高中数学必修3(人教版)测试题与答案详解
高中人教版数学必修3课本练习-习题参考答案
高中数学必修③课本练习,习题参考答案第一章算法初步1.1算法与程序框图1.1.1算法的概念（p5)1. 解；第一步：输入任意正实数r，第二步：计算第三步：输出圆的面积S2. 解；第一步：给定一个大于l的正整数；第二步：令；第三步：用除，得到余数；第四步：判断“”是否成立，若成立，则i是n的因数；否则，i不是n的因数；第五步：使的值增加l，仍用表示，即令；第六步，判断“”是否成立．若是，则结束算法；否则，返回第三步1.1.2程序框图与算法的基本逻辑（P19）1.解；算法步骤：第一步，给定精确地d，令i=1第二步，取出的到小数点后第i位的不足近似值，记为a；取出的到小数点后第i位的过剩近似值，记为b,第三步，计算第四步，若m<d，则执行第五步；否则，将i的值增加1，返回第二步.第五步，输出程序框图如下图所示：1.1算法与程序框图（P20）解； 题目：在国内寄平信（外埠），每封信的质量x （克）不超过60克时的邮费（单位：分）标准为，试写出计算邮费的算法并画出程序框图。
算法如下：第一步，输入质量数x 。
第二步，判断是否成立，若是，则输出y=120，否则执行第三步。
第三步，判断是否成立，若是，则输出y=240，否则，输出y=360，算法结束。
程序框图如下图所示：（注释：条件结构）2.解：算法如下：第一步，i=1,S=0.第二步，判断是否成立，若成立，则执行第三步，否则，执行第四步。
第三步，，i=i+1，返回第二步。
第四步，输出S.程序框图如下图所示：（注释：循环结构）3. 解：算法如下：第一步，输入人数x，设收取的卫生费为y元。
第二步，判断x>3是否成立，若不成立，y=5，输出y；否则，输出y.程序框图如下图所示：（注释：条件结构）1. 解：分析：我们设计对于一般的二元一次方程组（其中）的通用算法：第一步,,得（即） (3)第二步，解（3），得 (4)第三步，将（4）代入（1），得，因此，只要输入相应的未知数的系数和常数项，就能计算出方程组的解，即可以输出x、y的值，用顺序结构即可。
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19.（12 分）你有一箱牛奶内装 6 盒，如果其中有 2 盒已经过期，问你从中随机拿出 2 盒， 拿到过期牛奶的概率有多大？ 0.6 20.（12 分）如图是某市抽取的 100 户居民月使用水量（单位顿）的频率分布直方图，各 组频率分别是 0.04,0.08,0.15，0.22,0.25,0.14,0.06,0.04,0.02。
是否使用共享单车作为交通工具，调查的结果如表所示，则该小区居民交通工具为共享单
车的人数为 9500
．
第 II 卷（非选择题）
3、解答题（70 分）
17. （10 分）甲乙两台机床同时生产一种零件，10 天中，两台机床每天生产的次品数分别 是：
甲0 1 乙2 3
02 11
20 3 1 2 4 02 1 1 0 1
相同，现从中随机取 2 个小球，则取出的小球标注的数字之和为 3 或 6 的概率是（ B ）
1
A.
B. 3
1
C.
1
D.
12
10
5
10
6. 高三毕业时，甲、乙、丙、丁四位同学站成一排照相留念，则甲丙相邻的概率为（ A ）
1
1
A．
B．
2
3
2
C．
3
1
D．
4
7. 将 x 2005 输入如下图所示的程序框图得结果（ A ）
一、单选题（60 分）
第 I 卷（选择题）
1. 某班级有50 名学生，其中有30 名男生和20 名女生，随机询问了该班五名男生和五名 女生在某次数学测验中的成绩，五名男生的成绩分别为116 ， 124 ， 118 ， 122 ， 120 ，五名女生的成绩分别为118 ， 123 ， 123 ， 118 ， 123 ，下列说法一定正确的
高中数学必修三答案
高中数学必修三答案【篇一：高一数学必修3测试题及答案】ass=txt>数学第一章测试题一．选择题1.下面的结论正确的是（）a．一个程序的算法步骤是可逆的b、一个算法可以无止境地运算下去的 c、完成一件事情的算法有且只有一种 d、设计算法要本着简单方便的原则 2、早上从起床到出门需要洗脸刷牙(5 min)、刷水壶(2 min)、烧水(8 min)、泡面(3 min)、吃饭(10 min)、听广播(8 min)几个步骤、从下列选项中选最好的一种算法 ( )a、 s1 洗脸刷牙、s2刷水壶、s3 烧水、s4 泡面、s5 吃饭、s6 听广播 b、 s1刷水壶、s2烧水同时洗脸刷牙、s3泡面、s4吃饭、s5听广播 c、 s1刷水壶、s2烧水同时洗脸刷牙、s3泡面、s4吃饭同时听广播 d、 s1吃饭同时听广播、s2泡面、s3烧水同时洗脸刷牙、s4刷水壶 3．算法 s1 m=as2 若bm，则m=b s3 若cm，则m=c s4 若dm，则 m=ds5 输出m，则输出m表示 ( ) a．a，b，c，d中最大值b．a，b，c，d中最小值c．将a，b，c，d由小到大排序d．将a，b，c，d由大到小排序 4.右图输出的是a．2005 b．65 c．64d．635、下列给出的赋值语句中正确的是( )a. 5 = mb. x =－x （第4题）c. b=a=3d. x +y = 06、下列选项那个是正确的（）a、input a;bb. input b=3 c. print y=2*x+1d. print 7、以下给出的各数中不可能是八进制数的是（） a.123 b.10 110 c.4724 d.7 8578、如果右边程序执行后输出的结果是990，那么在程序until后面的“条件”应为（） a.i 10 b. i 8 c. i =9 d.i9 9．读程序甲： i=1 乙：i=1000s=0 s=0 while i=1000 do s=s+i s=s+i i=i+l i=i一1 wend loop until i1 print s prints4*xend end对甲乙两程序和输出结果判断正确的是( )a．程序不同结果不同b．程序不同，结果相同c．程序相同结果不同d．程序相同，结果相同10．在上题条件下，假定能将甲、乙两程序“定格”在i=500，即能输出i=500 时一个值，则输出结果（）a．甲大乙小 b．甲乙相同 c．甲小乙大 d．不能判断二.填空题.11、有如下程序框图（如右图所示），则该程序框图表示的算法的功能是第（第11题）( 第12题)12、上面是求解一元二次方程ax?bx?c?0(a?0)的流程图，根据题意填写：（1）；（2）；（3）。
新人教版高中数学必修3全册同步测试题及解析答案.doc
新人教版高中数学必修3 全册同步测试题及解析答案篇一:高一数学必修3全册各章节课堂同步习题（详解答案）第一章算法初步1.1算法与程序框图1.1.1算法的概念班次姓名［自我认知］:1.下面的结论正确的是（）.A.一个程序的算法步骤是可逆的B. 一个算法可以无止境地运算下去的C.完成一件事情的算法有且只有一种D. 设计算法要本着简单方便的原则2.下面对算法描述正确的一项是（）. A.算法只能用自然语言来描述B.算法只能用图形方式来表示C.同一问题可以有不同的算法D.同一问题的算法不同，结果必然不同3.下面哪个不是算法的特征（）A.抽象性B.精确性C. 有穷性D.唯一性4.算法的有穷性是指（）A.算法必须包含输出B.算法中每个操作步骤都是可执行的C.算法的步骤必须有限D.以上说法均不正确5.早上从起床到出门需要洗脸刷牙(5min)、刷水壶(2min)、烧水(8min)、泡面(3min)、吃饭(lOmin)、听广播(8min)几个步骤，从下列选项中选最好的一种算法()A.S1洗脸刷牙、S2 刷水壶、S3烧水、S4泡面、S5吃饭、S6听广播 B.S1刷水壶、S2烧水同时洗脸刷牙、S3泡面、S4吃饭、S5听广播 C. S1刷水壶、S2烧水同时洗脸刷牙、S3泡面、S4吃饭同时听广播D.S1吃饭同时听广播、S2泡面；S3烧水同时洗脸刷牙；S4刷水壶6.看下面的四段话，其中不是解决问题的算法是()A.从济南到北京旅游，先坐火车,再坐飞机抵达B.解一元一次方程的步骤是去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1C.方程x2?l?0有两个实根D.求1+2+3+4+5的值，先计算1+2=3,再计算3+3=6,6+4=10,10+5=15,最终结果为15 7.已知直角三角形两直角边长为a,b,求斜边长c的一个算法分下列三步：①计算c?a,b的值；③输出斜边长c的值，其中正确的顺序是()A.①②③B.②③①C.①③②D.②①③［课后练习］:8.若f?x?在区间?a,b?内单调，且f?a??f?b??O,则f?x?在区间?a,b?内()A.至多有一个根B.至少有一个根C.恰好有一个根D.不确定9.已知一个学生的语文成绩为89,数学成绩为96,外语成绩为99.求他的总分和平均成绩的一个算法为：第一步：取A=89 ,B=96 ,C=99；第二步：①；第三步：②;第四步：输出计算的结果.10.写出求1+2+3+4+5+6+7+100的一个算法.可运用公式l+2+3+?+n= 第一步①；第二步②;第三步输出计算的结果.11.写出Ix2x3x4x5x6的一个算法.12.写出按从小到大的顺序重新排列x,y,z三个数值的算法. n（n?l）直接计算.21.1. 2程序框图［自我认知］:1 •算法的三种基本结构是（）A.顺序结构、条件结构、循环结构B.顺序结构、流程结构、循环结构C.顺序结构、分支结构、流程结构D .流程结构、循环结构、分支结构2 .程序框图中表示判断框的是（）A.矩形框B.菱形框D.圆形框D.椭圆形框3.如图⑴、（2）,它们都表示的是输出所有立方小于1000的正整数的程序框图，那么应分别补充的条件为（）（1）33(2)3A.⑴n>1000 ? (2)n<1000 ?B.⑴n<1000 ?⑵n>1000 ?C.(Dn<1000?⑵n>1000 ?D. (l)n<1000 ?(2)n<1000?4.算法共有三种逻辑结构，即顺序逻辑结构,条件逻辑结构和循环逻辑结构，下列说法正确的是()A.—个算法只能含有一种逻辑结构B.一个算法最多可以包含两种逻辑结构C. 一个算法必须含有上述三种逻辑结构D.—个算法可以含有上述三种逻辑结构的任意组合［课后练习］:5.给出以下一个算法的程序框图(如下图所示)，该程序框图的功能是()A.求输出a,b,c三数的最大数B.求输出a,b,c三数的最小数3333C.将a,b,c按从小到大排列D.将a,b,c按从大到小排列第5题图第6题图6.右边的程序框图（如上图所示），能判断任意输入的数x 的奇偶性：其中判断框内的条件是A.m?O?B.x?O ?C.x?l ?D.m?l?7.在算法的逻辑结构中，要求进行逻辑判断，并根据结果进行不同处理的是哪种结构（）A.顺序结构B.条件结构和循环结构C.顺序结构和条件结构D.没有任何结构?x2?l（x?0）8.已知函数f?x???，设计一个求函数值的算法，并画出其程序框图（x?0）?2x?l1.1.2程序框图（第二课时）［课后练习］:班次姓名1 . 如图⑴的算法的功能是.输出结果i=,i+2=.2.如图⑵程序框图箭头a指向①处时，输出s=.箭头a指向②处时，输出s=.3.如图⑷所示程序的输出结果为s=132,则判断中应填A、i>10? B、i>ll? C、i<ll?D、i>12? 4.如图⑶程序框图箭头b指向①处时，输出s=.箭头b指向②处时, 输出S= _________5、如图⑸是为求1-1000的所有偶数的和而设计的一个程序空白框图，将空白处补上。
(典型题)高中数学必修三第三章《概率》测试题(包含答案解析)(1)
一、选择题1．第24届国际数学大会会标是以我国古代数学家赵爽的弦图为基础进行设计的.如图，会标是由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的一个大正方形.设直角三角形的一个锐角为θ，且πsin 2sin 52θθ⎛⎫++= ⎪⎝⎭.若在大正方形内随机取一点，则该点取自小正方形区域的概率为（ ）.A ．14B ．15C ．25D ．352．“哥德巴赫猜想”是近代三大数学难题之一，其内容是：一个大于2的偶数都可以写成两个质数(素数)之和，也就是我们所谓的“1+1”问题.它是1742年由数学家哥德巴赫提出的，我国数学家潘承洞、王元、陈景润等在哥德巴赫猜想的证明中做出相当好的成绩.若将6拆成两个正整数的和，则拆成的和式中，加数全部为质数的概率为（ ） A ．15B ．13C ．35D ．233．将一枚质地均匀的硬币连掷三次，设事件A ：恰有1次正面向上；事件B ：恰有2次正面向上，则()P A B +=（ ） A ．23B ．14C ．38D ．344．若数列{a n }满足a 1＝1，a 2＝1，a n +2＝a n +a n +1，则称数列{a n }为斐波那契数列，斐波那契螺旋线是根据斐波那契数列画出来的螺旋曲线，自然界中存在许多斐波那契螺旋线的图案，是自然界最完美的经典黄金比例.作图规则是在以斐波那契数为边的正方形拼成的长方形中画一个圆心角为90°的扇形，连起来的弧线就是斐波那契螺旋线，如图所示的7个正方形的边长分别为a 1，a 2，…，a 7，在长方形ABCD 内任取一点，则该点不在任何一个扇形内的概率为（ ）A ．1103156π-B ．14π-C ．17126π-D ．681237π-5．类比“赵爽弦图”，可类似地构造如图所示的图形，它是由3个全等的三角形与中间的一个小等边三角形拼成的一个大等边三角形，设2AD BD =，若在大等边三角形中随机取一点，则此点取自小等边三角形的概率是（ ）A ．14B ．13C ．17D ．4136．甲乙两艘轮船都要在某个泊位停靠，甲停靠的时间为4小时，乙停靠的时间为6小时，假定他们在一昼夜的时间段中随机到达，则这两艘船停靠泊位时都不需要等待的概率为（ ）A ．916B ．58C ．181288D ．5127．某研究机构在对具有线性相关的两个变量x 和y 进行统计分析时，得到如下数据：x 4 6 8 10 12 y12356由表中数据求得y 关于的回归方程为，则在这些样本点中任取一点，该点落在回归直线下方的概率为（ ） A ．25B ．35 C ．34D ．128．从含有2件正品和1件次品的产品中任取2件，恰有1件次品的概率是（ ） A ．16B ．13C ．12D ．239．从分别写有1，2，3，4的4张卡片中随机抽取1张，放回后再随机抽取1张，则抽得的第一张卡片上的数不小于第二张卡片上的数的概率为 A ．25B ．35C ．38D ．5810．圆周率π是一个在数学及物理学中普遍存在的数学常数，它既常用又神秘，古今中外很多数学家曾研究它的计算方法.下面做一个游戏：让大家各自随意写下两个小于1的正数然后请他们各自检查一下，所得的两数与1是否能构成一个锐角三角形的三边，最后把结论告诉你，只需将每个人的结论记录下来就能算出圆周率的近似值.假设有n 个人说“能”，而有m 个人说“不能”，那么应用你学过的知识可算得圆周率π的近似值为（） A ．mm n+ B ．nm n+ C ．4mm n+ D ．4nm n+11．如图所示的图形中，每个三角形上各有一个数字，若六个三角形上的数字之和为26，则称该图形是“和谐图形”.已知其中四个三角形上的数字之和为20，现从1、2、3、4、5中任取两个数字标在另外两个三角形上，则恰好使该图形为“和谐图形”的概率为（ ）A ．310B ．15C ．110D ．32012．勒洛三角形是具有类似圆的“定宽性”的面积最小的曲线，它由德国机械工程专家，机构运动学家勒洛首先发现，其作法是：以等边三角形每个顶点为圆心，以边长为半径，在另两个顶点间作一段弧，三段弧围成的曲边三角形就是勒洛三角形，现在勒洛三角形中随机取一点，则此点取自正三角形外的概率为（ ）A ()3323π- B ()323π-C ()323π+ D ()23323ππ-+二、填空题13．辛普森悖论(Simpson’sParadox)有人译为辛普森诡论，在统计学中亦有人称为“逆论”，甚至有人视之为“魔术”.辛普森悖论为英国统计学家E .H .辛普森(E.H.Simpson)于1951年提出的，辛普森悖论的内容大意是“在某个条件下的两组数据，分别讨论时都会满足某种性质，可是一旦合并考虑，却可能导致相反的结论.”下面这个案例可以让我们感受到这个悖论：关于某高校法学院和商学院新学期已完成的招生情况，现有如下数据： 某高校申请人数性别 录取率 法学院200人男50%女 70% 商学院300人男60% 女90% ①法学院的录取率小于商学院的录取率；②这两个学院所有男生的录取率小于这两个学院所有女生的录取率； ③这两个学院所有男生的录取率不一定小于这两个学院所有女生的录取率； ④法学院的录取率不一定小于这两个学院所有学生的录取率. 其中，所有正确结论的序号是___________.14．住在同一城市的甲、乙两位合伙人,约定在当天下午4.00-5：00间在某个咖啡馆相见商谈合作事宜，他们约好当其中一人先到后最多等对方10分钟,若等不到则可以离去,则这两人能相见的概率为__________．15．一个多面体的直观图和三视图所示，M 是AB 的中点，一只蝴蝶在几何体ADF BCE -内自由飞翔，由它飞入几何体F AMCD -内的概率为______．16．乒乓球赛规定：一局比赛，双方比分在10平前，一方连续发球2次后，对方再连续发球2次，依次轮换，每次发球，胜方得1分，负方得0分．设在甲、乙的比赛中，每次发球，甲发球得1分的概率为35，乙发球得1分的概率为23，各次发球的胜负结果相互独立，甲、乙的一局比赛中，甲先发球.则开始第4次发球时，甲、乙的比分为1比2的概率为________.17．若某学校要从5名男同学和2名女同学中选出3人参加社会考察活动，则选出的同学中男女生均不少于1名的概率是_____.18．在区间[-1,2]上随机取一个数x,则x ∈[0,1]的概率为 .19．设{}{}1,3,5,7,2,4,6a b ∈∈，则函数()log a bf x x =是增函数的概率为__________．20．在边长为2的正△ABC 所在平面内，以A 3AB ，AC 于D ，E.若在△ABC 内任丢一粒豆子，则豆子落在扇形ADE 内的概率是________．三、解答题21．某中学刚搬迁到新校区，学校考虑，若非住校生上学路上单程所需时间人均超过20分钟，则学校推迟5分钟上课.为此，校方随机抽取100个非住校生，调查其上学路上单程所需时间（单位：分钟），根据所得数据绘制成如下频率分布直方图，其中时间分组为[)0,10，[)10,20，[)20,30，[)30,40，[]40,50.（1）求频率分布直方图中a的值；（2）从统计学的角度说明学校是否需要推迟5分钟上课；（3）若从样本单程时间不小于30分钟的学生中，随机抽取2人，求这两个学生的单程时30,40上的概率.间均落在[)22．甲、乙两家商场对同一种商品开展促销活动，对购买该商品的顾客两家商场的奖励方案如下：甲商场：顾客转动如图所示圆盘，当指针指向阴影部分(图中四个阴影部分均为扇形，且每个扇形圆心角均为15︒，边界忽略不计)即为中奖.乙商场：从装有3个白球3个红球的盒子中一次性摸出2个球(球除颜色外不加区分)，如果摸到的是2个红球，即为中奖.问：购买该商品的顾客在哪家商场中奖的可能性大？23．某超市为了解顾客的购物量及结算时间等信息，安排一名员工随机收集了在该超市购物的100位顾客的相关数据，如下表所示.已知这100位顾客中一次购物量超过10件的顾客占40%.一次购物量1至5件6至10件11至15件16至20件21件及以上顾客数(人)x3025y5结算时间(分钟/人)12345（1）确定,x y的值，并估计顾客一次购物的结算时间的平均值；（2）求一位顾客一次购物的结算时间不超过3分钟的概率.(将频率视为概率)24．安庆市某中学教研室从高二年级随机抽取了50名学生的十月份语文成绩（满分100分，成绩均为不低于40分的整数），得到如图所示的频率分布直方图.（1）若该校高二年级共有学生1000人，试估计十月份月考语文成绩不低于60分的人数； （2）为提高学生学习语文的兴趣，学校决定在随机抽取的50名学生中成立“二帮一”小组，即从成绩[]90,100中选两位同学，共同帮助[)40,50中的某一位同学.已知甲同学的成绩为42分，乙同学的成绩为95分，求甲乙恰好被安排在同一小组的概率.25．手机运动计步已经成为一种新时尚.某单位统计了职工一天行走步数（单位：百步），绘制出如下频率分布直方图：（1）求直方图中a 的值，并由频率分布直方图估计该单位职工一天步行数的中位数； （2）若该单位有职工200人，试估计职工一天行走步数不大于13000的人数； （3）在（2）的条件下，该单位从行走步数大于15000的3组职工中用分层抽样的方法选取6人参加远足拉练活动，再从6人中选取2人担任领队，求这两人均来自区间150,(170]的概率.26．已知集合{(,)|[0,2],[1,1]}M x y x y =∈∈-. （1）若,x y Z ∈，求0x y +≥的概率； （2）若,x y R ∈，求0x y +≥的概率.【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题1．B 解析：B 【分析】根据πsin 2sin 52θθ⎛⎫++= ⎪⎝⎭，可以求得sin()1θϕ+=，tan 2ϕ=，求出小正方形的边长和直角三角形两直角边的长，进而得到大正方形的边长，然后根据几何概型概率公式求解即可． 【详解】 由πsin 2sin 52θθ⎛⎫++= ⎪⎝⎭可得sin 2cos 5θθ+=， 即5sin()5θϕ+=，即sin()1θϕ+=，且tan 2ϕ=，所以2πθϕ+=，所以直角三角形较大的锐角为ϕ，较小的锐角为θ，如图，设小正方形的边长为a ，直角三角形较大的锐角为θ、较大的锐角为为ϕ， 较小的直角的边长b ，则直角三角形较大的直角边长为+a b ，∵tan 2a bbϕ+==， ∴a b =，∴22(2)5a a a +=， 由几何概型概率公式可得，所求概率为2215(5)P a ==． 故选：B ． 【点睛】解答几何概型概率的关键是分清概率是属于长度型的、面积型的、还是体积型的，然后再根据题意求出表示基本事件的点构成的线段的长度（或区域的面积、空间几何体的体积），最后根据公式计算即可．2．A解析：A 【分析】列出所有可以表示成和为6的正整数式子，找到加数全部为质数的只有336+=，利用古典概型求解即可. 