(精心整理)三角变换与解三角形
三角恒等变换与解三角形
上的最大
值，求A，b和△ABC的面积．
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第二讲
三角恒等变换与解三角形
结束
[解]
3 1＋cos 2x (1)f(x)＝(m＋n)· m＝cos x＋ 3sin xcos x＋ ＝ 2 2
2
π 3 3 1 3 ＋ sin 2x＋ ＝ cos 2x＋ sin 2x＋2＝sin2x＋6 ＋2. 2 2 2 2
1．三角求值“三大类型” “给角求值”“给值求值”“给值求角”．
2．三角函数恒等变换“四大策略”
(1)常值代换：特别是“1”的代换，1＝sin2θ＋cos2θ＝tan 45° 等；
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三角恒等变换与解三角形
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(2)项的分拆与角的配凑：如sin2α＋2cos2α＝(sin2α＋cos2α) ＋cos2α，α＝(α－β)＋β等；
＝－
10 . 10
5 4 2 5 (2)由(1)知sin 2α＝2sin αcos α＝2× ×－ ＝－ ， 5 5 5
cos 2α＝1－2sin
2
α＝1－2×
5 2 3 ＝ ， 5 5
5π 5π 所以cos 6 －2α＝cos cos 6 ＝ －
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第二讲
三角恒等变换与解三角形
结束
[典例]
(2014· 四川高考)如图，从气球A上测得正前方的
河流的两岸B，C的俯角分别为67° ，30° ，此时气球的高是46 m，则河流的宽度BC约等于________m．(用四舍五入法将结 果精确到个位．参考数据：sin 67° ≈0.92，cos 67° ≈0.39，sin 37° ≈0.60，cos 37° ≈0.80， 3≈1.73)
三角恒等变换与解三角形
三角恒等变换与解三角形三角恒等变换（Trigonometric Identities）是数学中重要的基本概念之一，它们在解三角形等相关问题中发挥着重要的作用。
在本文中，我们将探讨三角恒等变换的基本概念以及如何利用它们解决三角形的问题。
1. 引言三角恒等变换是指在三角函数之间的相等关系。
通过运用这些恒等变换，我们可以简化和变换三角函数的表达式，从而更容易解决与三角函数相关的问题。
2. 基本的三角恒等变换2.1 正弦函数的平方和余弦函数的平方等于1对于任意角θ，有sin^2θ + cos^2θ = 1。
这个恒等变换被称为三角函数的基本恒等变换，它表明正弦函数的平方与余弦函数的平方之和等于1。
2.2 余弦函数与正弦函数的互补关系对于任意角θ，有sin(π/2 - θ) = cosθ 和cos(π/2 - θ) = sinθ。
这表明余弦函数与正弦函数在π/2之间具有互补关系。
2.3 正切函数与余切函数的互补关系对于任意角θ，有tan(π/2 - θ) = cotθ 和cot(π/2 - θ) = tanθ。
这表明正切函数与余切函数在π/2之间具有互补关系。
3. 利用三角恒等变换解三角形利用三角恒等变换，我们可以简化和变换三角函数的表达式，从而解决与三角形相关的问题。
以下是一些常用的例子：3.1 例子1：已知一个角的正弦值，求解这个角的余弦值和正切值。
假设已知角θ的正弦值为sinθ = 3/5。
根据正弦函数的平方和余弦函数的平方等于1，我们可以得到cos^2θ = 1 - (sinθ)^2 = 1 - (3/5)^2 = 16/25。
因此，cosθ = ±4/5，取决于角θ的实际情况。
同样地，根据正切函数的定义，我们可以得到tanθ = sinθ/cosθ = (3/5)/ (±4/5) = 3/4。
3.2 例子2：已知一个角的余弦值，求解这个角的正弦值和余切值。
假设已知角θ的余弦值为cosθ = 4/5。
三角变换及解三角形45张
利用角度差公式将一个角转换为两个角的差，如$alpha = beta - gamma$，则有$sin(alpha) = sin(beta)cos(gamma) - cos(beta)sin(gamma)$。
倍角公式
将一个角转换为它的两倍，如$alpha = 2beta$，则有 $sin(alpha) = 2sin(beta)cos(beta)$。
正弦函数性质
正弦函数在其定义域内是奇函数，即 $f(-x)=-f(x)$，且在每个周期内，其 值域为$[-1,1]$。
余弦函数的图像和性质
余弦函数图像
余弦函数图像也是一个周期函数，其基 本周期为$2pi$，图像呈现波形。
VS
余弦函数性质
余弦函数在其定义域内是偶函数，即$f(x)=f(x)$，且在每个周期内，其值域为$[1,1]$。
正割与余割的转换
利用三角函数的互割关系，将正
