福州大学至诚学院高等数学期末试卷B卷
第二学期高等数学(B)Ⅱ期末考试试卷答案

解:
G G i j G ∂ ∂ rot A = ∂x ∂y 2 z − 3 y 3x − z
2002-2003 学年第二学期高等数学(B)Ⅱ期末考试试卷答案
北 方
交
通
大
学
2002-2003 学年第二学期高等数学(B)Ⅱ期末考试试卷答案
一.计算题(本题满分 35 分,共有 5 道小题,每道小题 7 分) , 1.设 z = arctan 解:
y ,求 dz . x
⎛ y⎞ ⋅ d⎜ ⎟ , ⎝ x⎠ ⎛ y⎞ 1+ ⎜ ⎟ ⎝x⎠ 1
z = 4 1−
求下雨时过房顶上点 P 1, 解:
x2 y2 − . 16 36
(
3,
11 处的雨水流下的路线方程(不考虑摩擦) .
)
雨水沿 z 轴下降最快的方向下流,即沿着 z 的梯度
grad z =
∂z G ∂z G i+ j ∂y ∂x
的反方向下流.因而雨水从椭球面上流下的路线在 xOy 坐标面上的投影曲线上任一点处的切线应与
G k G G G ∂ = 2 i + 4 j + 6k ∂z y − 2x
5.求解微分方程 y ′′ + 4 y = 4 cos 2 x . 解: 先解对应的齐次方程 y ′′ + 4 y = 0 .其特征方程为 r + 4 = 0 ,得其解为 r1 = 2i , r2 = −2i .因而对
大学高等数学试题B(附答案)

…………………………(5分)
于是 …………………………(7分)
即 ……………………(8分)
五、(8分)应用格林公式计算曲线积分: ,
为由 到 经过圆 上半部的路线 。
解:连接两点 ,构成封闭路径 ,从而
(2分)
记 ,(3分)
由格林公式: (6分)
线段 : ,
(7分)
从而 (8分)
评分说明:
写出 得1分,
两边对 求导左端: …………………………(3分)
右端: …………………………(理得 ………………………………(8分)
(方法二)
因为
所以 ………………(3分)
………………(5分)
从而 …………………(7分)
即 …………………(8分)
(方法三)
因为
………………(3分)
(2)求级数的和函数及数项级数的和(5分)
设级数的和函数为 ,
则 …………………(6分)
而级数 (或 )……………(8分)
则级数的和函数为 ……………………(9分)
幂级数中取 得数项级数 …………………(10分)
(注:求级数的和函数有多种解法,得分标准参上执行)
对于实际问题,由于驻点是唯一的,则该点就是所求的最大值点。所以当长方体的长、宽、高分别为4,4,2的时候,可以使无盖的长方体表面积最大。…………(8分)
注:如果出现目标函数与条件函数颠倒,酌情扣4分;
如果目标函数多了盖子,按错误函数求解的,酌情扣4分。
四、(8分)设函数 可微,且满足 , ,求 。
解:(方法一)
求出 得2分
没有考虑积分曲线的封闭性而直接用格林公式且计算出结果得4分.
