高考数学 6年高考母题精解精析 专题14 复数01 理
高考数学压轴专题最新备战高考《复数》解析含答案
【最新】数学《复数》专题解析(1)一、选择题1．复数z 满足(2)36z i i +=-（i 为虚数单位），则复数z 的虚部为（ ）A ．3B ．3i -C ．3iD ．3- 【答案】D【解析】【分析】首先化简复数z ，然后结合复数的定义确定其虚部即可.【详解】 由题意可得：()()()()362361151322255i i i i z i i i i -----====--++-， 据此可知，复数z 的虚部为3-.本题选择D 选项.【点睛】复数的代数形式的运算主要有加、减、乘、除及求低次方根．除法实际上是分母实数化的过程．2．已知i 是虚数单位，复数134z i =-，若在复平面内，复数1z 与2z 所对应的点关于虚轴对称，则12z z ⋅=A ．25-B ．25C ．7-D ．7【答案】A【解析】【分析】根据复数1z 与2z 所对应的点关于虚轴对称，134z i =-，求出2z ，代入计算即可【详解】 Q 复数1z 与2z 所对应的点关于虚轴对称，134z i =-234z i ∴=--()()12343425z z i i ⋅=---=-故选A【点睛】本题主要考查了复数的运算法则及其几何意义，属于基础题3．已知复数(2)z i i =-，其中i 是虚数单位，则z 的模z = ( )A B C ．3 D ．5【答案】B【解析】22(2)22(1)5z i i i i =-=-=+-=，故选B ．4．若复数z 满足232,z z i +=-其中i 为虚数单位，则z=A ．1+2iB ．1-2iC ．12i -+D ．12i --【答案】B【解析】试题分析：设i z a b =+，则23i 32i z z a b +=+=-，故，则12i z =-，选B.【考点】注意共轭复数的概念【名师点睛】本题主要考查复数的运算及复数的概念，是一道基础题目.从历年高考题目看，复数题目往往不难，有时对复数的运算与概念、复数的几何意义等进行综合考查，也是考生必定得分的题目之一.5．设i 是虚数单位，则()()3211i i -+等于( ) A ．1i -B ．1i -+C ．1i +D ．1i --【答案】B 【解析】【分析】化简复数得到答案. 【详解】 ()()3221(1)(1)2(1)1221i i i i i i i ii -----===-++ 故答案选B【点睛】本题考查了复数的计算，意在考查学生的计算能力.6．已知复数1223,z i z a bi =+=+（,R,0a b b 且∈≠），其中i 为虚数单位，若12z z 为实数，则a b 的值为（ ） A ．32- B ．23- C ．23 D ．32【答案】B【解析】【分析】先根据复数乘法计算，再根据复数概念求a,b 比值.【详解】因为()1223(z z i a bi =++)()23(32a b a b =-++) i ， 所以320a b +=，因为0b ≠，所以23a b =-，选B. 【点睛】本题重点考查复数的基本运算和复数的概念，属于基本题.首先对于复数的四则运算，要切实掌握其运算技巧和常规思路，如()()()(),(,,.)++=-++∈a bi c di ac bd ad bc i a b c d R . 其次要熟悉复数相关基本概念，如复数(,)a bi a b R +∈的实部为a 、虚部为b 、模为(,)a b 、共轭为.-a bi7．已知i 是虚数单位，则131i i +=+（ ） A ．2i -B ．2i +C ．2i -+D ．2i -- 【答案】B【解析】【分析】利用复数的除法运算计算复数的值即可.【详解】由复数的运算法则有： 13(13)(1)422(1)(11)2i i i i i i i i ++-+===++-+. 故选B .【点睛】对于复数的乘法，类似于多项式的四则运算，可将含有虚数单位i 的看作一类同类项，不含i 的看作另一类同类项，分别合并即可；对于复数的除法，关键是分子分母同乘以分母的共轭复数，解题中要注意把i 的幂写成最简形式.8．若43i z =+，则z z=（ ） A ．1B ．1-C ．4355i +D ．4355i - 【答案】D【解析】【详解】由题意可得 ：5z ==，且：43z i =-， 据此有：4343555z i i z -==-. 本题选择D 选项.9．设3443i z i -=+，()21f x x x =-+，则()f z =（ ） A ．iB ．i -C ．1i -+D ．1i + 【答案】A【解析】【分析】利用复数代数形式的乘除运算化简，代入函数解析式求解．【详解】 解：3443i z i-=+Q ()()()()344334434343i i i z i i i i ---∴===-++- ()21f x x x =-+Q()()()21f z i i i ∴=---+=故选：A【点睛】本题考查复数代数形式的乘除运算，是基础的计算题．10．设(1)1i x yi -=+，其中,x y 是实数，则x yi +在复平面内所对应的点位于（ ） A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限 【答案】D【解析】由()11i x yi -=+，其中,x y 是实数，得：11,1x x x y y ==⎧⎧∴⎨⎨-==-⎩⎩，所以x yi +在复平面内所对应的点位于第四象限.本题选择D 选项.11．复数z 满足(2)1i z i -=+，那么||z =（ ）A ．5B ．15C ．25D ．5【答案】D【解析】【分析】 化简得到1355z i =+，再计算复数模得到答案. 【详解】(2)1i z i -=+，∴1(1)(2)13255i i i i z i ++++===-，∴1355z i =+，∴||z =. 故选：D .【点睛】本题考查了复数的运算，复数模，意在考查学生的计算能力.12．设2i 2i 1i z =++-，则复数z =（ ） A ．12i -B ．12i +C ．2i +D ．2i - 【答案】A【解析】【分析】根据复数的运算法则，求得12z i =+，再结合共轭复数的概念，即可求解．【详解】 由题意，可得复数()()()2i 1i 2i 2i 2i 12i 1i 1i 1i z +=++=++=+--+， 所以12i z =-．故选：A ．【点睛】本题主要考查了复数的运算，以及复数的共轭复数的概念及应用，其中解答中熟记复数的运算法则，准确运算是解答的关键，着重考查了运算能力．13．若复数1a i z i +=-，且3·0z i >，则实数a 的值等于（ ） A ．1B ．-1C ．12D ．12- 【答案】A【解析】【分析】由3·0z i >可判定3·z i 为实数，利用复数代数形式的乘除运算化简复数z ，再由实部为0，且虚部不为0列式求解即可.【详解】()()()()()i 1i 11i i 1i 1i 1i 2a a a a z ++-+++===--+Q ， 所以3·z i =()()()()341i 1i 1i 122a a a a -++--++=，因为3·0z i >，所以3·z i 为实数，102a --= 可得1a =，1a =时3,?10z i =>,符合题意，故选A. 【点睛】复数是高考中的必考知识，主要考查复数的概念及复数的运算．要注意对实部、虚部的理解，掌握纯虚数、共轭复数、复数的模这些重要概念，复数的运算主要考查除法运算，通过分母实数化转化为复数的乘法，运算时特别要注意多项式相乘后的化简，防止简单问题出错，造成不必要的失分.14．已知复数122i z i +=- （i 为虚数单位），则z 的虚部为（ ） A ．－1B ．0C ．1D ．i 【答案】C【解析】【分析】利用复数的运算法则，和复数的定义即可得到答案．【详解】 复数()()()()1221252225i i i i z i i i i +++====--+，所以复数z 的虚部为1，故选C ． 【点睛】本题主要考查了复数的运算法则和复数的概念，其中解答中熟记复数的基本运算法则和复数的概念及分类是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题．15．已知i 为虚数单位，,a b ∈R ，复数12i i a bi i+-=+-，则a bi -=（ ） A ．1255i - B ．1255i + C ．2155i - D ．21i 55+ 【答案】B【解析】【分析】 由复数的除法运算，可得(1)(2)12(2)(2)55i i i i i i a b i=+++-=--+，即可求解a b i -，得到答案．【详解】 由题意，复数12i i a bi i+-=+-，得(1)(2)1312(2)(2)555i i a b i=i i i i i i ++++-=-=--+， 所以1255a b i=i -+，故选B ． 【点睛】 本题主要考查了复数的运算，其中解答中熟记复数的基本运算法则，准确化简是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题．16．若1+是关于x 的实系数方程20x bx c ++=的一个复数根，则（ ）A ．2,3b c ==B ．2,1b c ==-C ．2,1b c =-=-D ．2,3b c =-=【答案】D【解析】【分析】由题意，将根代入实系数方程x 2+bx +c ＝0整理后根据得数相等的充要条件得到关于实数a ，b的方程组100b c -++=⎧⎪⎨=⎪⎩，解方程得出a ，b 的值即可选出正确选项 【详解】由题意1是关于x 的实系数方程x 2+bx +c ＝0∴﹣2+b bi +c ＝0，即()10b c i -+++=∴100b c -++=⎧⎪⎨=⎪⎩，解得b ＝﹣2，c ＝3 故选：D ．【点睛】本题考查复数相等的充要条件，解题的关键是熟练掌握复数相等的充要条件，能根据它得到关于实数的方程，本题考查了转化的思想，属于基本计算题17．