高等代数第二讲 带余除法与整除性
高等代学1.4整数的一些整除性质PPT1
定理1.4.5 一个素数如果整除两个整数a 定理1.4.5 一个素数如果整除两个整数 与b的乘积， 的乘积， 那么它至少整除a 中的一个. 那么它至少整除 与b中的一个 中的一个 是一个素数， 不整除a 证 设p是一个素数， 如果 | ab，但p 不整除 ， 是一个素数 如果p ， 由素数的性质2， 必有(p, 由素数的性质 ， 必有 a)=1. 于是由定理1.4.4，存在整数s 和t 使得 sp + ta = 1 于是由定理 ， 两边同乘以b 两边同乘以 ：spb + tab =b . 左边的第一项自然能被p整除； 又因为p 左边的第一项自然能被 整除；又因为 | ab， 整除 ， 所以左边第二项也能被p整除 所以左边第二项也能被 整除. 整除 整除左边两项的和，从而p 于是p整除左边两项的和，从而 | b.
① ②
d | ai , i = 1,2,⋯, n
如果c ∈Z且c | ai , i =1,2,⋯, n, 那么c | d.
定理1.4.2 任意 n(n ≥ 2)个整数 a1, a2 ,⋯, an 都有最 定理 大公因数. 如果d是 大公因数 如果 是 a1, a2 ,⋯, an 的一个最大公因 也是一个最大公因数； 数，那么 - d 也是一个最大公因数；a1, a2 ,⋯, an的 两个最大公因数至多只相差一个符号. 两个最大公因数至多只相差一个符号 由最大公因数的定义和整除的基本性质， 证 由最大公因数的定义和整除的基本性质，显然最 后一个论断是成立的. 后一个论断是成立的 如果 a1 = a2 = ⋯= an = 0 . 显然0就是 的最大公因数. 显然 就是 a1, a2 ,⋯, an 的最大公因数 不全为零. 设 a1, a2 ,⋯, an 不全为零 考虑Z 的子集
§1.1整除的概念及带余除法
第一章整数的可除性整除性理论是初等数论的基础。
本章要介绍带余数除法，辗转相除法，最大公约数，最小公倍数，算术基本定理以及它们的q，使得成立，则称a能被b整除，a是b的倍数，b是a的约数（因数或除数），并且使用记号b∣a；如果不存在整数q使得a = bq成立，则称a不被b整除，记为显然每个非零整数a称这四个数为a的平凡约数，a下面的结论成立：∣a⇔±b∣±a；(ⅱ) c ∣b，b∣a⇒c∣a；(ⅲ) b∣a i，i = 1, 2, …, n⇒b∣a1q1+a2q2+…+a n q n，此处q i（i = 1, 2, , n）是任意的整数；(ⅳ) b∣a ⇒bc∣ac，此处c是任意的非零整数；(ⅴ) b∣a，a≠ 0 ⇒|b|≤|a|；b∣a且|a|<|b|⇒a = 0。
) 设a 与b 是两个整数，b > 0，则存在q 和r ，使得a = bq + r ，0 ≤ r <b (2) 成立且q 。
中的q 叫做a 被b 除所得的不完全商，r 叫做a 被例1 若1n >，且111n n -+ 求n222x y z +=的整数解能否全是奇数？为什300”位于哪个字母的下面A B C D E F G1 2 3 45 6 78 9 10 1112 13 1415 16 17 ……. 解：观察可以发现两行7个数组成一组故300=7×42+6与6同在字母D 的下面例4 a 除以b 商为c ，余数为r ，则am 除以bm 商为 ， 余数为 。
m N +∈某整数除以3余2，除以4余1，该整数除以12，余 ？三、整除的特征从正整数121n n N a a a a a a -=的末位a 起向左每k 个数码分为一节，最后剩下若有不足k 个数码的也为一节，记为()1()(),,,k k t k A A A并记()1()()()k k k t k S N A A A =+++----数节和1()1()2()()()(1)t kk k k t k S N A A A A -'=-++-----数节代数和 1、设d 是10k 的约数，则()k d N d A ⇔推论：能被2或5整除的数的特征是：这个数的末一位数能被2或5整除。
多项式的整除性和带余除法-课件(PPT演示)PPT16页
