泊松分布课件
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统计学：二项分布与泊松分布PPT课件
对立事件 A的概率为１-p。则有总概率p+
（1-p）=1。注意：1-p=q
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二、 二项分布的概率函数
1. 根据贝努里模型进行试验的三个基本条 件，可以求出在n 次独立试验下，事件 A出现的次数X的概率分布。X为离散型 随机变量，其可以取值为0,1,2,…,n。
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由公式（7.2）可看出二项展开式有以下特点：
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《医学统计学》目录
第1章 绪论 第2章 定量资料的统计描述 第3章 总体均数的区间估计和假设检验 第4章 方差分析 第5章 定性资料的统计描述 第6章 总体率的区间估计和假设检验 第7章 二项分布与Poisson分布 第8章 秩和检验 第9章 直线相关与回归 第10章 实验设计 第11章 调查设计 第12章 统计表与统计图
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二项式展开式实例
将二项式（a+b）n 展开
(ab)2a22a bb2
(a b )3 a 3 3 a 2 b 3 a2 b b 3
( a b ) 4 a 4 4 a 3 b 6 a 2 b 2 4 a 3 b b 4
( a b ) 5 a 5 5 a 4 b 1 a 3 b 2 0 1 a 2 b 0 5 a 4 b b 5
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2.二项分布定义：如果已知发生某一结果（如阳 性）的概率为π，其对立结果（阴性）的概率为 （1-π），且各观察单位的观察结果相互独立， 互不影响，则从该总体中随机抽取n例，其中出 现阳性数为X (X=0,1,2,3,…，n)的概率服从二 项分布。
（1-p）=1。注意：1-p=q
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二、 二项分布的概率函数
1. 根据贝努里模型进行试验的三个基本条 件，可以求出在n 次独立试验下，事件 A出现的次数X的概率分布。X为离散型 随机变量，其可以取值为0,1,2,…,n。
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由公式（7.2）可看出二项展开式有以下特点：
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第1章 绪论 第2章 定量资料的统计描述 第3章 总体均数的区间估计和假设检验 第4章 方差分析 第5章 定性资料的统计描述 第6章 总体率的区间估计和假设检验 第7章 二项分布与Poisson分布 第8章 秩和检验 第9章 直线相关与回归 第10章 实验设计 第11章 调查设计 第12章 统计表与统计图
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二项式展开式实例
将二项式（a+b）n 展开
(ab)2a22a bb2
(a b )3 a 3 3 a 2 b 3 a2 b b 3
( a b ) 4 a 4 4 a 3 b 6 a 2 b 2 4 a 3 b b 4
( a b ) 5 a 5 5 a 4 b 1 a 3 b 2 0 1 a 2 b 0 5 a 4 b b 5
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2.二项分布定义：如果已知发生某一结果（如阳 性）的概率为π，其对立结果（阴性）的概率为 （1-π），且各观察单位的观察结果相互独立， 互不影响，则从该总体中随机抽取n例，其中出 现阳性数为X (X=0,1,2,3,…，n)的概率服从二 项分布。
交通流参数的泊松分布 ppt课件
i0
12
___ 样本均值 ： m
xi fi
i0 12
fi
1603 323
4.963
i0
12
___
样本方差：S
2
(xi m)2 * fi
i0
1579.554 4.905
N 1
322
样本期望与方差比值： S 2 ___ m
4.905 0.988 4.963
Died: 25 April 1840 in Sceaux (near Paris), France
ppt课件
4
(二)Poisson分布的定义 poisson distribution
如果在足够多的n次独立Bernouli试验中，随机变量X 所有可能的取值为0，l，2，…，取各个取值的概率为 ：
μ=nπ =1000 ×0.0018=1.8
ppt课件
8
ppt课件
9
(三)Poisson分布的图形
ppt课件
10
ppt课件
11
μ=0.6 μ=6
μ=2 μ=14
ppt课件
12
(四)Poisson分布的性质
1. Poisson分布的方差等于均数，即 σ2=μ。
2. Poisson分布的可加性。
nn
b(k; n,
pn
)
k
k!
