(word完整版)高中数学必修三期末测试题
高中数学必修3综合测试题
正弦定理和余弦定理1．正弦定理：a sin A ＝b sin B ＝csin C ＝2R ，其中R 是三角形外接圆的半径．由正弦定理可以变形为：(1)a ∶b ∶c ＝sin A ∶sin B ∶sin C ；(2)a ＝2R sin_A ，b ＝2R sin_B ，c ＝2R sin_C ；(3)sin A ＝a 2R ，sin B ＝b 2R ，sin C ＝c2R 等形式，以解决不同的三角形问题． 2．余弦定理：a 2＝b 2＋c 2－2bc cos_A ，b 2＝a 2＋c 2－2ac cos_B ，c 2＝a 2＋b 2－2ab cos_C ．余弦定理可以变形为：cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ，cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ，cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab .3．S △ABC ＝12ab sin C ＝12bc sin A ＝12ac sin B ＝abc 4R ＝12(a ＋b ＋c )·r (R 是三角形外接圆半径，r 是三角形内切圆的半径)，并可由此计算R ，r .4．已知两边和其中一边的对角，解三角形时，注意解的情况．如已知a ，b ，A ，则一条规律在三角形中，大角对大边，大边对大角；大角的正弦值也较大，正弦值较大的角也较大，即在△ABC 中，A ＞B ⇔a ＞b ⇔sin A ＞sin B .两类问题在解三角形时，正弦定理可解决两类问题：(1)已知两角及任一边，求其它边或角；(2)已知两边及一边的对角，求其它边或角．情况(2)中结果可能有一解、两解、无解，应注意区分．余弦定理可解决两类问题：(1)已知两边及夹角求第三边和其他两角；(2)已知三边，求各角． 两种途径根据所给条件确定三角形的形状，主要有两种途径：(1)化边为角；(2)化角为边，并常用正弦(余弦)定理实施边、角转换．双基自测1．在△ABC 中，A ＝60°，B ＝75°，a ＝10，则c 等于( )． A ．5 2 B ．10 2 C.1063D ．5 6解析 由A ＋B ＋C ＝180°，知C ＝45°， 由正弦定理得：a sin A ＝csin C ， 即1032＝c 22.∴c ＝1063.答案 C 2．在△ABC 中，若sin A a ＝cos Bb ，则B 的值为( )． A ．30° B ．45° C ．60° D ．90° 解析 由正弦定理知：sin A sin A ＝cos Bsin B ，∴sin B ＝cos B ，∴B ＝45°.答案 B3．在△ABC 中，a ＝3，b ＝1，c ＝2，则A 等于( )． A ．30° B ．45° C ．60° D ．75° 解析 由余弦定理得：cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝1＋4－32×1×2＝12，∵0＜A ＜π，∴A ＝60°.答案 C4．在△ABC 中，a ＝32，b ＝23，cos C ＝13，则△ABC 的面积为( )． A ．3 3 B ．2 3 C ．4 3 D. 3 解析 ∵cos C ＝13，0＜C ＜π，∴sin C ＝223， ∴S △ABC ＝12ab sin C ＝12×32×23×223＝4 3. 答案 C5．已知△ABC 三边满足a 2＋b 2＝c 2－3ab ，则此三角形的最大内角为________． 解析 ∵a 2＋b 2－c 2＝－3ab ， ∴cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab ＝－32，故C ＝150°为三角形的最大内角．答案 150°考向一 利用正弦定理解三角形【例1】►在△ABC 中，a ＝3，b ＝2，B ＝45°.求角A ，C 和边c . 解 由正弦定理得a sin A ＝b sin B ，3sin A ＝2sin 45°， ∴sin A ＝32.∵a ＞b ，∴A ＝60°或A ＝120°.当A ＝60°时，C ＝180°－45°－60°＝75°， c ＝b sin Csin B ＝6＋22；当A ＝120°时，C ＝180°－45°－120°＝15°， c ＝b sin Csin B ＝6－22.(1)已知两角一边可求第三角，解这样的三角形只需直接用正弦定理代入求解即可．(2)已知两边和一边对角，解三角形时，利用正弦定理求另一边的对角时要注意讨论该角，这是解题的难点，应引起注意．【训练1】 在△ABC 中，若b ＝5，∠B ＝π4，tan A ＝2，则sin A ＝______a ＝________. 解析 因为△ABC 中，tan A ＝2，所以A 是锐角， 且sin Acos A ＝2，sin 2A ＋cos 2A ＝1，联立解得sin A ＝255，再由正弦定理得a sin A ＝bsin B ， 代入数据解得a ＝210.答案255 210考向二 利用余弦定理解三角形【例2】►在△ABC 中，a 、b 、c 分别是角A 、B 、C 的对边，且cos B cos C ＝－b2a ＋c .(1)求角B 的大小；(2)若b ＝13，a ＋c ＝4，求△ABC 的面积．[审题视点] 由cos B cos C ＝－b2a ＋c ，利用余弦定理转化为边的关系求解．解 (1)由余弦定理知：cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ， cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab .将上式代入cos B cos C ＝－b2a ＋c 得：a 2＋c 2－b 22ac ·2ab a 2＋b 2－c 2＝－b2a ＋c ， 整理得：a 2＋c 2－b 2＝－ac .∴cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ＝－ac 2ac ＝－12.∵B 为三角形的内角，∴B ＝23π. (2)将b ＝13，a ＋c ＝4，B ＝23π代入b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ， 得b 2＝(a ＋c )2－2ac －2ac cos B ，∴13＝16－2ac ⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12，∴ac ＝3.∴S △ABC ＝12ac sin B ＝334.【训练2】 已知A ，B ，C 为△ABC 的三个内角，其所对的边分别为a ，b ，c ，且2cos 2 A2＋cos A ＝0. (1)求角A 的值；(2)若a ＝23，b ＋c ＝4，求△ABC 的面积． 解 (1)由2cos 2 A2＋cos A ＝0， 得1＋cos A ＋cos A ＝0，即cos A ＝－12，∵0＜A ＜π，∴A ＝2π3. (2)由余弦定理得，a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ，A ＝2π3， 则a 2＝(b ＋c )2－bc ， 又a ＝23，b ＋c ＝4， 有12＝42－bc ，则bc ＝4， 故△ABC ＝12bc sin A ＝ 3.考向三 利用正、余弦定理判断三角形形状【例3】►在△ABC 中，若(a 2＋b 2)sin(A －B )＝(a 2－b 2)sin C ，试判断△ABC 的形状．[审题视点] 首先边化角或角化边，再整理化简即可判断． 解 由已知(a 2＋b 2)sin(A －B )＝(a 2－b 2)sin C ， 得b 2[sin(A －B )＋sin C ]＝a 2[sin C －sin(A －B )]， 即b 2sin A cos B ＝a 2cos A sin B ，即sin 2B sin A cos B ＝sin 2A cos B sin B ，所以sin 2B ＝sin 2A ， 由于A ，B 是三角形的内角． 故0＜2A ＜2π，0＜2B ＜2π. 故只可能2A ＝2B 或2A ＝π－2B ，即A ＝B 或A ＋B ＝π2.故△ABC 为等腰三角形或直角三角形．判断三角形的形状的基本思想是；利用正、余弦定理进行边角的统一．即将条件化为只含角的三角函数关系式，然后利用三角恒等变换得出内角之间的关系式；或将条件化为只含有边的关系式，然后利用常见的化简变形得出三边的关系．【训练3】 在△ABC 中，若a cos A ＝b cos B ＝ccos C ；则△ABC 是( )． A ．直角三角形 B ．等边三角形 C ．钝角三角形D ．等腰直角三角形解析 由正弦定理得a ＝2R sin A ，b ＝2R sin B ，c ＝2R sin C (R 为△ABC 外接圆半径)． ∴sin A cos A ＝sin B cos B ＝sin C cos C .即tan A ＝tan B ＝tan C ，∴A ＝B ＝C . 答案 B考向三 正、余弦定理的综合应用【例3】►在△ABC 中，内角A ，B ，C 对边的边长分别是a ，b ，c ，已知c ＝2，C ＝π3.(1)若△ABC 的面积等于3，求a ，b ；(2)若sin C ＋sin(B －A )＝2sin 2A ，求△ABC 的面积． 解 (1)由余弦定理及已知条件，得a 2＋b 2－ab ＝4.又因为△ABC 的面积等于3，所以12ab sin C ＝3，得ab ＝4，联立方程组⎩⎨⎧ a 2＋b 2－ab ＝4，ab ＝4，解得⎩⎨⎧a ＝2，b ＝2.(2)由题意，得sin(B ＋A )＋sin(B －A )＝4sin A cos A ， 即sin B cos A ＝2sin A cos A .当cos A ＝0，即A ＝π2时，B ＝π6， a ＝433，b ＝233；当cos A ≠0时，得sin B ＝2sin A ， 由正弦定理，得b ＝2a .联立方程组⎩⎨⎧a 2＋b 2－ab ＝4，b ＝2a ，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝233，b ＝433.所以△ABC 的面积S ＝12a b sin C ＝233.【训练3】 (2011·北京西城一模)设△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边长分别为a ，b ，c ，且cos B ＝45，b ＝2. (1)当A ＝30°时，求a 的值；(2)当△ABC 的面积为3时，求a ＋c 的值． 解 (1)因为cos B ＝45，所以sin B ＝35. 由正弦定理a sin A ＝b sin B ，可得a sin 30°＝103， 所以a ＝53.(2)因为△ABC 的面积S ＝12ac ·sin B ，sin B ＝35， 所以310ac ＝3，ac ＝10.由余弦定理得b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ，得4＝a 2＋c 2－85ac ＝a 2＋c 2－16，即a 2＋c 2＝20. 所以(a ＋c )2－2ac ＝20，(a ＋c )2＝40. 所以a ＋c ＝210.【示例】►在△ABC中，a，b，c分别为内角A，B，C所对的边长，a＝3，b ＝2，1＋2cos(B＋C)＝0，求边BC上的高．正解∵在△ABC中，cos(B＋C)＝－cos A，∴1＋2cos(B＋C)＝1－2cos A＝0，∴A＝π3.在△ABC中，根据正弦定理asin A＝bsin B，∴sin B＝b sin Aa＝22.∵a＞b，∴B＝π4，∴C＝π－(A＋B)＝5 12π.∴sin C＝sin(B＋A)＝sin B cos A＋cos B sin A＝22×12＋22×32＝6＋24.∴BC边上的高为b sin C＝2×6＋24＝3＋12.【试一试】△ABC的三个内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，a sin A sin B ＋b cos2A＝2a.(1)求b a；(2)若c2＝b2＋3a2，求B.[尝试解答](1)由正弦定理得，sin2A sin B＋sin B cos2A＝2sin A，即sin B(sin2A＋cos2A)＝2sin A.故sin B＝2sin A，所以ba＝ 2.(2)由余弦定理和c2＝b2＋3a2，得cos B＝(1＋3)a2c.由(1)知b2＝2a2，故c2＝(2＋3)a2.可得cos2B＝12，又cos B＞0，故cos B＝22，所以B＝45°.高中数学必修3综合测试题一、选择题1、已知一组数据为20、30、40、50、60、60、70，则这组数据的众数、中位数、平均数的大小关系为（）A、中位数 >平均数 >众数B、众数 >中位数 >平均数C、众数 >平均数 >中位数D、平均数 >众数 >中位数2、某影院有60排座位，每排70个座号，一次报告会坐满了听众，会后留下座号为15的所有听众60人进行座谈，这是运用了（）A、抽签法B、随机数法C、系统抽样法D、分层抽样法3、某大学中文系共有本科生5000人，其中一、二、三、四年级的学生比为5：4：3：1，要用分层抽样的方法从该系所有本科生中抽取一个容量为260的样本，则应抽二年级的学生（）A、100人B、60人C、80人D、20人4、一个均匀的正方体，把其中相对的面分别涂上红色、黄色、蓝色，随机向上抛出，正方体落地时“向上面为红色”的概率是（）A、1/6B、1/3C、1/2 D 5/65、下列两个变量之间的关系哪个不是函数关系（）A、角度和它的正切值B、人的右手一柞长和身高C、正方体的棱长和表面积D、真空中自由落体运动物体的下落距离和下落时间6、为了解A、B两种轮胎的性能，某汽车制造厂分别从这两种轮胎中随机抽取8个进行测试，下面列出了每一种轮胎行驶的最远里程数（单位：1000km）轮胎A：108、101、94、105、96、93、97、106轮胎B：96、112、97、108、100、103、86、98你认为哪种型号的轮胎性能更加稳定（）A、轮胎AB、轮胎BC、都一样稳定D、无法比较7、我们对那大中学高二（1）班50名学生的身高进行了调查，按区间145--150，150--155，…，180—185（单位：cm）进行分组，得到的分布情况如下图所示，由图可知样本身高在165--170的频率为（）A、0.24B、0.16C、0.12D、0.208、一个射手进行一次射击，则事件“命中环数小于6环”的对立事件是（）A、命中环数为7、8、9、10环B、命中环数为1、2、3、4、5、6环C、命中环数至少为6环D、命中环数至多为6环9、从一副标准的52张的扑克牌中随机地抽取一张，则事件“这张牌是梅花”的概率为（）A、1/26B、13/54C、1/13D、1/410、从一箱产品中随机地抽取一件，设事件A=“抽到一等品”，事件B = “抽到二等品”，事件C =“抽到三等品”，且已知 P（A）= 0.65 ,P(B)=0.2 ,P(C)=0.1。
北京市顺义区2021届高三数学上学期期末考试试题(含解析).doc
