映射的含义
高中一年级《函数的概念及表示》
(1)y＝ 2x＋3＋x－1 1；(2)y＝(x＋2－1)x0
【思路点拨】 分析所给函数解析式 ―→ 列不等式组 ―→ 求x范围，得定义域 【解析】 (1)要使函数有意义，需满足2x－ x＋13≠≥00， ，
x (x≥1) 【思路点拨】 初中阶段我们已经知道，一次函数的图象是直线，二次函 数图象是拋物线，反比例函数图象是双曲线.现在我们只要结合定义域，找 到一些关键点，便可画出函数的大致图象.
必修一第二章第二节
【解析】 (1)当x＝1时，y＝1，所画函数图象如图1； (2)y＝x2－4x＋3＝(x－2)2－1， 且x＝1,3时，y＝0； 当x＝2时，y＝－1， 所画函数图象如图2.
图
能形象直观地表示出函数的变化 只能近似地求出自变量的值所对 象
情况
应的函数值，而且有时误差较大
法
必修一第二章第二节
2.关于分段函数 (1)分段函数虽由几部分构成，但代表的是一个函数.只不过在定义域内的不 同部分取值时，函数对应关系不同.其值域也是各段上的函数值集合的并集. (2)求分段函数的有关函数值的关键是“分段归类”，即自变量的取值属于 哪一段，就用哪一段的解析式. (3)作分段函数的图象时，则应分段分别作出其图象，在作每一段图象时， 先不管定义域的限制，用虚线作出其图象，再用实线保留定义域内的一段图象 即可.
必修一第二章第二节
x＋4 3.若 f(x)＝x2－2x
－x＋2 (1)求 f(f(f(5)))的值； (2)若 f(a)＝－1，求 a 的值.
(x≤0) (0＜x≤4) ， (x＞4)
什么是映射
什么是映射映射主要有四种含义，分别是：1、映射是一个汉语词汇，意思是映照、照射，也可以指反射反映引证解释（1）映照；照射。
清·程麟《此中人语·阎王》：“﹝阎王﹞两眼碧光，与灯光相映射。
”碧野《没有花的春天》第二章：“星光从院子里映射进厅堂里来。
”（2）反射；反映。
瞿秋白《饿乡纪程》二：“只是那垂死的家族制之苦痛，在几度回光返照的时候，映射在我心里，影响于我生活。
”闻一多《诗与批评·<女神>之时代精神》：“二十世纪是个动的世纪。
这种的精神映射于《女神》中最为明显。
2、映射是一个数学名词在数学里，映射是个术语，指两个元素的集之间元素相互“对应”的关系，为名词。
映射，或者射影，在数学及相关的领域经常等同于函数。
基于此，部分映射就相当于部分函数，而完全映射相当于完全函数。
两个非空集合A与B间存在着对应关系f，而且对于A 中的每一个元素a，B中总有唯一的一个元素b与它对应，就这种对应为从A到B的映射，记作f：A→B。
其中，b称为元素a在映射f下的像[1]，记作：b=f(a)。
a称为b关于映射f的原像[1]。
集合A中所有元素的像的集合称为映射f 的值域，记作f(A)。
或者说，设A,B是两个非空的集合，如果按某一个确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个元素a，在集合B 中都有唯一的元素b与之对应，那么就称对应f：A→B为从集合A到集合B的一个映射。
映射，或者射影，在数学及相关的领域还用于定义函数。
函数是从非空数集到非空数集的映射，而且只能是一对一映射或多对一映射。
映射在不同的领域有很多的名称，它们的本质是相同的。
如函数，算子等等。
这里要说明，函数是两个数集之间的映射，其他的映射并非函数。
一一映射(双射)是映射中特殊的一种，即两集合元素间的唯一对应，通俗来讲就是一个对一个（一对一）。
注意：(1)对于A中不同的元素，在B中不一定有不同的像；（2）B中每个元素都有原像（即满射），且集合A中不同的元素在集合B中都有不同的像（即单射），则称映射f 建立了集合A和集合B之间的一个一一对应关系，也称f是A到B上的一一映射。
湘教版高中数学必修一课件1-2-1对应、映射和函数必修1
预习测评
1． 下列从集合A到集合B的对应f是映射的是( )． A．A＝{－1，0，1}，B＝{－1，0，1}，f：A中的数平方 B．A＝{0，1}，B＝{－1，0，1}，f：A中的数开方 C．A＝Z，B＝Q，f：A中的数的倒数 D．A＝R，B＝{正实数}，f：A中的数取绝对值 答案 A
2．下列各组函数表示同一函数的是 A．y＝xx2－－39与 y＝x＋3
自学导引
1．映射的定义：设A，B是两个__非__空_的集合，如果按照某种 对应法则f，对于集合A中的任何一个元素，在集合B中都 有_唯__一__元素和它对应，这样的对应叫作从集合A到集合B 的_映__射__，记作__f_：__A_→__B_． 在映射f：A→B中，集合A叫作映射的__定__义__域__，与A中元 素x对应的B中的元素y叫x的_象__(image)，记作y＝f(x)G，x 叫作y的_原__象__(inverseimage)．
解 (1)对于任意一个非零实数 x，2x被 x 唯一确定，所以当 x
≠0 时，x→2x是函数，这个函数也可以表示为 f(x)＝2x(x≠0)．
(2)当x＝4时，y2＝4，得y＝2或y＝－2，不是有唯一值和x对 应，所以，x→y(y2＝x)不是函数． (3)是函数，满足函数的定义，在A中任取一个值，B中有唯 一确定的值和它对应． 点评 1.判断函数的标准可以简记成：两个非空数集A、B， 一个对应关系f，A中任一对B中唯一(即多对一或一对一)． 2．函数是一种特殊的对应，要检验给定两个变量之间是否 具有函数关系，只要检验： (1)变量x的取值集合和两变量x、y的对应关系是否给出； (2)根据给出的对应关系，自变量x在其取值集合中的每一个 值，是否都有唯一确定的值y与之对应．
高中数学课件
初高中数学衔接教学课程讲义----第6节函数的定义