e
ppt课件
16
二项分布的泊松逼近：
波松定理
Pk P(xn k ) Cnk pnk (1 pn )nk , k 1,2,, n
设npn 0，为常数，则有
lim
n
P(
xn
12
___ 样本均值 ： m
xi fi
i0 12
fi
1603 323
4.963
i0
12
___
样本方差：S
2
(xi m)2 * fi
i0
1579.554 4.905
N 1
322
样本期望与方差比值： S 2 ___ m
4.905 0.988 4.963
Died: 25 April 1840 in Sceaux (near Paris), France
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4
(二)Poisson分布的定义 poisson distribution
如果在足够多的n次独立Bernouli试验中，随机变量X 所有可能的取值为0，l，2，…，取各个取值的概率为 ：
μ=nπ =1000 ×0.0018=1.8
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8
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(三)Poisson分布的图形
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10
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11
μ=0.6 μ=6
μ=2 μ=14
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12
(四)Poisson分布的性质
1. Poisson分布的方差等于均数，即 σ2=μ。
2. Poisson分布的可加性。
nn
b(k; n,
pn
)
k
k!
e
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16
二项分布的泊松逼近：
波松定理
Pk P(xn k ) Cnk pnk (1 pn )nk , k 1,2,, n
设npn 0，为常数，则有
lim
n
P(
xn
泊松分布课件
平稳性: 在任意时间区间内，事件发生k次(k≥0)的 概率只依赖于区间长度而与区间端点无关. 无后效性: 在不相重叠的时间段内，事件的发生是相 互独立的. 普通性: 如果时间区间充分小，事件出现两次或 两次以上的概率可忽略不计.
例如
一放射性源放射出的 粒子数； 某电话交换台收到的电话呼叫数；
解: 设该商品每月的销售数为X, 已知X服从参数λ=5的泊松分布. 设商店在月底应进某种商品m件, 求满足 P(X≤m)>0.95 的最小的m .
进货数
销售数
求满足 P(X≤m)>0.95 的最小的m. 也即 P(X>m) ≤ 0.05
e 5 0.05 或 k m 1 k!
查泊松分布表得
P ( X k ) e
k
k!
, k0,1,2,,
其中 λ >0 是常数, 则称 X 服从参数为λ 的 泊松分布, 记作X~P(λ ).
泊松分布的图形特点：X~P( λ)
二、二项分布与泊松分布 历史上，泊松分布是作为二项分布的近 似，于1837年由法国数学家泊松引入的. 近数十年来，泊松分布日益显示 其重要性, 成为概率论中最重要的几 个分布之一. 在实际中，许多随机现象服从或近 似服从泊松分布.
5 k
e 5 0.032, k 10 k!
于是得 m+1=10,
5 k
e 5 0.068 k! k 9
m=9件
5 k
这一讲，我们介绍了泊松分布
n重贝努里试验中稀有事件出现的次数近 似地服从泊松分布. 我们给出了泊松分布产生的一般条件
泊松分布在管理科学、运筹学以及自然 科学的某些问题中都占有重要的地位 .
泊松分布
X 近似服从 P 3.87 。
例 4.2.2 伦敦飞弹。 二战时伦敦遭到很多次炸弹袭击， 将整个面积分为 N 567 小块，其中发现 k 枚炸弹的小块数为 N k ，总共发现炸弹 537 枚。
k Nk
0 229
1 211
2 93
3 35
4 7
5 1
N pk ,0.9323 226.7 211.4 98.6 31.6 7.1 1.6
验证： k Z , pk 0 ，
pk e
k 0 k 0
k
k!
e
k 0
k
k!
