培优专题4-特殊平行四边形的最值问题
特殊平行四边形中的最值问题
九年级上重难点专题突破——常考题型精选专题01 特殊平行四边形中的最值问题题型一 菱形中的最值问题1．如图，在菱形ABCD 中，10AB AC ==，对角线AC 、BD 相交于点O ，点M 在线段AC 上，且3AM =，点P 为线段BD 上的一个动点，则12MP PB +的最小值是【解答】解：如图，过点P 作PE BC ^于E ，Q 四边形ABCD 是菱形，10AB AC ==，10AB BC AC \===，ABD CBD Ð=Ð，ABC \D 是等边三角形，60ABC ACB \Ð=Ð=°，30CBD \Ð=°，PE BC ^Q ，12PE PB \=，12MP PB PM PE \+=+，\当点M ，点P ，点E 共线且ME BC ^时，PM PE +有最小值为ME ，3AM =Q ，7MC \=，sin ME ACB MC Ð==QME \=，12MP PB \+2．如图，菱形ABCD 的对角线相交于点O ，12AC =，16BD =，点P 为边BC 上一点，且P 不与写B 、C 重合．过P 作PE AC ^于E ，PF BD ^于F ，连接EF ，则EF 的最小值等于 4.8 ．【解答】解：连接OP ，如图所示：Q 四边形ABCD 是菱形，12AC =，16BD =，AC BD \^，182BO BD ==，162OC AC ==，10BC \===，PE AC ^Q ，PF BD ^，AC BD ^，\四边形OEPF 是矩形，FE OP \=，Q 当OP BC ^时，OP 有最小值，此时1122OBC S OB OC BC OP D =´=´，68 4.810OP ´\==，EF \的最小值为4.8，故答案为：4.8．3．如图，在菱形ABCD 中，45B Ð=°，BC =，E ，F 分别是边CD ，BC 上的动点，连接AE ，EF ，G ，H 分别为AE ，EF 的中点，连接GH ，则GH【解答】解：连接AF ，如图所示：Q 四边形ABCD 是菱形，AB BC \==，G Q ，H 分别为AE ，EF 的中点，GH \是AEF D 的中位线，12GH AF \=，当AF BC ^时，AF 最小，GH 得到最小值，则90AFB Ð=°，45B Ð=°Q ，ABF \D 是等腰直角三角形，AF AB \===GH \=，即GH4．如图所示，四边形ABCD 中，AC BD ^于点O ，4AO CO ==，3BO DO ==，点P 为线段AC 上的一个动点．过点P 分别作PM AD ^于点M ，作PN DC ^于点N ．连接PB ，在点P 运动过程中，PM PN PB ++的最小值等于 7.8 ．【解答】解：4AO CO ==Q ，3BO DO ==，8AC \=，四边形ABCD 是平行四边形，AC BD ^Q 于点O ，\平行四边形ABCD 是菱形，5AD ===，5CD AD \==，连接PD ，如图所示：ADP CDP ADC S S S D D D +=Q ，\111222AD PM DC PN AC OD ×+×=×，即1115583222PM PN ´´+´´=´´，5()83PM PN \´+=´，4.8PM PN \+=，\当PB 最短时，PM PN PB ++有最小值，由垂线段最短可知：当BP AC ^时，PB 最短，\当点P 与点O 重合时，PM PN PB ++有最小值，最小值 4.837.8=+=，故答案为：7.8．5．已知菱形OABC 在平面直角坐标系的位置如图所示，顶点(5,0)A ，OB =点P 是对角线OB 上的一个动点，(0,1)D ，当CP DP +最短时，点P 的坐标为( )A．(0,0)B．1(1,)2C．6(5，3)5D．10(7，5)7【解答】解：如图连接AC，AD，分别交OB于G、P，作BK OA^于K．Q四边形OABC是菱形，AC OB\^，GC AG=，OG BG==A、C关于直线OB对称，PC PD PA PD DA \+=+=，\此时PC PD+最短，在Rt AOGD中，AG===，AC\=，12OA BK AC OB×=××Q，4BK\=，3AK==，\点B坐标(8,4)，\直线OB解析式为12y x=，直线AD解析式为115y x=-+，由12115y xy xì=ïïíï=-+ïî解得10757xyì=ïïíï=ïî，\点P坐标10(7，57．故选：D．6．如图所示，在菱形ABCD中，4AB=，120BADÐ=°，AEFD为正三角形，点E、F分别在菱形的边BC、CD上滑动，且E、F不与B、C、D重合．（1）证明不论E 、F 在BC 、CD 上如何滑动，总有BE CF =；（2）当点E 、F 在BC 、CD 上滑动时，分别探讨四边形AECF 的面积和CEF D 的周长是否发生变化？如果不变，求出这个定值；如果变化，求出最小值．【解答】解：（1）如图，连接AC ，Q 四边形ABCD 为菱形，120BAD Ð=°，60BAC \Ð=°，AEF D Q 是等边三角形，60EAF \Ð=°，160EAC \Ð+Ð=°，360EAC Ð+Ð=°，13\Ð=Ð，120BAD Ð=°Q ，60ABC \Ð=°，ABC \D 和ACD D 为等边三角形，460\Ð=°，AC AB =，\在ABE D 和ACF D 中，134AB ACABC Ð=Ðìï=íïÐ=Ðî，()ABE ACF ASA \D @D ．BE CF \=；（2）四边形AECF 的面积不变，CEF D的周长发生变化．理由如下：由（1）得ABE ACF D @D ，则ABE ACF S S D D =，故AEC ACF AEC ABE ABC AECF S S S S S S D D D D D =+=+=四边形，是定值，作AH BC ^于H 点，则2BH =，1122ABC AECF S S BC AH BC D ==×==四边形．CEF D 的周长CE CF EF CE BE EF BC EF BC AE=++=++=+=+由“垂线段最短”可知：当正三角形AEF 的边AE 与BC 垂直时，边AE 最短．故AEF D 的周长会随着AE 的变化而变化，且当AE 最短时，CEF D 的周长会最小44=+=+．7．如图，由两个长为8，宽为4的全等矩形叠合而得到四边形ABCD ，则四边形ABCD 面积的最大值是( )A ．15B ．16C ．19D ．20【解答】解：如图1，作AE BC ^于E ，AF CD ^于F ，，//AD BC Q ，//AB CD ，\四边形ABCD 是平行四边形，Q 两个矩形的宽都是4，4AE AF \==，ABCD S AE BC AF CD =×=×Q 四边形，BC CD \=，\平行四边形ABCD 是菱形．如图2，当菱形的一条对角线为矩形的对角线时，四边形ABCD的面积最大，，设AB BC xBE x=-，==，则8222Q，=+BC BE CE222\=-+，(8)4x x解得5x=，\四边形ABCD面积的最大值是：´=，5420故选：D．8．如图所示，在边长为1的菱形ABCD中，60DABÐ=°，M是AD上不同于A，D两点的一动点，N是+=．CD上一动点，且1AM CN（1）证明：无论M，N怎样移动，BMND总是等边三角形；（2）求BMND面积的最小值．【解答】（1）证明：如图所示，连接BD，在菱形ABCD中，60DABÐ=°，\Ð=Ð=°，60ADB NDBD是等边三角形，故ADB\=，AB BD又1+=，DN CNAM CN+=，1AM DN \=，在AMB D 和DNB D 中，60AM DN MAB NDB AB DB =ìïÐ=Ð=°íï=î，()AMB DNB SAS \D @D ，BM BN \=，MBA NBD Ð=Ð，又60MBA DBM Ð+Ð=°，60NBD DBM \Ð+Ð=°，即60MBN Ð=°，BMN \D 是等边三角形；（2）解：过点B 作BE MN ^于点E ．设BM BN MN x ===，则BE x =，故212BMN S MN BE D =×=，\当BM AD ^时，x 最小，此时，min x =，1324min S ==．BMN \D．9．如图，菱形ABCD 的对角线相交于点O ，12AC =，16BD =，点P 为边BC 上一点，且P 不与B 、C 重合．过P 作PE AC ^于E ，PF BD ^于F ，连接EF ，则EF 的最小值为( )A ．4B ．4.8C ．5D ．6【解答】解：连接OP，Q 四边形ABCD 是菱形，12AC =，16BD =，AC BD \^，182BO BD ==，162OC AC ==，10BC \===，PE AC ^Q ，PF BD ^，AC BD ^，\四边形OEPF 是矩形，FE OP \=，Q 当OP BC ^时，OP 有最小值，此时1122OBC S OB OC BC OP D =´=´，68 4.810OP ´\==，EF \的最小值为4.8，故选：B ．10．如图，菱形ABCD 的两条对角线长分别为6AC =，8BD =，点P 是BC 边上的一动点，则AP 的最小值为( )A ．4B ．4.8C ．5D ．5.5【解答】解：设AC 与BD 的交点为O ，Q 点P 是BC 边上的一动点，AP BC \^时，AP 有最小值，Q 四边形ABCD 是菱形，AC BD \^，132AO CO AC ===，142BO DO BD ===，5BC \===，12ABCD S AC BD BC AP =´´=´Q 菱形，24 4.85AP \==，故选：B ．题型二 矩形中的最值问题1．如图，点P 是Rt ABC D 中斜边AC （不与A ，C 重合）上一动点，分别作PM AB ^于点M ，作PN BC ^于点N ，连接BP 、MN ，若6AB =，8BC =，当点P 在斜边AC 上运动时，则MN 的最小值是( )A ．1.5B ．2C ．4.8D ．2.4【解答】解：90ABC Ð=°Q ，6AB =，8BC =，10AC \===，PM AB ^Q ，PN BC ^，90C Ð=°，\四边形BNPM 是矩形，MN BP \=，由垂线段最短可得BP AC ^时，线段MN 的值最小，此时，1122ABC S BC AB AC BP D =×=×，即11861022BP ´´=´×，解得： 4.8BP =，即MN 的最小值是4.8，故选：C ．2．如图，在Rt ABC D 中，90BAC Ð=°且3AB =，4AC =，点D 是斜边BC 上的一个动点，过点D 分别作DM AB ^于点M ，DN AC ^于点N ，连接MN ，则线段MN 的最小值为( )A ．125B ．52C ．3D ．4【解答】解：90BAC Ð=°Q ，且3BA =，4AC =，5BC \==，DM AB ^Q ，DN AC ^，90DMA DNA BAC \Ð=Ð=Ð=°，\四边形DMAN 是矩形，MN AD \=，\当AD BC ^时，AD 的值最小，此时，ABC D 的面积1122AB AC BC AD =´=´，125AB AC AD BC ´\==，MN \的最小值为125；故选：A ．3．如图，90MON Ð=°，矩形ABCD 的顶点A 、B 分别在边OM 、ON 上，当B 在边ON 上运动时，A 随之在OM 上运动，矩形ABCD 的形状保持不变，其中6AB =，2BC =．运动过程中点D 到点O 的最大距离是 3+【解答】解：如图：取线段AB 的中点E ，连接OE ，DE ，OD ，6AB =Q ，点E 是AB 的中点，90AOB Ð=°，3AE BE OE \===，Q 四边形ABCD 是矩形，2AD BC \==，90DAB Ð=°，DE \==，OD OE DE +Q …，\当点D ，点E ，点O 共线时，OD 的长度最大．\点D 到点O 的最大距离3OE DE =+=+故答案为：34．如图，在矩形ABCD 中，2AB =，1AD =，E 为AB 的中点，F 为EC 上一动点，P 为DF 中点，连接PB ，则PB 的最小值是( )A ．2B ．4CD ．【解答】解：如图：当点F 与点C 重合时，点P 在1P 处，11CP DP =，当点F 与点E 重合时，点P 在2P 处，22EP DP =，12//PP CE \且1212PP CE =．当点F 在EC 上除点C 、E 的位置处时，有DP FP =．由中位线定理可知：1//PP CE 且112PP CF =．\点P 的运动轨迹是线段12P P ，\当12BP PP ^时，PB 取得最小值．Q 矩形ABCD 中，2AB =，1AD =，E 为AB 的中点，CBE \D 、ADE D 、1BCP D 为等腰直角三角形，11CP =．145ADE CDE CPB \Ð=Ð=Ð=°，90DEC Ð=°．2190DP P \Ð=°．1245DPP \Ð=°．2190P PB \Ð=°，即112BP PP ^，BP \的最小值为1BP 的长．在等腰直角1BCP 中，11CP BC ==．1BP \=．PB \．故选：C ．5．如图，90MON Ð=°，矩形ABCD 在MON Ð的内部，顶点A ，B 分别在射线OM ，ON 上，4AB =，2BC =，则点D 到点O 的最大距离是( )A ．2-B ．2+C ．2-D 2+【解答】解：取AB 中点E ，连接OE 、DE 、OD ，90MON Ð=°Q ，122OE AB \==．在Rt DAE D 中，利用勾股定理可得DE =．在ODE D 中，根据三角形三边关系可知DE OE OD +>，\当O 、E 、D 三点共线时，OD 最大为2OE DE +=+．故选：B ．6．如图，点E 、F 、G 、H 分别是矩形ABCD 边AB 、BC 、CD 、DA 上的点，且HG 与EF 交于点I ，连接HE 、FG ，若6AB =，5BC =，//EF AD ，//HG AB ，则HE FG +【解答】解：如图所示，连接AI ，CI ，AC ，在矩形ABCD 中，90BAD BCD B Ð=Ð=Ð=°，//AB CD ，//AD BC ，又//EF AD Q ，//HG AB ，\四边形AHIE 和四边形IFCG 为矩形，HE AI \=，FG CI =，HE FG \+的长度即为AI CI +的长度，又AI CI AC +Q …，\当A ，I ，C 三点共线时，AI CI +最小值等于AC 的长度，在Rt ABC D 中，AC ===HE FG \+．7．如图，在ABC D 中，9AC =，12AB =，15BC =，P 为BC 边上一动点，PG AC ^于点G ，PH AB ^于点H ．（1）求证：四边形AGPH 是矩形；（2）在点P 的运动过程中，GH 的长度是否存在最小值？若存在，请求出最小值，若不存在，请说明理由．【解答】（1）证明91215AC AB BC ===Q ，281AC \=，2144AB =，2225BC =，222AC AB BC \+=，90A \Ð=°．PG AC ^Q ，PH AB ^，90AGP AHP \Ð=Ð=°，\四边形AGPH 是矩形；（2）存在．理由如下：连接AP ．Q 四边形AGPH 是矩形，GH AP \=．