初高中数学衔接课讲义——函数第六讲 函数的定义【映射】1.定义一般地，设B A ,是两个非空集合，如果按某一个确定的对应关系f ，使对于集合A 中的任意一个元素x ，在集合B 中都有唯一确定的元素y 与之对应，那么就称对应B A f →:为从集合A 到集合B 的一个映射.记作“f （对应关系）：A （原象）B →（象）”2.映射的特性（1）存在性：对集合A 中任一个元素a ，在集合B 中都存在元素b 与之对应；（2）唯一性：集合A 中的任一元素在集合B 中的对应元素是唯一的；（3）封闭性：集合A 中任一个元素的对应元素都必须在集合B 中；（4）确定性：非空集合B A ,及对应关系都是确定的；（5）方向性：集合A 到集合B 的对应与集合B 到集合A 的对应所确定的映射是不同的.3.一一映射的概念如果映射f 是集合A 到集合B 的映射，并且对于集合A 中的任何一个元素在集合B 中都有象，集合B 中的每一个元素在A 中都有象，那么就说两个集合之间存在着一一对应关系，并把这个映射叫做一一映射.【提示】（1）函数一定是映射，但是映射不一定是函数.（2）在函数中，B A ,是两个数集，即B A ,中的元素都是实数，但在映射中，B A ,中的元素不一定是实数.【例题1】下列对应是映射的有__________.【例题2】下列各个对应中,构成映射的是（ ）A.B. C. D.【例题3】下列不能表示}40|{≤≤=x x P 到}20|{≤≤=y y Q 的映射的是（ ） A.x y x f 21:=→ B.x y x f 31:=→ C.x y x f 23:=→ D.x y x f =→:【例题4】若),y x （在映射f 作用下的象是),xy y x +（，则()3,2-在f 作用下的象是_________；()3,2-在f 作用下的原象是__________.【例题5】设集合A 和B 都是实数集，映射B A f →:把集合A 中的元素x 映射到集合B 中的元素13+-x x ，则在映射f 下，象1的原象组成的集合是（ ） A.}1{B.}210{--，，C.}0{D.}11{0-，，【例题6】设},|),{(R y R x y x B A ∈∈==，),(),(:b y kx y x f +→是从集合A 到集合B 的映射，若B 中元素）（2,6在映射f 下对应A 中元素)13(，，则=k _________，=b __________.【函数的定义】设集合B A 、是两个非空数集，对于A 中的任意数x ，按照某种关系的对应关系f ，在集合B 中都有唯一确定的数)(x f 与它对应，那么就称B A f →:为从集合A 到集合B 的一个函数，记作A x x f y ∈=),(.其中，x 叫做自变量，x 的取值范围A 叫做的定义域，与x 的值相对应)(x f 的值叫做函数值，所有函数值构成的集合}|)({A x x f ∈叫做函数的值域.【提示】（1）B A 、都是非空数集，故定义域（或值域）为空集的函数是不存在的.（2）B 不一定是函数的值域，如函数12+=x y 可称为实数集到实数集的函数，但函数的值域不是实数集R .（3）函数三要素的定义域、对应关系和值域.其中对应关系是核心，定义域是根本.（4）函数符合)(x f 的含义：)(x f 表示一个整体，一个函数，而符号“f ”可以看作是对“x ”施加的某种法则（或运算）.【例题1】判断正误：（1）函数值域中的每一个数都有定义域中的数与之对应； （ ）（2）函数的定义域可以为空集； （ ）（3）定义域和对应关系确定后，函数值域也就确定； （ ）（4）若函数的定义域只有一个元素，则值域也只有一个元素； （ ）（5）对于不同的x ， y 的值也不同； （ ）（6）函数23)(x x x f +=，则2)1(=f ; （ ）【例题2】已知函数213)(+++=x x x f ，求))3((),3(--f f f 的值.【例题3】函数6)(+=x x f ，则=)3(f __________.【例题4】函数1)1()(3099-+-=x xx f ，则=-)2(f __________.【例题5】已知函数213)(+++=x x x f ，当0>a 时，求)1(),(-a f a f 的值.【例题6】下列图象能表示函数图象的是（ ）A.B. C. D.【例题7】下列图中能作为函数图象的是（ ）A.B. C. D.【例题8】下列四个图象中，不是函数图象的是（ ）A.B. C. D.【例题9】图中能作为函数图象的是（ ）A. B. C. D.【例题10】)(x f y =定义在[]3,2-上，则函数)(x f y =图象与直线2=x 的交点个数有（ ）A.0个B.1个C.2个D.不能确定【例题11】函数)(x f y =的图象与直线1=x 的公共点数目是（ ）A.1B.0C.0或1D.1或2【课堂练习】【练习】设集合A 和集合B 都是自然数集合N ，映射B A f →:把集合A 中的元素n 映射到集合B 中的元素n n+2，则在映射f 下，象20的原象是（ ）A.2B.3C.4D.5【练习】判断下列说法是否正确：（1）表达式相同的两个函数是相同函数；（ ） （2）定义域、值域均相同的函数是同一函数； （ ） （3）函数的定义域、值域均是无限集； （ ）【练习】关于函数)(x f y =与函数)1(+=x f y 的叙述一定正确的是（ ）A.定义域相同B.对应关系相同C.值域相同D.三要素都不可以不同【练习】下列图形可以表示为以}10|{≤≤=x x M 为定义域，以}10|{≤≤=x x N 为值域的函数是（ ）A.B. C. D.【练习】函数11)(22+-=x x x f ，则=)21()2(f f （ ） A.1B.-1C.53 D.53-【练习】设|||1|)(x x x f --=，则=)]21([f f （ ） A.21-B.0C.21D.1初高中数学衔接课讲义——函数第六讲 函数的定义 【映射】4.