已知下列三个命题：①若复数z 1，z 2的模相等，则z 1，z 2是共轭复数；②z 1，z 2都是复数，若z 1+z 2是虚数，则z 1不是z 2的共轭复数；③复数z 是实数的充要条件是z z =.则其中正确命题的个数为( )A ．0个B ．1个C ．2个D ．3个【答案】C【解析】【分析】运用复数的模、共轭复数、虚数等知识对命题进行判断.【详解】对于①中复数1z 和2z 的模相等,例如1=1+z i ,2z ,则1z 和2z 是共轭复数是错误的;对于②1z 和2z 都是复数,若12+z z 是虚数,则其实部互为相反数,则1z 不是2z 的共轭复数,所以②是正确的;对于③复数z 是实数,令z a =,则z a =所以z z =,反之当z z =时,亦有复数z 是实数,故复数z 是实数的充要条件是z z =是正确的.综上正确命题的个数是2个.故选C【点睛】本题考查了复数的基本概念,判断命题是否正确需要熟练掌握基础知识,并能运用举例的方法进行判断,本题较为基础.18．在复平面内，复数z 满足()112z i i +=-，则z 对应的点位于 （ ）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限【答案】B【解析】 ∵()112z i i +=-，∴()()()()221211212213131111222i i i i i i i z i i i i i -----+--=====--++--，∴1322z i =-+，故对应的点在第二象限．故选B ．19．在复平面内，虚数z 对应的点为A ，其共轭复数z 对应的点为B ，若点A 与B 分别在24y x =与y x =-上，且都不与原点O 重合，则OA OB ⋅=u u u v u u u v （ ）A ．-16B ．0C ．16D ．32 【答案】B【解析】【分析】 先求出(4,4)OA =u u u r ，(4,4)OB =-u u u r ，再利用平面向量的数量积求解.【详解】∵在复平面内，z 与z 对应的点关于x 轴对称， ∴z 对应的点是24y x =与y x =-的交点. 由24y x y x⎧=⎨=-⎩得(4,4)-或(0,0)（舍），即44z i =-， 则44z i =+，(4,4)OA =u u u r ，(4,4)OB =-u u u r ，∴444(4)0OA OB ⋅=⨯+⨯-=u u u r u u u r .故选B【点睛】本题主要考查共轭复数和数量积的坐标运算，考查直线和抛物线的交点的求法,意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.20．已知复数为纯虚数(为虚数单位)，则实数（）A．-1 B．1 C．0 D．2【答案】B【解析】【分析】化简得到，根据纯虚数概念计算得到答案.【详解】为纯虚数，故且，即.故选：.【点睛】本题考查了根据复数类型求参数，意在考查学生的计算能力.。
第4节 复数--2025年高考数学复习讲义及练习解析
第四节复数课标解读考向预测1.理解复数的代数表示及其几何意义，理解两个复数相等的含义.2.掌握复数代数表示式的四则运算，了解复数加、减运算的几何意义．复数是高考的必考内容，主要考查复数的加、减、乘、除运算及复数的几何意义．预计2025年高考会考查复数运算，题型以选择题、填空题为主，分值为5分或6分.必备知识——强基础1．复数的有关概念(1)复数的定义：形如a ＋b i(a ，b ∈R )的数叫做复数，其中01a 是实部，02b 是虚部，i 为虚数单位．(2)复数的分类复数z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )b 03＝0），b 04≠0）（当a 05＝0时为纯虚数）.(3)复数相等a ＋b i ＝c ＋d i ⇔06a ＝c 且b ＝d (a ，b ，c ，d ∈R )．(4)共轭复数a ＋b i 与c ＋d i 互为共轭复数⇔07a ＝c ，b ＝－d (a ，b ，c ，d ∈R )．(5)复数的模向量OZ →的模叫做复数z ＝a ＋b i 的模或绝对值，记作08|z |或09|a ＋b i|，即|z |＝|a ＋b i|＝a 2＋b 2(a ，b ∈R )．2．复数的几何意义(1)复数z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )一一对应复平面内的点Z (a ，b )．(2)复数z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )一一对应平面向量OZ →.3．复数的四则运算(1)复数的加、减、乘、除运算法则设z 1＝a ＋b i ，z 2＝c ＋d i(a ，b ，c ，d ∈R )，则①加法：z 1＋z 2＝(a ＋b i)＋(c ＋d i)＝10(a ＋c )＋(b ＋d )i ；②减法：z 1－z 2＝(a ＋b i)－(c ＋d i)＝11(a －c )＋(b －d )i ；③乘法：z 1·z 2＝(a ＋b i)(c ＋d i)＝12(ac －bd )＋(ad ＋bc )i ；④除法：z 1z 2＝a ＋b i c ＋d i ＝（a ＋b i ）（c －d i ）（c ＋d i ）（c －d i ）＝ac ＋bd c 2＋d 2＋bc －ad c 2＋d 2i(c ＋d i≠0)．(2)几何意义：复数加、减法可按向量的平行四边形或三角形法则进行．如图给出的平行四边形OZ 1ZZ 2可以直观地反映出复数加、减法的几何意义，即OZ →＝OZ 1→＋OZ 2→，Z 1Z 2→＝OZ 2→－OZ 1→.1．(1±i)2＝±2i ；1＋i 1－i ＝i ；1－i1＋i ＝－i.2．－b ＋a i ＝i(a ＋b i)(a ，b ∈R )．3．i 4n ＝1，i 4n ＋1＝i ，i 4n ＋2＝－1，i 4n ＋3＝－i(n ∈N )．4．i 4n ＋i 4n ＋1＋i 4n ＋2＋i 4n ＋3＝0(n ∈N )．5．复数z 的方程在复平面内表示的图形(1)a ≤|z |≤b 表示以原点O 为圆心，a 和b 为半径的两圆所夹的圆环．(2)|z －(a ＋b i)|＝r (r >0)表示以(a ，b )为圆心，r 为半径的圆．1．概念辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)复数z ＝a －b i(a ，b ∈R )中，虚部为b .()(2)复数可以比较大小．()(3)已知z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )，当a ＝0时，复数z 为纯虚数．()(4)复数的模实质上就是复平面内复数对应的点到原点的距离，也就是复数对应的向量的模．()答案(1)×(2)×(3)×(4)√2．小题热身(1)(2023·全国甲卷)5（1＋i 3）（2＋i ）（2－i ）＝()A ．－1B ．1C ．1－iD ．1＋i答案C解析5（1＋i 3）（2＋i ）（2－i ）＝5（1－i ）5＝1－i.故选C.(2)(人教A 必修第二册习题7.2T2改编)在复平面内，向量AB →对应的复数是2＋i ，向量CB →对应的复数是－1－3i ，则向量CA →对应的复数是()A ．1－2iB ．－1＋2iC ．3＋4iD ．－3－4i答案D解析∵CA →＝CB →＋BA →＝CB →－AB →＝－1－3i －2－i ＝－3－4i.故选D.(3)若a ＋b i(a ，b ∈R )是1－i1＋i 的共轭复数，则a ＋b ＝________．答案1解析由1－i 1＋i ＝（1－i ）（1－i ）（1＋i ）（1－i ）＝－i ，得a ＋b i ＝i ，即a ＝0，b ＝1，则a ＋b ＝1.(4)(人教B 必修第四册习题10－1A T2改编)已知(a －i)(1－2i)＝－3＋b i ，a ，b ∈R ，i 是虚数单位，则a ＋b ＝________；若复数z ＝a ＋b i ，则z 在复平面内对应的点位于第________象限．答案0二解析由(a －i)(1－2i)＝－3＋b i ，得a －2－(1＋2a )i ＝－3＋b i ，由复数相等的充要条件得－2＝－3，1＋2a ）＝b ，＝－1，＝1，所以a ＋b ＝0，z ＝－1＋i ，所以复数z 在复平面内对应的点为(－1，1)，位于第二象限．考点探究——提素养考点一复数的有关概念例1(1)(2023·苏州期末)设i 为虚数单位，若复数(1－i)(1＋a i)是纯虚数，则实数a 的值为()A ．－1B ．0C ．1D ．2答案A解析∵(1－i)(1＋a i)＝1＋a i －i ＋a ＝1＋a ＋(a －1)i 为纯虚数，∴1＋a ＝0，且a －1≠0，∴a＝－1.故选A.(2)若复数z 满足(1＋2i)z ＝4＋3i ，则z －的实部为()A ．1B ．－1C ．2D ．－2答案C解析由题意，得z ＝4＋3i 1＋2i ＝（4＋3i ）（1－2i ）（1＋2i ）（1－2i ）＝10－5i 5＝2－i ，所以z －＝2＋i ，故z －的实部为2.故选C.【通性通法】解决复数概念问题的两个注意事项【巩固迁移】1．(2024·衡水中学模拟)已知x1＋i＝1－y i ，其中x ，y 是实数，i 是虚数单位，则x ＋y i 的共轭复数为()A ．2＋iB ．2－iC ．1＋2iD ．1－2i答案B解析由x 1＋i ＝1－y i ，得x （1－i ）（1＋i ）（1－i ）＝1－y i ，即x 2－x2i ＝1－y i1，y ，解得x ＝2，y＝1，∴x ＋y i ＝2＋i ，∴其共轭复数为2－i.故选B.2．复数z＝(3＋i)(1－4i)，则复数z的实部与虚部之和是________．答案－4解析z＝(3＋i)(1－4i)＝7－11i，则z的实部为7，虚部为－11，故复数z的实部与虚部之和是7－11＝－4.考点二复数的运算例2(1)(2023·新课标Ⅰ卷)已知z＝1－i2＋2i，则z－z－＝()A．－i B．i C．0D．1答案A解析因为z＝1－i2＋2i＝（1－i）（1－i）2（1＋i）（1－i）＝－2i4＝－12i，所以z－＝12i，所以z－z－＝－i.