Q 当AP BC ^时AP 最短．91215AP \´=×．365AP \=．8．如图，菱形EFGH 的顶点E 、G 分别在矩形ABCD 的边AD ，BC 上，顶点F ，H 在矩形ABCD 的对角线BD 上．（1）求证：BG DE =；（2）若3AB =，4BC =，则菱形EFGH 的面积最大值是 758 ．【解答】（1）证明：Q 四边形ABCD 是矩形，//AD BC \，FBG HDE \Ð=Ð，Q 四边形EFGH 是菱形，FG EH \=，EFG EHG Ð=Ð，12GFH EFG Ð=Ð，12EHF EHG Ð=Ð，GFH EHG \Ð=Ð，BFG DHE \Ð=Ð，在BFG D 和DHE D 中，FBG HDE BFG DHE FG EH Ð=ÐìïÐ=Ðíï=î，()BFG DHE AAS \D @D ，BG DE \=；（2）解：当点F 与B 重合，点H 与D 重合时，菱形EFGH 的面积最大，如图所示：Q 四边形EFGH 是菱形，EG BD \^，BE DE BG ==，Q 四边形ABCD 是矩形，90BAD \Ð=°，设BE DE x ==，则4AE x =-，在Rt ABE D 中，由勾股定理得：2223(4)x x +-=，解得：258x =，257488CG AE \==-=，\菱形EFGH 的面积最大值=矩形ABCD 的面积ABE -D 的面积CDG -D 的面积177********=´-´´´=；故答案为：758．9．如图，在矩形ABCD中，3AB=，6AD=，E是AD上一点，1AE=，P是BC上一动点，连接AP，取AP的中点F，连接EF，当线段EF取得最小值时，线段PD的长度是 5 ．【解答】解：过点P作//PM FE交AD于M，如图，FQ为AP的中点，//PM FE，FE\为APMD的中位线，22AM AE\==，2PM EF=，当EF取最小值时，即PM最短，当PM AD^时，PM最短，此时3PM AB==，4MD AD AM=-=Q，在Rt PMDD中，5PD==，\当线段EF取得最小值时，线段PD的长度是5，故答案为：5．10．如图，在ABCD中，90BACÐ=°，点D是BC的中点，点E、F分别是AB、AC上的动点，90EDFÐ=°，M 、N 分别是EF 、AC 的中点，连接AM 、MN ，若6AC =，5AB =，则AM MN -的最大值为 2512 ．【解答】解：如图，连接DM ，DN ，由图可以得到M 的轨迹是一条线段(AD 的垂直平分线的一部分），M 在AN 上的时候最大（此时AM 最大，MN 最小），当M 在AN 上时，如图，设AM x =，则3MN x =-，DM AM x ==，1522DN AB ==，在直角三角形DMN 中，根据勾股定理，得222DM DN MN =+，222(3) 2.5x x \=-+，解得6124x =，11324x \-=，此时611125242412AM MN -=-=．AM MN \-的最大值为2512．故答案为：2512．题型三 正方形中的最值问题1．如图，正方形ABCD 中，3AB =，点E 为对角线AC 上的动点，以DE 为边作正方形DEFG ．点H 是CD上一点，且23DH CD =，连接GH ，则GH【解答】解：连接CG ．Q 四边形ABCD 是正方形，四边形DEFG 是正方形，DA DC \=，DE DG =，90ADC EDG Ð=Ð=°，45DAC Ð=°，ADE CDG \Ð=Ð，()ADE CDG SAS \D @D ，45DCG DAE \Ð=Ð=°，\点G 的运动轨迹是射线CG ，根据垂线段最短可知，当GH CG ^时，GH 的值最小，223DH CD ==Q ，321CH CD DH \=-=-=，\最小值sin 451CH =°==g ．．2．如图，在正方形ABCD 中，AB =，E 是对角线AC 上的动点，以DE 为边作正方形DEFG ，H 是CD的中点，连接GH ，则GH【解答】解：连接CG ．Q 四边形ABCD 是正方形，四边形DECG 是正方形，DA DC \=，DE DG =，90ADC EDG Ð=Ð=°，45DAC Ð=°，ADE CDG \Ð=Ð，()ADE CDG SAS \D @D ，45DCG DAE \Ð=Ð=°，\点G 的运动轨迹是射线CG ，根据垂线段最短可知，当GH CG ^时，GH 的值最小，最小值sin 45CH =°=g ．3．如图，平面内三点A 、B 、C ，5AB =，4AC =，以BC 为对角线作正方形BDCE ，连接AD ，则AD 的最大值是( )A ．5B ．9C ．D 【解答】解：如图，将BDA D 绕点D 顺时针旋转90°得到CDM D ，由旋转不变性可知：5AB CM ==，DA DM =，90ADM Ð=°，ADM \D 是等腰直角三角形，AD \=，\当AM 的值最大时，AD 的值最大，AM AC CM +Q …，9AM \…，AM \的最大值为9，AD \．故选：D ．4．如图，已知正方形ABCD 的边长为4，点M 和N 分别从B 、C 同时出发，以相同的速度沿BC 、CD 向终点C 、D 运动，连接AM 、BN ，交于点P ，连接PC ，则PC 长的最小值为( )A ．2B ．2C ．1-D ．【解答】解：由题意得：BM CN =，Q 四边形ABCD 是正方形，90ABM BCN \Ð=Ð=°，4AB BC ==，在ABM D 和BCN D 中，AB BC =，ABM BCN Ð=Ð，MB CN =，()ABM BCN SAS \D @D ，BAM CBN \Ð=Ð，90ABP CBN Ð+Ð=°Q ，90ABP BAM \Ð+Ð=°，90APB \Ð=°，\点p 是以AP 为半径的圆上远动，设圆心为O ，运动路径一条弧 BG ，是这个圆的14，如图所示：连接OC交圆O于P，此时PC最小，Q，AB=4\==，2OP OB由勾股定理得：OC==，\=-=；PC OC OP2故选：A．5．如图，在边长为4的正方形ABCD中，点E、F分别是边BC、CD上的动点，且BE CF=，连接BF、+的最小值为( )DE，则BF DEA B C D【解答】解：连接AE，如图1，Q四边形ABCD是正方形，ABE BCFÐ=Ð=°．\=，90AB BC又BE CF=，\D@D．ABE BCF SAS()\=．AE BF所以BF DE +最小值等于AE DE +最小值．作点A 关于BC 的对称点H 点，如图2，连接BH ，则A 、B 、H 三点共线，连接DH ，DH 与BC 的交点即为所求的E 点．根据对称性可知AE HE =，所以AE DE DH +=．在Rt ADH D 中，DH ===，BF DE \+．故选：D ．6．如图，在ABC D 中，5AB AC ==，BC =D 为边AB 上一动点(B 点除外），以CD 为一边作正方形CDEF ，连接BE ，则BDE D 面积的最大值为 8 ．【解答】解：过点C 作CG BA ^于点G ，作EH AB ^于点H ，作AM BC ^于点M ．5AB AC ==Q ，BC =，BM CM \==，易证AMB CGB D D ∽，\BM AB GB CB=，8GB \=，设BD x =，则8DG x =-，易证()EDH DCG AAS D @D ，8EH DG x \==-，2111(8)(4)8222BDE S BD EH x x x D \==-=--+g ，当4x =时，BDE D 面积的最大值为8．故答案为8．7．如图，在平面直角坐标系中，已知矩形OABC 的顶点A 在x 轴上，4OA =，3OC =，点D 为BC 边上一点，以AD 为一边在与点B 的同侧作正方形ADEF ，连接OE ．当点D 在边BC 上运动时，OE 的长度的最小值是 【解答】解：如图所示：过点D 作DG OA ^，过点E 作HE DG ^．DG OA ^Q ，HE DG ^，90EHD DGA \Ð=Ð=°．90GDA DAG \Ð+Ð=°．Q 四边形ADEF 为正方形，DE AD \=，90HDE GDA Ð+Ð=°．HDE GAD \Ð=Ð．在HED D 和GDA D 中HDE GAD EHD DGA DE AD Ð=ÐìïÐ=Ðíï=î，HED GDA \D @D ．3HE DG \==，HD AG =．设(,3)D a ，则DC a =，4DH AG a ==-．(3,7)E a a \+-．OE \==．当2a =时，OE有最小值，最小值为．故答案为：8．如图，正方形ABCD 的边长为4cm ，动点E 、F 分别从点A 、C 同时出发，以相同的速度分别沿AB 、CD 向终点B 、D 移动，当点E 到达点B 时，运动停止，过点B 作直线EF 的垂线BG ，垂足为点G ，连接AG ，则AG-．【解答】解：设正方形的中心为O ，可证EF 经过O 点．连接OB ，取OB 中点M ，连接MA ，MG ，则MA ，MG 为定长，可计算得MA =，12MG OB ==AG AM MG -=…，当A ，M ，G 三点共线时，AG 最小=-，9．如图，M 、N 是正方形ABCD 的边CD 上的两个动点，满足AM BN =，连接AC 交BN 于点E ，连接DE交AM 于点F ，连接CF ，若正方形的边长为6，则线段CF 的最小值是 3- ．【解答】解：如图，在正方形ABCD 中，AD BC CD ==，ADC BCD Ð=Ð，DCE BCE Ð=Ð，在Rt ADM D 和Rt BCN D 中，AD BC AM BN =ìí=î，Rt ADM Rt BCN(HL)\D @D ，DAM CBN \Ð=Ð，在DCE D 和BCE D 中，BC CD DCE BCE CE CE =ìïÐ=Ðíï=î，()DCE BCE SAS \D @D ，CDE CBE\Ð=ÐDAM CDE \Ð=Ð，90ADF CDE ADC Ð+Ð=Ð=°Q ，90DAM ADF \Ð+Ð=°，1809090AFD \Ð=°-°=°，取AD 的中点O ，连接OF 、OC ，则132OF DO AD ===，在Rt ODC D中，OC ==根据三角形的三边关系，OF CF OC +>，\当O 、F 、C 三点共线时，CF 的长度最小，最小值3OC OF =-=．故答案为：3-．10．如图，正方形ABCD 边长为4，点O 在对角线DB 上运动（不与点B ，D 重合），连接OA ，作OP OA ^，交直线BC 于点P ．（1）判断线段OA ，OP 的数量关系，并说明理由．（2）当OD =时，求CP 的长．（3）设线段DO ，OP ，PC ，CD 围成的图形面积为1S ，AOD D 的面积为2S ，求12S S -的最值．【解答】解：（1）OA OP=，理由是：如图1，过O作OG AB^于G，过O作OH BC^于H，Q四边形ABCD是正方形，=，ABO CBO\Ð=Ð，AB BC\=，OG OHQ，Ð=Ð=Ð=°90OGB GBH BHO\四边形OGBH是正方形，BG BHÐ=°，GOH\=，90Q，Ð=Ð=°90AOP GOH\Ð=Ð，AOG POH()\D@D，AGO PHO ASA\=；OA OP^于Q，过O作OH BC（2）如图2，过O作OQ CD^于H，连接OC，90\Ð=°，OQDQ，Ð=°45ODQ\D是等腰直角三角形，ODQQ，OD=\==，1OQ DQÐ=Ð，OD OD=，=Q，ADO CDOAD CD\D@D，ADO CDO SAS()\==，AO OC OPQ，OH PC^PH CH OQ\===，1\=；2PC。
专题02 特殊平行四边形中的四种最值问题(解析版)-2024年常考压轴题攻略(9年级上册人教版)
专题02特殊平行四边形中的四种最值问题类型一、将军饮马（轴对称）型最值问题A ．5B ．【答案】B 【分析】作点E 关于BD 的对称点为∵E 关于BD 的对称点为'E ，∴'PE PE =，'BE BE =，∵正方形ABCD 的边长为2，点A．0B．3【答案】C【分析】要使四边形APQE的周长最小，由于在BC边上确定点P、Q的位置，可在与BC交于一点即为Q点，过A点作后过G点作BC的平行线交DC的延长线于长度．∵四边形ABCD 是矩形，∴8BC AD ==，90D Ð=°，∠QCE ＝90°，∵2PQ =，∴6DF AD AF =-=,∵点F 点关于BC 的对称点G ，∴FG AD⊥∴90DFG ∠=︒∴四边形FGHD 是矩形，∴GH ＝DF ＝6，∠H ＝90°,∵点E 是CD 中点，∴CE =2，∴EH ＝2+4＝6，∴∠GEH ＝45°，∴∠CEQ ＝45°，设BP ＝x ，则CQ ＝BC ﹣BP ﹣PQ ＝8﹣x ﹣2＝6﹣x ，在△CQE 中，∵∠QCE ＝90°，∠CEQ ＝45°，∴CQ ＝EC ，∴6﹣x ＝2，解得x ＝4．故选：C ．【点睛】本题考查了矩形的性质，轴对称﹣最短路线问题的应用，题目具有一定的代表性，是一道难度较大的题目，对学生提出了较高的要求．例3．如图，在矩形ABCD 中，26AB AD ==,，O 为对角线AC 的中点，点P 在AD 边上，且2AP =，点Q【答案】210【分析】①连接PO并延长交BC 明四边形APHB是矩形可得AB②过点O作关于BC的对称点PQ OQ+的最小值为PO'的长度，延长∵GO AD'⊥，点O是AC的中点，∴132AG AD==，【点睛】本题考查矩形的性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理及轴对称识是解题的关键．【变式训练1】如图，正方形ABCD的周长为24，P为对角线AC上的一个动点，E是CD的中点，则PE PD+的最小值为（）A ．35B ．32C ．6D ．5【答案】A 【详解】解：如图，连接BE ，设BE 与AC 交于点P'，∵四边形ABCD 是正方形，∴点B 与D 关于AC 对称，∴P'D =P'B ，∴P'D +P'E =P'B +P'E =BE 最小.即P 在AC 与BE 的交点上时，PD +PE 最小，即为BE 的长度.∵正方形ABCD 的周长为24，∴直角△CBE 中，∠BCE =90°，BC =6，CE =12CD =3，∴226335BE =+=故选A.【变式训练2】如图，在矩形ABCD 中，AB ＝2，AD ＝3，动点P 满足S △PBC ＝14S 矩形ABCD ，则点P 到B ，C 两点距离之和PB +PC 的最小值为（）A 10B 13C 15D ．3【答案】B 【详解】解：设△PBC 中BC 边上的高是h ．∵S △PBC ＝14S 矩形ABCD ．∴12BC •h ＝14AB •AD ，∴h ＝12AB ＝1，∴动点P 在与BC 平行且与BC 的距离是1的直线l 上，如图，作B 关于直线l 的对称点E ，连接CE ，则CE 的长就是所求的最短距离．在Rt △BCE 中，∵BC ＝3，BE ＝BA ＝2，∴CE 2213+AB BC 即PB ＋PC 13故选：B ．【变式训练3】如图，在正方形ABCD 中，4AB =，AC 与BD 交于点O ，N 是AO 的中点，点M 在BC 边上，且3BM =，P 为对角线BD 上一点，则PM PN -的最大值为_____________．