九年级数学上册第4章锐角三角函数4.2正切作业课件新版湘教版
湘教版数学九年级上册4.2《正切》教学设计
湘教版数学九年级上册4.2《正切》教学设计一. 教材分析湘教版数学九年级上册4.2《正切》是学生在学习了锐角三角函数的概念、正弦和余弦函数的基础上进行学习的。
本节内容主要介绍了正切函数的概念、性质和应用。
教材通过生动的实例和丰富的练习，使学生理解和掌握正切函数的知识，培养学生的数学思维能力和解决问题的能力。
二. 学情分析九年级的学生已经具备了一定的函数知识，对锐角三角函数的概念、正弦和余弦函数有一定的了解。
但是，对于正切函数的理解和应用还需要进一步的引导和培养。
因此，在教学过程中，需要注重学生的参与和思维的引导，通过实例和练习，使学生理解和掌握正切函数的知识。
三. 教学目标1.理解正切函数的概念，掌握正切函数的性质。
2.能够运用正切函数解决实际问题，提高学生的数学应用能力。
3.培养学生的数学思维能力和解决问题的能力。
四. 教学重难点1.正切函数的概念和性质。
2.正切函数在实际问题中的应用。
五. 教学方法1.实例教学法：通过生动的实例，引导学生理解和掌握正切函数的知识。
2.问题驱动法：通过提出问题，引导学生思考和探索，培养学生的数学思维能力。
3.练习法：通过丰富的练习，巩固学生对正切函数的理解和掌握。
六. 教学准备1.教材和教学参考书。
2.教学PPT或者黑板。
3.练习题和答案。
七. 教学过程1.导入（5分钟）通过一个实际问题，引入正切函数的概念。
例如，一个直角三角形，已知两个锐角分别为30度和60度，求这个直角三角形的斜边长度。
让学生思考和探索，引导学生理解正切函数的意义。
2.呈现（10分钟）通过PPT或者黑板，呈现正切函数的定义和性质。
用图示和实例，解释正切函数的概念，让学生理解和掌握。
同时，引导学生进行思考和讨论，巩固对正切函数的理解。
3.操练（10分钟）给出一些练习题，让学生独立完成。
通过练习，巩固学生对正切函数的理解和掌握。
同时，引导学生总结解题方法和技巧，提高解决问题的能力。
4.巩固（5分钟）对学生的练习进行讲解和点评，纠正学生的错误，巩固对正切函数的理解。
湘教版九年级数学上册第4章锐角三角函数4.2正切教学设计
湘教版九年级数学上册第4章锐角三角函数4.2正切教学设计一. 教材分析湘教版九年级数学上册第4章锐角三角函数4.2正切教学设计，本节课主要让学生了解正切的概念，掌握正切的定义和性质，并能运用正切解决一些实际问题。
教材通过引入直角三角形的边长关系，引导学生探究正切的概念，并通过例题和练习让学生熟练掌握正切的运算方法。
二. 学情分析学生在学习本节课之前，已经学习了直角三角形、锐角三角函数等知识，对三角函数有一定的了解。
但学生对正切的概念和性质的认识还不够深入，需要通过本节课的学习来进一步巩固和提高。
三. 教学目标1.了解正切的概念，掌握正切的定义和性质。
2.能运用正切解决一些实际问题。
3.培养学生的数学思维能力和解决问题的能力。
四. 教学重难点1.正切的概念和性质。
2.运用正切解决实际问题。
五. 教学方法1.情境教学法：通过引入直角三角形的边长关系，引导学生探究正切的概念。
2.例题教学法：通过典型例题，让学生掌握正切的运算方法。
3.实践教学法：让学生通过动手操作，巩固正切的知识。
六. 教学准备1.教学课件：制作教学课件，包括正切的概念、性质和例题。
2.练习题：准备一些练习题，用于巩固学生的正切知识。
3.教学工具：准备直尺、三角板等教学工具，用于引导学生动手操作。
七. 教学过程1.导入（5分钟）利用多媒体展示一些实际问题，如测量山的高度、计算建筑物的斜坡度等，引导学生思考如何利用数学知识解决这些问题。
然后引入正切的概念，激发学生的学习兴趣。
2.呈现（10分钟）通过展示直角三角形的边长关系，引导学生探究正切的定义。
利用多媒体动画展示直角三角形中，正切的概念和性质。
让学生了解正切的概念，并掌握正切的性质。
3.操练（10分钟）让学生利用直尺、三角板等工具，自己动手操作，验证正切的性质。
教师巡回指导，解答学生的疑问。
4.巩固（10分钟）让学生独立完成一些正切的练习题，巩固所学知识。
教师选取部分题目进行讲解，纠正学生的错误。
九年级数学上册第4章锐角三角函数4.2正切ppt作业课件新版湘教版
13．如图，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝24，BC＝7，求sin A，cos A， tan A.
