固体物理-三维周期场中电子运动的近自由电子近似
《固体物理》课程教学大纲
《固体物理》课程教学大纲课程名称：固体物理课程类别：专业必修课适用专业：物理学考核方式：考试总学时、学分：56 学时 3.5 学分其中实验学时：0 学时一、课程性质、教学目标固体物理学是应用物理和物理类专业的一门基础课程，是继四大力学之后的一门基础且关键的课程。
主要内容是固体的结构及组成粒子（原子、离子、电子等）之间的相互作用与运动规律，阐明固体的性能、用途以及其与微观图像的联系，以晶格振动、固态电子论和固体的能带理论为主要内容。
课程教学目标为：课程教学目标1：通过固体物理学的整个教学过程，使学生理解晶体微观结构和宏观性质的联系。
课程教学目标2：熟悉固体无论晶格结构，基本键和作用，晶格振动的物理图像，固体电子论和能带理论等基本概念和物理图像。
课程教学目标3：了解固体物理领域的一些新进展，为以后的专业课和研究生阶段学习打好基础。
课程教学目标与毕业要求对应的矩阵关系注：以关联度标识，课程与某个毕业要求的关联度可根据该课程对相应毕业要求的支撑强度来定性估计，H表示关联度高；M表示关联度中；L表示关联度低。
二、课程教学要求本课程教学的基本结构要求：本课程以晶体结构、晶体结合、晶格振动、能带理论、金属和半导体电子理论、外场中晶体电子的运动规律为基本结构，内容有晶格周期性、晶格的对称性、晶体四种结合方式、简谐振动、声子、晶格振动的热容理论、晶格振动模式密度、布洛赫定理、弱周期场近似、紧束缚近似、能态密度、准经典运动、回旋共振、德哈斯-范阿尔芬效应、电子热容等。
执行本大纲应注意的问题：1.注意本课程与量子力学和热统的紧密联系，尤其是注意量子力学课程进度；2．注意讲清本课程中的基本概念和基本理论，在保持课程的科学性及系统性的基础上，应突出重点、难点，并努力反映本学科的新成就，新动向；3．因学时有限，而内容较多，因此有一部分内容要求学生自学。
学生自学部位不占总学时，但仍然是大纲要求掌握内容。
学生自学部分，采用由教师提示，学生课后自学并提出问题，老师课后解答的方式；4．注重学生思考问题，培养学生思维和研究精神。
能带理论
能带理论能带理论是目前研究固体中电子运动的一个主要理论基础，定性的阐明了晶体中电子运动的普遍性特点。
在本章中主要学习了布洛赫定理和近自由电子近似等相关知识。
一、布洛赫定理1.晶格的周期性势场(1)在晶体中每点势能为各个原子实在该点所产生的势能之和；(2)每一点势能主要决定于与核较近的几个原子；(3)理想晶体中原子排列具有周期性，晶体内部的势场具有周期性；(4)电子的影响：电子均匀分布于晶体中，其作用相当于在晶格势场中附加了一个均匀的势场，而不影响晶体势场的周期性。
2. 布洛赫定理当势场具有晶格周期性时，波动方程的解具有如下性质：),(e )(r R r n R k i n ψψ⋅=+其中k 为电子波矢，332211n a n a n a n R ++=是格矢。
布洛赫函数的具体形式为： ()()r u r k r k i k ⋅=e ψ，()()n k k R r u ru +=。
3.近自由电子近似近自由电子近似是指如下的近似方法：依据能带理论，可以认为固体内部电子不再束缚在单个原子周围，而是在整个固体内部运动，仅仅受到离子实势场的微扰。
在远离布里渊区边界时，本征波函数的主部是动量的本征态，散射仅仅提供一阶修正。
近自由电子近似应用范围有限，只对碱金属适用。
正因为如此，这一类晶体的费米面近似为球形。
本章中近自由电子近似包括一维周期场和三维周期场中电子运动的近自由电子近似。
二、相关概念赝势指把离子实的内部势能用假想的势能取代真实的势能，但在求解波动方程时，不改变能量本征值和离子实之间区域的波函数。
费米面指金属中的自由电子满足泡利不相容原理，其在单粒子能级上分布几率遵循费米统计分布。
实际上，费米面可以理解为是最高占据能级的等能面，是当T=0时电子占据态与非占据态的分界面。
《近自由电子近似》课件
应用领域
在计算材料电子结构、能带 结构、光学性质等方面有广 泛应用。
对未来研究的建议
进一步发展
01
随着量子计算技术的发展，可以尝试使用更精确的量子力学方
法来描述电子的运动，以更准确地预测材料的性质。