e e 1
************************************************************ 泊松分布与二项分布的关系 考虑二项分布 B n, p ，当 p 很小 n 很大时， B n, p 与P np 非常接近，可相互 近似 若 X ~ B n, p ， Y ~ P np ，
k Nk
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10 16 17
N p k 3.87 54 211 407 525 508 394 254 140 68 29
57 203 383 525 532 408 273 139 45 27
1 1 设 X 为 1 次观察中到达的粒子数， 则 X ~ B 10094, ， 10094 3.87 2608 2608
Bk n, p
则 P X k P Y k
令 np ，则
Bk 1 n, p
随机过程3-泊松分布
2
3.2 泊松过程的性质
(3)n 1
T1=s1 T2=s2 0 Tn-1 =sn-1 Tn t
PX ( s1 sn1 t ) X ( s1 sn1 ) 0 e
t
PTn t | T1 s1 ,, Tn1 sn1
W1
W2
第三章 泊松过程
3.1 泊松过程的定义
• 定义3.1随机过程{N(t)，t 0 }是计数过 程，如果 N(t) 表示到时刻 t为止已发生 的事件A的总数，且N(t)满足条件 (1) N(t) 0 ; (2) N(t)取整数; (3)若s < t ，则N(s) N(t); (4)当s < t时，N(t) - N(s)等于区间(s, t]中 发生事件A的次数。
3.1 泊松过程的定义
(3)当n 1时，
由于P 0） P X(0) 1 0 （ 1 所以C 0，P (t ) te 1
t
d t e P (t ) et P0 (t ) et e t 1 dt t P (t ) (t C )e 1
3.1 泊松过程的定义
• 独立增量计数过程 对于t1< t2 < < tn，N(t2) - N(t1), N(t3) -N(t2), , N(tn)-N(tn-1) 独立 • 平稳增量计数过程 在(t, t+s]内(s>0)，事件A发生的次数 N(t+s) -N(t)仅与时间间隔s有关，而与 初始时刻t无关
3.1 泊松过程的定义
Pn (t h) Pn (t ) o(h) Pn (t ) Pn1 (t ) h h 当h 0时，Pn (t ) Pn (t ) Pn1 (t ) e t Pn (t ) Pn (t ) e t Pn1 (t ) d t t e Pn (t ) e Pn1 (t ) dt
3.2 泊松过程的性质
(3)n 1
T1=s1 T2=s2 0 Tn-1 =sn-1 Tn t
PX ( s1 sn1 t ) X ( s1 sn1 ) 0 e
t
PTn t | T1 s1 ,, Tn1 sn1
W1
W2
第三章 泊松过程
3.1 泊松过程的定义
• 定义3.1随机过程{N(t)，t 0 }是计数过 程，如果 N(t) 表示到时刻 t为止已发生 的事件A的总数，且N(t)满足条件 (1) N(t) 0 ; (2) N(t)取整数; (3)若s < t ，则N(s) N(t); (4)当s < t时，N(t) - N(s)等于区间(s, t]中 发生事件A的次数。
3.1 泊松过程的定义
(3)当n 1时，
由于P 0） P X(0) 1 0 （ 1 所以C 0，P (t ) te 1
t
d t e P (t ) et P0 (t ) et e t 1 dt t P (t ) (t C )e 1
3.1 泊松过程的定义
• 独立增量计数过程 对于t1< t2 < < tn，N(t2) - N(t1), N(t3) -N(t2), , N(tn)-N(tn-1) 独立 • 平稳增量计数过程 在(t, t+s]内(s>0)，事件A发生的次数 N(t+s) -N(t)仅与时间间隔s有关，而与 初始时刻t无关
3.1 泊松过程的定义
Pn (t h) Pn (t ) o(h) Pn (t ) Pn1 (t ) h h 当h 0时，Pn (t ) Pn (t ) Pn1 (t ) e t Pn (t ) Pn (t ) e t Pn1 (t ) d t t e Pn (t ) e Pn1 (t ) dt
概率论课件--4-2 泊松分布14p
P{ X k}
k 0 k 0
k
k!
e e
k 0
k
k!
e e 1
泊松分布是概率论中又一重要的概率分布.
一方面, 很多随机现象都服从或近似服从泊松分布. 例如:某网站一段时间间隔内受到的点击次数; 公共汽车站候车的乘客人数; 炸弹爆炸后落在平面上某区域的碎弹片个数; 落在显微镜上某种细菌个数… 另一方面, 泊松分布可看为二项分布的极限分布. 对此有如下定理:
解: 设需配备 N 人, 记同一时刻发生故障的设备台数为X,
那么 X ~ B (300,0.01), 所需解决的问题是确定的N, 使得
P{ X N } 0.99,
由泊松定理 ( np 3)
3k e 3 P{ X N } 0.99 k! k 0
N
即
3 e 3 e 1 k! k 0 k N 1 k !
k
k!
e , k 0,1,2,, n
P{ X m}
k
k!
e ,
m 0,1,2,, n
k
k! e 与
k m
由于泊松分布有着广泛的应用,
k
k!
e
k m
的数值已造成表(见书末附表1及附表2), 计算时可查表.
（配 例1. 为了保证设备正常工作, 需配备适量的维修工人 备多了浪费, 配备少了又会影响 生产) , 现有同类型设备 300台, 各台工作是相互独立的, 发生故障的概率都是0.01. 在通常情况下一台设备的故障可由一个人来处理 (我们也 只考虑这种情况), 问至少需配备多少工人, 才能保证当设 备发生故障但不能及时维修的概率小于0.01?