解：根据题意有 AB＝ AC2＋BC2 ＝25，∴sin A＝BACB ＝275 ， cos A＝AACB ＝2245 ，tan A＝BACC ＝274
21．如图，在矩形ABCD中，E是BC边上的点，AE＝BC，DF⊥AE，垂 足为F，连接DE.
(1)求证：AB＝DF； (2)若AD＝10，AB＝6，求tan ∠EDF的值．
解：(1)易证△ABE≌△DFA，∴AB＝DF (2)在 Rt△ADF 中，AD＝10，DF＝AB＝6， ∴AF＝ AD2－DF2 ＝8，∵AE＝AD＝10，∴EF＝AE－AF＝2， ∴tan ∠EDF＝DEFF ＝26 ＝13
22．我们知道 sin30°＝12 ，其求法是构造如图①所示的 Rt△ABC， 使∠C＝90°，斜边 AB＝2，直角边 AC＝1，那么 sin30°＝AACB ＝12 ，在 此基础上，通过添加适当的辅助线，可求出 tan15°的值．
(1)如图②所示，延长 CB 至点 D，使 DB＝BA，连接 AD， 在 Rt△ACD 中，AC＝1，AB＝2，CD＝BD＋BC，易得 BC＝ 3 ，故 CD＝2＋ 3 ．所以在 Rt△ACD 中，tan ∠ADC＝CADC ＝2－ 3 ，因为∠ABC ＝30°，且 AB＝BD，故∠D＝15°，所以 tan15°＝2－ 3 ；
A．2 B．1
C．52
D．54
6．在△ABC 中，若|cos A－12 |＋(1－tan B)2＝0，则∠C 的度数是( C )
A．45° B．60° C．75° D．105°
知识点三：用计算器求锐角的正切值或已知锐角的正切值求锐角
【湘教版】九年级数学上册：第4章《锐角三角函数》章末复习教案(含答案)
第四章锐角三角函数教学目标【知识与技能】1.了解锐角三角函数的概念，熟记30°、45°、60°的正弦、余弦和正切的函数值.2.能够正确地使用计算器，由已知锐角的度数求出它的三角函数值，由已知三角函数值求出相应的锐角的度数.3.会用解直角三角形的有关知识解决简单的实际问题.【过程与方法】通过锐角三角函数的学习，进一步认识函数，体会函数的变化与对应的思想.【情感态度】通过解直角三角形的学习，体会数学在解决实际问题中的作用.【教学重点】会用解直角三角形的有关知识解决简单的实际问题.【教学难点】会用解直角三角形的有关知识解决简单的实际问题.教学过程【布置作业】完成本课时对应练习，并提醒学生预习下一节的内容。
一、知识结构【教学说明】引导学生回顾本章知识点，使学生系统地了解本章知识及它们之间的关系.二、释疑解惑，加深理解1.正弦的概念：在直角三角形中，我们把锐角α的对边与斜边的比叫作角α的正弦.记作sinα，即：sinα=角α的对边/斜边.2.余弦的概念：在直角三角形中，我们把锐角α的邻边与斜边的比叫作角α的余弦.记作cosα.即cosα=角α的邻边/斜边.3.正切的概念：在直角三角形中，我们把锐角α的对边与邻边的比叫作角α的正切.记作tanα，即：tanα=角α的对边/角α的邻边4.特殊角的三角函数值：5.三角函数的概念：我们把锐角α的正弦、余弦、正切统称为角α的锐角三角函数.6.解直角三角形的概念：在直角三角形中，利用已知元素求其余未知元素的过程，叫作解直角三角形.7.仰角、俯角的概念：当我们进行测量时，在视线与水平线所成的角中，视线在水平线上方的角叫作仰角，在水平线下方的角叫作俯角．8.坡度的概念：坡面的铅垂高度与水平前进的距离的比叫作坡度(或坡比)；记作i，坡度通常用l∶m 的形式；坡面与水平面的夹角叫作坡角，记作α.坡度越大，坡角越大，坡面就越陡.【教学说明】引导学生回忆本章所学的有关概念，知识点.加深学生的印象.三、运用新知，深化理解1.已知，如图，D是△ABC中BC边的中点，∠BAD=90°，tanB=2/3，求sin∠DAC．解：过D作DE∥AB交AC于E，则∠ADE=∠BAD=90°，由tanB=2/3，得ADAB=2/3,设AD=2k,AB=3k,∵D是△ABC中BC边的中点，∴DE=3/2k∴在Rt△ADE中，AE=5/2k，2.