与其他方法的结合
02
可以考虑将近自由电子近似与其他方法（如密度泛函理论、分
子动力学等）结合使用，以更全面地描述材料的性质。
04
近自由电子近似的挑战与 展望
近自由电子近似面临的挑战
计算量大
近自由电子近似涉及大量的计算， 需要高性能计算机和高效的算法。
精度问题
由于近似方法的局限性，计算结果 可能存在精度问题，需要进一步改
进。
物理效应的忽略
近自由电子近似忽略了某些重要的 物理效应，如电子-声子相互作用等 。
适用范围有限
近自由电子近似主要适用于金属和 半导体的电子结构计算，对于其他 材料可能不适用。
用。
03
这种近似在金属的许多性质 和现象中得到了广泛应用。
近自由电子近似的重要性
01
近自由电子近似能够解释金属的许多基本性质，如电
子态密度、能带结构等。
02它为金属的物理和化学性 Nhomakorabea提供了理论基础，有助于
理解金属的导电性、热学性质和光学性质等。
03
近自由电子近似也是发展更精确理论模型的基础，如
密度泛函理论等。
近自由电子近似的发展历程
01
02
03
近自由电子近似最初由F. Bloch 在20世纪20年代提出。
随后，W. Kohn和L. Sham等人 在20世纪60年代发展了密度泛函 理论，进一步完善了近自由电子 近似。
布洛赫定理 近自由电子近似-山东大学固体物理
设 T ˆ(R n)对 应 的(本 R n)， 征 则 值 有 为
T ˆ ( R n )( r )
根据平移特点
T ˆ ( R n ) T ˆ ( n 1 a 1 n 2 a 2 n 3 a 3 ) T ˆ ( n 1 a 1 ) T ˆ ( n 2 a 2 ) T ˆ ( n 3 a 3 )
a ib j 2πij
,
(Rn)eikRn
(r R n ) e ik R n (r ) ---布洛赫定理
再证明布洛赫波函数具有如下形式：
k r eik r u k r
u k r u k r R n
可以看出平面波 eikr能满足上式。因此矢量 k具有波矢的
a (k K h )iK e h r h
h
则上式化为
k (r )eik r uk (r )
u k (r R n ) u k (r )
即晶体中电子的波函数是按晶格周期调幅的平面波。
(r R n ) e ik R n (r ) k (r R n)2k (r )2
(a 1 )、 (a 2 )、 (a 3 ) ?
设 a 1 、 晶 a 2 、 a 3 方 体 N 1 向 、 N 在 2 、 N 3 个 各 , 原 有
由周期性边界条件
(r) (r N 1a1 )
(r) (r N 2a2 )
(r)
(r
N
3 a3
)
根据上式可得到
T ˆ N 1 a 1 ( r ) ( a 1 ) N 1( r ) ( r N 1 a 1 ) ( r )
(3) Tˆ (Rn)eikRn
(1)平移对称算符 T(Rn)
T ( R n )f( r ) f( r R n ) T 2 ( R n ) f ( r ) T ( R n ) f ( r R n ) f ( r 2 R n ) T l( R n ) f ( r ) f ( r l R n )
固体物理教学大纲课程名称固体物理课程性质专业必修课
固体物理教学⼤纲课程名称固体物理课程性质专业必修课《固体物理》教学⼤纲⼀、课程名称：固体物理⼆、课程性质：专业必修课三、课程教学⽬的：（⼀）课程⽬标：通过固体物理学课程的学习，使学⽣树⽴起晶体内原⼦、电⼦等微观粒⼦运动的物理图像及其有关模型，掌握晶体内微观粒⼦的运动规律及其与晶体宏观性能的物理联系，深刻理解晶体宏观性能的微观物理本质，为进⼀步学习和研究固体物理学各种专门问题及相关领域的内容建⽴初步的理论基础。
（⼆）教学⽬标：第⼀章晶体结构【教学⽬标】通过本章的教学，使学⽣了解晶格结构的实例、⾮晶态和准晶态的特征；理解和掌握晶体结构的周期性特征及其描述⽅法；理解和掌握晶体结构的对称性特征及其描述⽅法；理解和掌握倒格⼦的定义及其与正格⼦的关系；熟悉有关晶体结构的基本分析与计算。
借助于多媒体展⽰，使学⽣建⽴起晶体结构特征的直观图像。