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71、既然我已经踏上这条道路，那么，任何东西都不应妨碍我沿着这条路走下去。——康德 72、家庭成为快乐的种子在外也不致成为障碍物但在旅行之际却是夜间的伴侣。——西塞罗 73、坚持意志伟大的事业需要始终不渝的精神。——伏尔泰 74、路漫漫其修道远，吾将上下而求索。——屈原 75、内外相应，言行相称。——韩非
多项式的整除性和带余除法-课件（PPT 演示）
56、极端的法规，就是极端的不公。 ——西 塞罗 57、法律一旦成为人们的需要，人们 就不再 配享受 自由了 。—— 毕达哥 拉斯 58、法律规定的惩罚不是为了私人的 利益， 而是为 了公共 的利益 ；一部 分靠有 害的强 制，一 部分靠 榜样的 效力。 ——格 老秀斯 59、假如没有法律他们会更快乐的话 ，那么 法律作 为一件 无用之 物自己 就会消 灭。— —洛克
带余除法教学
带余除法教学带余除法，也称长除法，是数学中经常使用的计算方法。
它可以将两个整数相除，并得出除法的商和余数。
在学习代数、高等数学、离散数学等领域时，都需要掌握带余除法。
本文将详细介绍带余除法的教学方法和技巧，帮助读者更好地理解和掌握这一重要的计算方法。
1. 带余除法的定义在整数除法中，给定被除数和除数，商和余数则可以表示为：被除数 = 除数 ×商 + 余数其中，余数是被除数除以除数所得到的余数，商是整除得到的商。
当余数为0时，被除数可以被除数整除。
2. 带余除法的原理对于任意两个整数a和b（其中b≠0），它们的带余除法可以表示为：a = bq + r其中，q是a÷b的商，r是a÷b的余数。
我们可以通过整数除法的性质来证明这个原理。
首先，b可以表示为：b = b×1 + 0根据带余除法的定义，我们可以得到：a = b×q + r其中，r是与a除b所得到的余数，b×q是被a除以b所得到的商。
通过余数的定义，我们可以得到：0 ≤ r < |b|也就是说，r的值应该在0和|b|-1之间。
3. 带余除法的步骤带余除法通常分为以下步骤：（1）在竖式中写下被除数和除数。
（2）计算第一位商，将它写在竖式上。
（3）将除数与第一位商相乘，得出一个中间结果。
（4）从被除数中减去中间结果，得出余数。
（5）将下一位被除数与余数写在一起，得出新的被除数。
（6）将新的被除数除以除数，得出第二位商，将其写在上面。
（7）重复步骤3到6，直到被除数的位数都被处理完毕。
（8）最后，商就是所有商的积，余数就是最后一次除法的余数。
4. 带余除法的注意事项在使用带余除法时，需要注意以下几个方面：（1）当余数为0时，被除数可以被除数整除。
（2）当除数为1时，商和被除数相等。
（3）当除数等于被除数时，商为1，余数为0。
（4）当被除数为0时，商和余数都为0。
（5）当除数和被除数的正负号相同时，商为正数；否则，商为负数。
多项式的整除性和带余除法
• 整除性的几个常用性质:
• 1.任一多项式 f(x)都能被 cf(x) 整除 • 2.如果f(x)|g(x),g(x)|f(x),则 f(x)=cg(x)(c≠0); • 3.如果f(x)|g(x),g(x)|h(x),则 f(x)|h(x); • 4.如果g(x)|f(x),则对任意多项式u(x) 都有 g(x)|u(x)f(x); • 5.如果f(x)|g(x),f(x)|h(x),则对任意 多项式u(x),v(x) 都有 f(x)|(u(x)g(x)+v(x)h(x));
• 补充:综合除法
设 f ( x ) a n x n a n 1 x n 1 a1 x a 0 f ( x) ( x c)q( x) r q ( x ) bn 1 x
n 1
bn 2 x
n2
b1 x b0
比较系数, 有 a n bn 1 , a n 1 bn 2 cbn 1 , , a 0 r cb0 我们得到综合除法 c | an a n 1 cbn 1 bn 1 bn 2 an2 cbn 2 bn 3 a1 cb1 b0 a0 cb0 r
由定义不难看出 1.零多项式被任意一个多项式整除; 2.零多项式不能整除任意非零多项式; 3.任意多项式一定整除它自身. 4.零次多项式(非零常数)整除任意多项式. 当g(x)≠0时,由带余除法定理得到 Theorem1.对于P[x]中任意两个多项式 f(x)与g(x),其中g(x)≠0, 则g(x)|f(x)的充分必要条件是g(x)除 f(x)的余式为零.