北京市顺义区2021届高三数学上学期期末考试试题（含解析）第一部分（选择题共40分）一.选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，选出符合题目要求的一项）1.设集合()(){}=310M x x x -+<，{}04N x x =<<，则M N =（ ）A. ()0,3B. ()1,4-C. 0,1D. ()1,3-【答案】A 【解析】 【分析】先化简M ,再和N 求交集.【详解】解：()(){}{}=310|13M x x x x x -+<=-<<, 又因为{}04N x x =<< 所以{}|03M N x x =<<,即()0,3.故选：A【点睛】本题考查集合的交集运算,属于基础题. 2.设复数121iz i+=-，则z 在复平面内对应的点在（ ） A. 第一象限 B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限【答案】B 【解析】 【分析】先把复数化成z a bi =+的形式,即可得出对于的象限.【详解】解：()()()()21211212213131112222i i i i i i i z i i i i ++++++-+=====-+--+ 所以z 在复平面内对应的点在第二象限. 故选：B【点睛】本题考查复数的运算和几何意义,属于基础题. 3.若3log 0.2a =，0.22b =，20.2c =，则（ ）A. a c b <<B. a b c <<C. c a b <<D.b c a <<【答案】A 【解析】 【分析】利用对数函数、指数函数的单调性求解. 【详解】解：33log 0.2log 10a =<=,0.20221b =>=, 2000.20.21c <<==,所以01a c b ,即a c b <<. 故选：A【点睛】本题考查三个数大小的比较,是基础题,要注意对数函数、指数函数的单调性的合理运用.4.若1b a >>，则下列不等式一定正确的是（ ） A. 2ab >B. 2a b +<C.11a b< D.2b aa b+> 【答案】D 【解析】 【分析】利用不等式的性质,特殊值排除法和基本不等式解题. 【详解】因为：1b a >> 对于A ：当34,23ab ,所以34223ab ,故A 错误；对于B ：因为1b a >>,所以2a b +>,故B 错误； 对于C ：因为1b a >>,所以1101b a<<<,故C 错误；对于D ：因为1b a >>,所以2b a a b +≥=, 又因为1b a >>,则b aa b ≠,故不取等,即2b a a b+>,故D 正确；【点睛】本题考查了不等式的性质、基本不等式的性质,考查了推理能力与计算能力.5.抛物线()220y px p =>的焦点是双曲线22x y p -=的一个焦点，则p =（ ）A. 22B. 8C. 4D. 1【答案】B 【解析】 【分析】分别求出抛物线与双曲线的焦点,两焦点为同一焦点,即可得出p 的值. 【详解】解：抛物线()220y px p =>的焦点为,02p ⎛⎫⎪⎝⎭, 双曲线22x y p -=,为221x y p p-=, 则22c p =,2c p =,焦点为：()2,0p 或()2,0p -,所以有22pp =,解得0p =或8p =,又因为0p >, 所以8p =. 故选：B【点睛】本题考查抛物线与双曲线的焦点,是基础题.6. 如图，一个简单空间几何体的三视图其主视图与侧视图都是边长为2的正三角形，俯视图轮廓为正方形，则此几何体的侧面积是A. 43+B. 12C. 43D. 8【解析】试题分析：由三视图知：原几何体是一个正四棱锥，正四棱锥的底面边长为2，所，所以该几何体的侧面积为1=224=82s ⨯⨯⨯． 考点：三视图；四棱锥的侧面积．点评：解决这类题的关键是准确分析出几何体的结构特征，发挥自己的空间想象力，把立体图形和平面图形进行对照，找出几何体中的数量关系．7.设非零向量,a b 满足()2a b a -⊥，则“a b =”是“a 与b 的夹角为3π”的（ ） A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件【答案】C 【解析】 【分析】先根据()2a b a -⊥求出当“a b =”时a 与b 的夹角,再判断命题间的关系. 【详解】因为设非零向量,a b 满足()2a b a -⊥,所以()20a b a -⋅=,即220a b a -⋅=，即22cos 0a b a a b -⋅<⋅>= 若 “a b =”时，1cos 2a b <⋅>=,3a b π<⋅>=, 即a 与b 的夹角为3π. 反之，若a 与b 的夹角为3π，则222cos 0a b a a b a b a a b -⋅<⋅>=-⋅=⇒=，所以“a b =”是“a 与b 的夹角为3π”充分必要条件.故选：C【点睛】本题考查向量垂直的定义和命题间的基本关系,属于基础题. 8.当[]0,1x ∈时,若函数()()21f x mx =-的图象与()2mg x x =+的图象有且只有一个交点,则正实数m 的取值范围是（ ）A. [)2,+∞B. (]50,2,+2⎡⎫∞⎪⎢⎣⎭C. 5,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭D.(][)20,1,+∞【答案】B 【解析】 【分析】根据题意,由二次函数的性质分析可得()()21f x mx =-为二次函数,在区间10,m ⎛⎫⎪⎝⎭为减函数,在区间1,1m为增函数,分01m <≤和1m 两种情况,结合图象分析两个函数的单调性与值域,即可得出正实数m 的取值范围.【详解】解：当[]0,1x ∈时,又因为m 为正实数, 函数()()21f x mx =-的图象二次函数, 在区间10,m ⎛⎫ ⎪⎝⎭为减函数,在区间1,1m 为增函数; 函数()22m mg x x x =+=+,是斜率为1的一次函数. 最小值为min2mg x ,最大值为max12m g x ; ①当11m≥时,即01m <≤时, 函数()()21f x mx =-在区间0,1 为减函数,()2mg x x =+在区间0,1 为增函数, ()f x 的图象与()g x 的图象有且只有一个交点,则()()max min f x g x ≥,()()max min 00f g ≥即()2012mm ⨯-≥,解得2m ≤, 所以01m <≤ ②当101m<<时,即1m 时,函数()()21f x mx =-在区间10,m ⎛⎫ ⎪⎝⎭为减函数,在区间1,1m 为增函数, ()2mg x x =+在区间0,1 为增函数, ()f x 的图象与()g x 的图象有且只有一个交点,则()()max min f x g x ≥,()()max min 00f g ≥即()()21f x mx =-的图象与()2mg x x =+的图象有且只有一个交点 ()()()()10011m f g f g ⎧>⎪≥⎨⎪<⎩,()()2201021112m m m m ⎧⨯-≥+⎪⎪⎨⎪⨯-≥+⎪⎩ 解得12m <≤或52m >综上所述：正实数m 的取值范围为(]50,2,+2⎡⎫∞⎪⎢⎣⎭. 故选:B【点睛】本题考查函数的交点问题,涉及函数单调性的应用,关键是确定实数m 的分类讨论. 二、填空题9.sin 6π⎛⎫-= ⎪⎝⎭____ 【答案】12- 【解析】 【分析】根据诱导公式三将角化为正角,再计算对应的三角函数值. 【详解】解：1sin sin 662ππ⎛⎫-=-=- ⎪⎝⎭. 故答案为：12-【点睛】本题考查诱导公式和特殊角的三角函数.10.设n S 为公比1q ≠的等比数列{}n a 的前n 项和,且13a ，22a ，3a 成等差数列，则q =__________,42S S =________. 【答案】 (1). 3 (2). 10 【解析】 【分析】先设等比数列的通项公式11n n a a q -=,再根据13a ,22a ,3a 成等差数列,利用等差中项列方程,求出公比,再代入42S S 即可解出本题.【详解】解：设等比数列的通项公式11n n a a q -=,又因为13a ,22a ,3a 成等差数列,所以213322a a a =+⨯,即211143q a a a q =+,又因为等比数列中10a ≠,则243q q =+,解得1q =或3q =,又因为1q ≠,所以3q =.所以()()4144422221111380110113811a q S q q S q a q q-----=====-----. 故答案为：(1).3 (2). 10【点睛】本题考查等比数列的通项公式、等差中项以及等比数列的前n 项和公式,属于基础题.11.若函数()2,01,0x e x f x x x ⎧≤=⎨->⎩，则函数()1y f x =-的零点是___________.【答案】0【解析】 【分析】先令()1y f x =-等于0,再根据分段函数分情况求解. 【详解】解：要求函数()1y f x =-的零点,则令()10y f x =-=,即1f x,又因为：()2,01,0x e x f x x x ⎧≤=⎨->⎩,①当0x ≤时,()xf x e =,1x e =,解得0x =.②当0x >时,()21f x x =-,211x -=,解得x =,所以x =.综上所以,函数()1y f x =-的零点是0.故答案为：0【点睛】本题考查函数的零点,以及已知函数值求分段函数的定义域,属于基础题. 12.在ABC ∆中，若8ac =，7a c +=，3B π=，则b =_________.【答案】5 【解析】 【分析】根据余弦定理和三角形的边之间的关系求解. 【详解】解：因为在ABC ∆中,8ac =,7a c +=,3B π=,由余弦定理：2222cos b a c ac B =+-, 2222cos3b ac ac ac ,22172828252b所以5b =. 故答案为：5【点睛】本题题考查余弦定理求三角形的边,属于基础题.13.直线:1l y kx =+与圆22:1O x y +=相交于,A B 两点,当AOB ∆的面积达到最大时,k =________. 【答案】±1【解析】 【分析】由圆的方程找出圆心O 坐标和半径r ,同时把直线的方程整理为一般式方程,然后利用点到直线的距离公式表示出圆心O 到直线的距离d ,即为圆O 中弦AB 的弦心距,根据垂径定理得到垂足为弦AB 的中点,由圆的半径,弦心距及弦的一半构成的直角三角形,利用勾股定理表示出弦AB 的长度,然后利用三角形的面积公式底乘以高除2,用含有d 的式子表示出三角形AOB ∆的面积,2a b+<求出面积的最大值,以及面积取得最大值时d 的值,从而列出关于k 的方程,求出方程的解即可得到面积最大时k 的值. 【详解】解：由圆22:1O x y +=, 得到圆心坐标为()0,0O ,半径1r =, 把直线的方程为:1l y kx =+,整理为一般式方程得：:10l kx y -+=, .圆心()0,0O 到直线AB 的距离211dk弦AB 的长度AB ==2222111212111AOBk k Sk k k k k, 又因为1122k kkk,12AOBS当且仅当1kk时取等号,AOB S 取得最大值,最大值为12. 解得1k =± 故答案为：±1【点睛】此题考查了直线与圆的位置关系,涉及的知识有：圆的标准方程,直线的一般式方程,点到直线的距离公式,垂径定理,勾股定理,以及基本不等式的应用,当直线与圆相交时,常常由弦长的一半,弦心距,以及圆的半径构造直角三角形,利用勾股定理来解决问题.14.某部影片的盈利额（即影片的票房收入与固定成本之差）记为y ,观影人数记为x ,其函数图象如图（1）所示.由于目前该片盈利未达到预期,相关人员提出了两种调整方案,图（2）、图（3）中的实线分别为调整后y 与x 的函数图象.给出下列四种说法:①图（2）对应的方案是:提高票价,并提高成本; ②图（2）对应的方案是:保持票价不变,并降低成本; ③图（3）对应的方案是:提高票价,并保持成本不变; ④图（3）对应的方案是:提高票价,并降低成本.其中,正确的说法是____________.（填写所有正确说法的编号） 【答案】②③ 【解析】 【分析】根据图象可知盈利额y 与观影人数x 成一次函数关系,再分别根据(2)和(3)的图象进行分析即可得出答案.【详解】解:由图象(1)可设盈利额y 与观影人数x 的函数为y kx b =+,0,0k b ><,即k 为票价,当0k =时,y b =,则b -为固定成本, 由图象(2)知,直线向上平移,k 不变,即票价不变,b 变大,则b -变小,成本减小.故①错误,②正确;由图象(3)知,直线与y 轴的交点不变,直线斜率变大,k 变大,即提高票价,b 不变,则b -不变,成本不变.故③正确,④错误;故答案为:②③【点睛】本题考查一次函数图象的变化,以及k 和b 对一次函数图象的影响,是基础题. 三、解答题（本大题共6小题，共80分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 15.函数23()sin cos 3sin 2f x x x x ωωω=⋅-+（0>ω）的部分图象如图所示.（1）求ω的值； （2）求()f x 在区间,33ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦的最大值与最小值. 【答案】（1）1ω=（2）最大值为1，最小值为3【解析】 【分析】 先用降幂公式将23()sin cos 32f x x x x ωωω=⋅+化为()1333sin 222f x x x ωω=-+,再利用三角函数的和差公式化为()sin 23f x x πω⎛⎫=+ ⎪⎝⎭,根据图象可得最小正周期,利用2T |2|πω=求出ω即可. （2）由,33x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦,得出2,33x πππ⎡⎤+∈-⎢⎥⎣⎦,即可求出3sin 2,132x π⎡⎤⎛⎫+∈-⎢⎥ ⎪⎝⎭⎣⎦,则得到最大最小值.【详解】解：（1）23()sin cos 3f x x x x ωωω=⋅-+11cos 232sin cos 322x x x ωωω-=⋅⋅-⋅+1333sin 2cos 22222x x ωω=-++13sin 2cos 222x x ωω=+ sin 23x πω⎛⎫=+ ⎪⎝⎭∴()f x 的最小正周期25T 2(0)|2|63πππωω⎛⎫==-> ⎪⎝⎭∴1ω= （2）∵,33x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦∴2,33x πππ⎡⎤+∈-⎢⎥⎣⎦∴3sin 2,132x π⎡⎤⎛⎫+∈-⎢⎥ ⎪⎝⎭⎣⎦ ∴求()f x 在区间,33ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦的最大值为1,最小值为3-【点睛】本题考查根据三角函数图象求函数解析式,以及求三角函数在给定区间内的最大最小值.16.已知四棱锥P ABCD -中,底面ABCD 是正方形,PD ⊥平面ABCD ,PD AB =,E 是PB 的中点.（1）求证：平面PBC ⊥平面PCD ;（2）求二面角E AD B --的大小;（3）试判断AE 所在直线与平面PCD 是否平行,并说明理由.【答案】（1）证明见解析（2）45︒（3）AE 与平面PCD 不平行,详见解析 【解析】 【分析】（1）先根据条件证BC ⊥平面PCD ,又因为BC ⊂平面PBC ,所以可以证得平面PBC ⊥平面PCD .（2）根据条件得,,DA DC DP 两两垂直,以此建立空间直角坐标系,求出平面ADB的法向量(0,0,1)DP =,设平面ADE 的法向量(,,)n x y z =,求出法向量(0,1,1)n =-,根据公式求出两个法向量的余弦值,即可得出二面角E AD B --的大小.（3）依题意可证AD ⊥平面PCD ,则平面PCD 的法向量为(1,0,0)DA =,又∵1111,,02222AE AE DA ⎛⎫=-⋅⋅=-≠ ⎪⎝⎭,则AE 与DA 不垂直,证得AE 与平面PCD 不平行.【详解】（1）证明：∵ABCD 是正方形BC CD ∴⊥ ∵PD ⊥平面ABCD , BC ⊂平面ABCD ∴PD BC ⊥ ∵PD CD D ⋂=,PD CD ⊂平面PCD ∴BC ⊥平面PCD 又∵BC ⊂平面PBC ∴平面PBC ⊥平面PCD（2）∵PD ⊥平面ABCD , ,AD CD ⊂平面ABCD ∴,PD AD PD CD ⊥⊥ 又∵ABCD 是正方形∴AD CD ⊥ ∴,,DA DC DP 两两垂直∴以D 为原点如图建系,设1PD AB∴0,0,0D （）,(1,0,0)A ,(0,1,0)C ,(1,1,0)B ,(0,0,1)P , 111,,222E ⎛⎫⎪⎝⎭∴111(1,0,0),,,222DA DE ⎛⎫== ⎪⎝⎭又∵PD ⊥平面ABCD∴平面ADB 的法向量(0,0,1)DP = 设平面ADE 的法向量(,,)n x y z = 则DA n ⊥,DE n ⊥∴01110222DA n x DE n x y z ⎧⋅==⎪⎨⋅=++=⎪⎩ 令1z =,得1,0y x =-=∴(0,1,1)n =- ∴2cos ,2||||12DP n DP n DP n ⋅<>===⋅⋅∴二面角E AD B --的大小为45︒（3）∵PD AD ⊥,AD CD ⊥ ,PD CD D ⋂= 又,PD CD ⊂平面PCD ,∴AD ⊥平面PCD ∴平面PCD 的法向量为(1,0,0)DA =又∵1111,,02222AE AE DA ⎛⎫=-⋅⋅=-≠ ⎪⎝⎭∴AE 与DA 不垂直,∴AE 与平面PCD 不平行【点睛】本题考查线面平行、面面垂直的证明,考查用向量法求二面角的夹角,是立体几何中的基础题,掌握证明的条件是解题的关键.17.