第⼆章晶体的结合【教学⽬标】通过本章的教学，使学⽣了解晶体结合⼒的⼀般性质；掌握晶体的结合类型与特征；理解元素和化合物晶体结合的规律性；掌握离⼦晶体的结合能、体积弹性模量的计算；掌握范德⽡⽿斯晶体的结合能、体积弹性模量的计算。
在教学中，能够使学⽣认识到吸引与排斥的⽭盾的差别和对⽴统⼀是认识与理解固体的结合规律与性质的关键，培养学⽣的辩证思维能⼒。
第三章晶格振动与晶体的热学性质【教学⽬标】通过本章的教学，能够使学⽣理解简谐近似、格波概念、声⼦概念；理解玻恩-卡曼边界条件；了解三维格波的⼀般规律、晶格振动的⾮简谐效应；了解确定晶格振动谱的实验⽅法；掌握⼀维单原⼦、双原⼦晶格振动的格波解与⾊散关系；掌握晶格振动模式密度的计算⽅法；理解晶格热容量的量⼦理论、掌握爱因斯坦模型与德拜模型；理解格林爱森近似、掌握晶格状态⽅程。
结合例题分析和习题训练，提⾼学⽣分析问题和解决问题的能⼒。
第四章能带理论【教学⽬标】通过本章的教学，使学⽣能够了解晶体能带理论的基本假设和处理问题的基本思路；理解布洛赫定理及其推论的证明，掌握晶体能带的基本特征；熟悉克龙尼克—潘纳模型的求解与结论；熟悉布⾥渊区、费⽶⾯等基本概念；了解平⾯波⽅法、赝势⽅法；掌握近⾃由电⼦近似⽅法及其结论；掌握紧束缚近似⽅法的运⽤；掌握能态密度的计算⽅法。
固体物理学重要知识点
（1）Hall 系数—— Hall 系数 对于自由电子：q =－e ，所以， 其中，n 为单位体积中的载流子数，即载流子浓度。
由Hall 系数的测量不仅可以判断载流子的种类（带正电还是带负电），而且还是测量载流子浓度的重要手段。
载流子浓度越低，Hall 系数就越大，Hall 效应就越明显。
（2）F-D 分布函数——Fermi －Dirac 分布函数其中 μ是电子的化学势，其物理意义是在体积不变的情况下，系统增加一个电子所需的自由能。
从分布几率看，当E ＝μ时，f(μ)＝1/2 ，代表填充几率为1/2的能态。
当E －μ >几个kBT 时，exp[(E －μ)/ kBT] >>1 ，有： 这时，Fermi －Dirac 分布过渡到经典的Boltzmann 分布。
且f(E)随E 的增大而迅速趋于零。
这表明： E －μ >几个kBT 的能态是没有电子占据的空态。
（3）Bloch 函数及其物理意义Bloch 函数 行进波因子 表明在晶体中运动的电子已不再局域于某个原子周围，而是可以在整个晶体中运动的，这种电子称为共有化电子。
它的运动具有类似行进平面波的形式。
那么，周期函数 的作用则是对这个波的振幅进行调制，使它从一个原胞到下一个原胞作周期性振荡，但这并不影响态函数具有行进波的特性。
（4）波失k 的物理意义，态空间点阵，分布密度，简约区，k 取值总数波失k 的物理意义:表示不同原胞间电子波函数的位相变化。
不同的波矢量k 表示原胞间位相差不同，即描述晶体中电子不同的运动状态。
态空间点阵:k 取值不连续，在k 空间中，k 的取值构成一个空间点阵，称为态空间点阵。
分布密度：的分布密度为 简约区：（—— 简约区） k 取值总数：在简约区中波失k （5）金属，半导体电导率随温度变化的差异金属而言：Fermi 能级位于导带内，所以温度变化激发的载流子的贡献可以基本不用考虑；那么：随温度升高，晶格的振动加剧，从而导致载流子受到晶格振动所引起的散射，也就是声子的散射加强；从而电阻率增加，电导率下降；半导体而言：Fermi 能级位于导带和价带之间，温度变化激发的载流子的贡献必须考虑；随温度升高，从价带激发到导带的载流子数目增加，即有更多的载流子参与了导电，从而电阻率降低，电导率上升。
固体物理--近自由电子近似和能带电子的经典近似
ˆ (1) k k' H
1 ikx e 1 ' 2 L m 2me
1 ikx e ' 2 L m 2me
1 e 2 2 L 2 k (k m ) a
2 im x um a e 2 2 2 k ( k m ) a
令
x na
U ( x) U ( )
N 1 1 N 1 a i ( k ' k ) i ( k ' k )na 1 a i ( k ' k ) i ( k ' k )na e e U ( ) d e U ( ) d e 0 0 Na n 0 Na n 0
L
mx a
dx um
ˆ (1) k 0 k' H
E
(2) k
