人教A版高中数学必修四第一章：1.1.2弧度制 课件
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高一数学人教A版必修4第一章(三角函数)本章小结课件
1-(-
5 5
)2
=
-
2
5 5
.
6. 用 cosa 表示 sin4a-sin2a+cos2a.
解: sin4a-sin2a+cos2a = sin2a(sin2a-1)+cos2a = sin2a(-cos2a)+cos2a = cos2a(1-sin2a) = cos4a.
7. 求证:
(1) 2(1-sina)(1+cosa) = (1-sina+cosa)2; (2) sin2a+sin2b-sin2a·sin2b+cos2a·cos2b =1.
6. 终边位置确定三角函数值的正负
y
y
y
++ -o - x
-+
ox
-+
-+
ox
+-
sina
cosa
tana
正弦上正下负, 余弦右正左负, 正切一三正二四负.
7. 同角三角函数的关系
sin2a+cos2a=1,
sina cosa
=
tana
.
常用的变形:
sin2a=1-cos2a. cos2a=1-sin2a.
解: 由已知得 sin2x=4cos2x, 1-cos2x=4cos2x,
解得 cos x =
5 5
.
又由已知得 tanx =2,
则 x 是第一、第三象限角.
当 x 是第一象限角时,
cos x =
5 5
,
sin x =
1-(
5 5
)2=
2
5 5
;
当 x 是第三象限角时,
高中数学 1-1-2弧度制和弧度制与角度制的换算课件 新人教B版必修4
(2010·新余市高一下学期期末测试)在单位圆中，面积
为1的扇形所对圆心角的弧度数为
()
A．1
B．2
C．3
D．4
[答案] B
[解析] 设扇形的弧长为l，由题意，
得 S＝12lR＝12l×1＝1，∴l＝2，
∴扇形所对圆心角的弧度数为Rl ＝21＝2.
[例4] 已知扇形的周长为20cm，当扇形的圆心角为多 大时，它有最大面积？
[分析] 设扇形的半径是 r，弧长是 l，则扇形面积可 表示为 S＝12lr，l 与 r 之间还要满足周长为 20，即 l＋2r＝ 20，所以 l＝20－2r，这样 S 就能表示成关于 r 的二次函数， 再利用二次函数的性质求最值即可．
[解析] 设扇形的半径是 r，弧长是 l，由已知条件可 知：l＋2r＝20，即 l＝20－2r.由 0<l<2πr，得 0<20－2r<2πr， ∴π1＋01<r<10.
[点评] 用弧度表示的与角α终边相同的角的一般形式 为：β＝2kπ＋α(k∈Z)．这些角所组成的集合为{β|β＝2kπ＋ α，k∈Z}．
用弧度制分别写出第一、二、三、四象限角的集合． [解析] 第一象限角的集合：
S1＝α2kπ<α<π2＋2kπ，k∈Z
；
第二象限角的集合：
S2＝απ2＋2kπ<α<π＋2kπ，k∈Z
rad≈0.01745rad，
1rad＝ (18π0)°≈57.3°＝57°18′.
3．在弧度制下，弧长公式为 l＝θr，扇形面积公式为
S＝
1 2lr .
重点：弧度的概念，角度与弧度的换算，弧长公式． 难点：弧度概念的理解及角度与弧度的换算和弧度制 下弧长与扇形面积公式． 1．关于弧度的理解，主要明确以下几点： (1)和角度制对比，弧度制是以“弧度”为单位来度量 角的单位制，而角度制是以“度”为单位来度量角的单位 制． (2)根据圆心角定义，对于任何一个圆心角α，所对弧 长与半径的比是一个仅与角α的大小有关的常数．因此，弧 长等于半径的弧所对的圆心角的大小并不随半径变化而变 化，而是一个大小确定的角，可以取为度量角的标准．
高一数学必修4课件：1-1-2弧度制
第一章
1.1 1.1.2
成才之路 ·数学 ·人教A版 · 必修4
3π 3 (2)β1＝ 5 ＝5×180° ＝108° ，设 θ＝k· ＋β1(k∈Z)， 360° 由－720° ≤θ<0° ，得－720° 360° ≤k· ＋108° ， <0° ∴k＝－2 或－1， ∴－720° ～0° 之间与 β1 有相同终边的角是：－612° 和－ π 252° 2＝－ ＝－60° ，β ， 3 设 γ＝k· －60° 360° (k∈Z)，则由－720° 360° ≤k· －60° ， <0° 从而 k＝－1 或 k＝0，因此在－720° ～0° 之间与 β2 有相同终边 的另一个角为－420° .
