2011年浙江高考理科数学试题及答案
2011年浙江高考理数试题答案
2011年浙江高考理科和文科数学试卷及答案几msja.Eii 芍绘為WL 曲村快豐畫］fi 即■畫师尿.间时尊if ■析几啊帕■* 里总为楚和杠住nietitin «#迪廿=（I 〕解血觥直可輛曲鮭的HM 方管力叮■一以料心矶。
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2011浙江数学高考试题及答案
2011年普通高等学校夏季招生全国统一考试数学(浙江卷)本试题卷分选择题和非选择题两部分．满分150分，考试时间120分钟．选择题部分(共50分)参考公式：如果事件A 、B 互斥，那么P (A ＋B )＝P (A )＋P (B ) 如果事件A 、B 相互独立，那么P (A ·B )＝P (A )·P (B )如果事件A 在一次试验中发生的概率是p ，那么n 次独立重新试验中事件A 恰好发生k 次的概率()=(1)k kn k n n P k C p p -- (k ＝0，1，2，…，n )台体的体积公式11221()3V h S S S S =+其中S 1，S 2分别表示台体的上、下底面积， h 表示台体的高 柱体的体积公式 V ＝Sh其中S 表示柱体的底面积，h 表示柱体的高 锥体的体积公式13V Sh ＝其中S 表示锥体的底面积，h 表示锥体的高 球的表面积公式 S ＝4πR 2球的体积公式343V R π＝其中R 表示球的半径一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．设函数2,0(),0x x f x x x -≤⎧=⎨>⎩.若f (α)＝4，则实数α等于( )A ．－4或－2B ．－4或2C ．－2或4D ．－2或22．把复数z 的共轭复数记作z ，i 为虚数单位，若z ＝1＋i ，则(1＋z )·z ＝( ) A ．3－i B ．3＋i C ．1＋3i D ．33．若某几何体的三视图如图所示，则这个几何体的直观图可以是( )4．下列命题中错误．．的是( ) A ．如果平面α⊥平面β，那么平面α内一定存在直线平行于平面βB ．如果平面α不垂直于平面β，那么平面α内一定不存在直线垂直于平面βC ．如果平面α⊥平面γ，平面β⊥平面γ，α∩β＝l ，那么l ⊥平面γD ．如果平面α⊥平面β，那么平面α内所有直线都垂直于平面β5．设实数x ，y 满足不等式组2502700,0x y x y x y +->⎧⎪+->⎨⎪≥≥⎩，若x ，y 为整数，则3x ＋4y 的最小值是( )A ．14B ．16C ．17D ．196．若02πα<<，02πβ-<<，1cos(+)=43πα，3cos()=42πβ-，则cos()2βα+等于( )A 3B ．3-C ．539D ．69-7．若a ，b 为实数，则“0＜ab ＜1”是“1a b <或1b a>”的( ) A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件8．已知椭圆C 1：2222=1x y a b + (a ＞b ＞0)与双曲线C 2：2214y x -=有公共的焦点，C 2的一条渐近线与以C 1的长轴为直径的圆相交于A ，B 两点， 若C 1恰好将线段AB 三等分，则( )A ．a 2＝132 B ．a 2＝13 C ．b 2＝12D ．b 2＝29．有5本不同的书，其中语文书2本，数学书2本，物理书1本．若将其随机的并排摆放到书架的同一层上，则同一科目的书都不相邻的概率是( )A ．15 B ．25 C ． 35 D ．4510．设a ，b ，c 为实数，f (x ) ＝(x ＋a )(x 2＋bx ＋c )，g (x )＝(ax ＋1)(cx 2＋bx ＋1)．记集合S ＝{x |f (x )＝0，x ∈R }，T ＝{x |g (x )＝0，x ∈R }，若|S |，|T |分别为集合S ，T 的元素个数，则下列结论不可能．．．的是( ) A ．|S |＝1且|T |＝0B ．|S |＝1且|T |＝1C ．|S |＝2且|T |＝2D ．|S |＝2且|T |＝3非选择题部分(共100分)二、填空题：本大题共7小题，每小题4分，共28分． 11．若函数f (x )＝x 2－|x ＋a |为偶函数，则实数a ＝________.12．若某程序框图如图所示，则该程序运行后输出的k 的值是________．13．设二项式6()x x(a ＞0)的展开式中x 3的系数为A ，常数项为B ， 若B ＝4A ，则a 的值是________．14．若平面向量α、β满足|α|＝1，|β|≤1，且以向量α、β为邻边的平行四边形的面积为12，则α与 β的夹角θ的取值范围是________． 15．某毕业生参加人才招聘会，分别向甲、乙、丙三个公司投递了个人简历，假定该毕业生得到甲公司面试的概率为23，得到乙、丙两公司面试的概率均为p ，且三个公司是否让其面试是相互独立的．记X 为该毕业生得到面试的公司个数．若P (X ＝0)＝112，则随机变量X 的数学期望E (X )＝________.16．设x ，y 为实数．若4x 2＋y 2＋xy ＝1，则2x ＋y 的最大值是________．17．设F 1，F 2分别为椭圆2213x y +=的左、右焦点，点A ，B 在椭圆上．若125F A F B =，则点A 的坐标是________．三、解答题：本大题共5小题，共72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 18．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，C ．已知sin A ＋sin C ＝p sin B (p ∈R )，且214ac b =. (1)当p ＝54，b ＝1时，求a ，c 的值；(2)若角B 为锐角，求p 的取值范围．19．已知公差不为0的等差数列{a n }的首项a 1为a (a ∈R )，设数列的前n 项和为S n ，且11a ，21a ，41a 成等比数列， (1)求数列{a n }的通项公式及S n ； (2)记A n ＝1231111n S S S S ++++…，B n ＝2-112221111+n a a a a +++…，当n ≥2时，试比较A n 与B n 的大小．