六、(10分)设 为连续函数,且 ,其中 是由直线 围成的区域,求 。
福州大学至诚学院线性代数期末试卷

福州大学至诚学院线性代数期末试卷1. 某人打靶3发,事件Ai 表示“击中i发”,i=0,1,2,3. 那么事件A=A1∪A2∪A3表示()。
* [单选题] *A. 全部击中.B. 至少有一发击中.(正确答案)C. 必然击中D. 击中3发2. 对于任意两个随机变量X和Y,若E(XY)=E(X)E(Y),则有()。
* [单选题] *A. X和Y独立。
B. X和Y不独立。
C.(X+Y)=D(X)+D(Y)(正确答案)D. D(XY)=D(X)D(Y)3. 下列各函数中可以作为某个随机变量的概率密度函数的是()。
* [单选题] *A.B.C.D. ,(正确答案)4. 某人打靶3发,事件Ai 表示“击中i发”,i=0,1,2,3. 那么事件A=A1∪A2∪A3表示()。
* [单选题] *A.B. 至少有一发击中.(正确答案)C. 必然击中D. 击中3发5. 对于任意两个随机变量X和Y,若E(XY)=E(X)E(Y),则有()。
* [单选题] *A. X和Y独立。
B. X和Y不独立。
C.(X+Y)=D(X)+D(Y)(正确答案)D. D(XY)=D(X)D(Y)6. .下列各函数中可以作为某个随机变量的概率密度函数的是()。
* [单选题] *A.B.C.D. ,(正确答案)7. 设随机变量X~, Y~, , * [单选题] *A(正确答案)B. 对于任意的, P1 < P2C. 只对个别的,才有P1=P2D. 对于任意的, P1 > P28. .设X为随机变量,其方差存在,c为任意非零常数,则下列等式中正确的是() * [单选题] *A.D(X+c)=D(X).(正确答案)B D(X+c)=D(X)+cC. D(X-c)=D(X)-cD(X+c)=D(X).9. .某人打靶3发,事件Ai 表示“击中i发”,i=0,1,2,3. 那么事件A=A1∪A2∪A3表示()。
* [单选题] *A. 全部击中.B. 至少有一发击中.(正确答案)C. 必然击中D. 击中3发10. 对于任意两个随机变量X和Y,若E(XY)=E(X)E(Y),则有()。
09福州大学至诚学院理工类高等数学期末试卷B答案20100228

福州大学至诚学院09级理工微积分上期末试卷答案B一、单项选择(共18分,每小题3分) ,,,,,A D A B C B 二、填空(共24分,每小题3分)1、13x c + 3、(ln )(1ln )f x x x dx '+ 4、2π 5、1k > 6、 ()xy e x c -=+ 7、138、0三、计算题(共14分,每小题7分)1、1223200011sin sin 1cos 1lim (1sin )lim (1)lim lim 36u xx u u u u u u u x x x u u u u =→∞→→→---=-===解:222222cos sin cos sin 2cos sin ;cos sin ;;cos sin cos sin (cos sin )(cos sin )()(cos sin )(cos sin )(cos sin )(cos sin )(cos t t t t t t t t t dydy dx dy e t e t t t dt e t e t e t e t dx dt dt dx t te t e t dt t t t t dy d d y t t dx dx dx e t t t t t t e t ++=+=-===---++-==--++=、332sin )(cos sin )t t e t t =--或四、计算题(共14分,每小题7分)cos()11cos(),[1cos()]cos(),1cos()cos().1cos()y x y y y x y y x y x y y x y x dy dx y x +''''=++-+=+=-++∴=-+、解 ()11011211100111012()()()(1)1()|arctan |24x ttt f t dt f t dt f t dt e dt dt t t e t eπ-=-----=+=+++=++=-+⎰⎰⎰⎰⎰、原式=,五、计算题(共14分,每小题7分)2201.44312sin cos 6.L a t tdt a ππ====⎰⎰解21).u u u u uue du ue e du ue e c c =-=-+=+⎰⎰⎰、解六、应用题(共16分,每小题8分)2(),,31111,,ln ln ,6, 6.x dyy dxx y y x ydy dx dy dx x y c xy c y x y xc xy =⎧=-⎪=⎨⎪=⎩∴=-=-+=∴==∴=⎰⎰1.解:设曲线方程为由题意得通解为代入(2,3)得曲线方程为11.(1)()()20()11(2)()0,()()()()0()[,]()(,)(),]()0(,)a b ba b aF x f x f x F a dt dt f t f t F b f t dt F x C a b F x a b F x a b F x a b '=+≥>==-<=>∈∴∴=⎰⎰⎰ 又,在内至少有一实根.又在[上严格增加的,在内有且仅有一个实根.。
福州大学高数上学期历年期末答案

