湖南省衡阳县第三中学2016届高三上学期第一次月考数学(文)试题(扫描版,答案不全)
湖南省衡阳一中高三上学期元月月考数学试卷(文科) Wor
2015-2016学年湖南省衡阳一中高三（上）元月月考数学试卷（文科）一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）1．已知集合A={sin90°，cos180°}，B={x|x2+x=0}，则A∩B为（）A．{0，﹣1} B．{﹣1，1} C．{﹣1}D．{0}2．“m=2”是“函数f（x）=x m为实数集R上的偶函数”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分又不必要条件3．若a＞b＞0，则不正确的是（）A．ab＞b2B．（）a＜（）bC．log a＞log b D．a2＞b24．若函数f（x）=在区间（﹣∞，﹣1）上单调递减，则实数a的取值范围为（）A．（2，+∞）B．（0，2）C．[0，2）D．[2，+∞）5．把函数y=sin（x+）图象上各点的横坐标伸长为原来的2倍（纵坐标不变），再将图象向右平移个单位，那么所得图象的一条对称轴为（）A．x=B．x=C．x=D．x=π6．在边长为2的菱形ABCD中，∠BAD=120°，则在方向上的投影为（）A．B．C．1 D．2=64n，则{a n}的公比为（）7．若等比数列{a n}满足a n a n+1A．±8 B．8 C．±16 D．168．若直线ax+by﹣1=0（其中a＞0且b＞0）被圆x2+y2﹣4x﹣2y+1=0截得的弦长为16，则+的最小值为（）A．16 B．8 C．4 D．29．一个棱锥的三视图如图，则该棱锥的体积是（）A．B．C．4 D．810．直线ax+y﹣3=0与圆x2+（y﹣1）2=4的位置关系是（）A．相交 B．相切或相交C．相离 D．相切11．已知两点F1（﹣1，0），F（1，0），且|F1F2|是|PF1|与|PF2|的等差数列中项，则动点P所形成的轨迹的离心率是（）A．B．2 C．D．12．已知函数f（x）为偶函数，且当x≤0时，f（x）=e x﹣，若f（﹣a）+f（a）≤2f（1），则实数a取值范围是（）A．（﹣∞，﹣1]∪[1，+∞）B．[﹣1，0] C．[0，1]D．[﹣1，1]二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13．若圆锥的母线长为2cm，底面圆的周长为2πcm，则圆锥的体积为cm3．14．已知点A（1，1），B（4，2），若直线l：mx﹣y﹣1=0与线段AB相交，则实数m的取值范围为．15．函数f（x）=x3+x2的导函数f′（x），那么数列{}，n∈N*的前n项和是．16．设F1、F2分别为双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的左、右焦点，若双曲线的右支上存在一点P，使•=0，且△F1PF2的三边长构成等差数列，则此双曲线的渐近线方程为．三、解答题（本大题共6小题，共70分．解答应写出必要的文字说明，演算步骤或证明过程）17．在△ABC中，角A，B，C所对的边为a，b，c．已知a=2c，且A﹣C=．（1）求sinC的值；（2）当b=1时，求△ABC外接圆的半径．18．设数列{a n}的前n项和为S n，且S n=n2+，n∈N*．（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）设数列b n=2﹣n a n求数列{b n}的前n项和T n．19．如图，PCBM是直角梯形，∠PCB=90°，PM∥BC，PM=1，BC=2，又AC=1，∠ACB=120°，AB⊥PC，直线AM与直线PC所成的角为60°（1）求证：平面PCBM⊥平面ABC；（2）求三棱锥B﹣MAC的体积．20．某校教务处对本校高三文科学生第一次模拟考试的数学成绩进行分析，用分层抽样方法抽取了20名学生的成绩，分数用茎叶图记录如图所示（部分数据丢失），并绘制如下频率分（2）从成绩优秀（分数在[120，150]范围为优秀）的学生中随机选2名学生得分，求至少取得一名学生得分在[130，150]的概率．21．已知函数f（x）=lnx﹣a（x﹣1）（a∈R））．（1）若a=﹣4，求曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程；（2）若x∈（1，+∞），函数f（x）的图象始终在x轴的下方，求实数a的取值范围．22．已知椭圆Γ： +=1（a＞b＞0）过点（，），且离心率为．（Ⅰ）求椭圆Γ方程；（Ⅱ）设直线y=x+m与椭圆Γ交于不同两点A，B，若点P（0，1）满足||=||，求实数m的值．2015-2016学年湖南省衡阳一中高三（上）元月月考数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）1．已知集合A={sin90°，cos180°}，B={x|x2+x=0}，则A∩B为（）A．{0，﹣1} B．{﹣1，1} C．{﹣1}D．{0}【考点】交集及其运算．【分析】根据交集的定义可知，交集即为两集合的公共元素所组成的集合，求出即可．【解答】解：A={sin90°，cos180°}={1，﹣1}，B={x|x2+x=0}={﹣1，0}，则A∩B={﹣1}，故选：C2．“m=2”是“函数f（x）=x m为实数集R上的偶函数”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分又不必要条件【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．【分析】根据充分条件和必要条件的定义进行判断即可．【解答】解：当m=2时，函数f（x）=x2为偶函数，满足条件．当m=4时，函数f（x）=x4为偶函数，但m=2不成立，故“m=2”是“函数f（x）=x m为实数集R上的偶函数”的充分不必要条件，故选：A．3．若a＞b＞0，则不正确的是（）A．ab＞b2B．（）a＜（）bC．log a＞log b D．a2＞b2【考点】命题的真假判断与应用．【分析】根据不等式的基本性质，可判断A，D；根据指数函数的单调性，可判断B；根据对数函数的单调性，可判断C．【解答】解：∵a＞b＞0，∴ab＞b2，故A正确；（）a＜（）b，故B正确；log a＜log b，故C不正确；a2＞b2，故D正确；故选：C．4．若函数f（x）=在区间（﹣∞，﹣1）上单调递减，则实数a的取值范围为（）A．（2，+∞）B．（0，2）C．[0，2）D．[2，+∞）【考点】函数单调性的判断与证明．【分析】利用分离常数法化简函数f（x），根据反比例函数的单调性即可得出实数a的取值范围．【解答】解：函数f（x）===2+，且f（x）在区间（﹣∞，﹣1）上单调递减，所以a﹣2＞0，解得a＞2，所以实数a的取值范围是（2，+∞）．故选：A．5．把函数y=sin（x+）图象上各点的横坐标伸长为原来的2倍（纵坐标不变），再将图象向右平移个单位，那么所得图象的一条对称轴为（）A．x=B．x=C．x=D．x=π【考点】函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．【分析】利用函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，正弦函数的图象的对称性，求得所得图象的一条对称轴方程．【解答】解：把函数y=sin（x+）图象上各点的横坐标伸长为原来的2倍（纵坐标不变），可得y=sin（x+）图象；再将图象向右平移个单位，可得y=sin[（x﹣）+]=sin x的图象．令x=kπ+，求得x=2kπ+π，k∈Z，故所得图象的对称轴方程为x=2kπ+π，k∈Z．结合所给的选项，故选：D．6．在边长为2的菱形ABCD中，∠BAD=120°，则在方向上的投影为（）A．B．C．1 D．2【考点】平面向量数量积的运算．【分析】利用菱形的性质以及平面向量的投影定义，只要求出的模长与两个向量夹角的余弦值即可．【解答】解：因为边长为2的菱形ABCD中，∠BAD=120°，则在方向上的投影为=2×cos60°=1；故选C．7．若等比数列{a n}满足a n a n=64n，则{a n}的公比为（）+1A．±8 B．8 C．±16 D．16【考点】等比数列的通项公式．【分析】设{a n}的公比为q，由题意可得q＞0．可得==64=q2，即可得出．【解答】解：设{a n}的公比为q，由题意可得q＞0．=64n，∵等比数列{a n}满足a n a n+1∴==64=q2，解得q=8．故选：B．8．若直线ax+by﹣1=0（其中a＞0且b＞0）被圆x2+y2﹣4x﹣2y+1=0截得的弦长为16，则+的最小值为（）A．16 B．8 C．4 D．2【考点】直线与圆的位置关系；基本不等式．【分析】由题意直线ax+by﹣1=0（其中a＞0且b＞0）经过圆心（2，1），从而2a+b=1，进而=（）（2a+b），由此能求出+的最小值．【解答】解：∵圆x2+y2﹣4x﹣2y+1=0的圆心为（2，1），半径r==8，∴直线ax+by﹣1=0（其中a＞0且b＞0）经过圆心（2，1），∴2a+b=1，∴=（）（2a+b）=≥+4=8．当且仅当时取等号，∴+的最小值为8．故选：B．9．一个棱锥的三视图如图，则该棱锥的体积是（）A．B．C．4 D．8【考点】由三视图求面积、体积．【分析】由已知中的三视图可得，该几何体是一个以俯视图为底面的三棱锥，分别计算棱锥的底面面积和高，代入锥体体积公式，可得答案．【解答】解：由已知中的三视图可得，该几何体是一个以俯视图为底面的三棱锥，棱锥的底面面积S=×2×2=2，棱锥的高h=2，故棱锥的体积V==，故选：B10．直线ax+y﹣3=0与圆x2+（y﹣1）2=4的位置关系是（）A．相交 B．相切或相交C．相离 D．相切【考点】直线与圆的位置关系．【分析】本题考查直线与圆的位置关系．利用点到直线的距离公式d=与圆半径R 的大小关系来判断直线与圆的位置关系．【解答】解：由圆方程x2+（y﹣1）2=4 知，此圆的圆心坐标为O（0，1），半径R=2；直线L：ax+y﹣3=0由点到直线的距离公式知：圆心到直线L的距离d==∵≥1⇒0＜d≤2 即：0＜d≤R，当d=R 时，直线与圆相切；当0＜d＜R 时，直线与圆相交；故本题答案为：B．11．已知两点F1（﹣1，0），F（1，0），且|F1F2|是|PF1|与|PF2|的等差数列中项，则动点P所形成的轨迹的离心率是（）A．B．2 C．D．【考点】椭圆的简单性质．【分析】根据|F1F2|是|PF1|与|PF2|的等差中项，得到2|F1F2|=|PF1|+|PF2|，即|PF1|+|PF2|=4，得到点P在以F1，F2为焦点的椭圆上，已知a，c的值，即可求出动点P 所形成的轨迹的离心率．【解答】解：∵F1（﹣1，0）、F2（1，0），∴|F1F2|=2，∵|F1F2|是|PF1|与|PF2|的等差中项，∴2|F1F2|=|PF1|+|PF2|，即|PF1|+|PF2|=4，∴点P在以F1，F2为焦点的椭圆上，∵2a=4，∴a=2∵c=1∴e==．故选：C．12．已知函数f（x）为偶函数，且当x≤0时，f（x）=e x﹣，若f（﹣a）+f（a）≤2f（1），则实数a取值范围是（）A．