【详解】6拆成两个正整数的和含有的基本事件有:(1,5),(2,4),(3,3), (4,2),(5,1), 而加数全为质数的有(3,3), 根据古典概型知，所求概率为15P =. 故选：A. 【点睛】本题主要考查了古典概型，基本事件，属于容易题.3．D解析：D 【分析】根据题意，列举出所有的基本事件，再分别找出满足事件A 与事件B 的事件个数，分别求出其概率，最后再相加即可. 【详解】根据题意，将一枚质地均匀的硬币连掷三次，可能出现的情况有以下8种：（正正正），（正正反），（正反正），（正反反），（反正正），（反正反），（反反正），（反反反）.满足事件A ：恰有1次正面向上的基本事件有（正反反），（反正反），（反反正）三种，故3()8P A =；满足事件B ：恰有2次正面向上的基本事件有（正正反），（正反正），（反正正）三种，故3()8P B =；因此，3()()()4P A B P A P B +=+=. 故选：D. 【点睛】本题主要考查利用列举法计算基本事件的个数以及求解事件发生的概率.4．D解析：D 【分析】由题意求得数列{}n a 的前8项，求得长方形ABCD 的面积，再求出6个扇形的面积和，由测度比是面积比得答案． 【详解】由题意可得，数列{}n a 的前8项依次为：1，1，2，3，5，8，13，21．∴长方形ABCD 的面积为1321273⨯=．6个扇形的面积之和为222222(1235813)684ππ+++++=．∴所求概率681273P π=-．故选：D ． 【点睛】本题考查几何概型概率的求法，考查扇形面积公式的应用，是基础题．5．C解析：C 【分析】由题意求出AB =，所求概率即为DEF ABCS P S=，即可得解.【详解】由题意易知120ADB ∠=，AF FD BD ==，由余弦定理得22222cos1207AB AD BD AD BD BD =+-⋅⋅=即AB =，所以AB =，则所求概率为217DEF ABCSFD P SAB ⎛⎫=== ⎪⎝⎭. 故选：C. 【点睛】本题考查了几何概型概率的求法和余弦定理的应用，属于中档题.6．C解析：C 【分析】设甲、乙到达的时间分别为,x y ，列出所有基本事件的约束条件，同时列出两艘船停靠泊位时都不需要等待的约束条件，利用线性规划做出平面区域，利用几何概型概率关系转化为面积比. 【详解】设甲、乙到达的时间分别为,x y ，则所有基本事件的构成的区域024{|}024x x y ≤≤⎧Ω=⎨≤≤⎩， 则这两艘船停靠泊位时都不需要等待包含的基本事件构成的区域024024{(,)|}46x y A x y y x x y ≤≤⎧⎪≤≤⎪=⎨≥+⎪⎪≥+⎩，做出Ω构成的区域，其面积为224=576，阴影部分为集合A 构成的区域，面积为221(2018)3622+=， 这两艘船停靠泊位时都不需要等待的概率362181()576288P A ==. 故选:C.【点睛】本题考查利用线性规划做出事件对应的平面区域，再利用几何概型概率公式求出事件的概率，属于中档题.7．A解析：A 【分析】求出样本点的中心，求出ˆa的值，得到回归方程得到5个点中落在回归直线下方的有(6,2)，(8,3)，共2个，求出概率即可．【详解】8x =， 3.4y =，故3.40.658ˆa=⨯+，解得： 1.8a =-， 则0.65.8ˆ1yx =-， 故5个点中落在回归直线下方的有(6,2)，(8,3)，共2个， 故所求概率是25p =， 故选：A ． 【点睛】本题考查回归方程概念、概率的计算以及样本点的中心，考查数据处理能力，是一道基础题．8．D解析：D 【分析】设正品为12,a a ，次品为b ，列出所有的基本事件，根据古典概型求解即可. 【详解】设正品为12,a a ，次品为b ,任取两件所有的基本事件为12(,)a a ，1(,)a b ，2(,)a b 共3个基本事件， 其中恰有1件次品的基本事件为1(,)a b ，2(,)a b ，共2个， 所以23P =， 故选：D 【点睛】本题主要考查了古典概型，基本事件的概念，属于容易题.9．D解析：D 【分析】直接列举出所有的抽取情况，再列举出符合题意的事件数，即可计算出概率。
6.3 二项式定理(解析版)人教版高中数学精讲精练选择性必修三
6.3二项式定理考法一二项式的展开式【例1-1】（2023上·高二课时练习）求411x ⎛⎫⎪⎝⎭+的展开式．【答案】答案见解析【解析】4123404132231404444411111C 1C 1C C 1C 1111x x x x x x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⨯+⨯+⨯+⨯+⨯ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭+⎭⎝⎝⎭⎝⎭23446411x x x x =++++．【例1-2】（2023·黑龙江）()12312C 4C 8C 2C nnn n n n -+-++-= （）.A ．1B ．－1C ．(－1)nD ．3n【答案】C【解析】原式=()()()()()()0120122222121n n nn n n n n -+-+-++-=-=-C C C C L .故选：C.【一隅三反】1．（2023·甘肃）若对x ∀∈R ，()()()()()()55432252102102521ax b x x x x x +=+-+++-+++-恒成立，其中,a b ∈R ，则a b +=（）A ．1-B ．0C ．2D ．3【答案】C【解析】由()()()()()()()543255252102102521211x x x x x x x +-+++-+++-=+-=+，得()()551ax b x +=+，所以1a b ==，2a b +=.故选：C.2．（2023·安徽安庆）如果12212C 2C 2C 2187n n n n n ++++= ，则22223C C C n +++=.【答案】56【解析】依题意，1220012212C 2C 2C 2C 2C 2C 2C n n n n n n n n n n n+++++++=+ ()1232187nn =+==，解得7n =，222322237337C C C C C C =++++++ 32232224475567C C C C C C C =+++=+++ 322323667778C C C C C C 87656321⨯⨯=====⨯⨯+++.故答案为：563．（2023·高二课时练习）（1）求4⎛⎫ ⎪⎝⎭的展开式（2）求()()55211x x x -++的展开式；（3）化简()()()()()5432151********x x x x x -+-+-+-+-．【答案】（1）221218110854x x x x-+-+（2）答案见解析；（3）51x -【解析】（1）()4442131x x ⎛⎫⎫==- ⎪⎪⎝⎭⎭()()()()()()()()432234012344444421C 3C 31C 31C 31C 1x x x x x⎡⎤=+⋅-+⋅-+⋅-+-⎣⎦()432218110854121x x x x x=-+-+221218110854x x x x =-+-+.（2）()()()5555223(1)1(1)11x x x x x x x -++-++⎦=⎣-⎡⎤=()()()()()123405314323332341355555C 1C 1C 1C 1C 1x x x x x =⨯⨯⨯+⨯+⨯-+-+---()55035C 1x+⨯-3691215151010 5x x x x x =-+-+-.（3）原式0514********555555C (1)C (1)C (1)C (1)C (1)C (1)1x x x x x x =-+-+-+-+-+--55[(1)1]11x x =-+-=-.考法二二项式指定项的系数【例2-1】（2024·四川绵阳）51x ⎫-⎪⎭的展开式中，x 的系数为（）A ．5-B ．10-C ．5D ．10【答案】A【解析】51x ⎫⎪⎭的展开式的通项为53521551C (1)C rr r r r rr T x x --+⎛⎫=⋅⎭⋅-=-⋅⋅ ⎪⎝．令5312r-=，得1r =．x ∴的系数为15C 5-=-．故选：A ．【例2-2】．（2024·湖南）二项式741x ⎫-⎪⎭的展开式中常数项为（）A ．7-B ．21-C ．7D ．21【答案】A【解析】二项式741x ⎫⎪⎭的通项公式为()14147317741C C 1rrrr r rr T x x --+⎛⎫=⋅⋅-=⋅-⋅ ⎪⎝⎭，令1414013r r -=⇒=，所以常数项为()17C 17⋅-=-，故选：A 【例2-3】（2024·云南）写出623x⎛⎝展开式中的一个有理项为.【答案】12729x （答案不唯一）【解析】623x⎛⎝展开式的通项公式为所以展开式中的有理项分别为：0r =时，6121213729T x x ==；2r =时，4277363C 1215T x x ==；4r =时，2422563C 135T x x ==；6r =时，37-=T x .故答案为：12729x （四个有理项任写其一均可）.【一隅三反】1．（2024·河南）29(2x x-展开式中的常数项为（）A ．672B ．672-C ．5376-D ．5376【答案】D【解析】二项式29(2)x x -的展开式的通项218319992C )()(N 2)C (,9,r r r r r rr T r x xr x--+=-=-≤∈，令1830r -=，得6r =，所以二项展开式中的常数项为669C 2)7(536-=.故选：D2．（2024安徽）9a x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭展开式中含3x 项的系数为84-，则实数a 的值为（）A ．1-B ．2-C ．3-D ．4-【答案】A 【解析】()992199C C 0,1,2,,9rr rr r r r a T xa x r x --+⎛⎫=⋅==⋅⋅⋅ ⎪⎝⎭，令923r -=，得3r =．∴3333349C 84T a x a x ==，依题意38484a =-，∴1a =-．故选：A.3．（2023·全国·模拟预测）5的展开式中，有理项是第项．【答案】3【解析】5的展开式的通项511051362155C 3C 3kkkk k k k T x x x ---+⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⋅，其中0,1,2,3,4,5k =，当1k T +为有理项时，1056k-为整数，结合0,1,2,3,4,5k =，所以2k =，即有理项是展开式中的第3项，故答案为：3考法三两个二项式乘积的系数【例3-1】（2024·广东广州）在()()511x x +-展开式中3x 的系数为（）A ．1-B ．0C ．1D ．2【答案】B【解析】显然()()()()5551111x x x x x +-=-+-，则()51x -展开式第1r +项55155,N,5C (1)C (1)rrr rr r r T xr x r --+-∈=-≤=，当3r =时，33235C (1)10x x x ⋅-=-，当2r =时，22335C (1)10x x -=，所以展开式中含3x 的项为3310100x x -+=，即展开式中3x 的系数为0.故选：B【例3-2】（2023·全国·模拟预测）()7y m x y x ⎛⎫+- ⎪⎝⎭的展开式中34x y 的系数为105-，则实数m =（）A ．2B ．1C ．1-D ．2-【答案】D【解析】()7x y -的展开式的通项公式为()7171C r r r rr T x y -+=-，所以()61171C r r r r r y T x y x-++=-．令6314r r -=⎧⎨+=⎩，解得3r =，()7171C r r r rr mT m x y -+=⋅-．令734r r -=⎧⎨=⎩，解得4r =．由题意，可知()()()3434343777771C 1C C C 1C 105m m m -+⋅-=-+=-=-，所以2m =-．故选：D ．【一隅三反】1．（2023·湖北）若()()542x m x --的展开式中的3x 的系数为600-，则实数m =（）A ．8B ．7C ．9D ．10【答案】B【解析】由题意知，()52x -展开式的通项公式为()55C 2rr rx --，故3x 的系数为()()3232554C 2C 232040600m m ⨯---=--=-，解得7m =.故选：B ．2．（2024·广东·）()()42112x x +⋅-的展开式中3x 的系数为.【答案】40-【解析】()()42112x x +⋅-的展开式中3x 的项为：()()313213441C 2C 240x x x x ⨯-+⨯-=-，所以展开式中3x 的系数为40-.故答案为：40-3．（2024·山东滨州）()622x x y y ⎛⎫+- ⎪⎝⎭的展开式中42x y 的系数为．（用数字作答）【答案】40-【解析】()62x y -的通项公式为()()66166C 2C 2rrr r rr r r T x y x y --+=-=-，令2r =得，()22424236C 260T x y x y =-=，此时4242602120x y x y ⋅=，令3r =得，()33333346C 2160T x y x y =-=-，此时3342160160xx y x y y-⋅=-，故42x y 的系数为12016040-=-故答案为：40-考法四三项式指定项的系数【例4-1】（2023·全国·校联考模拟预测）在6221x x ⎛⎫+- ⎪⎝⎭的展开式中常数项为（）A ．721B ．-61C ．181D ．-59【答案】D【解析】6221x x ⎛⎫+- ⎪⎝⎭ =()6221x x ⎡⎤+-⎢⎥⎣⎦的展开式的通项公式为1r T +=()6622C 1rrrx x -⎛⎫+- ⎪⎝⎭=()()626C 21r r rr x x ---+，其中()66rx -+的展开式的通项公式为1k T +=66C kr kr x---，当0r =时，60r k --=，6k ∴=，常数项为()00666C C 2-；当1r =时，62r k --=，3k ∴=，常数项为()1365C C 2-；当2r =时，64r k --=，0k ∴=，常数项为()22064C C 2-；故常数项为()00666C C 2-+()1365C C 2-+()22064C C 259-=-.故选：D【例4-2】（2023·广东广州）()522x x y +-的展开式中52x y 的系数为（用数字作答）.【答案】120【解析】由于()22522x y x y x =⋅⋅，所以()522x x y +-的展开式中含52x y 的项为()()222211252532C 2C C 120x x y x y ⨯⨯-=，所以()522x x y +-的展开式中52x y 的系数为120.故答案为：120【一隅三反】1（2023上·高二课时练习）()52123x x +-的展开式中5x 的系数为．【答案】92【解析】()()()5552123113x x x x +-=-+，又()51x -展开式的通项()()5155C 1C 1,0,1,2,3,4,5rrr r r r r T x x r -+=-=-=，()513x +展开式的通项()5155C 13C 3,0,1,2,3,4,5kk k k k k k S x x k -+===，所以含5x 的项为162534435261T S T S T S T S T S T S ++⋅+⋅++则含5x 的系数()()()()()()012345055144233322411500555555555555C 1C 3C 1C 3C 1C 3C 1C 3C 1C 3C 1C 392-+-+-+-+-+-=.故答案为：92.2．（2024·福建）412x x ⎛⎫+- ⎪⎝⎭的展开式中，常数项为（）A ．72-B ．70-C ．70D ．72【答案】C【解析】方法一：8412xx ⎛⎫+-= ⎪⎝⎭展开式中，第()1r +项()84188C 1C rrrrrr r T x--+⎛==- ⎝，所以常数项为()44581C 70T =-=，方法二：441122x x x x ⎡⎤⎛⎫=- ⎪⎛⎫+-+ ⎢⎭⎝⎣⎪⎭⎥⎝⎦展开式中，第()1r +项()4141C 2rrrr T x x -+⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭，当0r =时，()4041C 2x x ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭展开式中常数项为24C 6=；当2r =时，()22241C 2x x ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭展开式中常数项为21424C C 48⨯=；当4r =时，()04441C 216x x ⎛⎫-+= ⎪⎝⎭，所以412x x ⎛⎫+- ⎪⎝⎭的展开式中，常数项为70，故选：C ．3．（2023上·河北唐山）()423a b c --的展开式中2abc 的系数为（）A ．208B ．216-C ．217D ．218-【答案】B【解析】根据二项式定理可得，()423a b c --的展开式中，含2abc 的项为()()211122432C C 2C 3216a b c abc ⋅⋅⋅-⋅⋅-=-.所以，()423a b c --的展开式中2abc 的系数为216-.故选：B.考法五（二项式）系数的最值【例5-1】（2023上·辽宁朝阳·高三建平县实验中学校联考阶段练习）在二项式612x ⎫⎪⎭的展开式中，二项式系数最大的是（）A ．第3项B ．第4项C ．第5项D ．第3项和第4项【答案】B【解析】二项式612x ⎫⎪⎭的展开式共有7项，则二项式系数最大的是第4项.故选：B.【例5-2】（2023·四川雅安）10(1)x -的展开式中，系数最小的项是（）A ．第4项B ．第5项C ．第6项D ．第7项【答案】C【解析】依题意，10(1)x -的展开通项公式为()11010C ()(1)N C 010,r r r r r r T x x r r +≤≤=-=∈-，其系数为10(1)C r r-，当r 为奇数时，10(1)C r r-才能取得最小值，又由二项式系数的性质可知，510C 是{}10C r 的最大项，所以当=5r 时，10(1)C r r-取得最小值，即第6项的系数最小.故选：C ．【一隅三反】1．（2022·重庆）（多选）若1nx x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的展开式中第3项与第8项的系数相等，则展开式中二项式系数最大的项为（）A ．第4项B ．第5项C ．第6项D ．第7项【答案】BC【解析】 1n x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的展开式的通项为211rr n r r n rr n n T C x C x x --+⎛⎫== ⎪⎝⎭，因为展开式中第3项与第8项的系数相等，∴27nnC C =，所以9n =，则91x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭展开式中二项式系数最大的项为第5项和第6项；故选：BC ．2．（2024·海南）在()1nx +的二项展开式中，系数最大的项为3x 和4x ，则展开式中含x 项的系数为．【答案】7【解析】()1C 0,1,,kn kk n T xk n -+==⋅⋅⋅，因为系数最大的项为3x和4x ，所以n 为奇数，1142n n +⎛⎫--= ⎪⎝⎭，且132n n +-=，解得7n =．所以含x 项的系数为67C 7=．故答案为：73．（2023·上海嘉定）已知6(12)x +的二项展开式中系数最大的项为．【答案】4240x 【解析】设系数最大的项为()61C 2kkk T x +=，则11661166C 2C 2C 2C 2k k k k k k k k ++--⎧⋅≥⋅⎨⋅≥⋅⎩，解得111433k ≤≤，因为06k ≤≤且k 为整数，所以4k =，此时最大的项为()44456C 2240T x x ==.故答案为：4240x 4．（2023·上海）二项式()71x -的展开式中，系数最大的项为．【答案】335x 【解析】()71x -展开式通项公式为()717C 1rr rr T x -+=-，07r ≤≤且r 为整数.要想系数最大，则r 为偶数，其中()007717C 1T x x =-=，()225537C 121T x x =-=，()44357C 135T x x 3=-=，()6677C 17T x x =-=，显然系数最大项为3535T x =.故答案为：335x 考法六（二项式）系数和--赋值法【例6-1】（2023·广东佛山）（多选）已知()()()()102108012102111x x a a x a x a x ++=+++++++ ，则下列结论正确的是（）A ．02a =B ．217a =C ．13579384a a a a a ++++=D ．0121023116144a a a a ++++= 【答案】ACD【解析】对于A ，令=1x -，则1080(12)(1)112a =-++-=+=，故A 正确；对于B ，因为108108(2)[(1)1][(1)1]x x x x ++=++++-，所以8662108C C (1)73a =+⋅-=，B 错误；对于C ，令0x =，则10011021024a a a +++== ，令2x =-，则8012102256a a a a -+-+== ，所以1357910242563842a a a a a -++++==，故C 正确；对于D ，由选项B 可知，977564110831084108C C (1)2,C C 64,C C 280a a a =+-==+⨯=-==，5342312510861087108810C C 196,C C 238,C C 112,C 146,a a a a =-==+==-==+=109101010C 10,C 1a a ====，所以01210231122237346452806196a a a a +++⋯+=+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯7238811294610101116144+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=，故D 正确.