m
'
um
2
2 2 2 2 [k (k m ) ] 2me a
求和号加撇代表不包括m=0的项
非简并微扰小结
非简并微扰下一维系统的能量和波函数：
k Ek U0 ' 2 2 2 2m 2 m [k (k m ) ] 2m a 2 im x u 1 ikx m k e 1 ' 2 e a 2 2 L m 2 k ( k m ) 2 m a e
Ｌ
( 0 )* k'
dx k k
( 0) k
'
非简并微扰（波函数）-1
按非简并微扰理论，波函数计算到一级修正：
k k k
(0)
固体物理53平面波法
方程化为:
2k2
2m
E(k )a(0)
V (Kn )a( Kn )
0
V
(
Kn
)a(0)
2k 2 2m
E(k )a( Kn )
0
要使a(0)和a(Kn )有非零解，必须
2k 2
E(k)
2m
V (Kn )
V (Kn )
2k 2
E(k)
0
2m
利用：V ( Kn ) V ( Kn )
因为 V (r) 是实数，所以 V ( K m ) V * ( K m )
V
(r)
V
(
r
Rn
)
V
(
Km
)e iK m
(
r
Rn
)
Km
eiKm Rn 1
因为
Rn为正格矢，所以
Km
必为倒格矢，即
Km m1b1 m2b2 m3b3
5.3.1 微扰计算
哈密顿量可写为 Hˆ 2 2 V r
Kl
)a(K l
)
0
在上式求解过程中，利用了关系式：
e
i
(
Kl
Kn
)rdr
N
Ω
，
Kl ,Kn
e dr N Ω i
(
Km
Kl
Kn
)r
Km ,Kn Kl
2 2m
(
Kn
k )2
E(k )a(
Kn
)
Kl
V
Kn
(
Kn
Kl
)a(
Kl
)
0
因为
K n，K l
有无数多个取值，所以上式是一个无限多项
近自由电子近似理论
近自由电子近似理论这是能带理论中一个简单模型。
该模型的基本出发点是晶体中的价电子行为很接近于自由电子，周期势场的作用可以看作是很弱的周期性起伏的微扰处理。
仅管模型简单，但给出了周期场中运动的电子本征态的一些最基本特点。
5．3．1模型与零级近似这个模型的基本思想是：模型认为金属中价电子在一个很弱的周期场中运动（如图5-3-1），价电子的行为很接近于自由电子，又与自由电子不同。
这里的弱周期场设为()V x ∆ ，可以当作微扰来处理，即： (1)零级近似时，用势场平均值V 代替弱周期场V (x )；(2)所谓弱周期场是指比较小的周期起伏[()]()V x V V x -=∆做为微扰处理。
为简单起见，我们讨论一维情况。
零级近似下，电子只受到V 作用，波动方程及电子波函数，电子能量分别为：20000202202()2ikxk k d V E m dxx k E Vmψψψψ-+===+ ……………………………………（5-3-1）由于晶体不是无限长而是有限长L ，因此波数k 不能任意取值。
当引入周期性边界条件，则k 只能取下列值：2k l Naπ=，这里l 为整数 可见，零级近似的解为自由电子解的形式，故称为近自由电子近似理论。
5．3．1微扰计算根据量子力学的微扰理论，可以知道：()V r 图5-3-1 单电子的周期性势场首先计算能量的一级修正：(1)0*00*00[()]Lkk kk k Ek V k V dx V x V dx ψψψψ=∆=∆=-⎰⎰0*00*00()0LLk kk k V x dx V dx V V ψψψψ=-=-=⎰⎰…………………………………………（5-3-7）因此有能量的一级修正为零，必须根据（5-3-4）计算二级修正： 因为0*00()()()Lk k k V k k V x V k k V x k V x dx ψψ''''∆=-==⎰……………………………（5-3-8） 代入波函数表达式并按原胞划分，可得：1(1)()()0011()()N L n a i k k x i k k xna k V k e V x dx e V x dx L Na -+''----'∆==∑⎰⎰…………………………………（5-3-9） 这里令x na ξ=+，则()()()V x V na V ξξ=+=，因此有：1()()001()()N a i k