20．如图，在三棱锥P －ABC 中，AB ＝AC ，D 为BC 的中点，PO ⊥平面ABC ，垂足O 落在线段AD 上，已知BC ＝8，PO ＝4，AO ＝3，OD ＝2.(1)证明：AP ⊥BC ；(2)在线段AP 上是否存在点M ，使得二面角A －MC －B 为直二面角？若存在，求出AM 的长；若不存在，请说明理由．21．已知抛物线C 1：x 2＝y ，圆C 2 ：x 2＋(y －4)2＝1的圆心为点M.(1)求点M 到抛物线C 1的准线的距离；(2)已知点P 是抛物线C 1上一点(异于原点)，过点P 作圆C 2的两条切线，交抛物线C 1于A ，B 两点，若过M ，P 两点的直线l 垂直于AB ，求直线l 的方程．22．设函数f (x )＝(x －a )2ln x ，a ∈R .(1)若x ＝e 为y ＝f (x )的极值点，求实数a ；(2)求实数a 的取值范围，使得对任意的x ∈(0，3e]，恒有f (x )≤4e 2成立.注：e 为自然对数的底数．参考答案1．B 2．A 3．D 4．D 5．B 6．C 7．A 8．C 9．B 10．D11．答案：0 12．答案：5 13．答案：214．答案：[6π，56π] 15．答案：5316．21017．答案：(0，1)或(0，－1)18．解：(1)由题设并利用正弦定理，得5414a c ac ⎧+=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，解得1,1,4a c =⎧⎪⎨=⎪⎩或1,41.a c ⎧=⎪⎨⎪=⎩ (2)由余弦定理，b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B＝(a ＋c )2－2ac －2ac cos B ＝222211cos 22p b b b B --， 即231cos 22p B =+，因为0＜cos B ＜1，得p 2∈(32，2)，由题设知p ＞062p <<19．解：(1)设等差数列{a n }的公差为d ，则(2214111()a a a =⋅，得(a 1＋d )2＝a 1(a 1＋3d )．因为d ≠0，所以d ＝a 1＝a ．所以a n ＝na ，(1)2n an n S +=. (2)因为1211()1n S a n n =-+，所以 123111121(1)1n n A S S S S a n =++=-++…+．因为a 2n －1＝2n －1a ，所以21122211()111112112n nn B a a a a a --=+++=⋅-…+ 21(1)2n a =-． 当n ≥2时，0122n nn n n n C C C C =+++…+＞n ＋1，即111112n n -=-+，所以，当a ＞0时，A n ＜B n ； 当a ＜0时，A n ＞B n . 20．解：方法一：(1)证明：如图，以O 为原点，以射线OP 为z 轴的正半轴，建立空间直角坐标系O －xyz . 则O (0，0，0)，A (0，－3，0)，B (4，2，0)，C (－4，2，0)，P (0，0，4)，A P ＝(0，3，4)，BC ＝(－8，0，0)，由此可得A 0P BC ⋅=，所以A P BC ⊥，即AP ⊥BC ．(2)解：设PM PA λ=，λ≠1，则PM ＝λ(0，－3，－4)．BM BP PM BP PA λ=+=+＝(－4，－2，4)＋λ(0，－3，－4)＝(－4，－2－3λ，4－4λ)，AC ＝(－4，5，0)，BC ＝(－8，0，0)．设平面BMC 的法向量n 1＝(x 1，y 1，z 1)，平面APC 的法向量n 2＝(x 2，y 2，z 2)．由11·0,·0,BM n BC n ⎧=⎪⎨=⎪⎩得1111423440,80,x y z x λλ--(+)+(-)=⎧⎨-=⎩ 即1110,23,44x z y λλ=⎧⎪+⎨=⎪-⎩可取n 1＝(0，1，2344λλ+-)． 由220,0,AP AC ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩n n 即2222340,450,y z x y +=⎧⎨-+=⎩得22225,43,4x y z y ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩可取n 2＝(5，4，－3)． 由n 1·n 2＝0，得4－3×2344λλ+-＝0，解得25λ=，故AM ＝3.综上所述，存在点M 符合题意，AM ＝3.方法二：(1)证明：由AB ＝AC ，D 是BC 的中点，得AD ⊥BC ． 又PO ⊥平面ABC ，得PO ⊥BC ．因为PO ∩AD ＝O ，所以BC ⊥平面P AD ，故BC ⊥P A ．(2)解：如图，在平面P AB 内作BM ⊥P A 于M ，连结CM . 由(1)知AP ⊥BC ，得AP ⊥平面BMC ． 又AP ⊂平面APC ， 所以平面BMC ⊥平面APC ．在Rt △ADB 中，AB 2＝AD 2＋BD 2＝41，得41AB =在Rt △POD 中，PD 2＝PO 2＋OD 2， 在Rt △PDB 中，PB 2＝PD 2＋BD 2， 所以PB 2＝PO 2＋OD 2＋DB 2＝36，得PB ＝6. 在Rt △POA 中，P A 2＝AO 2＋OP 2＝25，得P A ＝5.又cos ∠BP A ＝2222PA PB AB PA PB ++⋅＝13，从而PM ＝PB cos ∠BP A ＝2，所以AM ＝P A －PM ＝3. 综上所述，存在点M 符合题意，AM ＝3.21．解：(1)由题意可知，抛物线的准线方程为：14y =-，所以圆心M (0，4)到准线的距离是174.(2)设P (x 0，20x )，A (x 1，21x )，B (x 2，22x )，由题意得x 0≠0，x 0≠±1，x 1≠x 2.设过点P 的圆C 2的切线方程为y －20x ＝k (x －x 0)， 即y ＝kx －kx 0＋20x .① 20021k+＝1，即(x 02－1)k 2＋2x 0(4－x 02)k ＋(x 02－4)2－1＝0.设P A ，PB 的斜率为k 1，k 2(k 1≠k 2)，则k 1，k 2是上述方程的两根，所以k 1＋k 2＝20020241x x x (-)-，k 1k 2＝22020411x x (-)--. 