计算：tan230°＋cos230°－sin245°tan45°3.如图所示，菱形ABCD的周长为20 cm，DE⊥AB，垂足为E，sinA=3/5，则下列结论正确的个数为（）①DE＝3 cm；②BE＝1 cm；③菱形的面积为15 cm2；④BD＝2 ．A．1个B．2个C．3个D．4个分析：由菱形的周长为20 cm知菱形边长是5 cm．综上所述①②③正确．【答案】 C4.如图所示，一艘轮船位于灯塔P的北偏东60°方向，与灯塔P的距离为80海里的A 处，它沿正南方向航行一段时间后，到达位于灯塔P的南偏东45°方向上的B处，求此时轮船所在的B处与灯塔P的距离(结果保留根号)．分析：由题意知，在△ABP中∠A＝60°，∠B＝45°，∠APB＝75°联想到两个三角板拼成的三角形．因此很自然作PC⊥AB交AB于C．解：过点P作PC⊥AB，垂足为C，则∠APC＝30°，∠BPC＝45°，AP＝80，∴当轮船位于灯塔P南偏东45°方向时，轮船与灯塔P的距离是【教学说明】通过上面的解题分析，再对整个学习过程进行总结，能够促进理解，提高认知水平，从而促进数学观点的形成和发展.四、复习训练，巩固提高1.如图，△ABC是等边三角形，P是∠ABC的平分线BD上一点，PE⊥AB于点E，线段BP 的垂直平分线交BC于点F，垂足为点Q．若BF=2，则PE的长为（）A．2 B．．3 D．3分析：∵△ABC是等边三角形，点P是∠ABC的平分线上一点，∴∠EBP=∠QBF=30°，∵BF=2，FQ⊥BP，∴BQ=BF·cos30°=2∵FQ是BP的垂直平分线，∴在Rt△BEP中，∵∠EBP=30°，∴【答案】 C2.如图，为了测量某山AB的高度，小明先在山脚下C点测得山顶A的仰角为45°，然后沿坡角为30°的斜坡走100米到达D点，在D点测得山顶A的仰角为30°，求山AB的高1.73）解：过D作DE⊥BC于E，作DF⊥AB于F，设AB=x，在Rt△DEC中，∠DCE=30°，CD=100，∴≈236.6.答：山AB的高度约为236.6米.3.如图，小红同学用仪器测量一棵大树AB的高度，在C处测得∠ADG=30°，在E处测得∠AFG=60°，CE=8米，仪器高度CD=1.5米，求这棵树AB的高度（结果保留两位有效数字，3≈1.732）．解：根据题意得：四边形DCEF、DCBG是矩形，∴GB=EF=CD=1.5米，DF=CE=8米.设AG=x米，GF=y米，∴这棵树AB的高度约为8.4米.五、师生互动，课堂小结师生共同总结，对于本章的知识.你掌握了多少？还存在哪些疑惑？同学之间可以相互交流.课后作业布置作业:教材“复习题4”中第1、3、6、8、12、14题.教学反思根据学生掌握的情况，对掌握不够好的知识点、题型多加练习、讲解.力争更多的学生学好本章内容.昨天我所在学校期中考试成绩，有个别同学考的不太理想，跟我发微信，自己在期中考试前已经非常努力的做题了，但最后的成绩却很差。
九年级数学上册第4章锐角三角函数专题构造基本图形解直角三角形的实际问题作业课件新版湘教版
解：过点 B 作 BE⊥CD 交 CD 于点 E，易知∠CBE＝30°， CE＝BC·sin30°＝12 BC，又 DE＝AB＝6－BC，
CD＝CE＋DE＝12 BC＋6－BC＝6－12 BC＝5.5， ∴BC＝1 米，∴AB＝5 米
二、构造单一非直角三角形 3．为促进我市经济快速发展，加快道路建设，某高速公路建设工程中， 需修建隧道 AB，如图，在山外一点 C 测得 BC 的距离为 200 m，∠CAB＝54 °，∠CBA＝30°，求隧道 AB 的长．(参考数据：sin54°≈0.81，cos54° ≈0.59，tan54°≈1.38， 3 ≈1.73，精确到个位)
解：设 OE＝OB＝2x，∴OD＝DE＋OE＝190＋2x，∵∠ADE＝30°， ∴OC＝12 OD＝95＋x，∴BC＝OC－OB＝95＋x－2x＝95－x， ∵tan ∠BAD＝BACC ，∴2.14＝954－0 x ，解得 x≈9.4， ∴OB＝2x≈19 cm
