十字交叉法在平均数问题中的应用
“十字交叉法”的原理及应用
“十字交叉法”的原理及应用摘要：本文分析了学生不易掌握“十字交叉法”的原因。
应用平均值概念推导出“十字交叉法”原理，从平均值概念分析“十字交叉法”应用的条件和范围，给出了一种适用解答格式，并从三类二元混合体系和平均值角度对常见题型进行了归纳。
关键词：十字交叉法、平均值“十字交叉法”是平均值法的技巧方法，即利用平均值求解二元混合体系的混合比的一种图解方法。
利用此法求解二元混合体系的混合比具有准确、简便、快速的特点。
因此，它是高考化学计算重要方法之一。
教学实际中，许多同学对此法掌握得不好。
学生出现的问题主要有两种情况：一种情况是遇到可用“十字交叉法”求解的问题，却不知道怎样用“十字交叉法”来求解；第二种情况是虽然知道用“十字交叉法”求解，但却不明确所得到的比值的化学意义，得出错误的计算结果。
我们认为主要原因是在教学中没有抓住平均值概念去推导“十字交叉法”原理、分析应用范围和应用条件，没有给出解题的规范格式，也没从二元混合体系及其平均值角度来归纳常见题型。
本文应用平均值概念推导“十字交叉法”原理、分析其应用条件和范围、归纳主要应用题型，并给出一种较适用的解题规式。
一、“十字交叉法”原理1．用平均值概念推导“十字交叉法”原理以A、B二组分混合物的平均摩尔质量为例推导“十字交叉法”原理。
设混合物平均摩尔质量为M，A、B的物质的质量分别为n(A)和n(B)，摩尔质量分别为M(A)和M(B)混合物的总质量为：m(混)= n(A)×M(A) + n(B)×M(B)混合物的总物质的量为：n(混)= n(A) + n(B)根据摩尔质量定义可知混合物的平均摩尔质量为：…… ①将A 和B 混合物的总物质的量n(混)和总质量m(混)代入①式得：)B (n )A (n )B (M )B (n )A (M )A (n M +⨯+⨯= …… ②将②式变形得混合物中两种成分的物质的量之比的数学表达式：M)A (M )B (M M )B (n )A (n --= …… ③ 将③式写成直观的图解形式，即“十字交叉法”的形式：A ：M(A) |M - M(B)|╲ ╱ …… ④╱ ╲B ：M(B) |M(A) - M |2．“十字交叉法”的应用条件从上述二组分混合物平均摩尔质量推导“十字交叉法”原理得出其应用条件为： ⑴n(A)和n(B)具有加合性，即n(混)= n(A) + n(B)。
十字交叉法解平均数问题
十字交叉法解平均数问题在数学中，平均数问题是一个常见的主题，而使用十字交叉法来求解平均数问题是一种非常有效的方法。
这种方法适用于处理简单的平均数计算问题，并且可以快速准确地得出结果。
首先，我们需要了解什么是十字交叉法。
这种方法是通过比较两个垂直条形图的高度，来计算两个数的平均值。
这两个数通常代表两个集合的元素数量，而条形图的高度代表这些集合的元素数量。
这种方法也被称为“求和法”或“交叉相乘法”。
首先，我们需要假设两个未知数的平均值，即第一个未知数的平均值和第二个未知数的平均值。
这两种未知数的数量可以表示为“部分数量”和“总数”，这些数值将通过十字交叉法来确定。
假设我们有两个未知数x和y，我们可以通过对x进行计数并计算y的数量来确定x和y的平均值。
将两个集合的元素数量分别标记为部分数量a和部分数量b，总数为总和a+b。
通过十字交叉法，我们可以得到以下步骤：1. 将部分数量a和部分数量b相加，得到总数总和a+b。
2. 将总和除以总数总数量a+b的值（总和除以总数）。
3. 将步骤2中得到的数值分别乘以部分数量a和部分数量b的值（两个新平均数乘以两个部分数量）。
这些步骤可以帮助我们得到第一个未知数的平均值和第二个未知数的平均值。
这两个平均值可以通过交叉相乘法来验证是否满足原始条件。
这种方法非常适合于解决简单的平均数问题，因为它不需要复杂的数学公式或技巧。
通过使用十字交叉法，我们可以快速准确地得出结果，并且可以很容易地解释给其他人听。
总的来说，十字交叉法是一种非常有用的方法，可以帮助我们解决平均数问题。
