人教A版高中数学必修五正、余弦定理练习题
人教A版高中数学必修五同步练测：1.1正弦定理和余弦定理
1.1正弦定理和余弦定理（人教实验A版必修5）建议用时实际用时满分实际得分45分钟100分一、选择题（本大题共7小题，每小题4分，共28分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.在△ABC中，下列各式中符合余弦定理的是（）（1）c2＝a2＋b2－2ab cos C；（2）c2＝a2－b2－2bc cos A；（3）b2＝a2－c2－2bc cos A；（4）cos C＝a2＋b2＋c2－2ab.A.(1)B.(2)C.(3)D.(4)2.在△ABC中，a＝15，b＝10，A＝60°，则cos B=（）A.B.C.D.3.在△ABC中，已知a＝4，b＝6，C＝120°，则边c的长是（）A.B.C.2D.24.已知锐角A是△ABC的一个内角，a,b,c是三角形中各内角的对应边，若sin2A－cos2A＝12，则下列各式正确的是（）（1）b＋c＝2a；（2）b＋c2a；（3）b＋c≤2a；（4）b＋c≥2a.A.(1)B.(2)C.(3)D.(4)5.在△ABC中，D点为BC上一点，BD＝12DC，∠ADB＝120°，AD＝2.若△ADC的面积为3－3，则∠BAC ＝（）A.30°B.60°C.45°D.90°6.如果等腰三角形的周长是底边长的5倍，那么它的顶角的余弦值为（）A.B.C.D.7.在△ABC中，已知2sin A cos B=sin C，那么△ABC的形状是（）三角形.A.锐角B.直角C.等边D.等腰二、填空题（本大题共5小题，每小题5分，共25分.把答案填在题中横线上）8.如图，在四边形ABCD中，已知AD CD，AD=10，AB=14，∠BDA=60︒，∠BCD=135︒，则BC= .9.如图，AA1与BB1相交于点O，AB∥A1B1且AB＝1A1B1.若△AOB的外接2圆的直径为1，则△A1OB1的外接圆的直径为_______．10.在△ABC中，若B＝60°，2b＝a＋c，则△ABC的形状是．(填锐角三角形、直角三角形、钝角三角形)11.在△ABC中，下列关系式：①a sin B＝b sin A；②a＝b cos C＋c cos B；③a2＋b2－c2＝2ab cos C；④b＝c sin A＋a sin C，一定成立的个数是 .12.△ABC的内角A、B、C的对边分别是a、b、c，若B=2A，a=1，b=，则c= .三、解答题（共47分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）13.（11分）在△ABC中，b＝a sin C，c＝a cos B，试判断△ABC的形状．14.（12分）在锐角△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且2a sin B=b．（1）求角A的大小；（2）若a=6，b+c=8，求△ABC的面积．15.（12分）在△ABC中，sin cosA A+=，2AC=，3AB=，求tan A的值和△ABC的面积.16.（12分）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a ，b ，c ，且tan 21tan A cB b+=． （1）求角A ；（2）若m (0,1)=-，n ()2cos ,2cos 2C B =，试求|m +n |的最小值．1.1正弦定理和余弦定理（人教实验A 版必修5）答题纸得分：一、选择题二、填空题8． 9． 10． 11． 12． 三、解答题 13.14.15.16.1.1正弦定理和余弦定理（人教实验A 版必修5）参考答案1.A 解析：注意余弦定理的形式，特别是正负号问题．2.A 解析：依题意得0°60°，由正弦定理得sin sin a b A B=得sin B ＝sin b A a ＝33，cos B ＝＝63，故选A. 3.D 解析：根据余弦定理，得c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C ＝16＋36－2×4×6cos120°＝76，所以c ＝故选D.4.C 解析：由sin 2A －cos 2A ＝12，得cos2A ＝－12，又因为A 是锐角，所以A ＝60°，于是B ＋C ＝120°.所以2b c a+＝sin sin 2sin B C A+2sincos B C B C +-cos2B C -≤1，即b ＋c ≤2a .故选C.5.B 解析：由∠ADB ＝120°，知∠ADC ＝60°.又因为AD ＝2，所以S △ADC ＝12AD ·DC ·sin60°＝3－3，所以DC ＝2(3－1).又因为BD ＝12DC ，所以BD ＝3－1.过A 点作AE ⊥BC 于E 点，则S △ADC ＝12DC ·AE ＝3－3，所以AE ＝ 3.又在直角三角形AED 中，DE ＝1，所以BE ＝ 3.在直角三角形ABE 中，BE ＝AE ，所以△ABE 是等腰直角三角形，所以∠ABC ＝45°. 在直角三角形AEC 中，EC ＝23－3，所以tan ∠ACE ＝AE EC ＝323－3＝2＋3， 所以∠ACE ＝75°，所以∠BAC ＝180°－75°－45°＝60°.故选B.6.C 解析：设等腰三角形的底边长为a ，则由题意知等腰三角形的腰长为2a ，故顶角的余弦值为22244222··a a a a a＋－＝78.故选C. 7.D 解析：由2=，知2=， ∴+，即=0. ∴0，∴.故选D.8.ABD 中，设BD =x ，则2222cos BA BD AD BD AD BDA =+-⋅⋅∠， 即ο60cos 1021014222⋅⋅-+=x x ，整理得096102=--x x ，解得161=x ，62-=x （舍去）. ∵∠ADC =90°，∠BDA =60°，∴∠CDB =30°.由正弦定理得BCD BDCDB BC ∠=∠sin sin ， ∴2830sin 135sin 16=⋅=οοBC . 9.2解析：在△AOB 中，由正弦定理得＝1，∴sin ∠AOB ＝AB . ∵∠AOB =∠，∴.在△A 1OB 1中，由正弦定理得2R ＝＝＝2.10.