割转换为余割或将余割转换为正
割，如$sec(alpha)
=
csc(frac{pi}{2} - alpha)$。
函数值的变换
半角公式
利用半角公式可以将角度减半，从而 求出相应的三角函数值，如 $sin(frac{alpha}{2}) = pmsqrt{frac{1 - cos(alpha)}{2}}$。
正切函数的是一个奇函数，其基本周期为 $pi$，图像呈现锯齿波形。
正切函数性质
正切函数在其定义域内是奇函数，即$f(x)=-f(x)$，且在每个周期内，其值域为$(infty, +infty)$。
04
CATALOGUE
解三角形
正弦定理
总结词
正弦定理是解三角形的重要工具，它建立了三角形各角正弦值与对应边长之间的关系。
三角恒等变换与解三角形
三角恒等变换与解三角形三角恒等变换是解决三角形相关问题中常用的工具。
通过利用三角函数之间的关系，可以在一些情况下简化问题的求解，或者将复杂的三角形相关问题转化为更简单的形式。
本文将介绍一些常见的三角恒等变换，并结合实例说明其在解三角形问题中的应用。
1. 正弦定理正弦定理是三角形中常用的定理之一，用于求解三角形的边或角。
假设有一个三角形ABC，边长分别为a、b、c，对应的内角为A、B、C，正弦定理的数学表达式为：```a/sinA = b/sinB = c/sinC```其中，等式两边都表示边与对应角的正弦值的比例关系。
举例：已知三角形的两边a、b和它们夹角C，求第三边c。
根据正弦定理可得```c/sinC = a/sinA = b/sinB```通过这个等式可以解出c的值，进而求得整个三角形的相关信息。
2. 余弦定理余弦定理也是解决三角形问题时常用的定理之一，可以用于求解三角形的边或角。
假设有一个三角形ABC，边长分别为a、b、c，对应的内角为A、B、C，余弦定理的数学表达式为：```c^2 = a^2 + b^2 - 2*a*b*cosC```其中，等式右侧表示边长和夹角的余弦值的比例关系。
举例：已知三角形的两边a、b和它们的夹角C，求第三边c。
根据余弦定理可得```c^2 = a^2 + b^2 - 2*a*b*cosC```通过解这个方程可以求得c的值。
3. 正切定理正切定理是利用正切函数关系来解决三角形问题的定理，可以用于求解三角形的边或角。
假设有一个三角形ABC，边长分别为a、b，对应的内角为A、B，正切定理的数学表达式为：```tanA = (b*sinA)/(a - b*cosA)```其中，等式右侧表示两个边长度和夹角的正切值的比例关系。
举例：已知三角形的一边a和它的内角A，求另一边b。
根据正切定理可得```tanA = (b*sinA)/(a - b*cosA)```通过这个等式可以解出b的值。
(完整版)三角函数解三角形知识点总结
1. 任意角的三角函数的定义：设α是任意一个角，P (,)x y 是α的终边上的任意一点（异于原点），它与原点的距离是0r =>，那么sin ,cos y xr rαα==，()tan ,0yx xα=≠三角函数值只与角的大小有关，而与终边上点P 的位置无关。
2.三角函数在各象限的符号：（一全二正弦，三切四余弦）＋ ＋ － ＋ － ＋ － － － ＋ ＋ －sin α cos α tan α3. 同角三角函数的基本关系式：（1）平方关系：22221sin cos 1,1tan cos αααα+=+= （2）商数关系：sin tan cos ααα=（用于切化弦） ※平方关系一般为隐含条件，直接运用。
注意“1”的代换4.三角函数的诱导公式诱导公式（把角写成απ±2k 形式，利用口诀：奇变偶不变，符号看象限）Ⅰ）⎪⎩⎪⎨⎧=+=+=+x x k x x k x x k tan )2tan(cos )2cos(sin )2sin(πππ Ⅱ）⎪⎩⎪⎨⎧-=-=--=-x x x x x x tan )tan(cos )cos(sin )sin( Ⅲ） ⎪⎩⎪⎨⎧=+-=+-=+x x x x x x tan )tan(cos )cos(sin )sin(πππ Ⅳ）⎪⎩⎪⎨⎧-=--=-=-x x x x x x tan )tan(cos )cos(sin )sin(πππ Ⅴ）⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-=-ααπααπsin )2cos(cos )2sin( Ⅵ）⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=+=+ααπααπsin )2cos(cos )2sin(5.特殊角的三角函数值6.三角函数的图像及性质sin y x =cos y x = tan y x =图像定义域 R R,2x x k k Z ππ⎧⎫≠+∈⎨⎬⎩⎭值域[]1,1-[]1,1-R最值当22x k ππ=+()k Z ∈时，max 1y =；当22x k ππ=-()k Z ∈时，当()2x k k Z π=∈时，max 1y =；当2x k ππ=+()k Z ∈时，min 1y =-．既无最大值也无最小值度0 30 45 6090 120 135 150 180︒270360弧度0 6π 4π 3π 2π 23π 34π 56π π32π 2π sin α1222 32132 22121cos α132 221212- 22-32-1- 0 1tan α 0 331 3无3- 1-33-无7.函数sin()y A x ωϕ=+图象的画法： ①“五点法”――设X x ωϕ=+，令X ＝0，3,,,222ππππ求出相应的x 值，计算得出五点的坐标，描点后得出图象； ②图象变换法：这是作函数简图常用方法。