将①代入y ＝x 2，得x 2－kx ＋kx 0－x 02＝0，由于x 0是此方程的根，故x 1＝k 1－x 0，x 2＝k 2－x 0，所以k AB ＝221212x x x x --＝x 1＋x 2＝k 1＋k 2－2x 0＝20020241x x x (-)-－2x 0，k MP ＝2004x x -. 由MP ⊥AB ，得k AB ·k MP ＝220000200244(2)()1x x x x x x (-)--⋅-＝－1，解得20235x =， 即点P 的坐标为(235235)，所以直线l 的方程为31154y x =+. 22．解：(1)求导得()22()ln x a f x x a x x(-)'＝－＋()(2ln )1x a x ax＝－＋－．因为x ＝e 是f (x )的极值点，所以()e (e )(3e)0f a a'＝－－＝，解得a ＝e 或a ＝3e.经检验，符合题意，所以a ＝e 或a ＝3e.(2)①当0＜x ≤1时，对于任意的实数a ，恒有f (x )≤0＜4e 2成立． ②当1＜x ≤3e 时，由题意，首先有f (3e)＝(3e －a )2ln(3e)≤4e 2，解得ln(33e 3e)e a ≤≤＋ln(3e)由(1)知()()(2ln 1)f x x a x ax'＝－＋－，令h (x )＝2ln x ＋1－ax，则h (1)＝1－a ＜0，h (a )＝2ln a ＞0，且()()()3e+ln(3e)3e 2ln 3e 12ln 3e 13ah e≥＝＋－＋－32l (l n3n3e 0e>＝－.又h (x )在(0，＋∞)内单调递增，所以函数h (x )在(0，＋∞)内有唯一零点，记此零点为x 0，则1＜x 0＜3e ，1＜x 0＜A ．从而，当x ∈(0，x 0)时，f ′(x )＞0；当x ∈(x 0，a )时，f ′(x )＜0；当x ∈(a ，＋∞)时，f ′(x )＞0.即f (x )在(0，x 0)内单调递增，在(x 0，a )内单调递减，在(a ，＋∞)内单调递增．。
2011年高考数学试卷 浙江理
【选择题】【1】．设函数2,0,(),0.x x f x x x -≤⎧=⎨>⎩若()4f α=,则实数α=（ ）.（A ）-4或-2 （B ）-4或2 （C ）-2或4 （D ）-2或2【2】．把复数z 的共轭复数记作z ，i 为虚数单位，若1i,(1)z z z =++⋅则=（ ）.（A ）3-i（B ）3+i（C ）1+3i（D ）3【3】．若某几何体的三视图如下图所示，则这个几何体的直观图可以是（ ）.【4】．下列命题中错误．．的是（ ）.（A ）如果平面α⊥平面β，那么平面α内一定存在直线平行于平面β（B ）如果平面α不垂直于平面β，那么平面α内一定不存在直线垂直于平面β （C ）如果平面α⊥平面γ，平面β⊥平面γ，=l αβ⋂，那么l ⊥平面γ（D ）如果平面α⊥平面β，那么平面α内所有直线都垂直于平面β【5】．设实数,x y 满足不等式组250270,0x y x y x y +->⎧⎪+->⎨⎪⎩≥，≥0，若,x y 为整数，则34x y +的最小值为（ ）.（A ）14（B ）16（C ）17（D ）19【6】．若02πα<<，02πβ<<-，1cos()43πα+=，cos()423πβ-=则c o s ()2βα+=（ ）.（A）（B）（C（D） 【7】．若,a b 为实数，则“01ab <<”是“1a b <或1b a >”的（ ）.（A ）充分而不必要条件 （B ）必要而不充分条件（C ）充分必要条件（D ）既不充分也不必要条件【8】．已知椭圆22122:1(0)x y C a b a b +=>>与双曲线222:14y C x -=有公共的焦点，2C 的一条渐近线与以1C 的长轴为直径的圆相交于,A B 两点，若1C 恰好将线段AB 三等分，则（ ）.（A ）2132a =（B ）213a =（C ）212b =（D ）22b =【9】．有5本不同的书，其中语文书2本，数学书2本，物理书1本．若将其随机的并排摆放到书架的同一层上，则同一科目的书都不相邻的概率是（ ）.（A ）15（B ）25（C ）35 （D ）45【10】．设,,a b c 为实数，22()()(),()(1)(1)f x x a x bx c g x ax cx bx =+++=+++．记集合{|()0,R},{|()0,R}.S x f x x T x g x x ==∈==∈若S ，T 分别为集合,S T 的元素个数，则下列结论不可能．．．的是（ ）. （A ）S =1且T =0 （B ）1=1S T =且（C ）S =2且T =2（D ）S =2且T =3【填空题】 【11】．若函数2()f x x x a =-+为偶函数，则实数a = .【12】．若某程序框图如下图所示，则该程序运行后输出的k 值为 .【13】．若二项式6((0)x a >的展开式中3x 的系数为A ，常数项为B ，若4B A =，则a 的值是 .【14】．若平面向量,αβ满足1,1=≤αβ，且以向量,αβ为邻边的平行四边形的面积为12，则α与β的夹角θ的取值范围是 .【15】．某毕业生参加人才招聘会，分别向甲、乙、丙三个公司投递了个人简历，假定该毕业生得到甲公司面试的概率为23，得到乙、丙两公司面试的概率均为p ，且三个公司是否让其面试是相互独立的.记X 为该毕业生得到面试的公司个数.若1(0)12P X ==，则随机变量X 的数学期望()E X = . 【16】．设,x y 为实数，若2241xy xy ++=，则2x y +的最大值是 .【17】．设12,F F 分别为椭圆2213x y +=的左、右焦点，点,A B 在椭圆上，若125F A F B =，则点A 的坐标是 . 【解答题】【18】．在ABC ∆中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，已知()sin sin sin R ,A C pB p +=∈且214ac b =. （1）当5,14p b ==时，求,a c 的值；(2) 若角B 为锐角，求p 的取值范围. 【19】．