98级高数上期末卷子答案(A 卷)一、填空题:1:[1,]e (0ln 1x ≤≤ ); 2:21,1(),1x x f x x x ⎧+-<<⎪⎪=⎨⎪≤<⎪⎩3:11135,(35)()()(35)333u t f t dt f u du F u c F t c =+∴+==+=++⎰⎰令 4:20000(2)|2|2,((1))|2|0axax x x x x eae a b x bx ====''==-=-=,00,(10)22,2a b e b ∴=-===5:10! 6:2222sec ()sec ()(1),csc ()1sec ()x y y x y y y x y x y +'''=++∴==-+-+; 9:33240.00004/;,4,3ms V R V R R πππ''=∴=10:321(1)31,2,(7)12x f x x x f -==∴=两边关于求导代入 二:选择题1:C 2:D 3:A 利用对称区间奇偶函数性质。
4:D()(0)lim(0)8x f x f f x∆→∆-'==∆5:B 6:B 7:B 8:B 9:B2()(1)0,()(1)(1)f x f f x f x -<∴<-10:B00()()(0)limlim (0)00x x f x f x f f x x →→-'==≠-三.基本题1.原式2001ln(1)11111limlim [ln(1)1]lim 22x x x x x x x xx xe eee→→→+-++--====2.原式2sin 2sin ln 2sin xx x d x x x xdx ==-⎰⎰22sin ln 22cos 2sin ln 22cos (ln 2)2cos x x x x x x d x x x xdx =+=+⋅-⎰⎰原式=22sin ln 22cos 1(ln 2)x x x x c +⋅++ 3.2441cos 222sin cos 2)2tIy t tdt dt πππ+====+ 5.000002,(2)()y ax b x y y y ax b x x '=+∴-=+-点(,)处切线为:因为切线过原点,所以200020002y ax bx y ax bx c⎧=+⎪⎨=++⎪⎩020,c x b a ∴=≥为任意数。
福州大学至诚学院高等数学期末试卷B卷

福州⼤学⾄诚学院⾼等数学期末试卷B卷福州⼤学⾄诚学院期末考试试卷 2017—2018 学年第⼀学期考试⽇期: 2018 年 1 ⽉注意事项:答题前,考⽣在试卷及答题卡上务必⽤直径0.5毫⽶⿊⾊签字笔写上⾃⼰的姓名、准考证号等信息。
考⽣务必将答案抄到答题卡上,在试卷上作答⽆效。
考⽣务必在答题卡密封线内作答。
⼀、单项选择题(1-8题,每⼩题3分,共24分)1.设函数f(x)=xsinx,则f ′( π2)=( )A.1/2B. 1C.π/2D. 2π2. limx→∞(1+1x)2x=( )A. e?2B. e?1C. eD. e23.∫x2e x3dx=( )A.13x2e x3+C B. 3x2e x3+C C.13e x3+C D.3e x3+C4.设⼆元函数z=x2y+xsiny,则x=( )A.2xy+sinyB. x2+xcosyC.2xy+xsinyD.x2y+siny5.设球⾯⽅程(x?1)2+(y+2)2+(z+3)2=4,则该球⾯的球⼼坐标与半径分别为( )A.(-1,2,3);2B.(-1,2,-3);4C.(1,-2,-3);2 D(1,-2,3);36.已知f(x)在x0处可导,且f′(x0)= 2,则lim→0f(x0+2?)?f(x0)=( )A.2B. 1/2C.1D.47.⽅程(y ′)3+y ′′?y 4=x 是( )阶微分⽅程A.4B.3C.2D.1 8.设f(x)=x (x-1) (x-2) (x-3) (x-4) (x-5) ,则f ′(1)=( )A.24B.-24C.12D.-12⼆、填空题;(9-14 ⼩题,每⼩题4分,共24分) 9.设limx→0sin2x x=10.曲线y=√x 在点(1,1)处的切线⽅程是,法线⽅程是 11.设y= (2x 3+5)4,求y ′= 12. ∫sinx π0dx= 13.设z = x y ,则zx= ,z y ??=14.过点(1,0,1)且与平⾯x-y+2z+1=0 垂直的直线⽅程为三、解答题:15-21题,共52分15.(本题满分8分)设f (x )={ x 3 , x ≤1 ;ax +b, x >1 ;在x =1处连续且可导,求a ,b 的值16.(本题满分7分) 计算lim x→0x2e 1x 217(本题满分7分)求y=x cosx的导数18 (本题满分8分)求函数f(x)= x3?3x+2 的极值点与极值19(本题满分7分)计算∫(lnx)2xd x20.(本题满分7分)求微分⽅程y′′+2y′?3y=2e x的通解21(本题满分8分)dxdy其中,D是由直线 y=x、x=2与 y=0 所围成的区域。
第二学期高等数学期末考试试卷及答案3