（﹣∞，﹣1]∪[1，+∞）B．[﹣1，0] C．[0，1]D．[﹣1，1]【考点】函数奇偶性的性质．【分析】利用偶函数的性质将不等式等价转化，由基本初等函数和复合函数的单调性，判断出f（x）在（﹣∞，0]上单调性，由偶函数的性质判断出在[0，+∞）上的单调性，由单调性列出不等式，求出a的取值范围．【解答】解：∵函数f（x）是定义在R上的偶函数，∴不等式f（a）+f（﹣a）≤2f（1）等价为2f（a）≤2f（1），即f（a）≤f（1），∴等价为f（|a|）≤f（1），∵当x≤0时，f（x）=e x﹣，∴f（x）在区间（﹣∞，0]上单调递增，∴偶函数f（x）在区间[0，+∞）上单调递减，∴|a|≥1，即a≤﹣1或a≥1，则实数a取值范围是（﹣∞，﹣1]∪[1，+∞），故选：A．二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13．若圆锥的母线长为2cm，底面圆的周长为2πcm，则圆锥的体积为cm3．【考点】旋转体（圆柱、圆锥、圆台）．【分析】求出圆锥的底面半径，求出圆锥的高，即可求圆锥的体积．【解答】解：底面圆的周长为2πcm，所以圆锥的底面半径为：1cm圆锥的母线长为2cm，所以圆锥的高为：cm圆锥的体积为：=cm3．故答案为：14．已知点A（1，1），B（4，2），若直线l：mx﹣y﹣1=0与线段AB相交，则实数m的取值范围为[，2] ．【考点】直线的斜率．【分析】直线l：mx﹣y﹣1=0经过定点P（0，﹣1）．利用斜率计算公式可得：k PA，k PB．由于直线l：mx﹣y﹣1=0与线段AB相交，可得k PA≥m≥k PB．即可得出．【解答】解：直线l：mx﹣y﹣1=0经过定点P（0，﹣1）．k PA==2，k PB==．∵直线l：mx﹣y﹣1=0与线段AB相交，∴k PA≥m≥k PB．∴2≥m≥．∴实数m的取值范围为[，2]，故答案为：[，2]．15．函数f（x）=x3+x2的导函数f′（x），那么数列{}，n∈N*的前n项和是．【考点】数列的求和；导数的运算．【分析】f′（x）=x2+x，可得==，利用“裂项求和”方法即可得出．【解答】解：f′（x）=x2+x，∴==，∴数列{}，n∈N*的前n项和S=++…+=1﹣=．故答案为：．16．设F1、F2分别为双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的左、右焦点，若双曲线的右支上存在一点P，使•=0，且△F1PF2的三边长构成等差数列，则此双曲线的渐近线方程为±2x．【考点】双曲线的简单性质．【分析】由已知可得，PF1＞PF2，PF1⊥PF2，由△F1PF2的三边长构成等差数列，可得2PF1=F1F2+PF2，结合双曲线的定义，PF1=PF2+2a，利用勾股定理可得PF+PF=F1F，代入可求a与c的比值，从而得到的值，得到该双曲线的渐近线方程．【解答】解：由P为双曲线的右支上一点可知，PF1＞PF2，∵•=0，∴PF1⊥PF2，∴F1F2＞PF1＞PF2，由△F1PF2的三边长构成等差数列，可得2PF1=F1F2+PF2=2c+PF2①，又由双曲线的定义可知，PF1﹣PF2=2a即PF1=PF2+2a②，①②联立可得，PF2=2c﹣4a，PF1=2c﹣2a，∵•=0，∴PF+PF=F1F，即（2c﹣4a）2+（2c﹣2a）2=4c2，整理可得，c2﹣6ac+5a2=0，∵c＞a，∴c=5a，可得：a=，b==，∴=2，得该双曲线的渐近线方程为y=±2x．故答案为：y=±2x．三、解答题（本大题共6小题，共70分．解答应写出必要的文字说明，演算步骤或证明过程）17．在△ABC中，角A，B，C所对的边为a，b，c．已知a=2c，且A﹣C=．（1）求sinC的值；（2）当b=1时，求△ABC外接圆的半径．【考点】余弦定理；正弦定理．【分析】（1）由已知利用正弦定理可得sinA=2sinC，利用诱导公式可得sinA=cosC，联立，利用同角三角函数基本关系式即可解得sinC．（2）由（1）结合余弦定理并利用大边对大角可得c＞，解得c的值，利用正弦定理即可得解△ABC外接圆的半径．【解答】（本题满分为10分）解：（1）∵a=2c，∴sinA=2sinC①，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣又∵A﹣C=，∴sinA=sin（C+）=cosC②，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣联立①②，即可求得cosC=；sinC=．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（2）由（1）结合余弦定理可知，c2=a2+b2﹣2abcosC，可得：c2=4c2+1﹣2×2c×1×，解得：c=或c=，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣∵由已知易得A＞，∴a＞b，可得：2c＞1，即：c＞，∴c=，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣∵2R===，∴R=．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣18．设数列{a n}的前n项和为S n，且S n=n2+，n∈N*．（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）设数列b n=2﹣n a n求数列{b n}的前n项和T n．【考点】数列的求和；数列递推式．=n，再验证对n=1也成立，从而可得数列{a n}的通【分析】（Ⅰ）当n≥2时，a n=S n﹣S n﹣1项公式；（Ⅱ）由（Ⅰ）知a n=n，而b n=2﹣n a n=n•（）n，利用错位相减法可求得数列{b n}的前n项和T n．【解答】解：（Ⅰ）n=1时a1=S1=1，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣=n，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣n≥2时，a n=S n﹣S n﹣1此式对n=1也成立，∴a n=n，n∈N*．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（Ⅱ）∵b n=2﹣n a n，∴b n=n•（）n，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣∴T n=1×+2×（）2+3×（）3+…+n•（）n，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣①T n=1×（）2+2×（）3+…+（n﹣1）•（）n+n•（）n+1，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣②（1）﹣（2）得：T n=+（）2+（）3+…+（）n﹣n•（）n+1，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（11）∴T n=2﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣19．如图，PCBM是直角梯形，∠PCB=90°，PM∥BC，PM=1，BC=2，又AC=1，∠ACB=120°，AB⊥PC，直线AM与直线PC所成的角为60°（1）求证：平面PCBM⊥平面ABC；（2）求三棱锥B﹣MAC的体积．【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积；平面与平面垂直的判定．【分析】（1）通过证明PC ⊥平面ABC 得出平面PCBM ⊥平面ABC ；（1）取BC 的中点为O ，连接MO ，则可证OM ⊥平面ABC ，∠AMO=60°，从而求得OM的长，代入棱锥的体积公式V B ﹣CMA =V M ﹣ABC =计算即可．【解答】证明：（1）∵PC ⊥AB ，PC ⊥BC ，AB ∩BC=B ，∴PC ∩平面ABC ，又PC ⊂平面PCBM ，∴平面PCBM ⊥平面ABC ．（2）取BC 的中点为O ，连接MO ．∵PM ∥BC ，又PM=BC ，∴四边形PMOC 为平行四边形，∴PC ∥MO ，∵PC ⊥平面ABC ，∴MO ⊥平面ABC ，∠AMO 为AM 与PC 所成的角．即∠AMO=60°，∵AC=CO=1，∠ACO=120°，∴AO=，∴OM=1，∴V B ﹣CMA =V M ﹣ABC ===．20．某校教务处对本校高三文科学生第一次模拟考试的数学成绩进行分析，用分层抽样方法抽取了20名学生的成绩，分数用茎叶图记录如图所示（部分数据丢失），并绘制如下频率分（2）从成绩优秀（分数在[120，150]范围为优秀）的学生中随机选2名学生得分，求至少取得一名学生得分在[130，150]的概率．【考点】列举法计算基本事件数及事件发生的概率；茎叶图．【分析】（1）由茎叶图可知分数在[50，70）范围内的有3人，在[130，150]范围内的有2人，由此能求出表中a，b的值及分数在[70，80）与[90，100）范围内的学生人数．（2）设事件A表示“从大于等于120分的学生中随机选2名学生得分，至少取得一名学生得分在[130，150]”，由茎叶图可知大于等于120分有5人，利用列举法能求出至少取得一名学生得分在[130，150]的概率．【解答】解：（1）由茎叶图可知分数在[50，70）范围内的有3人，在[130，150]范围内的有2人，∴a==0.15，b=2．又分数在[70，90）范围内的频率为0.2，∴分数在[70，90）范围内的人数为20×0.2=4，∴分数在[70，80）范围内的人数为1，∴分数在[90，100）范围内的学生数为20﹣16=4（人）．（2）设事件A表示“从大于等于120分的学生中随机选2名学生得分，至少取得一名学生得分在[130，150]”，由茎叶图可知大于等于120分有5人，记这5人分数分别为121；124；128；138；144．则选取学生分数的所有可能结果为：；；；；；；；；；，共有10个基本事件，事件A的可能结果为：；；；；；；共7种情况，所以至少取得一名学生得分在[130，150]的概率p=．21．已知函数f（x）=lnx﹣a（x﹣1）（a∈R））．（1）若a=﹣4，求曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程；（2）若x∈（1，+∞），函数f（x）的图象始终在x轴的下方，求实数a的取值范围．【考点】利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究曲线上某点切线方程．【分析】（1）首先求出f（x）在x=1处的切线斜率，利用点斜式写出切线方式；（2）x∈（1，+∞），函数f（x）的图象始终在x轴的下方，利用导数判断函数的单调性，观察x＞1上函数值是否小于0即可．【解答】解：（1）当a=﹣4时，f（x）=lnx+2x﹣2，f'（x）=+2，∴切点为（1，0），斜率k=f'（1）=3．