第3讲 三角变换和解三角形
第3讲 三角变换和解三角形基本知识点1、两角和与差的正弦、余弦、正切公式及逆用；2、二倍角的正弦、余弦、正切公式及逆用；3、正弦定理、余弦定理的灵活运用；4、面积公式：基础题演练1、已知32sin =α，则)2cos(απ-等于 。
2、在△ABC 中，则060,10,15===A b a ，则=B cos 。
3、若54cos )cos(sin )sin(=---ββαββα，且α是第二项限角，则)4tan(απ+等于 。
4、若x x f 2cos 3)(sin -=，则)(cos x f 等于 。
5、在△ABC 中，1,600==b A ，其面积为3，则等于CB A cb a sin sin sin ++++等于 。
考点、热点、难点突破题型一 三角函数综合试题【例1】（2010年湖北）已知函数412sin 21)(),3cos()3cos()(-=-⋅+=x x g x x x f ππ（1）求函数)(x f 的最小正周期（2）求函数)()()(x g x f x h -=的最大值，并求)(x h 使取得最大值的x 的集合。
变式训练1已知函数)4sin()4sin(sin )cot 1()(2ππ-+++=x x m x x x f（1）当m=0时，求)(x f 在区间⎥⎦⎤⎢⎣⎡43,8ππ上的取值范围； （2）当2tan =α时，53)(=αf 求m 的值。
题型二 实际应用【例2】如图，a 是海面上一条南北方向的海防警戒线，在a 上点A 处有一个水声监测点，另两个监测点B 、C 分别在A 的正东方向20km 处和54km.某时刻，监测点B 收到发自静止目标P 的一个声波，8s 后监测点A 、20s 后监测点C 相继收到这一信号，在当时气象条件下，声波在水中的传播速度是1.5km/s.（1）设A 和P 的距离为xkm,用x 表示B 、C 到P 的距离，并求x 的值；（2）求静止目标p 到海防警戒线a 的距离（精确到0.01km ）.a变式训练2某人在塔的正东方沿南偏西600的道路前进40m 后，望见塔在东北方向上，若沿途测得塔的最大 仰角为300，求塔高题型三 三角形面积计算【例3】在△ABC 中，已知3,2π==C c 。
高考微点六 三角恒等变换与解三角形
高考微点六 三角恒等变换与解三角形牢记概念公式，避免卡壳1.三角恒等变换的主要公式 sin(α±β)＝sin αcos β±cos αsin β； cos(α±β)＝cos αcos β∓sin αsin β； tan(α±β)＝tan α±tan β1∓tan αtan β；sin 2α＝2sin αcos α；cos 2α＝cos 2α－sin 2α＝2cos 2α－1＝1－2sin 2 α； tan 2α＝2tan α1－tan 2α.2.正弦定理与余弦定理 (1)正弦定理①a ＝2R sin A ，b ＝2R sin B ，c ＝2R sin C . ②sin A ＝a 2R ，sin B ＝b 2R ，sin C ＝c2R . ③a ∶b ∶c ＝sin A ∶sin B ∶sin C . 注：R 是三角形的外接圆半径. (2)余弦定理①cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ，cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ， cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab .②b 2＋c 2－a 2＝2bc cos A ，a 2＋c 2－b 2＝2ac cos B ， a 2＋b 2－c 2＝2ab cos C .活用结论规律，快速抢分1.辅助角公式a sin α＋b cos α＝a 2＋b 2sin(α＋φ)⎝ ⎛⎭⎪⎫其中tan φ＝b a .2.在△ABC 中，A >B ⇔sin A >sinB.3.△ABC 的面积S ＝12ab sin C ＝12ac sin B ＝12bc sin A . 4.设a ，b ，c 分别为△ABC 的内角A ，B ，C 的对边，则 (1)若a 2＋b 2＝c 2，则C ＝π2；(2)若a 2＋b 2>c 2，则C <π2； (3)若a 2＋b 2<c 2，则C >π2.