6．(天津中考)解放桥是天津市的标志性建筑之一，是一座全钢结构的部分 可开启的桥梁．某校数学兴趣小组要测量解放桥的全长PQ，在观景平台M处 测得∠PMQ＝54°，沿河岸MQ前行，在观景平台N处测得∠PNQ＝73°，已 知PQ⊥MQ，MN＝40 m，求解放桥的全长PQ.(tan54°≈1.4，tan73°≈3.3，结 果保留整数)
解：王浩同学能将手机放入卡槽 DF 内， 理由如下：作 AD⊥BC 于点 D， ∵∠C＝50°，AC＝20， ∴AD＝AC·sin 50°≈20×0.8＝16， CD＝AC·cos 50°≈20×0.6＝12， ∴DB＝BC－CD＝18－12＝6， ∴AB＝ AD2＋BD2 ＝ 292 ， ∴DF＝AB＝ 292 ， ∵17＝ 289 ＜ 292 ， ∴王浩同学能将手机放入卡槽 DF 内
湘教版九年级上第四章《锐角三角函数》4.2正切 (共22张PPT)
1.2m
BF
FC BF tan 50 1.61.19 1.9m.
又DE=FC，
∴ DC=2DE+EF=2DE+AB=2×1.9+1.2=5.0（m）
2021年8月11日9时28分
C 1.6m
6
❖
9、要学生做的事，教职员躬亲共做； 要学生 学的知 识，教 职员躬 亲共学 ；要学 生守的 规则， 教职员 躬亲共 守。21.8.1121.8.11Wednesday, August 11, 2021
❖
15、一年之计，莫如树谷；十年之计 ，莫如 树木； 终身之 计，莫 如树人 。2021年8月下 午9时28分21.8.1121:28August 11, 2021
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16、提出一个问题往往比解决一个更 重要。 因为解 决问题 也许仅 是一个 数学上 或实验 上的技 能而已 ，而提 出新的 问题， 却需要 有创造 性的想 像力， 而且标 志着科 学的真 正进步 。2021年8月11日星期 三9时28分35秒21:28:3511 August 2021
α
３
A
3
由于 B 90 ,
tan 因此 2021年8月11日9时28分 90
tan B AC 3 3. BC 1
2
由于 AB2 BC2 AC2 32 12 10,
因此 AB 10,
sin BC 1 10 10
AB 10 10 10 10
COS AC 3 3 10 3 10
9
A
如果两把梯子AB、
CD靠在墙上，且
AB∥CD，这两把梯
C
子的倾斜程度相同吗？
前面所提到的描述倾
斜程度的量在这里分 B D
E
九年级数学上册第4章锐角三角函数4.4解直角三角形的应用4.4.2坡度与坡角、方向角相关问题教案湘
2018年秋九年级数学上册第4章锐角三角函数4.4 解直角三角形的应用4.4.2 坡度与坡角、方向角相关问题教案（新版）湘教版编辑整理：尊敬的读者朋友们：这里是精品文档编辑中心，本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的，发布之前我们对文中内容进行仔细校对，但是难免会有疏漏的地方，但是任然希望（2018年秋九年级数学上册第4章锐角三角函数4.4 解直角三角形的应用4.4.2 坡度与坡角、方向角相关问题教案（新版）湘教版）的内容能够给您的工作和学习带来便利。
同时也真诚的希望收到您的建议和反馈，这将是我们进步的源泉，前进的动力。
本文可编辑可修改，如果觉得对您有帮助请收藏以便随时查阅，最后祝您生活愉快业绩进步，以下为2018年秋九年级数学上册第4章锐角三角函数4.4 解直角三角形的应用4.4.2 坡度与坡角、方向角相关问题教案（新版）湘教版的全部内容。
第4章锐角三角函数4.4 解直角三角形的应用第2课时坡度与坡脚、方位角相关问题例5 [宿迁中考] 如图4－4－60是某通道的侧面示意图,已知AB∥CD∥EF，AM∥BC∥DE，AB＝CD＝EF，∠AMF＝90°,∠BAM＝30°，AB＝6 m．（1)求FM的长；(2)连接AF，若sin∠FAM＝错误!，求AM的长。