故选：ACD.【例6-2】（2023·广东佛山）（多选）若5250125(1)(1)(1)x a a x a x a x =+-+-++- ，其中(0,1,,5)i a i = 为实数，则（）A ．01a =B ．310a =C ．13516a a a ++=-D ．1251a a a +++= 【答案】AC【解析】令1x =可得01a =，A 正确.()5511x x =-+，其展开式的第三项是()()33235C 1101T x x =-=--，所以310a =-，B 不正确.令0x =可得01250a a a a ++++= ，所以1251a a a +++=- ，D 不正确.令2x =可得012532a a a a -++-= ，与01250a a a a ++++= 相减可得13516a a a ++=-，C 正确.故选：AC【一隅三反】1．（2023·河北）（多选）若()()20232320230123202332R x a a x a x a x a x x -=+++++∈ ，则（）A ．202302a =B ．20230242022152a a a a -++++=C ．20231352023512a a a a --++++=D ．20233202312232023213333a a a a ++++=- 【答案】BD【解析】对于A ，当0x =时，()20232023022a =-=-，A 错误；对于B ，C ，当1x =时，20230123202311a a a a a +++++== ，当=1x -时，20230123202220235a a a a a a -+-++-=- ，所以20230242022152a a a a -++++= ，13a a+202352023512a a ++++= ，所以B 正确，C 错误；对于D ，当13x =时，20232023120220231323333a a a a ⎛⎫⨯-=++++ ⎪⎝⎭，所以()20232023123202302320231213333a a a a a ++++=--=- ，D 正确．故选：BD ．2．（2023·江苏扬州·高二统考期中）（多选）()201212nn n x a a x a x a x -=++++ 的展开式中第3项和第11项的二项式系数相等，则以下判断正确的是（）A ．第7项的二项式系数最大B ．所有奇数项二项式系数的和为132C ．21212121222a a a+++=- D ．12312231212a a a a ++++=- 【答案】AC【解析】由题意，可得210C C n n =，所以12n =，对于A 中，根据二项式定理的性质，可得中间项第7项的二项式系数最大，所以A 正确；对于B 中，根据二项式系数的性质，可得所有奇数项二项式系数的和为112，所以B 错误；对于C 中，对于C 中，令12x =，可得1212122102(11)0222a a a a ++++=-= ，令0x =，可得01a =，所以21212121222a a a +++=- ，所以C 正确；对于D 中，由()122120121212x a a x a x a x -=++++ ，可得()122120121212()x a a x a x a x '⎡⎤-=++++⎣⎦' ，即2111231211224(12)312a a x a x x a x -=+++-+ ，令1x =，可得1231112231224(12)24a a a a =+--+⨯+=+ ，所以D 错误.故选：AC.3．（2024·黑龙江·高二校联考期末）（多选）若()82801281(1)(1)x a a x a x a x =+-+-++- ，其中0128,,,,a a a a 为实数，则（）A ．01a =B ．656a =C ．1357128a a a a +++=D ．2468128a a a a +++=【答案】AC【解析】令1t x =-，则原式转化为8280128(1)t a a t a t a t +=++++ ，对A ，令0=t ，得01a =，故A 正确；对B ，由二项式定理得6a =28C 28=，故B 错误；对CD ，令1t =，得801282a a a a ++++= ，令1t =-，得01280a a a a -+-+= ，所以71357024682128a a a a a a a a a +++=++++==，所以2468127a a a a +++=，故C 正确，D 错误.故选：AC考法七余数与小数【例7-1】（2023下·河南郑州·高二校联考期中）108除以49所得的余数是.【答案】22【解析】法一：由10010198291010101010(71)C 7C 7...C 7C 718=+=+++++，前9项可以被49整除，而910C 71714922+==+，故余数为22.法二：由510564(58491)==+5423324549515491015491015495154915=+⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯+，而515759375491549722==⨯+，故余数为22.故答案为：22【例7-2】．（2023·高二课时练习）将50.991精确到0.01的近似值是．【答案】0.96【解析】因为()55011225550.99110.009C 1C 0.009C 0.00910.0450.000810.95581=-=⨯-⨯+⨯-≈-+= ，且将50.991精确到0.01，故近似值为0.96故答案为：0.96【一隅三反】1．（2023安徽）1.028的近似值是.(精确到小数点后三位)【答案】1.172【解析】由题意得：8801223388881.02(10.02)0.020.020.02 1.172C C C C =+≈+⋅+⋅+⋅≈.故答案为：1.1722．（2023上·河北）1098除以1000的余数是．【答案】24【解析】因为10101922899101010101010109(1002)100+C (2)100+C (2)10C 80(2)100+C (2)=-=⨯-⨯⨯-⨯++⨯-⨯⨯-L 101922891010=[100+C (2)100+C (2)100(2)1000]+1024⨯-⨯⨯-⨯++-⨯L 101922891010=[100+C (2)100+C (2)100(2)1000+1000]24⨯-⨯⨯-⨯++-⨯+L ，所以1098除以1000的余数是：24.故答案为：243．（2023下·江苏淮安·高二江苏省郑梁梅高级中学校考阶段练习）今天是星期日，经过7天后还是星期日，那么经过202315天后是（）A ．星期日B ．星期一C ．星期三D ．星期四【答案】B【解析】()202320232023120222022202320231514114C 14C 141=+=+++⨯+ ,因为20231202220222023202314C 14C 14+++⨯ 能被7整除，所以202315除以7余1，所以经过202315天后是星期一.故选：B.4.（2024·甘肃武威）干支纪年是中国古代的一种纪年法.分别排出十天干与十二地支如下：天干：甲乙丙丁戊己庚辛壬癸地支：子丑寅卯辰巳午未申酉戌亥把天干与地支按以下方法依次配对：把第一个天干“甲”与第一个地支“子”配出“甲子”，把第二个天干“乙”与第二个地支“丑”配出“乙丑”，L ，若天干用完，则再从第一个天干开始循环使用.已知2023年是癸卯年，则8132+年以后是年.【答案】丙午【解析】因为88817788132(121)212C 12C 123+=++=+⨯++⨯+ ，所以8132+年以后地支为“午”.因为8881777888132(103)210C 103C 10332+=++=+⨯⨯++⨯⨯++ ，又因为88326563,32+=+除以10余数为3，所以8132+年以后天干为“丙”，故8132+年以后是丙午年.故答案为：丙午考法八杨辉三角的应用【例8】（2023·广东广州）（多选）我国南宋数学家杨辉在1261年所著的《详解九章算法》一书里出现了如图所示的表，即杨辉三角，这是数学史上的一个伟大成就.该表蕴含着许多的数学规律，下列结论正确的是（）第0行1第1行11第2行121第3行1331第4行14641第5行15101051第6行1615201561…………A ．3333434520232024C C C C C ++++= B ．11111=，211121=，L ，51115101051=C ．从左往右逐行数，第2023项在第63行第7个D ．第5行到第10行的所有数字之和为2024【答案】AC【解析】对于A 选项，由组合数的计算性质()1*1C C C ,,m m m n n n m n m n -++=∈<N ，所以，3333433334520234452023C C C C C C C C ++++=++++ 433434552023202320232024C C C C C C =+++==+= ，A 对；对于B 选项，()555122334455555111101C 10C 10C 10C 1010=+=+⋅+⋅+⋅+⋅+15010001000050000100000161051=+++++=，B 错；对于C 选项，第()n n ∈N 行共有1n +项，从左往右逐行数，第n 行最后一项对应的项数为()()()1212312n n n n ++++++++= ，因为()()62162220162++=，且202320167=+，所以，从左往右逐行数，第2023项在第63行第7个，C 对；对于D 选项，第()*n n ∈N 行所有项之和为01C C C 2n n n n n ++=+ ，所以，第5行到第10行的所有数字之和为()565610212222201612-+++==- ，D 错.故选：AC.【一隅三反】1．（2023·山东青岛·高二校联考期中）（多选）我国南宋数学家杨辉1261年所著的《详解九章算法》一书中展示了二项式系数表，数学爱好者对杨辉三角做了广泛的研究.则下列结论正确的是（）A ．123367891C C C C +++=B ．第2023行的第1012个和第1013个数最大C ．第6行、第7行、第8行的第7个数之和为第9行的第7个数D ．第34行中从左到右第14个数与第15个数之比为2：3【答案】ABD【解析】A 选项，123678768761C C C 168421321⨯⨯⨯+++=+++=⨯⨯⨯，39987C 84321⨯⨯==⨯⨯，故A 正确；B 选项，由图可知：第n 行有1n +个数字，如果n 是奇数，则第12n +和第112n ++个数字最大，且这两个数字一样大；如果n 是偶数，则第12n+个数字最大，故第2023行的第1012个和第1013个数最大，故B 正确；C 选项，第6行，第7行，第8行的第7个数字分别为：1，7，28，其和为36；第9行第7个数字是84，故C 错误；D 选项，依题意：第34行第14个数字是133434!C 13!21!=⨯，第34行第15个数字是143434!C 14!20!=⨯，所以133443434!C 213!21!2:334!C314!20!⨯===⨯，故D 正确.故选：ABD.2．（2024上·江西·高二校联考期末）杨辉三角（如下图所示）是数学史上的一个伟大成就，杨辉三角中从第2行到第2023行，每行的第3个数字之和为（）A ．32023C B ．32024C C ．32023C 1-D ．32024C 1-【答案】B【解析】()()()()()()()1!C !1!!!+!!1!1!C 1!r r n n n r n n r n n r n r r n r r n r +⋅++⋅-=+=-+--+-()()()()()()11!11!1!!1!C !r n n n n r n r r n r ++⋅++===+-+-,由题意可得，第2行到第2023行，每行的第3个数字之和为2222322232223420233342023442023C C C C C C C C C C C ++++=++++=+++ 323202320232024C C C ==+= ,故选：B ．3．（2023上·湖北）如图，“杨辉三角”是二项式系数在三角形中的一种几何排列，在我国南宋数学家杨辉1261年所著的《详解九章算法》一书中出现，比欧洲发现早500年左右．现从杨辉三角第20行随机取一个数，该数大于2023的概率为（）A ．1321B ．1320C ．57D ．34【答案】A【解析】由杨辉三角的性质知第20行的数为()20C 020,N ii i ≤≤∈，一共有21个数，其中012342020202020C 1,C 20,C 190,C 1140,C 48452023=====>，由杨辉三角的对称性可知，第20行中大于2023的数的个数为214231-⨯=，故所求概率为1321.故选：A.一．单选题1．（2023·四川南充）二项式62x ⎫-⎪⎭的展开式中常数项为（）A ．60-B ．60C ．210D ．210-【答案】B【解析】展开式的通项为()611216=C 2kkk k T x x --+骣琪-琪桫，所以()()161022k k k -+-´=Þ=，常数项为()2665C 24602k´-=´=，故选：B.2．（2023·河北）若()()()2202020202019201801220201111a x a x x a x x a x +-+-++-= ，则012020a a a +++= （）A．1B．0C．20202D．20212【答案】C【解析】()2020201920182202001220202020(1)(1(1)11)x x a x a x x a x x a x +-+-++-=⎡⎤⎣⎦+-=L Q ，当02020k ≤≤且k ∈N 时，2020kk a C =，因此，01220202020202020202020012202020202a a a C C a C C =++++=+++⋅⋅⋅+L .故选：C.3．（2024上海）二项式30的展开式中，其中是有理项的项数共有（）A．4项B．7项C．5项D．6项【答案】D【解析】二项式30的展开式中，通项公式为5153063030rr r r rC C x --⋅⋅=⋅，030r ≤≤，0,6,12,18,24,30r ∴=时满足题意，共6项．故选：D.4．（2023安徽省）在12nx ⎫-⎪⎭的展开式中，只有第5项的二项式系数最大，则展开式中5x 的系数为（）A．7-B．358-C．358D．7【答案】D【解析】因为在12n x ⎫-⎪⎭的展开式中，只有第5项的二项式系数最大所以8n =所以812x ⎫-⎪⎭的展开式的通项88218811,0,1,2,,822rrrr r r r T C x C x r +-+⎛⎫⎛⎫=-=-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭令852r +=，得2r =所以展开式中5x 的系数为228172C ⎛⎫-= ⎪⎝⎭故选：D 5．（2023安徽）()6111x x ⎛⎫++ ⎪⎝⎭展开式中2x 的系数为（）A．15B．20C．30D．35【答案】D【解析】因为()61x +展开式的通项为6C r r x ，所以()6111x x ⎛⎫++ ⎪⎝⎭展开式中含2x 的项为2261C x ⋅和3631x C x ⋅.因为2366152035C C +=+=，所以()6111x x ⎛⎫++ ⎪⎝⎭展开式中2x 的系数为35.故选：D6．（2023下·四川达州·高二统考期末）()3212x x -+的展开式中，3x 的系数为（）A ．20B ．20-C ．15-D ．15【答案】B 【解析】()()632112x x x --+=，其展开式的通项为：()616C 1rrr r T x -+=⋅⋅-，取3r =得到3x 的系数为()336C 120⋅-=-．故选：B ．7．（2023云南）在71x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的二项展开式中，系数最大的是第（）项A．3B．4C．5D．6【答案】C【解析】在二项式71x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开式中，通项公式为772+177()()r r r r r r rr T C x x C x ---=⋅⋅-=-，故第r +1项的系数为7(1)r rC -，当0,2,4,6r =时，系数为正，因为0162477777C C C C C <=<<,所以当r ＝4时，系数最大的项是第5项.故选：C8．（2023·江西赣州·）在52x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开式中，下列说法不正确的是（）A ．不存在常数项B ．所有二项式系数的和为32C ．第3项和第4项二项式系数最大D ．所有项的系数和为1【答案】D【分析】根据给定的二项式，写出展开式判断A ；利用二项式性质判断BC ；利用赋值法计算判断D 作答.【详解】523450514233245555555222222C C C C C C x x x x x x x x x x x x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=+⋅-+⋅-+⋅-+⋅-+- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭53358080321040x x x x x x =-+-+-，因此在52(x x-的展开式中没有常数项，A 正确；52(x x-的展开式的所有二项式系数的和为5232=，B 正确；52(x x -的展开式的第3项和第4项二项式系数相等，并且最大，C 正确；当1x =时，52(x x-的展开式的所有项的系数和为5(1)1-=-，D 错误.故选：D二．多选题9．（2024·辽宁辽阳）若2nx⎛⎝展开式的二项式系数之和为64，则下列结论正确的是（）A ．该展开式中共有6项B ．各项系数之和为1C ．常数项为60-D ．只有第4项的二项式系数最大【答案】BD【解析】因为二项式系数之和为64，即有264n =，所以6n =，则该展开式中共有7项，A 错误；令1x =，得该展开式的各项系数之和为1，B 正确；通项()()36662166C 21C 2rr rr r r rr T x x---+⎛=⋅⋅=-⋅⋅⋅ ⎝，令3602r -=，得4r =，()442561C 260T =-⨯⨯=，C 错误；二项式系数最大的是36C ，它是第4项的二项式系数，D 正确．故选：BD.10．（2023·辽宁朝阳）已知2，n ，8成等差数列，则在12nx x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开式中，下列说法正确的是（）A ．二项式系数之和为32B ．各项系数之和为1C ．常数项为40D ．展开式中系数最大的项为80x【答案】ABD【解析】由题意可得：22810n =+=，则5n =，对于选项A ：二项式系数之和为5232=，故A 正确；对于选项B ：令1x =，可得各项系数之和为()5211-=，故B 正确；对于选项C 、D ：因为512x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开式的通项公式为：()()55521551C 21C 2,0,1,2,3,4,5rrr r r r rr T x x r x ---+⎛⎫=-=-⋅⋅= ⎪⎝⎭，所以553135123280804010x x x x x x x x ---⎛⎫-=-+-+- ⎪⎝⎭，展开式中没有常数项，故C 错误；展开式中系数最大的项为80x ，故D 正确；故选：ABD.11．（2022上·辽宁本溪·高二校考期末）若202123202101232021(12)(R)x a a x a x a x a x x -=+++++∈ ，则（）A ．01220211a a a a ++++=-LB ．20211352021312a a a a +++++=C ．20210242020132a a a a -++++=D ．123202123202112222a a a a++++=- 【答案】AD【解析】由题意，当0x =，2021011a ==，当1x =时，202101232021(1)1a a a a a +++++=-=- ，A 正确；当=1x -时，2021012320213a a a a a -+-+-= ，所以20211352021312a a a a +++++=- ，20210242020312a a a a -++++= ，B ，C 错误；2202120211212202122021111222222a a a a a a ⎛⎫⎛⎫+++=⨯+⨯++⨯ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，当12x =时，2202101220211110222a a a a ⎛⎫⎛⎫=+⨯+⨯++⨯ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以2202112202101111222a a a a ⎛⎫⎛⎫⨯+⨯++⨯=-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，D 正确.故选：AD ．12．（2023下·河北沧州·高二统考期中）已知()112110121123x a a x a x a x -=++++ ，则（）A ．111231112a a a a ++++=-- B ．11135791115a a a a a a +++++=-C ．11111231152a a a a ++++=- D ．