定义一般地，设B A ,是两个非空集合，如果按某一个确定的对应关系f ，使对于集合A 中的任意一个元素x ，在集合B 中都有唯一确定的元素y 与之对应，那么就称对应B A f →:为从集合A 到集合B 的一个映射.记作“f （对应关系）：A （原象）B →（象）”5.映射的特性（1）存在性：对集合A 中任一个元素a ，在集合B 中都存在元素b 与之对应；（2）唯一性：集合A 中的任一元素在集合B 中的对应元素是唯一的；（3）封闭性：集合A 中任一个元素的对应元素都必须在集合B 中；（4）确定性：非空集合B A ,及对应关系都是确定的；（5）方向性：集合A 到集合B 的对应与集合B 到集合A 的对应所确定的映射是不同的.6.一一映射的概念如果映射f 是集合A 到集合B 的映射，并且对于集合A 中的任何一个元素在集合B 中都有象，集合B 中的每一个元素在A 中都有象，那么就说两个集合之间存在着一一对应关系，并把这个映射叫做一一映射.【提示】（1）函数一定是映射，但是映射不一定是函数.（2）在函数中，B A ,是两个数集，即B A ,中的元素都是实数，但在映射中，B A ,中的元素不一定是实数.【例题1】下列对应是映射的有__________.答案：①④【例题2】下列各个对应中,构成映射的是（ ）A.B. C. D.答案：B 【例题3】下列不能表示}40|{≤≤=x x P 到}20|{≤≤=y y Q 的映射的是（ ） A.x y x f 21:=→ B.x y x f 31:=→ C.x y x f 23:=→ D.x y x f =→: 答案：B【例题4】若),y x （在映射f 作用下的象是),xy y x +（，则()3,2-在f 作用下的象是_________；()3,2-在f 作用下的原象是__________.答案：），（61-; ），）或（（133,1-- 【例题5】设集合A 和B 都是实数集，映射B A f →:把集合A 中的元素x 映射到集合B 中的元素13+-x x ，则在映射f 下，象1的原象组成的集合是（ ） A.}1{B.}210{--，，C.}0{D.}11{0-，，答案：D【例题6】设},|),{(R y R x y x B A ∈∈==，),(),(:b y kx y x f +→是从集合A 到集合B 的映射，若B 中元素）（2,6在映射f 下对应A 中元素)13(，，则=k _________，=b __________.答案：2； 1【函数的定义】设集合B A 、是两个非空数集，对于A 中的任意数x ，按照某种关系的对应关系f ，在集合B 中都有唯一确定的数)(x f 与它对应，那么就称B A f →:为从集合A 到集合B 的一个函数，记作A x x f y ∈=),(.其中，x 叫做自变量，x 的取值范围A 叫做的定义域，与x 的值相对应)(x f 的值叫做函数值，所有函数值构成的集合}|)({A x x f ∈叫做函数的值域.【提示】（1）B A 、都是非空数集，故定义域（或值域）为空集的函数是不存在的.（2）B 不一定是函数的值域，如函数12+=x y 可称为实数集到实数集的函数，但函数的值域不是实数集R .（3）函数三要素的定义域、对应关系和值域.其中对应关系是核心，定义域是根本.（4）函数符合)(x f 的含义：)(x f 表示一个整体，一个函数，而符号“f ”可以看作是对“x ”施加的某种法则（或运算）.【例题1】判断正误：（1）函数值域中的每一个数都有定义域中的数与之对应； （ ）（2）函数的定义域可以为空集； （ ）（3）定义域和对应关系确定后，函数值域也就确定； （ ）（4）若函数的定义域只有一个元素，则值域也只有一个元素； （ ）（5）对于不同的x ， y 的值也不同； （ ）（6）函数23)(x x x f +=，则2)1(=f ; （ ） 答案：（1）√ （2）× （3）√ （4）√ （5）× （6）√【例题2】已知函数213)(+++=x x x f ，求))3((),3(--f f f 的值. 解析：由题意可得：123133)3(-=+-++-=-f 1221131)1())3((+=+-++-=-=-∴f f f 答案：12;1+- 【例题3】函数6)(+=x x f ，则=)3(f __________.答案：3 【例题4】函数1)1()(3099-+-=x x x f ，则=-)2(f __________.解析：由题意可得：当2-=x 时，()()01299≠--，()[]112099=--∴ ()8121)2(3-=--+=-∴f 答案：8-【例题5】已知函数213)(+++=x x x f ，当0>a 时，求)1(),(-a f a f 的值. 解析：由题意可得：当0>a 时，213213)(+++=+++=a a a a a f 11221131)1(+++=+-++-=-a a a a a f 答案：213)(+++=a a a f ; 112)1(+++=-a a a f 【例题6】下列图象能表示函数图象的是（ ）A.B. C. D.答案：C 【例题7】下列图中能作为函数图象的是（ ）A.B. C. D.答案：D 【例题8】下列四个图象中，不是函数图象的是（ ）A.B. C. D.答案：B 【例题9】图中能作为函数图象的是（ ）A.（1）、（2）B.（1）、（3）C.（2）、（4）D.（3）、（4）答案：A【例题10】)(x f y =定义在[]3,2-上，则函数)(x f y =图象与直线2=x 的交点个数有（ ）A.0个B.1个C.2个D.