【答案】1【分析】作N 关于BD 的对称点E ，连接PE ，ME ，过点M 作MQ ⊥AC ，垂足为Q ，可判定当点P ，E ，M 三点共线时，PM -PE 的值最大，为ME 的长，求出CE ，CQ ，得到EQ ，利用垂直平分线的性质得到EM =CM =1即可．【详解】解：如图：作N 关于BD 的对称点E ，连接PE ，ME ，过点M 作MQ ⊥AC ，垂足为Q ，∴PN =PE ，则PM -PN =PM -PE ，【答案】13【分析】连接CF、AF+=+，故当EF MN EF AF类型二、翻折型最值问题例1．如图，在边长为2的菱形ABCD中，∠A=60°，M是AD边的中点，N是AB边上的一动点，将△AMN 沿MN所在直线翻折得到△A'MN，连接A'C，则A'C长度的最小值是（）【变式训练1】如图，在矩形ABCD 中，3AB =，4=AD ，E 在AB 上，1BE =，F 是线段BC 上的动点，将EBF △沿EF 所在的直线折叠得到'EB F △，连接'B D ，则'B D 的最小值是（）A ．6B ．4C ．2D ．1-【答案】D 【详解】解：如图，'B 的运动轨迹是以E 为圆心，以BE 的长为半径的圆．所以，当'B 点落在DE 上时，'B D 取得最小值．根据折叠的性质，△EBF ≌△EB’F ，∴E 'B ⊥'B F ，∴E 'B ＝EB ，∵1BE =∴E 'B ＝1，∵3AB =，4=AD ，∴AE =3-1=2，∴DE =D 'B ＝．故选：D ．【变式训练2】如图，在正方形ABCD 中，AB =6，E 是CD 边上的中点，F 是线段BC 上的动点，将△ECF 沿EF 所在的直线折叠得到EC F '△，连接AC '，则的最小值是AC '_______．【答案】3【详解】解：∵四边形ABCD 是正方形，∴6CD AB AD ===，∵E 是CD 边上的中点，∴132EC CD ==∵△ECF 沿EF 所在的直线折叠得到EC F '△，∴3EC EC '==，∴当点A ，C '，E 三点共线时，AC '最小，如图，在Rt ADE △中，由勾股定理得：AE ==3AE EC '-=-，∴AC '的最小值为3．类型三、旋转型最值问题【答案】353-【分析】过点M 作MP CD ⊥，垂足为P ，连接CM ，根据正方形的性质求出CE ，证明EDC DMP △≌△股定理求出CM ，根据CN MN CM +≥即可求出CN 【详解】解：过点M 作MP CD ⊥，垂足为P ，连接由旋转可得：DE DM =，3EF MN ==，90EDM ∠=例2．如图，长方形ABCD 中，6AB =，8BC =，E 为BC 上一点，且2BE =，F 为AB 边上的一个动点，连接EF ，将EF 绕着点E 顺时针旋转30°到EG 的位置，连接FG 和CG ，则CG 的最小值为______．【答案】2+【详解】解：如图，将线段BE 绕点E 顺时针旋转30°得到线段ET ，连接GT ，过E 作EJ CG ⊥，垂足为J ，∵四边形ABCD 是矩形，∴AB =CD =6，∠B =∠BCD =90°，∵∠BET =∠FEG =30°，∴∠BEF =∠TEG ，在△EBF 和△TEG 中，EB ET BEF TEG EF EG =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△EBF ≌△ETG （SAS ），∴∠B =∠ETG =90°，∴点G 的在射线TG 上运动，∴当CG ⊥TG 时，CG 的值最小，∵∠EJG =∠ETG =∠JGT =90°，∴四边形ETGJ 是矩形，∴∠JET =90°,GJ =TE =BE =2，∵∠BET =30°，∴∠JEC =180°-∠JET -∠BET =60°，∵8BC =，∴226,3,3EC BC BE EJ CJ EC EJ =-===-=,∴CG =CJ +GJ =332+.∴CG 的最小值为332+.故答案为：332.【变式训练1】如图，已知正方形ABCD 的边长为a ，点E 是AB 边上一动点，连接ED ，将ED 绕点E 顺时针旋转90︒到EF ，连接DF ，CF ，则当DF CF +之和取最小值时，DCF 的周长为______．（用含a 的代数式表示）【答案】()51a +【分析】连接BF ，过点F 作FG AB ⊥交AB 延长线于点G ，先证明AED GFE △≌△，即可得到点F 在CBG ∠的角平分线上运动，作点C 关于BF 的对称点C '，当点D ，F ，C 三点共线时，DF CF DC +='最小，根据勾股定理求出DC DF CF '=+的最小值为35，即可求出此时DCF 的周长为353+．将ED绕点E顺时针旋转90︒到EF，=，∴⊥，EF DEEF DEDEA FEG DEA ADE∴∠+∠=∠+∠=︒，90∴∠=∠，ADE FEG又90，∠=∠=︒DAE FGE(1)试猜想线段BG 和AE 的数量关系，并证明你得到的结论；(2)将正方形DEFG 绕点D 逆时针方向旋转一定角度后（旋转角度大于过观察或测量等方法判断（1）中的结论是否仍然成立？如果成立，请予以证明；如果不成立，请说明理由；(3)若2BC DE ==，在（2）的旋转过程中，①当AE 为最大值时，则AF =___________．ABC 是等腰直角三角形，AD BC ∴⊥，BD CD =，90ADB ADC ∴∠=∠=︒．四边形DEFG 是正方形，DE DG ∴=．在BDG 和ADE V 中，BD AD BDG ADE GD ED =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，(SAS)ADE BDG ∴△≌△，BG AE ∴=；（2）（1）中的结论仍然成立，BG AE =，BG AE ⊥．理由如下：如图②，连接AD ，延长EA 交BG 于K ，交DG 于O ．在Rt BAC 中，D 为斜边BC 中点，AD BD ∴=，AD BC ⊥，90ADG GDB ∴∠+∠=︒．四边形EFGD 为正方形，DE DG ∴=，且90GDE ∠=︒，90ADG ADE ∴∠+∠=︒，BDG ADE ∴∠=∠．在BDG 和ADE V 中，BD AD BDG ADE GD ED =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，(SAS)BDG ADE ∴△≌△，BG AE ∴=，BGD AED ∠=∠，2，==BC DEBG∴=+=．213AE∴=．3在Rt AEF中，由勾股定理，得222=+=+3AF AE EF中，如图②中，在BDGBG∴-≤≤+，2112∴的最小值为1，此时如图④中，AE在Rt AEF中，2=AF EF【点睛】本题属于四边形综合题，考查了旋转的性质的运用，等腰直角三角形的性质的运用，勾股定理的运用，全等三角形的判定及性质的运用，正方形的性质的运用，解答时证明三角形全等是关键．类型四、PA+KPB型最值问题3A．27B．23【答案】C【分析】连接AC与EF相交于∵四边形ABCD是菱形，∠=∠，∴OAE OCFA．3B．22【答案】D【分析】连接AF，利用三角形中位线定理，可知四边形ABCD是菱形，∴==，AB BC23，H分别为AE，EF的中点，GGH∴是AEF△的中位线，【答案】51-【分析】连接BD交EF的中点，求出OB的长，得到AH AM MH>=-–51直线l平分正方形∴O是BD的中点，四边形ABCD是正方形，∴==，BD AB24【答案】26【分析】利用轴对称的性质作出如图的辅助线，在【详解】解：延长DC '''∴E F G H E '''、、、、在同一直线上时，四边形EFCH 作E K AB '⊥交AB 延长于点K ，则23EK BE CD A E AB CD '''=++=+=，E K BC '=+在△ABH中，∠AHB=90°，∠ABH过点D作DE∥AC交BC延长线于点E，作点C【点睛】本题考查了对称的性质，勾股定理，等边三角形的判定和性质，最值问题，直角三角形的性质，多边形的面积，知识点较多，难度较大，解题的关键是作出辅助线，得出当且仅当B，D，F三点共线时，BD+CD取得最小值．。
特殊的平行四边形中动点及最值问题
特殊的平行四边形中动点及最值问题下载提示：该文档是本店铺精心编制而成的，希望大家下载后，能够帮助大家解决实际问题。
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【初中数学】特殊平行四边形中的最值问题+课件+北师大版数学九年级上册
⊥ OB ，∴∠ AOB ＝90°.∴∠ BON ＋∠ AON ＝90°.∴∠ AOM ＝
∠＝∠，
∠ BON . 在△ AOM 和△ BON 中， ＝，
∠＝∠，
∴△ AOM ≌△ BON （ASA）.
∴ BE ＝ BG ，∠ ABE ＝∠ CBG .
∴∠ EBG ＝∠ EBC ＋∠ CBG ＝∠ EBC ＋
∠ ABE ＝90°.
∵∠ EBF ＝45°，
∴∠ GBF ＝∠ EBF ＝45°.
答图
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数学 九年级上册 BS版
易证得△ EBF ≌△ GBF SAS .
∵ BH ⊥ EF ， BC ⊥ CD ，
∴ PD ＋ PE 的最小值为2 10 .
【点拨】两定一动，动点在直线上的最值问题就是“将军饮
马”最值问题，常常利用轴对称来解决问题.
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数学 九年级上册 BS版
1. 如图，正方形 ABCD 的边长为2，点 E 是 BC 的中点，点 P 是
AC 边上的一个动点，连接 BP ， EP ，则 BP ＋ EP 的最小值
解：如图，连接 BD 交 AC 于点 O ，连接 PB .
1
∵ 菱形 ＝ AC ·BD ，
2
1
∴24＝ ×12·BD .
2
∴ BD ＝4.
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数学 九年级上册 BS版
∵四边形 ABCD 是菱形，
1
1
∴ OA ＝ AC ＝6， OB ＝ BD ＝2， AC ⊥ BD .
2
2
∴ AB ＝ 62 ＋22 ＝2 10 .
∴ BH ＝ BC ＝4.
平行四边形的最值问题方法技巧
平行四边形的最值问题方法技巧平行四边形，这个名字听起来是不是有点高大上？但其实它就是我们日常生活中随处可见的形状，比如你窗户的形状、桌子上摆放的书本，甚至是你最爱的披萨切成的片儿，嘿，不小心又饿了！今天我们就来聊聊如何通过平行四边形的最值问题，找到那些“藏在角落里的小秘密”。
我们先来搞清楚几个基本概念，之后再深入挖掘其中的技巧，保证让你一边学一边乐，像是在吃冰淇淋那样爽！1. 平行四边形的基本知识1.1 什么是平行四边形？简单来说，平行四边形就是两组对边平行且相等的四边形。
听起来像是在说数学咒语，其实你看看书本、课桌，都是这些家伙的身影。
它的对角线虽然不一定相等，但相交时却恰好把彼此分成两个相等的部分，真是个小聪明啊。
1.2 平行四边形的面积和周长说到平行四边形，咱们不能不提面积和周长。
这俩小子就像是平行四边形的“身份证”，一个告诉你这个形状有多大，另一个则告诉你它的边界有多长。
面积的计算其实很简单，底边乘以高就能搞定，记住了么？周长嘛，就是把四条边加起来，简简单单，就像数钱一样。
2. 最值问题的引入2.1 什么是最值问题？最值问题，顾名思义，就是找出某个数值的最大或最小值。
就像你想知道，哪种披萨的切片最大，或者今天你吃的那一碗面条，能不能多来几块肉？在平行四边形中，最值问题经常会出现，比如找最大面积、最小周长等等。
这种问题其实蛮有趣的，像是一场智力的较量。
2.2 如何求解最值问题？这儿就需要用到一些小技巧了。
首先，得明确你要找的是什么最值，是面积、周长还是其他？比如，面积最大的时候，底边和高得是完美的搭档，想象一下，正方形就是平行四边形中面积最大的，真是个“勤奋”的小家伙。
而要找最小周长时，注意这家伙的两边得保持比例，得心应手，才能事半功倍。
3. 实际应用与技巧3.1 实际应用平行四边形的最值问题不仅仅是在课本上跳舞，它在生活中也很常见。
例如，在建筑设计中，工程师们常常要计算出某个区域的最大利用面积，来规划更合理的空间布局。
备战中考数学培优(含解析)之平行四边形附答案解析
一、平行四边形真题与模拟题分类汇编（难题易错题）1．如图，在正方形ABCD中，E是边BC上的一动点（不与点B、C重合），连接DE、点C 关于直线DE的对称点为C′，连接AC′并延长交直线DE于点P，F是AC′的中点，连接DF．（1）求∠FDP的度数；（2）连接BP，请用等式表示AP、BP、DP三条线段之间的数量关系，并证明；（3）连接AC，若正方形的边长为2，请直接写出△ACC′的面积最大值．【答案】（1）45°；（2）BP+DP2AP，证明详见解析；（32﹣1．【解析】【分析】（1）证明∠CDE＝∠C'DE和∠ADF＝∠C'DF，可得∠FDP'＝12∠ADC＝45°；（2）作辅助线，构建全等三角形，证明△BAP≌△DAP'（SAS），得BP＝DP'，从而得△PAP'是等腰直角三角形，可得结论；（3）先作高线C'G，确定△ACC′的面积中底边AC为定值2，根据高的大小确定面积的大小，当C'在BD上时，C'G最大，其△ACC′的面积最大，并求此时的面积．【详解】（1）由对称得：CD＝C'D，∠CDE＝∠C'DE，在正方形ABCD中，AD＝CD，∠ADC＝90°，∴AD＝C'D，∵F是AC'的中点，∴DF⊥AC'，∠ADF＝∠C'DF，∴∠FDP＝∠FDC'+∠EDC'＝12∠ADC＝45°；（2）结论：BP+DP2AP，理由是：如图，作AP'⊥AP交PD的延长线于P'，∴∠PAP'＝90°，在正方形ABCD中，DA＝BA，∠BAD＝90°，∴∠DAP'＝∠BAP，由（1）可知：∠FDP＝45°∵∠DFP＝90°∴∠APD＝45°，∴∠P'＝45°，∴AP＝AP'，在△BAP和△DAP'中，∵BA DABAP DAP AP AP'=⎧⎪∠=∠⎨='⎪⎩，∴△BAP≌△DAP'（SAS），∴BP＝DP'，∴DP+BP＝PP'＝2AP；（3）如图，过C'作C'G⊥AC于G，则S△AC'C＝12AC•C'G，Rt△ABC中，AB＝BC2，∴AC22(2)(2)2+=，即AC为定值，当C'G最大值，△AC'C的面积最大，连接BD，交AC于O，当C'在BD上时，C'G最大，此时G与O重合，∵CD ＝C 'D ＝2，OD ＝12AC ＝1， ∴C 'G ＝2﹣1，∴S △AC 'C ＝112(21)2122AC C G '•=⨯-=-． 【点睛】 本题考查四边形综合题、正方形的性质、等腰直角三角形的判定和性质、全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题．2．已知：如图，在平行四边形ABCD 中，O 为对角线BD 的中点，过点O 的直线EF 分别交AD ，BC 于E ，F 两点，连结BE ，DF ．