这种方法不需要复杂的数学公式或技巧，并且可以通过简单的解释来理解。
因此，这种方法对于学生和教师来说都是一个非常有用的工具。
在实践中，十字交叉法也经常被用于解决更复杂的平均数问题。
例如，当涉及到多个集合的平均数时，可以使用这种方法来简化计算过程。
通过比较垂直条形图的高度并应用十字交叉法，我们可以轻松地确定多个集合的平均值。
【学习技巧】小学数学中十字交叉法的巧妙运用
【学习技巧】小学数学中，十字交叉法的巧妙运用很好的运用十字交叉法，有助于快速准确的解决数学问题。
那么，我们小学数学如何运用到十字交叉法呢？题型一：比较分数的大小我们知道在分数的比较中，同分母分数，分子大的分数值大；同分子分数，分母小的分数值大；异分母分数则要把分母化为同分母分数才能进行比较。
在教学中，我发现让学生记住这几条并不难，可是却非常容易混淆，或者是根本就不会运用。
但是如果运用十字交叉相乘法，学生不但都能很快的得出答案，而且不管什么分数间进行比较都能够通用。
注：所得的积必须写在分数线上方（即作为新分子）。
从上例很明显可以看出，十字交叉法比较两分数的大小的实质上就是通分。
不过，却省去了学生对分数进行通分的过程和时间，从而一步到位，更简单更直接，只要会乘法的学生，在比较分数之间的大小时基本上都不费吹灰之力了。
题型二：解比例很多老师和学生都知道，解比例的依据是比例的基本性质，即在比例中，两个内项的积等于两个外项的积。
可当比例变化为a/b=c/d(a≠0，c≠0)这种形式时，有些学生便找不着内外项了，或者有某些学生还要把上式化为a：b=c：d(a≠0，c≠0)的形式，这就走了弯路，浪费了时间不说而且变换后也很容易出错。
可见，利用此方法既直观又便于记忆，而且在较复杂的比例中，更能体现出些法的简便性与适用性，由于篇幅有限，在此就不一一介绍了。
题型三：解归一问题或正比例问题其实正比例问题也就是归一问题，此类应用题中暗含着单一量不变，文字叙述中多带有类似“照这样计算”的字样，其解题的关键是从已知的一种对应量中求出单一量（即归一），再以它为标准，根据题目要求算出所求量。
这种解法主要是有时候有的学生找不到到底怎样去求出单一量（也就是标准量），如果找不到标准量，那么对于这类问题学生就无法进行求解。
若是采用十字交叉相乘法设未知数进行列方程求解，此类问题就会变得简单明了。
例3：小明10分钟走750米，照这样计算，从学校到家小明需要走24分钟，从学校到小明家的路程有多少米？解析：方法一：先根据速度＝路程÷时间算出小明的速度，再根据路程＝速度×时间计算出学校到小明家的路程。
”十字交叉法“的原理和应用
化学计算中“十字交叉法”的数学原理和应用一. “十字交叉法”简介“十字交叉法”是二元混合物（或组成）计算中的一种特殊方法，若已知两组分量和这两个量的平均值，求这两个量的比例关系等，多可运用“十字交叉法”计算。
十字交叉法在化学计算中是一种常用的方法，在很多习题中采用十字交叉法可以简化计算过程，提高计算效率。
下面先从一道简单的例题来介绍何为十字交叉法。
例1、50克10%的硫酸溶液和150克30%的硫酸溶液混合后，所得硫酸溶液的质量分数是多少？采用十字交叉法计算的格式如下：设混合后溶液的质量分数为x%，则可列出如下十字交叉形式所得的等式：10%的溶液 10 30 — xX30%的溶液 30 x — 1050g(10%的溶液质量) 150(30%的溶液质量)由此可得出x = 25，即混合后溶液的质量分数为25%。
以上习题的计算过程中有一个十字交叉的形式，因此通常将这种方法叫做“十字交叉法”。
然而怎样的计算习题可以采用这种方法？且在用“十字交叉法”时，会涉及到最后差值的比等于什么的问题，即交叉后所得的差值之比是实际中的质量之比还是物质的量之比？这些问题如果不明确，计算中便会得出错误的结论。
针对以上问题，在以前的教学中，可能往往让学生从具体的习题类型死记差值之比的实际意义。