12311231133a a a a ++++=- 【答案】ACD【解析】因为()112110121123x a a x a x a x -=++++ ，令0x =可得1102a =，令1x =可得()11012112311a a a a ++++=-⨯=- ①，所以111231112a a a a ++++=-- ，故A 正确；令=1x -可得()1111012310112315a a a a a a -+-++-=+⨯= ②，①-②得111357911152a a a a a a --+++++=，故B 错误；①+②得110246810152a a a a a a -++++++=，又()1123x -展开式的通项为()11111C 23rrr r T x -+=⋅⋅-（011r ≤≤且N r ∈），所以当r 为奇数时展开式系数为负数，当r 为偶数时展开式系数为正数，即0246810,,,,,0a a a a a a >，1357911,,,,,0a a a a a a <，所以12311a a a a ++++ 1111123101152a a a a a =-+-++-=- ，故C 正确；将()112110121123x a a x a x a x -=++++ 两边对x 求导可得：()102101231133232311x a a x a x a x --=++++ ，再令1x =可得()101231123113323133a a a a ++++=--⨯=- ，故D 正确；故选：ACD 三．填空题13．（2023下·安徽合肥·高二统考期末）已知012233C 4C 4C 4C (1)4C 729n n nn n n n n -+-++-= ，则n 的值为．【答案】6【解析】由012233C 4C 4C 4C (1)4C 729n n nn n n n n -+-++-= ，可得001112220C 1(4)C 1(4)C 1(4)C 1(4)729n n n n nn n n n--⋅⋅-+⋅⋅-+⋅⋅-++⋅⋅-= 则(14)729n -=，即6(3)729(3)n -==-，解得6n =．故答案为：6.14．（2023下·山西吕梁·高二统考阶段练习）20242023被4除的余数为.【答案】1【解析】因为20242024020241202322022202320242024202420242023(20241)C 2024C 2024C 2024C 20241=-=-+--+ ，且2024可以被4整除，所以余数为1.故答案为：1.15．（2023·北京）()82212x x x ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭的展开式中常数项为．（用数字作答）【答案】2464-【解析】82x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的展开式的通项8821882C C 2rr r r r rr T x x x --+⎛⎫=⋅= ⎪⎝⎭（0r =，1，2， (8)．当4r =时，其展开式的常数项为448C 21120=；当=5r 时，其展开式中21x的系数为558C 21792=，则()82212x x x ⎛⎫-⋅+ ⎪⎝⎭的展开式中常数项为1120217922464-⨯=-．故答案为：2464-16．（2023上·山东·高二校联考阶段练习）()21nx x ++展开式中各项的系数可以仿照杨辉三角构造如图所示的广义杨辉三角，其性质是以下各行每个数是它正上方和左､右两边三个数的和（不足3个数时，用0补上），则()52(3)1x x x -++的展开式中，7x 项的系数为.【答案】45-【解析】根据题意，可得广义杨辉三角如图所示，可知()521x x ++的展开式中，6x 项的系数为745,x 项的系数为30，所以()()5231x x x -++的展开式中，7x 项的系数为14533045⨯-⨯=-.故答案为：45-四．解答题17．（2023·广东梅州）在二项式()92x y -的展开式中，求：(1)二项式系数之和；(2)各项系数之和；(3)所有偶数项系数之和；(4)系数绝对值之和.【答案】(1)512(2)1(3)9841-(4)19683【解析】（1）设()99872901292.x y a x a x y a x y a y -=++++ 二项式系数之和为012999999C C C C 2512++++== （2）设9987290129()2x y a x a x y a x y a y -=++++ ，则各项系数之和为0129a a a a ++++ ，令1,1,x y ==得()9012921 1.a a a a ++++=-= （3）由（2）知01291,a a a a ++++= 令1,1x y ==-可得:901293,a a a a -+--= 将两式相减,可得:9135791398412a a a a a -++++==-，故所有偶数项系数之和为9841-.（4）方法一:012901239,a a a a a a a a a ++++=-+-+- 令1,1,x y ==-则9012901239319683a a a a a a a a a ++++=-+-+-== 方法二:0129a a a a ++++ 即为()92x y +展开式中各项系数和，令1,1x y ==得90129319683a a a a ++++== 故系数绝对值之和为19683.18．（2023·全国·高二随堂练习）（1）求92x⎛⎝的展开式中的常数项；（2）若621x ax ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的展开式中3x 的系数为52，求a 的值；（3）求(10611⎛⎝的展开式中的常数项；（4）若3nx ⎛⎫⎝的展开式中各项系数之和为128，求展开式中31x 的系数．【答案】答案见详解【解析】（1）设92x⎛⎝的展开式通项为：1r T +，则()()1199922199C 2C 21r r rr rr rr T x x r x -----+⎛⎫=⋅⋅-=⋅⋅-⋅ ⎪⎝⎭，当6r =时，6379C 2672T =⨯=；故92x⎛⎝的展开式中的常数项为672；（2）设621x ax ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的展开式通项为：1r T +，则()62112316611C C r rrrr r r T xx x a a ---+⎛⎫⎛⎫=⋅⋅=⋅⋅ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，当3r =时，结合题意知此时3333334661515C C 222T x x a a a ⎛⎫⎛⎫=⋅⋅=⇒⋅=⇒= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭；故a 的值为2；（3）设(10611⎛⎫ ⎪⎝⎭、的展开式通项分别为：11r m T H ++、，则3416110C C r m rm r m Tx H x -++==、，当0r m ==时，111T H ⨯=，当3,4r m ==时，454200T H ⨯=，当6,8r m ==时，7945T H ⨯=故(10611⎛⎝的展开式中的常数项为14200454246++=；（4）令1x =，则由题意可知21287n n =⇒=，设3nx ⎛⎫ ⎝的展开式通项为1r T +，则()()2577733177C 3C 31rrr r r r r r T x x x ----+⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭，当6r =时，63377C 321T x x --=⨯=，故展开式中31x 的系数为21.19．（2023上·四川攀枝花·高二统考期末）从①第4项的系数与第2项的系数之比是74；②第3项与倒数第2项的二项式系数之和为36；这两个条件中任选一个，再解决补充完整的题目．已知()201221nn n x a a x a x a x -=+++⋅⋅⋅+（*N n ∈），且()21nx -的二项展开式中，____．(1)求n 的值；(2)①求二项展开式的中间项；②求123n a a a a +++⋅⋅⋅+的值．【答案】(1)条件选择见解析，8n =(2)①451120T x =；②831-．【解析】（1）若选择①第4项的系数与第2项的系数之比是74，则有()()()()()()33113112C 211273214244C 21 nn n n n n n n n n ----⋅⋅---⨯⨯=⋅⋅-==，化简可得24400n n --=，求得8n =或7n =-（舍去）．若选择②第3项与倒数第2项的二项式系数之和为36，则有()221211C CC C 3622n nnnnn n n nn --+++=+===，化简可得2720n n +-=，求得8n =或9n =-（舍去）．（2）由（1）可得8n =，①()821x -的二项展开式的中间项为()()454458C 211120T x x =⋅⋅-=．②二项式()821x -展开式的通项公式为()()()88888C 2112C rrrrr rr x x ---⋅⋅-=-⋅⋅⋅，所以0a 、2a 、4a 、6a 、8a 为正数，1a 、3a 、5a 、7a 为负数．在()828012821x a a x a x a x -=+++⋅⋅⋅+中，令00,1x a ==．再令1x =-，可得801238123831a a a a a a a a a =-+-+⋅⋅⋅+=++++⋅⋅⋅+，∴1238831a a a a +++⋅⋅⋅+=-．20．（2023下·江苏宿迁·高二统考期中）在()2021212222121D D D D D nn n n n nn n n n n x x x x x x ---++=+++++L 的展开式中，把0122,,,D D D D ,nn n n n 叫做三项式的n 次系数列．(1)求02463333D D D D +++的值；(2)根据二项式定理，将等式2(1)(1)(1)n n n x x x +=++的两边分别展开，可得左右两边的系数对应相等，如()()()()2222122C C C C C n n n nnnn=++++ ，利用上述思想方法，求001122202120212022202220232023202320232023202320232023202320232023202320232023D C D C D C D C D C D C -+--+- 的值．【答案】(1)14(2)0【解析】（1）230615563333(1)D D D D x x x x x ++=++++ 令1x =得：3015633333D D D D =++++ ①令=1x -得：015633331D D D D =-+-+ ②①+②得：02463333282(D D D D )=+++，所以02463333D D D D 14+++=.（2）因为321(1)(1)x x x x -=-++所以()202332023220231(1)(1)x x x x -=-++，右边展开式中含4046x 项的系数为001122202120212022202220232023202320232023202320232023202320232023202320232023D C D C D C D C D C D C -+--+- ，而展开式中左边含4046x 项的系数为0，所以001122202120212022202220232023202320232023202320232023202320232023202320232023D C D C D C D C D C D C 0-+--+-= .21．（2023北京）在()20122112121221D D D D D D D nr r r r n n n nn n n n n n n x x x x x x x x ++--++=+++⋅⋅⋅+++⋅⋅⋅++中，把0122D ,D ,D ,,D nn n n n ⋅⋅⋅叫做三项式系数．（1）当2n =时，写出三项式系数0123422222D ,D ,D ,D ,D 的值；（2）()()*na b n N +∈的展开式中，二项式系数可用杨辉三角表示，如图：第1行11第2行121第3行1331第4行14641第5行15101051…………当04n <≤，*n ∈N 时，类比杨辉三角，请列出三项式系数表；（3）求011223398989999999999999999999999999999D C D C D C D C D C D C -+-+⋅⋅⋅+-的值（可用组合数作答）．【答案】（1）02D 1=，12D 2=，22D 3=，32D 2=，42D 1=；（2）系数表见解析；（3）3399C .【解析】（1）因为()2223411232x x x x x x ++=++++，所以02D 1=，12D 2=，22D 3=，32D 2=，42D 1=．（2）当04n <≤，*n ∈N 时，三项式系数表如下：第1行111第2行12321第3行1367631第4行14101619161041（3）()()()9999201223319719719819899999999999911D D D D D D x x x x x x x x++⋅-=++++⋅⋅⋅++()09919829798999999999999C C C C C x x x x ⋅-+-⋅⋅⋅++，其中含99x 项的系数为0011229898999999999999999999999999D C D C D C D C D C -+-⋅⋅⋅+-，又()()()99999923111x x x x ++⋅-=-，()9931x -的展开式中的第1r +项为()()9931991C rrrr T x -+=-，令()39999r -=，解得66r =，所以含99x 项的系数为66339999C C =；所以001122339898999966339999999999999999999999999999D C D C D C D C D C D C C C -+-+⋅⋅⋅+-==．22．（2023上·上海松江·高二上海市松江二中校考阶段练习）已知函数()y f x =，*x ∈N ，满足：①对任意*,a b ∈N ，都有()()()()af a bf b af b bf a +>+；②对任意*n ∈N 都有()3f f n n ⎡⎤=⎣⎦.(1)试证明：()f x 为*N 上的严格增函数；(2)求()()()1628f f f ++；(3)令()3nn a f =，*n ∈N ，试证明：121111424n n n a a a ≤+++<+ .【答案】(1)证明见解析(2)66。
人教版高中数学必修三第三章概率选修2-3概率-高考题(3)
选修2-3概率-高考题 (3)一、选择题1.下列说法中，正确的是A ．不可能事件发生的概率为B ．随机事件发生的概率为21C ．概率很小的事件不可能发生D ．投掷一枚质地均匀的硬币100次，正面朝上的次数一定为50次【答案】A【逐步提示】本题考查了概率的意义和事件发生的概率，根据概率的意义和事件发生的概率，依次判断各个选项是否正确．【详细解答】解： A.不可能事件发生的概率为0，所以A 选项正确；B.随机事件发生的概率在0与1之间，所以B 选项错误；C.概率很小的事件不是不可能发生，而是发生的机会较小，所以C 选项错误；D.投掷一枚质地均匀的硬币100次，正面朝上的次数可能为50次，所以D 选项错误，故选择 A. 【解后反思】概率的意义：一般地，在大量重复实验中，如果事件A 发生的频率会稳定在某个常数p 附近，那么这个常数p 就叫做事件A 的概率，记为P （A ）=p ；概率是频率（多个）的波动稳定值，是对事件发生可能性大小的量的表现．必然发生的事件的概率P （A ）=1；不可能发生事件的概率P （A ）=0．【关键词】不可能事件；随机事件；概率的意义；2.（2016甘肃省天水市，3，4分）下列事件中，必然事件是（）A ．抛掷1枚骰子，出现6点向上B ．两条直线被第三条直线所截，同位角相等C ．366人中至少有2个人的生日相同D ．实数的绝对值是非负数【答案】D【逐步提示】本题考查事件的分类，解题的关键是认识到在一定条件下，有些事件必然会发生，这样的事件称为必然事件；在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件称为随机事件，只有分清各种事件才能做出正确的判断.【详细解答】解：抛掷1枚骰子，可能出现6点向上，也可能出现其它点数向上，所以A 中事件是随机事件．只有两条平行直线被第三条直线所截，同位角才一定相等，所以B 中事件是随机事件．由于闰年有366天，有可能出现这366人的生日一人占一天的情况，所以C 中事件不是必然事件．对于D ，由于正实数的绝对值是正数，0的绝对值是0，负实数的绝对值是正数，所以实数的绝对值一定是非负数，属于必然事件．故选择D ．【解后反思】对于B 中事件，由于阅读不细致、认真，易受思维定势的影响误认为是两条平行直线被第三条直线所截，从而认定同位角必定相等而错误地判断为必然事件．另外，本题难点在于对C 中事件的认识，可以按照“一个萝卜一个坑”的现实原理加强理解．【关键词】必然事件；随机事件．3.（2016广东省广州市，4，3分）某个密码锁的密码由三个数字组成，每个数字都是0－9这十个数字中的一个，只有当三个数字与所设定的密码及顺序完全相同时，才能将锁打开，如果仅忘记了所设密码的最后那个数字，那么一次就能打开该密码锁的概率是（）A ．101B ．91C ．31D ．21【答案】A【逐步提示】所设密码最后那个数字是0－9这十个数字中的一个，即共有10种可能，密码数字只有1种，据此可根据概率的计算公式求解结果．【详细解答】解：根据题意可知，密码锁所设密码的最后那个数字是0－9这十个数字中的一个，因此，一次就能打开该密码锁的概率是101，故选择A ．【解后反思】（1）一般地，如果在一次试验中，有n 种可能的结果，并且它们发生的可能性相等，事件A包含其中的m 种结果，那么事件A 发生的概率nm A P )(．（2）求较复杂随机事件的概率时，常用画树状图或列表法不重不漏地列出所有等可能结果．【关键词】概率的计算公式4.（2016广东茂名，4，3分）下列事件中，是必然事件的是（）A．两条线段可以组成一个三角形B．400人中有两个人的生日在同一天C．早上的太阳从西方升起D．打开电视机，它正在播放动画片【答案】B【逐步提示】本题考查了必然事件的概念，解题的关键是正确区分必然事件与不可能事件、随机事件．事先能肯定它一定会发生的事件称为必然事件.事先能肯定它一定不会发生的事件称为不可能事件，必然事件和不可能事件都是确定的．而不确定事件（即随机事件）是在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件．【详细解答】解：三角形是由三条不在同一直线上的线段首尾顺次相接组成的，两条线段不能组成一个三角形，选项A中的事件属于不可能事件；一年有365天或366天，由于400>365，400＞366，因此400人中必有两个人的生日在同一天，选项B中的事件属于必然事件；根据自然规律，早上的太阳从东方升起，选项C中的事件属于不可能事件；打开电视机，它不一定正在播放动画片，选项D中的事件属于随机事件. 故选择 B .【解后反思】事件分为确定事件和不确定事件（随机事件），确定事件又分为必然事件和不可能事件，其中，①必然事件发生的概率为1，即P（必然事件）＝1；②不可能事件发生的概率为0，即P（不可能事件）＝0；③如果A为不确定事件（随机事件），那么0＜P（A）＜1．【关键词】不可能事件；必然事件；随机事件5.（2016湖北宜昌，6，3分）在课外实践活动中，甲、乙、丙、丁四个小组用投掷一元硬币的方法来估算正面朝上的概率，其实验次数分别为10次，50次，100次，200次，其中实验相对科学的是（）A．甲组B．乙组C．丙组D．丁组【答案】D【逐步提示】本题考查了用频率估计概率，解题的关键是根据概率的求法，找准两点：①全部情况的总数；②符合条件的情况数目；二者的比值就是其发生的概率．【详细解答】解：甲组实验了10次，乙组实验了50次，丙组实验了100次，丁组实验了200次，实验次数多的频率往往接近事件发生的概率，故选择 D .【解后反思】在一次试验中，若共有n次等可能的结果，其中事件A包含m个等可能的结果，则事件A的概率为P(A)=mn．随机事件的频率，指此事件发生的次数与试验总次数的比值，当试验次数很多时，它具有一定的稳定性，即稳定在某一常数附近，而偏离的它可能性很小．为了说明这种规律，我们把这个常数称为这个随机事件的概率．它从数量上反映了随机事件发生的可能性的大小，而频率在大量重复试验的前提下可近似地作为这个事件的概率．【关键词】概率公式；用频率估计概率6（2016湖南常德，5，3分）下列说法正确的是A．袋中有形状、大小、质地完全一样的5个红球和1个白球，从中随机取出一个球，一定是红球．B．天气预报“明天降水概率10%”，是指明天有10%的时间会下雨．C．某地发行一种福利彩票，中奖概率是千分之一．那么，买这种彩票1000张，一定会中奖．D．连续掷一枚均匀硬币，若5次都是正面朝上，则第六次仍然可能正面朝上．【答案】D【逐步提示】本题考查的是概率的含义．概率是反映事件发生机会的大小的概念，只是表示发生的机会的大小，机会大也不一定发生，机会小也有可能．【详细解答】解：选项A、“取到红球”是随机事件，且可能性较大，但不是必然事件，所以从中随机取出一个球，不一定是红球，所以A选项错误；选项B、“明天降水概率10%”，是指下雨的可能性为10%，而不是10%的时间会下雨，所以B选项错误；选项C、“中奖概率是千分之一”是指这批彩票总体平均每1000张有一张中奖，而不是买这种彩票1000张，一定会中奖，所以C选项错误；选项D、“投掷一枚质地均匀的硬币正面朝上”是随机事件，所以第六次仍然可能正面朝上，所以D选项正确．故选D．【解后反思】事件分为确定事件和不确定事件，确定事件分为必然事件和不可能事件；也就是说一定发生的事件是必然事件，一定不会发生的事件是不可能事件；可能发生，也可能不发生的事件是不确定事件；必然事件发生的概率是1，不可能发生的事件发生的概率是0，不确定事件发生的概率大于零小于1，偶然事件0到1之间【关键词】概率的含义；随机事件；7.