锐角三角形解析一：根据余弦定理得b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B . ∵B ＝60°，2b ＝a ＋c ，∴2a c +⎛⎫⎪⎝⎭2＝a 2＋c 2－2ac cos60°， 整理得(a －c )2＝0，∴a ＝c .∴△ABC 是正三角形．∴△ABC 是锐角三角形． 解析二：根据正弦定理得，2b ＝a ＋c 可转化为2sin B ＝sin A ＋sin C . 又∵B ＝60°，∴A ＋C ＝120°，∴C ＝120°－A ，∴2sin60°＝sin A ＋sin(120°－A )，整理得sin(A ＋30°)＝1， ∴A ＝60°，C ＝60°.∴△ABC 是正三角形．∴△ABC 是锐角三角形． 11.3解析：由正、余弦定理知①③一定成立．对于②，由正弦定理知sin A ＝sin B cos C ＋sin C cos B ＝sin(B ＋C )，显然成立． 对于④，由正弦定理知sin B ＝sin C sin A ＋sin A sin C ＝2sin A sin C ，不一定成立．12.2解析：∵B =2A ，a =1，b =，∴由正弦定理=得： ===， ∴cos A =.由余弦定理得a 2=b 2+c 2-2bc cos A ，即1=3+c 2-3c ， 解得c =2或c =1（经检验不合题意，舍去），则c =2．故填2.13.解：由余弦定理知cos B ＝2222a c b ac＋－，将c ＝a cos B 代入，得c ＝2222a c b ac ＋－，∴c 2＋b 2＝a 2，∴△ABC 是以A 为直角顶点的直角三角形． 又∵b ＝a sin C ，∴b ＝a •ca，∴b ＝c ， ∴△ABC 是等腰三角形．综上所述，△ABC 是等腰直角三角形． 14.解：（1）由2a sin B =b ，利用正弦定理得：2sin A sin B =sin B .∵sin B ≠0，∴sin A =. 又A 为锐角，∴A =.（2）由余弦定理得：a 2=b 2+c 2-2bc cos A ，即36=b 2+c 2-bc =（b +c ）2-3bc =64-3bc ，∴bc =. 又sin A =，则=bc sin A =．15.解法一：先解三角方程，求出角A 的值..21)45cos(,22)45cos(2cos sin =-∴=-=+οοΘA A A A又0180οο<<A ,4560,105.A A ∴-==oootan tan(4560)2A ∴=+=-o o .46260sin 45cos 60cos 45sin )6045sin(105sin sin +=+=+==οοοοοοοA )62(434623221sin 21+=+⨯⨯⨯=•=∴∆A AB AC S ABC . 解法二：由sin cos A A +计算它的对偶关系式sin A -cos A 的值. 22cos sin =+A A Θ，①.0cos ,0sin ,1800.21cos sin 2.21)cos (sin 2<>∴<<-=∴=+∴A A A A A A A οοΘ又23cos sin 21)cos (sin 2=-=-A A A A Θ, 26cos sin =-∴A A .② ①+②，得sin A =+264. ①－②，得cos A =-264.从而sin tan 2cos A A A ===-以下解法同解法一.16.解：（1）由正弦定理得，tan 2sin cos 2sin 11tan sin cos sin A c A B CB b B A B+=⇒+=， 即sin cos sin cos 2sin sin cos sin B A A B CB A B +=， ∴sin()2sin sin cos sin A B CB A B+=， ∴1cos 2A =．∵0πA <<，∴π3A =．（2）∵m +n 2cos ,2cos1(cos ,cos )2C B B C ⎛⎫=-= ⎪⎝⎭， ∴|m +n |222222π1πcos cos cos cos 1sin 2326B C B B B ⎛⎫⎛⎫=+=+-=--⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭． ∵π3A =，∴2π3B C +=， ∴2π0,3B ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭．从而ππ7π2666B -<-<． ∴当πsin 26B ⎛⎫-⎪⎝⎭＝1，即π3B =时，|m +n |2取得最小值12． ∴|m +n|min =。
#高中数学必修五：1.1.2-1《余弦定理》(人教A版必修5)
∠B=120o，求 AC
A
B
120°
解：由余弦定理得
A 2 C A 2 B B 2 C 2 A B B cC B os C
3222232co1s2o0 19
AC 19
答：岛屿A与岛屿C的距离为 19 km.
例1、在△ABC中，已知a= 6 ,b=2,c= 3 ,1
解三角形。
cosA<0，A为钝角，△ABC为钝角三角形。 练习2：在锐角△ABC中，边长a=1，b=2，
求边长c的取值范围。
解：∵coCsa2b2c2 0
a2c2b2
coBs
0
2bc
2ac
3c 5
∴
余弦定理：
推论:
a2b2c22bcco As
cos
b2 A
c2 a2 2bc
b2a2c22acco BscosBc2 a2 b2
例2、已知△ABC的三边为 7 、2、1，
求它的最大内角。
解：设三角形的三边分别为a= 7 ,b=2,c=1
则最大内角为∠A
由余弦定理得coAs b2 c2 a2
2bc
22 12
2
7
221
120
练习1：在△ABC中，已知a=12,b=8,c=6, 判断△ABC的形状。
a2b2c2
设
C a B ,C b A ,A c B
由向量减法的三角形法则得
c ab
c 2 cc (a b )(a b )
﹚
aa 2a b b2b22a ab bcoCs
a2b22ac bo C s
c2a2 b 22 acbo Cs
探 究： 若△ABC为任意三角形，已知角C，
人教A版数学高二必修5课时作业4正、余弦定理在三角形中的应用
答案：C
5．在△ABC中，∠BAC＝120°，AD为∠BAC的平分线，AC＝3，AB＝6，则AD的长是()
A．2 B．2或4
C．1或2 D．5
解析：如图，由已知条件可得∠DAC＝∠DAB＝60°.