图4－4－60[答案： (1）9 m(2)18 错误!m]角形.活动四：课堂总结反思【当堂训练】1.教材P129练习中的T1，T2。
2。
教材P129习题4。
4中的T1，T2。
当堂检测,及时反馈学习效果.【知识网络】提纲挈领,重点突出。
【教学反思】①[授课流程反思］用来源于学生比较熟悉的实际问题吸引他们的注意力，激发他们的好奇心，体会数学来源于反思，更进一步提升。
湘教版九年级数学下册《4.2正切》同步测试题(附答案)
湘教版九年级数学下册《4.2正切》同步测试题（附答案）知识点1 正切1．已知在Rt△ABC 中，△C ＝90°，sin A ＝35 ，则△A 的正切值为( )A ．43B ．45C ．54D ．342．在△ABC 中，△C ＝90°，AB ＝10，tan A ＝34 ，则BC 的长为( ) A ．27B ．6C ．8D ．103．(2024·永州质检)如图，在4×4的矩形网格中，每个小正方形的边长都是1，若△ABC 的三个顶点在图中相应的格点上，则tan △ACB 的值为( )A ．13B ．12C ．2D ．34．在Rt△ABC 中，△C ＝90°，AC △BC ＝1△2，则tan A ＝__ __． 5.已知：如图，在由边长为1的小正方形组成的网格中，点A ，B ，C ，D ，E 都在小正方形的顶点上，求tan △ADC 的值．知识点2 锐角三角函数的计算6．(2024·常德期中)下面结论中正确的是( )A ．sin 60°＝12 B ．tan 60°＝3C ．sin 45°＝32D ．cos 30°＝127．已知在Rt△ABC 中，△C ＝90°，tan A ＝33 ，则△B 的度数是( ) A ．30°B ．45°C ．60°D ．75°8．在Rt△ABC 中，△α为锐角，且sin (α－15°)＝12 ，则tan α的值为( )A ．22B ．33 C ．1 D ．39．计算：2sin 60°－tan 60°＋12 cos 45°＝____． 10．求下列各式的值．(1)sin 45°·cos 45°＋tan 60°·sin 60°；(2)sin 30°－tan 245°＋34 tan 230°－cos60°.11．在△ABC 中，△C ＝90°，3BC ＝4AC ，则下列结论正确的是( )A ．sin A ＝35B ．cos A ＝45C ．tan A ＝43D ．tan B ＝4312．(2024·娄底质检)如图，将△ABC 放在每个小正方形的边长为1的网格中，点A ，B ，C 均在格点上，则tan A 的值是( )A ．55B ．105C ．2D ．12 【加固训练】如图，A ，B ，C 三点在正方形网格线的交点处，若将△ABC 绕着点A 逆时针旋转得到△AC ′B ′，则tan B ′的值为( )A ．12B ．13C ．14D ．2313．在Rt△ABC 中，△C ＝90°，△A ＝42°，BC ＝36 ，则AC 的长为__ __．(用科学计算器计算，结果精确到0.01)14．在△ABC 中，若⎪⎪⎪⎪⎪⎪sin A －22 ＋(3 －tan B )2＝0，则△C 的度数是__ __．15．在Rt△ABC 中，△C ＝90°，斜边AB 长为5，S △ABC ＝6，则tan A ＋tan B 的值为__．16．(2024·邵阳质检)如图，在Rt△ABC 中，△C ＝90°，D 为AC 上的一点，CD ＝3，AD ＝BD ＝5.求△A 的三角函数值．17．(2023·广东中考)如图，在Rt△ABC 中，△A ＝90°，作BC 的垂直平分线交AC 于点D ，延长AC 至点E ，使CE ＝AB . (1)若AE ＝1，求△ABD 的周长；(2)若AD ＝13 BD ，求tan △ABC 的值．18．如图，在△ABC 中，△C ＝150°，AC ＝4，tan B ＝18 . (1)求BC 的长；(2)利用此图形求tan 15°的值．(精确到0.1，参考数据：2 ≈1.4，3 ≈1.7，5 ≈2.2)参考答案知识点1 正切1．已知在Rt△ABC 中，△C ＝90°，sin A ＝35 ，则△A 的正切值为(D )A ．