某学校高三年级有400名学生参加某项体育测试，根据男女学生人数比例，使用分层抽样的方法从中抽取了100名学生，记录他们的分数，将数据分成7组：[30,40),[40,50),[90,100]，整理得到如下频率分布直方图：（1）若该样本中男生有55人，试估计该学校高三年级女生总人数；（2）若规定小于60分为“不及格”，从该学校高三年级学生中随机抽取一人，估计该学生不及格的概率；（3）若规定分数在[80,90)为“良好”,[]90,100为“优秀”.用频率估计概率,从该校高三年级随机抽取三人,记该项测试分数为“良好”或“优秀”的人数为X ,求X 的分布列和数学期望.【答案】（1）180人（2）0.1（3）详见解析 【解析】 【分析】（1）根据样本总人数100人,中男生有55人,则可算出女生45人.再根据总人数是400人,按样本中的女生人数与样本总人数的比例即可估算出的估计总体中女生人数. （2）由表可用1减去及格人数的概率得到不及格人数的概率.（3）设“样本中“良好”或“优秀””为事件B ,则()0.20.10.3B P =+=,根据二项分布列出频率分布列,计算数学期望【详解】解：（1）∵样本中男生有55人,则女生45人 ∴估计总体中女生人数45400180100⨯=人 （2）设“不及格”为事件A ,则“及格”为事件A∴()1()1(0.20.40.20.1)0.1P A P A =-=-+++=（3）设“样本中“良好”或“优秀””为事件B ,则()0.20.10.3B P =+= 依题意可知：~(3,0.3)X B3(0)0.7P B ==,1123(1)0.30.7P X C == 22133(2)0.30.7,(3)0.3P X C X P ====所以,X 的分布列为()30.30.9E X np ==⨯=【点睛】本题考查频率分布直方图的概率问题,概率分布问题注意一些常用的概率分布,如二项分布,超几何分布等,会计算概率,正确列出分布列,正确计算数学期望及方差. 18.已知函数2()2ln f x x a x =-,其中a R ∈（1）当2a =时,求曲线()y f x =在点()()1,1A f 处的切线方程； （2）若函数()f x 存在最小值Q ,求证:1Q ≤. 【答案】（1）230x y +-=（2）证明见解析 【解析】 【分析】（1）将2a =代入函数2()2ln f x x a x =-,对函数求导,将1x =代入导函数求斜率,将1x =代入原函数求切点,最后用点斜式求曲线()y f x =在点()()1,1A f 处的切线方程；（2）先求导得()22()(0)x a f x x x-'=>,讨论当0a ≤时,()0f x '≥恒成立,则()f x 在(0,)+∞单调递增,()f x 无最小值.当0a >时,令()0f x '=得x =x =分别讨论(x ∈时和 )x ∈+∞时的单调性,得出所以()f x 存在最小值,ln Q f a a a ==-.再对新函数求导,根据单调性即可得出最大值为1,则1Q ≤得证.【详解】解：（1）2a =时,22()4ln ,(1)1f x x x f =-=4()2f x x x'=-切线斜率(1)242k f '==-=-曲线()y f x =在点(1,(1))A f 处的切线方程为：12(1)y x -=--即：230x y +-=（2）()222()2(0)x a a f x x x x x-'=-=> ①当0a ≤时,()0f x '≥恒成立()f x 在(0,)+∞单调递增,()f x 无最小值②当0a >时,由()0f x '=得x =x =(x ∈时,()0f x '<,()f x 在(单调递减)x ∈+∞时,()0f x '>,()f x )+∞单调递增所以()f x 存在最小值,ln Q f a a a ==-下面证明1Q ≤.设函数()ln (0),()1(ln 1)ln g a a a a a g a a a '=->=-+=-由()0g a '=得1a =,易知()g a 在(0,1)单调递增,在(1,)+∞单调递减 所以()g a 的最大值为(1)1g = 所以()1g a ≤恒成立,1Q ≤得证.【点睛】本题考查利用导数求切线方程,以及含有参数的不等式的证明，利用导数求极值,属于中档题,分类讨论是关键.19.已知椭圆C ：223412x y +=. （1）求椭圆C 的离心率；（2）设,A B 分别为椭圆C 的左右顶点,点P 在椭圆C 上,直线AP ,BP 分别与直线4x =相交于点M ,N .当点P 运动时,以M ,N 为直径的圆是否经过x 轴上的定点？试证明你的结论. 【答案】（1）12（2）以MN 为直径的圆经过x 轴上的定点()1,0和()7,0,证明见解析 【解析】 【分析】（1）先将223412x y +=转化为22143x y +=,根据椭圆的性质得到,,a b c ,即可求出离心率.（2）根据椭圆方程求出(2,0),(2,0)A B -,设()00,P x y ,则2200:3412C x y +=①,分别求出直线AP 和BP 的方程,再分别与4x =相交于点 M 0064,2y x ⎛⎫⎪+⎝⎭和N 0024,2y x ⎛⎫ ⎪-⎝⎭,设以MN 为直径的圆经过x 轴上的定点()1,0Q x ,则MQ NQ ⊥,即0MQ NQ ⋅=得()()()22100124022y x x x -+=+-②,将①代入②得()2149x -= 解得11x =或17x =,得出MN 为直径的圆是过定点()1,0和()7,0.【详解】解：（1）由223412x y +=得22143x y +=,那么224,3a b ==所以2221c a b =-=解得2a =,1c =所以离心率12c e a == （2）由题可知(2,0),(2,0)A B -,设()00,P x y ,则2200:3412C x y +=① 直线AP 的方程：00(2)2y y x x =++令4x =,得0062M y y x =+,从而M 点坐标为0064,2y x ⎛⎫⎪+⎝⎭直线BP 的方程：00(2)2y y x x =-- 令4x =,得0022N y y x =-,从而N 点坐标为0024,2y x ⎛⎫⎪-⎝⎭设以MN 为直径的圆经过x 轴上的定点()1,0Q x ,则MQ NQ ⊥由0MQ NQ ⋅=得()()()22100124022y x x x -+=+-② 由①式得()2220001236994y x x =-=-,代入②得()2149x -=解得11x =或17x =所以MN 为直径的圆经过x 轴上的定点()1,0和()7,0.【点睛】本题考查已知椭圆的方程求离心率和证明椭圆中的定点问题,属于中档题.20.若无穷数列{}n a 满足：只要*(,)p q a a p q N =∈,必有11p q a a ++=,则称{}n a 具有性质P .（1）若{}n a 具有性质P ,且1241,3,1,a a a ===67819a a a ++=,求3a ； （2）若无穷数列{}n b 是等差数列,无穷数列{}n c 是等比数列,141b c ==,4164b c ==,n n n a b c =+.判断{}n a 是否具有性质P ,并说明理由； （3）设{}n b 是无穷数列,已知*1sin ()n n n a b a n N +=+∈.求证：“对任意1,{}n a a 都具有性质P ”的充要条件为“{}n b 是常数列”.【答案】（1）315a =（2）{}n a 不具有性质P ,详见解析（3）证明见解析 【解析】 【分析】（1）根据{}n a 具有性质P ,且14=1a a =,可得25=3a a =,又因为36a a =,471a a ==,583a a ==,则367845a a a a a a =++--,代入数据即可得结果.（2）141b c ==,4164b c ==得出{}n b 的公差和{}n c 的公比,即可设{}n b 和{}n c 的通项公式,得出421204nn n n a b c n -=+=-+.因为1465a a ==,则238a =,53414a =,得出25a a ≠,所以{}n a 不具有性质P .（3）先证充分性：当{}n b 为常数列时,11sin n n a b a +=+.对任意给定的1a ,只要p q a a =,则由11sin sin p q b a b a +=+,必有11p q a a ++=.充分性得证.再证必要性：用反证法证明.假设{}n b 不是常数列,则存在k *∈N ,使得12k b b b b ==⋅⋅⋅==,而1k b b +≠.证明存在满足1sin n n n a b a +=+的{}n a ,使得121k a a a +==⋅⋅⋅=,但21k k a a ++≠.设()sin f x x x b =--,取m *∈N ,使得m b π>,再根据条件类推,得出{}n a 不具有性质P ,矛盾.必要性得证即可得出结论.【详解】解：（1）因为14=1a a =,所以25=3a a =,36a a =,471a a ==,583a a ==. 所以678313a a a a ++=++,又因为67819a a a ++=,解得315a = （2）{}n b 的公差为21,所以()12112120n b n n =+-=-,{}n c 的公比为14,所以1416444n n n c --⎛⎫=⋅= ⎪⎝⎭所以421204n n n n a b c n -=+=-+.所以1465a a ==,238a =,53414a =,因为25a a ≠, 所以{}n a 不具有性质P . （3）证明充分性： 当{}n b 常数列时,11sin n n a b a +=+.对任意给定的1a ,只要p q a a =,则由11sin sin p q b a b a +=+,必有11p q a a ++=. 充分性得证.证明必要性：用反证法证明.假设{}n b 不是常数列,则存在k *∈N , 使得12k b b b b ==⋅⋅⋅==,而1k b b +≠.下面证明存在满足1sin n n n a b a +=+的{}n a ,使得121k a a a +==⋅⋅⋅=,但21k k a a ++≠.优质资料\word 可编辑- 21 - / 21- 21 - 设()sin f x x x b =--,取m *∈N ,使得m b π>,则()0f m m b ππ=->,()0f m m b ππ-=--<,故存在c 使得()0f c =.取1a c =,因为1sin n n a b a +=+（1n k ≤≤）,所以21sin a b c c a =+==,依此类推,得121k a a a c +==⋅⋅⋅==.但2111sin sin sin k k k k a b a b c b c ++++=+=+≠+,即21k k a a ++≠.所以{}n a 不具有性质P ,矛盾.必要性得证.综上,“对任意1a ,{}n a 都具有性质P ”的充要条件为“{}n b 是常数列”【点睛】本题考查数列新定义,考查等差、等比数列的定义,考查数列为基础的证明题.。
2019-2020学年高中数学人教B版必修3：阶段质量检测(三) 概 率 Word版含解析
阶段质量检测（三） 概 率(时间120分钟，满分150分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．下列事件中随机事件的个数为( )①连续两次抛掷一枚质地均匀的骰子，两次都出现2点； ②在地球上，树上掉下的雪梨不抓住就往下掉； ③某人买彩票中奖；④已经有一个女儿，第二次生男孩； ⑤在标准大气压下，水加热到90 °C 会沸腾． A ．1 B ．2 C ．3D ．4解析：选C ①③④都有可能发生，也可能不发生，故是随机事件；对于②，在地球上，树上掉下的雪梨不抓住就往下掉，这是一定会发生的事件，属于必然事件．对于⑤，在标准大气压下，水加热到90 °C 会沸腾，是不可能事件．故选C.2．从装有2个红球和2个黑球的口袋内任取2个球，那么互斥而不对立的两个事件是( ) A ．至少有一个黑球与都是红球 B ．至少有一个黑球与都是黑球 C ．至少有一个黑球与至少有一个红球 D ．恰有1个黑球与恰有2个黑球解析：选D A 中的两个事件是对立事件，不符合要求；B 中的两个事件是包含关系，不是互斥事件，不符合要求；C 中的两个事件都包含“一个黑球、一个红球”这一事件，不是互斥事件；D 中是互斥而不对立的两个事件．故选D.3．从分别写有A ，B ，C ，D ，E 的5张卡片中任取2张，这2张卡片上的字母恰好是按字母顺序相邻的概率为( )A.15B.25C.310 D.710解析：选B 试验的所有基本事件总数为10，两字母恰好是相邻字母的有(A ，B )，(B ，C )，(C ，D )，(D ，E )4种，故P ＝410＝25.4．在正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中随机取一点，则点落在四棱锥O -ABCD 内(O 为正方体的对角线的交点)的概率是( )A.13B.16解析：选B 设正方体的体积为V ，则四棱锥O -ABCD 的体积为V6，所求概率为V6V ＝16.5．在两根相距6m 的木杆上系一根绳子，并在绳子上挂一盏灯，则灯与两端距离都大于2m 的概率为( )A.12B.13C.14D.15解析：选B 该试验属于几何概型，所求事件构成的区域长度为2 m ，试验的全部结果所构成的区域长度为6 m ，故灯与两端距离都大于2 m 的概率为26＝13.6．从{}a ，b ，c ，d ，e 的所有子集中任取一个，这个集合恰是集合{}a ，b ，c 的子集的概率是( ) A.35 B.25 C.14D.18解析：选C 符合要求的是∅，{}a ，{}b ，{}c ，{}a ，b ，{}a ，c ，{}b ，c ，{}a ，b ，c 共8个，而集合{}a ，b ，c ，d ，e 共有子集25＝32个，∴P ＝14.7．连续掷两次骰子，以先后得到的点数m ，n 为点P (m ，n )的坐标，那么点P 在圆x 2＋y 2＝17内部的概率是( )A.19B.29C.13D.49解析：选B 点P (m ，n )的坐标的所有可能为6×6＝36种，而点P 在圆x 2＋y 2＝17内部只有(1,1)，(1,2)，(1,3)，(2,1)，(2,2)，(2,3)，(3,1)，(3,2)，共8种，故概率为29.8．从正六边形的6个顶点中随机选择4个顶点，则以它们作为顶点的四边形是矩形的概率等于( ) A.110 B.18解析：选D 从正六边形的6个顶点中随机选择4个顶点，列举可得，以它们作为顶点的四边形共有15个，其中矩形有3个，所以所求的概率为315＝15.故选D.9．甲、乙、丙三人在3天节目中值班，每人值班1天，则甲紧接着排在乙的前面值班的概率是( ) A.16 B.14 C.13D.12解析：选C 甲、乙、丙三人在3天中值班的情况为：甲、乙、丙；甲、丙、乙；丙、甲、乙；丙、乙、甲；乙、甲、丙；乙、丙、甲共6种，其中符合题意的有2种，故所求概率为13.10．有3个兴趣小组，甲、乙两位同学各自参加其中一个小组，每位同学参加各个小组的可能性相同，则这两位同学参加同一个兴趣小组的概率为( )A.13B.12C.23D.34解析：选A 记3个兴趣小组分别为1,2,3，甲参加1组记为“甲1”，则基本事件为：甲1，乙1；甲1，乙2；甲1，乙3；甲2，乙1；甲2，乙2；甲2，乙3；甲3，乙1；甲3，乙2；甲3，乙3，共9个．记事件A 为“甲、乙两位同学参加同一个兴趣小组”，其中事件A 有：甲1，乙1；甲2，乙2；甲3，乙3，共3个基本事件．因此P (A )＝39＝13.11．在2,0,1,6这组数据中，随机取出三个不同的数，则数字2是取出的三个不同数的中位数的概率为( )A.34B.58C.12D.14解析：选C 分析题意可知，共有(0,1,2)，(0,2,6)，(1,2,6)，(0,1,6)4种取法，符合题意的取法有2种，故所求概率P ＝12.12．