所以，当a=﹣4时，曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程为y=3x﹣3．（2）若x＞1，函数f（x）的图象始终在x轴的下方，即x＞0，f（x）＜0恒成立．∵f（x）=lnx﹣a（x﹣1），∴f'（x）=，①当a≤0时，x＞1，f'（x）＞0∴f（x）在x＞1上单调递增，f（x）＞f（1）=0∴a≤0不合题意．②当a≥2时，有0＜≤1，f'（x）==﹣＜0在x＞1上恒成立，∴f（x）在x＞1上单调递减，有f（x）＜f（1）=0，∴a≥2满足题意．③当0＜a＜2即＞1时，由f'（x）＞0，可得1＜x＜，由f'（x）＜0，可得x＞∴f（x）在（1，）上单调递增，在（，+∞）上单调递减，∴f（）＞f（1）=0∴0＜a＜2不合题意．综上所述，实数a的取值范围是[2，+∞）．22．已知椭圆Γ： +=1（a＞b＞0）过点（，），且离心率为．（Ⅰ）求椭圆Γ方程；（Ⅱ）设直线y=x+m与椭圆Γ交于不同两点A，B，若点P（0，1）满足||=||，求实数m的值．【考点】椭圆的简单性质．【分析】（Ⅰ）把已知点的坐标代入椭圆方程，结合椭圆的离心率和隐含条件求得a，b的值，则椭圆方程可求；（Ⅱ）联立椭圆方程和直线方程，利用根与系数的关系求得AB的中点M的坐标，结合||=||得PM⊥AB，代入斜率公式得答案．【解答】解：（Ⅰ）∵椭圆过点（，），∴，又∵，a2=b2+c2，解得a=2，b=1，故椭圆方程为；（Ⅱ）设A（x1，y1），B（x2，y2），由，得5x2+8mx+4（m2﹣1）=0，由△＞0，得m∈（）．，，故AB的中点M（）．∵||=||，∴PM⊥AB，则，得m=﹣∈（﹣，）．∴实数m=﹣．2016年12月6日。
高三数学上学期10月月考试卷 文(含解析)
2015-2016学年湖南省衡阳四中高三（上）10月月考数学试卷（文科）一、选择题（本题共12道小题，每小题5分，共60分1．设集合A={x|x2﹣1＜0}，B={x|x+2≥0}，则A∩B=（）A．{x|﹣1＜x＜1} B．{x|x≥﹣2} C．{x|﹣2≤x＜1} D．{x|﹣1＜x≤2}2．已知实数x，y满足a x＜a y（0＜a＜1），则下列关系式恒成立的是（）A．x3＞y3B．sinx＞sinyC．ln（x2+1）＞ln（y2+1）D．＞3．函数y=+的定义域为（）A．{x|x≠0} B．（﹣1，1）C．[﹣1，1] D．[﹣1，0）∪（ 0，1]4．设集合M={x|﹣2＜x＜3}，P={x|x≤﹣1}，那么“x∈M或x∈P”是“x∈M∩P”的（）A．．必要不充分条件 B．充分不必要条件C．．充要条件D．．既不充分也不必要条件5．设a=log2π，b=logπ，c=π﹣2，则（）A．a＞b＞c B．b＞a＞c C．a＞c＞b D．c＞b＞a6．为了得到函数y=sin3x+cos3x的图象，可以将函数y=cos3x的图象（）A．向右平移个单位B．向右平移个单位C．向左平移个单位D．向左平移个单位7．函数的单调减区间为（）A．（k∈Z）B．（k∈Z）C．（k∈Z）D．（k∈Z）8．已知函数f（x）=，若f（a）=，则a的值为（）A．﹣2或B．C．﹣2 D．9．已知函数，g（x）=e x，则函数F（x）=f（x）•g（x）的图象大致为（）A．B．C．D．10．已知函数f（x）=，且g（x）=f（x）﹣mx﹣m在（﹣1，1]内有且仅有两个不同的零点，则实数m的取值范围是（）A．（﹣，﹣2]∪（0，] B．（﹣，﹣2]∪（0，] C．（﹣，﹣2]∪（0，] D．（﹣，﹣2]∪（0，]11．已知曲线y=x4+ax2+1在点（﹣1，a+2）处切线的斜率为8，a=（）A．9 B．6 C．﹣9 D．﹣612．若函数y=log a x（a＞0，且a≠1）的图象如图所示，则下列函数正确的是（）A．B．C．D．二、填空题（本题共4道小题，每小题5分，共0分13．（）+log3+log3= ．14．曲线y=﹣5e x+3在点（0，﹣2）处的切线方程为．15．函数y=sin2x+cos2x的最小正周期为．16．函数f（x）=的零点个数是．三、解答题17．已知函数f（x）=2cosx（sinx+cosx）．（Ⅰ）求f（）的值；（Ⅱ）求函数f（x）的最小正周期及单调递增区间．18．在△ABC中，内角A、B、C的对边分别是a、b、c，且a2=b2+c2+bc．（Ⅰ）求A；（Ⅱ）设a=，S为△ABC的面积，求S+3cosBcosC的最大值，并指出此时B的值．19．设定义在（0，+∞）上的函数f（x）=ax++b（a＞0）（Ⅰ）求f（x）的最小值；（Ⅱ）若曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程为y=，求a，b的值．20．已知函数f（x）=x3﹣2tx2﹣x+1（t∈R）且f′（1）=0．（Ⅰ）求函数f（x）的解析式；（Ⅱ）求函数f（x）的极值．21．已知函数f（x）=2x3﹣3x．（Ⅰ）求f（x）在区间[﹣2，1]上的最大值；（Ⅱ）若过点P（1，t）存在3条直线与曲线y=f（x）相切，求t的取值范围；（Ⅲ）问过点A（﹣1，2），B（2，10），C（0，2）分别存在几条直线与曲线y=f（x）相切？（只需写出结论）22．已知函数f（x）=+﹣lnx﹣，其中a∈R，且曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线垂直于直线y=x．（Ⅰ）求a的值；（Ⅱ）求函数f（x）的单调区间与极值．2015-2016学年湖南省衡阳四中高三（上）10月月考数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题（本题共12道小题，每小题5分，共60分1．设集合A={x|x2﹣1＜0}，B={x|x+2≥0}，则A∩B=（）A．{x|﹣1＜x＜1} B．{x|x≥﹣2} C．{x|﹣2≤x＜1} D．{x|﹣1＜x≤2}【考点】交集及其运算．【专题】集合．【分析】分别求出A与B中不等式的解集确定出A与B，找出A与B的交集即可．【解答】解：由A中不等式变形得：（x+1）（x﹣1）＜0，解得：﹣1＜x＜1，即A={x|﹣1＜x＜1}，由B中不等式解得：x≥﹣2，即B={x|x≥﹣2}，则A∩B={x|﹣1＜x＜1}，故选：A．【点评】此题考查了交集及其运算，熟练掌握交集的定义是解本题的关键．2．已知实数x，y满足a x＜a y（0＜a＜1），则下列关系式恒成立的是（）A．x3＞y3B．sinx＞sinyC．ln（x2+1）＞ln（y2+1）D．＞【考点】指数函数的图像与性质．【专题】函数的性质及应用．【分析】本题主要考查不等式的大小比较，利用函数的单调性的性质是解决本题的关键．【解答】解：∵实数x，y满足a x＜a y（0＜a＜1），∴x＞y，A．当x＞y时，x3＞y3，恒成立，B．当x=π，y=时，满足x＞y，但sinx＞siny不成立．C．若ln（x2+1）＞ln（y2+1），则等价为x2＞y2成立，当x=1，y=﹣1时，满足x＞y，但x2＞y2不成立．D．若＞，则等价为x2+1＜y2+1，即x2＜y2，当x=1，y=﹣1时，满足x＞y，但x2＜y2不成立．故选：A．【点评】本题主要考查函数值的大小比较，利用不等式的性质以及函数的单调性是解决本题的关键．3．函数y=+的定义域为（）A．{x|x≠0} B．（﹣1，1）C．[﹣1，1] D．[﹣1，0）∪（ 0，1]【考点】函数的定义域及其求法．【专题】计算题；函数思想；函数的性质及应用；不等式的解法及应用．。
湖南省衡阳市高三数学第一次联考(一模)试题 文(扫描版
湖南省衡阳市2016届高三数学第一次联考（一模）试题文（扫描版）2016届高中毕业班联考试卷（一）文科数学参考答案1.C 解：}0|{>=x x B Θ，}2,1{=⋂∴B A ，故选C.2.A 解：1,2-==b a Θ，i i bi a 43)2()(22-=-=+∴，故选A.3.B 解：命题p 与q 都正确，由复合命题的真值性可知，命题q p ∨是真命题，故选B.4.A 解：28=甲m Θ，36=乙m ，9256=甲x ，9323=乙x 乙甲m m <∴，乙甲x x <，故选A.5.C 解：03)2(=-+a a Θ，1=∴a 或3-，故选C.6.B 解：b a b f a f ≤⇔≥)()(Θ，212==∴ππP ，故选B.7.B 解：MN 垂直y 轴，||MN 取得最小值2，此时点)1,0(N ，故选B.8.D 解：原几何体是正方体缺少了一个角，所以表面积为239+，故选D. 9.C 解：→CM Θ在→CB 上的投影为1，3=⋅∴→→CB CM ，故选C.10.D 解：54cos )42sin()4(-==+⨯=ϕϕππf Θ，故选D.11.D 解：⎩⎨⎧==-==-322||||164||||2122221a PF PF c PF PF Θ338||||21=+⇒PF PF Q PF 1∆∴的周长为3316|)||(|221=+PF PF ，故选D. 12.A 解：由方程0)]([=x g f 可知1,0,1)(-=x g ，此时x 有7个实根，即7=m ；由方程0)]([=x f g 可知7=n ，所以14=+n m ，故选A.13.②③ 解：根据抽样是间隔相同，且样本间无明显差异，故①应是系统抽样，即①为假命 题；两个随机变量相关性越强，则相关系数的绝对值越接近于1；两个随机变量相关性越弱，则相关系数的绝对值越接近于0；故②为真命题；在回归直线方程124.0ˆ+=x y中， 当解释变量x 每增加一个单位时，预报变量平均增加0.4个单位，故③为真命题；对分类 变量X 与Y 的随机变量2K 的观测值k 来说，k 越小，“X 与Y 有关系”的把握程度越小， 故④为假命题；故真命题为②③.14.36 解：s=0，i=1，n=1；s=1，i=2，n=3；s=4，i=3，n=5；s=9，i=4，n=7；s=16，i=5，n=9；s=25，i=6，n=11，s=36，终止循环，故填36. 15.7 解：D D cos 53253)cos(582582222⨯⨯⨯-+=-⨯⨯⨯-+πΘ21-cos =⇒D 749==∴AC ，故答案为7.16.222- 解：0)2(2≥-+-+b c x a b ax Θ在R 上恒成立0>⇔a 且0≤∆2244a ac b -≤⇔1)()1(4442222222+-=+-≤+∴ac a c ca a ac c ab ，令1-=ac t ，)0(>t 2222242222-≤++=+∴t t t c a b ，故222c a b +最大值为222-. 17.解：⑴120)0250.00060.00030.00021.00014.0(=⨯+++++a Θ0125.0=∴a …………5分⑵新生上学所需时间不少于1小时的频率为：13.020)0014.00021.00030.0(=⨯++ …………9分 该校1600名新生中可申请在校内住宿的人数估计为20813.01600=⨯ …12分18.解：⑴22-=n n a S Θ1=∴n 时，2211-=a S 21=⇒a ……… 1分2≥n 时，1122---=-=n n n n n a a S S a 21=⇒-n n a a.所以数列}{n a 是以21=a 为首项，公比为2的等比数列 .……… 4分n n a 2=∴（N n *∈） .