43B ．45C ．54D ．34【解析】△在Rt△ABC 中，△C ＝90°，sin A ＝35 ＝BCAB ，△设BC ＝3x ，AB ＝5x 由勾股定理得：AC ＝AB 2－BC 2 ＝4x△tan A ＝BC AC ＝3x 4x ＝34 ，即△A 的正切值为34 .2．在△ABC 中，△C ＝90°，AB ＝10，tan A ＝34 ，则BC 的长为(B ) A ．27B ．6C ．8D ．10【解析】设BC ＝3x ，△tan A ＝34 △BC AC ＝34 ，△AC ＝4x ，由勾股定理得 BC 2＋AC 2＝AB 2，即(3x )2＋(4x )2＝102 解得x ＝2，△BC ＝3x ＝6.3．(2024·永州质检)如图，在4×4的矩形网格中，每个小正方形的边长都是1，若△ABC 的三个顶点在图中相应的格点上，则tan △ACB 的值为(C )A ．13B ．12C ．2D ．3【解析】△每个小正方形的边长都是1△AB ＝22 ，AC ＝10 ，BC ＝2 ，则AB 2＋BC 2＝AC 2，△△ABC 是直角三角形△tan △ACB ＝ABBC ＝2.4．在Rt△ABC 中，△C ＝90°，AC △BC ＝1△2，则tan A ＝__2__． 【解析】在Rt△ABC 中，△C ＝90°AC △BC ＝1△2，△tan A ＝BCAC ＝2.5.已知：如图，在由边长为1的小正方形组成的网格中，点A ，B ，C ，D ，E 都在小正方形的顶点上，求tan △ADC 的值．【解析】根据题意可得，AC ＝BC ＝5 ，CD ＝CE ＝10 ，AD ＝BE ＝5 △△ACD △△BCE .△△ADC ＝△BEC .△tan △ADC ＝tan △BEC ＝13 . 知识点2 锐角三角函数的计算6．(2024·常德期中)下面结论中正确的是(B )A ．sin 60°＝12 B ．tan 60°＝3C ．sin 45°＝32D ．cos 30°＝12【解析】A.sin 60°＝32 ；C.sin 45°＝22 ；D.cos 30°＝32 ，选项A ，C ，D 错误．7．已知在Rt△ABC 中，△C ＝90°，tan A ＝33 ，则△B 的度数是(C ) A ．30°B ．45°C ．60°D ．75°【解析】△tan 30°＝33△△A ＝30°△△B ＝90°－△A ＝60°.8．在Rt△ABC 中，△α为锐角，且sin (α－15°)＝12 ，则tan α的值为(C ) A ．22 B ．33 C ．1 D ．3【解析】△sin (α－15°)＝12△α－15°＝30°，△α＝45°，△tan α＝1.9．计算：2sin 60°－tan 60°＋12 cos 45°＝2．【解析】原式＝2×32 －3 ＋12 ×22＝3 －3 ＋24 ＝24 . 10．求下列各式的值．(1)sin 45°·cos 45°＋tan 60°·sin 60°；(2)sin 30°－tan 245°＋34 tan 230°－cos60°.【解析】(1)原式＝22 ×22 ＋3 ×32 ＝12 ＋32 ＝2；(2)原式＝12 －12＋34 ×⎝ ⎛⎭⎪⎫33 2 －12＝12 －1＋14 －12 ＝－34 .11．在△ABC 中，△C ＝90°，3BC ＝4AC ，则下列结论正确的是(C )A ．sin A ＝35B ．cos A ＝45C ．tan A ＝43D ．tan B ＝43【解析】在△ABC 中，△C ＝90°，3BC ＝4AC ，所以BC AC ＝43 ＝tan A ，设BC ＝4k ，则AC ＝3k ，AB ＝BC 2＋AC 2＝5k ，所以sin A ＝BC AB ＝45cos A ＝AC AB ＝35 ，tan B ＝AC BC ＝34 .12．(2024·娄底质检)如图，将△ABC 放在每个小正方形的边长为1的网格中，点A ，B ，C 均在格点上，则tan A 的值是(D )A ．55B ．105C ．2D ．12 【解析】如图所示，连接BD .