高效微点训练，完美升级1.若sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－α＝13，则2cos 2⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＋α2－1＝( )A.13 B.－13 C.79D.－79解析 2cos 2⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＋α2－1＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＋α＝cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2－⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－α＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－α＝13. 答案 A2.已知sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋α＝12，－π2<α<0，则cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π3的值为( )A.12 B.23 C.－12D.1解析 由题意得cos α＝12，sin α＝－32， ∴cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π3＝12cos α＋32sin α＝－12.答案 C3.已知△ABC 中，A ＝π6，B ＝π4，a ＝1，则b 等于( ) A.2 B.1 C. 3D. 2解析 由正弦定理a sin A ＝b sin B ，得1sin π6＝bsin π4，∴112＝b22，∴b ＝ 2.答案 D4.sin 10°1－3tan 10°＝( ) A.14 B.12 C.32 D.1解析sin 10°1－3tan 10°＝sin 10°cos 10°cos 10°－3sin 10°＝2sin 10°cos 10°4⎝ ⎛⎭⎪⎫12cos 10°－32sin 10°＝sin 20°4sin （30°－10°）＝14.答案 A5.在△ABC 中，三边长分别为a ，a ＋2，a ＋4，最小角的余弦值为1314，则这个三角形的面积为( ) A.154 3 B.154 C.214 3D.354 3解析 由条件知长为a 的边对应的角最小，设为A ，则由余弦定理，得cos A ＝（a ＋2）2＋（a ＋4）2－a 22（a ＋2）（a ＋4）＝1314，解得a ＝3或a ＝－2(舍去)，则三边长分别为3，5，7，且sin A ＝3314，所以△ABC 的面积S ＝12×5×7×3314＝1534. 答案 A6.△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且sin A sin B ＋sin C ＋ba ＋c＝1，则C＝( ) A.π6 B.π3 C.2π3D.5π6解析 由正弦定理及sin A sin B ＋sin C ＋b a ＋c ＝1，得a b ＋c ＋ba ＋c＝1，整理可得a 2＋b 2－c 2＝ab .由余弦定理知cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab ，所以cos C ＝12，又C ∈(0，π)，所以C ＝π3，故选B. 答案 B7.已知3cos 2α＝4sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α，α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，π，则sin 2α＝( )A.79 B.－79 C.19D.－19解析 由题意知3(cos 2α－sin 2α)＝22(cos α－sin α).由于α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，π，因而cos α≠sin α，则3(cos α＋sin α)＝22，故9(1＋sin 2α)＝8，sin 2α＝－19. 答案 D8.在△ABC 中，AB ＝2，C ＝π6，则AC ＋3BC 的最大值为( ) A.7 B.27 C.37D.47解析 在△ABC 中，AB ＝2，C ＝π6， 则AB sin C ＝BC sin A ＝ACsin B ＝4， 则AC ＋3BC ＝4sin B ＋43sin A＝4sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π6－A ＋43sin A ＝2cos A ＋63sin A＝47sin(A ＋θ)(其中tan θ＝39). 