成才之路· 数学
人教A版 ·必修4
路漫漫其修远兮 吾将上下而求索
成才之路 ·数学 ·人教A版 · 必修4
第一章
三角函数
第一章 三角函数
成才之路 ·数学 ·人教A版 · 必修4
第一章
1．1 任意角和弧度制
第一章 三角函数
成才之路 ·数学 ·人教A版 · 必修4
第一章
1．1.2 弧度制
第一章 三角函数
第一章
1.1 1.1.2
成才之路 ·数学 ·人教A版 · 必修4
下列表述中正确的是(
)
A．一弧度是一度的圆心角所对的弧 B．一弧度是长度为半径的弧 C．一弧度是一度的弧与一度的角之和 D．一弧度是长度等于半径长的弧所对的圆心角的大小， 它是角的一种度量单位
[答案] D
第一章
1.1 1.1.2
成才之路 ·数学 ·人教A版 · 必修4
第一章
1.1 1.1.2
成才之路 ·数学 ·人教A版 · 必修4
《红对勾》2015-2016学年人教A版高中数学必修4课件1-1-2弧度制
l 么，角α的弧度数的绝对值是|α|＝ r .
3．角α＝6这种表达方式正确吗？ 答：正确．角α＝6表示6弧度的角，这里将“弧度”省 去了．
角度与弧度的互化
4．在同一个式子中，角度制与弧度制能否混用？为什 么？
答：角度制和弧度制是表示角的两种不同的度量方 法，两者有着本质的不同，因此在同一个表达式中不能出 现两种度量方法的混用，如α＝2kπ＋30°，k∈Z是不正确的 写法，应写成α＝2kπ＋6π，k∈Z.
扇形的弧长和面积的计算
【例 3】 已知一扇形的周长为 8 cm，当它的半径 和圆心角取什么值时，扇形的面积最大？并求出最大面 积．
【分析】 (1)用哪些量表达扇形的周长？(半径和弧 长)
(2)扇形的面积公式是什么？能否用半径表示？(S＝ 12lr，能)
(3)如何求扇形面积的最大值？(利用二次函数)
答：随着半径的变化，弧长也在变化，但对于一定大 小的圆心角所对应的弧长与半径的比值是唯一确定的，与 半径的大小无关．
任意角的弧度数与实数的对应关系
(1)正角：正角的弧度数是一个 正数 (2)负角：负角的弧度数是一个 负数 (3)零角：零角的弧度数是 0 . (4)如果半径为r的圆的圆心角α所对弧的长为l，那
角度制与弧度制的互化
【例 2】 设 α1＝510°，α2＝－750°，β1＝45π，β2＝ －161π.
(1)将 α1，α2 用弧度表示出来，并指出它们各自终边 所在的象限；
(2)将 β1，β2 用角度表示出来，并在[－360°，360°) 内找出与它们终边相同的所有的角．
【分析】 首先利用 1°＝18π0rad 可将角度化成弧度，利 用 1rad＝18π0°可将弧度化成角度，然后再根据要求指出 α1， α2 终边所在的象限，与 β1，β2 终边相同且在[－360°，360°) 内的角．
3．角α＝6这种表达方式正确吗？ 答：正确．角α＝6表示6弧度的角，这里将“弧度”省 去了．
角度与弧度的互化
4．在同一个式子中，角度制与弧度制能否混用？为什 么？
答：角度制和弧度制是表示角的两种不同的度量方 法，两者有着本质的不同，因此在同一个表达式中不能出 现两种度量方法的混用，如α＝2kπ＋30°，k∈Z是不正确的 写法，应写成α＝2kπ＋6π，k∈Z.