故选A.(2)若复数z满足z－iz＋1＝i，则z2＝________，|z|＝________．答案－2i2解析设z＝a＋b i(a，b∈R)，则z－iz＋1＝a＋（b－1）i（a＋1）＋b i＝i，a＋(b－1)i＝i·[(a＋1)＋b i]＝－b＋(a＋1)i，＝－b，－1＝a＋1，＝－1，＝1，所以z＝－1＋i，故z2＝(－1＋i)2＝－2i，|z|＝（－1）2＋12＝ 2.【通性通法】复数代数形式运算的策略【巩固迁移】3．(2022·新高考Ⅱ卷)(2＋2i)(1－2i)＝()A．－2＋4i B．－2－4iC．6＋2i D．6－2i答案D解析(2＋2i)(1－2i)＝2＋4－4i＋2i＝6－2i.故选D.4．(2023·全国乙卷)设z ＝2＋i 1＋i 2＋i 5，则z －＝()A ．1－2iB ．1＋2iC ．2－iD ．2＋i答案B解析由题意可得z ＝2＋i 1＋i 2＋i 5＝2＋i 1－1＋i ＝i （2＋i ）i 2＝2i －1－1＝1－2i ，则z －＝1＋2i.故选B.考点三复数的几何意义例3(1)如图，若向量OZ →对应的复数为z ，则z ＋4z表示的复数为()A ．1＋3iB ．－3－iC ．3－iD ．3＋i答案D解析由题图可得Z (1，－1)，即z ＝1－i ，所以z ＋4z ＝1－i ＋41－i ＝1－i ＋4（1＋i ）（1－i ）（1＋i ）＝1－i ＋4＋4i2＝1－i ＋2＋2i ＝3＋i.故选D.(2)(多选)(2024·江苏徐州模拟)已知复数z 1＝－2＋i(i 为虚数单位)在复平面内对应的点为A ，复数z 2满足|z 2－1＋i|＝2，z 2在复平面内对应的点为B (x ，y )，则下列结论正确的是()A ．复数z 1的虚部为iB ．(x －1)2＋(y ＋1)2＝4C ．|z 1－z 2|的最大值为13＋2D ．|z 1＋z 2|的最小值为13－2答案BC解析由z 1＝－2＋i 知，虚部为1，故A 错误；因为|z 2－1＋i|＝2，z 2在复平面内对应的点为B (x ，y )，则|(x －1)＋(y ＋1)i|＝2，所以(x －1)2＋(y ＋1)2＝4，故B 正确；由题意知，点B 在以(1，－1)为圆心，2为半径的圆上，根据复数的几何意义，|AB |＝|z 1－z 2|，所以|z 1－z 2|max ＝（－2－1）2＋（1＋1）2＋2＝13＋2，故C 正确；|z 1＋z 2|＝|(－2＋x )＋(1＋y )i|＝（x －2）2＋（y ＋1）2表示点B 与定点(2，－1)的距离，易知点(2，－1)在圆内，所以|z 1＋z 2|min ＝2－（2－1）2＋（－1＋1）2＝1，故D 错误．故选BC.【通性通法】复数z 、复平面内的点Z 及向量OZ →相互联系，即z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )⇔Z (a ，b )⇔OZ →.由于复数、点、向量之间建立了一一对应的关系，因此可把复数、向量与解析几何联系在一起，解题时可运用数形结合的方法，使问题的解决更加直观．【巩固迁移】5．在复平面内，复数11－i的共轭复数对应的点位于()A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限答案D解析11－i ＝1＋i （1－i ）（1＋i ）＝12＋12i 的共轭复数为12－12i ，在第四象限．故选D.6．设复数z 满足|z －2i|＝1，在复平面内z 对应的点到原点的距离的最大值是()A ．1B ．3C ．5D ．3答案D解析由题意可知，在复平面内复数z 对应的点为复平面内一动点到定点(0，2)的距离为1的点的集合，即以(0，2)为圆心，1为半径的圆，圆心(0，2)到原点的距离为2，所以圆上任一点到原点的距离的最大值为2＋1＝3.故选D.课时作业一、单项选择题1．已知复数z ＝(a 2－4)＋(a －3)i(a ∈R )，则“a ＝2”是“z 为纯虚数”的()A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件答案A解析因为复数z ＝(a 2－4)＋(a －3)i(a ∈R )为纯虚数，2－4＝0，－3≠0，即a ＝±2，由充分条件和必要条件的定义知“a ＝2”是“a ＝±2”的充分不必要条件，所以“a ＝2”是“z 为纯虚数”的充分不必要条件．故选A.2．(2023·新课标Ⅱ卷)在复平面内，(1＋3i)(3－i)对应的点位于()A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限答案A解析因为(1＋3i)(3－i)＝3＋8i －3i 2＝6＋8i ，则所求复数对应的点为(6，8)，位于第一象限．故选A.3．(2024·长春模拟)若复数z 的共轭复数为z －，且满足z －·(1＋2i)＝1－i ，则复数z 的虚部为()A ．35B ．－35iC ．35iD ．－35答案A解析z －·(1＋2i)＝1－i ，∴z －＝1－i 1＋2i ＝（1－i ）（1－2i ）（1＋2i ）（1－2i ）＝－1－3i 5＝－15－35i ，∴z ＝－15＋35i ，∴复数z 的虚部为35.故选A.4．(2022·新高考Ⅰ卷)若i(1－z )＝1，则z ＋z －＝()A ．－2B ．－1C ．1D ．2答案D解析因为i(1－z )＝1，两边同乘以i ，则原式变为i 2(1－z )＝i ，即－1＋z ＝i ，z ＝1＋i ，那么z －＝1－i ，则z ＋z －＝1＋i ＋1－i ＝2.故选D.5．若复数z 满足(1＋i)·z ＝2－4i ，则|z －|＝()A ．10B ．10C ．20D ．25答案B解析z ＝2－4i 1＋i ＝（2－4i ）（1－i ）（1＋i ）（1－i ）＝2－2i －4i ＋4i 22＝－1－3i ，所以|z －|＝|－1＋3i|＝（－1）2＋32＝10.故选B.6．设z －是复数z 的共轭复数．在复平面内，复数z ＋2与z －＋2i 对应的点关于y 轴对称，则1z ＝()A ．－1＋iB ．－12－i 2C ．12－i 2D ．－12＋i 2答案B解析设z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )，则z ＋2＝(a ＋2)＋b i ，z －＋2i ＝a ＋(2－b )i ，因为复数z ＋2与z－＋2i 对应的点关于y 轴对称，所以a ＋2＋a ＝0且b ＝2－b ，解得a ＝－1，b ＝1，则z ＝－1＋i ，1z ＝1－1＋i ＝－1－i （－1＋i ）（－1－i ）＝－1－i 2＝－12－i2.故选B.7．已知复数z 满足|z －1－i|≤1，则|z |的最小值为()A ．1B ．2－1C ．2D ．2＋1答案B解析令z ＝x ＋y i(x ，y ∈R )，则由题意有(x －1)2＋(y －1)2≤1，∴|z |的最小值即为圆(x －1)2＋(y －1)2＝1上的动点到原点的最小距离，∴|z |的最小值为2－1.故选B.8．若1＋2i 是关于x 的实系数方程x 2＋bx ＋c ＝0的一个复数根，则()A ．b ＝2，c ＝3B ．b ＝2，c ＝－3C ．b ＝－2，c ＝－3D ．b ＝－2，c ＝3答案D解析方程的根为x ＝－b ±b 2－4c 2＝－b 2±b 2－4c4，1＋2i 为其中一个复数根，则有，2，＝－2，＝3.故选D.二、多项选择题9．(2023·苏州模拟)若复数z 满足(1＋i)z ＝5＋3i(其中i 是虚数单位)，则()A ．z 的虚部为－iB ．z 的模为17C ．z 的共轭复数为4－iD ．z 在复平面内对应的点位于第四象限答案BD解析由(1＋i)z ＝5＋3i ，得z ＝5＋3i 1＋i ＝（5＋3i ）（1－i ）（1＋i ）（1－i ）＝8－2i2＝4－i ，所以z 的虚部为－1，A 错误；z 的模为42＋（－1）2＝17，B 正确；z 的共轭复数为4＋i ，C 错误；z 在复平面内对应的点为(4，－1)，位于第四象限，D 正确．故选BD.10．(2024·湖北襄阳一中阶段考试)设z 1，z 2，z 3为复数，z 1≠0.下列命题中正确的是()A ．若|z 2|＝|z 3|，则z 2＝±z 3B ．若z 1z 2＝z 1z 3，则z 2＝z 3C ．若z －2＝z 3，则|z 1z 2|＝|z 1z 3|D ．若z 1z 2＝|z 1|2，则z 1＝z 2答案BC解析由|i|＝|1|，知A 错误；z 1z 2＝z 1z 3，则z 1(z 2－z 3)＝0，又z 1≠0，所以z 2＝z 3，故B 正确；|z 1z 2|＝|z 1||z 2|，|z 1z 3|＝|z 1||z 3|，又z －2＝z 3，所以|z 2|＝|z －2|＝|z 3|，故C 正确；令z 1＝i ，z 2＝－i ，满足z 1z 2＝|z 1|2，不满足z 1＝z 2，故D 错误．故选BC.11．欧拉公式e x i ＝cos x ＋isin x 是由瑞士著名数学家欧拉创立，该公式将指数函数的定义域扩大到复数，建立了三角函数与指数函数的关联，在复变函数论里面占有非常重要的地位，被誉为数学中的天桥．依据欧拉公式，下列说法正确的是()A ．复数e 2i 对应的点位于第二象限B ．eπ2i为纯虚数C ．复数e x i 3＋i的模等于12D ．e π6i 的共轭复数为12－32i答案ABC解析对于A ，e 2i ＝cos2＋isin2，因为π2<2<π，即cos2<0，sin2>0，所以复数e 2i 对应的点位于第二象限，A 正确；对于B ，e π2i ＝cos π2＋isin π2＝i ，e π2i 为纯虚数，B 正确；对于C ，e x i 3＋i＝cos x ＋isin x 3＋i＝（cos x ＋isin x ）（3－i ）（3＋i ）（3－i ）＝3cos x ＋sin x 4＋3sin x －cos x4i ，于是得|e x i3＋i |＝12，C 正确；对于D ，e π6i ＝cos π6＋isin π6＝32＋12i ，其共轭复数为32－12i ，D 不正确．