因为AC＝3，AB＝6，S△ACD＋S△ABD＝S△ABC，
所以 ×3×AD× ＋ ×6×AD× ＝ ×3×6× ，
解得AD＝2.
答案：A
二、填空题(每小题5分，共15分)
6．在△ABC中，已知a＝3 ，cosC＝ ，S△ABC＝4 ，则b＝________.
解析：因为cosC＝ ，C∈(0，π)，所以sinC＝ ，
所以 absinC＝4 ，所以b＝2 .
答案：2
由余弦定理得
CD2＝BC2＋BD2－2BC·BD·cos ＝1＋ －2× × ＝ ，
故CD＝ .
又AB＝AD＋BD＝CD＋BD＝ ＋ ＝ ，
故边AB的长为 .
即sin(A＋B)＝sin2C，
因为sinC≠0，所以sinC＝1，
故C＝90°，
又S＝ bcsinA＝ (b2＋c2－a2)，
所以sinA＝ ＝cosA，
所以tanA＝1，
故A＝45°，所以B＝45°，故选C.
答案：C
12．在△ABC中，AB＝ ，点D是BC的中点，且AD＝1，∠BAD＝30°，则△ABC的面积为________．
(2)当△ABC的面积为3时，求a＋c的值．
解析：(1)因为cosB＝ >0，B∈(0°，90°)，所以sinB＝ .
由正弦定理 ＝ 可得 ＝ ，
所以a＝ .
(2)因为△ABC的面积S＝ ac·sinB，
高中数学必修5复习题及答案(A组)免费范文
篇一：高中数学必修5课后习题答案人教版高中数学必修5课后习题解答第一章解三角形1．1两角和与差的正弦、余弦和正切公式练习（P4） 1、（1）a?14，b?19，B?105?；（2）a?18cm，b?15cm，C?75?. 2、（1）A?65?，C?85?，c?22；或A?115?，C?35?，c?13；（2）B?41?，A?24?，a?24. 练习（P8） 1、（1）A?39.6?,B?58.2?,c?4.2 cm；（2）B?55.8?,C?81.9?,a?10.5 cm. 2、（1）A?43.5?,B?100.3?,C?36.2?；（2）A?24.7?,B?44.9?,C?110.4?. 习题1.1 A组（P10） 1、（1）a?38cm,b?39cm,B?80?；（2）a?38cm,b?56cm,C?90? 2、（1）A?114?,B?43?,a?35cm;A?20?,B?137?,a?13cm（2）B?35?,C?85?,c?17cm；（3）A?97?,B?58?,a?47cm;A?33?,B?122?,a?26cm； 3、（1）A?49?,B?24?,c?62cm；（2）A?59?,C?55?,b?62cm；（3）B?36?,C?38?,a?62cm；4、（1）A?36?,B?40?,C?104?；（2）A?48?,B?93?,C?39?；习题1.1 A组（P10）1、证明：如图1，设?ABC的外接圆的半径是R，①当?ABC时直角三角形时，?C?90?时，?ABC的外接圆的圆心O在Rt?ABC的斜边AB上.BCAC在Rt?ABC中，?sinA，?sinBABABab即?sinA，?sinB 2R2R所以a?2RsinA，b?2RsinB 又c?2R?2R?sin902RsinC （第1题图1）所以a?2RsinA, b?2RsinB, c?2RsinC②当?ABC时锐角三角形时，它的外接圆的圆心O在三角形内（图2），作过O、B的直径A1B，连接AC， 1?90?，?BACBAC则?A1BC直角三角形，?ACB. 11在Rt?A1BC中，即BC?sin?BAC1， A1Ba?sin?BAC?sinA， 12R所以a?2RsinA，同理：b?2RsinB，c?2RsinC③当?ABC时钝角三角形时，不妨假设?A为钝角，它的外接圆的圆心O 在?ABC外（图3）（第1题图2）作过O、B的直径A1B，连接AC.1则?A1BC直角三角形，且?ACB?90?，?BAC?180?11在Rt?A1BC中，BC?2Rsin?BAC， 1即a?2Rsin(180?BAC)即a?2RsinA同理：b?2RsinB，c?2RsinC综上，对任意三角形?ABC，如果它的外接圆半径等于则a?2RsinA,b?2RsinB, c?2RsinC2、因为acosA?bcosB，所以sinAcosA?sinBcosB，即sin2A?sin2B 因为0?2A,2B?2?，（第1题图3）所以2A?2B，或2A?2B，或2A?22B. 即A?B或A?B?所以，三角形是等腰三角形，或是直角三角形.在得到sin2A?sin2B后，也可以化为sin2A?sin2B?0 所以cos(A?B)sin(A?B)?0 A?B??2.?2，或A?B?0即A?B??2，或A?B，得到问题的结论.1．2应用举例练习（P13）1、在?ABS中，AB?32.2?0.5?16.1 n mile，?ABS?115?，根据正弦定理，得AS?ASAB?sin?ABSsin(6520?)?AB?sin?ABS16.1?sin115sin(6520?)∴S到直线AB的距离是d?AS?sin2016.1?sin115sin207.06（cm）. ∴这艘船可以继续沿正北方向航行. 2、顶杆约长1.89 m. 练习（P15）1、在?ABP中，?ABP?180?，?BPA?180(?)ABP?180(?)?(180?)在?ABP中，根据正弦定理，APAB?sin?ABPsin?APBAPa?sin(180?)sin(?)a?sin(?)AP?sin(?)asin?sin(?)所以，山高为h?APsinsin(?)2、在?ABC中，AC?65.3m，?BAC?25?2517?387?47??ABC?909025?2564?35?ACBC?sin?ABCsin?BAC?747AC?sin?BAC65.?3?sinBC?m 9.8?sin?ABCsin?6435井架的高约9.8m.200?sin38?sin29?3、山的高度为?382msin9?练习（P16） 1、约63.77?. 练习（P18） 1、（1）约168.52 cm2；（2）约121.75 cm2；（3）约425.39 cm2. 