第二学期高等数学期末考试试卷及答案3第二学期高等数学期末考试试卷(B 卷)答案一.填空题(本题满分30分,共有10道小题,每道小题3分),请将合适的答案填在空中.1. 设向量AB 的终点坐标为()7,1,2-B ,它在x 轴、y 轴、z 轴上的投影依次为4、4-和7,则该向量的起点 A 的坐标为___________________________.2. 设a 、b 、c 都是单位向量,且满足0 =++c b a ,则=?+?+?ac c b b a_____________________________. 3. 设()()xy xy z 2cos sin +=,则=??yz_____________________________. 4. 设yx z =,则=yx z2___________________.5. 某工厂的生产函数是),(K L f Q =,已知⑴. 当20,64==K L 时,25000=Q ;(2)当20,64==K L 时,劳力的边际生产率和投资的边际生产率为270='Lf ,350='K f 。
如果工厂计划扩大投入到24,69==K L ,则产量的近似增量为_______________6. 交换积分顺序,有()=??--221,y y ydx y x f dy_____________________________.7. 设级数∑∞=1n nu收敛,且u un n=∑∞=1,则级数()=+∑∞=+11n n n u u __________.8. -p 级数∑∞=11n p n 在p 满足_____________条件下收敛. 9. 微分方程x x y sin +=''的通解为=y ______________________.10. 对于微分方程x e y y y -=+'+''23,利用待定系数法求其特解*y 时,应设其特解=*y ______________________ (只需列出特解形式,不必具体求出系数).答案: 1. ()0,3,2-A ;2. 23-; 3. ()()()xy xy x xy x sin cos 2cos -; 4. ()x y x y ln 11+-; 5. 2750单位; 6.()()----+1111012,,x xdy y x f dxdy y x f dx ;7. 02u u -; 8. 1>p ; 9.213sin 61C x C x x ++-; 10. xAxe y -=*.二.(本题满分8分)求过点()3,2,10-P ,且与两平面12=+z x 和23=-z y 平行的直线方程.解:所求直线l 过点()3,2,10-P ,设其方向向量为s,由于l 平行于平面12=+z x 和23=-z y ,所以其方向向量s 同时垂直于向量{}2,0,11=n 与{}3,1,02-=n .因此,方向向量s可取为,k j i kj i s n s++-=-=?=32310201 .从而所求直线方程为:13221-=-=-+z y x .三.(本题满分8分)设函数??=x y x z F x u k ,,其中k 是常数,函数F 具有连续的一阶偏导数.试求zu z y u y x u x+??+??.解:-??? ??'+??? ??-??? ??'+??? ??=??-22211,,,x y x y xz F x x z x y x z F x x y x zF kx x u kkk ??'-??? ??'-??? ??=---x y xz F yx x y x z F zx x y xz F kxk k k ,,,22121'=???? ??'=??-x y x z F x x x y x z F x y u k k ,1,212'=???? ??'=??-x y xz F x x x y xz F x z u k k ,1,111 所以, zz y u y x u x+??+?? ??'-??? ??'-??? ???=---x y xz F yx x y x z F zx x y xzF kxx k k k ,,,22121'?+??? ??'?+--x y xz F x z x y x z F xy k k ,,1121=x y x z F kx k , 四.(本题满分8分)计算二重积分??≤++=42222y x y xdxdy e I 的值.解:作极坐标变换:θθsin ,cos r y r x ==,则有==≤++220422222rdr e d dxdy eI r y x y x πθ()1212422-=?=e e rππ.五.(本题满分8分)某工厂生产两种型号的机床,其产量分别为x 台和y 台,成本函数为xy y x y x c -+=222),( (万元)若市场调查分析,共需两种机床8台,求如何安排生产,总成本最少?最小成本为多少?解:即求成本函数()y x c ,在条件8=+y x 下的最小值构造辅助函数 ())8(2,22-++-+=y x xy y x y x F λ解方程组=-+='=++-='=+-='080402y x F y x F y x F y x λλλ解得 3,5,7==-=y x λ这唯一的一组解,即为所求,当这两种型号的机床分别生产5台和3台时,总成本最小,最小成本为: 2835325)3,5(22=?-?+=c (万)六.(本题满分10分)⑴. 将()21ln arctan x x x x f +-=展开为x 的幂级数;⑵. 指出该幂级数的收敛域;⑶. 求级数()()∑∞=--1121n nn n 的和.解:⑴. 因为()()∑∞=-=+='22111arctan n nn x x x ()1<="" p="" ,且00arctan=",所以,"> =+∞=∞=+-=-=??? ??