扇形的弧长和面积的计算
【例 3】 已知一扇形的周长为 8 cm，当它的半径 和圆心角取什么值时，扇形的面积最大？并求出最大面 积．
【分析】 (1)用哪些量表达扇形的周长？(半径和弧 长)
(2)扇形的面积公式是什么？能否用半径表示？(S＝ 12lr，能)
(3)如何求扇形面积的最大值？(利用二次函数)
答：随着半径的变化，弧长也在变化，但对于一定大 小的圆心角所对应的弧长与半径的比值是唯一确定的，与 半径的大小无关．
任意角的弧度数与实数的对应关系
(1)正角：正角的弧度数是一个 正数 (2)负角：负角的弧度数是一个 负数 (3)零角：零角的弧度数是 0 . (4)如果半径为r的圆的圆心角α所对弧的长为l，那
角度制与弧度制的互化
【例 2】 设 α1＝510°，α2＝－750°，β1＝45π，β2＝ －161π.
(1)将 α1，α2 用弧度表示出来，并指出它们各自终边 所在的象限；
(2)将 β1，β2 用角度表示出来，并在[－360°，360°) 内找出与它们终边相同的所有的角．
【分析】 首先利用 1°＝18π0rad 可将角度化成弧度，利 用 1rad＝18π0°可将弧度化成角度，然后再根据要求指出 α1， α2 终边所在的象限，与 β1，β2 终边相同且在[－360°，360°) 内的角．
高中数学必修四 第1章 三角函数课件 1.1.2 弧度制
高中数学 必修四
第一章 三角函数
1.1.2 弧度制
【教学目标】 1．了解角的另外一种度量方法——弧度制． 2．能进行弧度与角度的互化． 3．掌握弧度制中扇形的弧长公式和面积公式． 【重难点】 1．对弧度制概念的理解．(难点) 2．弧度制与角度制的互化．(重点、易错点)
新知导学
1．度量角的单位制 (1)角度制 用度作为单位来度量角的单位制叫做角度制，规定 1 度的角等 1 于周角的 360 . (2)弧度制 ①弧度制的定义
[思路探索] 本题主要考查角度与弧度的换算，直接套用角度与 弧度的换算公式，即度数×1π80＝弧度数，弧度数×1π80°＝度 数．
解 (1)20°＝2108π0＝π9. (2)－15°＝－11850π＝－1π2. (3)71π2＝172×180°＝105°. (4)－115π＝－151×180°＝－396°.
Ⅱ
α2kπ＋π2<α<2kπ＋π，k∈Z
Ⅲ
α2kπ＋π<α<2kπ＋32π，k∈2π<α<2kπ＋2π，k∈Z
类型一 角度制与弧度制的换算 【例 1】 将下列角度与弧度进行互化．
(1)20°；(2)－15°；(3)71π2；(4)－115π.
解 (1)－1 500°＝－1 500×1π80＝－253π＝－10π＋53π. ∵53π是第四象限角，∴－1 500°是第四角限角． (2)∵25π＝25×180°＝72°，∴终边与角25π相同的角为 θ＝72°＋ k·360°(k∈Z)，当 k＝0 时，θ＝72°；当 k＝1 时，θ＝432°， ∴在 0°～720°范围内，与25π角终边相同的角为 72°，432°. [规律方法] 用弧度制表示终边相同的角 2kπ＋α(k∈Z)时，其 中 2kπ 是 π 的偶数倍，而不是整数倍，还要注意角度制与弧度 制不能混用．
第一章 三角函数
1.1.2 弧度制
【教学目标】 1．了解角的另外一种度量方法——弧度制． 2．能进行弧度与角度的互化． 3．掌握弧度制中扇形的弧长公式和面积公式． 【重难点】 1．对弧度制概念的理解．(难点) 2．弧度制与角度制的互化．(重点、易错点)
新知导学
1．度量角的单位制 (1)角度制 用度作为单位来度量角的单位制叫做角度制，规定 1 度的角等 1 于周角的 360 . (2)弧度制 ①弧度制的定义
[思路探索] 本题主要考查角度与弧度的换算，直接套用角度与 弧度的换算公式，即度数×1π80＝弧度数，弧度数×1π80°＝度 数．
解 (1)20°＝2108π0＝π9. (2)－15°＝－11850π＝－1π2. (3)71π2＝172×180°＝105°. (4)－115π＝－151×180°＝－396°.