2、约4476.40 m2a2?b2?c2a2?c2?b2?c?3、右边?bcosC?ccosB?b?2ab2aca2?b2?c2a2?c2?b22a2?a左边? 【类似可以证明另外两个等式】 ?2a2a2a习题1.2 A组（P19）1、在?ABC中，BC?35?0.5?17.5 n mile，?ABC?14812622?根据正弦定理，14?8)?，1BAC?1801102248ACB?78(180ACBC?sin?ABCsin?BACBC?sin?ABC17.?5s?in22AC?8.8 2n milesin?BACsin?48货轮到达C点时与灯塔的距离是约8.82 n mile. 2、70 n mile.3、在?BCD中，?BCD?301040?，?BDC?180?ADB?1804510125?1CD?3010 n mile3CDBD根据正弦定理， ?sin?CBDsin?BCD10BD?sin?(18040125?)sin40?根据正弦定理，10?sin?40sin1?5在?ABD中，?ADB?451055?，?BAD?1806010110??ABD?1801105515?ADBDABADBDAB根据正弦定理，，即sin?ABDsin?BADsin?ADBsin15?sin110?sin55?10?sin?40?sin1?5BD?sin1?5?10s?in40?6.8 4n mile AD?sin1?10si?n110?sin70BD?sin5?5?10sin40?sin55n mile 21.6 5sin1?10sin15?sin70如果一切正常，此船从C开始到B所需要的时间为：AD?AB6.8?421.6520?min ?6?01?0?60 86.983030即约1小时26分59秒. 所以此船约在11时27分到达B岛. 4、约5821.71 m5、在?ABD中，AB?700 km，?ACB?1802135124?700ACBC根据正弦定理，sin124?sin35?sin21?700?sin?35700?sin21?AC?，BC?sin1?24sin124?700?sin?357?00s?in21AC?BC7?86.89 kmsin1?24si?n124所以路程比原来远了约86.89 km.6、飞机离A处探照灯的距离是4801.53 m，飞机离B处探照灯的距离是4704.21 m，飞机的高度是约4574.23 m.1507、飞机在150秒内飞行的距离是d?1000?1000? m3600dx? 根据正弦定理，sin(8118.5?)sin18.5?这里x是飞机看到山顶的俯角为81?时飞机与山顶的距离.d?sin18.5??tan8114721.64 m 飞机与山顶的海拔的差是：x?tan81sin(8118.5?)山顶的海拔是20250?14721.64?5528 m8、在?ABT中，?ATB?21.418.62.8?，?ABT?9018.6?，AB?15 mABAT15?cos18.6?根据正弦定理，，即AT? ?sin2.8?cos18.6?sin2.8?15?cos18.6?塔的高度为AT?sin21.4?sin21.4106.19 msin2.8?326?189、AE97.8 km 60在?ACD中，根据余弦定理：AB?AC??101.235 根据正弦定理，（第9题）?sin?ACDsin?ADCAD?sin?ADC5?7si?n66sin 44?ACD?0.51AC101.2356?ACD?30.9??ACB?13330.9?6?10 2?在?ABC中，根据余弦定理：AB?245.93222AB?AC?B2C245.9?3101?.22352204sBAC?0.58co? 472?AB?AC2?245.?93101.235?BAC?54.21?在?ACE中，根据余弦定理：CE?90.75222AE2?EC?A2C97.8?90.?751012.235sAEC?0.42co? 542?AE?EC2?97?.890.75?AEC?64.82?0AEC?(1?8?0?7?5?)?7564.8?2 18?所以，飞机应该以南偏西10.18?的方向飞行，飞行距离约90.75 km.10、如图，在?ABCAC??37515.44 km222AB?AC?B2C6400?37515?2.44422200?0.692 ?BAC? 42?AB?AC2?640?037515.448，2 ?BAC?9043.?8 ?BAC?133.? 2所以，仰角为43.82?1111、（1）S?acsinB28?33?sin45326.68 cm222aca36（2）根据正弦定理：，c?sinCsin66.5?sinAsinCsinAsin32.8?11sin66.5?S?acsinB362sin(32.866.5?)?1082.58 cm222sin32.8?2（3）约为1597.94 cm122?12、nRsin.2na2?c2?b213、根据余弦定理：cosB?2acaa2所以ma?()2?c2?2c?cosB22a2a2?c2?b22?()?c?a?c? B22ac12212?()2[a2?4c2?2(a?c?2b)]?()[2(b?c2)?a2]222（第13题）篇二：人教版高中数学必修5期末测试题及其详细答案数学必修5试题一．选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分）1.由a1?1，d?3确定的等差数列?an?，当an?298时，序号n等于（）Ａ．99Ｂ．100Ｃ．96Ｄ．1012.?ABC中，若a?1,c?2,B?60?，则?ABC的面积为（） A．12B．2 C.1 D.3.在数列{an}中，a1=1，an?1?an?2，则a51的值为（）A．99 B．49 C．102 D． 101 4.已知x?0，函数y?4x?x的最小值是（） A．5 B．4C．8 D．6 5.在等比数列中，a11?2，q?12，a1n?32，则项数n为（） A. 3B. 4C. 5D. 66.不等式ax2?bx?c?0(a?0)的解集为R，那么（）A. a?0,0B. a?0,0C. a?0,0D. a?0,0?x?y?17.