-=01200200212111arctan n n nn xnn xn n n x n dt t dt t x()11≤<-x而 ()()∑∞=-=+=+12221211ln 211ln n n nx nx x ()11≤≤-x所以, ()21ln arctan x x x x f +-=()()∑∑∞=∞=+--+-=12012121121n nnn n nx nxn x()()()()∑∑∞=+∞=++--+-=012022121121n n n n n nx n xn ()∑∞=+??+-+-=222211211n n n x n n ()()()∑∞=+++-=02222121n n nx n n ()11≤≤-x⑵. 幂级数()()()∑∞=+++-02222121n n n x n n 的收敛域为[]1,1-.⑶. 令1=x ,则有()()()()∑∑∞=∞=--=--1112212121n n n n n n n n ()()-=+-?==2ln 214211ln 1arctan 12122πf2ln 2-=π.七.(本题满分10分)求微分方程()1ln ln +=+'x x y x y x 的通解.解:该方程为一阶线性微分方程xx y x x y ln 1ln ln 1+=+' 因此,()x x x P ln 1=, ()xx x Q ln 1ln +=.代入一阶线性微分方程的求解公式,有+?+?=?-C dx e x x e y dx x x dx x x ln 1ln 1ln 1ln ??+?+=C x d x x x x ln ln 1ln ln 1 ()()C dx x x ++=1ln ln 1()C x x x+=ln ln 1所以,原方程的通解为 ()xC x C x x x y ln ln ln 1+=+=八.(本题满分10分)讨论级数()∑∞=+-11ln1n nnn 的绝对收敛性与条件收敛性.解:⑴. 因为级数()∑∞=+-11ln 1n nnn 为交错级数,nn u n 1ln+=.由于, ()()0122ln 12ln 1ln 12ln 2221<+++=++=+-++=-+n n nn n n n n n n n u u n n 所以数列{}n u 单调减少而且01 lnlim lim =+=∞→∞→nn u n n n .因此由Leibniz 判别法知,级数()∑∞=+-11ln 1n nnn 收敛.⑵. 讨论级数()∑∑∞=∞=+=+-111ln1ln 1n n nn n n n .其前n 项部分和为∑=+=nk n k k s 11ln ()()()()[]n n ln 1ln 3ln 4ln 2ln 3ln 1ln 2ln -+++-+-+-= ()∞→+=1ln n ()∞→n所以,级数()∑∑∞=∞=+=+-111ln1ln 1n n nn n n n 发散.综上所述知,级数()∑∞=+-11ln 1n nnn 条件收敛.九.(本题满分8分)设函数()u f 具有二阶连续的导函数,而且()y e f z xsin =满足方程z e yzx z x 22222=??+??,试求函数()u f .解:设y e u x sin =,则有()y e u f x z x s i n '=??,()y e u f yz x cos '=?? 所以,()()y e u f y e u f x z xx sin sin 2222'+''=??()()y e u f y e u f xzx x s i n c o s 2222'-''=?? 代入方程 z e yz x z x22222=??+??,得,()()()()z e y e u f y e u f y e u f y e u f x x x x x 22222sin cos sin sin ='-''+'+''即,()()xx e u f e u f 22=''由此得微分方程 ()()0=-''u f u f 解此二阶线性微分方程,得其通解为 ()uueC e C u f -+=21 (1C 与2C 为任意常数)此即为所求函数.。
高等数学B期末考试试卷 A 参考答案及评分标准
Dxy 1− x2 − y2
8
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第2页
2
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高等数学(下)B卷参考答案
由zx zyຫໍສະໝຸດ 3 3x2 33y20 0
,得驻点 (1, 1), (1,
1), 1, 1,1,
1
2分 2分
D zxx zxy 6x 0
z yx z yy
0 6y
D1,1 36 0 , D1,1 36 0 D1,1 36 0 D1,1 36 0
zxx (1,1) 6 0 , zxx (1,1) 6 0
令
2x2 1 得
x 1
2
2分 2分
2分
收敛半径为
R 1 2
六、解答下列各题(本大题分 2 小题, 每小题 8 分, 共 16 分)
1. 方程分离变量得 ydy xdx
两边积分得
1 y2 1 x2 1 C 2 22
代入初始条件y 3 得 C 9 x0
故所求特解为
y2 x2 9
2分
2分 2分 2分 2分
成人教育&网络教育 20XX 年 9 月试题答案
课程名称: 高等数学(下) A 卷□ B 卷 √ 考试时间 100 分钟 评分教师 一、单项选择题(每小题 4 分,共 12 分)