（1）求证：△DOE ≌△BOF ．（2）当∠DOE 等于多少度时，四边形BFDE 为菱形？请说明理由．【答案】（1）证明见解析；（2）当∠DOE =90°时，四边形BFED 为菱形，理由见解析.【解析】试题分析：（1）利用平行四边形的性质以及全等三角形的判定方法得出△DOE ≌△BOF （ASA ）；（2）首先利用一组对边平行且相等的四边形是平行四边形得出四边形EBFD 是平行四边形，进而利用垂直平分线的性质得出BE=ED ，即可得出答案．试题解析：（1）∵在▱ABCD 中，O 为对角线BD 的中点，∴BO=DO ，∠EDB=∠FBO ，在△EOD 和△FOB 中，∴△DOE ≌△BOF （ASA ）；（2）当∠DOE=90°时，四边形BFDE 为菱形，理由：∵△DOE ≌△BOF ，∴OE=OF ，又∵OB=OD ，∴四边形EBFD 是平行四边形， ∵∠EOD=90°，∴EF ⊥BD ，∴四边形BFDE 为菱形．考点：平行四边形的性质；全等三角形的判定与性质；菱形的判定．3．在正方形ABCD中，点E，F分别在边BC，CD上，且∠EAF=∠CEF=45°.(1)将△ADF绕着点A顺时针旋转90°，得到△ABG(如图①)，求证：△AEG≌△AEF；(2)若直线EF与AB，AD的延长线分别交于点M，N(如图②)，求证：EF2=ME2+NF2；(3)将正方形改为长与宽不相等的矩形，若其余条件不变(如图③)，请你直接写出线段EF，BE，DF之间的数量关系.【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）EF2=2BE2+2DF2.【解析】试题分析：（1）根据旋转的性质可知AF=AG，∠EAF=∠GAE=45°，故可证△AEG≌△AEF；（2）将△ADF绕着点A顺时针旋转90°，得到△ABG，连结GM．由（1）知△AEG≌△AEF，则EG=EF．再由△BME、△DNF、△CEF均为等腰直角三角形，得出CE=CF，BE=BM，NF=DF，然后证明∠GME=90°，MG=NF，利用勾股定理得出EG2=ME2+MG2，等量代换即可证明EF2=ME2+NF2；（3）将△ADF绕着点A顺时针旋转90°，得到△ABG，根据旋转的性质可以得到△ADF≌△ABG，则DF=BG，再证明△AEG≌△AEF，得出EG=EF，由EG=BG+BE，等量代换得到EF=BE+DF．试题解析：（1）∵△ADF绕着点A顺时针旋转90°，得到△ABG，∴AF=AG，∠FAG=90°，∵∠EAF=45°，∴∠GAE=45°，在△AGE与△AFE中，，∴△AGE≌△AFE（SAS）；（2）设正方形ABCD的边长为a．将△ADF绕着点A顺时针旋转90°，得到△ABG，连结GM．则△ADF≌△ABG，DF=BG．由（1）知△AEG≌△AEF，∴EG=EF．∵∠CEF=45°，∴△BME、△DNF、△CEF均为等腰直角三角形，∴CE=CF ，BE=BM，NF=DF，∴a﹣BE=a﹣DF，∴BE=DF，∴BE=BM=DF=BG，∴∠BMG=45°，∴∠GME=45°+45°=90°，∴EG2=ME2+MG2，∵EG=EF，MG=BM=DF=NF，∴EF2=ME2+NF2；（3）EF2=2BE2+2DF2．如图所示，延长EF交AB延长线于M点，交AD延长线于N点，将△ADF绕着点A顺时针旋转90°，得到△AGH，连结HM，HE．由（1）知△AEH≌△AEF，则由勾股定理有（GH+BE）2+BG2=EH2，即（GH+BE）2+（BM﹣GM）2=EH2又∴EF=HE，DF=GH=GM，BE=BM，所以有（GH+BE）2+（BE﹣GH）2=EF2，即2（DF2+BE2）=EF2考点：四边形综合题4．(1)如图①，在矩形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，过点O作直线EF⊥BD，交AD于点E，交BC于点F，连接BE、DF，且BE平分∠ABD．①求证：四边形BFDE 是菱形；②直接写出∠EBF 的度数；(2)把(1)中菱形BFDE 进行分离研究，如图②，点G 、I 分别在BF 、BE 边上，且BG=BI ，连接GD ，H 为GD 的中点，连接FH 并延长，交ED 于点J ，连接IJ 、IH 、IF 、IG.试探究线段IH 与FH 之间满足的关系，并说明理由；(3)把(1)中矩形ABCD 进行特殊化探究，如图③，当矩形ABCD 满足AB=AD 时，点E 是对角线AC 上一点，连接DE 、EF 、DF ，使△DEF 是等腰直角三角形，DF 交AC 于点G.请直接写出线段AG 、GE 、EC 三者之间满足的数量关系.【答案】（1）①详见解析；②60°．（2）IH ＝3FH ；（3）EG 2＝AG 2+CE 2．【解析】【分析】（1）①由△DOE ≌△BOF ，推出EO ＝OF ，∵OB ＝OD ，推出四边形EBFD 是平行四边形，再证明EB ＝ED 即可．②先证明∠ABD ＝2∠ADB ，推出∠ADB ＝30°，延长即可解决问题．（2）IH ＝3FH ．只要证明△IJF 是等边三角形即可．（3）结论：EG 2＝AG 2+CE 2．如图3中，将△ADG 绕点D 逆时针旋转90°得到△DCM ，先证明△DEG ≌△DEM ，再证明△ECM 是直角三角形即可解决问题．【详解】（1）①证明：如图1中，∵四边形ABCD 是矩形，∴AD ∥BC ，OB ＝OD ，∴∠EDO ＝∠FBO ，在△DOE 和△BOF 中，EDO FBO OD OBEOD BOF ∠∠⎧⎪⎨⎪∠∠⎩＝＝＝ ， ∴△DOE ≌△BOF ，∴EO ＝OF ，∵OB ＝OD ，∴四边形EBFD 是平行四边形，∵EF⊥BD，OB＝OD，∴EB＝ED，∴四边形EBFD是菱形．②∵BE平分∠ABD，∴∠ABE＝∠EBD，∵EB＝ED，∴∠EBD＝∠EDB，∴∠ABD＝2∠ADB，∵∠ABD+∠ADB＝90°，∴∠ADB＝30°，∠ABD＝60°，∴∠ABE＝∠EBO＝∠OBF＝30°，∴∠EBF＝60°．（2）结论：IH＝3FH．理由：如图2中，延长BE到M，使得EM＝EJ，连接MJ．∵四边形EBFD是菱形，∠B＝60°，∴EB＝BF＝ED，DE∥BF，∴∠JDH＝∠FGH，在△DHJ和△GHF中，DHG GHFDH GHJDH FGH∠∠⎧⎪⎨⎪∠∠⎩＝＝＝，∴△DHJ≌△GHF，∴DJ＝FG，JH＝HF，∴EJ＝BG＝EM＝BI，∴BE＝IM＝BF，∵∠MEJ＝∠B＝60°，∴△MEJ是等边三角形，∴MJ＝EM＝NI，∠M＝∠B＝60°在△BIF和△MJI中，BI MJB MBF IM⎧⎪∠∠⎨⎪⎩＝＝＝，∴△BIF≌△MJI，∴IJ ＝IF ，∠BFI ＝∠MIJ ，∵HJ ＝HF ，∴IH ⊥JF ，∵∠BFI +∠BIF ＝120°，∴∠MIJ +∠BIF ＝120°，∴∠JIF ＝60°，∴△JIF 是等边三角形，在Rt △IHF 中，∵∠IHF ＝90°，∠IFH ＝60°，∴∠FIH ＝30°，∴IH＝3FH ．（3）结论：EG 2＝AG 2+CE 2．理由：如图3中，将△ADG 绕点D 逆时针旋转90°得到△DCM ，∵∠FAD +∠DEF ＝90°，∴AFED 四点共圆，∴∠EDF ＝∠DAE ＝45°，∠ADC ＝90°，∴∠ADF +∠EDC ＝45°，∵∠ADF ＝∠CDM ，∴∠CDM +∠CDE ＝45°＝∠EDG ，在△DEM 和△DEG 中，DE DE EDG EDM DG DM ⎧⎪∠∠⎨⎪⎩＝＝＝ ， ∴△DEG ≌△DEM ，∴GE ＝EM ，∵∠DCM ＝∠DAG ＝∠ACD ＝45°，AG ＝CM ，∴∠ECM ＝90°∴EC 2+CM 2＝EM 2，∵EG ＝EM ，AG ＝CM ，∴GE 2＝AG 2+CE 2．【点睛】考查四边形综合题、矩形的性质、正方形的性质、菱形的判定和性质，等边三角形的判定和性质，勾股定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形，学会转化的思想思考问题.5．如图，已知矩形ABCD 中，E 是AD 上一点，F 是AB 上的一点，EF ⊥EC ，且EF ＝EC ． （1）求证：△AEF ≌△DCE ．（2）若DE＝4cm，矩形ABCD的周长为32cm，求AE的长．【答案】（1）证明见解析；（2）6cm.【解析】分析：（1）根据EF⊥CE，求证∠AEF=∠ECD．再利用AAS即可求证△AEF≌△DCE．（2）利用全等三角形的性质，对应边相等，再根据矩形ABCD的周长为32cm，即可求得AE的长.详解：（1）证明：∵EF⊥CE，∴∠FEC=90°，∴∠AEF+∠DEC=90°，而∠ECD+∠DEC=90°，∴∠AEF=∠ECD．在Rt△AEF和Rt△DEC中，∠FAE=∠EDC=90°，∠AEF=∠ECD，EF=EC．∴△AEF≌△DCE．（2）解：∵△AEF≌△DCE．AE=CD．AD=AE+4．∵矩形ABCD的周长为32cm，∴2（AE+AE+4）=32．解得，AE=6（cm）．答：AE的长为6cm．点睛：此题主要考查学生对全等三角形的判定与性质和矩形的性质等知识点的理解和掌握，难易程度适中，是一道很典型的题目．6．如图1，在正方形ABCD中，点E，F分别是边BC，AB上的点，且CE=BF．连接DE，过点E作EG⊥DE，使EG=DE，连接FG，FC．（1）请判断：FG与CE的关系是___；（2）如图2，若点E，F分别是边CB，BA延长线上的点，其它条件不变，（1）中结论是否仍然成立？请作出判断并给予证明；（3）如图3，若点E，F分别是边BC，AB延长线上的点，其它条件不变，（1）中结论是否仍然成立？请直接写出你的判断．【答案】（1）FG=CE，FG∥CE；（2）成立；（3）成立.【解析】试题分析：（1）只要证明四边形CDGF是平行四边形即可得出FG=CE，FG∥CE；（2）构造辅助线后证明△HGE≌△CED，利用对应边相等求证四边形GHBF是矩形后，利用等量代换即可求出FG=C，FG∥CE；（3）证明△CBF≌△DCE后，即可证明四边形CEGF是平行四边形．试题解析：解：（1）FG=CE，FG∥CE；（2）过点G作GH⊥CB的延长线于点H．∵EG⊥DE，∴∠GEH+∠DEC=90°．∵∠GEH+∠HGE=90°，∴∠DEC=∠HE．在△HGE与△CED中，∵∠GHE=∠DCE，∠HGE=∠DEC，EG=DE，∴△HGE≌△CED（AAS），∴GH=CE，HE=CD．∵CE=BF，∴GH=BF．∵GH∥BF，∴四边形GHBF是矩形，∴GF=BH，FG∥CH，∴FG∥CE．∵四边形ABCD是正方形，∴CD=BC，∴HE=BC，∴HE+EB=BC+EB，∴BH=EC，∴FG=EC；（3）∵四边形ABCD是正方形，∴BC=CD，∠FBC=∠ECD=90°．在△CBF与△DCE中，∵BF=CE，∠FBC=∠ECD，BC=DC，∴△CBF≌△DCE（SAS），∴∠BCF=∠CDE，CF=DE．∵EG=DE，∴CF=EG．∵DE⊥EG，∴∠DEC+∠CEG=90°．∵∠CDE+∠DEC=90°，∴∠CDE=∠CEG，∴∠BCF=∠CEG，∴CF∥EG，∴四边形CEGF平行四边形，∴FG∥CE，FG=CE．7．点P是矩形ABCD对角线AC所在直线上的一个动点（点P不与点A，C重合），分别过点A，C向直线BP作垂线，垂足分别为点E，F，点O为AC的中点．（1）如图1，当点P与点O重合时，请你判断OE与OF的数量关系；（2）当点P 运动到如图2所示位置时，请你在图2中补全图形并通过证明判断（1）中的结论是否仍然成立；（3）若点P 在射线OA 上运动，恰好使得∠OEF ＝30°时，猜想此时线段CF ，AE ，OE 之间有怎样的数量关系，直接写出结论不必证明．【答案】（1）OE ＝OF ．理由见解析；（2）补全图形如图所示见解析，OE ＝OF 仍然成立；（3）CF ＝OE+AE 或CF ＝OE ﹣AE ．【解析】【分析】（1）根据矩形的性质以及垂线，即可判定()AOE COF AAS ∆≅∆，得出OE =OF ； （2）先延长EO 交CF 于点G ，通过判定()AOE COG ASA ∆≅∆，得出OG =OE ，再根据Rt EFG ∆中，12OF EG =，即可得到OE =OF ； （3）根据点P 在射线OA 上运动，需要分两种情况进行讨论：当点P 在线段OA 上时，当点P 在线段OA 延长线上时，分别根据全等三角形的性质以及线段的和差关系进行推导计算即可．【详解】（1）OE =OF ．理由如下：如图1．∵四边形ABCD 是矩形，∴ OA =OC ．∵AE BP ⊥，CF BP ⊥，∴90AEO CFO ∠=∠=︒．∵在AOE ∆和COF ∆中，AEO CFO AOE COF OA OC ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴()AOE COF AAS ∆≅∆，∴ OE =OF ；（2）补全图形如图2，OE =OF 仍然成立．证明如下：延长EO 交CF 于点G ．∵AE BP ⊥，CF BP ⊥，∴ AE //CF ，∴EAO GCO ∠=∠．又∵点O 为AC 的中点，∴ AO =CO ．在AOE ∆和COG ∆中，EAO GCO AO CO AOE COG ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=⎩，∴()AOE COG ASA ∆≅∆，∴ OG =OE ，∴Rt EFG ∆中，12OF EG =，∴ OE =OF ； （3）CF =OE +AE 或CF =OE -AE ． 证明如下：①如图2，当点P 在线段OA 上时．∵30OEF ∠=︒，90EFG ∠=︒，∴60OGF ∠=︒，由（2）可得：OF =OG ，∴OGF ∆是等边三角形，∴ FG =OF =OE ，由（2）可得：AOE COG ∆≅∆，∴ CG =AE ．又∵ CF =GF +CG ，∴ CF =OE +AE ；②如图3，当点P 在线段OA 延长线上时．∵30OEF ∠=︒，90EFG ∠=︒，∴60OGF ∠=︒，同理可得：OGF ∆是等边三角形，∴ FG =OF =OE ，同理可得：AOE COG ∆≅∆，∴ CG =AE ．又∵ CF =GF -CG ，∴ CF =OE -AE ．【点睛】本题属于四边形综合题，主要考查了矩形的性质、全等三角形的性质和判定以及等边三角形的性质和判定，解决问题的关键是构建全等三角形和证明三角形全等，利用矩形的对角线互相平分得全等的边相等的条件，根据线段的和差关系使问题得以解决．8．在ABC 中，ABC 90∠=，BD 为AC 边上的中线，过点C 作CE BD ⊥于点E ，过点A 作BD 的平行线，交CE 的延长线于点F ，在AF 的延长线上截取FG BD =，连接BG ，DF ．()1求证：BD DF =；()2求证：四边形BDFG 为菱形；()3若AG 5=，CF 7=，求四边形BDFG 的周长．