由于十字交叉法常用于：①核素“丰度”与元素相对原子质量的计算；②混合气体不同组分体积之比和混合气体平均相对分子质量的计算；③不同浓度的同种溶液混合后质量分数与组分溶液质量之比的计算等类型的习题中。
因此可以简单记忆为前两种类型中，差值之比为物质的量之比，第三种类型差值之比为质量之比。
这种记忆方法束缚了学生的思维，同时也限制了“十字交叉法”的使用范围。
实质上“十字交叉法”的运用范围很广，绝不仅仅只能在以上三种类型的习题中才可运用。
然而不同情况下，交叉后所得的差值之比的实际意义是什么？该怎样确定其实际意义？是我们应该探讨和明了的问题。
要解决此问题，就要明了“十字交叉法”的数学原理，然后再从原理的角度去分析，便能确定差值之比在何时为组分的质量之比，何时为组分的物质的量之比。
运用十字交叉法处理一类加权平均数问题
运用十字交叉法处理一类加权平均数问题（济南市长清第一中学高二李胜妲 250399）加权平均数是不同比重数据的平均数，就是把原始数据按照合理的比例来计算.假设在n个数中，x1出现f1次，x2出现f2次，x3出现f3次......，xi出现fi次，f1+f2+f3+....fi=n，那么这个n个数的平均数为X= (x1f1+x2+f2+.......+x i f i)/n.下面研究二元加权平均数问题：设a出现f1次，b出现f2次，加权平均数为c，c=(af1+bf2)/ (f1+f2), ∴cf1+cf2= af1+bf2,∴（c-a）f1=(b-c)f2,∴f1：f2=(b-c):(c-a),为便于记忆，可以记为f1：f2=｜b-c｜:｜c-a｜.a b\ ∕c∕ \｜b-c｜｜c-a｜上面的方法是经过数学运算得出的，适用于所有的二元加权平均数.(一)十字交叉法在中学化学中的应用举例：例1:常温下，H2和CO混合气体的平均相对分子质量为20，求H2和CO的体积比.解： 2 28\ ∕20∕ \818 ∴，H2和CO的体积比为4:9.例2：常温下，N2与CO2混合气体的平均相对分子质量为34，求N2与CO2的物质的量之比.解： 28 44 \ ∕34∕ \10 6 ∴N2与CO2的物质的量之比为5:3.例3：已知自然界Cl有两种同位素35Cl和37Cl，Cl的平均相对原子质量为35.5，求两种同位素的物质的量之比.\ ∕35.5∕ \1.5 0.5 ∴同位素35Cl和37Cl的物质的量之比为3:1.例4:现在5mol/L的Nacl溶液与mol/L的Nacl溶液混合后，假设体积不变，物质的量浓度为5.8mol/L，求两溶液的体积之比.解： 5 7\ ∕5.8∕ \1.2 0.8∴ 5mol/L与7mol/L的Nacl溶液的体积之比为3：2例5 ：现在10%NaOH与7%的NaOH溶液混和后溶液的质量分数为8%，求两溶液的质量之比解： 10% 7%\ ∕8%∕ \1% 2%∴10%的NaOH与7%的NaOH溶液的质量之比为1：2例6 已知CH4与C2H2的混和物中氢元素的质量分数的10%，求CH4与C2H2质量之比.解：CH4中氢元素的质量分数为1/4，C2H2氢元素的质量分数为1/13, 1/4 1/13\ ∕1/10∕ \3/130 3/20∴CH4与C2H2质量之比为3/130: 3/20=2:13.例7 已知C2H6与C2H2的混和物中C与H的原子个数之比为2：5，求C2H6和C2H4的物质的量之比.\ ∕ 2/5∕ \1/10 1/15∴ C2H6与C2H4的物质的量之比为3：2.例8:在标准状况下O2的密度为1.43g/L,N2的密度为1.25g/L，现有标准状况下，O2与N2的混和气体，密度为1.29g/L，求O2与N2的体积之比(即物质的量之比).解： 1.43 1.25 \ ∕1.29∕ \0.04 0.14 ∴ O2和N2的体积之比(物质的量之比)为2：7.练习：1、已知下列两个热化学方程:2H2(g) + O2(g) = 2H2O(l) +571.6kJC 3H8(g) +5O2(g) = 3CO2(g) + 4H2O (l) + 2220kJ, 实验测知氢气和丙烷的混和气体共5摩尔完全燃烧时放热3847千焦, 则混和气体中氢气和丙烷的体积比是A. 1:3 B. 3:1 C.1:4 D. 1:12、已知白磷和氧气可发生如下反应：P4 +3O2= P4O6，P4+5O2= P4O10在某一密闭容器中加入62克白磷和50.4升氧气(标准状况), 使之恰好完全反应, 所得到的P4O10与P4O6的物质的量之比为A. 1:3B. 3:2C. 3:1D. 1:1。
