方公式的 20 种变形】在实际解题过程中，完全平方公式可以衍生出 20 种变形，具体如下：1.(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^22.(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^23.(a+2b)^2 = a^2 + 4ab + 4b^24.(a-2b)^2 = a^2 - 4ab + 4b^25.(a+3b)^2 = a^2 + 6ab + 9b^26.(a-3b)^2 = a^2 - 6ab + 9b^27.(a+ab)^2 = a^2 + 2ab^2 + b^28.(a-ab)^2 = a^2 - 2ab^2 + b^29.(a+b^2)^2 = a^2 + 2ab^2 + b^410.(a-b^2)^2 = a^2 - 2ab^2 + b^411.(a+2b)^2 = a^2 + 4ab + 4b^212.(a-2b)^2 = a^2 - 4ab + 4b^213.(a+3b)^2 = a^2 + 6ab + 9b^214.(a-3b)^2 = a^2 - 6ab + 9b^215.(a+ab)^2 = a^2 + 2ab^2 + b^216.(a-ab)^2 = a^2 - 2ab^2 + b^217.(a+b^2)^2 = a^2 + 2ab^2 + b^418.(a-b^2)^2 = a^2 - 2ab^2 + b^419.(a+2b)^2 = a^2 + 4ab + 4b^220.(a-2b)^2 = a^2 - 4ab + 4b^2【3.变形实例及解题方法】以第一种变形为例：(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2假设 a = 3, b = 2，代入公式得：(3+2)^2 = 3^2 + 2*3*2 + 2^2= 25 = 9 + 12 + 4可见，公式左边的 (3+2)^2 等于右边的 9 + 12 + 4。
完全平方公式（完整知识点）
完全平⽅公式（完整知识点）完全平⽅公式完全平⽅公式即(a±b)2=a2±2ab+b2该公式是进⾏代数运算与变形的重要的知识基础，是因式分解中常⽤到的公式。
该知识点重点是对完全平⽅公式的熟记及应⽤。
难点是对公式特征的理解(如对公式中积的⼀次项系数的理解）。
必须注意的：①漏下了⼀次项②混淆公式（与平⽅差公式）③运算结果中符号错误④变式应⽤难于掌握。
学会⽤⽂字概述公式的含义:两数和（或差）的平⽅，等于它们的平⽅和，加上（或减去）它们的积的2倍。
叫做完全平⽅公式．为了区别，我们把前者叫做两数和的完全平⽅公式，后者叫做两数差的完全平⽅公式。
这两个公式的结构特征：1、左边是两个相同的⼆项式相乘，右边是三项式，是左边⼆项式中两项的平⽅和，加上或减去这两项乘积的2倍；2、左边两项符号相同时，右边各项全⽤“+”号连接；左边两项符号相反时，右边平⽅项⽤“+”号连接后再“-”两项乘积的2倍（注：这⾥说项时未包括其符号在内）.完全平⽅公式⼝诀前平⽅，后平⽅，⼆倍乘积在中央。
同号加、异号减，符号添在异号前。
（可以背下来）即 (a+b)2=a2+2ab+b2(a-b)2=a2-2ab+b2（注意：后⾯⼀定是加号）公式变形（习题）变形的⽅法（⼀）、变符号：例1：运⽤完全平⽅公式计算：（1）(-4x+3y)2（2）(-a-b)2分析：本例改变了公式中a、b的符号，以第⼆⼩题为例，处理该问题最简单的⽅法是将这个式⼦中的(-a)看成原来公式中的a，将(-b)看成原来公式中的b，即可直接套⽤公式计算。
解答：(1)原式=16x2-24xy+9y2(2)原式=a2+2ab+b2（⼆）、变项数：例2：计算：(3a+2b+c)2分析：完全平⽅公式的左边是两个相同的⼆项式相乘，⽽本例中出现了三项，故应考虑将其中两项结合运⽤整体思想看成⼀项，从⽽化解⽭盾。
所以在运⽤公式时，(3a+2b+c)2可先变形为[(3a+2b)+c]2，直接套⽤公式计算。
因式分解(完全平方公式)
完全平方公式的形式
1 一般形式
对于平方三项式\(ax^2 + bx + c\)，完全平方公式的形式为\((mx + n)^2\)。
2 m和n的计算
通过比较系数，我们可以确定m和n的值。具体计算步骤在下个部分介绍。