（2016湖南湘西，15，4分）在一个不透明的口袋中装有6个红球，2个绿球，这些球除颜色外无其它差别，从这个袋子中随机摸出一个球，摸到红球的概率为A ．43B ．41C ．21D ．1【答案】A【逐步提示】本题考查了概率的定义，熟悉定义是解题的关键.口袋中共8个球，其中有6个红球，根据概率定义解题即可．【详细解答】解：P(摸到红球)=86=43，故答案为43.故选择 A .【解后反思】一般地，在试验中，如果各种结果发生的可能性都相同，那么一个事件A 发生的概率计算公式为P(A)=A 事件可能发生的结果数所有等可能结果的总数．【关键词】摸球；简单事件的概率二、填空题1.（2016福建福州，15，4分）已知四个点的坐标分别是（－1，1），（2，2），（32，23），（－5，－51），从中随机选取一个点，在反比例函数y ＝x1图象上的概率是．【答案】12【逐步提示】本题考查了概率的计算和反比例函数的性质，解题的关键是掌握等可能事件概率的计算公式．先判断四个点的坐标是否在反比例函数y ＝x1图象上，再用在反比例函数y ＝x1图象上点的个数除以点的总数即为在反比例函数y ＝x1图象上的概率．【详细解答】解：∵﹣1×1=﹣1，2×2=4，×=1，（﹣5）×（﹣）=1，∴2个点的坐标在反比例函数y ＝x1图象上，∴在反比例函数y ＝x1图象上的概率是2÷4=12，故答案为12.【解后反思】此类问题容易出错的地方是不能正确判断所关注事件可能出现的结果数，以及所有等可能出现的结果数．等可能性事件的概率的计算公式：P(A)＝n m，其中m 是总的结果数，n 是该事件成立包含的结果数．【关键词】反比函数的图像；概率的计算公式；2.（2016贵州省毕节市，18，5分）掷两枚质地均匀的骰子，其点数之和大于10的概率为_________．【答案】112【逐步提示】本题考查了求简单随机事件的概率，解题的关键掌握用列表法或画树状图的方法进行计算．本题用列表法更方便，表中也可只用两种符号来表示点数之和大于10和不大于10，这样能一目了然，不易出错．【详细解答】解：设点数之和小于或等于10用○表示，大于10用√表示不，列表如下：1 2 3 4 5 6 1 ○○○○○○2 ○○○○○○3 ○○○○○○4 ○○○○○○5 ○○○○○√6○○○○√√由表可知，掷两枚骰子，共有36种等可能的情况出现，其中点数之和大于10的结果共有3种，所以P （点数之和大于10）＝336＝112，故答案为112.【解后反思】此类问题的易错点是没有列表或画树状图，只凭想象列举出所有可能的结果，造成丢掉一些情况，如把（1，2）和（2，1）当作一种情况，从而致错．【关键词】求概率的方法；3.（2016河南省，12，3分）在“阳光体育”活动期间，班主任将全班同学随机分成了4组进行活动，则该班小明和小亮被分在同一组的概率是_________.【答案】41【逐步提示】本题考查的是用列表法或画树状图法求概率，解题的关键是合理选择方法求概率．思路：选择树状图或列表法解题，通过分析看出，小明和小亮任意分在各组的可能情况为16种，两次抽出卡片所标数字不同占4种，则利用公式可求出事件的概率．【详细解答】解：列表得：设分A 、B 、C 、D 四个组AB C D A （A ，A ）（A ，B ）（A ，C ）（A ，D ）B （B ，A ）（B ，B ）（B ，C ）（B ，D ）C （C ，A ）（C ，B ）（C ，C ）（C ，D ）D（D ，A ）（D ，B ）（D ，C ）（D ，D ）所有等可能的情况有16种，其中小明和小亮分在同一组的情况有4种，则P=41164，故答案为41.【解后反思】此类问题容易出错的地方是抽象不出基本概型，事件发生的可能情况列举不出来．一般方法规律是用数值来刻画事件发生的可能性大小，这个数值就是概率．一般地，如果一个实验有n 个等可能的结果，而事件A 包含其中m 个结果，我们可计算概率P(A)=m n=A 事件包含的可能结果数所有可能结果数．运用列举法（包括列表、画树状图）计算简单事件发生的概率的能力，有利于提高学生的数学意识、应用数学的能力和数学素养．【关键词】求概率方法——树状图法和列表法4.（2016湖南省郴州市，13，3分）同时掷两枚均匀的硬币，则两枚都出现反面朝上的概率是．【答案】14【逐步提示】本题考查的是概率问题，解题的关键是弄清事件发生的所有可能的情况，然后看事件发生的概率．抛两枚硬币有四种情况：即（正正）（正反）（反反）（反正），然后判断两个反面朝上的概率就可以了．【详细解答】解：设两枚硬币分别为甲、乙：共有四种结果：（正正）（正反）（反正）（反反）∴14P 两个反面朝上＝．反面硬币甲硬币乙开始正面反面正面正面反面【解后反思】此类问题容易出错的地方是列举所有可能性事件时重复或遗漏．(1)运用公式P(A)=nm 求简单事件发生的概率，在确定各种事件等可能性的基础上，关键是求事件所有可能的结果种数n 和使事件A 发生的结果种数m.(2)求简单随机事件的概率有两种方法．①在做了大量试验的基础上，可以用频率的近似地估计概率；②可以用列表或画树状图，列举出所有可能事件，再求概率．(3)列表法或画树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，列表法适合于两步完成的事件，树状图法适合两步或两步以上完成的事件．【关键词】概率；树状图；.6（2016湖南省怀化市，14，4分）一个不透明的袋子，装了除颜色不同，其它没有任何区别的红色球3个，绿色球4个，黑色球7个，黄色球2个，从袋子中随机摸出一个球，摸到黑色球的概率是______________.【答案】716【逐步提示】在等可能的条件下，袋共有球3＋4＋7＋2＝16个，其中黑色球7个，从袋子中随机摸出一个球，摸到黑色球的概率是黑色球数：总球数.【详细解答】解：P黑色球＝73472＝716，故答案为716.【解后反思】此题考查概率，难度不大，解题的关键是掌握概率的计算公式.【关键词】概率的计算公式7.（2016湖南省湘潭市，12，3分）从2015年12月26日起，一艘载满湘潭历史和文化的“航船——湘潭市规划展示馆、博物馆和党史馆（以下简称‘三馆’）”正式起航，市民可以免费到三馆参观.听说这个好消息，小张同学准备星期天去参观其中一个馆，假设参观者选择每一个馆参观的机会均等，则小张同学选择参观博物馆的概率为.【答案】13【逐步提示】本题考查了概率的计算，解题的关键是知道某事件发生的概率等于该事件出现的可能次数与所有可能次数之间的比．因此先确定参观博物馆的可能次数和参观三个馆总数，再根据概率公式计算即可．【详细解答】解：∵共有3个馆，参观博物馆的可能性为1，∴小张同学选择参观博物馆的概率为13，故答案为13.【解后反思】掌握此类问题，需熟练掌握以下知识：（1）公式法：P(A)=nm，其中n 为所有事件的总数，m 为事件A 发生的总次数；（2）列举（列表或画树状图）法的一般步骤为：①判断使用列表或画树状图方法：列表法一般适用于两步计算；画树状图法适合于两步及两步以上求概率；②不重不漏的列举出所有事件出现的可能结果，并判定每种事件发生的可能性是否相等；③确定所有可能出现的结果数n 及所求事件A 出现的结果m ；④用公式P(A)=nm ，求事件A 发生的概率．【关键词】概率初步8.（2016年湖南省湘潭市，12，3分）从2015年12月26日起，一艘载满湘潭历史和文化的“航船——湘潭市规划展示馆、博物馆和党史馆（以下简称‘三馆’）”正式起航，市民可以免费到三馆参观。
最新人教版高中数学必修三测试题及答案全套
最新人教版高中数学必修三测试题及答案全套阶段质量检测（一）（A 卷 学业水平达标） (时间90分钟，满分120分)一、选择题(本大题共10小题，每小题5分，共50分) 1．下列给出的赋值语句正确的有( ) ①2＝A ； ②x ＋y ＝2； ③A －B ＝－2； ④A ＝A *AA ．0个B ．1个C ．2个D ．3个解析：选B 对于①，赋值语句中“＝”左右不能互换，即不能给常量赋值，左边必须为变量，右边必须是表达式，若改写为A ＝2就正确了；②赋值语句不能给一个表达式赋值，所以②是错误的，同理③也是错误的，这四种说法中只有④是正确的．2．计算机执行下面的程序段后，输出的结果是( )a ＝1b ＝3a ＝a ＋b b ＝a －bPRINT a ，bA ．1 3B ．4 1C ．0 0D ．6 0解析：选B 输出a ＝1＋3＝4，b ＝4－3＝1. 3．把二进制数10 110 011(2)化为十进制数为( ) A ．182 B ．181 C ．180D ．179解析：选D 10 110 011(2)＝1×27＋0×26＋1×25＋1×24＋0×23＋0×22＋1×21＋1×20＝128＋32＋16＋2＋1＝179.4．下图是计算函数y ＝⎩⎪⎨⎪⎧－x ， x ≤－1，0， －1＜x ≤2x 2， x ＞2的值的程序框图，则在①、②和③处应分别填入的是( )A．y＝－x，y＝0，y＝x2B．y＝－x，y＝x2，y＝0C．y＝0，y＝x2，y＝－xD．y＝0，y＝－x，y＝x2解析：选B当x＞－1不成立时，y＝－x，故①处应填“y＝－x”；当x＞－1成立时，若x＞2，则y＝x2，即②处应填“y＝x2”，否则y＝0，即③处应填“y＝0”．5．下面的程序运行后的输出结果为()A．17 B．19C．21 D．23解析：选C第一次循环，i＝3，S＝9，i＝2；第二次循环，i＝4，S＝11，i＝3；第三次循环，i＝5，S＝13，i＝4；第四次循环，i＝6，S＝15，i＝5；第五次循环，i＝7，S＝17，i＝6；第六次循环，i＝8，S＝19，i＝7；第七次循环，i＝9，S＝21，i＝8.此时i＝8，不满足i＜8，故退出循环，输出S＝21，结束．6．下面的程序运行后，输出的值是( )i ＝0DOi ＝i ＋1LOOP UNTIL 2^i ＞2 000 i ＝i －1PRINT i ENDA ．8B ．9C ．10D ．11解析：选C 由题意知，此程序为循环语句，当i ＝10时，210＝1 024；当i ＝11时，211＝2 048＞2 000，输出结果为i ＝11－1＝10.7．下列程序框图运行后，输出的结果最小是( )A ．2 015B ．2 014C ．64D ．63解析：选D 由题图知，若使n (n ＋1)2＞2 015，n 最小为63.8．(全国甲卷)中国古代有计算多项式值的秦九韶算法，如图是实现该算法的程序框图．执行该程序框图，若输入的x＝2，n ＝2，依次输入的a 为2,2,5，则输出的s ＝( )A ．7B ．12C．17 D．34解析：选C第一次运算：s＝0×2＋2＝2，k＝1；第二次运算：s＝2×2＋2＝6，k＝2；第三次运算：s＝6×2＋5＝17，k＝3>2，结束循环，s＝17.9．执行如图所示的程序框图，输出的结果为()A．55 B．89C．144 D．233解析：选B初始值：x＝1，y＝1，第1次循环：z＝2，x＝1，y＝2；第2次循环：z＝3，x＝2，y ＝3；第3次循环：z＝5，x＝3，y＝5；第4次循环：z＝8，x＝5，y＝8；第5次循环：z＝13，x＝8，y ＝13；第6次循环：z＝21，x＝13，y＝21；第7次循环：z＝34，x＝21，y＝34；第8次循环：z＝55，x ＝34，y＝55；第9次循环：z＝89，x＝55，y＝89；第10次循环时z＝144，循环结束，输出y，故输出的结果为89.10.(四川高考)秦九韶是我国南宋时期的数学家，普州(现四川省安岳县)人，他在所著的《数书九章》中提出的多项式求值的秦九韶算法，至今仍是比较先进的算法．如图所示的程序框图给出了利用秦九韶算法求某多项式值的一个实例．若输入n，x的值分别为3,2，则输出v的值为()A．9B．18C．20 D．35解析：选B由程序框图知，初始值：n＝3，x＝2，v＝1，i＝2，第一次循环：v＝4，i＝1；第二次循环：v＝9，i＝0；第三次循环：v＝18，i＝－1.结束循环，输出当前v的值18.故选B.二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)11．459与357的最大公约数是________．解析：459＝357×1＋102,357＝102×3＋51,102＝51×2，所以459与357的最大公约数为51. 答案：5112．对任意非零实数a ，b ，若a ⊗b 的运算原理如图所示，则log 28⊗⎝⎛⎭⎫12－2＝________.解析：log 28＜⎝⎛⎭⎫12－2，由题图，知log 28⊗⎝⎛⎭⎫12－2＝3⊗4＝4－13＝1.答案：113．(山东高考)执行如图所示的程序框图，若输入的a ，b 的值分别为0和9，则输出的i 的值为________．解析：第1次循环：a ＝0＋1＝1，b ＝9－1＝8，a ＜b ，此时i ＝2； 第2次循环：a ＝1＋2＝3，b ＝8－2＝6，a ＜b ，此时i ＝3； 第3次循环：a ＝3＋3＝6，b ＝6－3＝3，a ＞b ，输出i ＝3. 答案：314．(天津高考改编)阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，则输出S 的值为________．解析：S＝4不满足S≥6，S＝2S＝2×4＝8，n＝1＋1＝2；n＝2不满足n＞3，S＝8满足S≥6，则S＝8－6＝2，n＝2＋1＝3；n＝3不满足n＞3，S＝2不满足S≥6，则S＝2S＝2×2＝4，n＝3＋1＝4；n＝4满足n＞3，输出S＝4.答案：4三、解答题(本大题共4小题，共50分．解答时应写出文字说明、证明过程或运算步骤．)15．(本小题满分12分)如图是求1＋12＋13＋…＋1100的算法的程序框图．(1)标号①②处应分别是什么？(2)根据框图用“当”型循环语句编写程序．解：(1)①k＜101？(k＜＝100？)②S＝S＋1k. (2)程序如下：16．(本小题满分12分)以下是一个用基本算法语句编写的程序，根据程序画出其相应的程序框图．解：算法语句每一步骤对应于程序框图的步骤，其框图如下：17．(本小题满分12分)画出求12－22＋32－42＋…＋992－1002的值的程序框图．解：程序框图如图所示：18．(本小题满分14分)已知某算法的程序框图如图所示，若将输出的(x，y)值依次记为(x1，y1)，(x2，y2)，…，(x n，y n)．(1)若程序运行中输出的一个数组是(9，t)，求t的值；(2)程序结束时，共输出(x，y)的组数为多少？(3)写出程序框图的程序语句．解：(1)由程序框图知：当x＝1时，y＝0；当x＝3时，y＝－2；当x＝9时，y＝－4，所以t＝－4；(2)当n＝1时，输出一对，当n＝3时，又输出一对，…，当n＝2 015时，输出最后一对，共输出(x，y)的组数为1 007；(3)程序框图的程序语句如下：（B卷能力素养提升）（时间90分钟，满分120分）一、选择题(本大题共10小题，每小题5分，共50分)1．算法的每一步都应该是确定的，能有效执行的，并且得到确定的结果，这是指算法的( ) A ．有穷性 B ．确定性 C ．普遍性 D ．不唯一性 答案：B2．已知函数y ＝⎩⎨⎧x ，x ≥0，x ＋1，x <0，输入自变量x 的值，输出对应的函数值．设计程序框图时，需用到的基本逻辑结构是( )A ．顺序结构B ．条件结构C ．顺序结构、条件结构D ．顺序结构、循环结构 答案：C3．用“辗转相除法”求得360和504的最大公约数是( ) A ．72 B ．36 C ．24D ．2520解析：选A 504＝360×1＋144,360＝72×5＋0，故最大公约数是72. 4．若十进制数26等于k 进制数32，则k 等于( ) A ．4 B ．5 C ．6D ．8解析：选D 由题意知，26＝3×k 1＋2，解得k ＝8.5．阅读下图所示的程序框图，运行相应的程序，输出的结果是( )A ．3B ．11C ．38D ．123解析：选B 根据框图可知第一步的运算为：a ＝1＜10，满足条件，可以得到a ＝12＋2＝3，又因为a＝3＜10，满足条件，所以有a＝32＋2＝11，因为a＝11＞10，不满足条件，输出结果a＝11.6．对于下列算法：如果在运行时，输入2，那么输出的结果是()A．2,5 B．2,4C．2,3 D．2,9解析：选A本题主要考查条件语句的应用．输入a的值2，首先判断是否大于5，显然2不大于5，然后判断2与3的大小，显然2小于3，所以结果是b＝5，因此结果应当输出2,5.7．根据下面的算法，可知输出的结果S为()第一步，i＝1；第二步，判断i＜10是否成立，若成立，则i＝i＋2，S＝2i＋3，重复第二步，否则执行下一步；第三步，输出S.A．19 B．21C．25 D．27解析：选C该算法的运行过程是：i＝1，i＝1<10成立，i＝1＋2＝3，S＝2×3＋3＝9，i＝3<10成立，i＝3＋2＝5，S＝2×5＋3＝13，i＝5<10成立，i＝5＋2＝7，S＝2×7＋3＝17，i＝7<10成立，i＝7＋2＝9，S＝2×9＋3＝21，i＝9<10成立，i＝9＋2＝11，S＝2×11＋3＝25，i＝11<10不成立，输出S＝25.8．按下列程序运行的结果是()A．10.5 B．11.5C．16 D．25解析：选D A＝4.5，第一个条件结构中的条件不满足，则B＝6－3＝3，B＝3＋2＝5；而第二个条件结构中的条件满足，则B＝5×5＝25，所以运行结果为25.9．如图是求x1，x2，…，x10的乘积S的程序框图，图中空白框中应填入的内容为()A．S＝S*(n＋1)B．S＝S*x n＋1C．S＝S*nD．S＝S*x n解析：选D由题意知，由于求乘积，故空白框中应填入S＝S*x n.10．(全国卷Ⅱ)下边程序框图的算法思路源于我国古代数学名著《九章算术》中的“更相减损术”．执行该程序框图，若输入的a，b分别为14,18，则输出的a＝()A．0 B．2C．4 D．14解析：选B a＝14，b＝18.第一次循环：14≠18且14<18，b＝18－14＝4；第二次循环：14≠4且14>4，a＝14－4＝10；第三次循环：10≠4且10>4，a＝10－4＝6；第四次循环：6≠4且6>4，a＝6－4＝2；第五次循环：2≠4且2<4，b＝4－2＝2；第六次循环：a＝b＝2，跳出循环，输出a＝2，故选B.二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)11．将二进制数110 101(2)化成十进制数，结果为________，再转为七进制数，结果为________．解析：110 101＝1×25＋1×24＋0×23＋1×22＋0×21＋1＝32＋16＋0＋4＋0＋1＝53.110 101(2)＝104(7)．答案：53104(7)12．如图所示，程序框图(算法流程图)的输出结果是________．解析：第一次进入循环体有T ＝0＋0，第二次有T ＝0＋1，第三次有T ＝0＋1＋2，……，第n 次有T ＝0＋1＋2＋…＋n －1(n ＝1,2,3，…)，令T ＝n (n －1)2>105，解得n>15，故n ＝16，k ＝15.答案：1513．输入8，下列程序执行后输出的结果是________．解析：∵输入的数据为8，t ≤4不成立， ∴c ＝0.2＋0.1(8－3)＝0.7. 答案：0.714．执行如图所示的程序框图，若输入n 的值为4，则输出s 的值为________．解析：第1次循环：s ＝1＋(1－1)＝1，i ＝1＋1＝2；第2次循环：s ＝1＋(2－1)＝2，i ＝2＋1＝3；第3次循环：s ＝2＋(3－1)＝4，i ＝3＋1＝4；第4次循环：s ＝4＋(4－1)＝7，i ＝4＋1＝5.循环终止，输出s 的值为7.答案：7三、解答题(本大题共4小题，共50分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤) 15．(本小题满分12分)阅读下列两个程序，回答问题． ①x ＝3 y ＝4 x ＝y PRINT x ，y END(1)上述两个程序的运行结果是：①________________；②_____________________________________________. (2)上述两个程序中的第三行有什么区别？ 解：(1)两个程序的运行结果是①4 4；②3 3；(2)程序①中的x ＝y 是将y 的值4赋给x ，赋值后，x 的值变为4，程序②中的y ＝x 是将x 的值3赋给y ，赋值后y 的值变为3.16．(本小题满分12分)用秦九韶算法求多项式f (x )＝7x 7＋6x 6＋5x 5＋4x 4＋3x 3＋2x 2＋x ，当x ＝3时的值．解：f (x )＝((((((7x ＋6)x ＋5)x ＋4)x ＋3)x ＋2)x ＋1)x ， v 0＝7，v 1＝7×3＋6＝27， v 2＝27×3＋5＝86， v 3＝86×3＋4＝262， v 4＝262×3＋3＝789， v 5＝789×3＋2＝2 369， v 6＝2 369×3＋1＝7 108， v 7＝7 108×3＋0＝21 324， ∴f (3)＝21 324.17．(本小题满分12分)在音乐唱片超市里，每张唱片售价25元，顾客购买5张(含5张)以上但不足10张唱片，则按九折收费，顾客购买10张以上(含10张)唱片，则按八五折收费，编写程序，输入顾客购买唱片的数量a ，输出顾客要缴纳的金额C .并画出程序框图．②x ＝3 y ＝4 y ＝x PRINT x ，yEND解：由题意得C ＝⎩⎪⎨⎪⎧25a ，a <5，22.5a ，5≤a ＜10，21.25a ，a ≥10.程序框图，如图所示：程序如下：18．(本小题满分14分)设计一个算法，求f(x)＝x 6＋x 5＋x 4＋x 3＋x 2＋x ＋1，当x ＝2时的函数值，要求画出程序框图，并写出程序．解：则程序框图为：程序为：S ＝0i ＝0WHILE i ≤6S ＝S ＋2^i i ＝i ＋1WEND PRINT S END阶段质量检测（二）（A 卷 学业水平达标） (时间90分钟，满分120分)一、选择题(本大题共10小题，每小题5分，共50分)1．某学校为了调查高一年级的200名学生完成课后作业所需时间，采取了两种抽样调查的方式：第一种由学生会的同学随机抽取20名同学进行抽查；第二种由教务处对该年级的学生进行编号，从001到200，抽取学号最后一位为2的同学进行调查．则这两种抽样的方法依次是( )A ．分层抽样，简单随机抽样B ．简单随机抽样，分层抽样C ．分层抽样，系统抽样D ．