不能确定答案：B【例题11】函数)(x f y =的图象与直线1=x 的公共点数目是（ ）A.1B.0C.0或1D.1或2答案：C【课堂练习】【练习】设集合A 和集合B 都是自然数集合N ，映射B A f →:把集合A 中的元素n 映射到集合B 中的元素n n+2，则在映射f 下，象20的原象是（ ）A.2B.3C.4D.5答案：C【练习】判断下列说法是否正确：（4）表达式相同的两个函数是相同函数；（ ） （5）定义域、值域均相同的函数是同一函数； （ ） （6）函数的定义域、值域均是无限集； （ ） 答案：（1）× （2）× （3）×【练习】关于函数)(x f y =与函数)1(+=x f y 的叙述一定正确的是（ ）A.定义域相同B.对应关系相同C.值域相同D.三要素都不可以不同答案：C【练习】下列图形可以表示为以}10|{≤≤=x x M 为定义域，以}10|{≤≤=x x N 为值域的函数是（ ）A.B. C. D.答案：C 【练习】函数11)(22+-=x x x f ，则=)21()2(f f （ ） A.1B.-1C.53 D.53- 解析：由题意可得：531212)2(22=+-=f ,53121121)21(22-=+⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛=f∴15353)21()2(-=-=f f . 答案：B【练习】设|||1|)(x x x f --=，则=)]21([f f （ ） A.21-B.0C.21 D.1 解析：由题意可得：0|21||121|)21(=--=f ，1|0||10|)0()]21([=--==∴f f f . 答案：D。
映射
映射教学目标1．了解映射的概念，象与原象的概念，和一一映射的概念．（1）明确映射是特殊的对应即由集合，集合和对应法则f三者构成的一个整体，知道映射的特殊之处在于必须是多对一和一对一的对应；（2）能准确使用数学符号表示映射，把握映射与一一映射的区别；（3）会求给定映射的指定元素的象与原象，了解求象与原象的方法．2．在概念形成过程中，培养学生的观察，比较和归纳的能力．3．通过映射概念的学习，逐步提高学生对知识的探究能力．教学建议教材分析（1）知识结构映射是一种特殊的对应，一一映射又是一种特殊的映射，而且函数也是特殊的映射，它们之间的关系可以通过下图表示出来，如图：由此我们可从集合的包含关系中帮助我们把握相关概念间的区别与联系．（2）重点，难点分析本节的教学重点和难点是映射和一一映射概念的形成与认识．①映射的概念是比较抽象的概念，它是在初中所学对应的基础上发展而来．教学中应特别强调对应集合中的唯一这点要求的理解；映射是学生在初中所学的对应的基础上学习的，对应本身就是由三部分构成的整体，包括集合A和集合B及对应法则f，由于法则的不同，对应可分为一对一，多对一，一对多和多对多．其中只有一对一和多对一的能构成映射，由此可以看到映射必是“对B中之唯一”，而只要是对应就必须保证让A中之任一与B中元素相对应，所以满足一对一和多对一的对应就能体现出“任一对唯一”．②而一一映射又在映射的基础上增加新的要求，决定了它在学习中是比较困难的．教法建议??（1）在映射概念引入时，可先从学生熟悉的对应入手，选择一些具体的生活例子，然后再举一些数学例子，分为一对多、多对一、多对一、一对一四种情况，让学生认真观察，比较，再引导学生发现其中一对一和多对一的对应是映射，逐步归纳概括出映射的基本特征，让学生的认识从感性认识到理性认识．（2）在刚开始学习映射时，为了能让学生看清映射的构成，可以选择用图形表示映射，在集合的选择上可选择能用列举法表示的有限集，法则尽量用语言描述，这样的表示方法让学生可以比较直观的认识映射，而后再选择用抽象的数学符号表示映射，比如：，．这种表示方法比较简明，抽象，且能看到三者之间的关系．除此之外，映射的一般表示方法为，从这个符号中也能看到映射是由三部分构成的整体，这对后面认识函数是三件事构成的整体是非常有帮助的．（3）对于学生层次较高的学校可以在给出定义后让学生根据自己的理解举出映射的例子，教师也给出一些映射的例子，让学生从中发现映射的特点，并用自己的语言描述出来，最后教师加以概括，再从中引出一一映射概念；对于学生层次较低的学校，则可以由教师给出一些例子让学生观察，教师引导学生发现映射的特点，一起概括．最后再让学生举例，并逐步增加要求向一一映射靠拢，引出一一映射概念．（4）关于求象和原象的问题，应在计算的过程中总结方法，特别是求原象的方法是解方程或方程组，还可以通过方程组解的不同情况(有唯一解，无解或有无数解)加深对映射的认识．（5）在教学方法上可以采用启发，讨论的形式，让学生在实例中去观察，比较，启发学生寻找共性，共同讨论映射的特点，共同举例，计算，最后进行小结，教师要起到点拨和深化的作用．教学设计方案2.1 映射教学目标(1)了解映射的概念，象与原象及一一映射的概念．(2)在概念形成过程中，培养学生的观察，分析对比，归纳的能力．(3)通过映射概念的学习，逐步提高学生的探究能力．教学重点难点：:映射概念的形成与认识．教学用具：实物投影仪教学方法：启发讨论式教学过程：一、引入在初中，我们已经初步探讨了函数的定义并研究了几类简单的常见函数．在高中，将利用前面集合有关知识，利用映射的观点给出函数的定义．那么映射是什么呢?这就是我们今天要详细的概念．二、新课在前一章集合的初步知识中，我们学习了元素与集合及集合与集合之间的关系，而映射是重点研究两个集合的元素与元素之间的对应关系．这要先从我们熟悉的对应说起(用投影仪打出一些对应关系，共6个)我们今天要研究的是一类特殊的对应，特殊在什么地方呢?提问1：在这些对应中有哪些是让A中元素就对应B中唯一一个元素?让学生仔细观察后由学生回答，对有争议的，或漏选，多选的可详细说明理由进行讨论．最后得出(1)，(2)，(5)，(6)是符合条件的(用投影仪将这几个集中在一起)提问2：能用自己的语言描述一下这几个对应的共性吗？经过师生共同推敲，将映射的定义引出．(主体内容由学生完成，教师做必要的补充)(板书)一．