EXAMPLE1 . 实数 m, p, q 满足什么条件时, 多项式 x mx 1 能 整除 x px q ?
第2讲 整除、带余除法
第2讲 整除、带余除法1、定义：对于整数a 和不为零的整数b ，总存在整数,m n 使得(0)a bm n n b =+≤<,其中m 称为商，n 称为余数，特别地，当0n =时，即a bm =，便称a 被b 整除（也称a 是b 的倍数或b 是a 的约数），记为|.b a2、性质（1）若|,|a b b c ，则|a c ；（2）若|b a ，则|b ka ，其中k 是任意整数；（3）若|,|a b a c ，则|();a b c ±（4）若|a bc 且(),1a c =，则|a b .特别地，若质数|,p bc 则必有|p b 或|p c ；（5）若|,|b a c a 且(),1b c =，则|;bc a（6）若|,|,b a c a 则[],|b c a .其中(),b c 表示,b c 两数的最大公约数，[],b c 表示,b c 两数的最小公倍数，若(),b c =1，则称,b c 两个数互质.3.具有整除性的数的特征.（1）被2整除的数：个位数字是偶数；（2）被3整除的数：数字和被3整除；（3）被4（25）整除的数：末两位数字组成的两位数能被4（或25）整除；（4）被5整除的数：个位数字是0或5；（5）被7（或11或13）整除的数：奇数位的数字和与偶数位的数字和的差（偶数位的数字和与奇数位的数字和的差）能被7（或11或13）整除；（6）被8（或125）整除的数：末三位数字组成的三位数能被8（或125）整除；（7）被9整除的数：数字和被9整除.典例分析例题 1 如果五位数1234a 是3的倍数，那么a 是_______________.能力冲浪数．n n+除所得的商数q及余数r都是正值，则r的最大值与最例题 2 n为正整数，302被()1小值的和是（）A. 148B.247C.93D.1222-1. 整数A除以3余2，除以4余1，那么A除以12的余数是_________________.n+被4除余数是___________________.2-2. 如果2n被4除余数为1，则()252-3.（第14届“五羊杯”）五羊足球学校有3位教练带着学员一起跑步，如果学员每2人一行，那么最后一行只有1人；如果学员每3人一行，那么最后一行只有2人；如果教练和学员合起来每5人一行，那么刚好可以跑成一个方阵，已知学员人数约为250左右，那么跑步的人数为（ ）A.230B. 250C. 260D.280例题 3 （第十九届江苏省初中数学竞赛）在0,1,2,3,4，…,100这101个整数中,能被2或3整除的数一共有( )A. 85个B. 68C. 34个D. 17个3-1．（第14届“希望杯”）在1,2,3，…，100中，不能被2整除也不能被5整除的所有整数的乘积的个位数字是（ ）A. 7B. 1C. 3D.例题 4 （第十五届江苏省初中数学竞赛）今天是星期天，从今天起第20001111天是星期_____.4-1. (第14届“五羊杯”) 2002年10月1日是星期二，2008年10月1日是星期__________ 4-2. （第十六届江苏省初中数学竞赛）给出一列数1237,7,7， ，20017，其中末位数是3的有_________个.4-3. （第十八届江苏省初中数学竞赛）设2222=1+2+3++2003,m 今天是星期一，若算为第一天，则第m 天是星期几？。