则BD ＝2 ，AD ＝22 ，AB ＝10△AD 2＋BD 2＝AB 2 △△ADB 为直角三角形 △tan A ＝BD AD ＝222＝12 .【加固训练】如图，A ，B ，C 三点在正方形网格线的交点处，若将△ABC 绕着点A 逆时针旋转得到△AC ′B ′，则tan B ′的值为(B )A ．12B ．13C ．14D ．23 【解析】过C 点作CD △AB ，垂足为点D .根据旋转性质可知，△B ′＝△B .在Rt△BCD 中，tan B ＝CD BD ＝13 △tan B ′＝tan B ＝13 .13．在Rt△ABC 中，△C ＝90°，△A ＝42°，BC ＝36 ，则AC 的长为__8.16__．(用科学计算器计算，结果精确到0.01)【解析】tan 42°≈0.900 4，36AC ≈0.900 4，AC ≈8.16.14．在△ABC 中，若⎪⎪⎪⎪⎪⎪sin A －22 ＋(3 －tan B )2＝0，则△C 的度数是__75°__．【解析】△⎪⎪⎪⎪⎪⎪sin A －22 ＋(3 －tan B )2＝0△sin A －22 ＝0，3 －tan B ＝0，则sin A ＝22 ，tan B ＝3 ，△△A ＝45°，△B ＝60°△△C ＝180°－△A －△B ＝75°.15．在Rt△ABC 中，△C ＝90°，斜边AB 长为5，S △ABC ＝6，则tan A ＋tan B 的值为__2512__． 【解析】在Rt△ABC 中，BC 2＋AC 2＝AB 2＝25tan A ＝BC AC ，tan B ＝ACBC△S △ABC ＝6，即12 BC ×AC ＝6，△BC ×AC ＝12.△tan A ＋tan B ＝BC AC ＋AC BC ＝BC 2＋AC 2BC ×AC ＝2512 .16．(2024·邵阳质检)如图，在Rt△ABC 中，△C ＝90°，D 为AC 上的一点，CD ＝3，AD ＝BD ＝5.求△A 的三角函数值．【解析】在Rt△BCD 中，△CD ＝3，BD ＝5 △BC ＝BD 2－CD 2 ＝52－32 ＝4 又AC ＝AD ＋CD ＝8 △AB ＝AC 2＋BC 2 ＝82＋42 ＝45则sin A ＝BC AB ＝445＝55cos A ＝AC AB ＝845 ＝255tan A ＝BC AC ＝48 ＝12 .17．(2023·广东中考)如图，在Rt△ABC 中，△A ＝90°，作BC 的垂直平分线交AC 于点D ，延长AC 至点E ，使CE ＝AB . (1)若AE ＝1，求△ABD 的周长；(2)若AD ＝13 BD ，求tan △ABC 的值．【解析】(1)如图，连接BD ，设BC 垂直平分线交BC 于点F ，△BD ＝CD C △ABD ＝AB ＋AD ＋BD ＝AB ＋AD ＋DC ＝AB ＋AC ，△AB ＝CE ，△C △ABD ＝AC ＋CE ＝AE ＝1故△ABD 的周长为1.(2)设AD ＝x ，则BD ＝3x △BD ＝CD△AC ＝AD ＋CD ＝4x 在Rt△ABD 中AB ＝BD 2－AD 2 ＝（3x ）2－x 2 ＝22 x .△tan △ABC ＝AC AB ＝4x22x＝2 .18．如图，在△ABC 中，△C ＝150°，AC ＝4，tan B ＝18 . (1)求BC 的长；(2)利用此图形求tan 15°的值．(精确到0.1，参考数据：2 ≈1.4，3 ≈1.7，5 ≈2.2)【解析】(1)过A 作AD △BC ，交BC 的延长线于点D ，如图1所示：在Rt△ADC 中，AC ＝4△△C ＝150°，△△ACD ＝30°△AD ＝12 AC ＝2CD ＝AC ·cos 30°＝4×32 ＝23在Rt△ABD 中，tan B ＝AD BD ＝2BD ＝18 △BD ＝16，△BC ＝BD －CD ＝16－23 .(2)在BC 边上取一点M ，使得CM ＝AC ，连接AM ，如图2所示：△△ACB ＝150° △△AMC ＝△MAC ＝15°tan 15°＝tan △AMD ＝AD MD ＝24＋23 ＝12＋3＝2－3 ≈0.3.。