Ⅱ
α2kπ＋π2<α<2kπ＋π，k∈Z
Ⅲ
α2kπ＋π<α<2kπ＋32π，k∈2π<α<2kπ＋2π，k∈Z
类型一 角度制与弧度制的换算 【例 1】 将下列角度与弧度进行互化．
(1)20°；(2)－15°；(3)71π2；(4)－115π.
解 (1)－1 500°＝－1 500×1π80＝－253π＝－10π＋53π. ∵53π是第四象限角，∴－1 500°是第四角限角． (2)∵25π＝25×180°＝72°，∴终边与角25π相同的角为 θ＝72°＋ k·360°(k∈Z)，当 k＝0 时，θ＝72°；当 k＝1 时，θ＝432°， ∴在 0°～720°范围内，与25π角终边相同的角为 72°，432°. [规律方法] 用弧度制表示终边相同的角 2kπ＋α(k∈Z)时，其 中 2kπ 是 π 的偶数倍，而不是整数倍，还要注意角度制与弧度 制不能混用．
新课标高中数学人教A版必修四全册课件1.1.2弧度制(一)
弧 度
0
6
4
3
2
23
角 度
135o
150o
180o
270o
360o
弧 度
第三十五页，编辑于星期日：十三点 十八分。
特殊角的弧度
角 度
0o
30o
45o
60o
90o 120o
弧 度
0
6
4
3
2
23
角 度
135o
150o
180o
弧 3
度4
270o
360o
第三十六页，编辑于星期日：十三点 十八分。
特殊角的弧度
r ③正角的弧度数是一个正数．
④负角的弧度数是一个负数．
⑤零角的弧度数是零．
⑥角的弧度数的绝对值||=
l. r
第十七页，编辑于星期日：十三点 十八分。
角度与弧度之间的转换
①将角度化为弧度：
第十八页，编辑于星期日：十三点 十八分。
角度与弧度之间的转换
①将角度化为弧度：
第十九页，编辑于星期日：十三点 十八分。
270o
360o
第三十八页，编辑于星期日：十三点 十八分。
特殊角的弧度
角 度
0o
30o
45o
60o
90o 120o
弧 度
0
6
4
3
2
23
角 度
135o
150o
180o
弧 3 5
度4 6
270o
3
2
360o
第三十九页，编辑于星期日：十三点 十八分。
特殊角的弧度
角 度
0o
30o
45o
60o
人教版高中数学必修四弧度制和弧度制与角度制的换算公开课教学课件共18张PPT
当堂检测(限时5分钟，满分10分）
2、
-144o
3、－25º 4、 所求扇形的中心角的弧度数为
小结
圆周角度360
换
算 等价
六十进制 区别
十进制
圆周弧度2
角度制
弧度制
角的度量
三角函数
温故而知新
1、角度制：初中时我们用角度制度量角，1度的角 等于周角的1/360。
周角的 1/360
1°
n° l R
1弧度的概念
如图，把长度等于半径长的圆弧所对的圆心角叫做 1弧度的角，记作1rad，读作1弧度.