设一元二次方程x 2＋Bx ＋C ＝0，若B ，C 是一枚质地均匀的骰子连续投掷两次出现的点数，则方程有实数根的概率为( )A.112 B.736 C.1336 D.1936 解析：选D 因为B ，C 是一枚质地均匀的骰子连续投掷两次出现的点数，所以一共有36种情况．由方程有实数根知，Δ＝B 2－4C ≥0，显然B ≠1.当B ＝2时，C ＝1(1种)；当B ＝3时，C ＝1,2(2种)；当B ＝4时，C ＝1,2,3,4(4种)；当B ＝5时，C ＝1,2,3,4,5,6(6种)；当B ＝6时，C ＝1,2,3,4,5,6(6种)．故方程有实数根共有19种情况，所以方程有实数根的概率是1936.二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在题中横线上)13．在边长为2的正方形中作其内切圆，然后向正方形中随机撒一把芝麻，用随机模拟的方法来估计圆周率π的值．如果撒了1 000粒芝麻，落在圆内的芝麻总数是776粒，那么这次模拟中π的估计值是________．解析：由于芝麻落在正方形内任意位置的可能性相等，由几何概型的概率计算公式知S 内切圆S 正方形≈7761 000，即π×1222≈7761 000，解得π≈3.104.答案：3.10414．某中学青年教师、中年教师和老年教师的人数比例为4∶5∶1，其中青年教师有120人．现采用分层抽样的方法从这所学校抽取容量为30的教师样本以了解教师的工作压力情况，则每位老年教师被抽到的概率为________．解析：由青年教师、中年教师和老年教师的人数比例为4∶5∶1, 知该校共有教师120÷410＝300(人)．采用分层抽样的方法从这所学校抽取容量为30的教师样本，则每位老年教师被抽到的概率为P ＝30300＝110. 答案：11015．如图，四边形ABCD 为矩形，AB ＝3，BC ＝1，以A 为圆心，1为半径作四分之一个圆弧DE ，在圆弧DE 上任取一点P ，则直线AP 与线段BC 有公共点的概率是________．解析：连接AC 交弧DE 于点F ，∠BAC ＝30°，P ＝弧EF 的长弧DE 的长＝13.答案：1316．点A 为周长等于3的圆周上的一个定点，若在该圆周上随机取一点B ，则劣弧的长度小于1的概率为________．解析：如图所示，圆周上使的长度等于1的点M 有两个，设为M 1，M 2，则过A 的圆弧长为2，点B 落在优弧上就能使劣弧的长度小于1，所以劣弧的长度小于1的概率为23.答案：23三、解答题(本大题共6题，共70分，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．) 17．(本小题满分10分)对一批衬衣进行抽样检查，结果如下表：(1)(2)记“任取一件衬衣是次品”为事件A ，求P (A )；(3)为了保证买到次品的顾客能够及时更换，销售1 000件衬衣，至少需进货多少件？ 解：(1)次品率依次为：0,0.02,0.06,0.054,0.045，0.05，0.05.(2)当n 充分大时，出现次品的频率mn在0.05附近摆动，故P (A )≈0.05.(3)设进货衬衣x 件，为保证1 000件衬衣为正品，则(1－0.05)x ≥1 000，得x ≥1 053. ∴至少需进货1 053件衬衣．18．(本小题满分12分)现有6道题，其中4道甲类题，2道乙类题，张同学从中任取2道题解答．试求： (1)所取的2道题都是甲类题的概率； (2)所取的2道题不是同一类题的概率．解：将4道甲类题依次编号为1,2,3,4；2道乙类题依次编号为5,6.任取2道题，基本事件为：{1,2}，{1,3}，{1,4}，{1,5}，{1,6}，{2,3}，{2,4}，{2,5}，{2,6}，{3,4}，{3,5}，{3,6}，{4,5}，{4,6}，{5,6}，共15个，而且这些基本事件的出现是等可能的．(1)用A 表示“都是甲类题”这一事件，则A 包含的基本事件有{1,2}，{1,3}，{1,4}，{2,3}，{2,4}，{3,4}，共6个，所以P(A)＝615＝25.(2)用B表示“不是同一类题”这一事件，则B包含的基本事件有{1,5}，{1,6}，{2,5}，{2,6}，{3,5}，{3,6}，{4,5}，{4,6}，共8个，所以P(B)＝8 15.19．(本小题满分12分)某日用品按行业质量标准分成五个等级，等级系数X依次为1,2,3,4,5，现从一批该日用品中随机抽取20件，对其等级系数进行统计分析，得到如下频率分布表：(1)若所抽取的20件日用品中，等级系数为4的恰有3件，等级系数为5的恰有2件，求a，b，c的值；(2)在(1)的条件下，将等级系数为4的3件日用品记为x1，x2，x3，等级系数为5的2件日用品记为y1，y2，现从x1，x2，x3，y1，y2这5件日用品中任取2件(假定每件日用品被取出的可能性相同)，写出所有可能的结果，并求这2件日用品的等级系数恰好相等的概率．解：(1)因为抽取的20件日用品中，等级系数为4的恰有3件，所以b＝320＝0.15.等级系数为5的恰有2件，所以c＝220＝0.1.从而a＝1－0.2－0.45－0.1－0.15＝0.1.所以a＝0.1，b＝0.15，c＝0.1.(2)从x1，x2，x3，y1，y2这5件日用品中任取2件，所有可能的结果为(x1，x2)，(x1，x3)，(x1，y1)，(x1，y2)，(x2，x3)，(x2，y1)，(x2，y2)，(x3，y1)，(x3，y2)，(y1，y2)，共10个．设事件A表示“从x1，x2，x3，y1，y2这5件日用品中任取2件，其等级系数相等”，则事件A所包含的基本事件为(x1，x2)，(x1，x3)，(x2，x3)，(y1，y2)，共4个．故所求的概率P(A)＝410＝0.4.20．(本小题满分12分)投掷一个质地均匀、每个面上标有一个数字的正方体玩具，它的六个面中，有两个面的数字是0，两个面的数字是2，两个面的数字是4.将此玩具连续抛掷两次，以两次朝上一面出现的数字分别作为点P的横坐标和纵坐标．(1)求点P落在区域C：x2＋y2≤10上的概率；(2)若以落在区域C上的所有点为顶点作面积最大的多边形区域M，在区域C上随机撒一粒豆子，求豆子落在区域M上的概率．解：(1)点P的坐标有：(0,0)，(0,2)，(0,4)，(2,0)，(2,2)，(2,4)，(4,0)，(4,2)，(4,4)共9种，其中落在区域C：x2＋y2≤10上的点P的坐标有(0,0)，(0,2)，(2,0)，(2,2)共4种，故点P落在区域C：x2＋y2≤10上的概率为4 9 .(2)区域M 为一边长为2的正方形，其面积为4，区域C 的面积为10π，则豆子落在区域M 上的概率为25π.21．(本小题满分12分)从含有两件正品a 1，a 2和一件次品b 的三件产品中，每次任取一件． (1)若每次取后不放回，连续取两次，求取出的两件产品中恰有一件次品的概率； (2)若每次取后放回，连续取两次，求取出的两件产品中恰有一件次品的概率．解：(1)每次取出一个，取后不放回地连续取两次，其一切可能的结果组成的基本事件有6个，即(a 1，a 2)，(a 1，b )，(a 2，a 1)，(a 2，b )，(b ，a 1)，(b ，a 2)．其中小括号内左边的字母表示第1次取出的产品，右边的字母表示第2次取出的产品．总的事件个数为6，而且可以认为这些基本事件是等可能的．用A 表示“取出的两件中恰有一件次品”这一事件，所以A ＝ 错误!.因为事件A 由4个基本事件组成， 所以P (A )＝46＝23.(2)有放回地连续取出两件，其所有可能的结果为(a 1，a 1)，(a 1，a 2)，(a 1，b )，(a 2，a 1)，(a 2，a 2)，(a 2，b )，(b ，a 1)，(b ，a 2)，(b ，b )，共9个基本事件组成．由于每一件产品被取到的机会均等，因此可以认为这些基本事件的出现是等可能的．用B 表示“恰有一件次品”这一事件，则B ＝错误!.事件B 由4个基本事件组成，因而P (B )＝49.22.(本小题满分12此种商品的数量(单位：件)如表所示．工作人员用分层抽样的方法从这些商品中抽取6件样品进行检测．(1)求这6件样品中来自A ，B ，C 各地区商品的数量；(2)若在这6件样本中随机抽取2件送往甲机构进行进一步检测，求这2件商品来自相同地区的概率．解：(1)因为样本容量与总体中的个体数的比是 650＋150＋100＝150，所以样本中包含三个地区的个数数量分别是 50×150＝1,150×150＝3,100×150＝2. 所以A ，B ，C 三个地区的商品被选取的件数分别为1,3,2.(2)设6件来自A ，B ，C 三个地区的样品分别为A ；B 1，B 2，B 3；C 1，C 2. 则抽取的这2件商品构成的所有基本事件为{A ，B 1}，{A ，B 2}，{A ，B 3}，{A ，C 1}，{A ，C 2}，{B 1，B 2}，{B 1，B 3}，{B 1，C 1}，{B 1，C 2}，{B 2，B 3}，{B 2，C 1}，{B 2，C 2}，{B 3，C 1}，{B 3，C 2}，{C 1，C 2}，共15个．每个样品被抽到的机会均等，因此这些基本事件的出现是等可能的．记“抽取的这2件商品来自相同地区”为事件D ，则事件D 包含的基本事件有 {B 1，B 2}，{B 1，B 3}，{B 2，B 3}，{C 1，C 2}，共4个．所以P(D)＝4 15，即这2件商品来自相同地区的概率为415.。
高中数学必修3 测试题2
1a = 3b = a a b =+ b a b =-PRINT a ，b必修3 测试题(二)一、选择题(每题5分,共12小题,满分60分)1.计算机执行下面的程序段后，输出的结果是（ ）．A ．1,3B ．4,1C ．0,0D ．6,01.B 解析:把1赋给变量a ,把3赋给变量b ,把4赋给变量a ,把1赋给变量b ,输出,a b ．A.9%B.18%C.27%D.82% 2.B 解析:优秀的学生共9人,该班总人数为50人,故优秀率为918%50=.3.下列抽样问题中最适合用系统抽样法抽样的是( ) A.从全班48名学生中随机抽取8人参加一项活动B.一个城市有210家百货商店,其中大型商店20家,中型商店40家,小型商店150家.为了掌握各商店的营业情况,要从中抽取一个容量为21的样本C.从参加模拟考试的1 200名高中生中随机抽取100人分析试题作答情况D.从参加模拟考试的1 200名高中生中随机抽取10人了解某些情况3.C 解析:A 项,总体容量较小,样本容量也较小,可采用抽签法;B 项,总体中的个体有明显的层次,不适宜用系统抽样法;C 项,总体容量较大,样本容量也较大,可用系统抽样法;D 项,总体容量较大,样本容量较小,可用随机数表法.4.某工厂生产A 、B 、C 三种不同型号的产品，产品的数量之比依次为3∶4∶7,现在用分层抽样的方法抽出容量为n 的样本,样本中A 型号产品有15件,那么样本容量n 为( ) A ．50B ．60C ．70D ．804.C 解析:由分层抽样方法得：33＋4＋7×n ＝15,解得n ＝70.5.若由图中输出的y 值为18,则输入的实数x 的值为( )A.34B.34或3 C.2或3 D. 34或25.A 解析:若输入的实数0x >,则21218x -=,34x =;若0x ≤,则11()28x =,3x =舍去.6. 在长为60m ，宽为40m 的矩形场地上有一个椭圆形草坪，在一次大风后，发现该场地内共落有300片树叶，其中落在椭圆外的树叶数为96片，以此数据为依据可以估计出草坪的面积约为（ ）A ．2768mB ．21632mC ．21732mD ．2868m6.B 解析:根据随机模拟的思想,可以认为树叶落在该场地上是随机的,这样椭圆草坪的面积和整个矩形场地的面积之比就近似地等于落在椭圆草坪上的树叶数目和落在整个矩形场地上的树叶数目之比.23009660401632()300m -⨯⨯=．7.为了解一片大约一万株树木的生长情况,随机测量了其中100株树木的底部周长(单位:㎝).根据所得数据画出的样本频率分布直方图如图,那么在这片树木中,底部周长小于110㎝的株树大约是A.3000B.6000C.7000D.80007.C 解析:底部周长小于110cm 的树木所占的频率为:(0.010.020.04)100.7++⨯=,则10000株树木底部周长超过110cm 的有7000株.8.某品牌产品,在男士中有10%使用过,女士中有40%的人使用过,若从男女人数相等的人群中任取一人,恰好使用过该产品,则此人是位女士的概率是( ) A.51 B.52 C.53 D.548.D 解析:假设有100男士和100女士,则使用过该品牌的男士有10人,女士有40人,从这些人中选出一人,是女士的概率为40410405=+.9.对一个作直线运动的质点的运动过程观测了8次, 第i 次观测得到的数据为i a ，具体如下表所示：乙甲7518736247954368534321在对上述统计数据的分析中，一部分计算见如图所示的算法流程 图(其中a 是这8个数据的平均数)，则输出的S 的值是( )A.8B.7C.6D.59.B 解析:易求22212844,()()()56.a a a a a a a =∴-+-++-= 故输出的结果为7.10.用秦九韶算法计算多项式65432()3456781f x x x x x x x =++++++当0.5x =时的值时,需要做乘法和加法的次数分别是（ ）A ．6,6B ．5,6C ．5,5D ．6,510.A 解析:秦九韶算法计算多项式的值运算特点是通过一次式的反复计算,逐步得出高次多项式的值,对于一个n 次多项式,只需做n 次乘法和n 次加法即可.故选A.11.如图是某赛季甲、乙两名篮球运动员每场比赛得分的茎叶图,则甲、乙两人这几场比赛得分的中位数之和是（ ）A.62B.63C.64D.6511.C 解析:甲的中位数为28，乙的中位数为36. 所以甲、乙两人这几场比赛得分的中位数之和是64.12.从数字1,2,3,4,5中,随机抽取3个数字（允许重复）组成一个三位数，其各位数字之和等于9的概率为（ ） A.13125B.16125C.18125D.1912512.D 解析:从1,2,3,4,5中,随机抽取3个数字（允许重复）,可以组成5×5×5=125个不同的三位数,其中各位数字之和等于9的三位数可分为以下情形: ①由1,3,5三个数字组成的三位数:135,153,315,351,513,531共6个; ②由1,4,4三个数字组成的三位数:144,414,441,共3个; ③同理由2,3,4三个数字可以组成6个不同的三位数; ④由2,2,5三个数字可以组成3个不同的三位数; ⑤由3,3,3三个数字可以组成1个三位数,即333.故满足条件的三位数共有6+3+6+3+1=19，所求的概率为19125.二、填空题(每题5分,共4小题,满分20分)13.某校按分层抽样方法从高中三个年级抽取部分学生参加社会实践活动：调查当地农村居民收入来源,三个年级抽取人数比例按如图扇形面积比表示,已知高二年级共有学生1200人,抽取了40人,则这个学校共有学生人数为 . 13.120 解析:扇形面积公式3602R n S π=,因为三个扇形半径相同,所以面积比就是圆心角之比.高一、高二、高三三个年级抽取的人数比为150:120:90=5:4:3,高二抽 取了40人,则高一抽取了50人,高三抽取了30人.共抽取了40＋50＋30＝120人. 14. 给出以下程序: 3x =-IF 0x > THEN (2)y x =+*(2)x + END IF IF 0x = THEN4y =ELSE(2)y x =-*(2)x -︒90︒120︒150高一高二高三END IF PRENT yEND则该程序输出的结果是 .14.25 解析:由于30x =-<,故(2)y x =-(2)x -(23)(23)25=++=.15.已知一组数据1210,,,x x x 的方差是2，且2221210(3)(3)(3)x x x -+-++- =120， 则x = ..15.3±解析:由条件可得:222212101210()102()20x x x x x x x x ++++-+++= , ①22212101210()1096()120x x x x x x ++++⨯-⨯+++= ②将②-①得29010(26)10100x x x -+-⨯=,即2610x x --=,解得3x =+3-16.