简单随机抽样，系统抽样解析：选D 由抽样方法的概念知选D.2．将某班的60名学生编号为01,02，…，60，采用系统抽样方法抽取一个容量为5的样本，且随机抽得的一个号码为04，则剩下的四个号码依次是( )A ．09,14,19,24B ．16,28,40,52C ．10,16,22,28D ．08,12,16,20解析：选B 分成5组，每组12名学生，按等间距12抽取．选项B 正确．3．某学校有教师200人，男学生1 200人，女学生1 000人．现用分层抽样的方法从全体师生中抽取一个容量为n 的样本，若女学生一共抽取了80人，则n 的值为( )A ．193B ．192C ．191D ．190解析：选B 1 000×n200＋1 200＋1 000＝80，求得n ＝192.4．某商品的销售量y (件)与销售价格x (元/件)存在线性相关关系，根据一组样本数据(x i ，y i )(i ＝1,2，…，n )，用最小二乘法建立的回归方程为y ^＝－10x ＋200，则下列结论正确的是( )A ．y 与x 具有正的线性相关关系B ．若r 表示变量y 与x 之间的线性相关系数，则r ＝－10C ．当销售价格为10元时，销售量为100件D ．当销售价格为10元时，销售量在100件左右解析：选D y 与x 具有负的线性相关关系，所以A 项错误；当销售价格为10元时，销售量在100件左右，因此C 错误，D 正确；B 项中－10是回归直线方程的斜率．5．设有两组数据x 1，x 2，…，x n 与y 1，y 2，…，y n ，它们的平均数分别是x 和y ，则新的一组数据2x 1－3y 1＋1,2x 2－3y 2＋1，…，2x n －3y n ＋1的平均数是( )A ．2x －3yB ．2x －3y ＋1C ．4x －9yD ．4x －9y ＋1解析：选B 设z i ＝2x i －3y i ＋1(i ＝1,2，…，n )，则z ＝1n (z 1＋z 2＋…＋z n )＝2n (x 1＋x 2＋…＋x n )－3n (y 1＋y 2＋…＋y n )＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1＋…＋1n ＝2x －3y ＋1.6．某学习小组在一次数学测验中，得100分的有1人，得95分的有1人，得90分的有2人，得85分的有4人，得80分和75分的各有1人，则该小组数学成绩的平均数、众数、中位数分别是( )A ．85,85,85B ．87,85,86C ．87,85,85D ．87,85,90解析：选C ∵得85分的人数最多为4人，∴众数为85，中位数为85，平均数为110(100＋95＋90×2＋85×4＋80＋75)＝87.7．某出租汽车公司为了了解本公司司机的交通违章情况，随机调查了50名司机，得的他们某月交通违章次数的数据制成了如图所示的统计图，根据此统计图可得这50名出租车司机该月平均违章的次数为( )A ．1B ．1.8C ．2.4D ．3解析：选B5×0＋20×1＋10×2＋10×3＋5×450＝1.8.8．下表是某厂1～4月份用水量情况(单位：百吨)的一组数据：用水量y 与月份x 之间具有线性相关关系，其线性回归方程为y ＝－0.7x ＋a ，则a 的值为( ) A ．5.25 B ．5 C ．2.5D ．3.5解析：选A 线性回归方程经过样本的中心点，根据数据可得样本中心点为(2.5,3.5)，所以a ＝5.25. 9．在元旦晚会举办的挑战主持人大赛上，七位评委为某选手打出的分数的茎叶统计图如图，去掉一个最高分和一个最低分后，所剩数据的平均数和方差分别为( )A.84,4.84 B ．84,1.6 C ．85,1.6D ．85,4解析：选C 去掉一个最高分93，去掉一个最低分79，平均数为15×(84＋84＋86＋84＋87)＝85，方差为15[(85－84)2＋(85－84)2＋(85－86)2＋(85－84)2＋(85－87)2]＝1.6.10．图甲是某县参加2017年高考学生的身高条形统计图，从左到右各条形表示的学生人数依次记为A 1，A 2，…，A 10{如A 2表示身高(单位：cm)在[150,155)内的学生人数}，图乙是统计图甲中身高在一定范围内学生人数的一个算法流程图．现要统计身高在160～180 cm(含160 cm ，不含180 cm)的学生人数，那么在流程图中的判断框内应填写的条件是( )A ．i ＜6?B ．i ＜7?C ．i ＜8?D ．i ＜9?解析：选C 由图甲可知身高在160～180 cm 的学生都在A 4～A 7内，∴i ＜8. 二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)11．甲、乙两套设备生产的同类型产品共4 800件，采用分层抽样的方法从中抽取一个容量为80的样本进行质量检测．若样本中有50件产品由甲设备生产，则乙设备生产的产品总数为____件．解析：设乙设备生产的产品总数为x 件， 则4 800－x 50＝x80－50，解得x ＝1 800，故乙设备生产的产品总数为1 800件． 答案：1 80012．一个容量为40的样本数据分组后组数与频数如下：[25,25.3)，6；[25.3,25.6)，4；[25.6,25.9)，10；[25.9,26.2)，8；[26.2,26.5)，8；[26.5,26.8)，4，则样本在[25,25.9)上的频率为________．解析：[25,25.9)包括[25,25.3)，6；[25.3,25.6)，4；[25.6,25.9)，10；频数之和为20，频率为2040＝12.答案：1213．要考察某种品牌的500颗种子的发芽率，抽取60粒进行实验，利用随机数表法抽取种子时，先将500颗种子按001,002，…，500进行编号，如果从随机数表第7行第8列的数3开始向右读，请你依次写出最先检测的5颗种子的编号：____________________，_______，_______，_______，_______. (下面摘取了随机数表第7行至第9行) 84 42 17 53 31 57 24 55 06 88 77 04 74 47 67 21 76 33 50 25 83 92 12 06 7663 01 63 78 59 16 95 55 67 19 98 10 50 71 75 12 86 73 58 07 44 39 52 38 7933 21 12 34 29 78 64 56 07 82 52 42 07 44 38 15 51 00 13 42 99 66 02 79 54解析：选出的三位数分别为331,572,455,068,877,047,447，…，其中572,877均大于500，将其去掉，剩下的前5个编号为331,455,068,047,447.答案：331 455 068 047 44714．从某小学随机抽取100名同学，将他们的身高(单位：厘米)数据绘制成频率分布直方图(如下图)．由图中数据可知a ＝________.若要从身高在[120,130)，[130,140)，[140,150]三组的学生中，用分层抽样的方法选取18人参加一项活动，则从身高在[140,150]的学生中选取的人数应为________．解析：∵0.005×10＋0.035×10＋a ×10＋0.020×10＋0.010×10＝1， ∴a ＝0.030.设身高在[120,130)，[130,140)，[140,150]三组的学生分别有x ，y ，z 人，则x100＝0.030×10，解得x ＝30.同理，y ＝20，z ＝10.故从[140,150]的学生中选取的人数为1030＋20＋10×18＝3.答案：0.030 3三、解答题(本大题共4题，共50分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．)15．(本小题满分12分)某化肥厂有甲、乙两个车间包装肥料，在自动包装传送带上每隔30分钟抽取一包产品，称其重量(单位：kg)，分别记录抽查数据如下：甲：102,101,99,98,103,98,99； 乙：110,115,90,85,75,115,110. (1)这种抽样方法是哪一种方法？(2)试计算甲、乙车间产品重量的平均数与方差，并说明哪个车间产品较稳定？ 解：(1)甲、乙两组数据间隔相同，所以采用的方法是系统抽样法． (2)x 甲＝17(102＋101＋99＋98＋103＋98＋99)＝100， x乙＝17(110＋115＋90＋85＋75＋115＋110)＝100， s 2甲＝17(4＋1＋1＋4＋9＋4＋1)≈3.43， s 2乙＝17(100＋225＋100＋225＋625＋225＋100)＝228.57， ∴s 2甲＜s 2乙，故甲车间产品比较稳定． 16．(本小题满分12分)对某校高一年级学生参加社区服务次数进行统计，随机抽取M 名学生作为样本，得到这M 名学生参加社区服务的次数．根据此数据作出频数与频率的统计表和频率分布直方图如下：(1)求出表中M ，p 及图中a 的值；(2)若该校高一学生有360人，试估计该校高一学生参加社区服务的次数在区间[10,15)的人数． 解：由分组[10,15)的频数是10，频率是0.25， 知10M ＝0.25，所以M ＝40.因为频数之和为40，所以10＋25＋m ＋2＝40，解得m ＝3.故p ＝3M ＝340＝0.075.因为a 是对应分组[15,20)的频率与组距的商， 所以a ＝2540×5＝0.125.(2)因为该校高一学生有360人，分组[10,15)的频率是0.25，所以估计该校高一学生参加社区服务的次数在此区间内的人数为360×0.25＝90.17．(本小题满分12分)某地最近十年粮食需求量逐年上升，下表是部分统计数据：(1)利用所给数据求年需求量与年份之间的回归直线方程y ＝b x ＋a ； (2)利用(1)中所求出的直线方程预测该地2016年的粮食需求量．解：(1)由所给数据看出，年需求量与年份之间是近似直线上升的．对数据预处理如下：对预处理后的数据，容易算得x ＝0，y ＝3.2，b ^＝(－4)×(－21)＋(－2)×(－11)＋2×19＋4×2942＋22＋22＋42＝26040＝6.5. a ^＝y －b ^x ＝3.2.由上述计算结果知所求回归直线方程为 y ^－257＝b ^(x －2 010)＋a ^＝6.5(x －2 010)＋3.2. 即y ^＝6.5(x －2 010)＋260.2.①(2)利用直线方程①，可预测2016年的粮食需求量为 6．5×(2 016－2 010)＋260.2 ＝6.5×6＋260.2 ＝299.2(万吨)．18．(本小题满分14分)(四川高考)我国是世界上严重缺水的国家，某市为了制定合理的节水方案，对居民用水情况进行了调查．通过抽样，获得了某年100位居民每人的月均用水量(单位：吨)．将数据按照[0,0.5)，[0.5,1)，…，[4,4.5]分成9组，制成了如图所示的频率分布直方图．(1)求直方图中a 的值；(2)设该市有30万居民，估计全市居民中月均用水量不低于3吨的人数，说明理由； (3)估计居民月均用水量的中位数．解：(1)由频率分布直方图可知，月均用水量在[0,0.5)内的频率为0.08×0.5＝0.04，同理，在[0.5,1)，[1.5,2)，[2,2.5)，[3,3.5)，[3.5,4)，[4,4.5]内的频率分别为0.08，0.21，0.25,0.06,0.04,0.02.由1－(0.04＋0.08＋0.21＋0.25＋0.06＋0.04＋0.02)＝2a ×0.5， 解得a ＝0.30.(2)由(1)知，该市100位居民中月均用水量不低于3吨的频率为0.06＋0.04＋0.02＝0.12.由以上样本的频率分布，可以估计30万居民中月均用水量不低于3吨的人数为300 000×0.12＝36 000. (3)设中位数为x 吨．因为前5组的频率之和为0.04＋0.08＋0.15＋0.21＋0.25＝0.73＞0.5，而前4组的频率之和为0.04＋0.08＋0.15＋0.21＝0.48＜0.5，所以2≤x＜2.5.由0.50×(x－2)＝0.5－0.48，解得x＝2.04.故可估计居民月均用水量的中位数为2.04吨．（B卷能力素养提升）(时间90分钟，满分120分)一、选择题(本大题共10小题，每小题5分，共50分)1．我校在检查学生作业时，抽出每班学号尾数为5的学生作业进行检查，这里运用的是() A．分层抽样B．抽签抽样C．随机抽样D．系统抽样答案：D2．下列各选项中的两个变量具有相关关系的是()A．长方体的体积与边长B．大气压强与水的沸点C．人们着装越鲜艳，经济越景气D．球的半径与表面积解析：选C A、B、D均为函数关系，C是相关关系．3．为了调查全国人口的寿命，抽查了十一个省(市)的2 500名城镇居民．这2 500名城镇居民的寿命的全体是()A．总体B．个体C．样本D．样本容量答案：C4．已知总体容量为106，若用随机数表法抽取一个容量为10的样本．下面对总体的编号最方便的是()A．1,2，…，106 B．0,1,2，…，105C．00,01，…，105 D．000,001，…，105解析：选D由随机数抽取原则可知选D.5．有一个容量为200的样本，其频率分布直方图如图所示．根据样本的频率分布直方图估计，样本数据落在区间[10,12)内的频数为()A ．18B ．36C ．54D ．72解析：选B 易得样本数据在区间[10,12)内的频率为0.18，则样本数据在区间[10,12)内的频数为36. 6．对一组数据x i (i ＝1,2,3，…，n )，如果将它们改变为x i ＋c (i ＝1,2,3，…，n )，其中c ≠0，则下面结论中正确的是( )A ．平均数与方差均不变B ．平均数变了，而方差保持不变C ．平均数不变，而方差变了D ．平均数与方差均发生了变化解析：选B 设原来数据的平均数为x －，将它们改变为x i ＋c 后平均数为x ′，则x ′＝x －＋c ，而方差s ′2＝1n[(x 1＋c －x －－c )2＋…＋(x n ＋c －x －－c )2]＝s 2.7．某中学高三从甲、乙两个班中各选出7名学生参加数学竞赛，他们取得的成绩(满分100分)的茎叶图如图，其中甲班学生成绩的众数是85，乙班学生成绩的中位数是83，则x ＋y 的值为( )A ．7B ．8C ．9D ．10解析：选B 甲班学生成绩的众数为85，结合茎叶图可知x ＝5；又因为乙班学生成绩的中位数是83，所以y ＝3，即x ＋y ＝5＋3＝8.8．相关变量x ，y 的样本数据如下表：经回归分析可得y 与x 线性相关，并由最小二乘法求得回归直线方程为y ^＝1.1x ＋a ，则a ＝( ) A ．0.1 B ．0.2 C ．0.3D ．0.4 解析：选C ∵回归直线经过样本点的中心(x ，y )，且由题意得(x ，y )＝(3,3.6)，∴3.6＝1.1×3＋a ，∴a ＝0.3.9．甲、乙两支女子曲棍球队在去年的国际联赛中，甲队平均每场进球数是3.2，全年进球数的标准差为3；乙队平均每场进球数是1.8，全年进球数的标准差为0.3.下列说法中，正确的个数为( )①甲队的技术比乙队好；②乙队发挥比甲队稳定；③乙队几乎每场都进球；④甲队的表现时好时坏．A．1个B．2个C．3个D．4个解析：选D因为甲队的平均进球数比乙队多，所以甲队技术较好，①正确；乙队的标准差比甲队小，标准差越小越稳定，所以乙队发挥稳定，①也正确；乙队平均每场进球数为1.8，所以乙队几乎每场都进球，①正确；由于s甲＝3，s乙＝0.3，所以甲队与乙队相比，不稳定，所以甲队的表现时好时坏，①正确．10．已知数据：①18,32，－6,14,8,12；②21,4,7,14，－3,11；③5,4,6,5,7,3；④－1,3,1,0,0，－3.各组数据中平均数和中位数相等的是()A．①B．②C．③D．①②③④解析：选D运用计算公式x＝1n(x1＋x2＋…＋x n)，可知四组数据的平均数分别为13,9,5,0.根据中位数的定义：把每组数据从小到大排列，取中间一位数(或两位的平均数)即为该组数据的中位数，可知四组数据的中位数分别为13,9,5,0.故每组数据的平均数和中位数均对应相等．二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)11．某个年级有男生560人，女生420人，用分层抽样的方法从该年级全体学生中抽取一个容量为280的样本，则此样本中男生人数为________．解析：由分层抽样得，此样本中男生人数为560×280560＋420＝160.答案：16012．(山东高考)下图是根据部分城市某年6月份的平均气温(单位：℃)数据得到的样本频率分布直方图，其中平均气温的范围是[20.5,26.5]．样本数据的分组为[20.5，21.5)，[21.5,22.5)，[22.5,23.5)，[23.5,24.5)，[24.5，25.5)，[25.5，26.5]．已知样本中平均气温低于22.5 ℃的城市个数为11，则样本中平均气温不低于25.5 ℃的城市个数为________．解析：设样本容量为n，则n×(0.1＋0.12)×1＝11，所以n＝50，故所求的城市数为50×0.18＝9.答案：913．(江苏高考)抽样统计甲、乙两位射击运动员的5次训练成绩(单位：环)，结果如下：解析：对于甲，平均成绩为x －＝90，所以方差为s 2＝15×[(87－90)2＋(91－90)2＋(90－90)2＋(89－90)2＋(93－90)2]＝4，对于乙，平均成绩为x －＝90，方差为s 2＝15×[(89－90)2＋(90－90)2＋(91－90)2＋(88－90)2＋(92－90)2]＝2.由于2<4，所以乙的平均成绩较为稳定．答案：214．某班12位学生父母年龄的茎叶图如图所示，则12位同学母亲的年龄的中位数是________，父亲的平均年龄比母亲的平均年龄多________岁.解析：由41＋432＝42，得中位数是42.母亲平均年龄＝42.5， 父亲平均年龄为45.5，因而父亲平均年龄比母亲平均年龄多3岁． 答案：42 3三、解答题(本大题共4小题，共50分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤) 15．(本小题满分12分)某花木公司为了调查某种树苗的生长情况，抽取了一个容量为100的样本，测得树苗的高度(cm)数据的分组及相应频数如下：[107,109)3株；[109,111)9株；[111,113)13株； [113,115)16株；[115,117)26株；[117,119)20株； [119,121)7株；[121,123)4株；[123,125]2株． (1)列出频率分布表； (2)画出频率分布直方图；(3)据上述图表，估计数据在[109,121)范围内的可能性是百分之几？ 解：(2)频率分布直方图如下：(3)由上述图表可知数据落在[109,121)范围内的频率为：0.94－0.03＝0.91，即数据落在[109,121)范围内的可能性是91%.16．(本小题满分12分)甲、乙两位学生参加数学竞赛培训，现分别从他们在培训期间参加的若干次预赛成绩中随机抽取8次，记录如下：甲 82 81 79 78 95 88 93 84 乙 92 95 80 75 83 80 90 85 (1)用茎叶图表示这两组数据；(2)现要从中选派一人参加数学竞赛，从统计学的角度(在平均数、方差或标准差中选两个)考虑，你认为选派哪位学生参加合适？请说明理由？解：(1)作出茎叶图如下：(2)x 甲＝18(78＋79＋81＋82＋84＋88＋93＋95)＝85，x 乙＝18(75＋80＋80＋83＋85＋90＋92＋95)＝85.s 2甲＝18[(78－85)2＋(79－85)2＋(81－85)2＋(82－85)2＋(84－85)2＋(88－85)2＋(93－85)2＋(95－85)2]＝35.5，s 2乙＝18[(75－85)2＋(80－85)2＋(80－85)2＋(83－85)2＋(85－85)2＋(90－85)2＋(92－85)2＋(95－85)2]＝41， ∵x甲＝x 乙，s 2甲<s 2乙，∴甲的成绩较稳定，派甲参赛比较合适．17．(本小题满分12分)某个服装店经营某种服装，在某周内获纯利y (元)与该周每天销售这些服装件数x 之间有如下一组数据：已知∑i ＝17x 2i ＝280，∑i ＝17x i y i ＝3 487， (1)求x ，y ；(2)求纯利y 与每天销售件数x 之间的回归直线方程； (3)每天多销售1件，纯利y 增加多少元？ 解：(1)x ＝17(3＋4＋5＋…＋9)＝6，y ＝17(66＋69＋…＋91)≈79.86.(2)设回归直线方程为y ^＝a ^＋b ^x ，则b ^＝∑i ＝17x i y i －7x － y－∑i ＝17x 2i －7x2＝3 487－7×6×79.86280－7×62≈4.75. a ^＝y －b x －≈79.86－4.75×6＝51.36. ∴所求的回归直线方程为y ^＝51.36＋4.75x .(3)由回归直线方程知，每天多销售1件，纯利增加4.75元．18．(本小题满分14分)某地统计局就该地居民的月收入调查了10 000人，并根据所得数据画了样本的频率分布直方图(每个分组包括左端点，不包括右端点，如第一组表示收入在[1 000，1 500))．(1)求居民月收入在[3 000,3 500)的频率； (2)根据频率分布直方图算出样本数据的中位数；(3)为了分析居民的收入与年龄、职业等方面的关系，必须按月收入再从这10 000人中用分层抽样方法抽出100人作进一步分析，则月收入在[2 500，3 000)的这段应抽多少人？解：(1)月收入在[3 000,3 500)的频率为0.000 3×(3 500－3 000)＝0.15. (2)∵0.000 2×(1 500－1 000)＝0.1， 0．000 4×(2 000－1 500)＝0.2， 0．000 5×(2 500－2 000)＝0.25， 0．1＋0.2＋0.25＝0.55>0.5.∴样本数据的中位数为2 000＋0.5－(0.1＋0.2)0.000 5＝2 000＋400＝2 400(元)．(3)居民月收入在[2 500,3 000)的频率为0.000 5×(3 000－2 500)＝0.25， 所以10 000人中月收入在[2 500,3 000)的人数为0.25×10 000＝2 500(人)．再从10 000人中分层抽样方法抽出100人，则月收入在[2 500，3 000)的这段应抽取100×2 50010 000＝25(人)．