故选ABC.三、填空题12．已知i 为虚数单位，若复数z ＝3－i1＋i ，则|i z |＝________．答案5解析解法一：i z ＝（3－i ）i 1＋i ＝1＋3i 1＋i ＝（1＋3i ）（1－i ）（1＋i ）（1－i ）＝4＋2i2＝2＋i ，所以|i z |＝22＋12＝5.解法二：|i z |＝|i||z |＝1×|3－i1＋i|＝|3－i||1＋i|＝32＋（－1）212＋12＝102＝ 5.13．已知i 为虚数单位，若|z |2＋(z ＋z －)i ＝1－i 且复数z 对应的点在第三象限，则复数z 的虚部为________．答案－32解析设z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )，则由|z |2＋(z ＋z －)i ＝1－i 可得a 2＋b 2＋2a i ＝1－i ，所以2＋b 2＝1，a ＝－1，＝－12，＝－32＝－12，＝32，又因为复数z 对应的点在第三象限，所以z＝－12－32i ，故复数z 的虚部为－32.14．设复数z ，i 为虚数单位，n ∈N ，则由z 的所有可能取值构成的集合为________．答案{－2，0，2}解析z ＝i n ＋(－i)n ，i 为虚数单位，n ∈N ，当n ＝4k (k ∈N )时，z ＝2；当n ＝4k ＋1(k ∈N )时，z＝0；当n ＝4k ＋2(k ∈N )时，z ＝－2；当n ＝4k ＋3(k ∈N )时，z ＝0.综上所述，由z 的所有可能取值构成的集合为{－2，0，2}．15.(2024·河南郑州外国语学校期中)如图，已知复数z 在复平面内所对应的向量是AB →，图中每个小正方形网格的边长均为1，则z－1－i＝()A ．1＋2iB ．1＋3iC ．3＋iD ．2＋i答案D解析由题图可知AB →＝OB →－OA →＝(4，2)－(1，1)＝(3，1)，即z ＝3＋i ，所以z －＝3－i ，故z －1－i＝3－i 1－i＝（3－i ）（1＋i ）2＝2＋i.故选D.16.(多选)(2024·广东东莞实验中学质检)已知复数z 满足|z －1＋i|＝3，则()A ．复数z 虚部的最大值为2B ．复数z 实部的取值范围是[－2，4]C ．|z ＋1＋i|的最小值为1D ．复数z 在复平面内对应的点位于第一、三、四象限答案ABC解析满足|z －1＋i|＝3的复数z 在复平面内对应的点的轨迹是以(1，－1)为圆心，3为半径的圆，如图．由图可知，虚部最大的复数为z ＝1＋2i ，即复数z 虚部的最大值为2，A 正确；实部最小的复数为z ＝－2－i ，实部最大的复数为z ＝4－i ，所以复数z 实部的取值范围是[－2，4]，B 正确；|z ＋1＋i|表示复数z 在复平面内对应的点到(－1，－1)的距离，所以|z ＋1＋i|的最小值为3－2＝1，C 正确；由图可知，复数z 在复平面内对应的点位于第一、二、三、四象限，故D 错误.故选ABC.17．(多选)若复数z 1＝2＋3i ，z 2＝－1＋i ，其中i 是虚数单位，则下列说法正确的是()A ．z1z 2∈RB ．z 1·z 2——＝z －1·z －2C ．若z 1＋m (m ∈R )是纯虚数，那么m ＝－2D ．若z －1，z －2在复平面内对应的向量分别为OA →，OB →(O 为坐标原点)，则|AB →|＝5答案BC解析对于A ，z1z 2＝2＋3i －1＋i ＝（2＋3i ）（－1－i ）（－1＋i ）（－1－i ）＝1－5i 2＝12－52i ，A 错误；对于B ，∵z 1·z 2＝(2＋3i)(－1＋i)＝－5－i ，∴z 1·z 2——＝－5＋i ，又z －1·z －2＝(2－3i)(－1－i)＝－5＋i ，∴z 1·z 2——＝z －1·z －2，B 正确；对于C ，∵z 1＋m ＝2＋m ＋3i 为纯虚数，∴m ＋2＝0，解得m ＝－2，C 正确；对于D ，由题意得OA →＝(2，－3)，OB →＝(－1，－1)，∴AB →＝OB →－OA →＝(－3，2)，∴|AB →|＝9＋4＝13，D 错误．故选BC.18．(多选)已知两个复数z 1，z 2满足z 1z 2＝i ，且z 1＝1－i ，则下列说法正确的是()A ．z 2＝－1＋i 2B ．|z 1|＝1|z 2|C ．|z 1＋z 2|≥2D ．z －1·z －2＝－i答案ABD解析因为z 1z 2＝i ，z 1＝1－i ，所以z 2＝i 1－i ＝－1＋i 2，故A 正确；|z 1|＝12＋（－1）2＝2，|z 2|＝22，所以|z 1|＝1|z 2|，故B 正确；因为|z 1＋z 2|＝|1－i 2|＝22＜2，故C 错误；z －1·z －2＝(1＋i)×－1－i 2＝－i ，故D 正确．故选ABD.19．(多选)(2024·九省联考)已知复数z ，w 均不为0，则()A ．z 2＝|z |2B ．z z－＝z 2|z |2C ．z －w ＝z －－w －D ．|zw |＝|z ||w |答案BCD解析设z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )，w ＝c ＋d i(c ，d ∈R )．对于A ，z 2＝(a ＋b i)2＝a 2＋2ab i －b 2＝a 2－b 2＋2ab i ，|z |2＝(a 2＋b 2)2＝a 2＋b 2，故A 错误；对于B,z z －＝z 2z －·z ，又z －·z ＝|z |2，即有z z －＝z 2|z |2，故B 正确；对于C ，z －w ＝a ＋b i －c －d i ＝a －c ＋(b －d )i ，则z －w ＝a －c －(b －d )i ，z －＝a －b i ，w －＝c －d i ，则z －－w －＝a －b i －c ＋d i ＝a －c －(b －d )i ，即有z －w ＝z －－w －，故C 正确；对于D ，|zw |＝|a ＋b ic ＋d i |＝|（a ＋b i ）（c －d i ）（c ＋d i ）（c －d i ）|＝|ac ＋bd －（ad －bc ）i 2＋d 2|＝（a 2＋b 2）（c 2＋d 2）（c 2＋d 2）2＝a 2＋b 2c 2＋d 2，|z ||w |＝a 2＋b 2c 2＋d2＝a 2＋b 2c 2＋d 2，即有|zw |＝|z ||w |，故D 正确．故选BCD.20．已知i 是虚数单位，则|i 2023|＝________．答案2解析因为i 2023＝－i ＝（1＋i ）2（1－i ）（1＋i ）2024＝i 2024＝1，所以|i 2023|＝|－i ＋1|＝1＋1＝ 2.。
高考数学压轴专题杭州备战高考《复数》图文解析
新数学高考《复数》复习资料一、选择题1．复数的共轭复数对应的点位于 A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限 【答案】C【解析】【分析】 利用复数的除法运算法则：分子、分母同乘以分母的共轭复数，化简复数，再利用共轭复数的概念求出复数的共轭复数，进一步求出对应点的坐标得结果 . 【详解】， 的共轭复数为， 对应坐标是在第三象限，故选C.【点睛】复数是高考中的必考知识，主要考查复数的概念及复数的运算．要注意对实部、虚部的理解，掌握纯虚数、共轭复数、复数的模这些重要概念，复数的运算主要考查除法运算，通过分母实数化转化为复数的乘法，运算时特别要注意多项式相乘后的化简，防止简单问题出错，造成不必要的失分.2．如图所示，在复平面内，OP uuu v 对应的复数是1－i ，将OP uuu v向左平移一个单位后得到00O P u u u u v ，则P 0对应的复数为( )A ．1－iB ．1－2iC ．－1－iD ．－i【答案】D【解析】【分析】 要求P 0对应的复数，根据题意，只需知道0OP u u u v ，而0000OP OO O P =+u u u v u u u u v u u u u v，从而可求P 0对应的复数【详解】因为00O P OP=u u u u v u u u v ，0OO u u u u v 对应的复数是－1， 所以P 0对应的复数， 即0OP u u u v 对应的复数是()11i i -+-=-，故选D. 【点睛】本题考查复数的代数表示法及其几何意义，复平面内复数、向量及点的对应关系，是基础题．3．已知i 是虚数单位，则31i i +-=（ ） A ．1-2iB ．2-iC ．2+iD ．1+2i 【答案】D【解析】 试题分析：根据题意，由于33124121112i i i i i i i i ++++=⨯==+--+，故可知选D. 考点：复数的运算点评：主要是考查了复数的除法运算，属于基础题．4．已知复数z 满足()1z i i =-，(i 为虚数单位)，则z =( )AB C ．2 D ．3【答案】A【解析】 ()11z i i i =-=+，故z = A.5．已知复数(2)z i i =-，其中i 是虚数单位，则z 的模z = ( )A B C ．3 D ．5【答案】B【解析】(2)2z i i i i =-=-==B ．6．欧拉公式e i x ＝cos x ＋isin x (i 为虚数单位)是由瑞士著名数学家欧拉发明的，它将指数函数的定义域扩大到复数，建立了三角函数和指数函数的关系，它在复变函数论里非常重要，被誉为“数学中的天桥”．根据欧拉公式可知，e 2i 表示的复数在复平面中对应的点位于( )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限【答案】B【分析】由题意得2cos 2sin 2i e i =+，得到复数在复平面内对应的点(cos 2,sin 2)，即可作出解答.【详解】由题意得，e 2i ＝cos 2＋isin 2，∴复数在复平面内对应的点为(cos 2，sin 2)．∵2∈，∴cos 2∈(－1，0)，sin 2∈(0，1)，∴e 2i 表示的复数在复平面中对应的点位于第二象限，故选B.