k na i k k k V k k V x k e e V d Na ξξξ-''----''∆==∑⎰……………………………………（5-3-10） 整理上式为：1()()0011()()N a i k k i k k a nk V k e V d ea Nξξξ-''----⎡⎤'∆=⎢⎥⎣⎦∑⎰………………………………（5-3-11）下面分为两种情况讨论：（1）当2k k n aπ'-=⋅时，有1()01()1N i k k a neN -'--=∑，则设201()in a a n k V k eV d V a πξξξ-⋅⎡⎤'∆==⎢⎥⎣⎦⎰ 所以二级修正为：22(2)''2222[()]2nkk k kk k V k V E n E Ek k m aπ''''∆==--+∑∑ ……………………………（5-3-12）（2）2k k n aπ'-≠⋅时，有()1()()0111()01i k k NaN i k k a n i k k a e e N N e '---'-----==-∑，则有2(2)'00k k kk k V k E E E'''∆==-∑所以，在周期势场的情况下，计入能量的二级修正后晶体中电子的能量本征值为：零级近似一级修正 二级修正220(1)2(2)'000(1)'0002()()()kk k k k k ikxk k k k kk k E VmE k V kk V k E E E x k V k x x E Eψψψ'''''=+=∆'∆=-='∆=-∑∑ 电子波函数一级修正零级近似微扰理论重要公式能量本征值 （5-3-2） （5-3-3）（5-3-4）（5-3-5）（5-3-6）222(0)(1)(2)'22222[()]2n k k k k k V k E E E E n m k k m aπ'=++=+-+∑ ……………………………（5-3-13）5．3．3 重要结论 1、能带与禁带在零级近似中，电子作为自由电子，其能量本征值0k E 与k 的关系曲线是抛物线，在周期势场的微扰下，k E 曲线在n k aπ=±处断开，能量突变值为2n V ，如图5-3-2所示。
固体物理三大近似
固体物理三大近似
标题：固体物理中的三大近似
正文：
固体物理是研究固态物质中原子、分子和离子的运动和相互作用的学科。
在研究固体物理时，科学家们常常依赖于一些近似方法来简化问题，以便更好地理解和描述固体的行为。
本文将介绍固体物理中的三大近似方法。
第一大近似是周期性势场下的自由电子模型。
在固体物理中，原子核和电子之间的相互作用可以近似为周期性势场（晶格）中的自由电子。
这个模型假设电子之间几乎没有相互作用，只受到晶格的平均势场的影响。
通过这个近似模型，科学家们可以简化计算，更好地理解固体中电子的行为，如导电性、热导性等。
第二大近似是布洛赫定理。
布洛赫定理是固体物理中描述电子在晶格中运动的重要定理。
根据布洛赫定理，电子在晶格中的波函数可以表示为平面波和周期性函数的乘积形式。
这个近似方法有效地将
电子的波函数描述为受到晶格周期性势场的平面波的叠加，从而简化了电子在晶格中的运动分析。
第三大近似是有效质量近似。
在固体物理中，电子通常受到晶格势场的束缚，其行为可以类比为自由粒子在真空中的行为。
为了更好地描述这种行为，科学家们引入了有效质量的概念。
有效质量是描述电子在晶格中运动时所表现出的“质量”，其与电子在真空中的质量不同。
通过应用有效质量近似，科学家们可以将具有晶格势场影响的电子行为简化为具有自由粒子行为的问题，从而更好地研究固体的性质。
综上所述，固体物理中的三大近似方法分别是周期性势场下的自由电子模型、布洛赫定理和有效质量近似。
这些近似方法为科学家们提供了简化问题、更好地理解和描述固体物理的手段，促进了固体物理研究的进展。
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—— 简单立方格子 —— 第一布里渊区为原点和6个近邻格点的垂直平分面
围成的立方体
—— 第一布里渊区
2) 体心立方格子 —— 正格子基矢
—— 倒格子基矢
— 边长 的面心立方格子 —— 第一布里渊区为原点和12个近邻格点连线的垂直