设x,y满足约束条件??y?x,则z?3x?y的最大值为（）y2A． 5B. 3C. 7 D. -88.在?ABC中,a?80,b?100,A?45?,则此三角形解的情况是（）A.一解 B.两解 C.一解或两解 D.无解9.在△ABC中，如果sinA:sinB:sinC?2:3:4，那么cosC等于（）A.23 B.-2113 C.-3D.-410.一个等比数列{an}的前n项和为48，前2n项和为60，则前3n项和为（ A、63B、108 C、75 D、83）二、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分） 11.在?ABC中，B?450,c?b?A＝_____________; 12.已知等差数列?an?的前三项为a?1,a?1,2a?3，则此数列的通项公式为______三、解答题 (本大题共6个小题，共80分；解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 15(12分) 已知等比数列?an?中，a1?a3?10,a4?a6?16(14分)(1) 求不等式的解集：?x(2)求函数的定义域：y?17 (14分)在△ABC中，BC＝a，AC＝b，a，b是方程x2?0的两个根，且2cos(A?B)?1。
高考数学 专题3.3 正弦定理和余弦定理同步单元双基双测(A卷)理-人教版高三全册数学试题
专题3.3 正弦定理和余弦定理（测试时间：120分钟满分：150分）一、选择题（共12小题，每题5分，共60分）1. 已知ABC ∆中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，222a b c bc =+-，4bc =，则ABC ∆的面积为（ ） A ．12B ．1C ．3D ．2 【答案】C ． 【解析】试题分析：由222a b c bc =+-，可得 60=A ，则所求面积3sin 21==A bc S ，故选C ． 考点：余弦定理．2. 【2018全国名校联考】已知,,a b c 分别是ABC ∆的三个内角所对的边，满足cos cos cos a b cA B C==，则ABC ∆的形状是（ ）A. 等腰三角形B. 直角三角形C. 等边三角形D. 等腰直角三角形 【答案】C故选C3. 在ABC ∆中，角C B A ,,的对边分别为c b a ,,.已知 45,3,2===A b a ，则角B 大小为A ．60 B ．120 C ．60或120 D ．15或75【来源】【百强校】2017届某某某某市高三9月摸底考试数学（文）试卷（带解析） 【答案】C 【解析】试题分析：由正弦定理可得:B sin 345sin 20=，由此可得23sin =B ，因a b >，故=B 60或 120，所以应选C .考点：1、正弦定理在解三角形中的应用.4.【2018某某永州一模】在ABC ∆中，,,a b c 分别为内角,,A B C 的对边，若2sin sin sin B A C =+，3cos 5B =，且6ABC S ∆=，则b =（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 【答案】C5. 某观察站C 与两灯塔A 、B 的距离分别为300米和500米，测得灯塔A 在观察站C 北偏东30，灯塔B 在观察站C 南偏东30处，则两灯塔A 、B 间的距离为：（ ） A ．400米 B ．500米 C ．700米 D ．800米 【答案】C 【解析】试题分析：根据题意，在ABC 中，300AC =米，500BC =米，120ACB ∠=︒，则利用余弦定理得：2223005002300500cos120AB =+-⨯⨯⨯︒，所以700AB =米，答案为C.考点：1.数学模型的建立；2.三角形中的余弦定理.6.∆ABC 外接圆半径为R ，且2R （22sin sin A C -）=(3)sin a b B -，则角C=（ ） A ．30° B ．45° C ．60° D ．90° 【答案】A 【解析】试题分析：根据正弦定理变形：sin 2a A R =，sin 2b B R =，sin 2c C R=，所以原式可转化为：()223a c a b b -=-，所以得：2223a c b ab -+=，根据余弦定理：2223cos 22a b c C ab +-==，又0180C <<，所以30C =。
2021_2022学年高中数学第一章正弦定理和余弦定理1.1.2余弦定理作业1新人教A版必修5
1.1.2余弦定理基础巩固一、选择题1．在△ABC 中，b ＝5，c ＝53，A ＝30°，则a 等于( ) A ．5 B ．4 C ．3 D ．10[答案] A[解析] 由余弦定理，得a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ， ∴a 2＝52＋(53)2－2×5×53×cos30°， ∴a 2＝25，∴a ＝5.2．在△ABC 中，已知a 2＝b 2＋c 2＋bc ，则角A 等于( ) A ．π3B ．π6C ．2π3D ．π3或2π3[答案] C[解析] ∵a 2＝b 2＋c 2＋bc ，∴cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝b 2＋c 2－b 2－c 2－bc 2bc ＝－12，又∵0<A <π，∴A ＝2π3.3．(2014·全国新课标Ⅱ理，4)钝角三角形ABC 的面积是12，AB ＝1，BC ＝2，则AC ＝( )A ．5B ． 5C ．2D ．1[答案] B[解析] 本题考查余弦定理及三角形的面积公式． ∵S △ABC ＝12ac sin B ＝12×2×1×sin B ＝12，∴sin B ＝22， ∴B ＝π4或3π4.当B ＝π4时，经计算△ABC 为等腰直角三角形，不符合题意，舍去．当B ＝3π4时，由余弦定理，得b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ，解得b ＝5，故选B ．