映射1．定义:一般地，设两个集合，如果按照某种对应法则，对于集合中的任何一个元素，在集合中都有唯一的元素和它对应，那么这样的对应(包括集合及到的对应法则)叫做集合到集合的映射，记作．定义给出之后，教师应及时强调映射是特殊的对应，故是三部分构成的一个整体，从映射的符号表示中也可看出这一点，它的特殊之处在于元素与元素之间的对应必须作到“任一对唯一”，同时指出具有对应关系的元素即中元素对应中元素，则叫的象，叫的原象．(板书)2．象与原象可以用前面的例子具体说明谁是谁的象，谁是谁的原象．提问3：下面请同学根据自己对映射的理解举几个映射的例子，看对映射是否真正认识了．(开始时只要是映射即可，之后可逐步提高要求，如集合是无限集，或生活中的例子等)由学生自己评判．之后教师再给出几个(主要是补充学生举例类型的不足)(1) ，，，．(2) ．(3) 除以3的余数．(4) {高一1班同学}， {入学是数学考试成绩}，对自己的考试成绩．在学生作出判断之后，引导学生发现映射的性质(教师适当提出研究方向由学生说，再由老师概括)(板书)3．对概念的认识(1) 与是不同的，即与上有序的．(2)象的集合是集合B的子集．(3)集合A，B可以是数集，也可以是点集或其它集合．在刚才研究的基础上，教师再提出(2)和(4)有什么共性，能否把它描述出来，如果学生不能找出共性，教师可再给出几个例子，(用投影仪打出)如：(1)(2) {数轴上的点}，实数与数轴上相应的点对应．(3) {中国，日本，韩国}， {北京，东京，汉城}，相应国家的首都．引导学生在元素之间的对应关系和元素个数上找共性，由学生提出两点共性集合A中不同的元素对集合B中不同的元素;②B中所有元素都有原象．那么满足以上条件的映射又是一种特殊的映射，称之为一一映射．(板书)4．一一映射（1）定义:设A，B是两个集合，是集合A到集合B的映射，如果在这个映射下对于集合A中的不同元素，在集合B中又不同的象，而且B中每一个元素都有原象，那么这个映射叫做A到B上的一一映射．给出定义后，可再返回到刚才的例子，让学生比较它与映射的区别，从而进一步明确“一一”的含义．然后再安排一个例题．例1 下列各表表示集合A(元素a)到集合B(元素b)的一个映射，判断这些映射是不是A到B上的一一映射．其中只有第三个表可以表示一一映射，由此例点明一一映射的特点(板书)(2)特点:两个集合间元素是一对一的关系，不同的对的也一定是不同的(元素个数相同);集合B与象集C是相等的集合．对于映射我们现在了解了它的定义及特殊的映射一一映射，除此之外对于映射还要求能求出指定元素的象与原象．(板书)5．求象与原象．例2 (1)从R到的映射，则R中的-1在中的象是_____；中的4在R中的原象是_____．(2)在给定的映射下，则点在下的象是_____，点在下的原象是______．(3) 是集合A到集合B的映射，，则A 中元素的象是_____，B中象0的原象是______， B中象-6的原象是______．由学生先回答第(1)小题，之后让学生自己总结一下，应用什么方法求象和原象，学生找到方法后，再在方法的指导下求解另外两题，若出现问题，教师予以点评，最后小结求象用代入法，求原象用解方程或解方程组．注意：所解的方程解的情况可能有多种如有唯一解，也可能无解，可能有无数解，这与映射的定义也是相吻合的．但如果是一一映射，则方程一定有唯一解．三、小结1．映射是特殊的对应2．一一映射是特殊的映射．3．掌握求象与原象的方法．四、作业:略五、板书设计探究活动（1） {整数}， {偶数}，，试问与中的元素个数哪个多?为什么?如果我们建立一个由到的映射对应法则乘以2，那么这个映射是一一映射吗?答案：两个集合中的元素一样多，它们之间可以形成一一映射．（2）设，，问最多可以建立多少种集合到集合的不同映射?若将集合改为呢?结论是什么？如果将集合改为，结论怎样?若集合改为，改为，结论怎样?从以上问题中，你能归纳出什么结论吗?依此结论，若集合A中含有个元素，集合B中含有个元素，那么最多可以建立多少种集合到集合的不同映射?答案：若集合A含有m个元素，集合B含有n个元素，则不同的映射有个．。
集合与映射
集合与映射【高考要求】【知识精讲】板块一：集合的含义与表示（一）知识内容1•集合的有关概念⑴ 集合的含义：一般地把一些能够确定的不同的对象看成一个整体，就说这个整体是由这些对象的全体构成的集合（或集）•构成集合的每个对象叫做这个集合的元素（或成员）•⑵元素用小写字母a,b,c,…表示；集合用大写字母A,B,C,… 表示•⑶ 不含任何元素的集合叫做空集，记作.一.⑷集合的分类：有限集、无限集⑸集合元素的性质：确定性、互异性、无序性2•元素与集合间关系：属于•；不属于■'•3•集合表示法⑴列举法：把集合的所有元素都列举出来或列出几个元素作为代表，其它元素用省略号表示，并写在大括号“ ｛｝内'的表示集合的方法•例如：｛1, 2,3 , 4 , 5｝，｛1, 2,3, 4, 5；"｝⑵描述法：用集合所含元素的共同特征表示集合的方法称为描述法，形如｛x|描述特点｝例如：大于3的所有整数表示为：｛x. Z|x 3｝方程x 2 _2x _5 =0的所有实数根表示为：｛x 三R | x 2「2x 「5 = 0 ｝ ⑶常用集合及符号： 自然数集N非零自然数集N*或N + 整数集Z 有理数集Q 实数集R（二）典例分析：1•集合的有关概念【例1】以下元素的全体不能够构成集合的是（）•A.中国古代四大发明B.地球上的小河流C.方程x 2 -1 0的实数解D.周长为10cm 的三角形垂A 1 :判断下列元素的全体能否构成集合，并说岀理由。