阶段质量检测（三）（A 卷 学业水平达标） (时间90分钟，满分120分)一、选择题(本大题共10小题，每小题5分，共50分)1．把黑、红、白3张纸牌分给甲、乙、丙三人，则事件“甲分得红牌”与“乙分得红牌”是( ) A ．对立事件 B ．互斥但不对立事件 C ．不可能事件D ．必然事件解析：选B 根据题意，把黑、红、白3张纸牌分给甲、乙、丙三人，事件“甲分得红牌”与“乙分得红牌”不会同时发生，故两者是互斥事件，但除了“甲分得红牌”与“乙分得红牌”之外，还有“丙分得红牌”，故两者不是对立事件，所以事件“甲分得红牌”与“乙分得红牌”是互斥但不对立事件．2．已知集合A ＝{2,3}，B ＝{1,2,3}，从A ，B 中各任意取一个数，则这两数之和等于4的概率是( ) A.23 B ．12C.13D ．16解析：选C 从A ，B 中各取一个数有(2,1)，(2,2)，(2,3)，(3,1)，(3,2)，(3,3)，共6种情况，其中和为4的有(2,2)，(3,1)，共2种情况，所以所求概率P ＝26＝13.3．在区间[－3,3]上任取一个实数，所得实数是不等式x 2＋x －2≤0的解的概率为( ) A.16 B ．13C.12D ．23解析：选C 由x 2＋x －2≤0，得－2≤x ≤1， 所求概率为1－(－2)3－(－3)＝12.4．在正方体ABCD A 1B 1C 1D 1中随机取点，则点落在四棱锥O ABCD 内(O 为正方体的对角线的交点)的概率是( )A.13 B ．16C.12D ．14解析：选B 设正方体的体积为V ，则四棱锥O ABCD 的体积为V6，所求概率为V 6V ＝16.5．从{}a ，b ，c ，d ，e 的所有子集中任取一个，这个集合恰是集合{}a ，b ，c 子集的概率是( ) A.35 B ．25C.14D ．18解析：选C 符合要求的是∅，{}a ，{}b ，{}c ，{}a ，b ，{}a ，c ，{}b ，c ，{}a ，b ，c 共8个，而集合{}a ，b ，c ，d ，e 共有子集25＝32个，∴P ＝14.6．(全国乙卷)为美化环境，从红、黄、白、紫4种颜色的花中任选2种花种在一个花坛中，余下的2种花种在另一个花坛中，则红色和紫色的花不在同一花坛的概率是( ) A.13B.12C.23D.56解析：选C 从4种颜色的花中任选2种颜色的花种在一个花坛中，余下2种颜色的花种在另一个花坛的种数有：红黄—白紫、红白—黄紫、红紫—白黄、黄白—红紫、黄紫—红白、白紫—红黄，共6种，其中红色和紫色的花不在同一花坛的种数有：红黄—白紫、红白—黄紫、黄紫—红白、白紫—红黄，共4种，故所求概率为P ＝46＝23，故选C.7．连续掷两次骰子，以先后得到的点数m ，n 为点P (m ，n )的坐标，那么点P 在圆x 2＋y 2＝17内部的概率是( )A.19 B ．29C.13D ．49解析：选B 点P (m ，n )的坐标的所有可能为6×6＝36种，而点P 在圆x 2＋y 2＝17内部只有⎩⎪⎨⎪⎧m ＝1n ＝1，⎩⎪⎨⎪⎧ m ＝1n ＝2，⎩⎪⎨⎪⎧ m ＝1n ＝3，⎩⎪⎨⎪⎧ m ＝2n ＝1，⎩⎪⎨⎪⎧ m ＝2n ＝2，⎩⎪⎨⎪⎧ m ＝2n ＝3，⎩⎪⎨⎪⎧ m ＝3n ＝1，⎩⎪⎨⎪⎧m ＝3n ＝2，共8种，故概率为29.8．甲、乙、丙三人在3天节假日中值班，每人值班1天，则甲排在乙的前面值班的概率是( ) A.16 B ．14C.13 D ．12解析：选C 甲、乙、丙三人在3天中值班的情况为甲，乙，丙；甲，丙，乙；丙，甲，乙；丙，乙，甲；乙，甲，丙；乙，丙，甲共6种，其中符合题意的有2种，故所求概率为13.9．一袋中装有大小相同，编号分别为1,2,3,4,5,6,7,8的八个卡片，从中无放回．．．地每次抽一张卡片，共抽2次，则取得两张卡片的编号和不小于．．．14的概率为( )A.128 B ．156C.356D ．114 解析：选D 从中无放回地取2次，所取号码共有56种，其中和不小于14的有4种，分别是(6,8)，(8,6)，(7,8)，(8,7)，故所求概率为456＝114.10．小莉与小明一起用A ，B 两枚均匀的小立方体(立方体的每个面上分别标有数字1,2,3,4,5,6)玩游戏，以小莉掷的A 立方体朝上的数字为x ，小明掷的B 立方体朝上的数字为y 来确定点P (x ，y )，那么他们各。
(典型题)高中数学必修三第三章《概率》测试题(有答案解析)(1)
一、选择题1．七巧板是我们祖先的一项创造，被誉为“东方魔板”，它是由五块等腰直角三角形（两块全等的小三角形、一块中三角形和两块全等的大三角形）、一块正方形和一块平行四边形组成的．如图是一个用七巧板拼成的正方形，现从该正方形中任取一点，则此点取自黑色部分的概率是A ．316B ．38C ．14D ．182．福建省第十六届运动会将于2018年在宁德召开，组委会预备在会议期间从3女2男共5名志愿者中任选2名志愿者参考接待工作，则选到的都是女性志愿者的概率为（ ）A ．110B ．310C ．12D ．353．如图是一边长为8的正方形苗圃图案，中间黑色大圆与正方形的内切圆共圆心，圆与圆之间是相切的，且中间黑色大圆的半径是黑色小圆半径的2倍.若在正方形图案上随机取一点，则该点取自黑色区域的概率为（ ）A ．8πB ．16π C ．18π-D ．116π-4．中国古代十进制的算筹计数法，在数学史上是一个伟大的创造，算筹实际上是一根根同长短的小木棍．如图，是利用算筹表示数1－9的一种方法．例如：3可表示为“≡”，26可表示为“=⊥”，现有6根算筹，据此表示方法，若算筹不能剩余，则可以用1－9这9个数字表示两位数中，能被3整除的概率是（ ）A ．518B ．718C ．716D ．5165．盒中有形状、大小都相同的2个红色球和3个黄色球，从中取出一个球，观察颜色后放回并往盒中加入同色球4个，再从盒中取出一个球，则此时取出黄色球的概率为（ ） A ．35B ．79C ．715D ．31456．据《孙子算经》中记载，中国古代诸侯的等级从低到高分为：男、子、伯、侯、公，共五级，若给获得巨大贡献的7人进行封爵，要求每个等级至少有一人，至多有两人，则伯爵恰有两人的概率为（ ） A ．310B ．25C ．825D ．357．将一枚质地均匀的硬币连掷三次，设事件A ：恰有1次正面向上；事件B ：恰有2次正面向上，则()P A B +=（ ） A ．23B ．14C ．38D ．348．如图，正方形ABNH 、DEFM 的面积相等，23CN NG AB ==，向多边形ABCDEFGH 内投一点，则该点落在阴影部分内的概率为（ ）A ．12B ．34C ．27D ．389．类比“赵爽弦图”，可类似地构造如图所示的图形，它是由3个全等的三角形与中间的一个小等边三角形拼成的一个大等边三角形，设2AD BD =，若在大等边三角形中随机取一点，则此点取自小等边三角形的概率是（ ）A ．14B ．13C ．17D ．41310．已知三棱锥P ﹣ABC 的6条棱中，有2条长为1，有4条长为2，则从中任意取出的两条，这两条棱长度相等的概率为（ ） A ．815B ．715C ．45D ．3511．从一口袋中有放回地每次摸出1个球，摸出一个白球的概率为0.4，摸出一个黑球的概率为0.5，若摸球3次，则恰好有2次摸出白球的概率为 A ．0.24B ．0.26C ．0.288D ．0.29212．勒洛三角形是具有类似圆的“定宽性”的面积最小的曲线，它由德国机械工程专家，机构运动学家勒洛首先发现，其作法是：以等边三角形每个顶点为圆心，以边长为半径，在另两个顶点间作一段弧，三段弧围成的曲边三角形就是勒洛三角形，现在勒洛三角形中随机取一点，则此点取自正三角形外的概率为（ ）A ．()23323ππ-- B ．()323π-C ．()323π+ D ．()23323ππ-+二、填空题13．如图，在边长为1的正方形中随机撒一粒黄豆，则它落在阴影部分的概率为_______.14．2020年初，湖北成为全国新冠疫情最严重的省份，面临医务人员不足，医疗物资紧缺等诸多困难，全国人民心系湖北，志愿者纷纷驰援.若某医疗团队从3名男医生和2名女医生志愿者中，随机选取2名医生赴湖北支援，则至少有1名女医生被选中的概率为__________.15．将一颗质地均匀的骰子(一种各个面上分别标有1，2，3，4，5，6个点的正方体玩具)先后抛掷2次，则出现向上的点数之和小于10的概率是________．16．五位德国游客与七位英国游客在游船上任意站成一排拍照，则五位德国游客互不相邻的概率为_______.17．在区间[2,4]-上随机地取一个实数x ，若实数x 满足||x m ≤的概率为23，则m =_______.18．已知四棱锥P ABCD -的所有顶点都在球O 的球面上，PA ⊥底面ABCD ，底面ABCD 为正方形， 2.PA AB ==现在球O 的内部任取一点，则该点取自四棱锥P ABCD -的内部的概率为______．19．从1，2，3，4中任取两个不同的数，则取出的2个数之差的绝对值小于或等于2的概率为__________．20．4位同学各自在周六、周日两天中任选一天参加公益活动，则周六、周日都有同学参加公益活动的概率是________三、解答题21．某电视台“挑战主持人”节目的挑战者闯第一关需要回答三个问题，其中前两个问题回答正确各得10分，回答不正确得0分，第三个问题回答正确得20分，回答不正确得10-分．如果一位挑战者回答前两个问题正确的概率都是23，回答第三个问题正确的概率为12，且各题回答正确与否相互之间没有影响．若这位挑战者回答这三个问题的总分不低于10分就算闯关成功．（1）求至少回答对一个问题的概率．（2）求这位挑战者回答这三个问题的总得分X 的分布列． （3）求这位挑战者闯关成功的概率．22．新冠病毒肆虐全球，尽快结束疫情是人类共同的期待，疫苗是终结新冠疫情最有力的科技武器，为确保疫苗安全性和有效性，任何疫苗在投入使用前都要经过一系列的检测及临床试验，周期较长.我国某院士领衔开发的重组新冠疫苗在动物猕猴身上进行首次临床试验.相关试验数据统计如下：已知从所有参加试验的猕猴中任取一只，取到“注射重组新冠疫苗”猕猴的概率为5 12.（1）根据以上试验数据判断，能否有99.9%以上的把握认为“注射重组新冠疫苗”有效？（2）若从上述已感染新冠病毒的猕猴中任取三只进行病理分析，求至少取到两只注射了重组新冠疫苗的猕猴的概率.附：22(),()()()()n ad bcK n a b c da b a c c d b d-==+++ ++++23．一个盒子里装有m个均匀的红球和n个均匀的白球，每个球被取到的概率相等，已知从盒子里一次随机取出1个球，取到的球是红球的概率为13，从盒子里一次随机取出2个球，取到的球至少有1个是白球的概率为10 11.（1）求m，n的值；（2）若一次从盒子里随机取出3个球，求取到的白球个数不小于红球个数的概率. 24．一次考试结束后，随机抽查了某校高三（1）班5名同学的数学与物理成绩如下表：（Ⅰ）分别求这5名同学数学与物理成绩的平均分与方差，并估计该班数学与物理成绩那科更稳定；（Ⅱ）从以上5名同学中选2人参加一项活动，求选中的学生中至少有一个物理成绩高于90分的概率.25．为了弘扬中华民族传统文化，某中学高二年级举行了“爱我中华，传诵经典”的考试，并从中随机抽取了60名学生的成绩（满分100分）作为样本，其中成绩不低于80分的学生被评为优秀生，得到成绩分布的频率分布直方图如图所示.（1）若该年级共有1000名学生，试利用样本估计该年级这次考试中优秀生人数； （2）试估计这次参加考试的学生的平均成绩（同一组数据用该组区间中点值作代表）； （3）若在样本中，利用分层抽样从成绩不低于70分的学生中随机抽取6人，再从中抽取2人赠送一套国学经典典籍，试求恰好抽中2名优秀生的概率.26．2020年寒假期间新冠肺炎肆虐，全国人民众志成城抗疫情.某市要求全体市民在家隔离，同时决定全市所有学校推迟开学.某区教育局为了让学生“停课不停学”，要求学校各科老师每天在网上授课辅导，每天共200分钟.教育局为了了解高三学生网上学习情况，上课几天后在全区高三学生中采取随机抽样的方法抽取了80名学生（其中男女生恰好各占一半）进行问卷调查，按男女生分为两组，再将每组学生在线学习时间（分钟）分为5组[0,40]，(40,80]，(80,120]，(120,160]，(160,200]得到如图所示的频率分布直方图.全区高三学生有3000人（男女生人数大致相等），以频率估计概率回答下列问题：（1）估计全区高三学生中网上学习时间不超过40分钟的人数；（2）在调查的80名高三学生且学习时间不超过40分钟的学生中，男女生按分层抽样的方法抽取6人.若从这6人中随机抽取2人进行电话访谈，求至少抽到1名男生的概率.【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．A 解析：A 【解析】设2AB =，则1BC CD DE EF ====.∴1124BCI S ∆==，112242BCI EFGHS S ∆==⨯=平行四边形 ∴所求的概率为113422216P +==⨯ 故选A. 2．B解析：B 【解析】设3名女志愿者为,,A B C ，2名男志愿者为,a b ，任取2人共有,,,,,,,,,Aa Ab Ba Bb Ca Cb AB AC BC ab ，共10种情况，都是女性的情况有,,AB AC BC三种情况，故选到的都是女性志愿者的概率为310，故选B. 3．C解析：C 【分析】设黑色小圆的半径为r ，则黑色大圆的半径为2r ，由题意求得r ，进一步求出黑色区域的面积，由测度比是面积比得答案． 【详解】解：设黑色小圆的半径为r ，则黑色大圆的半径为2r ， 由题意可知，88r =，即1r =．∴图中黑色区域的面积为222884412648ππππ⨯-⨯+⨯⨯+⨯=-，又正方形的面积为64．∴在正方形图案上随机取一点，则该点取自黑色区域的概率为6481648ππ-=-． 故选：C ． 【点睛】本题考查几何概型的概率的求法，考查数形结合的解题思想方法，属于中档题．4．D解析：D 【分析】根据题意把6根算筹所能表示的两位数列举出来后，计算哪些能被3整除即可得概率． 【详解】1根算筹只能表示1,2根根算筹可以表示2和6,3根算筹可以表示3和7,4根算筹可以表示4和8,5根算筹可以表示5和9，因此6根算筹表示的两位数有15,19,51,91,24,28,64,68,42,82,46,86,37,33,73,77共16个，其中15,51,24,42,33共5个可以被3整除， 所以所求概率为516P =．故选：D．【点睛】本题考查古典概型，考查中国古代数学文化，解题关键是用列举法写出6根算筹所能表示的两位数．5．A解析：A【分析】若取出的是红色球，再从盒中取出一个球，则此时取出黄色球的概率为：139 25P=⨯，若取出的是黄色球，再从盒中取出一个球，则此时取出黄色球的概率为：237 59P=⨯，由此能求出再从盒中取出一个球，则此时取出黄色球的概率.【详解】盒中有形状、大小都相同的2个红色球和3个黄色球，从中取出一个球，观察颜色后放回并往盒中加入同色球4个，若取出的是红色球，再从盒中取出一个球，则此时取出黄色球的概率为：1329 515 2P=⨯=，若取出的是黄色球，再从盒中取出一个球，则此时取出黄色球的概率为：2377 5915P=⨯=，∴再从盒中取出一个球，则此时取出黄色球的概率为：1221573155P P P=+=+=，故选：A.【点睛】本题考查概率的求法，考查相互独立事件概率乘法公式、互斥事件概率计算公式等基础知识，考查运算求解能力，属于中档题.6．B解析：B【分析】根据部分平均分组分配的方法可求得分法总数和伯爵恰有两人的分法数，根据古典概型概率公式可求得结果.【详解】7人进行封爵，每个等级至少一人，至多两人，则共有2211225575327555322322C C C C C C AAA A A⋅=种分法；其中伯爵恰有两人的分法有2211142247532247543232C C C CC A C C AA A⋅=种分法，∴伯爵恰有两人的概率2247542257552225C C A p C C A A ==.故选：B . 【点睛】本题考查数学史与古典概型概率问题的求解，关键是能够利用排列组合中不平均分组分配的方法确定分法总数和符合题意的分法数.7．D解析：D 【分析】根据题意，列举出所有的基本事件，再分别找出满足事件A 与事件B 的事件个数，分别求出其概率，最后再相加即可. 【详解】根据题意，将一枚质地均匀的硬币连掷三次，可能出现的情况有以下8种：（正正正），（正正反），（正反正），（正反反），（反正正），（反正反），（反反正），（反反反）.满足事件A ：恰有1次正面向上的基本事件有（正反反），（反正反），（反反正）三种，故3()8P A =；满足事件B ：恰有2次正面向上的基本事件有（正正反），（正反正），（反正正）三种，故3()8P B =；因此，3()()()4P A B P A P B +=+=. 故选：D. 【点睛】本题主要考查利用列举法计算基本事件的个数以及求解事件发生的概率.8．C解析：C 【分析】由正方形ABNH 、DEFM 的面积相等，可得两正方形边长相等，设边长为3，由23CN NG AB ==，可得正方形MCNG 的边长为2，分别求出阴影部分的面积及多边形ABCDEFGH 的面积，由测度比为面积比得答案. 【详解】如图所示，由正方形ABNH 、DEFM 的面积相等，可得两正方形边长相等， 设边长为3，由23CN NG AB ==，可得正方形MCNG 的边长为2， 则阴影部分的面积为224⨯=，多边形ABCDEFGH 的面积为2332214⨯⨯-⨯=. 则向多边形ABCDEFGH 内投一点，则该点落在阴影部分内的概率为42147=. 故选：C.【点睛】本题主要考查了几何概型的概率的求法，关键是求出多边形ABCDEFGH 的面积，着重考查了推理与运算能力，以及数形结合的应用，属于基础题.9．C解析：C 【分析】 由题意求出7AB BD =，所求概率即为DEF ABCS P S=，即可得解.【详解】由题意易知120ADB ∠=，AF FD BD ==，由余弦定理得22222cos1207AB AD BD AD BD BD =+-⋅⋅=即7AB BD =，所以7AB FD =，则所求概率为217DEF ABCSFD P SAB ⎛⎫=== ⎪⎝⎭. 故选：C. 【点睛】本题考查了几何概型概率的求法和余弦定理的应用，属于中档题.10．B解析：B 【分析】从中任意取出的两条，基本事件总数2615n C ==，这两条棱长度相等包含的基本事件个数22247m C C =+=，由此能求出这两条棱长度相等的概率． 【详解】解：三棱锥P ABC -的6条棱中，有2条长为1，有4条长为2，从中任意取出的两条，基本事件总数2615n C ==，这两条棱长度相等包含的基本事件个数22247m C C =+=， ∴这两条棱长度相等的概率715m p n ==． 故选：B ．【点睛】本题考查概率的求法，考查古典概型、排列组合等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．11．C解析：C 【分析】首先分析可能的情况：（白，非白，白）、（白，白，非白）、（非白，白，白），然后计算相应概率. 【详解】因为摸一次球，是白球的概率是0.4，不是白球的概率是0.6， 所以0.40.60.40.40.40.60.60.40.40.288P =⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯=， 故选C. 【点睛】本题考查有放回问题的概率计算，难度一般.12．A解析：A 【分析】设2BC =，将圆心角为3π的扇形面积减去等边三角形的面积可得出弓形的面积，由此计算出图中“勒洛三角形”的面积，然后利用几何概型的概率公式可计算出所求事件的概率. 【详解】如下图所示，设2BC =，则以点B 为圆心的扇形面积为2122=233ππ⨯⨯， 等边ABC ∆的面积为212sin 323π⨯⨯=，其中一个弓形的面积为233π-， 所以，勒洛三角形的面积可视为一个扇形面积加上两个弓形的面积，即222322333πππ⎛⎫+⨯-=- ⎪⎝⎭， ∴在勒洛三角形中随机取一点，此点取自正三角形外部的概率()()323312323πππ--=--，故选A.【点睛】本题考查几何概型概率的计算，解题的关键就是要求出图形相应区域的面积，解题时要熟悉一些常见平面图形的面积计算方法，考查计算能力，属于中等题.二、填空题13．【分析】利用定积分求得阴影部分的面积然后利用几何概型的概率计算公式即可求解【详解】由题意结合定积分可得阴影部分的面积为由几何概型的计算公式可得黄豆在阴影部分的概率为【点睛】本题主要考查了定积分的几何解析：1 3【分析】利用定积分求得阴影部分的面积，然后利用几何概型的概率计算公式，即可求解．【详解】由题意，结合定积分可得阴影部分的面积为311221 (1()|33S dx x x=-=-=⎰，由几何概型的计算公式可得，黄豆在阴影部分的概率为113113 p==⨯．【点睛】本题主要考查了定积分的几何意义求解阴影部分的面积，以及几何概型及其概率的计算问题，其中解答中利用定积分的几何意义求得阴影部分的面积是解答的关键，着重考查了推理与计算能力，属于基础题．14．【分析】基本事件总数选中的都是男医生包含的基本事件个数根据对立事件的概率能求出选中的至少有1名女医生的概率【详解】因为医疗团队从3名男医生和2名女医生志愿者所以随机选取2名医生赴湖北支援共有个基本事解析：7 10【分析】基本事件总数2510n C==，选中的都是男医生包含的基本事件个数233m C==，根据对立事件的概率能求出选中的至少有1名女医生的概率.【详解】因为医疗团队从3名男医生和2名女医生志愿者，所以随机选取2名医生赴湖北支援共有2510n C==个基本事件，又因为选中的都是男医生包含的基本事件个数233m C==，所以至少有1名女医生被选中的概率为3711010 P=-=.故答案为：7 10【点睛】本题主要考查了排列组合，古典概型，对立事件，属于中档题.15．【解析】基本事件总数为36点数之和小于10的基本事件共有30种所以所求概率为【考点】古典概型【名师点睛】概率问题的考查侧重于对古典概型和对立事件的概率的考查属于简单题江苏对古典概型概率的考查注重事件解析：56【解析】基本事件总数为36，点数之和小于10的基本事件共有30种，所以所求概率为305.366= 【考点】古典概型【名师点睛】概率问题的考查，侧重于对古典概型和对立事件的概率的考查，属于简单题.