《高等代数》电子教案——4.1整数的一些整除性质
第4章 多项式4.1整数的一些整除性质教学内容：4.1整数的一些整除性质教学目标：掌握整除的性质及带余除法，掌握最大公因数与互素的概念及互素的一些简单性质授课时数：2学时教学重点：整除的性质、带余除法、最大公因数存在定理教学难点：带余除法定理及最大公因数存在定理的证明（定理4.1.1与定理4.1.2的证明）教学过程：一、整数的整除1、整除的定义定义1 设,a b 是两个整数。
如果存在一个整数q 使得b aq =，则称a 整除b ，或称b 被a 整除，记作|a b ，也说a 是b 的因数，b 是a 的倍数。
如果对任意整数q ，都有b aq ≠,则称 a 不整除，记作|a b 。
注：用乘积的等式来定义整除，给后面的讨论带来方便，这是研究方法上的一个进步。
例1 3|6,3|6,5|11,0|0,0|(0),|0.b b a -≠2、整除与除法的区别除法中不能用0作除数；由于整除是由乘积的等式来定义的，有0|0。
二．整除的基本性质根据定义，容易推出整除的基本性质：1）若|,|,a b b c ,则|a c 。
2）若|,|a b a c ,则.|()a b c +。
3）若|,a b c Z ∈,则|a bc 。
4）若|,1,2,,i a b i n = ，,对任意12,,,n c c c Z ∈ ,则有1122|()n n a b c b c b c +++ 。
* 4）是2、3）的推广5）对于任意整数a 有，|0,1|,|a a a a ±±。
6）若|a b 且|b a ，则|b a ±。
6）的证明：按定义，存在整数,c d ，使得,b ac =且a bd =。
将b ac =代入a bd =，有()()a bd ac d a cd ===。
若0a =，则0b ac a ===；若0a ≠，则由消去律得1ad =，因此1c d ==±，于是|b a ±。
例2 若3|n ，且7|n ，则21|n 。
高等代数ppt课件
2）如果g(x) ︳f(x)，那么g(x)就是f(x)与g(x)的一个最大公因式；
§4.2 最大公因式
一、最大公因式的概念
1、公因式：如果多项式(x) 即是 f (x)的因式，又是g(x)的因式， 则称(x)为 f (x) 和 g(x) 的公因式。
3) f (x)g(x) = g(x) f (x);
4) (f (x)g(x)) h(x)=f (x)(g(x) h(x)); 5) f (x)(g(x)＋h(x))=f (x)g(x)＋f (x) h(x).
关于多项式的和与积的次数,我们有
引理4.1.1 设f (x)，g(x)是F[x]中非零多项式．则 (i) 当f (x)＋g(x)≠0时,
deg( f (x)＋g(x))≤max{deg f (x),deg g(x)}. (ii) deg( f (x)g(x)) = deg f (x)＋deg g(x). 推论4.1.2 设f (x), g(x) , h(x) ∈F[x]. (i) 如果f (x) g(x)=0，那么f (x) =0，或者 g(x)=0; (ii) 如果f (x) g(x) = f (x) h(x)，且f (x)≠0，那么g(x) =h(x).
这里当m＜n时， bm+1=…=bn= 0.
多项式f (x)与g(x)的积f (x)g(x)是指多项式 c0＋c1x＋c2x2＋…＋ckxk＋…＋cn+mxn+m,
其中 ck= aibj i jk
k=1,2,3, …,n+m.