1、 所有的老人2、 所有的正方形3、 5~8岁的所有人4、 很小的实数可以构成集合【例2】已知x • R ，则集合｛ _1,x 2 _2x ｝中元素x 所应满足的条件为 _________________ .绘三2:已知x • R ，则集合｛3, x,x 2 -2x ｝中元素x 所应满足的条件为 ___________________ .2. 集合与元素间的关系【例3】用“ ”或填空：⑴ 若 A =｛ x | x 2 _3x _4 =0｝，贝U -1 A ; -4 ___________ A ;⑵ 0—0 ；⑶ 0 _｛0｝.的」 3:用符号“ ”或“”填空⑴ 0 ________ N ， 丘 ____________ N ， 716 ______ N⑵—— Q , n Q3•集合的表示方法【例4】下列命题正确的有（ ）⑴集合 込| y =x 2 -门与集合1 x,y | y =x 2 -心是同一个集合； ⑵-丄,0.5这些数组成的集合有5个元素；2 42⑶集合〈x , y | xy < 0 , x, y • R ［是指第二和第四象限内的点集.A . 0个B . 1个C. 2个D . 3个2练債4:用列举法表示下列集合⑴方程2x2 x -6 =0的根;⑵ 不大于8且大于3的所有整数；⑶ 函数y =3x • 2与y =丄的交点组成的集合.x板块二：集合间的基本关系（一）知识内容1•子集：对于两个集合A,B，如果集合A中的任意一个元素都是集合B的元素，我们就说集合A为集合B的子集，记作A §B （或B二A），读作“A包含于B ”（或’B包含A ”. 规定：；：二是任意集合的子集.2•真子集：如果集合A B，但存在元素x• B，但x - A，我们称集合A是集合B的真子集，记作A二B （或B耳A）.-是任意非空集合的真子集.3.相等：如果集合A是集合B的子集（A B），且集合B是集合A的子集（B二A），此时，集合A与集合中的元素是一样的，我们说集合A与集合B相等，记作A =B .（二）典例分析【例5】用适当的符号填空：⑴■ _____ {0}⑵ 2_{（1, 2）}⑶ 0{x | x2 -2x +5 =0}⑷{3, 5} ______ {x | x2 -8x +15 =0}⑸{3, 5} ______ N⑹{x | x =2n +1, n W Z} ___{ x | x =4k ±1, k € Z}⑺{（2 , 3）} —{（3 , 2）}【例6】已知 A ={ x _2 _x _5} , B ={ x m • 1 _ x _2m _1}， B 二A，求m 的取值范围.録壬 5：设A ={ x| _仁：x ：：：3}, B ={ x I x .a},若A二B，则a的取值范围是 ____________ 【例7】{a , b, c} 4 A 4{ a , b , c , d , e , f}，求满足条件的A的个数.【例8】求集合{a,b}的子集的个数，真子集的个数，非空真子集的个数，并推导出{1, 2, 3, 4, 5/ ' , 100}的子集和真子集的个数.（推导结论）板块三：集合的基本运算（一）知识内容1.相关概念：⑴ 并集：一般地，由所有属于集合A或属于集合B的元素组成的集合，称为集合A与B的并集，记作A U B （读作’A 并 B ”，即A U B ={x |x€ A,或x€ B}.⑵ 交集：一般地，由属于集合A且属于集合B的所有元素组成的集合，称为A与B的交集，记作 A ^B （读作“A 交 B ”，即A^B ={x |x€ A,且x€ B}.⑶全集：一般地，如果一个集合含有我们所研究问题中涉及的所有元素，那么就称这个集合为全集，通常记作U .补集：对于一个集合A，由全集U中不属于集合A的所有元素组成的集合称为集合A相对于全集U的补集，记作ej A，即q A ={ x | x • U ,且x '' A}.（二）典例分析【例9】已知全集U ={ 1 , 2,3, , A 二{1, 2, 3, 4,5} , B ={4 , 5, 6, 7, 8},C ={3 , 5 , 7,9}求：A B , AB , A（e U B）, q A B , A （B C）粽习6：已知全集U =R , A ={ x 3x +2 a—1} , B ={ x x £/} , C ={ x _x —4 >0} 求：A B , AB , A (e U B) , Qj A B , A (B C)圾「:’7 :设全集U =R , M =fm |方程mx2 _x 一1 =0有实数根］,N -「n |方程x2-x - n =0有实数根［，求ej M N .【例10】若U为全集，下面三个命题中真命题的个数是（）⑴若A B =_，则熔A心U B二U⑵若 A B =U，贝V 熔 A [U B⑶若 A B =._，贝V A =B =,A . 0个B . 1个C. 2个D . 3个【例11】已知集合A =fa2,a • 1,七〉B =「a _3,2a _1,a2• 1?，若A B 亠3?，求实数a的值.離习8 :设全集I ={ x | x < 20 且x 为质数}.若 A 口^B ={3 , 5} , ］B = {7 ,19}且痧A ^={2,17求集合A,B .【例12】若集合A ={ -1,1} , B ={x| mx =1}，且A B二A，则m的值为（A. 1B. -1C. 1 或-1D. 1 或-1 或0统习9:设集合 A - ；x | x2-3x * 2 =0 ' B - ；x | x22( a ' 1)x ' (a^5^^。
高数课件-映射与函数
义的一切实数组成的合集，这种定义域称为函数的自然定义域。在这种约定之下，一
般的用算是表达的函数可用“y=∱（x）”表达，而不必再出Df。
例如，函数y=
1- x 2 的定义域是封闭间 -1，1 ，函数y=
1 的定义域是开区间 1- x2
（-1，1）。
表示函数的主要方法有三种：表格法、图形法、解析法（公 式法）。其中，用图形法表下）的像，并记作∱（χ）,即