已知公差不为0的等差数列{}n a 的首项1a 为a （a ∈R ），设数列的前n 项和为n S ，且11a ，21a ，41a 成等比数列. （1）求数列{}n a 的通项公式及n S ；（2） 记n A ＝11S +21S +31S +…+1n S , n B ＝11a + 21a +221a +… +121-n a ，当2n ≥时，试比较n A 与n B 的大小.【20】．如下图，在三棱锥P ABC -中，AB AC =，D 为BC 的中点，PO ⊥平面ABC ，垂足O 落在线段AD 上，已知BC ＝8，PO ＝4，AO ＝3，OD ＝2. （1）证明：AP ⊥BC ；（2）在线段AP 上是否存在点M ，使得二面角A MC B --为直二面角？若存在，求出AM 的长；若不存在，请说明理由.【21】．已知抛物线1:C 2x ＝y ，圆2:C 22(4)1x y +-=的圆心为点M .（1）求点M 到抛物线1C 的准线的距离；（2）已知点P 是抛物线1C 上一点（异于原点），过点P 作圆2C 的两条切线，交抛物线1C 于A ，B 两点，如下图，若过,M P 两点的直线l 垂直于AB ，求直线l 的方程.【22】．设函数()f x ＝2()ln x a x -，a ∈R .（1）若x ＝e 为()y f x =的极值点，求实数a ；（2）求实数a 的取值范围，使得对任意的x ∈（0,3e ]，恒有()f x ≤42e 成立. 注：e 为自然对数的底数.【23】．（自选模块测试）设正数,,x y z 满足221x y z ++=.（1）求3xy yz zx++的最大值；（2）证明：311125 11126 xy yz zx++≥+++.【24】．（自选模块测试）已知直线l：1cos,sinx ty tαα=-+⎧⎨=⎩（t为参数，α为l的倾斜角，且0απ<<）与曲线C：,sinxyθθ⎧=⎪⎨=⎪⎩（θ为参数）相交于,A B两点，点F的坐标为（1,0）. （1）求ABF∆的周长；（2）若点E（-1,0）恰为线段AB的三等分点，求ABF∆的面积.。
2011年浙江高考数学答案(理科)
2011-2012-2《大学数学一》综合练习一﹑填空题：1. 已知 )2,1,2(),1,2,2(),1,1,1(C B A ，则AB jACPr =___________。
2. 从点)1,1,2(--P 到一个平面π引垂线，垂足为)5,2,0(M ,则平面π的方程为___________________。
3. 过原点且平行于直线⎩⎨⎧=--=-15234z y x z x 的直线方程为_____________________。
4. 将曲线220x z x y ⎧=⎨=⎩绕轴旋转一周，所得曲面方程为____________________。
5. 函数z=arcsin(2x)+ 2224ln(1)x y x y ---的定义域____________________. 6.(,)(0,1)42lim3x y xy xy→+-= 。
7. 函数y x y x z +-+=2222的极小值是 . 8. 函数u =22x xy y -+在点（-1，1）沿方向e=1{2,1}5的方向导数_________. 9. 曲线τ：x=2sin a t ,y =sin cos b t t ， z =2cos c t 对应于t=4π的点处的切线的一个切向量为____________,该点处的法平面方程为________________。
10. 将二次积分21220()xx dxf x y dy +⎰⎰化为极坐标下的二次积分的表达式为 .11.⎰⎰⎰⎰-+--+21212),(),(y y dx y x f dy dx y x f dy 交换积分次序后为 .12. 曲线积分ds z y x L ⎰++2221的值为 ，其中L 为曲线2221,0x y z z ++==. 13. 若曲线积分4124(4)(65)Lx xy dx xy y dy λλ-++-⎰在xoy 平面内与路径无关，则λ= .14. 设L 为有向曲线2214x y +=的正向，则(2)(3)Lx y dx x y dy -++=⎰ . 15. 设∑是球面：2224x y z ++=，则曲面积分⎰⎰∑++dS z y x )(222= . 16. 设幂级数∑∞=0n nnx a的收敛半径为3，则幂级数11)1(-∞=-∑n n n x na 的收敛区间为 .17. 幂级数∑∞=-124)2(n nnn x 的收敛域为 . 二﹑选择题:1. 直线⎩⎨⎧=+=++00:1z y z y x L 与直线⎩⎨⎧=+=+124:2z x y x L 的关系是（ ）. 〔A 〕1L 与2L 垂直 〔B 〕 1L 与2L 平行 〔C 〕1L 与2L 相交但不垂直 〔D 〕 1L 与2L 为异面直线 2.设),(y x f 在点),(b a 处的偏导数存在.则=--+→xb x a f b x a f x ),(),(lim（ ）.〔A 〕 0 〔B 〕),2(b a f x 〔C 〕),(b a f x 〔D 〕),(2b a f x 3．函数),(y x f z =在点),(00y x 处具有偏导数是它在该点存在全微分的（ ）. 〔A 〕必要条件. 〔B 〕充分条件. 〔C 〕充要条件. 〔D 〕既非充分又非必要条件 4.二重积分221(1)x y xy d σ+≤+=⎰⎰（ ）〔A 〕π 〔B 〕0 〔C 〕π 〔D 〕2π 5.设Ω：2222x y z a ++≤、2222x y z az ++≤，则三重积分(,,)f x y z dV Ω⎰⎰⎰在柱面坐标下的三次积分为（ ）〔A 〕20(cos ,sin ,)a a d dr f r r z rdz πθθθ⎰⎰⎰； 〔B 〕2222322(cos ,sin ,)a a r a a r d drf r r z rdz πθθθ---⎰⎰⎰；〔C 〕22322(cos ,sin ,)a a r ad drf r r z dz πθθθ-⎰⎰⎰；〔D 〕2222(cos ,sin ,)aa a r ad drf r r z rdz πθθθ--⎰⎰⎰.6.在下列积分中，积分值与路径无关的是（ ）〔A 〕sin sin Lydx xdy +⎰ 〔B 〕sin sin Lydx y xdy +⎰〔C 〕cos sin Lydx xdy +⎰ 〔D 〕cos sin Ly xdx xdy +⎰7.