【点睛】本题主要考查了复数坐标的表示，属于基础题.7．已知i 是虚数单位，则131i i +=+（ ） A ．2i -B ．2i +C ．2i -+D ．2i -- 【答案】B【解析】【分析】利用复数的除法运算计算复数的值即可.【详解】由复数的运算法则有： 13(13)(1)422(1)(11)2i i i i i i i i ++-+===++-+. 故选B .【点睛】对于复数的乘法，类似于多项式的四则运算，可将含有虚数单位i 的看作一类同类项，不含i 的看作另一类同类项，分别合并即可；对于复数的除法，关键是分子分母同乘以分母的共轭复数，解题中要注意把i 的幂写成最简形式.8．设i 是虚数单位，若复数()103a a R i -∈-是纯虚数，则a 的值为（ ） A ．-3 B ．-1 C ．1 D ．3【解析】【分析】【详解】 因, 故由题设, 故,故选D ． 考点：复数的概念与运算.9．若复数()21a i a R i -∈+为纯虚数，则3ai -=（ ） A 13B ．13 C ．10 D 10【答案】A【解析】【分析】由题意首先求得实数a 的值，然后求解3ai -即可．【详解】由复数的运算法则有： 2(2)(1)221(1)(1)22a i a i i a a i i i i ++-+-==+++-, 复数()21a i a R i -∈+为纯虚数，则2020a a +=⎧⎨-≠⎩， 即222,|3|313a ai a =--=+本题选择A 选项.【点睛】复数中，求解参数(或范围)，在数量关系上表现为约束参数的方程(或不等式).由于复数无大小之分，所以问题中的参数必为实数，因此，确定参数范围的基本思想是复数问题实数化.10．已知复数z 满足11212i i z+=+（i 为虚数单位），则z 的虚部为（ ） A ．4 B ．4i C ．4- D ．4i -【答案】C 【解析】112i 11420i 34i 12i 5z ++-===-+ ,所以z 的虚部为4-,选C.11．复数z 满足()1|1|z i i +=-，则复数z 在复平面内的对应点位于( )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限 【答案】D【解析】【分析】根据复数的运算法则，化简22z i =-，再结合复数的几何表示方法，即可求解. 【详解】由题意，复数z 满足()1|1|z i i +=-，可得)()()1|1|11122i i z i i i --===-++-，则复数z 在复平面内对应的点为位于第四象限. 故选：D .【点睛】本题主要考查了复数的几何表示方法，以及复数的除法运算，其中解答中熟记复数的运算法则，准确化简复数为代数形式是解答的关键，着重考查了推理与运算能力.12．设复数21i x i =-（i 是虚数单位），则112233202020202020202020202020C x C x C x C x +++⋅⋅⋅+=（ ）A ．1i +B ．i -C ．iD ．0【答案】D【解析】【分析】先化简1x +，再根据所求式子为2020(1)1x +-，从而求得结果．【详解】 解：复数2(1i x i i =-是虚数单位）， 而1122332020202020202020202020202020(1)1C x C x C x C x x +++⋯+=+-， 而2121(1)111(1)(1)i i i i x i i i i i -++++====--+-， 故11223320202020202020202020202020202020(1)11110C x C x C x C x x i +++⋯+=+-=-=-=， 故选：D ．【点睛】本题主要考查复数的乘除法运算、二项式定理的应用，属于中档题．13．若复数z 满足1(120)z i -=,则复数z 在复平面内对应的点在( )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限【答案】A【解析】【分析】 化简复数，求得24z i =+，得到复数在复平面对应点的坐标，即可求解.【详解】由题意，复数z 满足1(120)z i -=，可得()()()10121024121212i z i i i i +===+--+， 所以复数z 在复平面内对应点的坐标为(2,4)位于第一象限故选：A.【点睛】本题主要考查了复数的运算，以及复数的几何表示方法，其中解答中熟记复数的运算法则，结合复数的表示方法求解是解答的关键，着重考查了推理与计算能力，属于基础题.14．在复平面内，复数21i z i =+ (i 为虚数单位)的共轭复数对应的点位于( ) A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限【答案】D【解析】分析：首先求得复数z ，然后求解其共轭复数即可. 详解：由复数的运算法则有：()()()()2121211112i i i i i z i i i i --====+++-， 则1z i =-，其对应的点()1,1-位于第四象限.本题选择D 选项.点睛：本题主要考查复数的运算法则及其应用等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.15．已知复数122i z i +=- （i 为虚数单位），则z 的虚部为（ ） A ．－1B ．0C ．1D ．i【答案】C【解析】【分析】利用复数的运算法则，和复数的定义即可得到答案．【详解】 复数()()()()1221252225i i i i z i i i i +++====--+，所以复数z 的虚部为1，故选C ．【点睛】本题主要考查了复数的运算法则和复数的概念，其中解答中熟记复数的基本运算法则和复数的概念及分类是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题．16．设复数z a bi =+（i 为虚数单位，,a b ∈R ），若,a b 满足关系式2a b t =-，且z 在复平面上的轨迹经过三个象限，则t 的取值范围是( )A ．[0,1]B ．[1,1]-C ．(0,1)(1,)⋃+∞D ．(1,)-+∞【答案】C【解析】【分析】首先根据复数的几何意义得到z 的轨迹方程2x y t =-，再根据指数函数的图象，得到关于t 的不等式，求解.【详解】由复数的几何意义可知，设复数对应的复平面内的点为(),x y ，2a x a y b t=⎧⎨==-⎩ ，即2x y t =- ， 因为z 在复平面上的轨迹经过三个象限，则当0x =时，11t -< 且10t -≠ ，解得0t >且1t ≠ ，即t 的取值范围是()()0,11,+∞U .故选：C【点睛】本题考查复数的几何意义，以及轨迹方程，函数图象，重点考查数形结合分析问题的能力，属于基础题型.17．复数52i -的共轭复数是( ) A ．2i + B ．2i -C ．2i -+D ．2i -- 【答案】C【解析】【分析】 先化简复数代数形式，再根据共轭复数概念求解.【详解】 因为522i i =---，所以复数52i -的共轭复数是2i -+，选C. 【点睛】本题考查复数运算以及共轭复数概念，考查基本求解能力.18．已知下列三个命题：①若复数z 1，z 2的模相等，则z 1，z 2是共轭复数；②z 1，z 2都是复数，若z 1+z 2是虚数，则z 1不是z 2的共轭复数；③复数z 是实数的充要条件是z z =.则其中正确命题的个数为( )A ．0个B ．1个C ．2个D ．3个【答案】C【解析】【分析】运用复数的模、共轭复数、虚数等知识对命题进行判断.【详解】对于①中复数1z 和2z 的模相等,例如1=1+z i,2z ,则1z 和2z 是共轭复数是错误的;对于②1z 和2z 都是复数,若12+z z 是虚数,则其实部互为相反数,则1z 不是2z 的共轭复数,所以②是正确的;对于③复数z 是实数,令z a =,则z a =所以z z =,反之当z z =时,亦有复数z 是实数,故复数z 是实数的充要条件是z z =是正确的.综上正确命题的个数是2个.故选C【点睛】本题考查了复数的基本概念,判断命题是否正确需要熟练掌握基础知识,并能运用举例的方法进行判断,本题较为基础.19．复数满足48i z z +=+，则复数z 在复平面内所对应的点在（ ）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限【答案】B【解析】【分析】设(,)z a bi a b R =+∈,则48z z a bi i +=+=+,可得48a b ⎧⎪+=⎨=⎪⎩,即可得到z ,进而找到对应的点所在象限.【详解】设(,)z a bi a b R =+∈,则48z z a bi i +=++=+,48a b ⎧⎪+=∴⎨=⎪⎩,6,68i 8a z b =-⎧∴∴=-+⎨=⎩, 所以复数z 在复平面内所对应的点为()6,8-,在第二象限.故选:B【点睛】本题考查复数在复平面内对应的点所在象限,考查复数的模,考查运算能力.20．若复数z满足22iz i=-（i为虚数单位)，则z的共轭复数z在复平面内对应的点所在的象限是（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限【答案】B【解析】分析：直接利用复数代数形式的乘除运算化简复数，然后求z的共轭复数，即可得到z在复平面内对应的点所在的象限．详解：由题意，()()()222222,i iiz ii i i-⋅--===--⋅-Q22,z i∴=-+则z的共轭复数z对应的点在第二象限.故选B.点睛：本题考查了复数代数形式的乘除运算，考查了复数的基本概念，是基础题．。
【2022高考必备】2012-2021十年全国高考数学真题分类汇编 复数(精解精析)
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
【答案】C
【解析】∵ ，∴ ，对应坐标 ，是第三象限．