概率论与数理统计 泊松分布
练习1
设随机变量 X 服从参数为λ的Poisson分布，且已知
PX 1 PX 2 试求 PX 4．
练习1解答
设随机变量 X 服从参数为λ的Poisson分布，且已知
PX 1 PX 2 试求 PX 4．
解： 随机变量 X 的分布律为
PX k k e k 0， 1， 2，
进行600次射击可看作是一个600重Bernoulli试验.
X：600次射击命中目标的次数．
则 X ~ B600， 0.012．
用 Poisson分布近似计算，
取 600 0.012 7.2．
练习3解答（续）
所以，
PB PX 3 1 PX 3
1 PX 0 PX 1 PX 2
P{X N} 0.01.
P{X N} 0.01.
用泊松分布近似计算二项分布
P{X N} N 3k e3 0.99. k0 k!
查表可知，满足上式的最小的 N 是 8 , 因此至少需配 备 8 个工人。
泊松分布的分布律 （PDF）
二项分布的分布律 （PDF）
泊松分布的CDF 二项分布的CDF
• Poisson分布是概率论中重要的分布之一．
• 自然界及工程技术中的许多随机指标都服从 Poisson分布．
• 例如，可以证明，电话总机在某一时间间隔 内收到的呼叫次数，放射物在某一时间间隔 内发射的粒子数，容器在某一时间间隔内产 生的细菌数，某一时间间隔内来到某服务台 要求服务的人数，等等，在一定条件下，都 是服从Poisson分布的．
k e 0
k!
⑵ 又由幂级数的展开式，可知
所以
k e e k e e 1
泊松分布的定义及图形特点.pptx
• Assume that you live in a district of
size 10 blocks by 10 blocks so that
the total district is divided into 100
small squares. How likely is it that the
square in which you live will receive
no hits if the total area is hit by 400
bombs? 2019-7-26
谢谢您的观赏
6
2019-7-26
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7
• 用 X 表示落入该小区内的炸弹数，则
• X~B(400,1/100) n=400, p=1/100 • 因此 P(X=0)=(99/100)^400 • 用Poisson分布近似计算。。 • X近似服从参数为 4 =np=400*1/100的Poisson
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11
例如
一放射性源放射出的 粒子数； 某电话交换台收到的电话呼叫数； 到某机场降落的飞机数; 一个售货员接待的顾客数; 一台纺纱机的断头数; …
都可以看作泊松流.
2019-7-26
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12
对泊松流，在任意时间间隔(0,t)内,事件 (如交通事故)出现的次数服从参数为 t 的 泊松分布 . 称为泊松流的强度.谢谢您的观赏源自42019-7-26
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5
• Example In his book, Feller discusses the statistics of flying bomb hits in the south of London during the Second World War.
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解: 设该商品每月的销售数为X, 已知X服从参数λ=5的泊松分布. 设商店在月底应进某种商品m件, 求满足 P(X≤m)>0.95 的最小的m .
进货数
销售数
求满足 P(X≤m)>0.95 的最小的m. 也即 P(X>m) ≤ 0.05
e 5 0.05 或 k m 1 k!
查泊松分布表得
平稳性: 在任意时间区间内，事件发生k次(k≥0)的 概率只依赖于区间长度而与区间端点无关. 无后效性: 在不相重叠的时间段内，事件的发生是相 互独立的. 普通性: 如果时间区间充分小，事件出现两次或 两次以上的概率可忽略不计.
例如
一放射性源放射出的 粒子数； 某电话交换台收到的电话呼叫数；
5 k
e 5 0.032, k 10 k!
于是得 m+1=10,
5 k
e 5 0.068 k! k 9
m=9件
5 k
这一讲，我们介绍了泊松分布
n重贝努里试验中稀有事件出现的次数近 似地服从泊松分布. 我们给出了泊松分布产生的一般条件
泊松分布在管理科学、运筹学以及自然 科学的某些问题中都占有重要的地位 .
让我们回忆一下上一讲介绍的泊松定理： n 设 是一个正整数，
pn
，则有
k
lim C p (1 pn )
n k n k n
n k
e
k!
, k 0,1,2,,
等式右端给出的概率分布，是又一种重 要的离散型分布：泊松分布
一、泊松分布的定义及图形特点 设随机变量X所有可能取的值为0 , 1 , 2 , … , 且概率分布为：
P ( X k ) eFra bibliotekk
k!
, k0,1,2,,
其中 λ >0 是常数, 则称 X 服从参数为λ 的 泊松分布, 记作X~P(λ ).