【答案】（1）证明见解析（2）证明见解析（3）8【解析】【分析】()1利用平行线的性质得到90CFA ∠=，再利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半即可得证，()2利用平行四边形的判定定理判定四边形BDFG 为平行四边形，再利用()1得结论即可得证，()3设GF x =，则5AF x =-，利用菱形的性质和勾股定理得到CF 、AF 和AC 之间的关系，解出x 即可．【详解】()1证明：AG //BD ，CF BD ⊥，CF AG ∴⊥，又D 为AC 的中点， 1DF AC 2∴=， 又1BD AC 2=， BD DF ∴=，()2证明：BD//GF ，BD FG =， ∴四边形BDFG 为平行四边形， 又BD DF =，∴四边形BDFG 为菱形，()3解：设GF x =，则AF 5x =-，AC 2x =，在Rt AFC 中，222(2x)(7)(5x)=+-，解得：1x 2=，216x (3=-舍去)， GF 2∴=，∴菱形BDFG 的周长为8．【点睛】本题考查了菱形的判定与性质直角三角形斜边上的中线，勾股定理等知识，正确掌握这些定义性质及判定并结合图形作答是解决本题的关键．9．如图1，若分别以△ABC 的AC 、BC 两边为边向外侧作的四边形ACDE 和BCFG 为正方形，则称这两个正方形为外展双叶正方形．（1）发现：如图2，当∠C =90°时，求证：△ABC 与△DCF 的面积相等．（2）引申：如果∠C ≠90°时，（1）中结论还成立吗？若成立，请结合图1给出证明；若不成立，请说明理由；（3）运用：如图3，分别以△ABC 的三边为边向外侧作的四边形ACDE 、BCFG 和ABMN 为正方形，则称这三个正方形为外展三叶正方形．已知△ABC 中，AC =3，BC =4．当∠C =_____°时，图中阴影部分的面积和有最大值是________．【答案】（1）证明见解析；（2）成立，证明见解析；（3）18.【解析】试题分析：（1）因为AC=DC，∠ACB=∠DCF=90°，BC=FC，所以△ABC≌△DFC，从而△ABC与△DFC的面积相等；（2）延长BC到点P，过点A作AP⊥BP于点P；过点D作DQ⊥FC于点Q．得到四边形ACDE，BCFG均为正方形，AC=CD，BC=CF，∠ACP=∠DCQ．所以△APC≌△DQC．于是AP=DQ．又因为S△ABC=12 BC•AP，S△DFC=12FC•DQ，所以S△ABC=S△DFC；（3）根据（2）得图中阴影部分的面积和是△ABC的面积三倍，若图中阴影部分的面积和有最大值，则三角形ABC的面积最大，当△ABC是直角三角形，即∠C是90度时，阴影部分的面积和最大．所以S阴影部分面积和=3S△ABC=3×12×3×4=18．（1）证明：在△ABC与△DFC中，∵{AC DCACB DCFBC FC∠∠＝＝＝，∴△ABC≌△DFC．∴△ABC与△DFC的面积相等；（2）解：成立．理由如下：如图，延长BC到点P，过点A作AP⊥BP于点P；过点D作DQ⊥FC于点Q．∴∠APC=∠DQC=90°．∵四边形ACDE，BCFG均为正方形，∴AC=CD，BC=CF，∠ACP+∠PCD=90°，∠DCQ+∠PCD=90°，∴∠ACP=∠DCQ．∴{APC DQCACP DCQAC CD∠∠∠∠＝＝＝，△APC≌△DQC（AAS），∴AP=DQ．又∵S△ABC=12BC•AP，S△DFC=12FC•DQ，∴S△ABC=S△DFC；（3）解：根据（2）得图中阴影部分的面积和是△ABC的面积三倍，若图中阴影部分的面积和有最大值，则三角形ABC的面积最大，∴当△ABC 是直角三角形，即∠C 是90度时，阴影部分的面积和最大．∴S 阴影部分面积和=3S △ABC =3×12×3×4=18． 考点：四边形综合题10．已知ABC ，以AC 为边在ABC 外作等腰ACD ，其中AC AD =.（1）如图①，若AB AE =，60DAC EAB ∠=∠=︒，求BFC ∠的度数.（2）如图②，ABC α∠=，ACD β∠=，4BC =，6BD =.①若30α=︒，60β=︒，AB 的长为______.②若改变,αβ的大小，但90αβ+=︒，ABC 的面积是否变化？若不变，求出其值；若变化，说明变化的规律.【答案】（1）120°；（2）①25；②25【解析】试题分析：（1）根据SAS ，可首先证明△AEC ≌△ABD ，再利用全等三角形的性质，可得对应角相等，根据三角形的外角的定理，可求出∠BFC 的度数；（2）①如图2，在△ABC 外作等边△BAE ，连接CE ，利用旋转法证明△EAC ≌△BAD ，可证∠EBC=90°，EC=BD=6，因为BC=4，在Rt △BCE 中，由勾股定理求BE 即可； ②过点B 作BE ∥AH ，并在BE 上取BE=2AH ，连接EA ，EC ．并取BE 的中点K ，连接AK ，仿照（2）利用旋转法证明△EAC ≌△BAD ，求得EC=DB ，利用勾股定理即可得出结论． 试题解析：解：（1）∵AE=AB ，AD=AC ，∵∠EAB=∠DAC=60°，∴∠EAC=∠EAB+∠BAC ，∠DAB=∠DAC+∠BAC ，∴∠EAC=∠DAB ，在△AEC和△ABD中{AE ABEAC BAD AC AD=∠=∠=∴△AEC≌△ABD（SAS），∴∠AEC=∠ABD，∵∠BFC=∠BEF+∠EBF=∠AEB+∠ABE，∴∠BFC=∠AEB+∠ABE=120°，故答案为120°；（2）①如图2，以AB为边在△ABC外作正三角形ABE，连接CE．由（1）可知△EAC≌△BAD．∴EC=BD．∴EC=BD=6，∵∠BAE=60°，∠ABC=30°，∴∠EBC=90°．在RT△EBC中，EC=6，BC=4，∴22EC BC-2264-∴5②若改变α，β的大小，但α+β=90°，△ABC的面积不变化，以下证明：如图2，作AH⊥BC交BC于H，过点B作BE∥AH，并在BE上取BE=2AH，连接EA，EC．并取BE的中点K，连接AK．∵AH⊥BC于H，∴∠AHC=90°．∵BE∥AH，∴∠EBC=90°．∵∠EBC=90°，BE=2AH，∴EC2=EB2+BC2=4AH2+BC2．∵K为BE的中点，BE=2AH，∴BK=AH．∵BK∥AH，∴四边形AKBH为平行四边形．又∵∠EBC=90°，∴四边形AKBH为矩形．∠ABE=∠ACD，∴∠AKB=90°．∴AK是BE的垂直平分线．∴AB=AE．∵AB=AE，AC=AD，∠ABE=∠ACD，∴∠EAB=∠DAC，∴∠EAB+∠EAD=∠DAC+∠EAD，即∠EAC=∠BAD，在△EAC与△BAD中{AB AEEAC BAD AC AD=∠=∠=∴△EAC≌△BAD．∴EC=BD=6．在RT△BCE中，∴AH=1 2∴S△ABC=1 2考点：全等三角形的判定与性质；等腰三角形的性质。
中考数学培优(含解析)之平行四边形含答案
一、平行四边形真题与模拟题分类汇编（难题易错题）1．如图1，四边形ABCD是正方形，G是CD边上的一个动点（点G与C、D不重合），以CG为一边在正方形ABCD外作正方形CEFG，连接BG，DE．（1）①猜想图1中线段BG、线段DE的长度关系及所在直线的位置关系，不必证明；②将图1中的正方形CEFG绕着点C按顺时针方向旋转任意角度α，得到如图2情形．请你通过观察、测量等方法判断①中得到的结论是否仍然成立，并证明你的判断．（2）将原题中正方形改为矩形（如图3、4），且AB=a，BC=b，CE=ka，CG=kb （a≠b，k＞0），第（1）题①中得到的结论哪些成立，哪些不成立？若成立，以图4为例简要说明理由．（3）在第（2）题图4中，连接DG、BE，且a=3，b=2，k=12，求BE2+DG2的值．【答案】（1）①BG⊥DE，BG=DE；②BG⊥DE，证明见解析；（2）BG⊥DE，证明见解析；（3）16.25．【解析】分析：（1）①根据正方形的性质，显然三角形BCG顺时针旋转90°即可得到三角形DCE，从而判断两条直线之间的关系；②结合正方形的性质，根据SAS仍然能够判定△BCG≌△DCE，从而证明结论；（2）根据两条对应边的比相等，且夹角相等可以判定上述两个三角形相似，从而可以得到（1）中的位置关系仍然成立；（3）连接BE、DG．根据勾股定理即可把BE2+DG2转换为两个矩形的长、宽平方和．详解：（1）①BG⊥DE，BG=DE；②∵四边形ABCD和四边形CEFG是正方形，∴BC=DC，CG=CE，∠BCD=∠ECG=90°，∴∠BCG=∠DCE，∴△BCG≌△DCE，∴BG=DE，∠CBG=∠CDE，又∵∠CBG+∠BHC=90°，∴∠CDE+∠DHG=90°，∴BG⊥DE．（2）∵AB=a，BC=b，CE=ka，CG=kb，∴BC CG b==，DC CE a又∵∠BCG=∠DCE，∴△BCG∽△DCE，∴∠CBG=∠CDE，又∵∠CBG+∠BHC=90°，∴∠CDE+∠DHG=90°，∴BG⊥DE．（3）连接BE、DG．根据题意，得AB=3，BC=2，CE=1.5，CG=1，∵BG⊥DE，∠BCD=∠ECG=90°∴BE2+DG2=BO2+OE2+DO2+OG2=BC2+CD2+CE2+CG2=9+4+2.25+1=16.25．点睛：此题综合运用了全等三角形的判定和性质、相似三角形的判定和性质以及勾股定理．2．如图1，正方形ABCD的一边AB在直尺一边所在直线MN上，点O是对角线AC、BD 的交点，过点O作OE⊥MN于点E．（1）如图1，线段AB与OE之间的数量关系为．（请直接填结论）（2）保证点A始终在直线MN上，正方形ABCD绕点A旋转θ（0＜θ＜90°），过点 B作BF⊥MN于点F．①如图2，当点O、B两点均在直线MN右侧时，试猜想线段AF、BF与OE之间存在怎样的数量关系？请说明理由．②如图3，当点O、B两点分别在直线MN两侧时，此时①中结论是否依然成立呢？若成立，请直接写出结论；若不成立，请写出变化后的结论并证明．③当正方形ABCD绕点A旋转到如图4的位置时，线段AF、BF与OE之间的数量关系为．（请直接填结论）【答案】（1）AB=2OE；（2）①AF+BF=2OE,证明见解析;②AF﹣BF=2OE 证明见解析;③BF ﹣AF=2OE，【解析】试题分析：（1）利用直角三角形斜边的中线等于斜边的一半即可得出结论；（2）①过点B作BH⊥OE于H，可得四边形BHEF是矩形，根据矩形的对边相等可得EF=BH，BF=HE，根据正方形的对角线相等且互相垂直平分可得OA=OB，∠AOB=90°，再根据同角的余角相等求出∠AOE=∠OBH，然后利用“角角边”证明△AOE和△OBH全等，根据全等三角形对应边相等可得OH=AE，OE=BH，再根据AF-EF=AE，整理即可得证；②过点B作BH⊥OE交OE的延长线于H，可得四边形BHEF是矩形，根据矩形的对边相等可得EF=BH，BF=HE，根据正方形的对角线相等且互相垂直平分可得OA=OB，∠AOB=90°，再根据同角的余角相等求出∠AOE=∠OBH，然后利用“角角边”证明△AOE和△OBH全等，根据全等三角形对应边相等可得OH=AE，OE=BH，再根据AF-EF=AE，整理即可得证；③同②的方法可证．试题解析：（1）∵AC，BD是正方形的对角线，∴OA=OC=OB，∠BAD=∠ABC=90°，∵OE⊥AB，∴OE=12 AB，∴AB=2OE，（2）①AF+BF=2OE证明：如图2，过点B作BH⊥OE于点H∴∠BHE=∠BHO=90°∵OE⊥MN，BF⊥MN∴∠BFE=∠OEF=90°∴四边形EFBH为矩形∴BF=EH，EF=BH∵四边形ABCD为正方形∴OA=OB，∠AOB=90°∴∠AOE+∠HOB=∠OBH+∠HOB=90°∴∠AOE=∠OBH∴△AEO≌△OHB（AAS）∴AE=OH，OE=BH∴AF+BF=AE+EF+BF=OH+BH+EH=OE+OE=2OE．②AF﹣BF=2OE证明：如图3，延长OE，过点B作BH⊥OE于点H∴∠EHB=90°∵OE⊥MN，BF⊥MN∴∠AEO=∠HEF=∠BFE=90°∴四边形HBFE为矩形∴BF=HE，EF=BH∵四边形ABCD是正方形∴OA=OB，∠AOB=90°∴∠AOE+∠BOH=∠OBH+∠BOH∴∠AOE=∠OBH∴△AOE≌△OBH（AAS）∴AE=OH，OE=BH，∴AF﹣BF=AE+EF﹣HE=OH﹣HE+OE=OE+OE=2OE③BF﹣AF=2OE，如图4，作OG⊥BF于G，则四边形EFGO是矩形，∴EF=GO，GF=EO，∠GOE=90°，∴∠AOE+∠AOG=90°．在正方形ABCD中，OA=OB，∠AOB=90°，∴∠AOG+∠BOG=90°，∴∠AOE=∠BOG．∵OG⊥BF，OE⊥AE，∴∠AEO=∠BGO=90°．∴△AOE≌△BOG（AAS），∴OE=OG，AE=BG，∵AE﹣EF=AF，EF=OG=OE，AE=BG=AF+EF=OE+AF，∴BF﹣AF=BG+GF﹣（AE﹣EF）=AE+OE﹣AE+EF=OE+OE=2OE，∴BF﹣AF=2OE．3．在△ABC中，AB=BC，点O是AC的中点，点P是AC上的一个动点（点P不与点A，O，C重合）．过点A，点C作直线BP的垂线，垂足分别为点E和点F，连接OE，OF．（1）如图1，请直接写出线段OE与OF的数量关系；（2）如图2，当∠ABC=90°时，请判断线段OE与OF之间的数量关系和位置关系，并说明理由（3）若|CF﹣AE|=2，EF=23，当△POF为等腰三角形时，请直接写出线段OP的长．【答案】（1）OF =OE；（2）OF⊥EK，OF=OE，理由见解析；（3）OP62 23.【解析】【分析】（1）如图1中，延长EO交CF于K，证明△AOE≌△COK，从而可得OE=OK，再根据直角三角形斜边中线等于斜边一半即可得OF=OE；（2）如图2中，延长EO交CF于K，由已知证明△ABE≌△BCF，△AOE≌△COK，继而可证得△EFK是等腰直角三角形，由等腰直角三角形的性质即可得OF⊥EK，OF=OE；（3）分点P在AO上与CO上两种情况分别画图进行解答即可得.【详解】（1）如图1中，延长EO交CF于K，∵AE⊥BE，CF⊥BE，∴AE∥CK，∴∠EAO=∠KCO，∵OA=OC，∠AOE=∠COK，∴△AOE≌△COK，∴OE=OK，∵△EFK是直角三角形，∴OF=12EK=OE；（2）如图2中，延长EO交CF于K，∵∠ABC=∠AEB=∠CFB=90°，∴∠ABE+∠BAE=90°，∠ABE+∠CBF=90°，∴∠BAE=∠CBF，∵AB=BC，∴△ABE≌△BCF，∴BE=CF，AE=BF，∵△AOE≌△COK，∴AE=CK，OE=OK，∴FK=EF，∴△EFK是等腰直角三角形，∴OF⊥EK，OF=OE；（3）如图3中，点P在线段AO上，延长EO交CF于K，作PH⊥OF于H，∵|CF﹣AE|=2，EF=23，AE=CK，∴FK=2，在Rt△EFK中，tan∠FEK=33，∴∠FEK=30°，∠EKF=60°，∴EK=2FK=4，OF=12EK=2，∵△OPF是等腰三角形，观察图形可知，只有OF=FP=2，在Rt△PHF中，PH=12PF=1，HF=3，OH=2﹣3，∴OP=()2212362+-=-.如图4中，点P在线段OC上，当PO=PF时，∠POF=∠PFO=30°，∴∠BOP=90°，∴OP=33OE=33，综上所述：OP6223.