……… 6分⑵2)1(321log log log 22212+=++++=++=n n n a a a b n n ΛΛΘ…… 8分 nk b n n ≥-∴)8(对*N n ∈∀恒成立，即k n n ≥+-2)1)(8(对*N n ∈∀恒成立设)1)(8(21+-=n n c n ，则当3=n 或4时，n c 取得最小值为10- 10-≤∴k . …… 12分19.解：⑴∵AD ∥BC ，AD ⊂平面ADEF ，BC ⊄平面ADEF∴ BC ∥平面ADEF . …………………2分又BC ⊂平面BCEF ，平面BCEF I 平面ADEF EF =∴BC ∥EF ． …………4分⑵在平面ABCD 内作BH AD ⊥于点H ∵DE ⊥平面ABCD ，BH ⊂平面ABCD∴DE BH ⊥. …………5分 ∵AD ⊂平面ADEF ，DE ⊂平面ADEF ，AD DE D =I∴BH ⊥平面ADEF . ………6分 ∴BH 是三棱锥B DEF -的高 ………7分 在Rt△ABH 中，o 60BAD ∠=，2AB =，故3BH = …………8分 ∵ DE ⊥平面ABCD ，AD ⊂平面ABCD∴ DE AD ⊥. ……………9分 由⑴知，BC ∥EF ，且AD ∥BC∴ AD ∥EF ，∴ DE EF ⊥. ……………10分∴三棱锥B DEF -的体积63311213131=⨯⨯⨯⨯=⨯⨯=∆BH S V DEF …12分20.解：⑴3=c Θ，32e =，∴2a =，2221b a c =-=则椭圆C 的方程为2214x y += ……………4分 ⑵由于121214y y x x ⨯=-，则12124x x y y =-，1222212216x x y y = …………6分而221114x y +=，222214x y +=，则221114x y -=，222214x y -= ∴22221212(1)(1)44x x y y --=，则22221212(4)(4)16x x y y --= …………9分 22221212(4)(4)x x x x --=，展开得22124x x +=为一定值. …………12分21.解：⑴()f x 的定义域为(0,)+∞，(1)(1)()(0).ax x f x a x --'=->………1分①当(0,1)a ∈时，11a>.由()0f x '<，得1x a >或1x <.∴当(0,1)x ∈，1(,)x a∈+∞时，()f x 单调递减.∴()f x 的单调递减区间为(0,1),1(,)a+∞. …………2分 ②当1a =时，恒有()0f x '≤，∴()f x 的单调递减区间为(0,)+∞ …………3分 ③当(1,)a ∈+∞时，11a<.由()0f x '<，得1x >或1x a <. ∴当1(0,)x a∈，(1,)x ∈+∞时，()f x 单调递减.∴()f x 的单调递减区间为1(0,)a,(1,)+∞ .…………4分 综上，当(0,1)a ∈时，()f x 的单调递减区间为(0,1),1(,)a+∞；当1a =时，()f x 的单调递减区间为(0,)+∞；当(1,)a ∈+∞时，()f x 的单调递减区间为1(0,)a,(1,)+∞. ………5分⑵2()ln (2)2g x x x x k x =--++在1[,)2x ∈+∞上有零点即关于x 的方程2ln 22x x x k x -+=+在1[,)2x ∈+∞上有两个不相等的实数根.令函数2ln 21(),[,)22x x x h x x x -+=∈+∞+. ……6分 则2232ln 4()(2)x x x h x x +--'=+. 令函数21()32ln 4,[,)2p x x x x x =+--∈+∞.则(21)(2)()x x p x x -+'=在1[,)2+∞上有()0p x '≥.故()p x 在1[,)2+∞上单调递增.(1)0p =Q ……8分∴当1[,1)2x ∈时，有()0p x <即()0h x '<.∴()h x 单调递减；当(1,)x ∈+∞时，有()0p x >即()0h x '>，∴()h x 单调递增. ……10分19ln 2()2105h =+Q ，(1)1,h =10210ln 21021023(10)12123h --=>=>1()2h ∴k 的取值范围为9ln 2(1,].105+…………12分 22.证明：⑴因为PD PG =，所以PGD PDG ∠=∠由于PD 为切线，故DBA PDA ∠=∠ ………2分 又因为PGD EGA ∠=∠，所以DBA EGA ∠=∠ 所以DBA BAD EGA BAD ∠+∠=∠+∠从而BDA PFA ∠=∠ ………4分又,EP AF ⊥所以ο90=∠PFA ，所以ο90=∠BDA故AB 为圆的直径 ………5分 ⑵连接.BC DC ，由于AB 是直径，故90BDA ACB ∠∠︒＝＝ 在Rt BDA Rt ACB V V 与中，AB BA AC BD ＝，＝ 从而得Rt BDA Rt ACB V V ≌，于是DAB CBA ∠∠＝. …………7分 又因为DCB DAB ∠∠＝，所以DCB CBA ∠∠＝，故DC AB P . ……8分因为AB EP ⊥，所以DC EP DCE ⊥∠，为直角 …………………9分 所以ED 为直径，又由(1)知AB 为圆的直径所以5==AB DE ………10分23.解：⑴将⎩⎨⎧+=+=ty t x sin 55cos 54消去参数t ，化为普通方程25)5()4(22=-+-y x即1C ：01610822=+--+y x y x ………2分将⎩⎨⎧==θρθρsin cos y x 代入01610822=+--+y x y x 得 016sin 10cos 82=+--θρθρρ ………5分 ⑵2C 的普通方程为0222=-+y y x由⎪⎩⎪⎨⎧=-+=+--+020161082222y y x y x y x ，解得⎩⎨⎧==11y x 或⎩⎨⎧==20y x ………8分所以1C 与2C 交点的极坐标分别为)4,2(π，)2,2(π………10分24.解：⑴当3a =时，27,3,()41,34,27, 4.x x f x x x x x -+≤⎧⎪+-=⎨⎪-≥⎩＜＜当3x ≤时，由()44f x x ≥--得，274x -+≥，解得32x ≤； 当34x <<时，()44f x x ≥--，无解；当4x ≥时，()44f x x ≥--得，274x -≥，解得112x ≥． ∴()44f x x ≥--的解集为{31122x x x ⎫≤≥⎬⎭或． …………5分 ⑵记()(2)2()h x f x a f x =+-，则2,0,()42,0,2,.a x h x x a x a a x a -≤⎧⎪=-<<⎨⎪≥⎩所以12422aS a a =⨯⨯>+，解得4a >. …………10分。
湖南省衡阳县第一中学高三数学元月月考试题 文
本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共150分，考试时间120分钟{2x x A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分又不必1122⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭1122log log b 21x ax +=+在区间A ．(2,,)+∞ B ．(0,2) C ．[0,2) D ．[)2,+∞ 5．把函数sin()6y x =+图象上各点的横坐标伸长为原来的2倍（纵坐标不变），再将图象向右平移3π个单位，那么所得图象的一条对称轴为（ ）A ．4x π=B ．2x π=C ．6x π=D ．x π=6．在边长为2的菱形ABCD 中，ο120=∠BAD ，则AB u u u r 在AC u u ur 方向上的投影为 （ ）A ．1B ．1C ．1D ．27．若等比数列{}n a 满足164n n a a +=，则{}n a 的公比为( )正视图 侧视图 俯视图 A ．43 B ．83C ．4D ．8 10．直线30ax y +-=与圆()2214x y +-=的位置关系是（ ） A ．相交 B ．相切或相交 C ．相离 D ．相切11．已知两点)0,1(1-F 、)0,1(F ，且21F F 是1PF 与2PF 的等差中项，则动点P 所形成的轨迹的离心率是（ ）。
A ．74 B ．2 C ．12D ．22 12．已知函数()f x 为偶函数，且当0x ≤时，1()1x f x e x =--，若()()2(1)f a f a f -+≤，则实数a 取值范围是（ ）A ．(,1][1,)-∞-⋃+∞B ．[1,0]-C ．[0,1]D ．[1,1]-第Ⅱ卷（非选择题共90分） 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13．若圆锥的母线长为2，底面圆的周长为2π，则圆锥的体积为________．14．已知点)1,1(A ,(4,2)B ，若直线l ：01=--y mx 与线段AB 相交，则实数m 的取值范围为 .15．函数3211()32f x x x =+的导函数()f x '，那么数列*'1{},()n N f n ∈的前n 项和是____________.16．设F 1、F 2分别为双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的左、右焦点，若双曲线的右支上存在一点P ，使12120,PF PF F PF ⋅= ∆u u u r u u u u r且的三边长构成等差数列，则此双曲线的渐近线方程为 ．三、解答题（本大题共6小题，共70分．解答应写出必要的文字说明，演算步骤或证明过程） 17．（本题满分10分）在ABC ∆中，角,,A B C 所对的边为,,a b c ．已知2a c =，且2A C π-=．（1）求sin C 的值；（2）当1b =时，求ABC ∆外接圆的半径．18．（本题满分12分）设数列{}n a 的前n项和为n S ，且2*11,22n S n n n N =+∈。
湖南省衡阳市衡阳县高三数学4月模拟试卷 文(含解析)