探究1：深化弧度的概念
思考1：1弧度圆心角的大小与所在圆的半径的大小 是否有关？为什么？
B’ B l=R
1弧度
1弧度l=r O r R A A’
思考2：如果将半径为r圆的一条半径OA，绕圆心旋转 到OB，若弧AB长为2r，那么∠AOB的大小为多少弧度？
2rad
2r
B
r
A O
思考3：如果半径为r的圆的圆心角α所对的弧长为l， 那么，角α的弧度数的绝对值如何计算？
探究2：角度与弧度的换算
解的？
正角
正实数
零角
零
十进制
负角
负实数
探究3：与扇形有关的公式
思考1：角度制下，扇形的圆心角是n°,则扇形的面积是？
思考2：类比思考1，在弧度制下，若扇形的圆心角是 弧 度，则扇形的面积是？还有其它的表示方法么？
A
r
OS l B
例题讲解
例1 把
解：∵ ∴
化成弧度。
例2 把 化成度。
解：∵ 1rad=
人教版高中数学必修四 弧度制和弧度制与角度 制的换算公开课教学课
人教A版高中数学必修四第一章：1.1.2弧度制课件
5
(2) 112º30′=112.5× 180 = 8 .
“角化弧”时, 将α乘以 ；
180
2024/11/3
例2. 把
8
5
化成角度。
解：1rad=
(180 )
8 8 (180) 55
288
“弧化角”时，将α乘以
180；0
2024/11/3
填定下列特殊角的度数与弧度数的对应表
角 度
0 30
2024/11/3
复习回顾：正角：射线按逆时针方向旋
1.任意角
转形成的角 负角：射线按顺时针方向
的概念 旋转形成的角
零角：射线不作旋转形成的角
1)把角的顶点放在原点 2.象限角 2)始边重合于X轴的非负半轴
终边落在第几象限就是第几象限角
3 . 终边与 角ａ相同的角
2024/11/3 S={β|β=α+k·360°,k∈Z}
2024/11/3
证明:由公式 =得rl l=αR
而圆心角为n°的扇形的弧长公式和面积公
式分别是 l n R , S n R2
180
360
R nR 得： n 180 n
180
180
代入面积公式，得 S 1 R2 S 1 lR
2
2
2024/11/第5题做在书上
2024/11/3
P5练习1、2、3、4、5
角度制
在平面几何中研究角的度量，当 时是用度做单位来度量角，如下图：
1°的角
O
2024/11/3
在角度制下，当把两个带着度、分、秒 各单位的角相加、相减时，由于运算进制非 十进制，总给我们带来不少困难．那么我们 能否重新选择角单位，使在该单位制下两角 的加、减运算与常规的十进制加减法一样去 做呢？
(2) 112º30′=112.5× 180 = 8 .
“角化弧”时, 将α乘以 ；
180
2024/11/3
例2. 把
8
5
化成角度。
解：1rad=
(180 )
8 8 (180) 55
288
“弧化角”时，将α乘以
180；0
2024/11/3
填定下列特殊角的度数与弧度数的对应表
角 度
0 30
2024/11/3
复习回顾：正角：射线按逆时针方向旋
1.任意角
转形成的角 负角：射线按顺时针方向
的概念 旋转形成的角
零角：射线不作旋转形成的角
1)把角的顶点放在原点 2.象限角 2)始边重合于X轴的非负半轴
终边落在第几象限就是第几象限角
3 . 终边与 角ａ相同的角
2024/11/3 S={β|β=α+k·360°,k∈Z}
2024/11/3
证明:由公式 =得rl l=αR
而圆心角为n°的扇形的弧长公式和面积公
式分别是 l n R , S n R2
180
360
R nR 得： n 180 n
180
180
代入面积公式，得 S 1 R2 S 1 lR
2
2
2024/11/第5题做在书上
2024/11/3
P5练习1、2、3、4、5
角度制
在平面几何中研究角的度量，当 时是用度做单位来度量角，如下图：
1°的角
O
2024/11/3
在角度制下，当把两个带着度、分、秒 各单位的角相加、相减时，由于运算进制非 十进制，总给我们带来不少困难．那么我们 能否重新选择角单位，使在该单位制下两角 的加、减运算与常规的十进制加减法一样去 做呢？
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小结
（1） 180 弧度；
(2）“角化弧”时, 将n乘以 180；
“弧化角”时，将α乘以 18；0
（3）弧长公式：l r
扇形面积公式： S 1 lr 1 r2
22
（其中l为圆心角α所对的弧长,α为圆心 角的弧度数,r为圆半径.)