职称
1. C. (或 D、或 C 与 D 都给分) 2. B.
3. D
二、填空题(每小题 4 分,共 8 分)
1. 9 2 105
2、 y y x 对应齐次方程的特征根为 r1 1 , r2 1
2分
齐次方程的通解为
y C1e x C2ex
1分
设原方程的一个特解为
y Ax ,
1分
代入原方程得 A 1, y x
2分
故所求方程的通解为 y C1e x C2ex x
2分
esin xy[( x x 2 y cos xy) sin(x y)]dy
高等数学B期末考试试卷 A 参考答案及评分标准
3. 已知两条直线 x −1 = y + 2 = z −1 与 x = y = 3z 相交, m = 1 ;
1 2m
9
1
1− x2
0
y +1
1
1− y2
∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ 4. 交换积分次序 dx
f (x, y)dy = dy f (x, y)dx + dy
f (x, y)dx ;
0
x−1
−1
0
解 ∂z (1+ z)ez = ey + yex ,(2 分) ∂z = ey−z + yex−z ,(2 分) ∂z = ex−z + xe y−z (3 分)
∂x
∂x 1+ z
∂y 1+ z
共3页
第1页
∫∫ { } 11.计算二重积分 ydxdy ,其中 D = (x, y) x2 + y2 ≥ 2, x2 + y2 ≤ 2 y . D
0
0
2
0
{ } 解 D = (x, y) x2 + y2 ≤ 4, 0 ≤ x ≤ y ,(1 分)
∫∫ ∫ ∫ ( ) 原式 = e−(x2+y2 )dxdy = D
π
2 π
dθ
4
e2 −ρ2 ρdρ = π
0
8
1− e−4
(1+3+2 分)
∫∫∫ 13. 计算三重积分 eydxdydz ,其中 Ω 由曲面 x2 − y2 + z2 = 1, y = 0, y = 2 所围成. Ω
0 9 - 1 0 - 3 高数 B 期末试卷(A)参考答案及评分标准 10.6.29
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福州大学至诚学院期末考试试卷 2017—2018 学年第一学期考试日期: 2018 年 1 月
注意事项:
答题前,考生在试卷及答题卡上务必用直径0.5毫米黑色签字笔写上自己的姓名、准考证号
等信息。
考生务必将答案抄到答题卡上,在试卷上作答无效。
考生务必在答题卡密封线内作答。
一、单项选择题(1-8题,每小题3分,共24分)
1.设函数f(x)=xsinx,则f ′( π2)=( )
A.1/2
B. 1
C.π/2
D. 2π
2. lim
x→∞(1+1
x
)
2x
=( )
A. e−2
B. e−1
C. e
D. e2
3.∫x2e x3dx=( )
A.1
3x2e x3+C B. 3x2e x3+C C.1
3
e x3+C D.3e x3+C
4.设二元函数z=x2y+xsiny,则
z
x
∂
∂
=( )
A.2xy+siny
B. x2+xcosy
C.2xy+xsiny
D.x2y+siny
5.设球面方程(x−1)2+(y+2)2+(z+3)2=4,则该球面的球心坐标与半径分别为( )
A.(-1,2,3);2
B.(-1,2,-3);4
C.(1,-2,-3);2 D(1,-2,3);3
6.已知f(x)在x0处可导,且f′(x0)= 2,则lim
ℎ→0f(x0+2ℎ)−f(x0)
ℎ
=( )
A.2
B. 1/2
C.1
D.4
7.方程(y ′)3+y ′′−y 4=x 是( )阶微分方程
A.4
B.3
C.2
D.1 8.设f(x)=x (x-1) (x-2) (x-3) (x-4) (x-5) ,则f ′(1)=( )
A.24
B.-24
C.12
D.-12
二、填空题;(9-14 小题,每小题4分,共24分) 9.设lim
x→0
sin2x x
=