设2222:x y z a ∑++=，取外侧，其所围的空间闭区域为V ，则曲面积分(1)(2)(3)x dydz y dzdx z dxdy ∑+++++=⎰⎰ （ ）〔A 〕3VdV ⎰⎰⎰ 〔B 〕()Vx y z dV ++⎰⎰⎰ 〔C 〕2()Vx y z dV ++⎰⎰⎰ 〔D 〕08.设222:1x y z ∑++=，取外侧，则曲面积分2y dxdz ∑=⎰⎰（ ） 〔A 〕222212(1)x z x z dxdz +≤--⎰⎰〔B 〕222212(1)x z x z dxdz +≤---⎰⎰〔C 〕1 〔D 〕09.设),2,1(10 =<≤n na n ，则下列级数中一定收敛的是（ ）. 〔A 〕∑∞=1n n a 〔B 〕∑∞=1n n a 〔C 〕n n na ∑∞=-1)1( 〔D 〕∑∞=-12)1(n n n a10．若级数)0(1≥∑∞=n n na a收敛，则（ ）.〔A 〕∑∞=12n na发散 〔B 〕∑∞=1n nn a 收敛 〔C 〕∑∞=+11n nn a a 发散 〔D 〕∑∞=1n n n a发散。
2011年浙江省高考数学理科试卷(含答案)
2011年普通高等学校招生全国统一考试数 学（理科）一、选择题（1）设函数 若，则实数 （ ） （A ） —4或—2 （B ） —4或2 （C ）—2或4 （D ）—2或2（2）把负数的共轭复数记作i,i 为虚数单位。
若z=1+i,则（ ）（A ） （B ） （C ） （D)3(3)若某几何体的三视图如图所示，则这个几何体的直观图可以是 （ ）（4）下列命题中错误的是 （ ）（A ）如果平面α⊥平面β，那么平面α内一定直线平行于平面β（B ）如果平面α垂直于平面β，那么平面α内一定不存在直线垂直于平面β（C ）如果平面α⊥平面γ，平面β⊥平面γ，l αβ⋂=，那么l ⊥平面γ（D ）如果平面α⊥平面β，那么平面α内所有直线都垂直于平面β（5）设实数x 、y 是不等式组，若x 、y 为整数，则34x y + 的最小值为 （ ）（A ）14 （B ）16 （C ）17 （D ）19（6）若02πα<<，02πβ-<<，1cos ()23πα+=，3cos ()42πβ-=，则cos ()2βα+= （A ）3 （B ）3- （C ）53 （D ）6- 2,0,(),0.x x f x x x -≤⎧=⎨⎩>()4f α=α=z (1)z z -+•=3i -3i +13i +250x y +->270x y +->， 0x ≥，0y ≥（7）若a 、b 为实数，则“01ab <<”是“1a b <”或1b a>的 （ ） （A ）充分二而不必要条件 （B ）必要而不充分条件（C ）充分必要条件 （D ）既不充分也不必要条件（8）已知椭圆 221221x y C a b =+=（a >b >0）与双曲线 22214y C x =-=有公共的焦点，1C 的一条最近线与以2C 的长轴为直径的圆相交于,A B 来两点。
若1C 恰好将线段AB 三等分，则 （ ）（A ）232a = （B ） 2a =13 （C ） 212b = （D ）2b =2 （9）有5本不同的书，其中语文书2本，数学书2本，物理书1本，若将其随机地排成一排摆放到书架的同一层上，则同一科目的书都不相邻的概率是 （ ）（A ）15 （B ）25 （C ）35 （D ）45（10）设,,a b c 为实数，22()()(),()(1)(1)f x x a x bx c g x ax ax bx =+++=+++。
2011年普通高等学校招生全国统一考试理科数学(浙江卷)
2011年普通高等学校招生全国统一考试理科数学（浙江卷）一、单选题1. （2011•浙江）设函数f（x）=，若f（a）=4，则实数a=（）A．﹣4或﹣2B．﹣4或2C．﹣2或4D．﹣2或22. （2011•浙江）把复数z 的共轭复数记作，i为虚数单位．若z=1+i，则（1+z）•=（）A．3﹣i B．3+i C．1+3i D．33. 若某几何体的三视图如图所示，则这个几何体的直观图可以是()A ．B ．C ．D ．4. 下列命题错误的是（）.A．如果平面平面，那么平面内所有直线都垂直于平面B．如果平面平面，那么平面内一定存在直线平行于平面C．如果平面平面，平面平面，，那么平面D．如果平面不垂直于平面，那么平面内一定不存在直线垂直于平面5. 设实数x、y满足不等式组，若x、y为整数，则3x+4y的最小值是（）A．14B．16C．17D．196. 若0＜α＜，﹣＜β＜0，cos（+α）=，cos（﹣）=，则cos（α+）=（）A．B．﹣C．D．﹣7. 若a、b为实数，则“0＜ab＜1”是“a＜”或“b＞”的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件8. 已知椭圆C1：=1（a＞b＞0）与双曲线C2：x2﹣=1有公共的焦点，C2的一条渐近线与以C1的长轴为直径的圆相交于A，B两点．若C恰好将线段AB三等分，则（）1A．a2=B．a2=3C．b2=D．b2=29. 有5本不同的书，其中语文书2本，数学书2本，物理书1本．若将其随机地摆放到书架的同一层上，则同一科目的书都不相邻的概率是（）A．B．C．D．10. 设a，b，c为实数，f（x）=（x+a）（x2+bx+c），g（x）=（ax+1）（cx2+bx+1）．记集合S={x|f（x）=0，x∈R}，T={x|g（x）=0，x∈R}．若{S}，{T}分别为集合S，T 的元素个数，则下列结论不可能的是（）A．{S}=1且{T}=0B．{S}=1且{T}=1C．{S}=2且{T}=2D．{S}=2且{T}=3二、填空题11. （2011•浙江）若函数f（x）=x2﹣|x+a|为偶函数，则实数a= _________ ．12. 某程序框图如图所示，则该程序运行后输出的k的值是________ .三、解答题13. 若二项式（x﹣）6（a ＞0）的展开式中x 3的系数为A ，常数项为B ，若B=4A ，则a 的值是 _________ ．14. （2011•浙江）若平面向量α，β满足|α|=1，|β|≤1，且以向量α，β为邻边的平行四边形的面积为，则α和β的夹角θ的范围是 _________ ．15. 