2011年浙江高考理科数学试题及答案

2011年普通高等学校招生全国统一考试（浙江卷）

数学（理科）试题

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有一项

是符合题目要求的。 1．设函数2

,0,()()4,0.

x x f x f x x α-≤?==?>?若,则实数α=

A ．-4或-2

B ．-4或2

C ．-2或4

D ．-2或2

2．把复数z 的共轭复数记作z ，i 为虚数单位，若1,(1)z i z z =++?则=

A ．3-i

B ．3+i

C ．1+3i

D ．3

3．若某几何体的三视图如图所示，则这个几何体的直观图可以是

4．下列命题中错误．．的是 A ．如果平面αβ⊥平面，那么平面α内一定存在直线平行于平面β B ．如果平面α不垂直于平面β，那么平面α内一定不存在直线垂直于平面β C ．如果平面αγ⊥平面，平面βγ⊥平面，=l αβ?，那么l γ⊥平面

D ．如果平面αβ⊥平面，那么平面α内所有直线都垂直于平面β

5．设实数,x y 满足不等式组250

270,0x y x y x +-??

+-???

＞＞≥，y ≥0，若,x y 为整数，则34x y +的最小值是

A ．14

B ．16

C ．17

D ．19

6．若02

π

α＜＜

，02π

β-

＜＜，1cos()43πα+=，3cos()423πβ-=

，则cos()2

β

α+= A ．

3

3 B ．3

3

-

C ．

53

9

D ．69

-

7．若,a b 为实数，则“01m

ab ＜＜

”是1

1a b b a

＜或＞的

A ．充分而不必要条件

B ．必要而不充分条件

C ．充分必要条件

D ．既不充分也不必要条件

8．已知椭圆22122:1(0)x y C a b a b +=＞＞与双曲线22

1:14

y C x -

=有公共的焦点，1C 的一条渐近线与以1C 的长轴为直径的圆相交于,A B 两点，若1C 恰好将线段AB 三等分，则

A ．2132

a =

B ．213a =

C ．212

b =

D ．22b =

9．有5本不同的书，其中语文书2本，数学书2本，物理书1本．若将其随机的并排摆放到书架

的同一层上，则同一科目的书都不相邻的概率

A ．

1

5

B ．

2

5

C ．

35 D 45

10．设a ，b ，c 为实数，f （x ）=（x+a ）2

2

(),()(1)(1)x bx c g x ax ax bx ++=+++．记集合

S=()0,,()0,,x f x x R T x g x x R =∈==∈若S ，T 分别为集合元素S ，T 的元素个数，则下列结论不可能．．．的是 A ．S =1且T =0 B ．1T =1S =且 C ．S =2且T =2

D ．

S =2且T =3

非选择题部分（共100分）

二、填空题：本大题共7小题，每小题4分，共28分

11．若函数2

()f x x x a =-+为偶函数，则实数a = = 。 12．若某程序框图如图所示，则该程序运行后输出的k 的值是 。 13．设二项式（x-x

）6（a>0）的展开式中X 的系数为A,常数项为B ， 若B=4A ，则a 的值是 。

14．若平面向量α，β满足|α|=1，|β|≤1，且以向量α，β为邻边的

平行四边形的面积为

1

2

，则α与β的夹角θ的取值范围是 。 15．某毕业生参加人才招聘会，分别向甲、乙、丙三个公司投递了个人简历，假定该毕业生得到

甲公司面试的概率为

2

3

，得到乙丙公司面试的概率为p ，且三个公司是否让其面试是相互独立的。记X 为该毕业生得到面试得公司个数。若1

(0)12

P X ==，则随机变量X 的数学期望

()E X =

16．设,x y 为实数，若22

41,x y xy ++=则2x y +的最大值是 ．。

17．设12,F F 分别为椭圆2

213

x y +=的左、右焦点，点,A B 在椭圆上，若125F A F B =;则点A 的坐标是 ．

三、解答题;本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 18．（本题满分14分）在ABC ?中，角..A B C 所对的边分别为a,b,c ．

已知()sin sin sin ,A C p B p R +=∈且2

14

ac b =． （Ⅰ）当5

,14

p b =

=时，求,a c 的值； （Ⅱ）若角B 为锐角，求p 的取值范围；

19．（本题满分14分）已知公差不为0的等差数列{}n a 的首项1a 为a （a R ∈）,设数列的前n 项

和为n S ，且

11a ，21a ，4

1

a 成等比数列 （1）求数列{}n a 的通项公式及n S （2）记1231111...n n A S S S S =

++++，212221111...n

n B a a a a =++++，当2n ≥时，试比较n A 与n B 的大小．

20．（本题满分15分）

如图，在三棱锥P ABC -中，AB AC =，D 为BC 的中点，PO ⊥平面ABC ，垂足O 落在线段AD 上，已知BC=8，PO=4，AO=3，OD=2 （Ⅰ）证明：AP ⊥BC ；