y=∱（χ）, 而元素χ称为元素y（在映射∱下）的一个原像；集合X称为映射∱的定义域，记作Df， 即Df=X；X中所有元素的像所组成的集合称为映射∱的值域，记作Rf或者∱（χ），即
Rf=∱(X)= f(x) I χ∈X
在上述映射的定义中，需要注意的是：
映 射
与
主讲人： 日期 :
函 数
第一节 映射与函数
映射是现代数学中的一个基本概念，而函数是微积分的研究对象，也是映射的一 种。本节主要介绍映射、函数及有关概念，函数的性质与运算等。
一.映射
1.映射概念 定义 设X、Y是两个非空集合，如果存在一个法则∱，使得对X中的每个元素χ，按法则∱， 在Y中有唯一确定的元素y与之对应，那么称∱为从X到Y的映射，记作
由复合映射的定义可知，映射ℊ和∱构成复合映射的条件是：ℊ的值域Rg必须包含 在∱的定义域内，即Rg⊂Df,否则，不能构成复合映射。由此可以知道，映射ℊ和∱的复 合是有顺序的，∱∘ℊ有意义并不表示ℊ∘∱也有意义。即使∱∘ℊ与ℊ∘∱都有意义，复合映 射∱∘ℊ与ℊ∘∱也未必相同。
例4
设有映射ℊ：R→ -1，1 ，对每个x∈R，ℊ（x)=sinx；映射∱： -1，1 → 0，1 ， 对每个 u∈ -1，1 ，∱（u)= 1- u2,则映射ℊ和∱构成的复合映射∱∘ℊ：R→ 0，1
语文学习中的修辞效果分析技巧
语文学习中的修辞效果分析技巧修辞是语文学习中重要的一部分，通过巧妙地运用修辞手法，可以使文章更加生动、形象，并且能够增强表达的力度和感染力。
本文将就语文学习中的修辞效果分析技巧进行探讨。
一、修辞效果分析技巧的基本概念在进行修辞效果分析之前，我们首先要了解什么是修辞。
修辞，顾名思义，就是修饰语言，使其具有更加美感和表现力的手法。
它通过运用比喻、夸张、排比等手法，来形成一种特殊的表达方式，达到传递作者意图和情感的目的。
二、比喻的修辞效果分析技巧比喻是最常用的修辞手法之一，它通过将具体事物和抽象概念进行联想和类比，来表达特定的含义和意境。
在分析比喻的修辞效果时，可以从以下几个方面进行思考：1. 运用对象：比喻时所选择的事物或概念对文章主题的影响和补充。
2. 比喻形象：比喻所描述的形象是否生动、形象，能否使读者产生直观的感受和联想。
3. 映射含义：比喻所传递的具体含义和隐喻意义，以及与文章主题的关联和契合度。
三、夸张的修辞效果分析技巧夸张是通过对事物的渲染和夸大，来达到强调和表达个人情感的目的。
在分析夸张修辞效果时，可以从以下几个方面进行思考：1. 强调内容：夸张修辞的内容在文章中的位置和作用，是否能够突出重点和吸引读者的注意。
2. 感染力和张力：夸张修辞所表达的情感和感受，是否能够引发读者的共鸣和情感共振。
3. 文章节奏：夸张修辞带来的音韵和语言的节奏感，是否与文章整体风格相协调。
四、排比的修辞效果分析技巧排比是通过对语句结构的重复和平行，来强调事物之间的对比和对立，从而使文章更加有力和生动。
在分析排比修辞效果时，可以从以下几个方面进行思考：1. 对比形式：排比修辞的表达形式和结构，是否能够体现事物间的对比和呼应。
2. 语言韵律：排比修辞的音韵和节奏感，是否使文章有一定的韵律感和节奏感。
3. 强调视觉效果：排比修辞所表现的具体形象或事物之间的对比，是否能够使读者产生直观的感受和形象。
五、总结与展望通过以上对语文学习中修辞效果分析技巧的探讨，我们可以看到修辞对于文章的表达和感染力具有重要作用。
映射的意思语文
映射的意思语文
映射指的是将一个事物或概念通过图像、图表或其他方式呈现出来，以便更好地理解和分析。
在现代科技发展的背景下，映射技术得到了广泛的应用，尤其是在地图制作、数据可视化、网络安全等领域。
在地图制作方面，映射技术可以根据实际情况进行三维建模和数据分析，制作出更加真实、准确的地图。
在数据可视化方面，映射技术可以帮助我们更好地理解数据的含义和趋势，从而做出更加明智的决策。
在网络安全方面，映射技术可以帮助我们识别和分析网络攻击，从而更好地保护网络安全。
除了在技术领域的应用之外，映射还有着更广泛的意义。
人们可以通过映射来了解不同文化之间的差异，理解历史和文化发展的脉络。
同时，映射也可以帮助我们探索更深刻的哲学和人类思维的问题，例如人类意识和思维的本质等等。
可以说，映射技术不仅是一种工具，更是一种思维方式和方法论。
通过映射，我们可以更好地理解和分析事物，从而探索更深刻的问题和发现更多的可能性。
- 1 -。
数学概念教学的两种方式
五、两个实例 课例：三角函数起始课 ——任意角
• 立意：以数学概念的发生发展过程为载体，使学生经历完 整的数学研究过程，逐步学会认识和解决问题的方法。
明确问题，获得对象，
确定内容，选取方法，
实施过程，获得结论。
研究问题——研究对象——研究方法——研究结果
1．如何“开篇”
• 本课是“三角函数”的“开篇”，应发挥“先行组织者” 的作用。 • 要充分重视构建本章的基本研究思路的教学，为整章学习 做好准备。 • 解决好两个问题：第一，为什么要学习本章内容；第二，
• 第三，是意义。知识的意义是其内具的促进人的思想、精 神和能力发展的力量。
• 作为人类认识成果的知识蕴含着对人的思想、情感、价值
观乃至整个精神世界具有启迪作用的普适性的或“假定性 的”意义。 • 这种普适性的或“假定性的”意义的存在，使学生通过知 识习得建立价值观成为可能。
• 哲学认识论的知识:就它的反映内容而言,是客观事物的属 性和联系的反映,是客观世界在人脑中的主观映象. • 就它的反映活动形式而言,有时表现为主体对事物的感性 知觉或表象,属于感性知识,有时表现为关于事物的概念或 规律,属于理性知识.(知识是主观世界的客观反映)
• 信息加工心理学的观点:知识是主体与其环境相互作用而获 得的信息及其组织,储存于个体内即内个体的知识,储存于 个体外即为人类知识,
• 知识的本质是信息在人脑中的表征.