2016年湖南省衡阳市衡阳县高考数学模拟试卷（文科）（4月份）一、选择题（本大题共12小题，毎小题5分，共60分•在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．若集合A={x|2x＜5}，集合B={﹣1，0，1，3}，则A∩B等于（）A．{0，1} B．{﹣1，0，1} C．{0，1，3} D．{﹣1，0，1，3}2．若复数z=+a的实部为2，则复数z的虚部是（）A．﹣i B．﹣3 C．1 D．23．某学校采用系统抽样方法，从该校髙一年级全体800名学生中抽50名学生做视力检査．现将800名学生从1到800进行编号．已知从33〜48这16个数中抽到的数是39，则在第1小组 1〜16中随机抽到的数是（）A．5 B．7 C．11 D．134．已知，则cosx等于（）A．B．C．D．5．我国古代数学著作《九章算术》有如下问题：“今有金箠，长五尺，斩本一尺，重四斤．斩末一尺，重二斤．问次一尺各重几何？”意思是：“现有一根金杖，一头粗，一头细．在粗的一端截下1尺，重4斤；在细的一端截下1尺，重2斤；问依次每一尺各重多少斤？”根据上题的已知条件，若金杖由粗到细是均匀变化的，问中间3尺的重量为（）A．6斤B．9斤C．9.5斤D．12斤6．已知函数f（x）=，则“x2﹣x﹣2＞0”是“f（x）＞3”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件7．已知双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的右焦点为F，直线x=a与双曲线的渐近线在第一象限的交点为A，且直线AF与双曲线的一条渐近线关于直线y=b对称，则双曲线的离心率为（）A．B．3 C．2 D．8．如图是一个程序框图，若输出i的值为5，则实数m的值可以是（）A．3 B．4 C．5 D．69．如图是一个几何体的三视图，在该几何体的各个面中．面积最小的面的面积为（）A．4 B．4 C．4 D．810．已知函数f（x）=2sin（2x+φ）（|φ|＜）在区间（﹣，]上单调且最大值不大于，则φ的取值范围是（）A．[0，] B．[，] C．（，0] D．[，0]11．已知四棱锥P﹣ABCD的顶点都在半径为R的球面上，底面ABCD是正方形，且底面ABCD 经过球心O，E是AB的中点，PE⊥底面ABCD，则该四棱锥P﹣ABCD的体积等于（）A． R3B． R3C． R3D． R312．已知函数f（x）是奇函数，当x＜0，f（x）=﹣x2+x，若不等式f（x）﹣x≤2log a x（a＞0且a≠1）对∀x∈（0，]恒成立，则实数a的取值范围是（）A．（0，] B．[，1） C．（0，] D．[，]∪（1，+∞）二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分•将答案填在答题卡中的横线上13．如果实数x，y满足条件，则z=x﹣2y的最小值为．14．各项均为正数的等比数列{a n}的前n项和为S n，若a3=2，S4=5S2，则S4= ．15．已知函数f（x）=x3﹣（1+）x2+2bx在区间（﹣3，1）上是减函数，则实数b的取值范围是．16．已知焦点F为抛物线y2=2px（p＞0）上有一点，以A为圆心，AF为半径的圆被y轴截得的弦长为，则m= ．三、解答题（本大题共5小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步驟)17．设△ABC内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且．（1）若，求△ABC的面积；（2）若，，且c＞b，BC边的中点为D，求AD的长．18．为了解某天甲乙两厂的产品质量，采用分层抽样的方法从甲乙两厂生产的产品中分别抽取14件和15件，测量产品中的微量元素x，y的含量（单位：毫克）．当产品中的微量元素x，y满足x≥175且y≥75时，该产品为优等品．已知甲厂该天生产的产品共有98件，如（2）用上述样本数据估计乙厂该天生产的优等品的数量；（3）从乙厂抽出的上述5件产品中，随机抽取2件，求抽取的2件产品中优等品至少有1件的概率．19．如图所示，在直角梯形ABCD中，AB∥CD，∠BCD=90°，BC=CD=2，AF=BF，EC∥FD，FD ⊥底面ABCD，M是AB的中点．（1）求证：平面CFM⊥平面BDF；（2）点N在CE上，EC=2，FD=3，当CN为何值时，MN∥平面BEF．20．已知椭圆的左、右焦点分别为F1，F2，椭圆C过点，且△MF1F2为正三角形．（1）求椭圆C的方程；（2）垂直于x轴的直线与椭圆C交于A、B两点，过点P（4，0）的直线PB交椭圆C于另一点E，证明：直线AE与x轴相交于定点．21．设函数f（x）=clnx+x2+bx（b，c∈R，c≠0）且x=1为f（x）的极值点．（1）若在曲线以g（c）=f（x）﹣x2上点（1，g（1））处的切线过点（2，0），求b，c的值；（2）若f（x）=0恰有两解，求实数c的取值范围．[选修4-1：几何证明选讲]22．如图，已知PA是⊙O的切线，A是切点，直线PO交⊙O于B、C两点，D是OC的中点，连结AD并延长交⊙O于点E，若PA=2，∠APB=30°．（1）求∠ABO的大小；（2）求AD的长．[选修4_4：坐标系与参数方程]23．选修4﹣4：坐标系与参数方程在平面直角坐标系x0y中，动点A的坐标为（2﹣3sinα，3cosα﹣2），其中α∈R．在极坐标系（以原点O为极点，以x轴非负半轴为极轴）中，直线C的方程为ρcos（θ﹣）=a．（Ⅰ）判断动点A的轨迹的形状；（Ⅱ）若直线C与动点A的轨迹有且仅有一个公共点，求实数a的值．[选修4_5：不等式选讲]24．设函数f（x）=|x+2|+|x﹣2|，x∈R，不等式f（x）≤6的解集为M．（1）求M；（2）当a，b∈M时，证明：3|a+b|≤|ab+9|．2016年湖南省衡阳市衡阳县高考数学模拟试卷（文科）（4月份）参考答案与试题解析一、选择题（本大题共12小题，毎小题5分，共60分•在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．若集合A={x|2x＜5}，集合B={﹣1，0，1，3}，则A∩B等于（）A．{0，1} B．{﹣1，0，1} C．{0，1，3} D．{﹣1，0，1，3}【考点】交集及其运算．【分析】先求出关于集合A的不等式，再求出其和B的交集即可．【解答】解：集合A={x|2x＜5}={x|x＜}，集合B={﹣1，0，1，3}，则A∩B={﹣1，0，1}，故选：B．2．若复数z=+a的实部为2，则复数z的虚部是（）A．﹣i B．﹣3 C．1 D．2【考点】复数代数形式的混合运算．【分析】由条件利用两个复数代数形式的运算法则求得a的值，再利用复数的基本概念求得它的虚部．【解答】解：∵复数z=+a=a+3﹣ai的实部为2，∴a+3=2，∴a=﹣1，∴复数z的虚部是﹣a=1，故选：C．3．某学校采用系统抽样方法，从该校髙一年级全体800名学生中抽50名学生做视力检査．现将800名学生从1到800进行编号．已知从33〜48这16个数中抽到的数是39，则在第1小组 1〜16中随机抽到的数是（）A．5 B．7 C．11 D．13【考点】系统抽样方法．【分析】根据系统抽样的定义求出样本间隔，进行求解即可．【解答】解：从该校髙一年级全体800名学生中抽50名学生，则样本间隔为800÷50=16，则33〜48这16个数中抽到的数是39，则在第1小组 1〜16中随机抽到的数39﹣32=7，故选：B．4．已知，则cosx等于（）A．B．C．D．【考点】两角和与差的余弦函数．【分析】由已知利用两角和的正弦函数公式，诱导公式即可化简求值．【解答】解：∵，∴sin（x﹣+）=sin（x﹣）=﹣cosx=，∴cosx=﹣．故选：B．5．我国古代数学著作《九章算术》有如下问题：“今有金箠，长五尺，斩本一尺，重四斤．斩末一尺，重二斤．问次一尺各重几何？”意思是：“现有一根金杖，一头粗，一头细．在粗的一端截下1尺，重4斤；在细的一端截下1尺，重2斤；问依次每一尺各重多少斤？”根据上题的已知条件，若金杖由粗到细是均匀变化的，问中间3尺的重量为（）A．6斤B．9斤C．9.5斤D．12斤【考点】等差数列的通项公式．【分析】此问题是一个等差数列{a n}，设首项为2，则a5=4，可得中间3尺的重量为3a3=×3．【解答】解：此问题是一个等差数列{a n}，设首项为2，则a5=4，∴中间3尺的重量为3a3=×3==9斤．故选：B．6．已知函数f（x）=，则“x2﹣x﹣2＞0”是“f（x）＞3”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．【分析】由x2﹣x﹣2＞0，解得x＞2或x＜﹣1．由f（x）＞3，对x分类讨论，分别解出，即可判断出结论．【解答】解：由x2﹣x﹣2＞0，解得x＞2或x＜﹣1．由f（x）＞3，x≥0时， +1＞3，解得x＞4；同理可得x＜0时，x＜﹣1．∴x＞4或x＜﹣1．∴“x2﹣x﹣2＞0”是“f（x）＞3”的必要不充分条件．故选：B．7．已知双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的右焦点为F，直线x=a与双曲线的渐近线在第一象限的交点为A，且直线AF与双曲线的一条渐近线关于直线y=b对称，则双曲线的离心率为（）A．B．3 C．2 D．【考点】双曲线的简单性质．【分析】由题意可得F（c，0），求出双曲线的一条渐近线方程，解得A（a，b），求得直线AF的斜率，由对称思想可得直线AF的斜率和渐近线的斜率互为相反数．再由离心率公式计算即可得到所求值．【解答】解：由题意可得F（c，0），双曲线﹣=1的一条渐近线方程为y=x，令x=a，可得A（a，b），可得直线AF的方程为y=（x﹣c），由于直线y=b经过A，且斜率为0，由对称性可得直线AF的斜率和渐近线的斜率互为相反数．即有=﹣，即为a=c﹣a，可得c=2a，离心率e==2．故选：C．8．如图是一个程序框图，若输出i的值为5，则实数m的值可以是（）A．3 B．4 C．5 D．6【考点】程序框图．【分析】模拟执行程序，依次写出每次循环得到的S，i的值，当S=23，i=5时满足条件23＞5m，退出循环，输出i的值为5，由此可得m＜，结合选项即可得解实数m的值．【解答】解：模拟执行程序，可得S=1，i=1，执行循环体后，S=2，i=2不满足条件2＞2m，再次执行循环体后，S=6，i=3不满足条件6＞3m，再次执行循环体后，S=13，i=4不满足条件13＞4m，再次执行循环体后，S=23，i=5由题意，此时满足条件23＞5m，退出循环，输出i的值为5，则m＜，实数m的值可以是4．故选：B．9．如图是一个几何体的三视图，在该几何体的各个面中．面积最小的面的面积为（）A．4 B．4 C．4 D．8【考点】由三视图求面积、体积．【分析】作出直观图，根据三视图数据计算各个表面的面积比较得出．【解答】解：根据三视图作出物体的直观图如图所示：显然S△PCD＞S△ABC．由三视图特征可知PA⊥平面ABC，DB⊥平面ABC，AB⊥AC，PA=AB=AC=4，DB=2，∴BC=4，∴S△ABC==8，S△PAC==8，S△BCD==4．S梯形==12．PABD∴△BCD的面积最小．故选B．10．已知函数f（x）=2sin（2x+φ）（|φ|＜）在区间（﹣，]上单调且最大值不大于，则φ的取值范围是（）A．[0，] B．[，] C．（，0] D．[，0]【考点】正弦函数的图象．【分析】由条件利用正弦函数的单调性和最值，求得φ的取值范围．【解答】解：函数f（x）=2sin（2x+φ）（|φ|＜）在区间（﹣，]上单调，且最大值不大大于，∴2•+φ≤且2•（﹣）+φ≥﹣，求得﹣≤φ≤0，故选：D．11．已知四棱锥P﹣ABCD的顶点都在半径为R的球面上，底面ABCD是正方形，且底面ABCD 经过球心O，E是AB的中点，PE⊥底面ABCD，则该四棱锥P﹣ABCD的体积等于（）A． R3B． R3C． R3D． R3【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积．【分析】求出PE，S ABCD，即可求出四棱锥P﹣ABCD的体积．【解答】解：连接OP、OE，则OP=R，OE=R∴PE==R∵S ABCD=2R2∴V P﹣ABCD==故选：D．12．