对多项式g(x) = b0＋b1x＋b2x2＋…＋b m1x m1＋bmxm, 所谓g(x) 的负多项式－g(x) 是指多项式
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§1- 3 最大公因子与辗转相除法
定义 1；设 f ,g F[X ] 满足 h f , h g 1) 若 h ( X ) F [ X ]
则称 h ( X ) 为 f ( X ) 与 g ( X )的公因式。
2 ) 若 d ( X ) F [ X ] 是 f 和 g 的公因式 且是 f 和 g 的任一公因式的倍，
q1(X)
= x-1
r2(x)= x -1
所以 ( f, g ) = r2(x) = x -1
f gq 1 r1 ,
r1(x)= x2 +x -2 =(x-1)(x+2)
g r1 q 2 r2 .
r2 g r1 q 2 g ( f gq 1 ) q 2 . q 2 f (1 q1 q 2 ) g .
同理 ( r , g ) ( f , g ).
故 ( f , g ) ( r , g );
f
gq
1
r1 ,
deg r1 deg
g
g r1 q 2 r2 , r1 r2 q 3 r3 ,
deg r2 deg r1
rs 2 rs 1 q s rs rs 1 rs q s 1
proof : i ) 由 u f v g 1, u f h v g h h 两边同乘 f h. h
ii ) g f 1 h1 , f 2 f 1 h1 , 且 ( f 1 , f 2 ) 1 , f 2 h1 h1 f 2 h 2 , g f 1 f 2 h 2 , f1 f 2 g .
g (x)
x
x
x
,
则其首一最大公因式
( f ( x ), g ( x )) _ _ _ _ _ _ _ _ .
且有
u(x) _____， v(x) _____使 得
u ( x ) f ( x ) v ( x ) g ( x ) ( f ( x ), g ( x )).
iii ) 由 uf vg 1 ,
sf th 1 , 两边相乘得
uf ( sf th ) sfvg vtgh 1 ( f , gh ) 1 .
14
§2- 1 唯一析因定理
定义 1：若域 F 上的非常数多项式形式 可表为 f gh , f )
( g , h F [ X ]均非常数 f 是不可约。
定理 2 ：设 f , g F [ X ], 则 ( f , g ) d ( X ) 存在 且唯一 , 而且存在 uf vg d u , v F [ X ], 使
Bezout 等式 .
9
exp1
设
f (x)
1 4
1 4 3
x
4 1 4
1 4 2
x
2 1 2
1 2
,
1 2
f ( X ), g ( X ) F [ X ], d e g f , d e g g n . c1 , , c n 上 , f ( c i ) g ( c i )
定 理 4： 设 若在 则
n 个不同的点
f ( X ) g ( X ).
证 ： 令 h ( X ) f ( X ) g ( X ). 则 c 1 , , c n 是 h ( X )的 不 同 的 零 点 , h ( X ) 0 .
11
f gq 1 r1 ,
g r1 q 2 r2 .
r2 g r1 q 2 g ( f gq 1 ) q 2 . q 2 f (1 q1 q 2 ) g .
( f , g ) ( x 1) 4 r2 ( x )
4 q 2 f 4 (1 q 1 q 2 ) g
c 为 f ( X )的根 f ( X ) ( X c ) q ( X )。
设 f ( X ) ( X c)
m
g ( X ), ( g ( X ) F ( X ), c F , g ( c ) 0 , m 1) m 1时称 c 为单根。
则称 c 为 f ( X )的 m 重根。当
与
则代数系统（
A ;）与（ A ; ）中成为群 ，且 1 的逆元为
2 .令 G 是所有秩不大于 则在通常的矩阵乘法运
r 的 n 阶复方阵的集合， 算下， G 是否构成群
18
?