4．(2014·江西理，4)在△ABC 中，内角A 、B 、C 所对应的边分别为a 、b 、c ，若c 2＝(a －b )2＋6，C ＝π3，则△ABC 的面积是( )A ．3B ．932C ．332D ．3 3[答案] C[解析] 本题考查正弦、余弦定理及三角形的面积公式．由题设条件得a 2＋b 2－c 2＝2ab －6，由余弦定理得a 2＋b 2－c 2＝ab ， ∴ab ＝6，∴S △ABC ＝12ab sin π3＝12×6×32＝332.选C ．5．△ABC 的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，若a 、b 、c 满足b 2＝ac ，且c ＝2a ， 则cos B ＝( ) A ．14 B ．34 C ．24D ．23[答案] B[解析] 由b 2＝ac ，又c ＝2a ，由余弦定理，得cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ＝a 2＋4a 2－a ×2a 2a ·2a ＝34.6．(2015·广东文，5)设△ABC 的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c .若a ＝2，c ＝23， cos A ＝32，且b ＜c ，则b ＝( ) A ．3 B ．2 2 C ．2 D ． 3[答案] C[解析] 由余弦定理，得a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ， ∴4＝b 2＋12－6b ，即b 2－6b ＋8＝0， ∴b ＝2或b ＝4. 又∵b <c ，∴b ＝2.二、填空题7．以4、5、6为边长的三角形一定是________三角形．(填：锐角、直角、钝角) [答案] 锐角[解析] 由题意可知长为6的边所对的内角最大，设这个最大角为α，则cos α＝16＋25－362×4×5＝18>0，因此0°<α<90°. 8．若2、3、x 为三边组成一个锐角三角形，则x 的取值范围为________． [答案] (5，13)[解析] 长为3的边所对的角为锐角时，x 2＋4－9>0，∴x >5， 长为x 的边所对的角为锐角时，4＋9－x 2>0，∴x <13， ∴5<x <13.三、解答题9．在△ABC 中，A ＋C ＝2B ，a ＋c ＝8，ac ＝15，求b .[解析] 解法一：在△ABC 中，由A ＋C ＝2B ，A ＋B ＋C ＝180°，知B ＝60°.a ＋c ＝8，ac ＝15，则a 、c 是方程x 2－8x ＋15＝0的两根．解得a ＝5，c ＝3或a ＝3，c ＝5. 由余弦定理，得b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ＝9＋25－2×3×5×12＝19.∴b ＝19.解法二：在△ABC 中，∵A ＋C ＝2B ，A ＋B ＋C ＝180°， ∴B ＝60°. 由余弦定理，得b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ＝(a ＋c )2－2ac －2ac cos B＝82－2×15－2×15×12＝19.∴b ＝19.10．在△ABC 中，已知sin C ＝12，a ＝23，b ＝2，求边c .[解析] ∵sin C ＝12，且0<C <π，∴C 为π6或5π6.当C ＝π6时，cos C ＝32，此时，c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C ＝4，即c ＝2. 当C ＝5π6时，cos C ＝－32，此时，c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C ＝28，即c ＝27.能力提升一、选择题1．在△ABC 中，AB ＝3，BC ＝13，AC ＝4，则AC 边上的高为( ) A ．322B ．332C ．32D ．3 3[答案] B[解析] 由余弦定理，可得cos A ＝AC 2＋AB 2－BC 22AC ·AB ＝42＋32－1322×3×4＝12，所以sin A ＝32. 则AC 边上的高h ＝AB sin A ＝3×32＝332，故选B ． 2．在△ABC 中，∠B ＝60°，b 2＝ac ，则这个三角形是( ) A ．不等边三角形 B ．等边三角形 C ．等腰三角形 D ．直角三角形[答案] B[解析] 由余弦定理，得cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ＝a 2＋c 2－ac 2ac ＝12，则(a －c )2＝0，∴a ＝c ，又∠B ＝60°， ∴△ABC 为等边三角形．3．在△ABC 中，三边长AB ＝7，BC ＝5，AC ＝6，则AB →·BC →等于( ) A ．19 B ．－14 C ．－18 D ．－19[答案] D[解析] 在△ABC 中AB ＝7，BC ＝5，AC ＝6， 则cos B ＝49＋25－362×5×7＝1935.又AB →·BC →＝|AB →|·|BC →|cos(π－B ) ＝－|AB →|·|BC →|cos B ＝－7×5×1935＝－19.4．△ABC 的三内角A 、B 、C 所对边的长分别为a 、b 、c ，设向量p ＝(a ＋c ，b )，q ＝(b －a ，c －a )，若p ∥q ，则C 的大小为( ) A ．π6B ．π3C ．π2D ．2π3[答案] B[解析] ∵p ＝(a ＋c ，b )，q ＝(b －a ，c －a )，p ∥q ， ∴(a ＋c )(c －a )－b (b －a )＝0， 即a 2＋b 2－c 2＝ab .由余弦定理，得cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab ＝ab 2ab ＝12，∵0<C <π，∴C ＝π3.二、填空题5．