已知函数f（x）是奇函数，当x＜0，f（x）=﹣x2+x，若不等式f（x）﹣x≤2log a x（a＞0且a≠1）对∀x∈（0，]恒成立，则实数a的取值范围是（）A．（0，] B．[，1） C．（0，] D．[，]∪（1，+∞）【考点】函数恒成立问题；函数奇偶性的性质．【分析】先求出f（x）在x＞0的解析式，不等式f（x）﹣x≤2log a x（a＞0，a≠1）对∀x∈（0，]恒成立，转化为log a≤log a，分类讨论即可．【解答】解：函数f（x）是奇函数，当x＜0，f（x）=﹣x2+x∴f（﹣x）=﹣f（x），设x＞0，则﹣x＜0，∴f（﹣x）=﹣x2﹣x，∴f（x）=x2+x，∵不等式f（x）﹣x≤2log a x（a＞0，a≠1）对∀x∈（0，]恒成立，∴x2+x﹣x≤2log a x（a＞0，a≠1）对∀x∈（0，]恒成立，∴x2≤log a x2，∴（）2≤log a（）2，∴log a=≤log a，当a＞1时，≤，解得a≤，此时无解，当0＜a＜1时，≥，解得a≥，此时≤a＜1，综上所述a的取值范围为[，1）．故选：B．二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分•将答案填在答题卡中的横线上13．如果实数x，y满足条件，则z=x﹣2y的最小值为﹣3 ．【考点】简单线性规划．【分析】作出不等式组对应的平面区域，利用目标函数的几何意义，进行求解即可．【解答】解：由z=x﹣2y得y=，作出不等式组对应的平面区域如图（阴影部分ABC）：平移直线y=，由图象可知当直线y=，过点A时，直线y=的截距最大，此时z最小，由，解得，即A（1，2）．代入目标函数z=x﹣2y，得z=1﹣2×2=﹣3．∴目标函数z=x﹣2y的最小值是﹣3．故答案为：﹣314．各项均为正数的等比数列{a n}的前n项和为S n，若a3=2，S4=5S2，则S4= ．【考点】等比数列的前n项和．【分析】由题意可得首项和公比的方程组，解方程组可得首项和第二项可得S2，代入已知式子计算可得．【解答】解：由题意可得公比q≠1，由a3=2，S4=5S2可得a1q2=2，S4==5S2=，联立解得q=2或q=﹣2（舍去），∴a1=，a2=1，∴S4=5S2=5（+1）=，故答案为：．15．已知函数f（x）=x3﹣（1+）x2+2bx在区间（﹣3，1）上是减函数，则实数b的取值范围是（﹣∞，﹣3] ．【考点】利用导数研究函数的单调性；利用导数求闭区间上函数的最值．【分析】求函数的导数，利用函数单调性和导数之间的关系进行转化求解即可．【解答】解：函数的导数f′（x）=x2﹣（2+b）x+2b，∵函数f（x）=x3﹣（1+）x2+2bx在区间（﹣3，1）上是减函数，∴f′（x）=x2﹣（2+b）x+2b≤0，恒成立，即（x﹣b）（x﹣2）≤0恒成立，∵﹣3＜x＜1，∴b≤﹣3，故答案为：（﹣∞，﹣3]16．已知焦点F为抛物线y2=2px（p＞0）上有一点，以A为圆心，AF为半径的圆被y轴截得的弦长为，则m= 2 ．【考点】抛物线的简单性质．【分析】由抛物线定义可得：|AF|=m+．根据以A为圆心，AF为半径的圆被y轴截得的弦长为，可得=．又，联立解出即可得出．【解答】解：由抛物线定义可得：|AF|=m+，∵以A为圆心，AF为半径的圆被y轴截得的弦长为，∴=．又，联立解得p=2，m=2．故答案为：2．三、解答题（本大题共5小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步驟)17．设△ABC内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且．（1）若，求△ABC的面积；（2）若，，且c＞b，BC边的中点为D，求AD的长．【考点】正弦定理．【分析】（1）由题意和正弦定理以及同角三角函数基本关系可得tanB，可得B值，再由正弦定理整体可得ac的值，代入三角形的面积公式计算可得；（2）由余弦定理可得c值，在△ABD中由余弦定理可得．【解答】解：（1）∵在△ABC中，∴由正弦定理可得sinCcosB=sinBsinC，约掉sinC可得cosB=sinB，∴tanB==，B=，又∵，∴a2c=4a，∴ac=4，∴△ABC的面积S=acsinB=；（2）∵，，∴由余弦定理可得7=12+c2﹣2×2×c，解关于c的方程可得c=5，或c=1（不满足c＞b，舍去）∵BC边的中点为D，∴在△ABD中由余弦定理可得：AD2=（）2+52﹣2××5×=13，开方可得AD的长为．18．为了解某天甲乙两厂的产品质量，采用分层抽样的方法从甲乙两厂生产的产品中分别抽取14件和15件，测量产品中的微量元素x，y的含量（单位：毫克）．当产品中的微量元素x，y满足x≥175且y≥75时，该产品为优等品．已知甲厂该天生产的产品共有98件，如（2）用上述样本数据估计乙厂该天生产的优等品的数量；（3）从乙厂抽出的上述5件产品中，随机抽取2件，求抽取的2件产品中优等品至少有1件的概率．【考点】列举法计算基本事件数及事件发生的概率．【分析】（1）利用频率=，能求出乙厂该天生产的产品总数．（2）由频率=，能求出样品中优等品的概率和乙厂该天生产的优等品的数量．（3）从乙厂抽出的上述5件产品中，随机抽取2件，求出基本事件总数，乙厂的5件产品中优等品有两件，由此利用对立事件概率计算公式能求出抽取的2件产品中优等品至少有1件的概率．【解答】解：（1）乙厂该天生产的产品总数为：5÷=35．（2）样品中优等品的概率为，乙厂该天生产的优等品的数量为35×=14．（3）从乙厂抽出的上述5件产品中，随机抽取2件，基本事件总数n=，∵当产品中的微量元素x，y满足x≥175且y≥75时，该产品为优等品，∴乙厂的5件产品中优等品有两件，∴抽取的2件产品中优等品至少有1件的概率：p=1﹣=．19．如图所示，在直角梯形ABCD中，AB∥CD，∠BCD=90°，BC=CD=2，AF=BF，EC∥FD，FD ⊥底面ABCD，M是AB的中点．（1）求证：平面CFM⊥平面BDF；（2）点N在CE上，EC=2，FD=3，当CN为何值时，MN∥平面BEF．【考点】直线与平面平行的判定；平面与平面垂直的判定．【分析】（1）推导出四边形BCDM是正方形，从而BD⊥CM，又DF⊥CM，由此能证明CM⊥平面BDF．（2）过N作NO∥EF，交EF于O，连结MO，则四边形EFON是平行四边形，连结OE，则四边形BMON是平行四边形，由此能推导出N是CE的中点时，MN∥平面BEF．【解答】证明：（1）∵FD⊥底面ABCD，∴FD⊥AD，FD⊥BD，∵AF=BF，∴△ADF≌△BDF，∴AD=BD，连接DM，则DM⊥AB，∵AB∥CD，∠BCD=90°，∴四边形BCDM是正方形，∴BD⊥CM，∵DF⊥CM，∴CM⊥平面BDF．解：（2）当CN=1，即N是CE的中点时，MN∥平面BEF．证明如下：过N作NO∥EF，交EF于O，连结MO，∵EC∥FD，∴四边形EFON是平行四边形，∵EC=2，FD=3，∴OF=1，∴OD=2，连结OE，则OE∥DC∥MB，且OE=DC=MB，∴四边形BMON是平行四边形，则OM∥BE，又OM∩ON=O，∴平面OMN∥平面BEF，∵MN⊂平面OMN，∴MN∥平面BEF．20．已知椭圆的左、右焦点分别为F1，F2，椭圆C过点，且△MF1F2为正三角形．（1）求椭圆C的方程；（2）垂直于x轴的直线与椭圆C交于A、B两点，过点P（4，0）的直线PB交椭圆C于另一点E，证明：直线AE与x轴相交于定点．【考点】椭圆的简单性质．【分析】（1）由题意可得b=，运用正三角形的性质可得c=btan30°=1，求得a=2，进而得到椭圆方程；（2）设直线PB的方程为y=k（x﹣4）联立，设点B（x1，y1），E（x2，y2），通过韦达定理求出直线方程，即可求出定点坐标．【解答】解：（1）椭圆C过点，可得b=，△MF1F2为正三角形，可得c=btan30°=×=1，a==2，即有椭圆C的方程为+=1；（2）由题意知直线PB的斜率存在，设直线PB的方程为y=k（x﹣4），联立，得（4k2+3）x2﹣32k2x+64k2﹣12=0①设点B（x1，y1），E（x2，y2），则A（x1，﹣y1），直线AE的方程为y﹣y2=（x﹣x2），令y=0，得x=x2﹣，再将y1=k（x1﹣4），y2=k（x2﹣4）代入整理得x=②由①得x1+x2=，x1x2=，代入②整理得x=1，所以直线AE与x轴相交于定点（1，0）．21．设函数f（x）=clnx+x2+bx（b，c∈R，c≠0）且x=1为f（x）的极值点．（1）若在曲线以g（c）=f（x）﹣x2上点（1，g（1））处的切线过点（2，0），求b，c的值；（2）若f（x）=0恰有两解，求实数c的取值范围．【考点】利用导数研究函数的极值；利用导数研究曲线上某点切线方程．【分析】（1）求出函数的导数，根据g′（1），g（1），得到关于b，c的方程组，求出b，c 的值即可；（2）通过讨论c的范围，确定函数的单调区间，求出函数的极大值和极小值，从而求出c 的范围即可．【解答】解：f′（x）=，又f′（1）=0，即b+c+1=0，∴f′（x）=，且c≠1，（1）∵g（x）=clnx+bx，∴g′（x）=+b，则g′（1）=b+c，∵g（1）=b，∴=b+c，又b+c+1=0，∴b=1，c=﹣2；（2）①若c＜0，则f（x）在（0，1）递减，在（1，+∞）递增，f（x）=0恰有两个解，则f（1）＜0，即+b＜0，∴﹣＜c＜0，②若0＜c＜1，则f（x）极大值=f（c）=clnc+c2+bc，f（x）极小值=f（1）=+b，∵b=﹣1﹣c，则则f（x）极大值=clnc+c2+c（﹣1﹣c）=clnc﹣c﹣＜0，f（x）极小值=﹣﹣c，从而f（x）=0只有一解，③若c＞1，则，f（x）极小值=clnc+c2+c（﹣1﹣c）=clnc﹣c﹣＜0，f（x）极大值=﹣﹣c，从而f（x）=0只有一解，综上，使得f（x）=0恰有2个解的c的范围是（﹣，0）．[选修4-1：几何证明选讲]22．如图，已知PA是⊙O的切线，A是切点，直线PO交⊙O于B、C两点，D是OC的中点，连结AD并延长交⊙O于点E，若PA=2，∠APB=30°．（1）求∠ABO的大小；（2）求AD的长．【考点】与圆有关的比例线段．【分析】（1）连接AB，求出∠AOB=60°，即可求∠ABO的大小；（2）过A作AH⊥BC于H，求出HD，即可求AD的长．【解答】解：（1）连接AB，则∵∠APB=30°，PA是⊙O的切线，A是切点，∴∠AOB=60°，∵OA=OB，∴∠ABO=60°；（2）过A作AH⊥BC于H，则∵PA=2，∠APB=30°，∴AO=2，AH=，Rt△AHD中，HD=2，∴AD=．[选修4_4：坐标系与参数方程]23．选修4﹣4：坐标系与参数方程在平面直角坐标系x0y中，动点A的坐标为（2﹣3sinα，3cosα﹣2），其中α∈R．在极坐标系（以原点O为极点，以x轴非负半轴为极轴）中，直线C的方程为ρcos（θ﹣）=a．（Ⅰ）判断动点A的轨迹的形状；（Ⅱ）若直线C与动点A的轨迹有且仅有一个公共点，求实数a的值．【考点】圆的参数方程；简单曲线的极坐标方程．【分析】（Ⅰ）设动点A的直角坐标为（x，y），则，利用同角三角函数的基本关系消去参数α可得直角坐标方程，从而得到点A的轨迹．（Ⅱ）把直线C方程为直角坐标方程，由题意可得直线C与圆相切，故有圆心到直线的距离等于半径，由此解得 a 的值．【解答】解：（Ⅰ）设动点A的直角坐标为（x，y），则，利用同角三角函数的基本关系消去参数α可得，（x﹣2）2+（y+2）2=9，点A的轨迹为半径等于3的圆．（Ⅱ）把直线C方程为ρcos（θ﹣）=a化为直角坐标方程为+=2a，由题意可得直线C与圆相切，故有=3，解得 a=3 或a=﹣3．[选修4_5：不等式选讲]24．设函数f（x）=|x+2|+|x﹣2|，x∈R，不等式f（x）≤6的解集为M．（1）求M；（2）当a，b∈M时，证明：3|a+b|≤|ab+9|．【考点】绝对值不等式的解法；绝对值三角不等式．【分析】（1）由条件利用绝对值的意义求出不等式f（x）≤6的解集M．（2）用分析法证明此不等式，分析使此不等式成立的充分条件为（a2﹣9）（9﹣b2）≤0，而由条件a，b∈M可得（a2﹣9）（9﹣b2）≤0成立，从而证得要证的不等式．【解答】解：（1）不等式即|x+2|+|x﹣2|≤6，而|x+2|+|x﹣2|表示数轴上的x对应点到﹣2、2对应点的距离之和，﹣3和3对应点到﹣2、2对应点的距离之和正好等于6，故不等式的解集为M=[﹣3，3]．（2）要证3|a+b|≤|ab+9|，只要证9（a+b）2≤（ab+9）2，即证：9（a+b）2﹣（ab+9）2=9（a2+b2+2ab）﹣（a2•b2+18ab+81）=9a2+9b2﹣a2•b2﹣81=（a2﹣9）（9﹣b2）≤0，而由a，b∈M，可得﹣3≤a≤3，﹣3≤b≤3，∴（a2﹣9）≤0，（9﹣b2）≥0，∴（a2﹣9）（9﹣b2）≤0成立，故要证的不等式3|a+b|≤|ab+9|成立．。