【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质、直角三角形斜边中线等于斜边一半、等腰直角三角形的判定与性质、解直角三角形等，综合性较强，正确添加辅助线是解题的关键.4．如图，在△ABC中，∠ACB=90°，∠CAB=30°，以线段AB为边向外作等边△ABD，点E 是线段AB的中点，连接CE并延长交线段AD于点F．（1）求证：四边形BCFD为平行四边形；（2）若AB=6，求平行四边形ADBC的面积．【答案】（1）见解析；（2）S平行四边形ADBC=32．【解析】【分析】（1）在Rt△ABC中，E为AB的中点，则CE=12AB，BE=12AB，得到∠BCE=∠EBC=60°.由△AEF≌△BEC，得∠AFE=∠BCE=60°.又∠D=60°，得∠AFE=∠D=60度.所以FC∥BD，又因为∠BAD=∠ABC=60°，所以AD∥BC，即FD//BC，则四边形BCFD是平行四边形.（2）在Rt△ABC中，求出BC，AC即可解决问题；【详解】解：（1）证明：在△ABC中，∠ACB=90°，∠CAB=30°，∴∠ABC=60°，在等边△ABD中，∠BAD=60°，∴∠BAD=∠ABC=60°，∵E为AB的中点，∴AE=BE，又∵∠AEF=∠BEC，∴△AEF≌△BEC，在△ABC中，∠ACB=90°，E为AB的中点，∴CE=12AB，BE=12AB，∴CE=AE，∴∠EAC=∠ECA=30°，∴∠BCE=∠EBC=60°，又∵△AEF≌△BEC，∴∠AFE=∠BCE=60°，又∵∠D=60°，∴∠AFE=∠D=60°，∴FC∥BD，又∵∠BAD=∠ABC=60°，∴AD∥BC，即FD∥BC，∴四边形BCFD是平行四边形；（2）解：在Rt△ABC中，∵∠BAC=30°，AB=6，∴BC=AF=3，AC=33∴S平行四边形BCFD=3×3393，S△ACF=12×3×3332，S平行四边形ADBC=32．【点睛】本题考查平行四边形的判定和性质、直角三角形斜边中线定理、等边三角形的性质、解直角三角形、勾股定理等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题，属于中考常考题型.5．如图，在菱形ABCD中，AB=4，∠BAD=120°，△AEF为正三角形，E、F在菱形的边BC，CD上．（1）证明：BE=CF．（2）当点E，F分别在边BC，CD上移动时（△AEF保持为正三角形），请探究四边形AECF的面积是否发生变化？若不变，求出这个定值；如果变化，求出其最大值．（3）在（2）的情况下，请探究△CEF的面积是否发生变化？若不变，求出这个定值；如果变化，求出其最大值．【答案】(1)见解析；（2）43；（3）见解析【解析】试题分析：（1）先求证AB=AC，进而求证△ABC、△ACD为等边三角形，得∠4=60°，AC=AB进而求证△ABE≌△ACF，即可求得BE=CF；（2）根据△ABE≌△ACF可得S△ABE=S△ACF，故根据S四边形AECF=S△AEC+S△ACF=S△AEC+S△ABE=S△ABC即可解题；（3）当正三角形AEF的边AE与BC垂直时，边AE最短．△AEF的面积会随着AE的变化而变化，且当AE最短时，正三角形AEF的面积会最小，又根据S△CEF=S四边形AECF-S△AEF，则△CEF的面积就会最大.试题解析：（1）证明：连接AC，∵∠1+∠2=60°，∠3+∠2=60°，∴∠1=∠3，∵∠BAD=120°，∴∠ABC=∠ADC=60°∵四边形ABCD是菱形，∴AB=BC=CD=AD，∴△ABC、△ACD为等边三角形∴∠4=60°，AC=AB，∴在△ABE和△ACF中，，∴△ABE≌△ACF．（ASA）∴BE=CF．（2）解：由（1）得△ABE≌△ACF，则S△ABE=S△ACF．故S四边形AECF=S△AEC+S△ACF=S△AEC+S△ABE=S△ABC，是定值．作AH⊥BC于H点，则BH=2，S四边形AECF=S△ABC===；（3）解：由“垂线段最短”可知，当正三角形AEF的边AE与BC垂直时，边AE最短．故△AEF的面积会随着AE的变化而变化，且当AE最短时，正三角形AEF的面积会最小，又S△CEF=S四边形AECF﹣S△AEF，则△CEF的面积就会最大．由（2）得，S△CEF=S四边形AECF﹣S△AEF=﹣=．点睛：本题考查了菱形每一条对角线平分一组对角的性质，考查了全等三角形的证明和全等三角形对应边相等的性质，考查了三角形面积的计算，本题中求证△ABE≌△ACF是解题的关键．6．如图，在平行四边形ABCD中，AD⊥DB，垂足为点D，将平行四边形ABCD折叠，使点B落在点D的位置，点C落在点G的位置，折痕为EF，EF交对角线BD于点P．（1）连结CG，请判断四边形DBCG的形状，并说明理由；（2）若AE＝BD，求∠EDF的度数．【答案】（1）四边形BCGD是矩形，理由详见解析；（2）∠EDF＝120°．【解析】【分析】（1）根据平行四边形的性质和折叠性质以及矩形的判定解答即可；（2）根据折叠的性质以及直角三角形的性质和等边三角形的判定与性质解答即可．【详解】解：（1）四边形BCGD是矩形，理由如下，∵四边形ABCD是平行四边形，∴BC∥AD，即BC∥DG，由折叠可知，BC＝DG，∴四边形BCGD是平行四边形，∵AD⊥BD，∴∠CBD＝90°，∴四边形BCGD是矩形；（2）由折叠可知：EF垂直平分BD，∴BD⊥EF，DP＝BP，∵AD⊥BD，∴EF∥AD∥BC，∴AE PD1==BE BP∴AE＝BE，∴DE是Rt△ADB斜边上的中线，∴DE＝AE＝BE，∵AE＝BD，∴DE＝BD＝BE，∴△DBE是等边三角形，∴∠EDB＝∠DBE＝60°，∵AB∥DC，∴∠DBC＝∠DBE＝60°，∴∠EDF＝120°．【点睛】本题考查了平行四边形的性质，折叠性质，等边三角形的性质和判定，主要考查学生运用定理进行推理和计算的能力，题目综合性比较强，有一定的难度7．（感知）如图①，四边形ABCD、CEFG均为正方形．可知BE=DG．（拓展）如图②，四边形ABCD、CEFG均为菱形，且∠A=∠F．求证：BE=DG．（应用）如图③，四边形ABCD、CEFG均为菱形，点E在边AD上，点G在AD延长线上．若AE=2ED，∠A=∠F，△EBC的面积为8，菱形CEFG的面积是_______．（只填结果）【答案】见解析【解析】试题分析：探究：由四边形ABCD 、四边形CEFG 均为菱形，利用SAS 易证得△BCE ≌△DCG ，则可得BE=DG ；应用：由AD ∥BC ，BE=DG ，可得S △ABE +S △CDE =S △BEC =S △CDG =8，又由AE=3ED ，可求得△CDE 的面积，继而求得答案．试题解析：探究：∵四边形ABCD 、四边形CEFG 均为菱形，∴BC=CD ，CE=CG ，∠BCD=∠A ，∠ECG=∠F ．∵∠A=∠F ，∴∠BCD=∠ECG ．∴∠BCD-∠ECD=∠ECG-∠ECD ，即∠BCE=∠DCG ．在△BCE 和△DCG 中，BC CD BCE DCG CE CG ⎧⎪∠∠⎨⎪⎩＝＝＝ ∴△BCE ≌△DCG （SAS ），∴BE=DG ．应用：∵四边形ABCD 为菱形，∴AD ∥BC ，∵BE=DG ，∴S △ABE +S △CDE =S △BEC =S △CDG =8，∵AE=3ED ，∴S △CDE =1824⨯= , ∴S △ECG =S △CDE +S △CDG =10∴S 菱形CEFG =2S △ECG =20.8．（1）问题发现：如图①，在等边三角形ABC 中，点M 为BC 边上异于B 、C 的一点，以AM 为边作等边三角形AMN ，连接CN ，NC 与AB的位置关系为 ； （2）深入探究：如图②，在等腰三角形ABC 中，BA=BC ，点M 为BC 边上异于B 、C 的一点，以AM 为边作等腰三角形AMN ，使∠ABC=∠AMN ，AM=MN ，连接CN ，试探究∠ABC 与∠ACN 的数量关系，并说明理由；（3）拓展延伸：如图③，在正方形ADBC 中，AD=AC ，点M 为BC 边上异于B 、C 的一点，以AM 为边作正方形AMEF ，点N 为正方形AMEF 的中点，连接CN ，若BC=10，CN=2，试求EF 的长．【答案】（1）NC ∥AB ；理由见解析；（2）∠ABC=∠ACN ；理由见解析；（3）241；【解析】分析：（1）根据△ABC ，△AMN 为等边三角形，得到AB=AC ，AM=AN 且∠BAC=∠MAN=60°从而得到∠BAC-∠CAM=∠MAN-∠CAM ，即∠BAM=∠CAN ，证明△BAM ≌△CAN ，即可得到BM=CN ．（2）根据△ABC ，△AMN 为等腰三角形，得到AB ：BC=1：1且∠ABC=∠AMN ，根据相似三角形的性质得到AB AC AM AN＝，利用等腰三角形的性质得到∠BAC=∠MAN ，根据相似三角形的性质即可得到结论； （3）如图3，连接AB ，AN ，根据正方形的性质得到∠ABC=∠BAC=45°，∠MAN=45°，根据相似三角形的性质得出BM AB CN AC＝，得到BM=2，CM=8，再根据勾股定理即可得到答案． 详解：（1）NC ∥AB ，理由如下：∵△ABC 与△MN 是等边三角形，∴AB=AC ，AM=AN ，∠BAC=∠MAN =60°，∴∠BAM=∠CAN ，在△ABM 与△ACN 中， AB AC BAM CAN AM AN =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩， ∴△ABM ≌△ACN （SAS ），∴∠B=∠ACN=60°，∵∠ANC+∠ACN+∠CAN=∠ANC+60°+∠CAN=180°，∴∠ANC+∠MAN+∠BAM=∠ANC+60°+∠CAN=∠BAN+∠ANC=180°，∴CN ∥AB ；（2）∠ABC=∠ACN ，理由如下： ∵AB AM BC MN==1且∠ABC=∠AMN ， ∴△ABC ～△AMN ∴AB AC AM AN＝， ∵AB=BC ， ∴∠BAC=12（180°﹣∠ABC ）， ∵AM=MN∴∠MAN=12（180°﹣∠AMN ）， ∵∠ABC=∠AMN ，∴∠BAC=∠MAN ，∴∠BAM=∠CAN ，∴△ABM ～△ACN ，∴∠ABC=∠ACN ；（3）如图3，连接AB ，AN ， ∵四边形ADBC ，AMEF 为正方形，∴∠ABC=∠BAC=45°，∠MAN=45°，∴∠BAC ﹣∠MAC=∠MAN ﹣∠MAC即∠BAM=∠CAN ，∵AB AM BC AN == ∴AB AC AM AN＝， ∴△ABM ～△ACN ∴BM AB CN AC ＝，∴CN AC BM AB ==cos45°=2，∴=， ∴BM=2，∴CM=BC ﹣BM=8，在Rt △AMC ，==，∴EF=AM=241．点睛：本题是四边形综合题目，考查了正方形的性质、等边三角形的性质、等腰三角形的性质、全等三角形的性质定理和判定定理、相似三角形的性质定理和判定定理等知识；本题综合性强，有一定难度，证明三角形全等和三角形相似是解决问题的关键．9．如图，AB 为⊙O 的直径，点E 在⊙O 上，过点E 的切线与AB 的延长线交于点D ，连接BE ，过点O 作BE 的平行线，交⊙O 于点F ，交切线于点C ，连接AC（1）求证：AC 是⊙O 的切线；（2）连接EF ，当∠D= °时，四边形FOBE 是菱形．【答案】（1）见解析；（2）30. 【解析】【分析】（1）由等角的转换证明出OCA OCE ∆∆≌，根据圆的位置关系证得AC 是⊙O 的切线. （2）根据四边形FOBE 是菱形，得到OF=OB=BF=EF ，得证OBE ∆为等边三角形，而得出60BOE ∠=︒，根据三角形内角和即可求出答案.【详解】（1）证明：∵CD 与⊙O 相切于点E ，∴OE CD ⊥，∴90CEO ∠=︒，又∵OC BE ，∴COE OEB ∠=∠，∠OBE=∠COA∵OE=OB ，∴OEB OBE ∠=∠，∴COE COA ∠=∠，又∵OC=OC ，OA=OE ，∴OCA OCE SAS ∆∆≌（）， ∴90CAO CEO ∠=∠=︒，又∵AB 为⊙O 的直径，∴AC 为⊙O 的切线；（2）解：∵四边形FOBE 是菱形，∴OF=OB=BF=EF ，∴OE=OB=BE ，∴OBE ∆为等边三角形，∴60BOE ∠=︒，而OE CD ⊥，∴30D ∠=︒．故答案为30．【点睛】本题主要考查与圆有关的位置关系和圆中的计算问题，熟练掌握圆的性质是本题的解题关键.10．如图1，若分别以△ABC 的AC 、BC 两边为边向外侧作的四边形ACDE 和BCFG 为正方形，则称这两个正方形为外展双叶正方形．（1）发现：如图2，当∠C =90°时，求证：△ABC 与△DCF 的面积相等．（2）引申：如果∠C ≠90°时，（1）中结论还成立吗？若成立，请结合图1给出证明；若不成立，请说明理由；（3）运用：如图3，分别以△ABC 的三边为边向外侧作的四边形ACDE 、BCFG 和ABMN 为正方形，则称这三个正方形为外展三叶正方形．已知△ABC 中，AC =3，BC =4．当∠C =_____°时，图中阴影部分的面积和有最大值是________．【答案】（1）证明见解析；（2）成立，证明见解析；（3）18.【解析】试题分析：（1）因为AC=DC ，∠ACB=∠DCF=90°，BC=FC ，所以△ABC ≌△DFC ，从而△ABC 与△DFC 的面积相等；（2）延长BC 到点P ，过点A 作AP ⊥BP 于点P ；过点D 作DQ ⊥FC 于点Q ．得到四边形ACDE ，BCFG 均为正方形，AC=CD ，BC=CF ，∠ACP=∠DCQ ．所以△APC ≌△DQC ．于是AP=DQ．又因为S△ABC=12 BC•AP，S△DFC=12FC•DQ，所以S△ABC=S△DFC；（3）根据（2）得图中阴影部分的面积和是△ABC的面积三倍，若图中阴影部分的面积和有最大值，则三角形ABC的面积最大，当△ABC是直角三角形，即∠C是90度时，阴影部分的面积和最大．所以S阴影部分面积和=3S△ABC=3×12×3×4=18．（1）证明：在△ABC与△DFC中，∵{AC DCACB DCFBC FC∠∠＝＝＝，∴△ABC≌△DFC．∴△ABC与△DFC的面积相等；（2）解：成立．理由如下：如图，延长BC到点P，过点A作AP⊥BP于点P；过点D作DQ⊥FC于点Q．∴∠APC=∠DQC=90°．∵四边形ACDE，BCFG均为正方形，∴AC=CD，BC=CF，∠ACP+∠PCD=90°，∠DCQ+∠PCD=90°，∴∠ACP=∠DCQ．∴{APC DQCACP DCQAC CD∠∠∠∠＝＝＝，△APC≌△DQC（AAS），∴AP=DQ．又∵S△ABC=12BC•AP，S△DFC=12FC•DQ，∴S△ABC=S△DFC；（3）解：根据（2）得图中阴影部分的面积和是△ABC的面积三倍，若图中阴影部分的面积和有最大值，则三角形ABC的面积最大，∴当△ABC是直角三角形，即∠C是90度时，阴影部分的面积和最大．∴S阴影部分面积和=3S△ABC=3×12×3×4=18．考点：四边形综合题。