【点评】本题考查复数的共轭复数和复数在复平面内的对应点位置，渗透了直观想象和数学运算素养．采取定义法，利用数形结合思想解题．本题考点为共轭复数，为基础题目，难度偏易．忽视共轭复数的定义致错，复数与共轭复数间的关系为实部同而虚部异，它的实部和虚部分别对应复平面上点的横纵坐标．
【答案】B
【解析】由 可知： ，故 ，解得： ．
所以， ．故选B．
17．(2015高考数学新课标2理科)若 为实数且 ，则 ( )
A． B． C．D．
【答案】B
解析：由已知得 ，所以 ，解得 ，故选B．
考点：复数的运算．
18．(2015高考数学新课标1理科)设复数 满足 ，则 ( )
A．1B． C． D．2
B． C． D．
【答案】D
【命题意图】本题主要考查复数的四则运算及共轭复数的概念，意在考查学生的运算能力．
【解析】解法一：常规解法
解法二：对十法
可以拆成两组分式数 ，运算的结果应为 形式， （分子十字相乘，
分母为底层数字平方和）， （分子对位之积差，分母为底层数字平方和）．
解法三：分离常数法
解法四：参数法
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】令 ,则由 得 ,所以 , 正确;
当 时,因为 ,而 知, 不正确;
由 知 不正确;
对于 ,因为实数没有虚部,所以它的共轭复数是它本身,也属于实数,故 正确,故选B．
【考点】复数的运算与性质
【点评】分式形式的复数,分子分母乘分母的共轭复数,化简成 的形式进行判断,共轭复数只需实部不变,虚部变为原来的相反数即可．
高考数学压轴专题新备战高考《复数》图文解析
【高中数学】《复数》知识点(1)一、选择题1．复数z 满足()1|1|z i i +=-，则复数z 在复平面内的对应点位于( ) A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限【答案】D 【解析】 【分析】根据复数的运算法则，化简z =-，再结合复数的几何表示方法，即可求解. 【详解】由题意，复数z 满足()1|1|z i i +=-，可得)()()1|1|11122i i z i i i --===-++-，则复数z 在复平面内对应的点为位于第四象限. 故选：D . 【点睛】本题主要考查了复数的几何表示方法，以及复数的除法运算，其中解答中熟记复数的运算法则，准确化简复数为代数形式是解答的关键，着重考查了推理与运算能力.2．在复平面内，若复数z 满足|z ＋1|＝|1＋i z |，则z 在复平面内对应点的轨迹是( ) A ．直线 B ．圆 C ．椭圆 D ．抛物线【答案】A 【解析】 【分析】设()z x yi x y R =+∈、，代入11z iz +=+，求模后整理得z 在复平面内对应点的轨迹是直线． 【详解】设()z x yi x y R =+∈、，1x yi ++=，()11iz i x yi +=++=y x =-，所以复数z x yi =+对应点的轨迹为直线，故选A. 【点睛】本题考查复数的代数表示法及其几何意义，考查复数模的求法，动点的轨迹问题，是基础题．3．已知i 是虚数单位，复数134z i =-，若在复平面内，复数1z 与2z 所对应的点关于虚轴对称，则12z z ⋅= A ．25- B ．25C ．7-D ．7【答案】A 【解析】 【分析】根据复数1z 与2z 所对应的点关于虚轴对称，134z i =-，求出2z ，代入计算即可 【详解】Q 复数1z 与2z 所对应的点关于虚轴对称，134z i =-234z i ∴=--()()12343425z z i i ⋅=---=-故选A 【点睛】本题主要考查了复数的运算法则及其几何意义，属于基础题4．若复数z 满足232,z z i +=-其中i 为虚数单位，则z= A ．1+2i B ．1-2iC ．12i -+D ．12i --【答案】B 【解析】试题分析：设i z a b =+，则23i 32i z z a b +=+=-，故，则12i z =-，选B.【考点】注意共轭复数的概念【名师点睛】本题主要考查复数的运算及复数的概念，是一道基础题目.从历年高考题目看，复数题目往往不难，有时对复数的运算与概念、复数的几何意义等进行综合考查，也是考生必定得分的题目之一.5．a 为正实数，i 为虚数单位，2a ii+=，则a=（ ） A ．2 B 3C 2D ．1【答案】B 【解析】 【分析】 【详解】2||21230,3a ia a a a i+=+=∴=±>∴=Q ，选B.6．复数21iz i+=-，i 是虚数单位，则下列结论正确的是A ．z =B ．z 的共轭复数为31+22i C ．z 的实部与虚部之和为1 D ．z 在复平面内的对应点位于第一象限【答案】D 【解析】 【分析】利用复数的四则运算，求得1322z i =+，在根据复数的模，复数与共轭复数的概念等即可得到结论． 【详解】 由题意()()()()22121313111122i i i i z i i i i i ++++====+--+-，则22z ==，z的共轭复数为1322z i =-， 复数z 的实部与虚部之和为2，z 在复平面内对应点位于第一象限，故选D ． 【点睛】复数代数形式的加减乘除运算的法则是进行复数运算的理论依据,加减运算类似于多项式的合并同类项,乘法法则类似于多项式乘法法则，除法运算则先将除式写成分式的形式,再将分母实数化，其次要熟悉复数相关基本概念，如复数(,)a bi a b R +∈的实部为a 、虚部为b (,)a b 、共轭为a bi -．7．在复平面内与复数21iz i=+所对应的点关于虚轴对称的点为A ，则A 对应的复数为（ ） A ．1i -- B ．1i -C ．1i +D ．1i -+【答案】D 【解析】 【分析】根据复数的运算法则求出1z i =+，即可得到其对应点关于虚轴对称点的坐标，写出复数. 【详解】由题()()()2122211112i i i i z i i i i -+====+++-，在复平面对应的点为（1,1）， 关于虚轴对称点为（-1,1），所以其对应的复数为1i -+. 故选：D 【点睛】此题考查复数的几何意义，关键在于根据复数的乘法除法运算准确求解，熟练掌握复数的几何意义.8．已知m 为实数，i 为虚数单位，若()24m m +- 0i >，则222m ii+=-（ ） A ．i B ．1 C ．- iD ．1-【答案】A 【解析】因为2(4)0m m i +->，所以2(4)m m i +-是实数，且20{240m m m >⇒=-=，故22(1)222(1)m i i i i i ++==--，应选答案A ．9．若复数z 的虚部小于0，|z |=4z z +=，则iz =（ ） A ．13i + B ．2i +C ．12i +D ．12i -【答案】C 【解析】 【分析】根据4z z +=可得()2z mi m =+∈R ，结合模长关系列方程，根据虚部小于0即可得解. 【详解】由4z z +=，得()2z mi m =+∈R ，因为||z ==1m =±. 又z 的虚部小于0，所以2z i =-，12iz i =+. 故选：C 【点睛】此题考查复数的概念辨析和模长计算，根据复数的概念和运算法则求解.10．若复数z 满足2(12)1i z z +=+，则其共轭复数z 为（ ） A ．1188i + B ．1188i -+C ．1188i --D ．1188i - 【答案】B 【解析】 【分析】 计算得到18iz --=，再计算共轭复数得到答案. 【详解】21111(12)1,,44888i i z z z z i i --+=+∴===-+-Q . 故选：B .【点睛】本题考查了复数的化简，共轭复数，意在考查学生的计算能力.11．设i 是虚数单位，则复数734ii++在复平面内所对应的点位于（ ） A ．第一象限 B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限【答案】D 【解析】 因为734i i ++(7)(34)2525=1(34)(34)25i i i i i i +--==-+-，所以所对应的点为(1,1)-，位于第四象限，选D.12．设3iz i+=，i 是虚数单位，则z 的虚部为（ ） A ．1 B ．-1C ．3D ．-3【答案】D 【解析】 因为z=3ii+13i =-∴z 的虚部为-3，选D.13．欧拉公式cos sin ix e x i x =+（i 为虚数单位）是由著名数学家欧拉发明的，他将指数函数定义域扩大到复数，建立了三角函数和指数函数的关系，根据欧拉公式，若将2i e π表示的复数记为z ，则(12)z i +的值为（ ） A ．2i -+ B ．2i -- C ．2i + D ．2i -【答案】A 【解析】 【分析】根据欧拉公式求出2cos sin22iz e i i πππ==+=，再计算(12)z i +的值.【详解】∵2cossin22iz e i i πππ==+=，∴(12)(12)2z i i i i +=+=-+. 故选：A. 【点睛】此题考查复数的基本运算，关键在于根据题意求出z .14．在复平面内，复数21iz i=+ (i 为虚数单位)的共轭复数对应的点位于( ) A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限【答案】D 【解析】分析：首先求得复数z ，然后求解其共轭复数即可.详解：由复数的运算法则有：()()()()2121211112i i i i i z i i i i --====+++-， 则1z i =-，其对应的点()1,1-位于第四象限. 本题选择D 选项.点睛：本题主要考查复数的运算法则及其应用等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.15．已知i 为虚数单位，,a b ∈R ，复数12ii a bi i+-=+-，则a bi -=（ ） A ．1255i - B ．1255i + C ．2155i - D ．