(2015·重庆文，13)设△ABC 的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，且a ＝2，cos C ＝－14，3sin A ＝2sin B ，则c ＝________. [答案] 4[解析] ∵3sin A ＝2sin B ， ∴3a ＝2b ，又∵a ＝2，∴b ＝3. 由余弦定理，得c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C ， ∴c 2＝22＋32－2×2×3×(－14)＝16，∴c ＝4.6．如图，在△ABC 中，∠BAC ＝120°，AB ＝2，AC ＝1，D 是边BC 上一点，DC ＝2BD ，则AD →·BC →＝________.[答案] －83[解析] 由余弦定理，得BC 2＝22＋12－2×2×1×(－12)＝7，∴BC ＝7，∴cos B ＝4＋7－12×2×7＝5714.∴AD →·BC →＝(AB →＋BD →)·BC →＝AB →·BC →＋BD →·BC → ＝－2×7×5714＋73×7×1＝－83.三、解答题7．已知圆内接四边形ABCD 的边长分别为AB ＝2，BC ＝6，CD ＝DA ＝4，求四边形ABCD 的面积． [解析] 如图，连结AC ．∵B ＋D ＝180°，∴sin B ＝sin D ．S 四边形ABCD ＝S △ABC ＋S △ACD ＝12AB ·BC ·sin B ＋12AD ·DC ·sin D ＝14sin B ．由余弦定理，得AB 2＋BC 2－2AB ·BC ·cos B ＝AD 2＋DC 2－2AD ·DC ·cos D ， 即40－24cos B ＝32－32cos D ．又cos B ＝－cos D ， ∴56cos B ＝8，cos B ＝17.∵0°<B <180°，∴sin B ＝1－cos 2B ＝437. ∴S 四边形ABCD ＝14sin B ＝8 3.8．设△ABC 的内角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，且a ＋c ＝6，b ＝2，cos B ＝79.(1)求a 、c 的值； (2)求sin(A －B )的值．[解析] (1)由余弦定理，得b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B 得，b 2＝(a ＋c )2－2ac (1＋cos B )，又已知a ＋c ＝6，b ＝2，cos B ＝79，∴ac ＝9.由a ＋c ＝6，ac ＝9，解得a ＝3，c ＝3. (2)在△ABC 中，∵cos B ＝79，∴sin B ＝1－cos 2B ＝429. 由正弦定理，得sin A ＝a sin Bb ＝223，∵a ＝c ，∴A 为锐角，∴cos A ＝1－sin 2A ＝13.∴sin(A －B )＝sin A cos B －cos A sin B ＝223×79－13×429＝10227.9．在△ABC 中，角A 、B 、C 所对边分别为a 、b 、c 且a ＝3，C ＝60°，△ABC 的面积为332，求边长b 和c .[解析] ∵S △ABC ＝12ab sin C ，∴332＝12×3b ×sin60°＝12×3b ×32， ∴b ＝2.由余弦定理，得c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C ＝9＋4－2×3×2×cos60° ＝9＋4－2×3×2×12＝7，∴c ＝7.。
高中数学第一章解三角形1.1正弦定理和余弦定理1.1.2余弦定理人教A版必修5
∴A＝60°，C＝180°－(A＋B)＝75°.
探究 2 已知三边(三边关系)解三角形 例 2 (1)在△ABC 中，若 a＝7，b＝4 3，c＝ 13，则 △ABC 的最小角为( )
πππ π A.3 B.6 C.4 D.12 (2)在△ABC 中，角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c， 已知 a－b＝4，a＋c＝2b，且最大角为 120°，求此三角形的 最大边长． 答案 (2)见解析
2．做一做
(1)在△ABC 中，角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c， 5π
若 a＝1，b＝ 7，c＝ 3，则 B＝____6____. (2) 已知 △ABC 的 三边 分 别为 2,3,4 ， 则此 三 角形是
___钝__角___三角形．
π (3)在△ABC 中，若 a2＋b2－c2＝ab，则角 C 的大小为 ___3_____．
解析 (1)因为 c<b<a，所以最小角为角 C. 所以 cosC＝a2＋2ba2b－c2＝429×＋74×8－4 133＝ 23， 所以 C＝π6，故选 B.
(2)已知 a－b＝4，且 a>b，且 a＝b＋4，又 a＋c＝2b， 则 b＋4＋c＝2b，所以 b＝c＋4，则 b>c，从而 a>b>c，所以 a 为最大边，A＝120°，b＝a－4，c＝a－8.
解 利用边的关系判断， 由正弦定理，得sinC＝c，
sinB b 由 2cosAsinB＝sinC，得 cosA＝2ssininCB＝2cb， 又 cosA＝b2＋2cb2c－a2，∴2cb＝b2＋2cb2c－a2，即 a＝b.
又(a＋b＋c)(a＋b－c)＝3ab，∴(a＋b)2－c2＝3ab， ∴b＝c， 综上 a＝b＝c，∴△ABC 为等边三角形．
高中数学第一章解三角形1.1正弦定理和余弦定理1.1.2余弦定理(2)课件新人教a必修5
1．1.2 余弦定理(二)
学习目标
1.熟练掌握余弦定理及其变形形式. 2.会用余弦定理解三角形. 3.能利用正弦、余弦定理解决有关三角形的恒等式化简、 证明及形状判断等问题．
内容索引
问题导学 题型探究 当堂训练
问题导学
知识点一 已知两边及其中一边的对角解三角形
思考2
△ABC中，sin 2A＝sin 2B.则A，B一定相等吗？
答案
∵A，B∈(0，π)，∴2A,2B∈(0,2π)， ∴2A＝2B或2A＝π－2B， 即 A＝B 或 A＋B＝2π.