2015河北公务员考试行测高端技巧：十字交叉法
2015河北公务员考试行测高端技巧：十字交叉法十字交叉法主要是解决行测数量关系中混合平均问题的，混合平均问题主要包括平均数、利润、浓度等的混合问题。
解题过程是将几个部分的平均量进行混合，得到一个整体的平均量。
而十字交叉法是由盈亏思想得到的，即多的总量等于少的总量，比如：70与80两个数的平均数为75，这里70比75少5，80比75多5，多的5等于少的5，才保证了70 与80的平均数为75;80、80、50三个数的平均数为70，这里80比70多10，共2个80，所以共多了20，50比70少了20，多的总量20= 少的总量20，才保证了三个数的平均数为70。
而十字交叉法的具体形式比较简单，包括五部分：部分平均量、总体平均量、交叉作差、对应比、对应实际量。
大家记住这五部分就能解决相应的题了，河北华图教育专家带大家来看一个比较简单的例子。
例1：已知一个班级的一次考试成绩，男生的平均分为70分，女生的平均分为80分，整体的平均分为74分，求这个班级的男女生人数比为多少?【河北华图解析】设男生人数为x人，女生人数为y人，则利用十字交叉法在运用十字交叉法时，大多数考生比较困惑的是利用十字交叉后得到的比是什么比，这里为什么3:2就是对应的男生人数与女生人数之比。
这就需要我们回归到十字交叉法的思想——盈亏思想来说明十字交叉法的原理。
男生的平均量是70分，整体的平均量是74分，说明每个男生比整体少4分;而女生的平均量是80分，说明每个女生比整体多6分。
要想保证整体的平均分是74分，得多的总量与少的总量达到平衡，即多的总量=少的总量。
而这里每个男生比整体少4分，男生共有x人，即总共少4x人;每个女生比整体多6分，女生共y人，既总共多6y人;故需4x=6y，得到x:y=6:4=3:2，也即交叉作差之比。
而男生平均量=男生的总分数/男生人数;女生平均量=女生总分数/女生人数。
所以交叉作差之比也是再求两个平均量时的分母之比。
资料分析：速算技巧之十字交叉法
资料分析：速算技巧之十字交叉法今天带大家一起学习一个特殊的速算技巧——十字交叉法，这种方法主要用于解决两个部分混合成一个整体的题型。
满足关系式：，则可写成十字交叉的形式，常见应用：（1）已知两部分平均数和整体平均数，求两部分人数之比；（2）已知两部分某指标的占比和整体中该指标的占比，求两部分数量之比；（3）已知两部分增长率和整体增长率，求两部分基期量之比或者某部分基期量占比。
练习题：【例1】2018 年国家统计局组织开展了第二次全国时间利用的随机抽样调查，共调查48580 人。
结果显示，受访居民在一天的活动中，有酬劳动平均用时4 小时24 分钟。
其中，男性 5 小时15 分钟，女性 3 小时35 分钟；城镇居民 3 小时59 分钟，农村居民 5 小时1 分钟；工作日4 小时50 分钟，休息日3 小时19 分钟。
受访的男性居民约有：A.2.38 万人B.2.43 万人C.2.65 万人D.2.91 万人【例2】2018 年11 月中旬，某市统计局对全市2000 名18~65 周岁的常住居民进行了有关“双11”网购情况的电话调查。
调查结果显示，47.5%的受访者参与了2018 年“双11”的网购，其中64.4%的男性和67.2%的女性表示“有实际购物需求”是其参与“双11”网购的原因之一。
该市参与2018 年“双11”网购的受访者中，男、女人数的比值最接近：A.0.47B.0.51C.0.59D.0.65【例3】2017 年1—12 月，全国内燃机累计销量5645.38 万台，同比增长 4.11%，累计完成功率266879.47 万千瓦，同比增长9.15%，其中柴油内燃机功率同比增长34%。