某毕业生参加人才招聘会，分别向甲、乙、丙三个公司投递了个人简历，假定该毕业生得到甲公司面试的概率为，得到乙、丙公司面试的概率均为P ，且三个公司是否让其面试是相互独立的．记X 为该毕业生得到面试的公司个数．若P （X=0）=，则随机变量X 的数学期望E （X ）= _________ ．16. 设x ，y 为实数，若4x 2+y 2+xy=1，则2x+y 的最大值是 _________ ．17. 设F 1，F 2分别为椭圆+y 2=1的焦点，点A ，B 在椭圆上，若=5；则点A 的坐标是 _________ ．18. 在△ABC 中，角A ，B ，C ，所对的边分别为a ，b ，c ．已知sinA+sinC=psinB （p ∈R ）．且ac=b 2．（1）当p=，b=1时，求a ，c 的值；（2）若角B 为锐角，求p 的取值范围．19. 已知公差不为0的等差数列{a n }的首项a 1为a （a ∈R ）设数列的前n 项和为S n ，且，，成等比数列． （1）求数列{a n }的通项公式及S n ；（2）记A n =+++…+，B n =++…+，当n≥2时，试比较A n 与B n 的大小．20. 如图，在三棱锥P﹣ABC中，AB=AC，D为BC的中点，PO⊥平面ABC，垂足O落在线段AD上，已知BC=8，PO=4，AO=3，OD=2（1）证明：AP⊥BC；（2）在线段AP上是否存在点M，使得二面角A﹣MC﹣B为直二面角？若存在，求出AM的长；若不存在，请说明理由．21. 已知抛物线C1：x2=y，圆C2：x2+（y﹣4）2=1的圆心为点M（1）求点M到抛物线C1的准线的距离；（2）已知点P是抛物线C1上一点（异于原点），过点P作圆C2的两条切线，交抛物线C1于A，B两点，若过M，P两点的直线l垂直于AB，求直线l 的方程．22. （2011•浙江）设函数f（x）=（x﹣a）2lnx，a∈R（1）若x=e为y=f（x）的极值点，求实数a；（2）求实数a的取值范围，使得对任意的x∈（0，3e]，恒有f（x）≤4e2成立．注：e为自然对数的底数．。
2011年高考浙江省(理科)试卷(全解全析版)2011.6.7
2011年普通高等学校招生全国统一考试数学（理科）（浙江省）本试卷分选择题和非选择题两部分。
全卷共4页，选择题部分1至2页，非选择题部分3至4页。
满分150分，考试时间120分钟。
选择题部分（共50分）请考生按规定用笔将所有试题的答案涂、写在答题纸上。
1.答题前，考生务必将自己的姓名、准备考证号用黑色字迹的签字笔或钢笔分别填写在试卷个答题纸规定的位置上。
2.每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题纸上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。
不能答在试题卷上。
参考公式：如果事件,A B 互斥，那么 柱体的体积公式()()()P A B P A P B +=+ V sh =如果事件,A B 相互独立，那么 其中s 表示柱体的底面积，h 表示柱体的高()()()P A B P A P B ⋅=⋅ 锥体的体积公式 13V sh = 一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
（1）设函数2,0(),0x x f x x x -≤⎧=⎨>⎩，若()4f a =，则实数a = （A ）-4或-2 （B ）-4或2 （C ）-2或4 （D ）-2或2解析：此题考察分段函数求值问题，直接代入计算即可，属简单题！选B 。
（2）把复数z 的共轭复数记作z ,i 为虚数单位，若z=1+i,则(1)z z +⋅=（A ）3i - （B ）3i + （C ）13i + （D ）3解析：此题考察复数的运算以及共轭复数的定义，属简单题。
选A 。
（3）若某几何体的三视图如图所示，则这个几何体的直观图可以是解析：考察三视图还原直观图，由正视图排除A 、B ，由俯视图可排除C ，故选D 。
简单题。
（4）下列命题中错误的是（A ）如果平面α⊥平面β，那么平面α内一定存在直线平行于平面β（B ）如果平面α不垂直于平面β，那么平面α内一定不存在直线垂直于平面β（C ）如果平面α⊥平面γ，平面β⊥平面γ，l αβ⋂=，那么l ⊥平面γ（D ）如果平面α⊥平面β，那么平面α内所有直线都垂直于平面β解析：考察线面的平行与垂直关系，紧扣线面平行与垂直的判定与性质，不难选出D 错。
2011年浙江省高考数学试卷及答案(理科)
2011年普通高等学校招生全国统一考试（浙江卷）数学（理科）本试题卷分选择题和非选择题两部分。
全卷共5页，选择题部分1至3页，非选择题部分4至5页。
满分150分，考试时间120分钟。
请考生按规定用笔将所有试题的答案涂、写在答题纸上。
选择题部分（共50分）注意事项：1.答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号用黑色字迹的签字笔或钢笔分别填写在试卷和答题纸规定的位置上。
2.每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题纸上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。
不能答在试题卷上。
参考公式如果事件,A B 互斥 ，那么()()()P A B P A P B +=+如果事件,A B 相互独立，那么()()()P A B P A P B ∙=∙如果事件A 在一次试验中发生的概率为P ,那么n 次独立重复试验中事件A 恰好发生k 次的概率()(1)(0,1,2,...,)k k n kn n P k C p p k n -=-= 台体的体积公式121()3V h S S =+其中1S ,2S 分别表示台体的上、下面积，h 表示台体的高柱体体积公式V Sh =其中S 表示柱体的底面积，h 表示柱体的高锥体的体积公式13V Sh =其中S 表示锥体的底面积，h 表示锥体的高球的表面积公式24S R π=球的体积公式343V R π=其中R 表示球的半径一、 选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.