21i 55+ 【答案】B 【解析】 【分析】由复数的除法运算，可得(1)(2)12(2)(2)55i i i i i i a b i=+++-=--+，即可求解a b i -，得到答案． 【详解】由题意，复数12ii a bi i+-=+-，得(1)(2)1312(2)(2)555i i a b i=i i i i i i ++++-=-=--+， 所以1255a b i=i -+，故选B ． 【点睛】本题主要考查了复数的运算，其中解答中熟记复数的基本运算法则，准确化简是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题．16．已知复数134z i=+，则下列说法正确的是（ ） A ．复数z 的实部为3B ．复数z 的虚部为425iC ．复数z 的共轭复数为342525i + D ．复数的模为1【答案】C 【解析】 【分析】直接利用复数的基本概念得选项. 【详解】1343434252525i z i i -===-+， 所以z 的实部为325，虚部为425-，z 的共轭复数为342525i +15=， 故选C. 【点睛】该题考查的是有关复数的概念和运算，属于简单题目.17．复数321i i -（i 为虚数单位）的共轭复数是 （ ）A ．2155i -+ B ．2133i + C ．2155i -- D ．2133i - 【答案】C 【解析】试题分析：由题；3(21)22121(21)(21)555i i i i i i i i -+-===-+--+-，则共轭复数为：2155i --． 考点：复数的运算及共轭复数的概念.18．复数z 满足|||3|z i z i -=+，则||z ( ) A ．恒等于1B ．最大值为1，无最小值C ．最小值为1，无最大值D ．无最大值，也无最小值【答案】C 【解析】 【分析】设复数z x yi =+，其中x ，y R ∈，由题意求出1y =-，再计算||z 的值． 【详解】解：设复数z x yi =+，其中x ，y R ∈， 由|||3|z i z i -=+，得|(1)||(3)|x y i x y i +-=++，2222(1)(3)x y x y ∴+-=++，解得1y =-；||1z ∴=，即||z 有最小值为1，没有最大值． 故选：C ． 【点睛】本题考查了复数的概念与应用问题，是基础题．19．复数满足48i z z +=+，则复数z 在复平面内所对应的点在（ ） A ．第一象限 B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限【答案】B 【解析】 【分析】设(,)z a bi a b R =+∈,则48z z a bi i +=+=+,可得48a b ⎧⎪+=⎨=⎪⎩,即可得到z ,进而找到对应的点所在象限. 【详解】设(,)z a bi a b R =+∈,则48z z a bi i +=++=+,48a b ⎧⎪+=∴⎨=⎪⎩,6,68i 8a z b =-⎧∴∴=-+⎨=⎩, 所以复数z 在复平面内所对应的点为()6,8-,在第二象限. 故选:B 【点睛】本题考查复数在复平面内对应的点所在象限,考查复数的模,考查运算能力.20．若复数(1)(1)z m m m i =-+-是纯虚数，其中m 是实数，则1z=( ) A ．i B ．i -C ．2iD ．2i -【答案】A 【解析】因为复数()()11z m m m i =-+-是纯虚数，所以()1010m m m ⎧-=⎨-≠⎩，则m =0，所以z i =-，则11i z i==-.。
高考复数专题及答案百度文库
【分析】
由复数的除法法则和乘法法则计算出 ，再由复数的定义得结论．
【详解】
由题意，得 ，
其虚部为 ，
ห้องสมุดไป่ตู้故选：A.
8．B
【分析】
根据复数的除法运算法则求出复数，然后根据共轭复数的概念即可得解.
【详解】
由题意可得，则.
故答案为：B
解析：B
【分析】
根据复数的除法运算法则求出复数 ，然后根据共轭复数的概念即可得解.
， 在复平面内对应点为 ，在第二象限.
故选：B.
5．A
【分析】
将代入，利用复数的除法运算化简，再利用复数的求模公式求解.
【详解】
由，得，
则，
故选：A.
解析：A
【分析】
将 代入 ，利用复数的除法运算化简，再利用复数的求模公式求解.
【详解】
由 ，得 ，
则 ，
故选：A.
6．B
【分析】
利用复数的运算法则和复数的几何意义求解即可
【详解】
当 时， ，则该方程相应于点（2，29）的残差为 ，则A正确；
在两个变量 与 的回归模型中， 的值越大，模型的拟合效果越好，则B正确；
【详解】
，.
故选：.
解析：D
【分析】
由复数乘法运算求得 ，根据共轭复数定义可求得结果.
【详解】
， .
故选： .
4．B
【分析】
对复数进行化简，再得到在复平面内对应点所在的象限.
【详解】
，在复平面内对应点为，在第二象限.
故选：B.
解析：B
【分析】
对复数 进行化简，再得到 在复平面内对应点所在的象限.
【详解】
【详解】
备战2013高考理科数学6年高考母题精解精析 专题14 复数01 Word版含答案.pdf
1.【2012高考真题浙江理2】 已知i是虚数单位，则=A .1-2i B.2-i C.2+i D .1+2i 【答案】D 【解析】=。
故选D。
2.【2012高考真题新课标理3】下面是关于复数的四个命题：其中的真命题为（ ） 的共轭复数为 的虚部为 3.【2012高考真题四川理2】复数（ ） A、 B、 C、 D、 【答案】B 【解析】 4.【2012高考真题陕西理3】设，是虚数单位，则“”是“复数为纯虚数”的（ ）A.充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件 5.【2012高考真题上海理15】若是关于的实系数方程的一个复数根，则（ ） A． B． C． D． 6.【2012高考真题山东理1】若复数满足（为虚数单位），则为 （A） （B） （C） （D） 【答案】A 【解析】。
故选A。
7.【2012高考真题辽宁理2】复数 (A) (B) (C) (D) 【答案】A 【解析】，故选A 8.【2012高考真题湖北理1】方程的一个根是 A． B． C． D． 9.【2012高考真题广东理1】 设i为虚数单位，则复数=A．6+5i B．6-5i C．-6+5i D．-6-5i 【答案】D 【解析】=．故选D． 10.【2012高考真题福建理1】若复数z满足zi=1-i，则z等于A.-1-IB.1-iC.-1+ID.1=i 【答案】A. 【解析】根据知，，故选A. 11.【2012高考真题北京理3】设a，b∈R。
“a=0”是“复数a+bi是纯虚数”的（ ）A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件 12.【2012高考真题安徽理1】复数满足：；则（ ） 【答案】D 【解析】 13．【2012高考真题天津理1】i是虚数单位，复数=（A） 2 + i （B）2 i （C）-2 + i （D）-2 i 【答案】B 【解析】复数，选B. 14.【2012高考真题全国卷理1】复数=A 2+I B 2-I C 1+2i D 1- 2i 【答案】C 【解析】，选C. 15.【2012高考真题重庆理11】若，其中为虚数单位，则 16.【2012高考真题上海理1】计算： （为虚数单位）。
备战2020高考数学 6年高考母题精解精析专题14 复数 文
备战2020高考数学（文）6年高考母题精解精析专题14 复数1.【2020高考安徽文1】复数满足，则 =（A）（B）（C）（D）【答案】B【解析】。
3.【2020高考山东文1】若复数z满足为虚数单位)，则为(A)3+5i (B)3－5i (C)－3+5i (D)－3－5i【答案】A【解析】.故选A.5.【2020高考上海文15】若是关于的实系数方程的一个复数根，则（）A、 B、C、 D、【答案】D【解析】因为是实系数方程的一个复数根，所以也是方程的根，则，，所以解得，，选D.6.【2020高考陕西文4】设，是虚数单位，则“”是“复数为纯虚数”的（）A.充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件7.【2020高考辽宁文3】复数(A) (B) (C) (D)【答案】A【解析】，故选A8.【2020高考江西文1】若复数（为虚数单位)是z的共轭复数，则+²的虚部为A 0B -1C 1D -29.【2020高考湖南文2】复数z=i（i+1）（i为虚数单位）的共轭复数是A.-1-iB.-1+iC.1-iD.1+i【答案】【解析】由z=i（i+1）=，及共轭复数定义得.10.【2020高考湖北文12】.若=a+bi（a，b为实数，i为虚数单位），则a+b=____________. 【答案】3【解析】因为，所以.又因为都为实数，故由复数的相等的充要条件得解得所以.11.【2020高考广东文1】设为虚数单位，则复数A. B. C. D.12.【2102高考福建文1】复数（2+i）2等于A.3+4iB.5+4iC.3+2iD.5+2i【答案】A.【解析】，故选A.13.【2102高考北京文2】在复平面内，复数对应的点的坐标为A． (1 ,3) B．(3,1) C．(-1,3) D．(3 ,-1)14.【2020高考天津文科1】i是虚数单位，复数=（A）1-i （B）-1+I（C）1+I （D）-1-i【答案】C【解析】复数，选C.15.【2020高考江苏3】（5分）设，（i为虚数单位），则的值为▲ ．16.【2020高考上海文1】计算：（为虚数单位）【答案】【解析】复数。
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1.【2012高考真题浙江理2】 已知i 是虚数单位，则31ii+-= A .1-2i B.2-i C.2+i D .1+2i 【答案】D 【解析】31i i +-=i ii i i i 21242)1)(1()1)(3(+=+=+-++。
故选D 。