平分面围成的正十二面体
—— 第一布里渊区 原点和12个近邻格点连线的垂直平分面围成的正十二面体
§4.3 三维周期场中电子运动的近自由电子近似
1. 模型和微扰计算
—— 电子受到粒子周期性势场的作用，势场的起伏较小, 零级近似，用势场的平均值代替离子产生的势场
势场的平均值
V V (r)
周期性势场起伏量
—— 微扰来处理
电子的波动方程 [ 2 2 V (r)] (r) E (r)
2m
晶格周期性势场函数
体心立方格子第一布里渊区各点的标记
3) 面心立方格子 —— 正格子基矢
—— 倒格子基矢
— 边长 的体心立方格子
—— 第一布里渊区为原点和8个近 邻格点连线的垂直平分面围成的正 八面体，和沿立方轴的6个次近邻 格点连线的垂直平分面割去八面体 的六个角，形成的14面体
Hale Waihona Puke —— 第一布里渊区 —— 八个面是正六边形 —— 六个面是正四边形
零级近似下电子的能量和波函数 —— 空格子中电子的能量和波函数
金属 ——
个原胞构成，体积
零级哈密顿量 薛定谔方程
H0
2 2m
2
V
2
2
0
(
r
)
V
0
(
r
)
E
0
0
(
r
)
2m
电子的波函数
能量本征值
—— 周期性边界条件 电子的波矢
电子的零级本征波函数 满足正交归一化条件
微扰时电子的能量和波函数 —— 近自由电子近似模型 微扰的情形
—— 三维晶格，波矢 在倒格矢垂直平分面上 以及附近的值，非简并 微扰不再适用
简单立方晶格中的倒格子空间 A和A’两点相差倒格矢
—— 两点零级能量相同
—— 四点相差一个倒格矢， 零级能量相同 —— 三维情形中，简并 态的数目可能多于两个
2. 布里渊区和能带
简单立方晶格k空间的二维示意图
—— 在k空间把原点 和所有倒格矢中点的 垂直平分面画出，k 空间分割为许多区域
V
n
'
E0 k
Vn
E0 k Gn
eiGn r
)]
因为
波函数
—— 不变
波函数可以写成自由电子波函数和晶格周期性函数乘积
k (r)
1 V
eik r
uk (r )
微扰后电子的能量
Ek
2k2 V 2m
k'
' E0 k
Vn 2
E0 k Gn
当和
的零级能量相等
Gn
(k
1 2
Gn
)
0
—— 一级修正波函数和二级能量修正趋于无穷大
—— 第一布里渊区为十 四面体
—— 布里渊区中某些对称 点和若干对称轴上的点能 量较为容易计算，这些点 的标记符号
布里渊区原点
六方面的中心
四方面的中心
计为 轴 —— 计为 轴 ——
方向 方向
—— 将零级近似下的波矢 k移入简约布里渊区，能量 变化的图像，图中定性画 出了沿轴的结果
—— 每个区域内E~k 是连续变化的，而在 这些区域的边界上能 量 E(k)发生 突 变 ，这 些区域称为布里渊区
—— 属于同一个布里渊区的能级构成一个能带 —— 不同的布里渊区对应不同的能带 —— 每一个布里渊区的体积相同，为倒格子原胞的体积
—— 每个能带的量子态数目：2N（计入自旋）
—— 三维晶格中，不同方向上能量断开的取值不同，使 得不同的能带发生重叠
二维正方格子
—— 第一布里渊区在k方向上能量最高点A，k’方向上 能量最高点C
—— C点的能量比第二布里渊区B点高
—— 第一布里渊区和第二布里渊区 能带的重叠
用简约波矢 表示能量和波函数 能量和波函数
—— 必须同时指明它们属于哪一个能带
3. 几种晶格的布里渊区 1) 简单立方格子 正格子基矢
0 k'
矩阵元
的计算
引入积分变量
应用
当上式中 则有
任意一项不满足 则有
—— 为整数
k ' k n1b1 n2b2 n3b3 Gn
波函数一级修正
电子的波函数
(r ) k
1 eikr [1 (
V
n
'
E0 k
Vn
E0 k Gn
eiGn r
)]
波函数
(r) k
1 eikr [1 (
微扰后电子的能量
Ek
Ek0
E (1) k
E(2) k
.
电子的波函数 (r ) 0(r ) (1)(r ) .
k
k
k
电子的能量
一级能量修正
二级能量修正
E (1) k
0
E(2) k
k'
k'|H'|k 2
' E0 E0
k
k'
电子的波函数
一级修正
(1) k
k'
'
k'| Ek0
H'|k Ek0'