江苏对古典概型概率的考查，注重事件本身的理解，淡化计数方法.因此先明确所求事件本身的含义，然后一般利用枚举法、树形图解决计数问题，而当正面问题比较复杂时，往往利用对立事件的概率公式进行求解.16．【分析】基本事件总数五位德国游客互不相邻包含的基本事件个数为：由此能求出五位德国游客互不相邻的概率【详解】解：五位德国游客与七位英国游客在游船上任意站成一排拍照基本事件总数五位德国游客互不相邻包含的 解析：799【分析】基本事件总数1212n A =，五位德国游客互不相邻包含的基本事件个数为：7578m A A =，由此能求出五位德国游客互不相邻的概率． 【详解】解：五位德国游客与七位英国游客在游船上任意站成一排拍照，基本事件总数1212n A =，五位德国游客互不相邻包含的基本事件个数为：7578m A A =， ∴五位德国游客互不相邻的概率为75781212799A A m p n A ===．故答案为：799．【点睛】本题考查概率的求法，考查古典概型等基础知识，考查运算求解能力，属于基础题．17．2【分析】画出数轴利用满足的概率可以求出的值即可【详解】如图所示区间的长度是6在区间上随机地取一个数若满足的概率为则有解得故答案是：2【点睛】该题考查的是有关长度型几何概型的问题涉及到的知识点有长度解析：2 【分析】画出数轴，利用x 满足||x m ≤的概率，可以求出m 的值即可.【详解】 如图所示，区间[2,4]-的长度是6，在区间[2,4]-上随机地取一个数x ， 若x 满足||x m ≤的概率为23， 则有2263m =，解得2m =， 故答案是：2. 【点睛】该题考查的是有关长度型几何概型的问题，涉及到的知识点有长度型几何概型的概率公式，属于简单题目.18．【分析】根据条件求出四棱锥的条件和球的体积结合几何概型的概率公式进行求解即可【详解】四棱锥扩展为正方体则正方体的对角线的长是外接球的直径即即则四棱锥的条件球的体积为则该点取自四棱锥的内部的概率故答案 23【分析】根据条件求出四棱锥的条件和球的体积，结合几何概型的概率公式进行求解即可． 【详解】四棱锥P ABCD -扩展为正方体， 则正方体的对角线的长是外接球的直径， 即32R =，即3R =则四棱锥的条件1822233V =⨯⨯⨯=，球的体积为34(3)433ππ⨯=， 则该点取自四棱锥P ABCD -的内部的概率823343P π==， 故答案为239π【点睛】本题主要考查几何概型的概率的计算，结合条件求出四棱锥和球的体积是解决本题的关键．本题考查了几何概型概率的求法；在利用几何概型的概率公式来求其概率时，几何“测度”可以是长度、面积、体积、角度等，其中对于几何度量为长度，面积、体积时的等可能性主要体现在点落在区域Ω上任置都是等可能的，而对于角度而言，则是过角的顶点的一条射线落在Ω的区域（事实也是角）任一位置是等可能的．19．【解析】【分析】由题意从中任取两个不同的数共有中不同的取法再找出取出的2个数之差的绝对值大于2的只有取得到两个数只有一种取法利用对立事件的概率计算公式即可求解【详解】由题意从中任取两个不同的数共有中解析：5 6【解析】【分析】由题意，从1,2,3,4中任取两个不同的数，共有246C=中不同的取法，再找出取出的2个数之差的绝对值大于2的只有取得到两个数只有一种取法，利用对立事件的概率计算公式，即可求解.【详解】由题意，从1,2,3,4中任取两个不同的数，共有246C=中不同的取法，其中取出的2个数之差的绝对值大于2的只有取得到两个数为1,4时，只有一种取法，所以取出的2个数之差的绝对值小于或等于2的概率为15166 P=-=.【点睛】本题主要考查了古典概型及其概率的计算问题，其中解答中认真审题，找出基本时间的总数和所求事件的对立事件的个数，利用对立时间的概率计算公式求解是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力.20．78【分析】求得4位同学各自在周六周日两天中任选一天参加公益活动周六周日都有同学参加公益活动的情况利用古典概型概率公式求解即可【详解】4位同学各自在周六周日两天中任选一天参加公益活动共有24=16种解析：【分析】求得4位同学各自在周六、周日两天中任选一天参加公益活动、周六、周日都有同学参加公益活动的情况，利用古典概型概率公式求解即可．【详解】4位同学各自在周六、周日两天中任选一天参加公益活动，共有24=16种情况，周六、周日都有同学参加公益活动，共有24﹣2=16﹣2=14种情况，∴所求概率为=．故答案为：．【点睛】有关古典概型的概率问题，关键是正确求出基本事件总数和所求事件包含的基本事件数：1．基本事件总数较少时，用列举法把所有基本事件一一列出时，要做到不重复、不遗漏，可借助“树状图”列举；2．注意区分排列与组合，以及计数原理的正确使用．三、解答题21．（Ⅰ）1718；（Ⅱ）见解析；（Ⅲ）1318.【解析】试题分析：（Ⅰ）由题意结合对立事件概率公式可得至少回答对一个问题的概率为17 18.（Ⅱ）这位挑战者回答这三个问题的总得分X的所有可能取值为10,0,10,20,30,40-.计算各个分值相应的概率值即可求得总得分X的分布列；（Ⅲ）结合(Ⅱ)中计算得出的概率值可得这位挑战者闯关成功的概率值为13 18.试题（Ⅰ）设至少回答对一个问题为事件A,则()11117 133218P A=-⨯⨯=.（Ⅱ）这位挑战者回答这三个问题的总得分X的所有可能取值为10,0,10,20,30,40-.根据题意,()11111033218P X=-=⨯⨯=, ()2112023329P X==⨯⨯⨯=,()2212103329P X==⨯⨯=,()11112033218P X==⨯⨯=,()21123023329P X==⨯⨯⨯=,()2212403329P X==⨯⨯=.随机变量X的分布列是:（Ⅲ）设这位挑战者闯关成功为事件B ,则()2122139189918P B =+++=. 22．（1）有99.9%以上的把握认为“注射重组新冠疫苗”有效；（2）13203. 【分析】（1）先求出,x y ，再根据独立性检验可得结论； （2）由组合的应用和古典概率公式可求得其概率. 【详解】 （1）由题知2056012y +=，即5y =，∴25x =，35A =，25B =， ∴2260(1052520)10815.42910.828352530307K ⨯⨯-⨯==≈>⨯⨯⨯，故有99.9%以上的把握认为“注射重组新冠疫苗”有效；（2）由题知试验样本中已感染新冠病毒的猕猴有30只，其中注射了重组新冠疫苗的猕猴有5只，则213525533013203C C C P C +==. 【点睛】本题考查补全列联表，独立性检验，以及组合的应用和古典概率公式，求解时注意“至少”，“至多”等，属于中档题. 23．（1）4m =，8n =（2）4255【分析】（1）设该盒子里有红球m 个，白球n 个，利用古典概型、对立事件概率计算公式列出方程组，能求出m ，n ．（2） “一次从盒子里任取3个球，取到的白球个数不少于红球个数”分为“一次从盒子里任取3个球，取到的白球个数为3个”和“一次从盒子里任取3个球，取到的白球个数为2个，红球数为1个”，由此能求出取到的白球个数不小于红球个数的概率． 【详解】解：（1）设该盒子里有红球m 个，白球n 个.根据题意得221310111m m n m m n C C +⎧=⎪+⎪⎨⎪-=⎪⎩， 解方程组得4m =，8n =， 故红球有4个，白球有8个.（2）设“一次从盒子里任取3个球，取到的白球个数不少于红球个数”为事件A .设“一次从盒子里任取3个球，取到的白球个数为3个”为事件B ，则3831214()55C P B C ==设“一次从盒子里任取3个球，取到的白球个数为2个，红球个数为1个”为事件C ，则。
2019年人教版高中数学必修三综合测试题(含答案)
必修3综合模拟测试卷A（含答案）一、选择题：（本题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1、用冒泡排序算法对无序列数据进行从小到大排序，则最先沉到最右边的数是A、最大数B、最小数C、既不最大也不最小D、不确定2、甲、乙、丙三名同学站成一排，甲站在中间的概率是A、16B、12C、13D、233、某单位有老年人28 人，中年人54人，青年人81人，为了调查他们的身体状况的某项指标，需从他们中间抽取一个容量为36样本，则老年人、中年人、青年人分别各抽取的人数是A、6，12，18B、7，11，19C、6，13，17D、7，12，174、甲、乙两位同学都参加了由学校举办的篮球比赛，它们都参加了全部的7场比赛，平均得分均为16分，标准差分别为5.09和3.72，则甲、乙两同学在这次篮球比赛活动中，发挥得更稳定的是A、甲B、乙C、甲、乙相同D、不能确定5、从1，2，3，4这4个数中，不放回地任意取两个数，两个数都是偶数的概率是A、16B、C、13D、6、如图，是由一个圆、一个三角形和一个长方形构成的组合体，现用红、蓝两种颜色为其涂色，每个图形只能涂一种颜色，则三个形状颜色不全相同的概率为A 、34B 、38C 、14D 、187、阅读下列程序：输入x ；if x ＜0， then y ：＝32x π+；else if x ＞0， then y ：＝52x π-+；else y ：＝0； 输出 y ．如果输入x ＝－2，则输出结果y 为A 、3＋πB 、3－πC 、π－5D 、－π－5 8、一射手对同一目标独立地进行4次射击，已知至少命中一次的概率为8180，则此射手的命中率是 A 、31 B 、32 C 、41 D 、529、根据下面的基本语句可知，输出的结果T 为 i:=1; T:=1;For i:=1 to 10 do; Begin T:=T+1;End 输出T开始 S ：＝0 i ：＝3 i ：＝i ＋1S ：＝S ＋ii ＞5 输出S结束是 否A 、10B 、11C 、55D 、56 10、在如图所示的算法流程图中，输出S 的值为 A 、11 B 、12 C 、13 D 、15二、填空题：（本题共4小题，每小题5分，共20分，请把答案填写在答题纸上） 11、一个容量为20的样本数据,分组后，组距与频数如下：(]10,20，2；(]20,30， 3；(]30,40，4；(]40,50，5；(]50,60，4 ；(]60,70，2。
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1a = 3b = a a b =+ b a b =- PRINT a ，bIF 10a < THEN 2y a =* else y a a =*（数学3必修）第一章：算法初步 [基础训练A 组] 一、选择题1．下面对算法描述正确的一项是：（ ）A ．算法只能用自然语言来描述B ．算法只能用图形方式来表示C ．同一问题可以有不同的算法D ．同一问题的算法不同，结果必然不同 2．用二分法求方程022=-x 的近似根的算法中要用哪种算法结构（ ）A ．顺序结构B ．条件结构C ．循环结构D ．以上都用 3．将两个数8,17a b ==交换,使17,8a b ==,下面语句正确一组是 ( )4．计算机执行下面的程序段后，输出的结果是（ ）A ．1,3B ．4,1C ．0,0D ．6,0 5．当3=a 时，下面的程序段输出的结果是（ ）A ．9B ．3C ．10D ．6二、填空题1．把求i=1 s=0 WHILE i<=4 s=s*x+1 i=i+1 WEND PRINT s END2．将389化成四进位制数的末位是____________。
三、解答题1．把“五进制”数)5(1234转化为“十进制”数，再把它转化为“八进制”数。
2．用秦九韶算法求多项式x x x x x x x x f ++++++=234567234567)(当3=x 时的值。
3．编写一个程序，输入正方形的边长，输出它的对角线长和面积的值。
4．某市公用电话（市话）的收费标准为：3分钟之内（包括3分钟）收取0.30元；超过3分钟部分按0.10元/分钟加收费。
设计一个程序，根据通话时间计算话费。
新课程高中数学训练题组（咨询）（数学3必修）第一章：算法初步 [综合训练B 组] 一、选择题1．用“辗转相除法”求得459和357的最大公约数是（ ）A ．3B ．9C ．17D ．51 2．当2=x 时，下面的程序段结果是 ( )A ．3B ．7C ．15D ．17 3．利用“直接插入排序法”给8,1,2,3,5,7按从大到小的顺序排序，当插入第四个数3时，实际是插入哪两个数之间 （ ） A ．8与1 B ．8与2 C ．5与2 D ．5与1 4．对赋值语句的描述正确的是 （ ）①可以给变量提供初值 ②将表达式的值赋给变量 ③可以给一个变量重复赋值 ④不能给同一变量重复赋值 A ．①②③ B ．①②C ．②③④D ．①②④5．在repeat 语句的一般形式中有“until A ”,其中A 是 ( )A ． 循环变量B ．循环体C ．终止条件D ．终止条件为真 6．用冒泡排序法从小到大排列数据13,5,9,10,7,4需要经过（ ）趟排序才能完成。
A ．4 B ．5 C ． 6 D ．7二、填空题1．根据条件把流程图补充完整，求11000→内所有奇数的和；(1) 处填(2) 处填2．图中所示的是一个算法的流程图，已知31=a ，输出的7b =,则2a 的值是____________。
3．下列各数)9(85 、 )6(210 、 )4(1000 、 )2(111111中最小的数是____________。
4．右图给出的是计算201614121++++ 的值的一个流程图，其中判断 框内应填入的条件是____________。
开始i:=1,S:=0i<1000(1)(2)输出S结束否是5．用直接插入排序时对:7,1,3,12,8,4,9,10进行从小到大排序时,第四步得到的一组数为: ___________________________________。
三、解答题1．以下是计算1234...100+++++程序框图,请写出对应的程序。
2．函数⎪⎩⎪⎨⎧≤<-≤<≤≤=128),12(284,840,2x x x x x y ，写出求函数的函数值的程序。
3．用辗转相除法或者更相减损术求三个数324,243,135的最大公约数.4．意大利数学家菲波拉契,在1202年出版的一书里提出了这样的一个问题:一对兔子饲养到第二个月进入成年,第三个月生一对小兔,以后每个月生一对小兔,所生小兔能全部存活并且也是第二个月成年,第三个月生一对小兔,以后每月生一对小兔.问这样下去到年底应有多少对兔子? 试画出解决此问题的程序框图,并编写相应的程序.新课程高中数学训练题组（咨询）（数学3必修）第一章：算法初步 [提高训练C 组] 一、选择题1.下列给出的赋值语句中正确的是（ ）A ．4M =B ．M M =-C ．3B A ==D ．0x y += 2.给出以下四个问题,①x , 输出它的相反数. ②求面积为6的正方形的周长. ③求三个数,,a b c 中输入一个数的最大数.④求函数1,0()2,0x x f x x x -≥⎧=⎨+<⎩的函数值.其中不需要用条件语句来描述其算法的有 ( )A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个 3．右边程序执行后输出的结果是（ ） A.1- B ．0 C ．1 D ．24.用冒泡法对43,34,22,23,54从小到大排序，需要（）趟排序。
A.2B.3C .4D.5A. 50B. 5C. 25D. 06．用冒泡法对一组数:37,21,3,56,9,7进行排序时,经过多少趟排序后,得到这一组数: 3,9,7,21,37,56 ( )A. 2B. 3C. 4D. 5二、填空题1．三个数72,120,168的最大公约数是_________________。
2. 二进制数111.11转换成十进制数是_________________.3. 下左程序运行后输出的结果为_______________.4．上右程序运行后实现的功能为_______________.三、解答题1．已知一个三角形的三边边长分别为2,3,4， 设计一个算法，求出它的面积。
2．用二分法求方程0135=+-x x 在(0,1)上的近似解，精确到0.001c =，写出算法。
画出流程图，并写出算法语句.新课程高中数学训练题组根据最新课程标准，参考独家内部资料， 精心编辑而成；本套资料分必修系列和选修系列及部分选修4系列。
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（数学3必修）第二章：统计[基础训练A 组] 一、选择题1．10名工人某天生产同一零件，生产的件数是15,17,14,10,15,17,17,16,14,12,设其平均数为a ,中位数为b ,众数为c ，则有( )A ． c b a >>B ．a c b >>C ．b a c >>D ．a b c >> 2．下列说法错误的是 ()A ．在统计里，把所需考察对象的全体叫作总体B ．一组数据的平均数一定大于这组数据中的每个数据C ．平均数、众数与中位数从不同的角度描述了一组数据的集中趋势D ．一组数据的方差越大，说明这组数据的波动越大3．某同学使用计算器求30个数据的平均数时，错将其中一个数据105输入为15，那么由此求出的平均数与实际平均数的差是( ) A ．3.5 B ．3- C ．3 D ．5.0-4. 要了解全市高一学生身高在某一范围的学生所占比例的大小，需知道相应样本的( )A . 平均数B .方差C .众数D .频率分布5．要从已编号（160）的60枚最新研制的某型导弹中随机抽取6枚来进行发射试验，用每部分选取的号码间隔一样的系统抽样方法确定所选取的6枚导弹的编号可能是（ ）A ．5,10,15,20,25,30B ．3,13,23,33,43,53C ．1,2,3,4,5,6D ．2,4,8,16,32,48 6第三组的频数和频率分别是 ( ) A ．14和0.14 B ．0.14和14C ．141和0.14 D ．31和141二、填空题1．为了了解参加运动会的2000名运动员的年龄情况，从中抽取100名运动员；就这个问题，下列说法中正确的有；① 2000名运动员是总体；②每个运动员是个体；③所抽取的100名运动员是一个样本； ④样本容量为100；⑤这个抽样方法可采用按年龄进行分层抽样；⑥每个运动员被抽到的概率相等。
2．经问卷调查，某班学生对摄影分别执“喜欢”、“不喜欢”和“一般”三种态度，其中执“一般”态度的比“不喜欢”态度的多12人，按分层抽样方法从全班选出部分学生座谈摄影，如果选出的2位“喜欢”摄影的同学、1位“不喜欢”摄影的同学和3位执“一般”态度的同学，那么全班学生中“喜欢”摄影的比全班人数的一半还多人。
3．数据70,71,72,73的标准差是______________。
4．数据123,,,...,n a a a a 的方差为2σ，平均数为μ，则（1）数据123,,,...,,(0)n ka b ka b ka b ka b kb ++++≠的标准差为，平均数为．（2）数据123(),(),(),...,(),(0)n k a b k a b k a b k a b kb ++++≠的标准差为，平均数为。
5．观察新生婴儿的体重，其频率分布直方图如图所示，则新生婴儿体重在(]2700,3000的频率为。
三、解答题2．为了了解初三学生女生身高情况，某中学对初三女生身高进行了一次测量，所得数（1）求出表中,,,m n M N 所表示的数分别是多少？ （2）画出频率分布直方图.（3）全体女生中身高在哪组范围内的人数最多？3． 某校高中部有三个年级，其中高三有学生1000人，现采用分层抽样法抽取一个容量为185的样本，已知在高一年级抽取了75人，高二年级抽取了60人，则高中部共有多少学生？4．从两个班中各随机的抽取10名学生，他们的数学成绩如下：画出茎叶图并分析两个班学生的数学学习情况。
新课程高中数学训练题组（咨询）（数学3必修）第二章：统计 [综合训练B 组] 一、选择题1．数据123,,,...,n a a a a 的方差为2σ，则数据1232,2,2,...,2n a a a a 的方差为（ ）A ．22σB ．2σC ．22σD ．24σ2．某初级中学有学生270人，其中一年级108人，二、三年级各81人，现要利用抽样方法取10人参加某项调查，考虑选用简单随机抽样、分层抽样和系统抽样三种方案，使用简单随机抽样和分层抽样时，将学生按一、二、三年级依次统一编号为1,2,...,270；使用系统抽样时，将学生统一随机编号1,2,...,270，并将整个编号依次分为10段.如果抽得号码有下列四种情况：①7，34，61，88，115，142，169，196，223，250； ②5，9，100，107，111，121，180，195，200，265；③11，38，65，92，119，146，173，200，227，254； ④30，57，84，111，138，165，192，219，246，270； 关于上述样本的下列结论中，正确的是（ ） A ．②、③都不能为系统抽样 B ．②、④都不能为分层抽样 C ．①、④都可能为系统抽样D ．①、③都可能为分层抽样 3．一个容量为40的样本数据分组后组数与频数如下：［25，25.3），6；［25.3，25.6），4；［25.6，25.9），10；［25.9，26.2），8；［26.2，26.5），8；［26.5，26.8），4；则样本在 ［25，25.9）上的频率为（ ）A ．203 B ．101 C ．21 D ．41 4．设有一个直线回归方程为2 1.5y x =-，则变量x 增加一个单位时（ ）A ．y 平均增加1.5个单位B ．y 平均增加2个单位C ．y 平均减少1.5个单位D ．y 平均减少2个单位5．在一次歌手大奖赛上，七位评委为歌手打出的分数如下：9.48.49.49.99.69.49.7去掉一个最高分和一个最低分后,所剩数据的平均值和方差分别为 ()A ．9.4,0.484B ．9.4,0.016C ．9.5,0.04D ．9.5,0.016二、填空题1．已知样本9,10,11,,x y 的平均数是10，则xy =.2．一个容量为20的样本，已知某组的频率为0.25，则该组的频数为__________。