从燃料类型来看，柴油机增幅明显高于汽油机，柴油机累计销量556 万台，同比增长13.04%；汽油机累计销量5089 万台。
2017 年，汽油内燃机累计销量同比增速：A.低于−4%B.在−4%~0%之间C.在0%~4%之间D.超过4%答案【例1】【答案】A【解析】出现了两个部分和一个整体的平均数，求解某部分人数。
平均值法与十字交叉法的综合应用
④在转移溶液时，如溶液转移不完全，则Na2O2质量分数的测定
结果（填偏大、偏小或不变）。偏大
例1
例2
例3
例4
例5
例6
例7
例8
化学计算中各种计算方法的综合应用
（平均值法、摩尔质量法与十字交叉法）
平均值法是巧解方法，它也是一种重要的解题思维和解题技能。混合物中某一量的平均值，必大于各组分中相应量的最小值而必小于相应量中的最大值，这一原理称为平均值原理。
平均值法就是根据上述原理进行求解的一种方法，这种方法对于有关混合物的计算，只要设法找出各组分的平均值，并根据题意迁移平均值含义，就会大大简化解题步骤，做到化繁为简。
例题3现有某氯化物与氯化镁的混合物，取3.8g粉末完全溶于水后，与足量的硝酸银溶液反应后得到12.4 g氯化银沉淀，则该混合物中的另一氯化物是（ ）A
A．LiClB．KClC．CaCl2D．AlCl3
例题4已知自然界中铱有两种质量数分别为191和193的同位素，而铱的平均相对原子质量为192.22，这两种同位素的原子个数比应为（）A
A．NaHCO3B．KHCO3C．K2CO3D．NH4HCO3
84 100 138 79
例题7实验室将9g铝粉跟一定量的金属氧化物粉末混合形成铝热剂。发生铝热反应之后，所 得固体中含金属单质为18g，则该氧化物粉末可能是( ) AD(V-51 Mn-55 Fe-56 Cr-52)
A． B． 和 C． 和 D 和FeO
56/3 55/4 55/4 51/5 52/3 51/556/8/356/2
Me=[18-(9-x)]/(x/9) (x-参加反应的铝)
例题8
2004-26．某种含有少量氧化钠的过氧化钠试样（已知试样质量为1．560g、锥形瓶和水的质量
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十字交叉法在平均数问题中的应用
上一节内容我们学习了“十字交叉法”如何解决溶液混合的问题，本节内容我们学习下“十字交叉法”在平均数的相关题型中的运用。
由于平均数的相关题型数量关系复杂，列方程做比较繁杂，十字交叉法能轻松解决这一问题。
下面我们通过例题来看一下十字交叉法在平均数相关题型中的应用。
【例1】某单位共有职工72人，年底考核平均分数为85分，根据考核分数，90分以上的职工评为优秀职工，已知优秀职工的平均分数为92分，其他职工的平均分数是80分，问优秀职工的人数是多少?( )
A.12
B.24
C.30
D.42
【解析】本题相当于是优秀职工的平均分与其他职工的平均分混合，我们利用“十字交叉法”，易知
所以优秀员工共有30人，选择C.
【例2】某工厂共有160名员工，该厂在7月的平均出勤率是85%，其中女员工的出勤率为90%，男员工的出勤率为70%，问该厂男员工共有多少人?( )
A.40
B.50
C.70
D.120
【解析】运用“十字交叉法”，易知
所以男员工共有40人，选择A。
【例3】某单位共有ABC三个部门，三部门人员平均年龄分别为38岁、24岁、42岁。
A和B两部门人员平均年龄为30岁，B和C两部门人员平均年龄为34岁。
该单位全体人员的平均年龄为多少岁?( )
A34 B36
C35 D37
解析：运用“十字交叉法”，易知
所以ABC三个部门的人数比为3:4:5，假设ABC三个部门的人数分别为3、4、5人，总平均=(3×38+4×24+5×42)÷(3+4+5)=35岁，选C。
以上就是我们的十字交叉法在平均数相关题型中的应用，做题中遇到类似这样的题目，解答起来就比直接列方程要省时省力一些。