湖南省衡阳县第三中学2020届高三上学期第一次月考数学(理)试题Word版含答案
衡阳县三中2018届毕业班月考试题（一）理科数学第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.设命题nn N n p 2,:2>∈∃，则p ⌝为（ ）A ．n n N n 2,2>∈∀B ．2,2≤∈∃n N nC ．nn N n 2,2≤∈∀ D ．nn N n 2,2=∈∃2.已知集合},,|),{(},5,4,3,2,1{A y x A y A x y x B A ∈-∈∈==；则B 中所含元素的个数为（ ）A ．3B ．6C ．8D ．10 3.函数xx x f 2)1ln()(-+=的零点所在的大致区间是（ ） A ．)1,0( B ．)2,1( C ．)3,2( D ．)4,3(4.已知命题:p “2>x ”是“1>x ”的充分不必要条件；命题:q 若b a >，则ba 11<，在命题：①q p ∧，②q p ∨⌝，③)(q p ⌝∧，④)()(q p ⌝⌝∧中，真命题是（ ）A ．①B ．② C. ③ D ．④ 5.函数)4(21log)(2-=x x f 的单调递增区间为（ ） A ．)2,(--∞ B ．)0,(-∞ C. ),2(+∞ D ．),0(+∞6.当]1,(--∞∈x 时，不等式024)(2<-⋅-xx m m 恒成立，则实数m 的取值范围是（ ） A ．)1,2(- B ．)3,4(- C. )4,3(- D ．)2,1(- 7.如10,1<<<>a b c ，则（ ）A ．c c b a <B ．cc ab ba < C. c b c a a b log log <D ．c c b a log log <8.设⎩⎨⎧≥+<+=0)1(20),(log )(23x t x t x x f x，且6)1(=f ，则))2((-f f 的值为（ ） A ．12 B ．18 C.121 D ．181 9.函数)(x f y =对任意x 都有)1()(),()(+-==-x f x f x f x f ，且在]1,0[上为减函数，则（ ）A ．)57()37()27(f f f << B ．)37()27()57(f f f << C.)57()27()37(f f f << D ．)27()37()57(f f f << 10.已知函数||ln )(x x x f -=，则)(x f 的图象大致为（ ）A ．B ． C.D ．11.函数211log sin )(2+-++=xxb x a x f （b a ,为常数），若)(x f 在)1,0(上有最小值为4-，则)(x f 在)0,1(-上有（ ）A ．最大值8B ．最大值6 C. 最大值4 D ．最大值212.设奇函数)(x f 在]1,1[-上是增函数，且1)1(-=-f ，若函数12)(2+-≤at t x f 对所有的]1,1[-∈x 都成立，当]1,1[-∈a 时，则t 的取值范围是（ ） A ．2121≤≤-t B ．22≤≤-t C. 21≥t 或21-≤t 或0=t D ．2≥t 或2-≤t 或0=t第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13.当),0(+∞∈x 时，幂函数352)1(----=m xm m y 为减函数，则实数m 的值为 ．14.设集合}353|{1+==-x y y A ，集合}21log |{4>=m m B ，若B A ⊆，则x 的取值范围是 ．15.已知)(x f y =是偶函数，)(x g y =是奇函数，它们的定义域均为],[ππ-，且它们在],0[π∈x 上的图象如图所示，则不等式0)()(<⋅x g x f 的解集是 ．16.函数)(x f 是R 上的偶函数，R x ∈∀恒有)2()()4(f x f x f -=+，且当]0,2(-∈x 时，1)21()(-=x x f ，若)1)(2(log )()(>+-=a x x f x g a 在区间]6,2(-上恰有3个零点，则a的取值范围是 ．三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17. 已知命题A x p ∈:，且}11|{+<<-=a x a x A ，命题B x q ∈:，且)}23lg(|{2+-==x x y x B .（1）若R B A =⋃，求实数a 的取值范围；（2）若q ⌝是p ⌝的充分条件，求实数a 的取值范围.18. 已知函数1)(2++=bx ax x f （b a 、为实数）⎩⎨⎧<->=∈0),(0),()(,x x f x x f x F R x ，（1）若0)1(=-f ，且函数)(x f 的值域为),0[+∞，①求)(x F 的表达式；②求)(x F 的单调增区间.（2）在（1）的条件下，当]2,2[-∈x 时，kx x f x g -=)()(是单调函数，求实数k 的取值范围.19. 如图，在直棱柱1111D C B A ABCD -中，BC AD //，3,1,,901===⊥=∠AA AD BC BD AC BAD .（1）证明：D B AC 1⊥；（2）求直线11C B 与平面1ACD 所成角的正弦值.20. 已知0(3log 2)(log )(2>-+=m x x x f m m ，且)1≠m（1）当2=m 时，解不等式0)(<x f ；（2）0)(<x f 在]4,2[恒成立，求实数m 的取值范围.21. 定义在R 上的奇函数)(x f 有最小正周期4，且)2,0(∈x 时，193)(+=x xx f .（1）求)(x f 在]2,2[-上的解析式；（2）判断)(x f 在)2,0(上的单调性，并给予证明；（3）当λ为何值时，关于方程λ=)(x f 在]2,2[-上有实数解？ 22.已知函数xxx f -+=1ln21)(. （1）求证：存在定点M ，使得函数)(x f 图象上任意一点P 关于M 点对称的点Q 也在函数)(x f 的图象上，并求出点M 的坐标；（2）定义)1()2()1()(11nn f nf n f n i f S n i n -++=∑=-= ，其中*N n ∈且2≥n ，求2016S ；（3）对于（2）中的n S ，求证：对于任意*N n ∈都有321211ln ln nn S S n n ->-++.试卷答案一、选择题1-5:CDBCA 6-10:DDABA 11、12：AD二、填空题13. 1- 14. )2,(-∞ 15. ),3()0,3(πππ⋃-16. ]2,4(3三、解答题17.解：（1）由题意知，1|{}023|{2<=>+-=x x x x x B 或}2>xR B A =⋃ ，且21,2111},11|{<<∴⎩⎨⎧>+<-∴+<<-=a a a a x a x A 即所求实数a 的取值范围是)2,1(.（2）由（1）知，1|{<=x x B 或}2>x ，且}11|{+<<-=a x a x A ，q ⌝ 是p ⌝的充分条件，p ∴是q 的充分条件， 11,≤+∴⊆∴a B A 或0,21≤∴≥-a a 或3≥a ，即所求实数a 的取值范围是0|{≤a a 或}3≥a . 18.解：（1）（i ）01,0)1(=+-∴=-b a f ① 又)(x f 得值域为),0[+∞0>∴a 且0=∆即042=-a b ②由①②可知，2,1==b a ，12)(2++=∴x x x f ，⎩⎨⎧<--->++=∴0,120,12)(22x x x x x x x F ，（ii ）单调增区间为),0(),1,(+∞--∞，单调减区间为)0,1(-. （2）1)2()()(2+-+=-=x k x kx x f x g 对称轴22-=k x ， 要使)(x g 在]2,2[-上是单调函数，则222≥-k 或222-≤-k . 即6≥k 或2-≤k .19.解：（1） 1111D C B A ABCD -是直棱柱，⊥∴1BB 面ABCD ，且⊂BD 面ABCDAC BB ⊥⇒1，又BD AC ⊥ ，且⊥∴=⋂AC B BB BD ,1面1BDB .⊂D B 1 面D B AC BDB 11,⊥∴.（2）AD BC C B ////11 ，∴直线11C B 与平面1ACD 的夹角即直线AD 与平面1ACD 的夹角θ，建立直角坐标系，用向量解题.设原点在A 点，AB 为Y 轴正半轴，AD 为X 轴正半轴. 设)0,,1(),0,,0(),3,0,3(),0,0,3(),0,0,0(1y C y B D D A ，则→→→→⊥-==BD AC y BD y AC ),0,,3(),0,,1()3,0,3(),0,3,1(.30,003012→→→→=∴=⇒>=+-⇒=⋅AD AC y y y BD AC .设平面1ACD 的法向量n ，则⇒⎪⎩⎪⎨⎧=⋅=⋅→→001AD n AC n 平面1ACD 的一个法向量)0,0,3(),3,1,3(=-=→AD n∴平面1ACD 的一个法向量7213733|cos |sin )0,0,3(),3,1,3(=⋅=>⋅<=⇒=-=→→AD n AD n θ 所以1BD 与平面1ACD 夹角的正弦值为721. 20.解：（1）当2=m 时，解不等式0)(<x f ，得03log 2)(log 2<-+x x m m ，即1log 32<<-x ， 故不等式的解集为}281|{<<x x ； （2）由0)(<x f 在]4,2[恒成立，得1log 3<<-x m 在]4,2[恒成立，①当1>m 时，有⎩⎨⎧<<-12log 2log 3m m ，得4>m ，②当10<<m 时，有⎩⎨⎧<<-12log 4log 3m m ，得3410<<m ，故实数m 的取值范围),4()41,0(3+∞⋃.21.解：（1）设)0,2(-∈x ，则)2,0(∈-x)2,0(∈x 时，xx xxx f 3131193)(+=+=xx x f 3131)(+=-由函数)(x f 为奇函数可得，)()(x f x f -=xx x f 3131)(+=∴0)0(=f ，周期为4且为奇函数，)2()2()2(f f f =-=-0)2()2(==-∴f f⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-∈+-±=∈+=+=---)0,2(,3312,0,0)2,0(,331331)(x x x x f x x x x xx （2）设2021<<<x x 令xx x g 313)(+=， 则21122122113333)33(313313)()(21x x x x x x x x x x x g x g ⋅-+-=--+=-)3311)(33(2121x x xx ⋅--=,2021<<<x x ,。