设函数2,0(),x x f x x x -≤⎧=⎨>⎩，若()4f a =，则实数a =（A ）-4或-2 （B ）-4或2 （C ）-2或4 （D ）-2或2 2.把复数z 的共轭复数记作z ,i 为虚数单位，若z=1+i,则(1)z z +⋅= （A ）3i - （B ）3i + （C ）13i + （D ）3 3.若某几何体的三视图如图所示，则这个几何体的直观图可以是4.下列命题中错误．．的是 （A ）如果平面α⊥平面β，那么平面α内一定存在直线平行于平面β （B ）如果平面α不垂直于平面β，那么平面α内一定不存在直线垂直于平面β （C ）如果平面α⊥平面γ，平面β⊥平面γ，l αβ⋂=，那么l ⊥平面γ （D ）如果平面α⊥平面β，那么平面α内所有直线都垂直于平面β5.设实数x 、y 是不等式组2502700,0x y x y x y +->⎧⎪+->⎨⎪≥≥⎩，若x 、y 为整数，则34x y +的最小值是（A ）14 （B ）16 （C ）17 （D ）19 6.若02πα<<，02πβ-<<，1cos()43πα+=，cos ()42πβ-=，则cos ()2βα+= （A（B）（C（D）7.若a 、b 为实数，则“01ab <<”是“1a b <或1b a>”的 （A ）充分而不必要条件 （B ）必要而不充分条件 （C ）充分必要条件 （D ）既不充分也不必要条件8.已知椭圆22122:1x y C a b +=（a >b >0）与双曲线 222:14y C x -=有公共的焦点，2C 的一条渐近线与以1C 的长轴为直径的圆相交于,A B 两点，若1C 恰好将线段AB 三等分，则（A ）2132a =（B ）2a =13 （C ）212b = （D ）2b =29.有5本不同的书，其中语文书2本，数学书2本，物理书1本。
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2011年普通高等学校招生全国统一考试（浙江卷）数学（理科）试题一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．设函数2,0,()()4,0.x x f x f x x α-≤⎧==⎨>⎩若,则实数α=A ．-4或-2B ．-4或2C ．-2或4D ．-2或22．把复数z 的共轭复数记作z ，i 为虚数单位，若1,(1)z i z z =++⋅则=A ．3-iB ．3+iC ．1+3iD ．33．若某几何体的三视图如图所示，则这个几何体的直观图可以是4．下列命题中错误．．的是 A ．如果平面αβ⊥平面，那么平面α内一定存在直线平行于平面β B ．如果平面α不垂直于平面β，那么平面α内一定不存在直线垂直于平面β C ．如果平面αγ⊥平面，平面βγ⊥平面，=l αβ⋂，那么l γ⊥平面D ．如果平面αβ⊥平面，那么平面α内所有直线都垂直于平面β5．设实数,x y 满足不等式组250270,0x y x y x +-⎧⎪+-⎨⎪⎩＞＞≥，y ≥0，若,x y 为整数，则34x y +的最小值是A ．14B ．16C ．17D ．196．若02πα＜＜，02πβ-＜＜，1cos()43πα+=，3cos()423πβ-=，则cos()2βα+= A ．33 B ．33-C ．539D ．69-7．若,a b 为实数，则“01mab ＜＜”是11a b b a＜或＞的A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件8．已知椭圆22122:1(0)x y C a b a b +=＞＞与双曲线221:14y C x -=有公共的焦点，1C 的一条渐近线与以1C 的长轴为直径的圆相交于,A B 两点，若1C 恰好将线段AB 三等分，则A ．2132a =B ．213a =C ．212b =D ．22b =9．有5本不同的书，其中语文书2本，数学书2本，物理书1本．若将其随机的并排摆放到书架的同一层上，则同一科目的书都不相邻的概率A ．15B ．25C ．35 D 4510．设a ，b ，c 为实数，f （x ）=（x+a ）22(),()(1)(1)x bx c g x ax ax bx ++=+++．记集合S=()0,,()0,,x f x x R T x g x x R =∈==∈若S ，T 分别为集合元素S ，T 的元素个数，则下列结论不可能．．．的是 A ．S =1且T =0 B ．1T =1S =且 C ．S =2且T =2D ．S =2且T =3非选择题部分（共100分）二、填空题：本大题共7小题，每小题4分，共28分11．若函数2()f x x x a =-+为偶函数，则实数a = = 。
12．若某程序框图如图所示，则该程序运行后输出的k 的值是 。
13．设二项式（x-x）6（a>0）的展开式中X 的系数为A,常数项为B ， 若B=4A ，则a 的值是 。
14．若平面向量α，β满足|α|=1，|β|≤1，且以向量α，β为邻边的平行四边形的面积为12，则α与β的夹角θ的取值范围是 。
15．某毕业生参加人才招聘会，分别向甲、乙、丙三个公司投递了个人简历，假定该毕业生得到甲公司面试的概率为23，得到乙丙公司面试的概率为p ，且三个公司是否让其面试是相互独立的。
记X 为该毕业生得到面试得公司个数。
若1(0)12P X ==，则随机变量X 的数学期望()E X =16．设,x y 为实数，若2241,x y xy ++=则2x y +的最大值是 ．。
17．设12,F F 分别为椭圆2213x y +=的左、右焦点，点,A B 在椭圆上，若125F A F B =;则点A 的坐标是 ．三、解答题;本大题共5小题，共72分。
解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