甲,乙两人玩猜数字游戏,先由甲在心中任想一个数字,记为a ,再由乙猜甲刚才所想的数字,把乙猜的数字记为b ,且,{1,2,3,4}a b ∈.若||1a b -≤,则称甲乙“心有灵犀”.现任意找两人玩这个游戏,得出他们“心有灵犀”的概率为 . 16.58解析:甲随便想一数字,有4种结果,乙随便猜也有4种结果,故总的情况有4×4=16种;符合条件的有(1,1),(1,2),(2,2),(2,3),(3,3),(3,4),(4,4),(4,3),(3,2),(2,1)共10种情况,故概率为105168=.三、解答题(本题共6小题,满分70分)17.(本题满分10分) 移动公司某种通话套餐规定:拨打市内电话时,如果通话时间不超过3分钟,则收取通话费0.22元,如果通话时间超过3分钟,则超过部分以每分钟0.11元收取通话费(通话不足1分钟时按1分钟计),如果拨打一次市话. (Ⅰ)试写出话费y 关于通话时长的函数表达式;(Ⅱ)试编写一个计算通话费用的程序.17.解:(Ⅰ)我们用ｙ(单位:元)表示通话费,t(单位:分钟)表示通话时间， 则依题意有 0.22(03)0.220.11(3)(3)t y t t <≤⎧=⎨+⨯->⎩(Ⅱ)程序如下:INPUT “请输入通话时间（单位：分钟）”, t IF t<= 3 THEN y =0.22 ELSEy =0.22＋0.11*(t －3) END IF PRINT ｙ END18.(本题满分12分) 已知x 、y 之间的一组数据如下表：对于表中数据，甲、乙两同学给出的拟合直线分别为y ＝13x ＋1与y ＝12x ＋12，试利用最小二乘法判断哪条直线拟合程度更好? 18.解:用y ＝13x ＋1作为拟合直线时,所得y 值与y 的实际值的差的平方和为s 1＝⎝⎛⎭⎫43－12＋(2－2)2＋(3－3)2＋⎝⎛⎭⎫103－42＋⎝⎛⎭⎫113－52＝73; 用y ＝12x ＋12作为拟合直线时，所得y 值与y 的实际值的差的平方和为s 2＝(1－1)2＋(2－2)2＋⎝⎛⎭⎫72－32＋(4－4)2＋⎝⎛⎭⎫9252＝12.∵s 2＜s 1,故用直线y ＝12x ＋12拟合程度更好．19.(本题满分12分) ,b c 分别是先后抛掷一枚骰子得到的点数.设2{20,}A x x bx c x R =-+<∈求A ≠∅的概率.19.解:∵A ≠∅,即280b c -> ,∴当1c =时,3,4,5,6b =;2c =时,5,6b =; 3c =时,5,6b =; 4c =时,6b =共9种情况,因此A ≠∅的概率为：91364P ==．20.(本题满分12分) 用秦九韶算法求这个多项式8.07.16.25.325)(2345-+-++=x x x x x x f 当5=x 时的值.(Ⅰ)用秦九韶算法的方法分析:计算时需要多少次乘法计算?多少次加法计算? (Ⅱ)试设计一个计算五次多项式在x=x 0值的算法,写出程序框图. 20.解:(Ⅰ)所给多项式可以化为()((((52) 3.5) 2.6) 1.7)0.8f x x x x x x =++-+-从内到外依次计算可知需要进行乘法5次，加法5次.(Ⅱ)可以利用秦九韶算法进行计算,程序框图如图:21.(本题满分12分)某中学高三年级有12个班,要从中选2个班代表学校参加某项活动,由于某种原因,一班必须参加,另外再从二至十二班中选1个班,有人提议用如下方法:掷两个骰子得到的点数和是几就选几班.(Ⅰ)任意投掷两个骰子的点数共有36种情况,请用表格列出所有投掷点数的可能性;(Ⅱ)你认为这种方法公平吗?如果不公平,哪个班被选中的概率最小?(Ⅱ)这种方法是不公平的.任意投掷两个骰子共有36种结果,由上表可以看出,在这36种结果中,点数和为2的只有一种情况,故概率为136,也就是说,选二班的概率只有136;点数和为3的有两种情况,即点数和为3的概率为236,以此类推可知每班被选中的可能性是不同的,其中七班被选中的可能性最大为16;其次是六班和八班为536;可能性最小的是二班和十二班,可能性只有136.22.(本题满分12分)某中学共有1000名学生参加了该地区高三第一次质量检测的数学考试,数学成绩统计结果如下表所示:(Ⅰ)为了了解同学们前段复习的得失,以便制定下阶段的复习计划,学校将采用分层抽样的方法抽取100名同学进行问卷调查,甲同学在本次测试中数学成绩为95分,求他被抽中的概率;(Ⅱ)已知本次数学成绩的优秀线为110分,试根据所提供数据估计该中学达到优秀线的人数;(Ⅲ)作出频率分布直方图,并估计该学校本次考试的数学平均分. 22.解:(Ⅰ)分层抽样中，每个个体被抽到的概率 均为样本容量总体中个体总数,故甲同学被抽到的概率110p =;(Ⅱ)由题意1000(6090300160)390x =-+++=. 故估计该中学达到优秀线的人数12011016039029012090m -=+⨯=-（人）;(Ⅲ)频率分布直方图. 该学校本次考试数学平均分6015904530075390105160135100090.x ⨯+⨯+⨯+⨯+⨯==估计该学校本次考试的数学平均分为90分.。
(典型题)高中数学必修三第三章《概率》测试题(包含答案解析)(1)
一、选择题1．第24届国际数学大会会标是以我国古代数学家赵爽的弦图为基础进行设计的.如图，会标是由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的一个大正方形.设直角三角形的一个锐角为θ，且πsin 2sin 52θθ⎛⎫++= ⎪⎝⎭.若在大正方形内随机取一点，则该点取自小正方形区域的概率为（ ）.A ．14B ．15C ．25D ．352．“哥德巴赫猜想”是近代三大数学难题之一，其内容是：一个大于2的偶数都可以写成两个质数(素数)之和，也就是我们所谓的“1+1”问题.它是1742年由数学家哥德巴赫提出的，我国数学家潘承洞、王元、陈景润等在哥德巴赫猜想的证明中做出相当好的成绩.若将6拆成两个正整数的和，则拆成的和式中，加数全部为质数的概率为（ ） A ．15B ．13C ．35D ．233．将一枚质地均匀的硬币连掷三次，设事件A ：恰有1次正面向上；事件B ：恰有2次正面向上，则()P A B +=（ ） A ．23B ．14C ．38D ．344．若数列{a n }满足a 1＝1，a 2＝1，a n +2＝a n +a n +1，则称数列{a n }为斐波那契数列，斐波那契螺旋线是根据斐波那契数列画出来的螺旋曲线，自然界中存在许多斐波那契螺旋线的图案，是自然界最完美的经典黄金比例.作图规则是在以斐波那契数为边的正方形拼成的长方形中画一个圆心角为90°的扇形，连起来的弧线就是斐波那契螺旋线，如图所示的7个正方形的边长分别为a 1，a 2，…，a 7，在长方形ABCD 内任取一点，则该点不在任何一个扇形内的概率为（ ）A ．1103156π-B ．14π-C ．17126π-D ．681237π-5．类比“赵爽弦图”，可类似地构造如图所示的图形，它是由3个全等的三角形与中间的一个小等边三角形拼成的一个大等边三角形，设2AD BD =，若在大等边三角形中随机取一点，则此点取自小等边三角形的概率是（ ）A ．14B ．13C ．17D ．4136．甲乙两艘轮船都要在某个泊位停靠，甲停靠的时间为4小时，乙停靠的时间为6小时，假定他们在一昼夜的时间段中随机到达，则这两艘船停靠泊位时都不需要等待的概率为（ ）A ．916B ．58C ．181288D ．5127．某研究机构在对具有线性相关的两个变量x 和y 进行统计分析时，得到如下数据：x 4 6 8 10 12 y12356由表中数据求得y 关于的回归方程为，则在这些样本点中任取一点，该点落在回归直线下方的概率为（ ） A ．25B ．35 C ．34D ．128．从含有2件正品和1件次品的产品中任取2件，恰有1件次品的概率是（ ） A ．16B ．13C ．12D ．239．从分别写有1，2，3，4的4张卡片中随机抽取1张，放回后再随机抽取1张，则抽得的第一张卡片上的数不小于第二张卡片上的数的概率为 A ．25B ．35C ．38D ．5810．圆周率π是一个在数学及物理学中普遍存在的数学常数，它既常用又神秘，古今中外很多数学家曾研究它的计算方法.下面做一个游戏：让大家各自随意写下两个小于1的正数然后请他们各自检查一下，所得的两数与1是否能构成一个锐角三角形的三边，最后把结论告诉你，只需将每个人的结论记录下来就能算出圆周率的近似值.假设有n 个人说“能”，而有m 个人说“不能”，那么应用你学过的知识可算得圆周率π的近似值为（） A ．mm n+ B ．nm n+ C ．4mm n+ D ．4nm n+11．如图所示的图形中，每个三角形上各有一个数字，若六个三角形上的数字之和为26，则称该图形是“和谐图形”.已知其中四个三角形上的数字之和为20，现从1、2、3、4、5中任取两个数字标在另外两个三角形上，则恰好使该图形为“和谐图形”的概率为（ ）A ．310B ．15C ．110D ．32012．勒洛三角形是具有类似圆的“定宽性”的面积最小的曲线，它由德国机械工程专家，机构运动学家勒洛首先发现，其作法是：以等边三角形每个顶点为圆心，以边长为半径，在另两个顶点间作一段弧，三段弧围成的曲边三角形就是勒洛三角形，现在勒洛三角形中随机取一点，则此点取自正三角形外的概率为（ ）A ()3323π- B ()323π-C ()323π+ D ()23323ππ-+二、填空题13．辛普森悖论(Simpson’sParadox)有人译为辛普森诡论，在统计学中亦有人称为“逆论”，甚至有人视之为“魔术”.辛普森悖论为英国统计学家E .H .辛普森(E.H.Simpson)于1951年提出的，辛普森悖论的内容大意是“在某个条件下的两组数据，分别讨论时都会满足某种性质，可是一旦合并考虑，却可能导致相反的结论.”下面这个案例可以让我们感受到这个悖论：关于某高校法学院和商学院新学期已完成的招生情况，现有如下数据： 某高校申请人数性别 录取率 法学院200人男50%女 70% 商学院300人男60% 女90% ①法学院的录取率小于商学院的录取率；②这两个学院所有男生的录取率小于这两个学院所有女生的录取率； ③这两个学院所有男生的录取率不一定小于这两个学院所有女生的录取率； ④法学院的录取率不一定小于这两个学院所有学生的录取率. 其中，所有正确结论的序号是___________.14．住在同一城市的甲、乙两位合伙人,约定在当天下午4.00-5：00间在某个咖啡馆相见商谈合作事宜，他们约好当其中一人先到后最多等对方10分钟,若等不到则可以离去,则这两人能相见的概率为__________．15．一个多面体的直观图和三视图所示，M 是AB 的中点，一只蝴蝶在几何体ADF BCE -内自由飞翔，由它飞入几何体F AMCD -内的概率为______．16．乒乓球赛规定：一局比赛，双方比分在10平前，一方连续发球2次后，对方再连续发球2次，依次轮换，每次发球，胜方得1分，负方得0分．设在甲、乙的比赛中，每次发球，甲发球得1分的概率为35，乙发球得1分的概率为23，各次发球的胜负结果相互独立，甲、乙的一局比赛中，甲先发球.则开始第4次发球时，甲、乙的比分为1比2的概率为________.17．若某学校要从5名男同学和2名女同学中选出3人参加社会考察活动，则选出的同学中男女生均不少于1名的概率是_____.18．在区间[-1,2]上随机取一个数x,则x ∈[0,1]的概率为 .19．设{}{}1,3,5,7,2,4,6a b ∈∈，则函数()log a bf x x =是增函数的概率为__________．20．在边长为2的正△ABC 所在平面内，以A 3AB ，AC 于D ，E.若在△ABC 内任丢一粒豆子，则豆子落在扇形ADE 内的概率是________．三、解答题21．某中学刚搬迁到新校区，学校考虑，若非住校生上学路上单程所需时间人均超过20分钟，则学校推迟5分钟上课.为此，校方随机抽取100个非住校生，调查其上学路上单程所需时间（单位：分钟），根据所得数据绘制成如下频率分布直方图，其中时间分组为[)0,10，[)10,20，[)20,30，[)30,40，[]40,50.（1）求频率分布直方图中a的值；（2）从统计学的角度说明学校是否需要推迟5分钟上课；（3）若从样本单程时间不小于30分钟的学生中，随机抽取2人，求这两个学生的单程时30,40上的概率.间均落在[)22．甲、乙两家商场对同一种商品开展促销活动，对购买该商品的顾客两家商场的奖励方案如下：甲商场：顾客转动如图所示圆盘，当指针指向阴影部分(图中四个阴影部分均为扇形，且每个扇形圆心角均为15︒，边界忽略不计)即为中奖.乙商场：从装有3个白球3个红球的盒子中一次性摸出2个球(球除颜色外不加区分)，如果摸到的是2个红球，即为中奖.问：购买该商品的顾客在哪家商场中奖的可能性大？23．某超市为了解顾客的购物量及结算时间等信息，安排一名员工随机收集了在该超市购物的100位顾客的相关数据，如下表所示.已知这100位顾客中一次购物量超过10件的顾客占40%.一次购物量1至5件6至10件11至15件16至20件21件及以上顾客数(人)x3025y5结算时间(分钟/人)12345（1）确定,x y的值，并估计顾客一次购物的结算时间的平均值；（2）求一位顾客一次购物的结算时间不超过3分钟的概率.(将频率视为概率)24．安庆市某中学教研室从高二年级随机抽取了50名学生的十月份语文成绩（满分100分，成绩均为不低于40分的整数），得到如图所示的频率分布直方图.（1）若该校高二年级共有学生1000人，试估计十月份月考语文成绩不低于60分的人数； （2）为提高学生学习语文的兴趣，学校决定在随机抽取的50名学生中成立“二帮一”小组，即从成绩[]90,100中选两位同学，共同帮助[)40,50中的某一位同学.已知甲同学的成绩为42分，乙同学的成绩为95分，求甲乙恰好被安排在同一小组的概率.25．手机运动计步已经成为一种新时尚.某单位统计了职工一天行走步数（单位：百步），绘制出如下频率分布直方图：（1）求直方图中a 的值，并由频率分布直方图估计该单位职工一天步行数的中位数； （2）若该单位有职工200人，试估计职工一天行走步数不大于13000的人数； （3）在（2）的条件下，该单位从行走步数大于15000的3组职工中用分层抽样的方法选取6人参加远足拉练活动，再从6人中选取2人担任领队，求这两人均来自区间150,(170]的概率.26．已知集合{(,)|[0,2],[1,1]}M x y x y =∈∈-. （1）若,x y Z ∈，求0x y +≥的概率； （2）若,x y R ∈，求0x y +≥的概率.【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题1．B 解析：B 【分析】根据πsin 2sin 52θθ⎛⎫++= ⎪⎝⎭，可以求得sin()1θϕ+=，tan 2ϕ=，求出小正方形的边长和直角三角形两直角边的长，进而得到大正方形的边长，然后根据几何概型概率公式求解即可． 【详解】 由πsin 2sin 52θθ⎛⎫++= ⎪⎝⎭可得sin 2cos 5θθ+=， 即5sin()5θϕ+=，即sin()1θϕ+=，且tan 2ϕ=，所以2πθϕ+=，所以直角三角形较大的锐角为ϕ，较小的锐角为θ，如图，设小正方形的边长为a ，直角三角形较大的锐角为θ、较大的锐角为为ϕ， 较小的直角的边长b ，则直角三角形较大的直角边长为+a b ，∵tan 2a bbϕ+==， ∴a b =，∴22(2)5a a a +=， 由几何概型概率公式可得，所求概率为2215(5)P a ==． 故选：B ． 【点睛】解答几何概型概率的关键是分清概率是属于长度型的、面积型的、还是体积型的，然后再根据题意求出表示基本事件的点构成的线段的长度（或区域的面积、空间几何体的体积），最后根据公式计算即可．2．A解析：A 【分析】列出所有可以表示成和为6的正整数式子，找到加数全部为质数的只有336+=，利用古典概型求解即可. 【详解】6拆成两个正整数的和含有的基本事件有:(1,5),(2,4),(3,3), (4,2),(5,1), 而加数全为质数的有(3,3), 根据古典概型知，所求概率为15P =. 故选：A. 【点睛】本题主要考查了古典概型，基本事件，属于容易题.3．D解析：D 【分析】根据题意，列举出所有的基本事件，再分别找出满足事件A 与事件B 的事件个数，分别求出其概率，最后再相加即可. 