梳理
判断三角形形状，首先看最大角是钝角、直角还是锐角；其次看是否 有相等的边(或角)．在转化条件时要注意等价．
知识点三 证明三角形中的恒等式
(3)当A为锐角时，如图，以点C为圆心，以a为半径作圆，
三角形解的个数取决于a与CD和b的大小关系： ①当a<CD时，无解； ②当a＝CD时，一解； ③当CD<a<b时，则圆与射线AB有两个交点，此时B为锐角或钝角，此 时B的值有两个． ④当a≥b时，一解． (4)如果a>b，则有A>B，所以B为锐角，此时B的值唯一．
引申探究 将本例中的条件(a＋b＋c)(b＋c－a)＝3bc改为(b2＋c2－a2)2＝b3c＋c3b－ a2bc，其余条件不变，试判断△ABC的形状． 解答
反思与感悟
(1)判断三角形形状，往往利用正弦定理、余弦定理将边、角关系相互转化， 经过化简变形，充分暴露边、角关系，继而作出判断． (2)在余弦定理中，注意整体思想的运用，如：b2＋c2－a2 ＝2bccos A，b2＋ c2＝(b＋c)2－2bc等等．
思考
前面我们用正弦定理化简过acos B＝bcos A，当时是把边化 成了角；现在我们学了余弦定理，你能不能用余弦定理把角 化成边？
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正、余弦定理练习题
一、单项选择题
1．△ABC 中，a (sin B －sin C )＋b (sin C －sin A )＋c (sin A －sin B )=（）
(A )1(B )0(C )2
1(D )π 2．△ABC 中，sin A =2sin Cc os B ，那么此三角形是（）
(A )等边三角形(B )锐角三角形(C )等腰三角形(D )直角三角形
3．△ABC 中，sin A ：sin B ：sin C =3：2：4，那么c os C =（）
(A )－
41(B )－32(C )32(D )4
1 4．在△ABC 中，A B B A 22sin tan sin tan ⋅=⋅，那么△ABC 一定是（） A ．锐角三角形 B ．直角三角形
C ．等腰三角形
D ．等腰三角形或直角三角形
5、在△ABC 中，一定成立的等式是()
A.a sinA=b sinB
B.a cosA=b cosB C .a sinB=b sinAD.a cosB=b cosA
6、若
c C b B a A cos cos sin ==则△ABC 为 （）
A ．等边三角形
B ．等腰直角三角形
C ．有一个内角为30°的直角三角形
D ．有一个内角为30°的等腰三角形
7、在△ABC 中，角,,A B C 的对边边长分别为3,5,6a b c ===,
则cos cos cos bc A ca B ab C ++的值为
A ．38
B ．37
C ．36
D ．35.
8、△ABC 的三边分别是a 、b 、c ，且其面积S=a b c 222
4
+-，角C=（）度 A ．30B ．45C ．60D ．不确定
9、在△ABC 中，已知2
2tan tan A a B b
=，判断此三角形的类型为．（） A ．等腰直角三角形
B ．直角三角形
C ．等腰三角形
D ．等腰三角形或直角三角形
10.在△ABC 中，已知sin B ·sin C ＝cos 22A
，判断此三角形的类型为．（）
A ．等腰直角三角形
B ．直角三角形
C ．等腰三角形
D ．等腰三角形或直角三角形
二、填空题 11、已知ABC ∆的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ， 若3
1sin =
A ，
B b sin 3=，则a = ． 12、△AB
C 中，a =1，B =3
π，S △ABC =3，那么tan C = . 13、在△ABC 中，已知边10c =,cos 4cos 3A b B a ==，则边长a= b= 14、∆ABC 中，已知BC=15，AB ：AC=7：8，sinB=
734,求BC 边上的高AD 的长= 15、△ABC 中，化简：(a 2－b 2－c 2)tan A ＋(a 2－b 2＋c 2)tan B = 三、解答题
16、在∆ABC 中，3
2π=
∠A ，a=7，b+c=8，求边b,c
17、锐角△ABC 中，若a=2bsinA(1)求角B （2）5a c ==，求边长b
18、△ABC 中，tan C =（1）求cosC(2)5,9,2
CA CB a b c =+=u u u r u u u r g 且求边
19、在四边形ABCD 中，AD ⊥CD ，AD=10，AB=14，ο60=∠BDA ，ο135=∠BCD ，求BC
20、△ABC 中，已知274sin
cos 222B C A +-=，（1）求角A
（2）若3,,a b c b c =
+=求边的值
21、如图，在平面四边形ABCD 中，已知1AD AB ==，
BAD θ∠=，且△BCD 为正三角形.
（Ⅰ）将四边形ABCD 的面积S 表示为θ的函数；
（Ⅱ）求S 得最大值及此时θ的值.
22、已知A 、B 、C 为ABC ∆的三内角，且其对边分别为a 、b 、c ，若2
1sin sin cos cos =-C B C B ． （Ⅰ）求A ；（Ⅱ）若4,32=+=c b a ，求ABC ∆的面积．
θD C
B A。