2021/3/9
作业布置
p176 d第5 ,第6
2021/3/9
2021/3/9
复习回顾：正角：射线按逆时针方向旋
1.任意角
转形成的角 负角：射线按顺时针方向
的概念 旋转形成的角
零角：射线不作旋转形成的角
1)把角的顶点放在原点 2.象限角 2)始边重合于X轴的非负半轴
终边落在第几象限就是第几象限角
3 . 终边与 角ａ相同的角
2021/3/9 S={β|β=α+k·360°,k∈Z}
2021/3/9
证明:由公式 =得rl l=αR
而圆心角为n°的扇形的弧长公式和面积公
式分别是 l n R , S n R2
180
360
R nR 得： n 180 n
180
180
代入面积公式，得 S 1 R2 S 1 lR
2
2
2021/3/9
练习 P175：第5、6题
2021/3/9
5
(2) 112º30′=112.5× 180 = 8 .
“角化弧”时, 将α乘以 ；
180
2021/3/9
例2. 把
8
5
化成角度。
解：1rad=
(180 )
8 8 (180) 55
288
下列特殊角的度数与弧度数的对应表
角 度
0 30
1rad 180 57.30 5718'
2021/3/9
例1. （1) 把112º30′化成弧度(精确到0.001)；
（2）把112º30′化成弧度（用π表示）。
解： （1）112º30′=112.5º，
1 0.0175
180
所以112º30′≈112.5×0.0175≈1.969rad.
弧度制与角度制相比：
(1) 弧度制是以“弧度”为单位的度量角的单 位制，角度制是以“度”为单位来度量角的 单位制；1弧度≠1º；
（2）1弧度是弧长等于半径长的圆弧所对的圆 心角的大小，而1度是圆周 1 的所对的圆心
360
角的大小； （3）弧度制是十进制，它的表示是用一个实数 表示，而角度制是六十进制；
角度制
在平面几何中研究角的度量，当 时是用度做单位来度量角，如下图：
1°的角
O
2021/3/9
在角度制下，当把两个带着度、分、秒 各单位的角相加、相减时，由于运算进制非 十进制，总给我们带来不少困难．那么我们 能否重新选择角单位，使在该单位制下两角 的加、减运算与常规的十进制加减法一样去 做呢？
45
60 90 120 135150 180 270360
弧 度
064 3
2
2 3 5 346
3
2
2
2021/3/9
练习
P175：第1—3题
2021/3/9
例3: 利用弧度制证明下列关于扇形公式:
1l R 2 S 1 R2 3 S 1 lR
2
2
其中R是半径，l是弧长，α(0<α<2π)为圆心 角,S是扇形面积.
2021/3/9
正角的弧度数是正数，负角的弧度数是负数， 零角的弧度数是0.
公式： l
r 表示的是在半径为r的圆中，弧长为l的
弧所对的圆心角是αrad。
2021/3/9
角度与弧度间的换算
360 2rad
180 rad
把角度换成弧度
1 rad 0.01745rad
180
把弧度换成角度
我们把用度做单位来度量角的制度叫做角 度制，在数学和其他许多科学研究中还要经常 用到一种度量角的制度
—弧度制，它是如何定义呢？
2021/3/9
结论：可以用圆的半径作单位去度量角。
定义：
长度等于半径长的圆弧所对的圆心角叫做1弧 度的角，弧度记作rad。这种以弧度为单位来 度量角的制度叫做弧度制。
注：今后在用弧度制表示角的时候，弧度二字 或rad可以略去不写。