专题03 特殊平行四边形的最值、新定义问题的四种考法(老师版)
特殊平行四边形的最值、新定义问题的四种考法目录解题知识必备 (1)压轴题型讲练 (2)类型一、菱形、矩形、正方形中线段最值问题 (2)类型二、菱形中的新定义型问题 (6)类型三、矩形中的新定义型问题 (14)类型四、正方形中新定义型问题 (22)压轴能力测评（10题） (28)1.菱形的性质与判定1.菱形的性质（1）菱形的定义：有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形．（2）菱形的性质①菱形具有平行四边形的一切性质；②菱形的四条边都相等；③菱形的两条对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角；④菱形是轴对称图形，它有2条对称轴，分别是两条对角线所在直线．（3）菱形的面积计算①利用平行四边形的面积公式．②菱形面积12ab．（a、b是两条对角线的长度）2.菱形的判定①菱形定义：一组邻边相等的平行四边形是菱形（平行四边形+一组邻边相等＝菱形）；②四条边都相等的四边形是菱形．③对角线互相垂直的平行四边形是菱形（或“对角线互相垂直平分的四边形是菱形”）．2.矩形的性质与判定1矩形的性质（1）矩形的定义：有一个角是直角的平行四边形是矩形．（2）矩形的性质①平行四边形的性质矩形都具有；②角：矩形的四个角都是直角；③边：邻边垂直；④对角线：矩形的对角线相等；⑤矩形是轴对称图形，又是中心对称图形．它有2条对称轴，分别是每组对边中点连线所在的直线；对称中心是两条对角线的交点．（3）由矩形的性质，可以得到直角三角形的一个重要性质，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半．2矩形的判定①矩形的定义：有一个角是直角的平行四边形是矩形；②有三个角是直角的四边形是矩形；③对角线相等的平行四边形是矩形（或“对角线互相平分且相等的四边形是矩形”）3.正方形的性质与判定1.定义：有一组邻边相等并且有一个内角是直角的平行四边形叫做正方形．2.正方形与矩形、菱形的关系矩形邻边相等正方形菱形一个角是直角正方形3.性质定理正方形即是矩形又是菱形，因而它具备两者所有的性质．性质定理1：正方形的四个角都是直角；正方形的四条边都相等．性质定理2：正方形的两条对角线相等，并且互相垂直平分，每一条对角线平分一组对角．4.判定定理：判定定理1：有一组邻边相等的矩形是正方形．判定定理2：有一个内角是直角的菱形是正方形．类型一、菱形、矩形、正方形中线段最值问题例题：（2024九年级下·全国·专题练习）如图，在菱形ABCD 中，E ，F 分别是边CD ，BC 上的动点，连接AE ，EF ，G ，H 分别为AE ，EF 的中点，连接GH ．若45B ∠=︒，BC =，则GH 的最小值是．∵四边形ABCD 是菱形，∴23AB BC ==，∵G ，H 分别为AE ，EF一个动点，过点E 作EF AB ⊥与点F ，EG BC ⊥于点G ，连接DE FG ，，若34AB BC ==，，则FG 的最小值．90EFB EGB ∠∠°\==ABCD 为矩形，AB =90FBG ∴∠=︒，AC =∴四边形FBGE 为矩形，上动点，且4+=，连接BF，AE交于点G，连接DG，则线段DG长度的最小值为．BE DF是DE上一动点，G为AF中点，连接CG．（1）BAE ∠=；（2）若2AB =，则CG 的最小值为．∵菱形ABCD ，∴AB BC =，∵60B ∠=︒，∴ABC 为等边三角形，∴60BAC ∠=︒，∵E 是BC 中点，∴AE 平分BAC ∠，∴1302BAE BAC ∠=∠=︒故答案为：30︒；（2）取AD 的中点I ，则：IG DF ∥，HG DF ∥∴,,I G H 三点共线，∴点G 在线段HI 上运动，∴当CG HI ⊥时，CG 最小，∵菱形ABCD ，∴AB BC CD AD ====由（1）知：ABC 为等边三角形，∵E 是BC 中点，∴,1AE BC BE CE ⊥==类型二、菱形中的新定义型问题例题：（22-23八年级下·江苏苏州·期末）定义：如果三角形有两个内角的差为90，那么称这样的三角形为“准直角三角形”．(1)已知ABC是“准直角三角形”，90∠=______o．C∠>，若40A∠=，则BAB=，连接AC，若ABC正好为一个准直角三角形，求菱形ABCD的面(2)如图，在菱形ABCD中，90∠>，5B积．【点睛】本题考查了菱形的性质，勾股定理，等边三角形的判定和性质，正确理解【变式训练1】（23-则称该四边形为“补等四边形”．如正方形和筝形，它们都具备这样的特征，所以称为补等四边形．【解决新问题】(1)如图Ⅰ，点E ，F 分别在菱形ABCD 的边CD AD ，上，60CE DF A =∠=︒，．四边形BEDF 是否为补等四边形？（填“是”或“否”）(2)如图Ⅱ，在ABC 中，90B ∠>︒．ACB ∠的平分线和边AB 的中垂线交于点D ，中垂线交边AC 于点G ，连接DA DB ，．四边形ADBC 是否为补等四边形？若是，进行证明；若不是，说明理由．【答案】(1)是(2)四边形ADBC 是补等四边形，证明见解析【分析】（1）连接BD ，根据菱形性质得出CD AD AB CB CD AB ===，，再结合60CE DF A =∠=︒，，通过SAS 证明CBE DBF ≌，结合角的等量代换，即可作答．（2）作DE CB DF CA ⊥⊥，．因为角平分线的性质，得出DE DF =，又因为DG 垂直平分AB ，得出DB DA =，再证明Rt Rt DEB DFA ≌，结合角的等量代换，即可作答．【详解】（1）解：连接BD ，如图：∵四边形ABCD 是菱形，∴CD AD AB CB CD AB ===，，∴180A CDA ∠+∠=︒∵60A ∠=︒∴1120602CDA BDF CDA ABD ∠=︒∠=∠=︒，，是等边三角形∴BD DA BC==∵CE DF =，∴()SAS CBE DBF ≌∴EB BF =，BFD BEC∠=∠∵180DEB BEC ∠+∠=︒∴180DEB BFD ∠+∠=︒∴四边形BEDF 是补等四边形，故答案为：是；（2）解：四边形ADBC 是补等四边形．理由如下：作DE CB DF CA ⊥⊥，．∴90DEB DFC ∠=∠=︒．∴180ECA EDF ∠+∠=︒∵CD 平分ECA ∠，∴DE DF =．∵DG 垂直平分AB ，∴DB DA=∴Rt Rt DEB DFA≌∴EDB FDA ∠=∠．∴180ECA BDA ∠+∠=︒∴四边形ADBC 是补等四边形．【点睛】本题考查了垂直平分线的性质，角平分线的性质，全等三角形的判定与性质，菱形性质，正确掌握相关性质内容是解题的关键．【变式训练2】（22-23八年级下·浙江宁波·期末）我们定义：以已知菱形的对角线为边且有一条边与已知菱形的一条边共线的新菱形称为已知菱形的伴随菱形．如图1，在菱形ABCD 中，连接AC ，在AD 的延长线上取点E 使得AC AE =，以CA AE 、为边作菱形CAEF ，我们称菱形CAEF 是菱形ABCD 的“伴随菱形”．(1)如图2，在菱形ABCD 中，连接AC ，在BC 的延长线上作CA CF =，作ACF ∠的平分线CE 交AD 的延长线于点E ，连接FE ．求证：四边形AEPC 为菱形ABCD 的“伴随菱形”．(2)①如图3，菱形AEFC 为菱形ABCD 的“伴随菱形”，过C 作CH 垂直AE 于点H ，对角线AC BD 、相交于点O ．连接EO 若EO =，试判断ED 与BD 的数量关系并加以证明．②在①的条件下请直接写出CH ED的值．根据平行线的性质及中位线的定义②∵四边形AEFC为菱形，=，点E在ACF∠的平分线上，HC EM=，EM EN==，22OE CH EN【点睛】本题考查了平行线的性质，角平分线的定义，勾股定理，菱形的判定与性质，等腰直角三角形的性质与判定，掌握菱形的性质及判定是解题的关键．【变式训练3】（22-23八年级下·安徽合肥·期末）定义：在三角形中，若有两条中线互相垂直，则称该三角形为中垂三角形．(1)如图（a ），ABC 是中垂三角形，,BD AE 分别是,AC BC 边上的中线，且BD AE ⊥于点O ，若45BAE ∠=︒，求证：ABC 是等腰三角形．(2)如图（b ），在中垂三角形ABC 中，,AE BD 分别是边,BC AC 上的中线，且AE BD ⊥于点O ，求证：2225AC BC AB +=．(3)如图（c ），四边形ABCD 是菱形，对角线,AC BD 交于点O ，点,M N 分别是,OA OD 的中点，连接,BM CN 并延长，交于点E ．求证：BCE 是中垂三角形；【答案】(1)见解析(2)见解析(3)见解析∠∵BD AE ⊥，BAE ∠∴45.ABD ∠=︒由题意可得，2AC AD =∴DE AB ∥，∴AED BAE ∠=∠=∠∴OD OE =，OA OB =∵AE ，BD 分别是边∴2AC AD =，2BC BE =∴224AC AD =，2BC 在Rt AOD 中，2AD =∵点M ，N 分别是OA ，OD 的中点，∴MN 是AOD △的中位线，则MN ∥∵四边形ABCD 是菱形，∴CM BN ⊥，AD BC =，且AD BC ∥∴MN BC ∥，12MN BC =，类型三、矩形中的新定义型问题例题：（23-24九年级上·吉林松原·期末）定义：对多边形进行折叠，若翻折后的图形恰能拼成一个无缝隙、无重叠的四边形，则这样的四边形称为镶嵌四边形．(1)如图1，将ABC 纸片沿中位线EH 折叠，使点A 落在BC 边上的D 处，再将纸片分别沿EF ，HG 折叠，使点B 和点C 都与点D 重合，得到双层四边形EFGH ，则双层四边形EFGH 为______形．(2)ABCD Y 纸片按图2的方式折叠，折成双层四边形EFGH 为矩形，若5EF =，12EH =，求AD 的长．(3)如图3，四边形ABCD 纸片满足AD BC ∥，AD BC <，AB BC ⊥，8AB =，10CD =．把该纸片折叠，得到双层四边形为正方形．请你画出一种折叠的示意图，并直接写出此时BC 的长．【答案】(1)矩(2)13AD =(3)答案不唯一，见解析【分析】（1）由折叠的性质可得90HEF EHG EFD ∠=∠=∠=︒，可得四边形EFGH 是矩形；（2）由勾股定理可求13FH =，由“AAS ”可证EHM GFN ≌，可得MH NF =，由折叠的性质可得AH MH =，CF FN =，即可求解；（3）分三种情况讨论，由正方形的性质和勾股定理可求解．【详解】（1）双层四边形EFGH 为矩形，由折叠的性质得：四边形EFMB ∴==，4BM FM由折叠的性质得：四边形BM FM =，MN 12GH CD ∴==四边形EMHG 则E ，G 分别为AB ，CD，BF顺时针旋转一定的角度，使得BF与矩形的边交于点E（含端点），连接BE，把BEF△定义为“转角三角形”．(1)由“转角三角形”的定义可知，矩形ABCD的任意一个“转角BEF△”一定是一个___三角形；BC=，当点F与点C重合时，画出这个“转角BEF''，并求出点E的坐(2)如图②，在矩形ABCD中，2AB=，3标；BC=，当“转角BEF''面积最大时，求点F的坐标．(3)如图③，在矩形ABCD中，2AB=，3由题意知3CE OC ==，CD =由勾股定理得2DE CE CD =-∴35AE =-，∴点E 的坐标为()35,2-；（3）解：由题意知，分当F 端点）上，落点记为E ．这时折痕与边BC 或者边CD （含端点）交于点F ，然后展开铺平，则以B 、E 、F 为顶点的BEF △称为矩形ABCD 的“折痕三角形”．(1)由“折痕三角形”的定义可知，矩形ABCD 的任意一个“折痕BEF △”一定是______三角形．(2)如图2，在矩形ABCD 中，2,4AB BC ==．当点F 与点C 重合，画出这个“折痕BEF △”，并求出点E 的坐标．(3)如图3，在矩形ABCD 中，2,4AB BC ==，当“折痕BEF △”面积最大的时，求出此时点F 的坐标．∵点F 与点C 重合，∴4BC CE ==，∵矩形ABCD ，∴90,2,D CD AB AD ∠=︒===∴2223DE CE CD =-=，即当F 与C 重合时，此时(4,0F ②当F 在边CD 上时，如图③∵1122EKF SKF AH HF AH =⋅≤⋅∴142BEF ABCD S S ≤=矩形．即当综上：()4,0F 或()4,1F ．【点睛】本题考查矩形与折叠，坐标与图形．熟练掌握矩形的性质，折叠的性质，是解题的关键．了解性质：如图1：已知四边形ABCD 中，AC BD ⊥．垂足为O ，则有：2222AB CD AD BC +=+；性质应用：（1）如图1，四边形ABCD 是垂美四边形，若2AD =，4BC =，3CD =，则AB =；性质变式：（2）如图2，图3，P 是矩形ABCD 所在平面内任意一点，则有以下重要结论：2222AP CP BP DP +=+．请以图3为例将重要结论证明出来．应用变式：（3）①如图4，在矩形ABCD 中，O 为对角线交点，P 为BO 中点，则22210PA PC PB+=；（写出证明过程）②如图5，在ABC 中，4CA =，6CB =，D 是ABC 内一点，且2CD =，90ADB ∠=︒，则AB 的最小值是．由（1）性质可知：2BH 即：222CP BP CH BH -=-222()(HD DC AH =+-+22HD AH =-，则AB DE =，由题意得：222CD CE CA CB +=+即2222246CE +=+，解得：43CE =，当C 、D 、E 三点共线时，DE类型四、正方形中新定义型问题例题：（2024·山东济南·三模）我们定义：对角线互相垂直且相等的四边形叫做“神奇四边形”．(1)在我们学过的下列四边形①平行四边形②矩形③菱形④正方形中，是“神奇四边形”的是（填序号）；(2)如图1，在正方形ABCD 中，E 为BC 上一点，连接AE ，过点B 作BG AE ⊥于点H ，交CD 于点G ，连,AG EG ．①判定四边形ABEG 是否为“神奇四边形”（填“是”或“否”）；②如图2，点,,,M N P Q 分别是,,,AB AG GE EB 的中点．证明四边形MNPQ 是“神奇四边形”；(3)如图3，点,F R 分别在正方形ABCD 的边,AB CD 上，把正方形沿直线FR 翻折，使得BC 的对应边B C ''恰好经过点A ，过点A 作AO FR ⊥于点O ，若2AB '=，正方形的边长为6，求线段OF 的长．则称这个四边形为奇特四边形．(1)判断命题“另一组邻边也相等的奇特四边形为平行四边形”是______命题．（真或假）(2)如图，在正方形ABCD中，E是AB边上一点，F是AD延长线一点，BE DF=，连接EF，取EF的中点G，连接CG并延长交AD于点H，连接FC，探究：四边形BCGE是否是奇特四边形，如果是，证明你的结论，如果不是，请说明理由．(3)在（2）的条件下，若四边形BCGE的面积为16，求AF的长．