18．（本题满分14分）在ABC ∆中，角..A B C 所对的边分别为a,b,c ．已知()sin sin sin ,A C p B p R +=∈且214ac b =． （Ⅰ）当5,14p b ==时，求,a c 的值； （Ⅱ）若角B 为锐角，求p 的取值范围；19．（本题满分14分）已知公差不为0的等差数列{}n a 的首项1a 为a （a R ∈）,设数列的前n 项和为n S ，且11a ，21a ，41a 成等比数列 （1）求数列{}n a 的通项公式及n S （2）记1231111...n n A S S S S =++++，212221111...nn B a a a a =++++，当2n ≥时，试比较n A 与n B 的大小．20．（本题满分15分）如图，在三棱锥P ABC -中，AB AC =，D 为BC 的中点，PO ⊥平面ABC ，垂足O 落在线段AD 上，已知BC=8，PO=4，AO=3，OD=2 （Ⅰ）证明：AP ⊥BC ；（Ⅱ）在线段AP 上是否存在点M ，使得二面角A-MC-B 为直二面角？若存在，求出AM 的长；若不存在，请说明理由。
21．（本题满分15分）已知抛物线1C :3x ＝y ，圆2C :22(4)1x y +-=的圆心为点M（Ⅰ）求点M 到抛物线1c 的准线的距离；（Ⅱ）已知点P 是抛物线1c 上一点（异于原点），过点P 作圆2c 的两条切线，交抛物线1c 于A ，B 两点，若过M ，P 两点的直线l 垂直于AB ，求直线l 的方程22．（本题满分14分）设函数R a x a x x f ∈-=,ln )()(2（I ）若)(x f y e x ==为的极值点，求实数a ；（II ）求实数a 的取值范围，使得对任意的]3,0(e x ∈，恒有)4(2e xf ≤成立，注：e 为自然对数的底数。
参考答案一、选择题：本大题考查基本知识和基本运算。
每小题5分，满分50分。
BADDBCACBD二、填空题：本题考查基本知识和基本运算。
每小题4分，满分28分。
11．0 12．5 13．2 14．5[,]66ππ15．5316．5 17．(0,1)± 三、解答题：本大题共5小题，共72分。
18．本题主要考查三角变换、正弦定理、余弦定理等基础知识，同时考查运算求解能力。
满分14分。
（I ）解：由题设并利用正弦定理，得5,41,4a c ac ⎧+=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩解得1,1,41, 1.4a a c c =⎧⎧=⎪⎪⎨⎨=⎪⎪=⎩⎩或 （II ）解：由余弦定理，2222cos b a c ac B =+-222222()22cos 11cos ,2231cos ,22a c ac ac B pb b b B p B =+--=--=+即因为230cos 1,(,2)2B p <<∈得，由题设知0,2p p ><<所以19．本题主要考查等差数列、等比数列、求和公式、不等式等基础知识，同时考查分类讨论思想。
满分14分。
（I ）解：设等差数列{}n a 的公差为d ，由2214111(),a a a =⋅ 得2111()(3)a d a a d +=+因为0d ≠，所以d a =所以1(1),.2n n an n a na S +==（II ）解：因为1211()1n S a n n =-+，所以 123111121(1)1n n A S S S S a n =++++=-+ 因为1122n n a a --=，所以21122211()11111212(1).1212n nn nB a a a a a a --=++++=⋅=-- 当0122,21n n n n n n n C C C C n ≥=++++>+时，即1111,12n n -<-+ 所以，当0,;n n a A B ><时 当0,.n n a A B <>时20．本题主要考查空是点、线、面位置关系，二面角等基础知识，空间向量的应用，同时考查空间想象能力和运算求解能力。
满分15分。
方法一：（I ）证明：如图，以O 为原点，以射线OP 为z 轴的正半轴，建立空间直角坐标系O —xyz则(0,0,0),(0,3,0),(4,2,0),(4,2,0),(0,0,4)O A B C P --，(0,3,4),(8,0,0)AP BC ==-，由此可得0AP BC ⋅=，所以AP BC ⊥，即.AP BC ⊥（II ）解：设,1,(0,3,4)PM PA PM λλλ=≠=--则BM BP PM BP PA λ=+=+ (4,2,4)(0,3,4)(4,23,44)λλλ=--+--=----(4,5,0),(8,0,0)AC BC =-=-设平面BMC 的法向量1111(,,)n x y z =， 平面APC 的法向量2n 222(,,)x y z =由110,0,BM n BC n ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩ 得11114(23)(44)0,80,x y x x λλ--++-=⎧⎨-=⎩即11110,23(0,1,)2344,44x n z y λλλλ=⎧+⎪=⎨+-=⎪-⎩可取 由220,0.AP n AC n ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩即2222340,450,y z x y +=⎧⎨-+=⎩得222225,4(5,4,3).3,4x y n z y ⎧=⎪⎪=-⎨⎪=-⎪⎩可取 由12230,430,44n n λλ+⋅=-⋅=-得解得25λ=，故AM=3。
综上所述，存在点M 符合题意，AM=3。
方法二：（I ）证明：由AB=AC ，D 是BC 的中点，得AD BC ⊥ 又PO ⊥平面ABC ，得.PO BC ⊥因为PO AD O =，所以BC ⊥平面PAD ，故.BC PA ⊥（II ）解：如图，在平面PAB 内作BM PA ⊥于M ，连CM ， 由（I ）中知AP BC ⊥，得AP ⊥平面BMC ， 又AP ⊂平面APC ，所以平面BMC ⊥平面APC 。
在222,41,41.Rt ADB AB AD BD AB ∆=+==中得在222,Rt POD PD PO OD ∆=+中， 在222,,Rt PDB PB PD BD ∆=+中所以222236,PB=6.PB PO OD DB =++=得 在222Rt POA ,25, 5.PA AO OP PA ∆=+==中得又2221cos ,23PA PB AB BPA PA PB +-∠==⋅从而PM cos 2PB BPA =∠=，所以AM=PA-PM=3。
综上所述，存在点M 符合题意，AM=3。
21．本题主要考查抛物线的几何性质，直线与抛物线、圆的位置关系等基础知识，同时考查解析几何的基本思想方法和综合解题能力。