完全平方公式的用途
1 求解方程
通过因式分解和完全平方公式，我们可以解决一些复杂的二次方程。
因式分解(完全平方公式)
因式分解是将一个多项式拆分成两个或多个全新的多项式的过程。完全平方 公式是因式分解中的一种重要工具，用于拆分平方三项式。
因式分解概述
因式分解是一种数学方法，用于将多项式拆分成简化形式。它有助于解决复杂的数学问题，并提 供更深入的理解。
完全平方公式 (简介)
完全平方公式是因式分解中的一种特殊形式。它适用于拆分平方三项式，并 帮助我们轻松地进行因式分解。
金融问题
在金融领域，完全平方公式可以帮助我们计算和分析复杂的财务模型。
结论和要点
完全平方公式是因式分解中一种重要的工具，它适用于拆分平方三项式。它 可以用于解决方程，简化表达式，并应用于几何学、物理学和金融学等领域。
2 简化表达式
将多项式使用完全平方公式进行因式分解可以简化表达式，使其更易处理和计算。
完全平方公式示例
示例一
将\(x^2 + 6x + 9\)使用完全平方公式进行因式 分解。
示例二
将\(4x^2 - 4x + 1\)使用完全平方公式进行因式 分解。
完全平方公式计算步骤
1
Step 1
将多项式按照平方三项式的形式排列。
2
Step 2
确定m和n的值，使得(mx + n)^2等于原始多项式。
完全平方公式讲解
完全平方公式讲解完全平方公式是一种求解二次方程的方法，通常用于解决含有未知数的平方项和一次项的方程。
这个公式的公式表达形式为：$$(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$$完全平方公式在数学中具有广泛的应用，可以用来解决一元二次方程、分解因式、证明等问题。
首先，我们可以考虑一个特殊的二次多项式：$$(x+a)^2$$这里，a 是一个常数。
根据分配律，我们可以展开该二次多项式：$$(x+a)(x+a)=x^2+ax+ax+a^2$$合并相同项得到：$$x^2+2ax+a^2$$我们可以观察到，这个二次多项式中的平方项（$x^2$）和常数项（$a^2$）是完全平方的结构。
而一次项的系数项（$2ax$）是两个a的乘积的两倍。
这就是所谓的完全平方。
根据以上的推导，我们得出了完全平方的一般形式。
接下来，我们将利用完全平方公式来解决一元二次方程的问题。
对于一元二次方程$$ax^2+bx+c=0$$其中a、b、c是已知实数常数。
我们将该方程两边移项，并利用一种变形技巧，将方程转化为完全平方的形式。
具体步骤如下：1. 将方程两边移项，使等式右边等于0，得到$$ax^2+bx=-c$$2.对于方程的左边，我们将其利用完全平方公式进行变形。
如果我们能找到一个常数k，使得左边可以变为$(x+k)^2$的形式，那么我们就可以利用完全平方公式直接求解。
3. 考虑到$(x+k)^2=x^2+2kx+k^2$，我们可以发现，当$b=2k$时，方程的左边可以写成完全平方形式。
4. 所以，我们可以得到方程$$ax^2+2kx+k^2=-c$$5.然而，我们不能直接将方程的右边变为k的平方形式，因为我们无法确切地知道k的值。
所以，我们需要做一个额外的变形。
6. 我们可以再次考虑方程的两边，得到$$ax^2+2kx+k^2+c=0$$7.现在，我们成功地将方程转化为一个完全平方的形式。
进一步观察，我们可以发现，左边的二次项是$x^2$的系数与$a$的乘积，一次项是$x$的系数与$2k$的乘积，常数项则是$k^2+c$。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
（四）解决问题：能结合具体情景发现并提出数学问题；尝试从不同角度寻求解决问题的方法，并能有效地解决问题。
（五）情感与态度：敢于面对数学活动中的困难并有独立克服困难勇气和运用知识解决问题的成功体验，有学好数学的自信心；通过观察、实验、归纳、类比、推断可以获得数学猜想，体验数学活动充满着探索性和创造性，感受证明的必要性、证明过程的严谨性以及结论的确定性；在独立思考的基础上，积极参与对数学问题的讨论，敢于发表自己的观点，并尊重与理解他人的见解；能从交流中获益。
(x+3) =_______________，(x-3) =_______________，
这些式子的左边和右边有什么规律?再做几个试一试:
(2m+3n) =_______________，(2m-3n) =_______________，
用不同的形式表示图形的总面积，并进行比较，你发现了什么？
你能运用公式计算下列各式吗?(-x-3)2=______________， (-x+3)2=_______________。(-2m-3n)2=______________，(-2m+3n)2=______________
基本信息
课题
完全平方公式（1）
作者及工作单位
张德建
中江县东北镇中
教材分析
本节课的主题：通过一系列的探究活动，引导学生从计算结果中总结出完全平方公式的两种形式。
关键信息：
1、以教材作为出发点，依据《数学课程标准》，引导学生体会、参与科学探究过程。首先提出等号左边的两个相乘的多项式和等号右边得出的三项有什么关系。通过学生自主、独立的发现问题，对可能的答案做出假设与猜想，并通过多次的检验，得出正确的结论。学生通过收集和处理信息、表达与交流等活动，获得知识、技能、方法、态度特别是创新精神和实践能力等方面的发展。
学生自己通过计算、分析结果，总结出了完全平方公式
抢答形式，活跃课堂气氛，激发学生的学习积极性）
在知识探索的过程中，培养学生们积极思考，大胆探索，团结协作共同取得了进步
板书设计
完全平方公式（1）
一、计算：(x+3) =______________，(x-3) =_______________
(2m+3n) =_______________，(2m-3n) =_______________
2、用标准的数学语言得出结论，使学生感受科学的严谨，启迪学生的数学思维。
学情分析
学习者分析：
1、在学习本课之前应具备的基本知识和技能：
①同类项的定义。
②合并同类项法则。
③多项式乘以多项式法则。
2、学生对将要习的内容已经具备的知识水平：
在学习完全平方公式之前，学生已经能够整理出公式的右边形式。这节课的目的就是让学生从特殊性的计算上升到一般性的规律,得出公式，并能正确的应用公式。
六、通过本节课的学习，你有什么收获和感悟？
学生学习活动评价设计
1、注意力是否集中，不集中的原因
2、参与活动是否主动，不主动的原因
3、与同伴是否合作，合作是否愉快，不愉快的原因
教学反思
本节课虽然算不上课本中的难点，但在整式一章中是个重点。它是多项式乘法特殊形式下的一种简便运算。学生需要熟练掌握公式两种形式的使用方法，以提高运算速度。授课过程中，应注重让学生总结公式的等号两边的特点，让学生用语言表达公式的内容，让学生说明运用公式过程中容易出现的问题和特别注意的细节。然后再通过逐层深入的练习，巩固完全平方公式两种形式的应用。为完全平方公式第二节课的实际应用和提高应用做好充分的准备。
教学重点和难点
教学重点；完全平方公式的准确应用。
教学难点；掌握公式中字母表达式的意义及灵活运用公式进行计算
教学过程
教学环节
教师活动
预设学生行为
设计意图
一、提出问题
二、分析问题
三、运用公式，解决问题
四、学生小结
五、练习填空
六、自我评价
七、作业
同学们，前面我们学习了多项式乘多项式法则和合并同类项法则，你会计算下列各题吗?
你认为完全平方公式在应用过程中，需要注意那些问题？
通过本节课的学习，你有什么收获和感悟？
计算后并分组交流、讨论 多项式的结构特点
总结完全平方公式的语言述：两数和的平方，等于它们平方的和，加上它们乘积的两倍；
本节课，我们自己通过计算、分析结果，总结出了完全平方公式。在知识探索的过程中，同学们积极思考，大胆探索，团结协作共同取得了进步
二、完全平方公式：两数和的平方，等于它们平方的和，加上它们乘积的两倍；（a+b） =a +b +2ab
三、完全平方公式的几何背景
四、运用公式，解决问题
五、完全平方公式在应用过程中，需要ห้องสมุดไป่ตู้意的问题
(1) 公式右边共有3项。
(2) 两个平方项符号永远为正。
(3)中间项的符号由等号左边的两项符号是否相同决定。
教学目标
（一）教学目标：
1、经历探索完全平方公式的过程，进一步发展推理能力。
2、会推导完全平方公式，并能运用公式进行简单的计算。
3、了解(a+b) =a +2ab+b 的几何背景。
（二）知识与技能：经历由一般的多项式乘法向乘法公式过渡的探究过程，进一步培养学生归纳总结的能力,并给公式的应用打下基础。