湖南省衡阳县第三中学2016届高三上学期第二次月考数学(文)试题扫描版含答案
参考答案13：-1 14：8 15： )3,0()0,3(⋃- 16. （1）-1 （2）20≥<a a 或 17、18、解：x x x x x x f cos 23sin 23cos 6sincos 6cossin )(+=++=ππ)3sin(3π+=x（1）当3)()(,62,223取最大值为时即x f z k k x k x ∈+=+=+πππππ。
（2）533cos 3)36sin(3)6(),2,0(==++=+∈αππαπαπαf 所以2572cos ,25242sin ,54sin ,53cos -====αααα 5021324)23257212524(3)32sin(3)2(-=⨯-⨯=+=πααf 19、解：（1）)(x f 是[-1,1]上的奇函数，所以0)0(=f ； 当1)1ln(2)(]1,0[],0,1[-+-+=-∴∈--∈-x x f x x x，又)(x f 是[-1,1]上的奇函数，所以1)1ln(2)()(+---=--=-x x f x f x⎪⎩⎪⎨⎧-∈+---∈-++=-)0,1[(,1)1ln(2])1,0[(,1)1ln(2)(x x x x x f x x（2）]1,0[∈x 时显然)(x f 为增函数，而)(x f 是[-1,1]上的奇函数，0)0(=f 所以)(x f 是[-1,1]上是增函数，0)1()12(2≥-+-x f x f 可化为)1()12(2-≥-x f x f所以⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-≥-≤-≤-≤-≤-112111112122x x x x 即10≤≤x20.（1）由题意可知)1,()(,1012-∞<>-的定义域是所以得x f x x，令;1,10)(--==所以函数的零点为得x x f （2）设2,1x x 是)1,(-∞内的任意两个不等实数，且21x x <；则111,1,log )()(2121112121>--∴<<=---x x x x x f x f x x a所以当10<<a 时)(x f 在定义域上是减函数；当1>a 时)(x f 在定义域上是增函数； （3）若对于任意],1,(1--∞∈x 存在]4,3[2∈x 使得),()(21x g x f ≤ 只要ma xma x)()(x g x f ≤，由（2）知当1>a 时)(x f 在定义域上是增函数，则,0)1()(max =-=f x f 当成立显然时)()(,3)(021x g x f x g m ≤==；当83,038,38)4()(]4,3[)(0max >∴-≥≥+∴+==>m m m m g x g x g m 即上递增，在时，当1-1,033,33)3()(]4,3[)(0max <≤∴-≥≥+∴+==<m m m m g x g x g m 即上递减，在时，综上，1-≥m 21.解： （1）当1=a 时，1)21()41()21(1)(>=++=x x x t x f 令，则4321(1)()(22++=++==）t t t t g x f ，)(t g 在），∞+1(上单调递增，)1()(g t g >∴即)(x f 在)0,(-∞上的值域为),3(+∞，故不存在常数0>M 使M x f ≤)(成立，所以函数)(x f 在上)1,(-∞不是有界函数.（2）由题意知3)(≤x f 在),1[+∞恒成立，x x x a x f )41(2)21()41(4,3)(3-≤≤--≤≤-即，x x x x a )21(22)21(24-⋅≤≤-⋅-设x xx x x p x h )21(22)(,)21(24)(-⋅=-⋅-=由递增在上递减，在),0[)(),0[)(+∞+∞x p x h1)0()(),0[,5)0()(),0[)(min max ==+∞∈-==+∞∴p x p x h x h x h 在有在，]1,5[-∈∴a22.。
湖南省衡阳县第一中学2016届高三3月月考(一模)数学(文)试题(解析版)
衡阳县一中2016届高三下学期3月月考试卷文科数学试题本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共150分，考试时间120分钟第Ⅰ卷（选择题共60分）一 、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.已知集合2{60}A x x x =-->，集合{B y y ==，全集,U R =则()U C B A 为（）A. (,2)-∞-B. (2,3)C. (3,)+∞D. (1,)+∞2.已知i 为虚数单位，满足(12)34z i i +=+，则复数z 所在的象限为（） A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限3.已知函数32()f x x ax bx c =+++是定义在[25,23]b b --上的奇函数，则1()2f 的值为（） A.13 B 98. C . 1 D . 无法确定 4.已知双曲线的一条渐近线方程为4y x =，且双曲线的焦点与抛物线28y x =的焦点是重合的，则双曲线的标准方程为（）A . 221164x y -= B. 2217171464x y -= C. 224145x y -= D. 22142x y -=5．下列命题中正确的是A ．2x =是2440x x -+=的必要不充分条件B ．在△ABC 中，三边,,a b c 所对的角分别为,,A B C ，若cos cos a A b B =，则该三角形△ABC 为等腰三角形C ．命题“若24x <，则22x -<<”的逆否命题为“若24x ≥，则2x ≥或2x ≤-”D ．若p ∧（q ⌝）为假，p ∨（q ⌝）为真，则p ，q 同真或同假6.已知数列{}n a 为等差数列，22a =且满足235,,a a a 成等比数列，则数列{}n a 的前10项的和为（）A. 80B.90C. 20D. 20或907.已知几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）A.(43π+B.C. 53πD. 43π332244俯视图侧视图正视图8.已知把函数()sin f x x x =+的图像向右平移4π个单位，再把横坐标扩大到原来的2倍，得到函数()g x ，则函数()g x 的一条对称轴为（）A. 6x π=B. 56x π=C. 12x π=D. 76x π=9.已知,a b 为正实数，1a b +=，且a, b 的值使14a b+取得最小值，此最小值为m ，则函数32()41f x ax x mx =--+的极大值为（）A. 4B.253 C. 89- D. 17310.已知点P (x ，y )在不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x －2≤0，y －1≤0，x ＋2y －2≥0表示的平面区域上运动，则2124x y z x +-=-取值范围是( )A ．[－2，－1]B ．[－2,1]C ．[－1,2]D ．11[,4]411.圆C 经过直线10x y +-=与224x y +=的交点，且圆C 的圆心为(2,2)--，则过点(2,4)向圆C 作切线，所得切线方程为（）A.512380x y -+=B. 512380x y ++=C.512380x y -+=或2x =D. 512380x y ++=或4x =12.已知函数2()25(1)f x x ax a =-+>，3()log g x x =，若函数()f x 的定义域与值域都是[1,]a ，则对于任意的12,[1,1]x x a ∈+时，总有212()()21f x g x t t -≤+-恒成立，则t 的取值范围为（）A.[1,3]B. [1,3]-C. [1+∞∞ ，）（-,-3] D. [3,)(,1]+∞-∞-第Ⅱ卷（非选择题共90分）二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13.已知向量a 与向量b 的夹角为3π，且3,4a b ==，则(3)()________a b a b -+=14.运行右图所示的程序框图，输出的S值为 .15.已知函数21,1()(1),1x x f x x x ⎧-<=⎨->⎩，若方程2()()0f x af x b ++=有五个不同的根，则a 的取值范围为______.16.已知数列{}n a 的前n 项的和为n S ，121,2a a =-=，满足111322(2)n n n n S S S a n +--=--+≥，则2016_________________.a =三、解答题（本大题共6小题，共70分．解答应写出必要的文字说明，演算步骤或证明过程）17. （本题满分12分）已知1(sin ,),(cos ,cos(2))26m x n x x π==+ ，3()2f x m n =+（1）试求函数()f x 的单调递增区间;（2）把函数()f x 的横坐标缩小到原来的一半，再向右平移6π个单位，得到函数()g x ，在锐角△ABC 中，△ABC 的三角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，且3()2g B =，且6B π<，3b =，求△ABC 面积的最大值.18. （本题满分12分）从高三的期末考试成绩中，选择了五位同学A ，B ，C ，D ，E ，他们的考试成绩如下表(1)从该小组语文低于130分的同学中任选2人，求选到的2人分数都在124以下的概率；(2)从该小组同学中任选2人，求选到的2人的语文分数都在120以上且数学分都在[100,140)中的概率．19.（本题满分12分） 已知直角梯形ABCD 中，AD AB ⊥，,2,3,AB DC AB DC E == 为AB 的中点，将四边形AEFD 沿EF 折起使AEFD EBCF ⊥面面， 过E 作EF AD ，（1）若G 为DF 的中点，求证：EG BCD 面； （2）若AD=2，试求多面体AD BCFE -体积。