【答案】(1)假(2)是，见解析(3)8【分析】（1）假命题，根据命题画图验证即可；，∠，再结合题意，得出四边形（2）连接CE ，∵四边形ABCD 是正方形，∴BC DC =，EBC ∠=∠在EBC 和FDC △中，BC DC EBC FDC =⎧⎪∠=∠⎨，∵EG GC =，EGC ∠=∴12EK CK GK CE ===设BC x =，BE y =，∴22CE x y =+，夹角为直角，像这样的图形称为“直角等邻对补”四边形，简称“直等补”四边形．根据以上定义，解决下列问题：(1)如图①，正方形ABCD 中，E 是CD 上的点，将BCE 绕B 点旋转，使BC 与BA 重合，此时点E 的对应点F 在DA 的延长线上，则四边形BEDF 为“直等补”四边形，为什么？(2)如图②，已知四边形ABCD 是“直等补”四边形，51AB BC CD ===，，AD AB >，过点B 作BE AD ⊥于点E ，作BF DC ⊥交DC 延长线于点F ．①试判断四边形BFDE 的形状，证明你的结论，并求出BE 的长．②若点M 是AD 边上的动点，求BCM 周长的最小值．【分析】（1）由旋转可得BCE BAF ≌△△，由全等三角形的性质则可得四边形BEDF 符合“直等补”四边形的条件，因而问题解决；（2）①由已知可得四边形BFDE 是矩形，现证明ABE CBF △≌△，则易得BFDE 是正方形；设BE x =，由勾股定理建立方程即可求得x 的值；②作点C 关于AD 的对称点H ，连接MH BH ，，BH 交AD 于点N ，则当M 与N 重合时，BCM 的周长最小，即可求得周长的最小值．【详解】（1）解：∵在正方形ABCD 中，90AB BC ABC BAD D =∠=∠=∠=︒，，又BCE 绕B 点旋转得到BAF △，且BC 与BA 重合，∴BCE BAF ≌△△，∴BE BF CBE ABF =∠=∠，，∴90EBF ABF ABE CBE ABE ∠=∠+∠=∠+∠=︒，∴180EBF D ∠+∠=︒，又∵90BE BF EBF =∠=︒，，∴四边形BEDF 为“直等补”四边形；（2）解：①∵BE AD ⊥，BF DC ⊥，∴90BED F ∠=∠=︒；∵四边形ABCD 是“直等补”四边形，5AB BC ==，∴90ABC ∠=︒，∴18090D ABC ∠=︒-∠=︒，即90BED F D ∠=∠=∠=︒，∴四边形BFDE 是矩形；∴90ABC EBF ∠=∠=︒；即90ABE EBC EBC CBF ∠+∠=∠+∠=︒，∴ABE CBF ∠=∠；又∵90AEB F ∠=∠=︒，AB BC =，∴ABE CBF △≌△，∴BE BF =，∴四边形BFDE 是正方形；∴BE FD BF ==；设BE x =，则BE FD BF x ===，1CF FD CD x =-=-，在Rt BFC △中，由勾股定理得：222+=BF CF BC ，即22(1)25x x +-=，解得：43x x ==-，（舍去），∴4BE =；②如图，作点C 关于AD 的对称点H ，连接MH BH ，，BH 交AD 于点N ，则1CM HM DH CD ===，，【点睛】本题是几何综合问题，考查了正方形的判定与性质，旋转的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，新定义，轴对称的性质等知识，构造适当的辅助线是解题的关键．一、单选题1．（23-24八年级下·江苏苏州·期中）如图，在菱形ABCD 中，1206A AB ∠=︒=，，点E 、F 分别在边AB 、AD 上，且AE DF =，则EF 的最小值是（）A ．2B ．3C ．D ．【答案】D 【分析】本题考查了菱形的性质，等边三角形的判定和性质，勾股定理，全等三角形的判定和性质等知识，掌握特殊图形的性质是解题关键．连接AC ，过点C 作CG AD ⊥于点G ，根据菱形的性质，证明ABC 和ADC △是等边三角形，根据三线合一的性质的最小值为AB BC AD CD∴====ABC∴和ADC△是等边三角形，6AC AB∴==，ACB∠CG AD⊥，点P是BC边上一动点（不与点B，点C重合），PE OB⊥于点E，PF OC⊥于点F，则EF的最小值为（）A B C D【答案】A【分析】本题考查了菱形的性质，矩形的判定和性质，垂线段最短，勾股定理，熟练掌握菱形的性质，矩形的判定，利用三角形的面积，运用垂线段最短计算即可．AC BD∵菱形ABCD的对角线,∴四边形OEPF是矩形，=，∴EF OP⊥时，OP最小，故EF当OP BC⊥，且∵菱形ABCD，AC BD二、填空题AB=，对角线AC、BD相交于点O，将直角三3．（23-24八年级下·山东烟台·期中）如图，正方形ABCD的边长6角板的直角顶点放在点O处，三角板两边足够长，与BC、CD交于E、F两点，当三角板绕点O旋转时，线段EF 的最小值为．一个动点（点P 与点A 、B 不重合），过点P 分别作PE BC ⊥于点E ，PF AC ⊥于点F ，连接EF ．（1）四边形PECF 的形状是．（2）线段EF 的最小值为．∵C 90∠=︒，4AC BC ==∴22244AB AC BC =+=+∵四边形PECF 是矩形，∴EF CP =，由垂线段最短可得CP AB ⊥此时，12ABC S AC BC =⨯=△三、解答题5．（2024·湖南长沙·一模）如图，Rt △中，90B Ð=°，6AB =，8BC =，D 是斜边AC 上一个动点，过点作DE AB⊥于E ，DF BC ⊥于F ，连接EF ．(1)求证：四边形BEDF 是矩形；(2)在D 点的运动过程中，求EF 的最小值；(3)若四边形BEDF 为正方形，求AD DC．是矩形，可得22AC AB BC ∴=+=四边形BEDF 是矩形，EF BD ∴=．由垂线段最短可知，当少有一组对角是直角的四边形叫做对角直角四边形．(1)下列图形：①有一个内角为45︒的平行四边形；②矩形；③菱形；④直角梯形，其中对角直角四边形是（只填序号）；(2)如图，菱形ABCD 的对角线AC ，BD 相交于点M ，在菱形ABCD 的外部以CD 为斜边作等腰直角CDN △，连接MN ．①求证：四边形DMCN 是对角直角四边形；②若点N 到BD 的距离是2，求四边形DMCN 的面积．【答案】(1)②(2)①见解析；②4．【分析】（1）根据对角直角四边形的定义逐个判断即可；（2）①根据菱形的性质得到AC BD ⊥，即90CMD ∠=︒，根据等腰直角三角形的性质可得90CND ∠=︒，进而得到90CMD CND ∠=∠=︒，然后根据对角直角四边形的定义即可证明结论；②如图：过N 作NH BD ⊥于H ，NG AC ⊥于G ，证明四边形MHNG 是矩形可得90HNG ∠=︒，进而证明()AAS DNH CNG ≌，根据全等三角形的性质得到2HN GN ==，根据正方形的判定定理得到四边形MHNG 是正方形，最后四边形DMCN 的面积=正方形MHNG 的面积．【详解】（1）解：①有一个内角为45°的平行四边形，没有90︒的内角，不是对角直角四边形；②矩形的对角为90︒，是对角直角四边形；③菱形的对角不一定为90︒，不是对角直角四边形；④直角梯形，的邻角为90︒，但对角不一定为90︒，不是对角直角四边形．故答案为：②．（2）①证明:∵.四边形ABCD 是菱形，∴AC BD ⊥，即90CMD ∠=︒，∵CDN △是等腰直角三角形，∴90CND ∠=︒，∴90CMD CND ∠=∠=︒，∴四边形DMCN 是对角直角四边形；②如图：过N 作NH BD ⊥于H ，NG AC ⊥于G ，∴90HMG MGN MHN ∠=∠=∠=︒，∴四边形MHNG 是矩形，∴90HNG ∠=︒，∵90DNC ∠=︒，∴HND CNG ∠=∠，∵90NHD NGC ∠=∠=︒，DN CN =，∴()AAS DNH CNG ≌，∴2HN GN ==,∴四边形MHNG 是正方形，∴四边形DMCN 的面积=正方形MHNG 的面积224=⨯=.【点睛】本题主要考查了菱形的性质、矩形的判定和性质、正方形的判定和性质、全等三角形的判定和性质、等腰直角三角形的性质等知识点，正确地找出辅助线是解题的关键．7．（23-24八年级下·河南商丘·阶段练习）我们定义：有一组邻边相等的四边形叫做“等邻边四边形”．(1)如图1、点A ，B ，C 在网格格点上，请你在网格图甲和乙中画出2个不同形状的等邻边四边形ABCD ，要求顶点D 在网格格点上；(2)如图2，矩形ABCD 中，3AB =，5BC =，点E 在BC 边上，连接DE ，作AF D E ⊥于点F ，若3DE CD =，找出图中的等邻边四边形，并说明理由；(3)如图3，在Rt ABC △中，90ACB ∠=︒，4AB =，2AC =，D 是BC 的中点，点M 是AB 边上一点（不与A ，B 重合），当四边形ACDM 是等邻边四边形且CD 为相等的邻边之一时，BM 的长为．【答案】(1)见详解；(2)四边形ABEF ，ABED 是等邻边四边形，理由见解析；(3)3【分析】（1）根据等邻边四边形的定义画出两个不同形状的等邻边四边形；（2）根据题意求出DE ，根据勾股定理求出CE ，计算得到BE AB =，根据等邻边四边形的定义判断即可；（3）根据条件画出等邻边四边形ACDM ，再利用等腰三角形的性质与勾股定理求解即可【详解】（1）等邻边四边形ABCD 如图所示：（2）四边形ABEF ,ABED 是等邻边四边形，理由如下四边形ABCD 是矩形，3AB CD ∴==，5BC AD ==，13DE CD =过点D 作DN MB ⊥，垂足为2BM BN∴=在Rt BDN △中，ABC ∠1322DN BD ∴==本题的关键．8．（22-23八年级下·浙江宁波·期末）【新知学习】定义：一组邻边相等，另一组邻边也相等的凸四边形叫做“筝形”．如在凸四边形ABCD 中，若AB AD =，BC DC =，则四边形ABCD 是“筝形”．（1）如图1，在边长为1的正方形网格中，画出“筝形”ABCD ，要求点D 是格点；【问题探究】（2）如图2，在矩形ABCD 中，10AB =，12BC =，“筝形”EFGH 的顶点E 是AB 的中点，点F ，G ，H 分别在BC ，CD ，AD 上，且EF =EG 的长；【拓展思考】（3）如图3，在“筝形”ABCD 中，AB AD =，12BC DC ==，90B D ∠=∠=︒，E 、F 分别是BC 、CD 上的点，AE 平分BEF ∠，EF CD ⊥，8EF =，求“筝形”ABCD 的面积．由勾股定理得AD =221310CD =+=221310CB =+=由图可得5AB =，∵E 是AB 中点，∴BE AE =，∵AE BE =，EH EF =∴()HL AEH BEF ≌，∴AH BF =，又AH ∥过点G 作GM AB ⊥∴GME GMB ∠=∠=∴四边形BMGC 是矩形，∴BM CG =，设HE EB x ==，则12CE x =-，CF 在Rt CEF △中，即()(224812x ++=6241824=+++=．72【点睛】本题是四边形综合题，正方形的判定和性质，勾股定理，全等三角形的判定和性质，垂直平分线的判定等知识，有一定综合性和拓展性，通过新图形“筝形”关联所学知识点，能够更好地体现知识点的应用．9．（23-24八年级下·江苏常州·期中）定义．对于一个四边形，我们把依次连结它的各边中点得到的新四边形叫做原四边形的“中点四边形”，如果原四边形的中点四边形是个正方形，我们把这个原四边形叫做“中方四边形”．概念理解：下列四边形中一定是“中方四边形”的是______________A．平行四边形B．矩形C．菱形；D．正方形．性质探究：如图1，四边形ABCD是“中方四边形”，观察图形，写出关于四边形ABCD性质的一条结论：___________，为边长，分别向外侧作正方形ABDE和正方形ACFG，连结问题解决：如图2，以锐角ABC的两边AB ACBE EG GC，，．（1）试说明．四边形BCGE是“中方四边形”；，的中点．拓展应用：如图3，已知四边形ABCD是“中方四边形”，M，N分别是AB CD（2）若MN=BD=_________；（3）若AB CD+的最小值是2，则BD的长度为_________；【详解】解：概念理解：在平行四边形、矩形、菱形、正方形中只有正方形是∴EFGH是正方形且E、∴90FEH∠=︒，EF EH=∴AC BD=，AC BD⊥问题解决：（1）如图2，取四边形于P，连接BG交CE于K∴MN、NR、RL、LM分别是∴MN BG∥，12 MN BG=∴MN RL∥，MN RL=，∴四边形MNRL是平行四边形，四边形ABDE和四边形∴四边形ENFM是正方形，∴FM FN MFN=∠，∴2MN FM FN=+N，F分别是DC，∴1 FN BD=,当点O在MN上（即三角形和直角三角形组成一个四边形，我们就称这个四边形是“等对邻直角四边形”．概念理解如图①，在四边形ABCD 中，若AB AC =，90ADC ∠=︒，则四边形ABCD ______“等对邻直角四边形”；A ．是B ．不是问题探究(1)如图②，在“等对邻直角四边形ABCD ”中，AB AC =，90ADC ∠=︒，E 是AC 的中点，F 是BC 的中点．则DE 与EF 的数量关系是；(2)如图③，在（1）的条件下，AC 平分BCD ∠，CD AB ∥，问四边形CDEF 为何种特殊四边形，并说明理由；拓展探究：(3)在ABC 中，AB AC =，E 是AC 的中点，F 是BC 的中点．5AB =，6BC =，以EF 为直角边作等腰直角DEF ，且90DEF ∠=︒，求以C D E F 、、、为顶点的四边形的面积．、、、为顶点的四边形的面积为∴以C D E F如图，、、、为顶点的四边形的面积为以C D E F。
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培优专题(四) 特殊平行四边形的最值问题
【例】如图，正方形ABCD的边长为10 cm，E是AB上一点，BE＝4 cm，P是对角线AC上一动点，求PB ＋PE的最小值.
1．如图，在周长为12的菱形ABCD中，AE＝1，AF＝2，若P为对角线BD上一动点，求EP＋FP的最小值
2．如图，正方形ABCD的面积为12，△ABE是等边三角形，点E在正方形ABCD内，在对角线AC上有一点P，使PD＋PE最小，求这个最小值
3．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝3，AC＝4，M为斜边AB上一动点，过点M作MD⊥AC于点D，过点M作ME⊥CB于点E，求线段DE的最小值．
4．如图，已知正方形ABCD的边长为3，点E在AB边上，且BE＝1，点P，Q分别是边BC，CD上的动点(均不与顶点重合)，求四边形AEPQ的周长的最小值为．
5．如图，在平行四边形ABCD中，AB＝2，AD＝1，∠ADC＝60°，将平行四边形ABCD沿过点A的直线l折叠，使点D落到AB边上的点D′处，折痕交CD边于点E.
(1)求证：四边形BCED′是菱形；
(2)若点P是直线l上的一个动点，请计算PD′＋PB的最小值．。