【详解】根据题意，将一枚质地均匀的硬币连掷三次，可能出现的情况有以下8种：（正正正），（正正反），（正反正），（正反反），（反正正），（反正反），（反反正），（反反反）.满足事件A ：恰有1次正面向上的基本事件有（正反反），（反正反），（反反正）三种，故3()8P A =；满足事件B ：恰有2次正面向上的基本事件有（正正反），（正反正），（反正正）三种，故3()8P B =；因此，3()()()4P A B P A P B +=+=. 故选：D. 【点睛】本题主要考查利用列举法计算基本事件的个数以及求解事件发生的概率.4．D解析：D 【分析】由题意求得数列{}n a 的前8项，求得长方形ABCD 的面积，再求出6个扇形的面积和，由测度比是面积比得答案． 【详解】由题意可得，数列{}n a 的前8项依次为：1，1，2，3，5，8，13，21．∴长方形ABCD 的面积为1321273⨯=．6个扇形的面积之和为222222(1235813)684ππ+++++=．∴所求概率681273P π=-．故选：D ． 【点睛】本题考查几何概型概率的求法，考查扇形面积公式的应用，是基础题．5．C解析：C 【分析】由题意求出AB =，所求概率即为DEF ABCS P S=，即可得解.【详解】由题意易知120ADB ∠=，AF FD BD ==，由余弦定理得22222cos1207AB AD BD AD BD BD =+-⋅⋅=即AB =，所以AB =，则所求概率为217DEF ABCSFD P SAB ⎛⎫=== ⎪⎝⎭. 故选：C. 【点睛】本题考查了几何概型概率的求法和余弦定理的应用，属于中档题.6．C解析：C 【分析】设甲、乙到达的时间分别为,x y ，列出所有基本事件的约束条件，同时列出两艘船停靠泊位时都不需要等待的约束条件，利用线性规划做出平面区域，利用几何概型概率关系转化为面积比. 【详解】设甲、乙到达的时间分别为,x y ，则所有基本事件的构成的区域024{|}024x x y ≤≤⎧Ω=⎨≤≤⎩， 则这两艘船停靠泊位时都不需要等待包含的基本事件构成的区域024024{(,)|}46x y A x y y x x y ≤≤⎧⎪≤≤⎪=⎨≥+⎪⎪≥+⎩，做出Ω构成的区域，其面积为224=576，阴影部分为集合A 构成的区域，面积为221(2018)3622+=， 这两艘船停靠泊位时都不需要等待的概率362181()576288P A ==. 故选:C.【点睛】本题考查利用线性规划做出事件对应的平面区域，再利用几何概型概率公式求出事件的概率，属于中档题.7．A解析：A 【分析】求出样本点的中心，求出ˆa的值，得到回归方程得到5个点中落在回归直线下方的有(6,2)，(8,3)，共2个，求出概率即可．【详解】8x =， 3.4y =，故3.40.658ˆa=⨯+，解得： 1.8a =-， 则0.65.8ˆ1yx =-， 故5个点中落在回归直线下方的有(6,2)，(8,3)，共2个， 故所求概率是25p =， 故选：A ． 【点睛】本题考查回归方程概念、概率的计算以及样本点的中心，考查数据处理能力，是一道基础题．8．D解析：D 【分析】设正品为12,a a ，次品为b ，列出所有的基本事件，根据古典概型求解即可. 【详解】设正品为12,a a ，次品为b ,任取两件所有的基本事件为12(,)a a ，1(,)a b ，2(,)a b 共3个基本事件， 其中恰有1件次品的基本事件为1(,)a b ，2(,)a b ，共2个， 所以23P =， 故选：D 【点睛】本题主要考查了古典概型，基本事件的概念，属于容易题.9．D解析：D 【分析】直接列举出所有的抽取情况，再列举出符合题意的事件数，即可计算出概率。
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北京市通州区2021届高三数学上学期期末考试试题（含解析）第一部分(选择题 共40分)一､选择题:本大题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题列出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.已知集合{}21A x x =-<<,{}13B x x =-<<,则A B =( )A. {}23x x -<<B. {}11x x -<<C. {}13x x <<D.{}21x x -<<-【答案】A 【解析】 【分析】根据并集运算法则求解即可.【详解】由题：集合{}21A x x =-<<,{}13B x x =-<<, 则{}23AB x x =-<<.故选：A【点睛】此题考查根据描述法表示的集合，并求两个集合的并集. 2.在复平面内,复数1ii-+(其中i 是虚数单位)对应的点位于( ) A. 第一象限 B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限【答案】A 【解析】 【分析】化简复数，得出其在复平面内的点，即可判定位置. 【详解】由题：复数()1111i i i i i i-+--==+⋅-，在复平面内对应的点为()1,1， 位于第一象限. 故选：A【点睛】此题考查复数的基本运算和复数对应复平面内的点的辨析，关键在于准确计算，熟练掌握几何意义.3.已知点A (2,a )为抛物线24y x =图象上一点,点F 为抛物线的焦点,则AF 等于( )A. 4B. 3C.D. 2【答案】B 【解析】 【分析】写出焦点坐标，根据抛物线上的点到焦点距离公式即可求解. 【详解】由题：点A (2,a )为抛物线24y x =图象上一点, 点F 为抛物线的焦点,所以()1,0F ， 根据焦半径公式得：02132pAF x =+=+=. 故选：B【点睛】此题考查求抛物线上的点到焦点的距离，结合几何意义根据焦半径公式求解即可. 4.若0x y >>,则下列各式中一定正确的是( )A.11x y> B. tan tan x y >C. 11()()22xy>D.ln ln x y >【答案】D 【解析】 【分析】 若0x y >>，11x y <，11()()22x y <所以AC 错；3,,tan tan 44x y x y ππ==<，所以B 错；若0x y >>，ln ln x y >，所以D 正确.【详解】由题：若0x y >>，根据反比例函数性质11x y<，所以A 错误； 若0x y >>，取3,,tan tan 44x y x y ππ==<，所以B 错； 若0x y >>，根据指数函数性质11()()22x y<所以C 错；若0x y >>，根据对数函数性质ln ln x y >，所以D 正确. 故选：D【点睛】此题考查不等式的基本性质，结合不等关系和函数单调性进行判断，也可考虑特值法推翻命题.5.某三棱锥的三视图如图所示,则该三棱锥最长棱的长度为( )A. 7B. 2C. 211D. 3【答案】C 【解析】 【分析】根据三视图还原几何体，即可求解.【详解】根据三视图还原几何体如图所示：其中AB AC ⊥，PC ⊥平面ABC ， 由图可得：4,23CP AC AB ===，所以27,4227BC AP ==>224421142BP PC BC +==>所以最长的棱长211故选：C【点睛】此题考查根据三视图还原几何体，计算几何体中的棱长，关键在于正确认识三视图，准确还原.6.甲､乙､丙､丁四名同学和一名老师站成一排合影留念.若老师站在正中间,甲同学不与老师相邻,乙同学与老师相邻,则不同站法种数为( ) A. 24 B. 12 C. 8 D. 6【答案】C 【解析】 【分析】根据特殊元素优先考虑原则，先排乙，再排甲，结合左右对称原则求解. 【详解】由题：老师站中间，第一步：排乙，乙与老师相邻，2种排法；第二步：排甲，此时甲有两个位置可以站，2种排法； 第三步：排剩下两位同学，2种排法， 所以共8种. 故选：C【点睛】此题考查计数原理，关键在于弄清计数方法，根据分步和分类计数原理解决实际问题.7.对于向量a ,b , “a a b =+”是“0b =”的( ) A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】 【分析】根据向量的运算法则：“a a b =+”不能推出“0b =”， “0b =”能够推出“a a b =+”.【详解】当20b a =-≠时，满足a a b =+，不能推出0b =， 若0b =，则a b a +=，所以a a b =+，所以“a a b =+”是“0b =”的必要不充分条件. 故选：B【点睛】此题考查充分条件与必要条件的关系判断，关键在于弄清向量间的关系，正确辨析即可.8.关于函数()21()1x f x x ax e-=+-有以下三个判断①函数恒有两个零点且两个零点之积为-1； ②函数恒有两个极值点且两个极值点之积为-1； ③若2x =-是函数的一个极值点,则函数极小值为-1. 其中正确判断的个数有( ) A. 0个 B. 1个C. 2个D. 3个【答案】C 【解析】 【分析】函数的零点个数即210x ax +-=的根的个数，利用判别式求解；对函数求导讨论导函数的零点问题即可得极值关系.【详解】因为10x e ->，方程210x ax +-=，240a ∆+>=，所以关于x 的方程210x ax +-=一定有两个实根，且两根之积为-1，所以21`()(1)x f x x ax e -=+-恒有两个零点且两个零点之积为-1，即①正确；()()()2121x f x x a x a e -'=+++-，10x e ->，对于()2210x a x a +++-=，()()2224180a a a ∆=+--=+>，所以()2210x a x a +++-=恒有两个不等实根，且导函数在这两个实根附近左右异号，两根之积为1a -，函数恒有两个极值点且两个极值点之积为1a -，所以②错误；若2x =-是函数的一个极值点, ()()242410f a a '-=--+-=，则1a =-，()()211x f x x x e -=--，()()()()211221x x f x x x e x x e --'=+-=+-，()()(),21,,0x f x '∈-∞-+∞>，()()2,1,0x f x '∈-<，所以函数的增区间为()(),2,1,-∞-+∞，减区间为()2,1-， 所以函数的极小值为()11f =-，所以③正确. 故选：C【点睛】此题考查函数零点问题，利用导函数导论单调性和极值问题，综合性比较强.第二部分(非选择题 共110分)二､填空题:本大题共6小题,每小题5分,共30分.9.已知向量()3,2a →=-,()1,b m =,若()a a b →→→⊥-,则m =___________. 【答案】5- 【解析】 【分析】根据向量垂直，数量积为0列方程求解即可.【详解】由题：()a a b →→→⊥-，所以()0a a b →→→⋅-=，20a a b →→→-⋅= 所以()94320m +--=， 解得：5m =-. 故答案为：5-【点睛】此题考查向量数量积的坐标运算，根据两个向量垂直，数量积为0建立方程计算求解.10.在公差不为零的等差数列{a n }中,a 1=2,且a 1,a 3,a 7依次成等比数列,那么数列{a n }的前n 项和n S 等于____________. 【答案】21322n n + 【解析】 【分析】根据a 1,a 3,a 7依次成等比数列,求出公差，即可求解.【详解】在公差不为零的等差数列{a n }中,a 1=2,设公差为,0d d ≠ 且a 1,a 3,a 7依次成等比数列,即()()222226d d +=+，20d d -=，0d ≠，所以1d =，所以数列{a n }的前n 项和()211321222n n n n n n S -=+⨯=+. 故答案为：21322n n + 【点睛】此题考查等差数列基本量的计算，根据等比中项的关系列出方程解出公差，根据公式进行数列求和.11.已知中心在原点的双曲线的右焦点坐标为0),且两条渐近线互相垂直,则此双曲线的标准方程为_____. 【答案】221x y -= 【解析】 【分析】根据两条渐近线互相垂直得出渐近线方程，即求出ba的值，结合焦点坐标即可求解. 【详解】由题双曲线焦点在x 轴，设双曲线方程()22221,0,0x ya b ba -=>>，两条渐近线互相垂直，即1b ba a-⋅=-，得a b =，又因为右焦点坐标为0), 所以222a b +=， 解得1a b ==，所以双曲线的标准方程为：221x y -=. 故答案为：221x y -=【点睛】此题考查根据渐近线的关系结合焦点坐标求双曲线的基本量，进而得出双曲线的标准方程，考查通式通法和基本计算.12.在ABC ∆中, 3a =,b =2B A ∠=∠,则cos B =____. 【答案】13【解析】 【分析】根据正弦定理建立等量关系求解即可. 【详解】在ABC ∆中,由正弦定理得：sin sin b B a A=，sin 23sin AA=2sin cos 2cos 3sin A A A A==所以cos 3A =261cos cos 22cos 12193B A A ==-=⨯-=.故答案为：13【点睛】此题考查正弦定理的应用，结合三角恒等变换二倍角公式，求三角函数值，关键在于准确掌握基本计算方法正确求解.13.已知,,a b a m +均为大于0的实数,给出下列五个论断:①a b >,②a b <,③0m >,④0m <,⑤b m ba m a+>+.以其中的两个论断为条件,余下的论断中选择一个为结论,请你写出一个正确的命题___________.【答案】①③推出⑤(答案不唯一还可以①⑤推出③等) 【解析】 【分析】选择两个条件根据不等式性质推出第三个条件即可，答案不唯一. 【详解】已知,,a b a m +均为大于0的实数,选择①③推出⑤. ①a b >，③0m >， 则()()()()0a b mb m b ab am ab bm am bm a m a a a m a a m a a m -++----===>++++， 所以b m ba m a+>+. 故答案为：①③推出⑤【点睛】此题考查根据不等式的性质比较大小，在已知条件中选择两个条件推出第三个条件，属于开放性试题，对思维能力要求比较高.14.如图,某城市中心花园的边界是圆心为O ,直径为1千米的圆,花园一侧有一条直线型公路l ,花园中间有一条公路AB (AB 是圆O 的直径),规划在公路l 上选两个点P ,Q ,并修建两段直线型道路PB ,QA .规划要求:道路PB ,QA 不穿过花园.已知OC l ⊥,BD l ⊥(C ､D 为垂足),测得OC =0.9,BD =1.2(单位:千米).已知修建道路费用为m 元/千米.在规划要求下,修建道路总费用的最小值为_____元.【答案】2.1m 【解析】 【分析】根据几何关系考虑道路不穿过花园，求解最小距离，即可得到最小费用.【详解】如图：过点B 作直线BP AB ⊥交l 于P ，取BD 与圆的交点M ， 连接,MA MB ，则MA MB ⊥， 过点A 作直线AQ AB ⊥交l 于Q ， 过点A 作直线AC l '⊥交l 于C '，根据图象关系可得，直线上，点P 左侧的点与B 连成线段不经过圆内部， 点Q 右侧的点与A 连成的线段不经过圆的内部， 最短距离之和即PB AC '+，根据几何关系：PBD BAM QAC '∠=∠=∠，3sin 5BAM ∠=， 所以4cos cos cos 5PBD BAM QAC '∠=∠=∠=， 所以 1.5BP =，2BD AC OC '+=，所以0.6AC '=，最小距离为2.1千米.修建道路总费用的最小值为2.1m 元. 故答案为：2.1m【点睛】此题考查与圆相关的几何性质，根据几何性质解决实际问题，需要注意合理地将实际问题抽象成纯几何问题求解.三､解答题:本大题共6小题,共80分.解答应写出文字说明,演算步骤或证明过程. 15.已知函数()2cos()sin 3f x x x π=-.(1)求f (x )的最小正周期；(2)求f (x )在区间π[0,]2上的最大值和最小值.【答案】(1)π；(2) 最小值01+ 【解析】 【分析】（1）对函数进行三角恒等变换得()sin(2)32f x x π=-+，即可得最小正周期； （2）整体考虑2π2[,]333x ππ-∈-的取值范围，求出最大值和最小值.