第二讲
带余除法与整除性; 最大公因子, 辗转相除法
1
GA02
§1- 2带余除法与整除性
定义 4 ： i ）设 f ( X ) a n X
n
n
a1 X a 0 , c F ,
则 f ( c ) a n c a 1 c a 0 , 称为 f ( X ) 在 c 点的值。
f1 ( X )
f ( X ) ( X a1 ) ( X a m ) f m ( X ) ( X a1 ) 两边次数相等
n1
( X am )
m
nm
f
m
(X )
, n i n .
i 1
4
推 论 ： 设 f ( X ) F [ X ], d e g f ( X ) n , 如 果 f ( X )在 F 中 有 n个 不 同 的 根 , 则 f ( X ) 0.
,
则称 d ( X ) 为 f ( X ) 与 g ( X )的最大公因式
.
f 与 g 的首一最大公因式记为
( f , g ).
6
引理 1：若 f gq r ,
proof
则 ( f , g ) ( r , g ).
f , , r f g) : 由 ( f , g ) f , ( f , g ) gg , 知 ( F [, X ] r ,
ii ) 若 f ( c ) 0 , 称 c 为 f ( X ) 在 F 中的根或零点， 也称 c 为 f ( X ) 0的解或根。
2
定理 2： i ) 余数定理 ii ) 零点定理
f ( X ) ( X c ) q ( X ) f ( c ). f ( c ) 0 ( X c ) f ( X ).
由 ( p , f ) p ，知 ( p , f ) 1，或 而 p , f 不互素
( p, f ) p p f 。
( ii ) 若 p 与 f 1不互素，则由 若 p 与 f 1互素，则 p f
2
(i ) p f ，
1
16
。
定义中的恒元和逆元都 可以证明，乘在右边也 即 a a
u ( x ) 4 q 2 x 1;
v ( x ) 4 (1 q 1 q 2 ) ( 4 x 1) x 3
2 2
(u , v ) 1
12
§1- 4 互素
定义：设 f , g F [ X ], 若 ( f ,g) 1 则称 f ( X ) 与 g ( X ) 互素。 定理 3：( f , g ) 1 存在 u , v F [ X ] 使 uf vg 1 .
x x x x
4
x 1
1 2 1 2
x x x
2
x x x
1 4 1 4 3 4 1 2
1 4
1 4
x x x
1 4 2 1 2
r2 x
1 4
1 4
( x 1)
r1 x 1
2
( x 1)( x 1)
( f , g ) ( x 1) 4 r 2( x)
又（
u ( x )， v ( x )） _ _ _ _ _ _ _ .
10
g (x)
q2
1 4
1 4
f (x)
1 2 1 2
x x x
3 1 4 2
1 4
1 4
x
4
1 4
3 3 3
1 4
x
1 2 2
2
2
1 2
1 2
q1
x
1 4
1 4
x
3Leabharlann 1 4 1 4 2
1 4
x
1 4 1 2
deg rs deg rs 1
( f , g ) ( g , r1 ) ( rs 1 , rs ) cr s
7
g(X) q2(X) x3+ 2x2 -3 x3 + x2 -2x =x+1 x2 +2x -3 x2 + x -2
f(X) x4+ x3- x2- 2x+ 1 x4+2 x3 - 3x - x3 - x2 +x + 1 - x3 - 2x2 + 3
proof : 由 Bezout 等式 d ( X ) 1 得证。 则 d(X ) f , d ( X ) 1.
设 ( f , g ) d ( X ), d (X ) g, d ( X )1
整除和互素有如下性质
：
13
定理 4 ： i ) 若 f gh , 且 ( f , g ) 1 , 则 f h . ii ) 若 f 1 g , f 2 g , 且 ( f 1 , f 2 ) 1 , 则 f 1 f 2 g . iii ) 若 ( f , g ) 1 , ( f , h ) 1 , 则 ( f , gh ) 1 .
R 上可约 ;
则称 f 在 F 上是可约，否则称
例： x x
2 2
2 在 Q 上不可约，在