泊松分布的图形特点：X~P( λ)
二、二项分布与泊松分布 历史上，泊松分布是作为二项分布的近 似，于1837年由法国数学家泊松引入的. 近数十年来，泊松分布日益显示 其重要性, 成为概率论中最重要的几 个分布之一. 在实际中，许多随机现象服从或近 似服从泊松分布.
我们把在每次试验中出现概率很小的事 件称作稀有事件. 如地震、火山爆发、特大洪水、意外事故等等
由泊松定理，n重贝努里试验中稀有事件 出现的次数近似地服从泊松分布.
三、泊松分布产生的一般条件 在自然界和人们的现实生活中，经常要 遇到在随机时刻出现的某种事件. 我们把在 随机时刻相继出现的事件所形成的序列，叫 做随机事件流. 若事件流具有平稳性、无后效性、普通性， 则称该事件流为泊松事件流（泊松流）. 下面简要解释平稳性、无后效性、普通性.
到某机场降落的飞机数;
一个售货员接待的顾客数; 一台纺纱机的断头数; … 都可以看作泊松流.
对泊松流，在任意时间间隔(0,t)内,事件 (如交通事故)出现的次数服从参数为 λ t 的 泊松分布 . λ 称为泊松流的强度.
例1 一家商店采用科学管理，由该商店过去 的销售记录知道，某种商品每月的销售数可 以用参数λ=5的泊松分布来描述，为了以 95%以上的把握保证不脱销，问商店在月底 至少应进某种商品多少件？
进货数
销售数
求满足 P(X≤m)>0.95 的最小的m. 也即 P(X>m) ≤ 0.05
e 5 0.05 或 k m 1 k!
查泊松分布表得
平稳性: 在任意时间区间内，事件发生k次(k≥0)的 概率只依赖于区间长度而与区间端点无关. 无后效性: 在不相重叠的时间段内，事件的发生是相 互独立的. 普通性: 如果时间区间充分小，事件出现两次或 两次以上的概率可忽略不计.
例如
一放射性源放射出的 粒子数； 某电话交换台收到的电话呼叫数；
5 k
e 5 0.032, k 10 k!
于是得 m+1=10,
5 k
e 5 0.068 k! k 9
m=9件
5 k
这一讲，我们介绍了泊松分布
n重贝努里试验中稀有事件出现的次数近 似地服从泊松分布. 我们给出了泊松分布产生的一般条件
泊松分布在管理科学、运筹学以及自然 科学的某些问题中都占有重要的地位 .
让我们回忆一下上一讲介绍的泊松定理： n 设 是一个正整数，
pn
，则有
k
lim C p (1 pn )
n k n k n
n k
e
k!
, k 0,1,2,,
等式右端给出的概率分布，是又一种重 要的离散型分布：泊松分布
一、泊松分布的定义及图形特点 设随机变量X所有可能取的值为0 , 1 , 2 , … , 且概率分布为：
P ( X k ) eFra bibliotekk
k!
, k0,1,2,,
其中 λ >0 是常数, 则称 X 服从参数为λ 的 泊松分布, 记作X~P(λ ).
泊松分布的图形特点：X~P( λ)
二、二项分布与泊松分布 历史上，泊松分布是作为二项分布的近 似，于1837年由法国数学家泊松引入的. 近数十年来，泊松分布日益显示 其重要性, 成为概率论中最重要的几 个分布之一. 在实际中，许多随机现象服从或近 似服从泊松分布.
我们把在每次试验中出现概率很小的事 件称作稀有事件. 如地震、火山爆发、特大洪水、意外事故等等
由泊松定理，n重贝努里试验中稀有事件 出现的次数近似地服从泊松分布.
三、泊松分布产生的一般条件 在自然界和人们的现实生活中，经常要 遇到在随机时刻出现的某种事件. 我们把在 随机时刻相继出现的事件所形成的序列，叫 做随机事件流. 若事件流具有平稳性、无后效性、普通性， 则称该事件流为泊松事件流（泊松流）. 下面简要解释平稳性、无后效性、普通性.
到某机场降落的飞机数;
一个售货员接待的顾客数; 一台纺纱机的断头数; … 都可以看作泊松流.
对泊松流，在任意时间间隔(0,t)内,事件 (如交通事故)出现的次数服从参数为 λ t 的 泊松分布 . λ 称为泊松流的强度.
例1 一家商店采用科学管理，由该商店过去 的销售记录知道，某种商品每月的销售数可 以用参数λ=5的泊松分布来描述，为了以 95%以上的把握保证不脱销，问商店在月底 至少应进某种商品多少件？