（Ⅱ）在线段AP 上是否存在点M ，使得二面角A-MC-B 为直二面角？若存在，求出AM 的

长；若不存在，请说明理由。

21．（本题满分15分）

已知抛物线1C :3

x ＝y ，圆2C :2

2

(4)1x y +-=的圆心为点M

（Ⅰ）求点M 到抛物线1c 的准线的距离；

（Ⅱ）已知点P 是抛物线1c 上一点（异于原点），过点P 作圆2c 的两条切线，交抛物线1c 于A ，

B 两点，若过M ，P 两点的直线l 垂直于AB ，求直线l 的方程

22．（本题满分14分）

设函数R a x a x x f ∈-=,ln )()(2

（I ）若)(x f y e x ==为的极值点，求实数a ；

（II ）求实数a 的取值范围，使得对任意的]3,0(e x ∈，恒有)4(2

e x

f ≤成立，注：e 为自然

对数的底数。

参考答案

一、选择题：本大题考查基本知识和基本运算。每小题5分，满分50分。 BADDBCACBD

二、填空题：本题考查基本知识和基本运算。每小题4分，满分28分。 11．0 12．5 13．2 14．5[

,

]66ππ

15．5

3

16

．5 17．(0,1)± 三、解答题：本大题共5小题，共72分。

18．本题主要考查三角变换、正弦定理、余弦定理等基础知识，同时考查运算求解能力。满分14分。

（I ）解：由题设并利用正弦定理，得5,4

1,4

a c ac ?+=????=??

解得1,1,41, 1.

4a a c c =??

=????

=??=??或 （II ）解：由余弦定理，2

2

2

2cos b a c ac B =+-

222222()22cos 11

cos ,2231

cos ,

22

a c ac ac B p

b b b B p B =+--=--=+即

因为2

30cos 1,(,2)2

B p <<∈得，

由题设知0,2

p p ><<所以

19．本题主要考查等差数列、等比数列、求和公式、不等式等基础知识，同时考查分类讨论思想。

满分14分。 （I ）解：设等差数列{}n a 的公差为d ，由2214

111(

),a a a =? 得2

111()(3)a d a a d +=+

因为0d ≠，所以d a =所以1(1)

,.2

n n an n a na S +==

（II ）解：因为

1211()1

n S a n n =-+，所以 123

111

121(1)1

n n A S S S S a n =

++++

=-+ 因为1122n n a a --=，所以

2

1122211()11111212(1).1212

n n

n n

B a a a a a a --=

++++=?

=-- 当012

2,21n n n n n n n C C C C n ≥=+++

+>+时，

即1111,12

n n -

<-+ 所以，当0,;n n a A B ><时 当0,.n n a A B <>时

20．本题主要考查空是点、线、面位置关系，二面角等基础知识，空间向量的应用，同时考查空间想象能力和运算求解能力。满分15分。 方法一：

（I ）证明：如图，以O 为原点，以射线OP 为z 轴的正半轴，

建立空间直角坐标系O —xyz

则(0,0,0),(0,3,0),(4,2,0),(4,2,0),(0,0,4)O A B C P --，

(0,3,4),(8,0,0)AP BC ==-，由此可得0AP BC ?=，所以

AP BC ⊥，即.AP BC ⊥

（II ）解：设,1,(0,3,4)PM PA PM λλλ=≠=--则

BM BP PM BP PA λ=+=+ (4,2,4)(0,3,4)

(4,23,44)λλλ=--+--=----

(4,5,0),(8,0,0)AC BC =-=-

设平面BMC 的法向量1111(,,)n x y z =， 平面APC 的法向量2n 222(,,)x y z =

由110,0,

BM n BC n ??=???=?? 得1111

4(23)(44)0,

80,x y x x λλ--++-=??

-=?

即11110,

23(0,1,

)2344,44x n z y λλλλ=?+?

=?+-=?-?

可取 由220,0.AP n AC n ??=???=??即2222340,

450,y z x y +=??-+=?

得22

2225,4(5,4,3).3,4

x y n z y ?

=??=-?