2.【2012高考真题新课标理3】下面是关于复数21z i=-+的四个命题：其中的真命题为（ ）1:2p z = 22:2p z i = 3:p z 的共轭复数为1i + 4:p z 的虚部为1-()A 23,p p ()B 12,p p ()C ,p p 24 ()D ,p p 343.【2012高考真题四川理2】复数2(1)2i i-=（ ） A 、1 B 、1- C 、i D 、i - 【答案】B【解析】22(1)1221222i i i ii i i--+-===- 4.【2012高考真题陕西理3】设,a b R ∈，i 是虚数单位，则“0ab =”是“复数b a i+为纯虚数”的（ ）A.充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件5.【2012高考真题上海理15】若i 21+是关于x 的实系数方程02=++c bx x 的一个复数根，则（ ）A ．3,2==c bB ．3,2=-=c bC ．1,2-=-=c bD ．1,2-==c b6.【2012高考真题山东理1】若复数z 满足(2)117z i i -=+（i 为虚数单位），则z 为 （A ）35i + （B ）35i - （C ）35i -+ （D ）35i -- 【答案】A 【解析】i ii i i i i i z 5352515)2)(2()2)(711(2711+=+=+-++=-+=。
故选A 。
7.【2012高考真题辽宁理2】复数22ii-=+ (A)3455i - (B)3455i + (C) 415i - (D) 315i + 【答案】A 【解析】2(2)(2)34342(2)(2)555i i i i i i i i ----===-++-，故选A 8.【2012高考真题湖北理1】方程26130x x ++=的一个根是A ．32i -+B ．32i +C ．23i -+D ．23i +9.【2012高考真题广东理1】 设i 为虚数单位，则复数56ii-= A ．6+5i B ．6-5i C ．-6+5i D ．-6-5i 【答案】D 【解析】56i i-=i ii i i 56156)65(2--=-+=-．故选D ． 10.【2012高考真题福建理1】若复数z 满足zi=1-i ，则z 等于A.-1-IB.1-iC.-1+ID.1=i 【答案】A.【解析】根据i zi -=1知，i iiz --=-=11，故选A. 11.【2012高考真题北京理3】设a ，b ∈R 。
“a=0”是“复数a+bi 是纯虚数”的（ ） A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件12.【2012高考真题安徽理1】复数z 满足：()(2)5z i i --=；则z =（ ） ()A 22i -- ()B 22i -+ ()C i 2-2 ()D i 2+2 【答案】D【解析】55(2)()(2)5222(2)(2)i z i i z i z i i i i i +--=⇔-=⇔=+=+--+ 13．【2012高考真题天津理1】i 是虚数单位，复数ii+-37= （A ） 2 + i （B ）2 – i （C ）-2 + i （D ）-2 – i 【答案】B 【解析】复数i ii i i i i i -=-=+---=+-2101020)3)(3()3)(7(37，选B. 14.【2012高考真题全国卷理1】复数131ii-++= A 2+I B 2-I C 1+2i D 1- 2i 【答案】C 【解析】i ii i i i i i 21242)1)(1()1)(31(131+=+=-+-+-=++-，选C. 15.【2012高考真题重庆理11】若bi a i i +=++)2)(1(，其中,,a b R i ∈为虚数单位，则a b +=16.【2012高考真题上海理1】计算：=+-ii13 （i 为虚数单位）。
【答案】i 21- 【解析】复数i ii i i i i i 21242)1)(1()1)(3(13-=-=-+--=+-。
17.【2012高考江苏3】（5分）设a b ∈R ，，117ii 12ia b -+=-（i 为虚数单位），则a b +的值为 ▲ ．18.【2012高考真题湖南理12】已知复数2(3)z i =+ (i 为虚数单位)，则|z|=_____. 【答案】10【解析】2(3)z i =+=29686i i i ++=+，228610z =+=.【2011年高考试题】 一、选择题:1. (2011年高考山东卷理科2)复数z=22ii-+(i 为虚数单位)在复平面内对应的点所在象限为 （A ）第一象限 (B)第二象限 (C)第三象限 (D)第四象限4.(2011年高考浙江卷理科2)把复数z 的共轭复数记作z ，若1z i =+，i 为虚数单位，则(1)z z +=（A ）3i - （B ）3i + （C ）13i +（D ）3 【答案】 A【解析】(1)1(1)(1)123z z z zz i i i i i +=+=-++-=-+=- 故选A5．(2011年高考广东卷理科1)设复数z 满足(1+i)z=2，其中i 为虚数单位，则Z=（ ） A ．1+i B ．1-i C ．2+2i D ．2-2i 【解析】B.由题得i i i z -=-=+=1)1(2212所以选B. 6.(2011年高考辽宁卷理科1)a 为正实数，i 为虚数单位，2a ii+=，则a=（ ） （A ）2 （B ）3 (C)2 (D)17. (2011年高考全国新课标卷理科1)复数ii212-+的共轭复数是（ ） A i 53- B i 53 C i - D i ;解析：C ，因为i i 212-+=i ii i =--21)21(，所以，共轭复数为i -，选C点评：本题考查复数的概念和运算，先化简后写出共轭复数即可。
8.(2011年高考江西卷理科1)若iz i1+2=，则复数z = A. i -2- B. i -2+ C. i 2- D. i 2+【答案】D 【解析】因为iz i1+2==()()i i i 1+2-=2-，所以复数z =i 2+,选D. 9. (2011年高考江西卷理科7)观察下列各式：55=3125，65=15625，75=78125，…，则20115的末四位数字为A ．3125B ．5625C ．0625D ．812510．(2011年高考江西卷理科10)如右图，一个直径为l 的小圆沿着直径为2的大圆内壁的逆时针方向滚动，M 和N 是小圆的一条固定直径的两个端点．那么，当小圆这样滚过大圆内壁的一周，点M ，N 在大圆内所绘出的图形大致是12．(2011年高考湖北卷理科1)i 为虚数单位，则20111()1i i+-= A.－i B.－1C.iD.1答案：A解析：因为11i i i +=-,故2011201125051()(),1i i i i i i +==⋅=--所以选A.13．(2011年高考陕西卷理科7)设集合{}22||cos sin |,M y y x x x R ==-∈，1{|||2,N x x i=-<}i x R ∈为虚数单位，则MN 为（A ）(0,1) （B ）(0,1] （C ）[0,1) （D ）[0,1] 【答案】C【解析】：由22|cos sin ||cos 2|[0,1]y x x x =-=∈即M =[0,1] 由1||2x i-<2||1211x i x x +=+<-<<即N =(1,1)-[0,1)M N =故选C14.(2011年高考重庆卷理科1)复数2341i i i i++=- （A ）1122i -- (B) 1122i -+ (C) 1122i - (D) 1122i +解析：选B. ()()()234111111112i i i i i i i i i i i -+++--+-===---+。
二、填空题:1. (2011年高考山东卷理科15)设函数()(0)2xf x x x =>+,观察: 1()(),2x f x f x x ==+ 21()(()),34xf x f f x x ==+32()(()),78xf x f f x x ==+ 43()(()),1516xf x f f x x ==+根据以上事实，由归纳推理可得：当n N +∈且2n ≥时，1()(())n n f x f f x -== .2.(2011年高考安徽卷理科15)在平面直角坐标系中，如果x 与y 都是整数，就称点(,)x y 为整点，下列命题中正确的是_____________（写出所有正确命题的编号）. ①存在这样的直线，既不与坐标轴平行又不经过任何整点 ②如果k 与b 都是无理数，则直线y kx b =+不经过任何整点 ③直线l 经过无穷多个整点，当且仅当l 经过两个不同的整点④直线y kx b =+经过无穷多个整点的充分必要条件是：k 与b 都是有理数 ⑤存在恰经过一个整点的直线【解题指导】：这类不定项多选题类型，难度非常大，必须每一个选项都有足够的把握确定其正误，解题时须耐心细致。
3. (2011年高考湖北卷理科15)给n 个自上而下相连的正方形着黑色或白色.当n ≤4时，在所有不同的着色方案中，黑色正方形互不相邻的着色方案如下图所示：由此推断，当n=6时，黑色正方形互不相邻的着色方案共有 种，至少有两个黑色正方形相邻的着色方案共有 种.（结果用数值表示）4．(2011年高考陕西卷理科13)观察下列等式照此规律，第n 个等式为 【答案】2(1)(2)(32)(21)n n n n n ++++++-=-【解析】：第n 个等式是首项为n ，公差1，项数为21n -的等差数列，即(1)(2)(32)n n n n ++++++-=2(21)(211)(21)1(21)2n n n n n ----+⨯=-3、(2011年高考安徽卷江苏3)设复数i 满足i z i 23)1(+-=+（i 是虚数单位），则z 的实部是_________【答案】1【解析】因为321(32)()23iz i i ii-++==-+-=+，所以13z i=+,故z的实部是1.。