• 一类为陈述性知识-----是什么(显性知识,明言知识)
•
•
一类为程序性知识------怎么办(默会知识)
有意义知识,机械知的关键机制； • 学习和应用知识的过程也是抽象-概括的过程； • 数学抽象-概括能力是数学学科能力的基础，抽象-概括能 力的训练是数学能力训练的基础； • 抽象-概括与归纳、类比等直接相关，是培养创造力的基础
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二 映射的定义
素，在集合B中都有（ 唯一 ）的元素和它对应，这样的对应（包括集合Ａ， Ｂ以及Ａ到Ｂ的对应法则ｆ）叫做集合Ａ到Ｂ的映射．记作 f :A B
每一个 设A,B是两个集合,如果按照某种对应法则f,对于集合A中的（ ）元 任何一个
有且只有一个
集合Ａ 映射 三要素 集合Ｂ Ａ到Ｂ的对应法则ｆ
问题： 对应（1）为
什么不是映射？
A 开平方 B
9
4
1
（1 ）
3 -3 2 -2 1 -1
4
下面六个对应，其中哪些是集合Ａ到Ｂ的映射?
内角和 Ａ f: x Ｂ Ａ １ 2x ２ ４ ６ 不是 (2) Ｂ 冠军 亚军 季军 是 (4) Ａ ０ －１ １ 平方 Ａ 甲 乙 丙 丁 １００米 赛跑 Ｂ ０ １ －１ Ａ ｆ：x Ｂ Ａ １ ２ ３ ４ … ２ｘ－１ Ｂ
三角形 四边形 五边形 六边形
是 (1)
１８０度 ３６０度 ５４０度 ７２０度
２
３ ４
是 (3)
教科书
１ ３ ５ ７ …
Ｂ
张三 李四 不是 (6)
语文书 数学书 英语书 物理书 化学书
5
是 (5)
（一）对应法则的表 示方法
１ 文字语言
例：平方，乘２加１ 例：f:
２
数学语言
x
2x+1
Ａ
０ －１ １
平方
9
四 本课小结
１ 映射的概念
２ 判断映射的方法
五 作业
教材Ｐ４９习题２.１ 第１题 第２题
11
谢谢您的光临指导
12
多媒体教学公开课
映
射
1
一 对应
1)对于任何一个实数a，数轴上有唯一的点Ｐ和它对应
Ｏ a
P
２）对于坐标平面内的任何一点Ａ，都有唯一的 一个有序实数对（Ｘ，Ｙ）和它对应 y 3)对于任何一个 A (x,y) 三角形，都有唯 x 一的面积和它对 o 应 ４）本班每一个学生和教室内的座位对应 ５）本班每一个学生和班主任对应 ６）某人和他的书对应
Ｂ
Ａ ０ １ －１
ｆ：x
２ｘ－１ Ｂ
１ ２ ３ ４ … (3)
１ ３ ５ ７ …
(5)
6
B的映射，且a A, b B,如果元素a和元 素ｂ对应，那么我 们把元素ｂ叫做元 素a的象，元素a叫做 元素ｂ的原象
１ 问题：映射（５）中集合Ａ中１的象是 是 ． 给 f: A B Ａ Ｂ 定一个集合A到集合 a b
（二）象，原象
－１，１ ，集合Ｂ中１的原象 Ａ ０ －１ １ 平方 Ｂ ０ １ －１
b的原 象
a的象
(5)
7
(三）观察以下三个映射
Ａ 甲 乙 丙 丁 １００米 赛跑 Ｂ 冠军 亚军 季军 Ａ ０ －１ １ 平方 Ｂ ０ １ －１ Ａ
ｆ：x
２ｘ－１
Ｂ
１ ２ ３ ４ … (3)
１ ３ ５ ７ …
(4)
(5)
讨论
（1）集合A中每一个元素都有象 吗？如有，有几个？ （2）集合B中每一个元素都有原象 吗？如有，有几个？ （3）集合A，B可以是数集，还可 以是其它集合吗？
映射概念小结
１ 集合Ａ中元素一定有象，且唯一 ２ 集合Ｂ中的元素不一定有原象。 即使有，也不一定唯一 ３ 集合Ａ，Ｂ可以是数集，也可以 是其他集合。
2
阅读教材，观察下面的对应,哪些对应是从A到B的映射？
A 开平方 9 4 1
（1 ）
B 3 -3 2 -2 1 -1
A
30o
45o 60o
求正弦 B
1 2
2 2 3 2
90o
1
（2）
求平方Ｂ Ａ １ １ －１ ２ 4 －２ ３ ９ －３
（3）
Ａ １ ２ ３
乘以２ １ Ｂ ２ ３ ４ ５ ６
3
（4）
8
三 能力训练
1 下面的对应是Ａ到Ｂ的映射吗？说明理由．画出对应图（每一个集合各取5个元素）
A R, B xR x 0, x A, f : x x
理由：
集合A中元素0 在集合B中没有 对应的元素ＡFra bibliotek-2Ｂ
不是映射
-1
0 1 2 …
？
1 2 3 4 5
…
10