?=-??可取 由12230,430,44n n λ

λ

+?=-?=-得

解得2

5

λ=

，故AM=3。 综上所述，存在点M 符合题意，AM=3。 方法二：

（I ）证明：由AB=AC ，D 是BC 的中点，得AD BC ⊥ 又PO ⊥平面ABC ，得.PO BC ⊥

因为PO AD O =，所以BC ⊥平面PAD ，

故.BC PA ⊥

（II ）解：如图，在平面PAB 内作BM PA ⊥于M ，连CM ， 由（I ）中知AP BC ⊥，得AP ⊥平面BMC ， 又AP ?平面APC ，所以平面BMC ⊥平面APC 。

在222

,41,41.Rt ADB AB AD BD AB ?=+==

中得

在222

,Rt POD PD PO OD ?=+中， 在2

2

2

,,Rt PDB PB PD BD ?=+中

所以2

2

2

2

36,PB=6.PB PO OD DB =++=得 在2

2

2

Rt POA ,25, 5.PA AO OP PA ?=+==中得

又2221

cos ,23

PA PB AB BPA PA PB +-∠=

=?

从而PM cos 2PB BPA =∠=，所以AM=PA-PM=3。 综上所述，存在点M 符合题意，AM=3。

21．本题主要考查抛物线的几何性质，直线与抛物线、圆的位置关系等基础知识，同时考查解析

几何的基本思想方法和综合解题能力。满分15分。 （I ）解：由题意可知，抛物线的准线方程为： 1,4

y =-

所以圆心M （0，4）到准线的距离是

17.4

（II ）解：设2

2

2

001122(,),(,),(,)P x x A x x B x x ， 则题意得00120,1,x x x x ≠≠±≠，

设过点P 的圆C 2的切线方程为2

00()y x k x x -=-， 即2

00y kx kx x =-+

①

则

2

002

1,1k

=+

即22222

0000(1)2(4)(4)10x k x x k x -+-+--=，

设PA ，PB 的斜率为1212,()k k k k ≠，则12,k k 是上述方程的两根，所以

22

2000121222

002(4)(4)1

,.11x x x k k k k x x ---+==-- 将①代入222

000,y x x kx kx x =-+-=得

由于0x 是此方程的根，

故110220,x k x x k x =-=-，所以

2222

00012

1212002

1200

2(4)422,.1AB

MP x x x x x k x x k k x x k x x x x ---==+=+-=-=-- 由MP AB ⊥，得22

00002

00

2(4)4(2)(1)1AB MP x x x k k x x x --?=-?=--， 解得2

023

,5

x =

即点P 的坐标为2323(,)55

±

，

所以直线l

的方程为 4.115

y x =±

+

22．本题主要考查函数极值的概念、导数运算法则、导数应用，不等式等基础知识，同时考查推

理论证能力，分类讨论分析问题和解决问题的能力。满分14分。

（I ）解：求导得2()'()2()ln ()(2ln 1).x a a

f x x a x x a x x x

-=-+

=-+- 因为()x e f x =是的极值点， 所以'()()(3)0,a f e e a e

=--= 解得3a e a e ==或经检验，符合题意，

所以3.a e a e ==或

（II ）解：①当01x <≤时，对于任意的实数a ，恒有2

()04f x e ≤<成立； ②当13x e <≤时，由题意，首先有2

2

(3)(3)ln(3)4f e e a e e =-≤，

解得33e a e -

≤≤

由（I ）知'()()(2ln 1),a

f x x a x x

=-+- 令()2ln 1,(1)10,()2ln 0,a

h x x h a h a a x

=+-

=-<=>则

且(3)2ln(3)12ln(3)13a

h e e e e

=+-

≥+

2(ln 30.e => 又()(0,)h x +∞在内单调递增

所以函数()(0,)h x +∞在内有唯一零点， 记此零点为000,13,1.x x e x a <<<<则 从而，当0(0,)x x ∈时，'()0;f x > 当0(,),'()0;x x a f x ∈<时 当(,)x a ∈+∞时，'()0.f x >

即0()(0,)f x x 在内单调递增，在0(,)x a 内单调递减， 在(,)a +∞内单调递增。

所以要使(]2()41,3f x e x e ≤∈对恒成立，只要

22

00022

()()ln 4,(1)

(3)(3)ln(3)4,(2)

f x x a x e f e e a e e ?=-≤??=-≤?? 成立。

由000

()2ln 10a

h x x x =+-

=，知 0002ln ,a x x x =+

（3）

将（3）代入（1）得232

004ln 4.x x e ≤

又01x >，注意到函数[)33

ln 1,x x +∞在内单调递增，

故01x e <≤。

再由（3）以及函数2ln (1,)x x x ++∞在内单调递增，可得13.a e <≤ 由（2

）解得，33e a e ≤≤+

所以33.e a e -

≤≤

综上，a

的取值范围是33.e a e -≤≤