10.曲线y=√x 在点(1,1)处的切线方程是 ,法线方程是 11.设y= (2x 3+5)4,求y ′= 12. ∫sinx π
2
0dx= 13.设z = x y ,则
z
x
∂∂= ,z y ∂∂=
14.过点(1,0,1)且与平面x-y+2z+1=0 垂直的直线方程为
三、解答题:15-21题,共52分
15.(本题满分8分)
设f (x )={ x 3 , x ≤1 ;
ax +b, x >1 ;
在x =1处连续且可导,求a ,b 的值
16.(本题满分7分) 计算lim x→0
x
2
e 1x 2
17(本题满分7分)
求y=x cosx的导数
18 (本题满分8分)
求函数f(x)= x3−3x+2 的极值点与极值
19(本题满分7分)
计算∫(lnx)2
x
d x
20.(本题满分7分)
求微分方程y′′+2y′−3y=2e x的通解
21(本题满分8分)
dxdy其中,D是由直线 y=x、x=2与 y=0 所围成的区域。
计算∬xy2
D
福州大学至诚学院期末考试试卷
参考答案
2017—2018 学年 第 一 学期 考试时间: 2018 年 1 月
一、 选择题(1至8题,每小题3分,共24分)
二、 填空题;9-15 小题,每小题4分
9. 2 10. 2y
−x +1=0, y + 2x -3
11. 24x 2
(2x 3+5)3 12. 1
13. yx y−1 , x y
lnx 14. x−11=y −1=z−12
三、
15.(本题满分8分)
设f(x)={ x 3 , x ≤1 ;ax +b, x >1 ;
在x =1处连续且可导,求a ,b 的值
解: 因为f(x)在x =1处连续
∴f(x)在x=1处的左右极限相等……………2分
a+b=1 ……………3分
又因为f(x)在x=1处可导
∴f(x)在x=1处的左右导数相等……………5分
∴a=3 …………6分
∴b=-2
综上所诉a=3,b=-2……………8分16.(本题满分7分)
计算lim
x→0
x2e1x2
解:原式= lim
x→0e
1
x2
1
x2
……………2分
换元法将1
x2换成
t,则原来的极限为lim
t→+∞
e t
t……………4分
再使用洛必达法则原极限=lim
t→+∞e t
1
= ∞……………7分
17(本题满分7分)
求y=x cosx的导数
解:两边同时取对数则原式子为lny = cosxlnx ……………2分
两边同时对x求导得1
y y′= -sinxlnx+cosx1
x
……………4分
∴y′= y(-sinxlnx+cosx1
)
x
) ……………7分
∴y′=x cosx(-sinxlnx+cosx1
x
18.(本题满分8分)
求函数f(x)= x3−3x−2 的极值点与极值
解:f(x)的定义域是(-∞,+∞).
f′(x)=3x2−3=3(x+1)(x−1).……………2分
x1=−1和x2=1把(-∞,+∞)分成三个区间,列表讨论:Array
从上表可见,函数f(x)的极大值点是x=−1,极大值是f(-1)=0;……………5分
极小点是x=1,极小值是f(1)= -4;……………
7分
19.(本题满分8分)
计算∫(lnx)2
x
d x
解:∫(lnx)2dlnx……………2分
令t=linx,原式=∫t2dt……………3分
∴原式等于1
3
t3+c,把t=linx带入式子……………6分
得1
3
linx3+c ……………8分
20.(本题满分7分)
求微分方程y′′+2y′−3y=0的通解
解:对应的齐次方程的特征方程为
r2+2r−3=0.……………3分
解得 r1=1,r2=−3,故齐次方程的通解为
y=C1e x+C2e−3x. ……………4分
21(本题满分8分)
计算∬xy2
D
dxdy其中,D是由直线 y=x、x=2与 y=0 所围成的区域
解: 原式=∫dx ∫xy 2
dy x 020 ……………2分
=∫13
x 4
dx 20 ……………4分
= x 5
15|x=2 -0 ……………6分
=32/15 (8)
分。