【详解】解:1()2cos()sin 2(cos )sin 322f x x x x x x π=-=+1sin 2cos 2)sin(2)23x x x π=+-=-+(1) f (x )的最小正周期T =2=2ππ； (2)因为π[0,]2x ∈,所以2π2[,]333x ππ-∈-所以当233x ππ-=-,即0x =时,f (x )取得最小值(0)0f =；当232x ππ-=,即512x π=时,f (x )取得最大值5112f π⎛⎫= ⎪⎝⎭， 所以f (x )在区间π[0,]2上的最小值01+. 【点睛】此题考查利用三角恒等变换对函数进行化简，求最小正周期和闭区间上的值域，关键在于利用公式准确化简，正确求值.16.为了解某地区初中学生的体质健康情况,统计了该地区8所学校学生的体质健康数据,按总分评定等级为优秀,良好,及格,不及格.良好及其以上的比例之和超过40%的学校为先进校.各等级学生人数占该校学生总人数的比例如下表:(1)从8所学校中随机选出一所学校,求该校为先进校的概率；(2)从8所学校中随机选出两所学校,记这两所学校中不及格比例低于30%的学校个数为X ,求X 的分布列；(3)设8所学校优秀比例的方差为S 12,良好及其以下比例之和的方差为S 22,比较S 12与S 22的大小.(只写出结果) 【答案】(1) 12；(2)见解析； (3)S 12=S 22【解析】 【分析】（1）统计出健康测试成绩达到良好及其以上的学校个数，即可得到先进校的概率； （2）根据表格可得：学生不及格率低于30%的学校有学校B ､F ､H 三所, 所以X 的取值为0,1,2，分别计算出概率即可得到分布列；（3）考虑优秀的比例为随机变量Y ，则良好及以下的比例之和为Z =1-Y ，根据方差关系可得两个方差相等.【详解】解:( 1)8所学校中有ABEF 四所学校学生的体质健康测试成绩达到良好及其以上的比例超过40% ,所以从8所学校中随机取出一所学校,该校为先进校的概率为12； (2)8所学校中,学生不及格率低于30%的学校有学校B ､F ､H 三所,所以X 的取值为0,1,2.25285(0)14C P X C ===11532815(1)28C C P X C ===23283(2)28C P X C ===所以随机变量X 的分布列为：(3)设优秀的比例为随机变量Y ，则良好及以下的比例之和为Z =1-Y ， 则()()D Y D Z =， 所以：S 12=S 22.【点睛】此题考查简单的几何概率模型求概率，求分布列，以及方差关系的辨析，关键在于熟练掌握分布列的求法和方差关系.17.如图,在四棱锥S -ABCD 中,底面ABCD 为直角梯形,AD //BC ,∠SAD =∠DAB =90︒ ,SA =3,SB =5,4AB =,2BC =,1AD =.(1)求证:AB ⊥平面SAD ；(2)求平面SCD 与平面SAB 所成的锐二面角的余弦值； (3)点E ,F 分别为线段BC ,SB 上的一点,若平面AEF //平面SCD ,求三棱锥B -AEF 的体积.【答案】(1) 见解析；(2) 1213； (3)1 【解析】 【分析】（1）通过证明AB SA ⊥，AB AD ⊥得线面垂直；（2）结合第一问结论，建立空间直角坐标系，求出两个平面的法向量，即可得二面角的余弦值；（3）根据面面平行关系得出点F 的位置，即可得到体积.【详解】(1)证明:在SAB 中,因为3,4,5SA AB SB ===, 所以AB SA ⊥. 又因为∠DAB =900所以AB AD ⊥, 因为SAAD A =所以AB ⊥平面SAD .(2)解:因为 SA ⊥AD ,AB SA ⊥,AB AD ⊥， 建立如图直角坐标系：则A (0,0,0)B (0,4,0), C (2,4,0),D (1,0,0),S (0,0,3). 平面SAB 的法向量为(1,0,0)AD =. 设平面SDC 的法向量为(,,)m x y z =所以有·0·0m CD m SD ⎧=⎨=⎩即4030x y x z +=⎧⎨-=⎩,令1x =，所以平面SDC 的法向量为11(1,,)43m =-所以12cos 13m SD m SDθ==(3)因为平面AEF //平面SCD,平面AEF 平面ABCD=AE ,平面SCD 平面ABCD=CD , 所以AECD ,平面AEF 平面SBC=EF ,平面SCD 平面SBC=SC , 所以FE SC ∥ 由AECD ,AD //BC得四边形AEDC 为平行四边形. 所以E 为BC 中点. 又FE SC ∥, 所以F 为SB 中点. 所以F 到平面ABE 的距离为32, 又ABE △的面积为2,所以1B AEF F ABE V V --==.【点睛】此题考查立体几何中的线面垂直的证明和求二面角的大小，根据面面平行的性质确定点的位置求锥体体积.18.已知椭圆C :22221x y a b +=(0)a b >>的长轴长为4,,点P 在椭圆C 上.(1)求椭圆C 的标准方程；(2)已知点M (4,0),点N (0,n ),若以PM 为直径的圆恰好经过线段PN 的中点,求n 的取值范围.【答案】(1) 22142x y +=； (2) n -≤≤【解析】 【分析】（1）根据长轴长和离心率求出标准方程；（2）取PN 的中点为Q ，以PM 为直径的圆恰好经过线段PN 的中点，所以MQ ⊥NP ,根据垂直关系建立等量关系，结合点P 的坐标取值范围，即可得解. 【详解】解:( 1)由椭圆的长轴长2a =4,得a =2又离心率2c e a ==,所以c =所以2222b a c =-=.所以椭圆C 的方程为：22142x y +=.(2)法一:设点00()P x y ，,则2200142x y +=所以PN 的中点00()22x y nQ +， 00(4)22x y nMQ +=-，,00()NP x y n =-，， 因为以PM 为直径的圆恰好经过线段PN 的中点 所以MQ ⊥NP ,则0MQ NP ⋅=， 即0000(4)()()022x y n x y n +-+-=，又因为2200142x y +=,所以22008202x x n -+-=，所以2200082[22]2x n x x =-+∈-，，，函数20000()82[22]2x f x x x =-+∈-，，的值域为[1220]-，所以2020n ≤≤所以n -≤≤法二:设点00()P x y ，,则2200142x y +=.设PN 的中点为Q因为以PM 为直径的圆恰好经过线段PN 的中点 所以MQ 是线段PN 的垂直平分线， 所以MP MN ==所以2200822x n x =-+，函数20000()82[22]2x f x x x =-+∈-，，的值域为[1220]-，所以2020n ≤≤，所以n -≤≤【点睛】此题考查求椭圆的标准方程，根据垂直关系建立等量关系，结合椭圆上的点的坐标特征求出取值范围.19.已知函数()sin cos f x x x x =+.(1)求曲线()y f x =在点(0())0f ，处的切线方程； (2)求函数21()()4g x f x x =-零点的个数.【答案】(1) 1y =；(2)零点的个数为2. 【解析】 【分析】（1）求出导函数，得出(0)0f '=，(0)1f =即可得到切线方程； （2）根据21()()4g x f x x =-为偶函数，只需讨论在(0,)x ∈+∞的零点个数，结合导函数分析单调性即可讨论.【详解】解:( 1)因为()cos f x x x '=, 所以(0)0f '=， 又因为(0)1f =，所以曲线()y f x =在点(0())0f ，处的切线方程为1y =； (2)因为21()()4g x f x x =-为偶函数,(0)1g = 所以要求()g x 在R x ∈上零点个数, 只需求()g x 在(0,)x ∈+∞上零点个数即可.11()cos (cos ),022g x x x x x x x '=-=->令()0g x '=,得23x k ππ=+,523x k ππ=+，N k ∈ 所以()g x 在(0,)3π单调递增,在5(,)33ππ单调递减,在57(,)33ππ单调递增,在5(2,2)33k k ππππ++单调递减,在(2,2)33k k ππππ-+单调递增N k *∈ 列表得:由上表可以看出()g x 在23x k ππ=+(N k ∈)处取得极大值,在523x k ππ=+(N k ∈)处取得极小值，21()036236g ππ=+->;25125()03236g ππ=+-<. 当*N k ∈且1k时221115(2)(2)(2)(2033243434g k k k k ππππππππ+=+-+=-+-+<(或21()14g x x x <+-,21(2)(2)1(2)03343g k k k ππππππ+<++-+<)所以()g x 在(0,)x ∈+∞上只有一个零点 函数21()()()4R g x f x x x =-∈零点的个数为2. 【点睛】此题考查求函数在某点处的切线方程，求函数零点的个数，根据奇偶性分类讨论，结合单调性和极值分别考虑函数值的符号得解.20.已知项数为*(,2)N m m m ∈≥的数列{}n a 满足如下条件:①*(1,2,,)n a N n m ∈=；②12m a a a <<<.若数列{}n b 满足*12()1m nn a a a a b N m +++-=∈-,其中1,2,,n m =,则称{}n b 为{}n a 的“伴随数列”.(1)数列1,3,5,7,9是否存在“伴随数列”,若存在,写出其“伴随数列”；若不存在,请说明理由；(2)若{}n b 为{}n a 的“伴随数列”,证明:12m b b b >>>；(3)已知数列{}n a 存在“伴随数列”{}n b ,且11a =,2049m a =,求m 的最大值. 【答案】(1) 不存在“伴随数列”，见解析 ；(2) 见解析；(3)33 【解析】 【分析】（1）根据“伴随数列”的定义检验即可判定；（2）根据“伴随数列”的定义，结合数列的单调性讨论1n n b b +-的符号即可得解；（3）根据数列{}n a 和其“伴随数列”{}n b 项的特征，结合单调性分析出2(1)2048m -≤，即可求解.【详解】(1)解:数列1,3,5,7,9不存在“伴随数列” 因为*41357979512b N ++++-==∉-,所以数列1,3,5,7,9不存在“伴随数列”. (2)证明:因为111n n n n a a b b m ++--=-,*11,n m n N ≤≤-∈又因为12m a a a <<<,所以有10n n a a +-<所以1101n n n n a a b b m ++--=<-所以12m b b b >>> 成立(3)∀1≤i <j ≤m ,都有1j i i j a a b b m --=-,因为*i b N ∈,12m b b b >>>.所以*i j b b N -∈, 所以*1j i i j a a b b N m --=∈-所以*11204811m m a a b b N m m --==∈-- 因为*111nn n n a a b b N m ----=∈-, 所以11n n a a m --≥-又112211()()()m m m m m a a a a a a a ----=-+-++-(1)(1)(1)m m m ≥-+-++-=2(1)m -所以2(1)2048m -≤,所以46m ≤ 又*20481N m ∈-, 所以33m ≤例如:6463n a n =-(133n ≤≤),满足题意, 所以m 的最大值是33.【点睛】此题考查数列新定义相关问题，关键在于读懂题意，建立恰当的等量关系或不等关系，求解得值，综合性比较强.。
北京市海淀区2023-2024学年高一上学期期末考试 数学 Word版含答案
海淀区高一年级练习数 学考生须知：1．本试卷共6页，共三道大题，26道小题，满分150分，考试时间120分钟．2．在试卷上准确填写学校名称、班级名称、姓名．3．答案一律填涂或书写在答题卡上，用黑色字迹签字笔作答．4．考试结束，请将本试卷交回．一、选择题：共14小题，每小题4分，共56分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项1．已知全集{}2,1,0,1,2U =--，集合{}2,1,0A =--，则U A = （ ）A ．{}1,2,3B ．{}1,2C ．()0,2D ．()1,22．某学校有高中学生1500人，初中学生1000人．学生社团创办文创店，想了解初高中学生对学校吉祥物设计的需求，用分层抽样的方式随机抽取若干人进行问卷调查，已知在初中学生中随机抽取了100人，则在高中学生中抽取了（ ）A ．150人B ．200人C ．250人D ．300人3．命题“,20x x ∃∈+≤R ”的否定是（ ）A ．,20x x ∃∈+>RB ．,20x x ∃∈+<RC ．,20x x ∀∈+>RD ．,20x x ∀∈+<R 4．方程组202x y x x +=⎧⎨+=⎩解集是（ ）A ．()(){}1,1,1,1--B ．()(){}1,1,2,2-C ．()(){}1,1,2,2--D ．()(){}2,2,2,2-- 5．某部门调查了200名学生每周的课外活动时间（单位：h ），制成了如图所示的频率分布直方图，其中课外活动时间的范围是[]10,20，并分成[)[)[)[)[]10,12,12,14,14,16,16,18,18,20五组．根据直方图，判断这200名学生中每周的课外活动时间不少于14h 的人数是（ ）A ．56B ．80C ．144D ．1846．若实数a ，b 满足a b >，则下列不等式成立的是（ ）A ．a b >B ．a c b c +>+C ．22a b >D ．22ac bc >7．函数()22x f x x =+的零点所在的区间为（ ）A ．()2,1--B ．()1,0-C ．()0,1D ．()1,28．在同一个坐标系中，函数()()()log ,,x a a f x x g x a h x x -===的部分图象可能是（ ）A ．B ．C ．D ．9．下列函数中，既是奇函数，又在()0,+∞上单调递减的是（ ）A ．()f x x =B ．()f x x x =-C ．()11f x x 2=+ D ．()3f x x = 10．已知0.1232,log 3,log 2a b c ===，则实数a ，b ，c 的大小关系是（ ）A ．c a b >>B ．c b a >>C ．a c b >>D ．a b c >>11．已知函数()1212x f x a =-+，则“1a =”是()f x 为奇函数的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件12．已知函数()()2log 12f x x x =++-，则不等式()0f x <的解集为A ．(),1-∞B ．()1,1-C ．()0,1D ．()1,+∞13．科赫（Koch ）曲线是几何中最简单的分形，科赫曲线的产生方式如下：如图，将一条线段三等分后，以中间一段为边作正三角形并去掉原线段生成1级科赫曲线“”，将1级科赫曲线上每一线段重复上述步骤得到2级科赫曲线，同理可得3级科赫曲线……在分形中，一个图形通常由N 个与它的上一级图形相似，且相似比为r 的部分组成．若1D r N=，则称D 为该图形的分形维数．那么科赫曲线的分形气维数是（ ）A ．2log 3B ．3log 2C ．1D ．32log 2 14．已知函数()2,,x a x a f x x x a +≤⎧=⎨>⎩，若存在非零实数0x ，使得()()00f x f x -=-成立，则实数a 的取值范围是（ ）A ．(],0-∞B ．1,4⎛-∞⎤ ⎥⎝⎦ C ．[]4,0 D ．12,4⎡-⎤⎢⎥⎣⎦ 二、填空题：共6小题，每小题5分，共30分15．函数()()lg 1f x x =-的定义域是__________．16．已知幂函数()f x 经过点()2,8，则函数()f x =___________．17．农科院作物所为了解某种农作物的幼苗质量，分别从该农作物在甲、乙两个不同环境下培育的幼苗中各随机抽取了15株幼苗进行检测，量出它们的高度如下图（单位：cm ）：记该样本中甲、乙两种环境下幼苗高度的中位数分别为a ，b ，则a b -=___________．若以样本估计总体，记甲、乙两种环境下幼苗高度的标准差分别为12,s s ，则1s ____2s （用“<，>或=”连接）．18．已知函数()4f x x a x=+-没有零点，则a 的一个取值为_______；a 的取值范围是___________．19．已知函数()22,0,0x x x f x x ⎧≥⎪=⎨-<⎪⎩，则()f x 的单调递增区间为________；满足()4410f x <⨯的整数解的个数为____________（参考数据：lg 20.30≈）20．共享单车已经逐渐成为人们在日常生活中必不可少的交通工具．通过调查发现人们在单车选择时，可以使用“Tullock 竞争函数”进行近似估计，其解析式为()()[],0,1,01aa a x S x x a x x =∈>+-（其中参数a 表示市场外部性强度，a 越大表示外部性越强）．给出下列四个结论：①()S x 过定点11,22⎛⎫ ⎪⎝⎭； ②()S x 在[]0,1上单调递增；③()S x 关于12x =对称； ④取定x ，外部性强度a 越大，()S x 越小．其中所有正确结论的序号是______________．三、解答题：共64分，解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．21．（本小题12分）化简求值：（I ）()10.530.204640.13π927-⎛⎫⎛⎫++- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ （II ）5log 333325log 2log 59-+ 22．（本小题12分）已知一元二次方程22320x x +-=的两个实数根为12,x x求值：（I ）2212x x +；（II ）1211x x + 23．（本小题9分）国务院正式公布的《第一批全国重点文物保护单位名单》中把重点文物保护单位（下述简称为“第一批文保单位”）分为六大类．其中“A ：革命遗址及革命纪念建筑物”、“B ：石窟寺”、“C ：古建筑及历史纪念建筑物”、“D ：石刻及其他”、“E ：古遗址”、“F ：古墓葬”，北京的18个“第一批文保单位”所在区分布如下表：（I ）某个研学小组随机选择北京市“第一批文保单位”中的一个进行参观，求选中的参观单位恰好为“C ：古建筑及历史纪念建筑物”的概率；（II ）小王同学随机选择北京市“第一批文保单位”中的“A ：革命遗址及革命纪念建筑物”中的一个进行参观：小张同学随机选择北京市“第一批文保单位”中的“C ：古建筑及历史纪念建筑物”中的一个进行参观．两人选择参观单位互不影响，求两人选择的参观单位恰好在同一个区的概率；（III ）现在拟从北京市“第一批文保单位”中的“C ：古建筑及历史纪念建筑物”中随机抽取2个单位进行常规检查，记抽到海淀区的概率为1P ，抽不到海淀区的概率记为2P ，试判断1P 和2P 的大小（直接写出结论）．24．（本小题9分）已知集合{}25320,22|A x x x B x x ⎧⎫=--<=-≥⎨⎬⎩⎭（I ）求,R A B A B ；（II ）记关于x 的不等式()222440x m x m m -+++≤的解集为M ，若B M R =，求实数m 的取值范围．25．（本小题11分）已知函数()()()ln 1ln 1f x x k x =-++，请从条件①、条件②这两个条件中选择一个作为已知，解答下面的问题：条件①：()()0f x f x +-=条件②：()()0f x f x --=注：如果选择条件①和条件②分别解答，按第一个解答记分．（I ）求实数k 的值；（II ）设函数()()()11k F x x x =-+，判断函数()F x 在区间上()0,1的单调性，并给出证明；（III ）设函数()()2k g x f x x k =++，指出函数()g x 在区间()1,0-上的零点的个数，并说明理由．26．（本小题11分）已知函数()()(),,f x g x h x 的定义域均为R ，给出下面两个定义：①若存在唯一的x ∈R ，使得()()()()f g x h f x =，则称()g x 与()h x 关于()f x 唯一交换；②若对任意的x ∈R ，均有()()()()f g x h f x =，则称()g x 与()h x 关于()f x 任意交换．（I ）请判断函数()1g x x =+与()1h x x =-关于()2f x x =是唯一交换还是任意交换，并说明理由；（II ）设()()()22()20,1f x a x a g x x bx =+≠=+-，若存在函数()h x ，使得()g x 与()h x 关于()f x 任意交换，求b 的值；（III ）在（II ）的条件下，若()g x 与()f x 关于()11x x e x e ω-=+唯一交换，求a 的值．。
2019年人教版高中数学必修三综合测试题(含答案)
必修3综合模拟测试卷A（含答案）一、选择题：（本题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1、用冒泡排序算法对无序列数据进行从小到大排序，则最先沉到最右边的数是A、最大数B、最小数C、既不最大也不最小D、不确定2、甲、乙、丙三名同学站成一排，甲站在中间的概率是A、16B、12C、13D、233、某单位有老年人28 人，中年人54人，青年人81人，为了调查他们的身体状况的某项指标，需从他们中间抽取一个容量为36样本，则老年人、中年人、青年人分别各抽取的人数是A、6，12，18B、7，11，19C、6，13，17D、7，12，174、甲、乙两位同学都参加了由学校举办的篮球比赛，它们都参加了全部的7场比赛，平均得分均为16分，标准差分别为5.09和3.72，则甲、乙两同学在这次篮球比赛活动中，发挥得更稳定的是A、甲B、乙C、甲、乙相同D、不能确定5、从1，2，3，4这4个数中，不放回地任意取两个数，两个数都是偶数的概率是A、16B、C、13D、6、如图，是由一个圆、一个三角形和一个长方形构成的组合体，现用红、蓝两种颜色为其涂色，每个图形只能涂一种颜色，则三个形状颜色不全相同的概率为A 、34B 、38C 、14D 、187、阅读下列程序：输入x ；if x ＜0， then y ：＝32x π+；else if x ＞0， then y ：＝52x π-+；else y ：＝0； 输出 y ．如果输入x ＝－2，则输出结果y 为A 、3＋πB 、3－πC 、π－5D 、－π－5 8、一射手对同一目标独立地进行4次射击，已知至少命中一次的概率为8180，则此射手的命中率是 A 、31 B 、32 C 、41 D 、529、根据下面的基本语句可知，输出的结果T 为 i:=1; T:=1;For i:=1 to 10 do; Begin T:=T+1;End 输出T开始 S ：＝0 i ：＝3 i ：＝i ＋1S ：＝S ＋ii ＞5 输出S结束是 否A 、10B 、11C 、55D 、56 10、在如图所示的算法流程图中，输出S 的值为 A 、11 B 、12 C 、13 D 、15二、填空题：（本题共4小题，每小题5分，共20分，请把答案填写在答题纸上） 11、一个容量为20的样本数据,分组后，组距与频数如下：(]10,20，2；(]20,30， 3；(]30,40，4；(]40,50，5；(]50,60，4 ；(]60,70，2。
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必修三期末测试题
考试时间：90分钟 试卷满分：100分
一、选择题：本大题共14小题，每小题4分，共56分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的．
1．如果输入n ＝3，那么执行右图中算法的结果是( ). A ．输出3 B ．输出4 C ．输出5
D ．程序出错，输不出任何结果
2．一个容量为 1 000的样本分成若干组，已知某组的频率为0.4，则该组的频数是( ).
A ．400
B ．40
C ．4
D ．600
3．从1，2，3，4这4个数中，不放回地任意取两个数，两个数都是奇数的概率是( ). A ．
6
1
B ．
4
1
C ．3
1
D ．
2
1 4．用样本估计总体，下列说法正确的是( ). A ．样本的结果就是总体的结果 B ．样本容量越大，估计就越精确
C ．样本的标准差可以近似地反映总体的平均状态
D ．数据的方差越大，说明数据越稳定 5．把11化为二进制数为( ). A ．1 011(2)
B ．11 011(2)
C ．10 110(2)
D ．0 110(2)
6．已知x 可以在区间[－t ，4t ](t ＞0)上任意取值，则x ∈[－2
1
t ，t ]的概率是( ). A ．
6
1
B ．103
C ．3
1
D ．
2
1 7．执行右图中的程序，如果输出的结果是4，那么输入的只可能是( ).
第一步，输入n ． 第二步，n ＝n ＋1． 第三步，n ＝n ＋1． 第四步，输出n ．
A．4
B．2
C．±2或者－4 D．2或者－4
8．右图是根据某赛季甲、乙两名篮球运动员每场比赛得
分情况画出的茎叶图．从这个茎叶图可以看出甲、乙两名运动
员得分的中位数分别是( ).
A．31，26
B．36，23
C．36，26
D．31，23
9．按照程序框图(如右图)执行，第3个输出的数是( ).
A．3
B．4
C．5
D．6
10．在下列各图中，两个变量具有线性相关关系的图是( ).
(1)(2)(3)(4)
A．(1)(2) B．(1)(3) C．(2)(4) D．(2)(3) 11．右图执行的程序的功能是( ).
A．求两个正整数的最大公约数
B．求两个正整数的最大值
C．求两个正整数的最小值
D．求圆周率的不足近似值
12．已知n 次多项式f (x )＝a n x n
＋a n －1x
n －1
＋…＋a 1x ＋a 0，用秦九韶算法求当x ＝x 0时f (x 0)
的值，需要进行的乘法运算、加法运算的次数依次是( ).
A ．n ，n
B ．2n ，n
C ．
2
1＋)
(n n ，n D ．n ＋1，n ＋1
13．有一位同学家开了一个小卖部，他为了研究气温对热饮销售的影响，经过统计得到了一天所卖的热饮杯数(y )与当天气温(x ℃)之间的线性关系，其回归方程为y
ˆ＝－2.35x ＋147.77．如果某天气温为2℃时，则该小卖部大约能卖出热饮的杯数是( ).
A ．140
B ．143
C ．152
D ．156
14．若以连续掷两次骰子分别得到的点数m ，n 作为点P 的坐标，求点P 落在圆x 2
＋y 2
＝16外部的概率是( ).
A ．
9
5
B ．
3
2
C ．
9
7
D ．
9
8 二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分．把答案填在题中横线上． 15．假设要抽查某种品牌的850颗种子的发芽率，抽取60粒进行实验．利用随机数表抽取种子时，先将850颗种子按001，002，…，850进行编号，如果从随机数表第8行第7列的数7开始向右读，请你依次写出最先检测的4颗种子的编号 ， ， ， ．
(下面摘取了随机数表第7行至第9行)
84 42 17 53 31 57 24 55 06 88 77 04 74 47 67 21 76 33 50 25 83 92 12 06 76 63 01 63 78 59 16 95 55 67 19 98 10 50 71 75 12 86 73 58 07 44 39 52 38 79 33 21 12 34 29 78 64 56 07 82 52 42 07 44 38 15 51 00 13 42 99 66 02 79 54 16．由经验得知，在某商场付款处排队等候付款的人数及其概率如下：
则排队人数为2或3人的概率为 ．
17．一个社会调查机构就某地居民的月收入调查了10 000人，并根据所得数据画了样 本的频率分布直方图(如下图)．为了分析居民的收入与年龄、学历、职业等方面的关系，要从这10 000人中再用分层抽样方法抽出80人作进一步调查，则在[1 500，2 000)(元)月收入段应抽出 人．
18．已知数列{a n }，a 1＝1，a n ＋1＝a n －n ，计算数列{a n }的第20项．现已给出该问题算法的程序框图(如图所示)．
为使之能完成上述的算法功能，则在右图判断框中(A)处应填上合适的语句是 ；在处理框中(B)处应填上合适的语句是 ．
三、解答题：本大题共3小题，共28分． 解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 19．(本小题满分8分)
从甲、乙两名学生中选拔一人参加射箭比赛，为此需要对他们的射箭水平进行测试．现这两名学生在相同条件下各射箭10次，命中的环数如下：
甲 8 9 7 9 7 6 10 10 8 6 乙
10
9
8
6
8
7
9
7
8
8
(1)计算甲、乙两人射箭命中环数的平均数和标准差； (2)比较两个人的成绩，然后决定选择哪名学生参加射箭比赛．
0.000 1
0.000 2 0.000 3 0.000 4 0.000 5 1 000 1 500 2 000 2 500 3 000 3 500 4 000 月收入/元
频率 组距
20．(本小题满分10分)
按右图所示的程序框图操作：
(1)写出输出的数所组成的数集．若将输出的数按照输出
的顺序从前往后依次排列，则得到数列{a n}，请写出数列{a n}
的通项公式；
(2)如何变更A框内的赋值语句，使得根据这个程序框图
所输出的数恰好是数列{2n}的前7项？
(3)如何变更B框内的赋值语句，使得根据这个程序框图
所输出的数恰好是数列{3n－2}的前7项？
21．(本小题满分10分)
在甲、乙两个盒子中分别装有标号为1、2、3、4的四个球，现从甲、乙两个盒子中各取出1个球，每个球被取出的可能性相等．
(1)求取出的两个球上标号为相同数字的概率；
(2)求取出的两个球上标号之积能被3整除的概率．
期末测试题
参考答案
一、选择题： 1．C 2．A
3．A
4．B
5．A
6．B
7．B
8．C
9．C
10．D 11．A 12．A 13．B 14．C 解析：
7．解：如x ≥0，则x 2
＝4，得x ＝2；；
如x ＜0，则由y ＝x ，不能输出正值，所以无解．故选B ． 14．解：点P (m ，n )的坐标的所有可能有6×6＝36种， 而点P 在圆x 2
＋y 2
＝16内部只有8种，即
⎩⎨⎧ ⎩⎨⎧ ⎩⎨⎧ ⎩⎨⎧ ⎩⎨⎧ ⎩⎨⎧ ⎩⎨⎧ ⎩⎨⎧ ， 故点P 在圆x 2＋y 2
＝16内部概率为92，而点P 落在该圆外部的概率为9
7． 二、填空题：
15． 785，567，199，810． 16． 0.6．
17． 16．
18．n ≤19?(或n ＜20?)；S ＝S －n ．
三、解答题：
19．解：(1)计算得甲x ＝8，乙x ＝8； s 甲≈1.41，s 乙≈1.10．
(2)由(1)可知，甲、乙两名学生射箭命中环数的平均数相等，但s 乙＜s 甲，这表明乙的成绩比甲更稳定一些． 从成绩的稳定性考虑，选择乙参赛更合适．
20．解：(1)输出的数组成的集合为{1，3，5，7，9，11，13}； 数列{a n }的通项公式为a n ＝2n －1，n ∈N *且n ≤7．
(2)将A 框内的语句改为“a ＝2”即可． (3)将B 框内的语句改为“a ＝a ＋3”即可．
m ＝1 n ＝3 m ＝1 n ＝1 m ＝1 n ＝2 m ＝2 n ＝1 m ＝2 n ＝2 m ＝2 n ＝3 m ＝3 n ＝1 m ＝3
n ＝2
21．解：设从甲、乙两个盒子中各取1个球，其数字分别为x ，y ， 用(x ，y )表示抽取结果，则所有可能的结果有16种，即
(1，1)，(1，2)，(1，3)，(1，4)，(2，1)，(2，2)，(2，3)，(2，4)， (3，1)，(3，2)，(3，3)，(3，4)，(4，1)，(4，2)，(4，3)，(4，4). (1)设“取出的两个球上的标号相同”为事件A ， 则A ＝{(1，1)，(2，2)，(3，3)，(4，4)}． 事件A 由4个基本事件组成，故所求概率P (A )＝164＝4
1． 答：取出的两个球上的标号为相同数字的概率为
4
1． (2)设“取出的两个球上标号的数字之积能被3整除”为事件B ， 则B ＝{(1，3)，(3，1)，(2，3)，(3，2)，(3，3)，(3，4)，(4，3)} 事件B 由7个基本事件组成，故所求概率P (A )＝
167． 答：取出的两个球上标号之积能被3整除的概率为
16
7．。