所以AC ＋3BC 的最大值为47. 答案 D9.若点(θ，0)是函数f (x )＝sin x ＋2cos x 图象的一个对称中心，则cos 2θ＋sin θcos θ＝( ) A.1110 B.－1110 C.1D.－1解析 ∵点(θ，0)是函数f (x )＝sin x ＋2cos x 图象的一个对称中心， ∴sin θ＋2cos θ＝0，即tan θ＝－2.∴cos 2θ＋sin θcos θ＝cos 2θ－sin 2θ＋sin θcos θsin 2θ＋cos 2θ＝1－tan 2θ＋tan θtan 2θ＋1＝1－4－24＋1＝－1. 答案 D10.已知tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－5π4＝15，则tan α＝____________.解析 tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－5π4＝tan α－tan 5π41＋tan αtan 5π4＝tan α－11＋tan α＝15，解得tan α＝32. 答案 3211.如图，某住宅小区的平面图呈圆心角为120°的扇形AOB ，C 是该小区的一个出入口，且小区里有一条平行于AO 的小路CD .已知某人从O 沿OD 走到D 用了2分钟，从D 沿DC 走到C 用了3分钟.若此人步行的速度为每分钟50米，则该扇形的半径为________米.解析 连接OC ，由题意知CD ＝150米，OD ＝100米，∠CDO ＝60°.在△COD 中，由余弦定理得OC 2＝CD 2＋OD 2－2CD ·OD ·cos 60°，即OC ＝507. 答案 50712.(多填题)已知θ是第四象限角，且sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π4＝35，则sin θ＝________；tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π4＝________.解析 由题意，sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π4＝35，cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π4＝45，∴⎩⎪⎨⎪⎧sin θ·cos π4＋cos θsin π4＝35，cos θcos π4－sin θsin π4＝45，解得⎩⎪⎨⎪⎧sin θ＝－152，cos θ＝752，∴tan θ＝－17，tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π4＝tan θ－tan π41＋tan θtanπ4＝－17－11－17×1＝－43.答案 －210 －4313.已知角α的顶点与原点O 重合，始边与x 轴的非负半轴重合，它的终边过点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫－35，－45. (1)求sin(α＋π)的值；(2)若角β满足sin(α＋β)＝513，求cos β的值. 解 (1)由角α的终边过点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫－35，－45，得sin α＝－45，所以sin(α＋π)＝－sin α＝45.(2)由角α的终边过点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫－35，－45，得cos α＝－35，由sin(α＋β)＝513，得cos(α＋β)＝±1213.由β＝(α＋β)－α得cos β＝cos(α＋β)cos α＋sin(α＋β)sin α，所以cos β＝－5665或cos β＝1665.14.△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知(a＋2c)cos B＋b cos A＝0.(1)求B；(2)若b＝3，△ABC的周长为3＋23，求△ABC的面积.解(1)由已知及正弦定理得(sin A＋2sin C)cos B＋sin B cos A＝0，(sin A cos B＋sin B cos A)＋2sin C cos B＝0，sin(A＋B)＋2sin C cos B＝0，又sin(A＋B)＝sin C，且C∈(0，π)，sin C≠0，∴cos B＝－12，∵0<B<π，∴B＝23π.(2)由余弦定理，得9＝a2＋c2－2ac cos B. ∴a2＋c2＋ac＝9，则(a＋c)2－ac＝9.∵a＋b＋c＝3＋23，b＝3，∴a＋c＝23，∴ac＝3，∴S△ABC ＝12ac sin B＝12×3×32＝334.。
三角函数三角变换及解三角形
其中a2 a1 a4 a3 a2008 a2007 1004d 31004. b2 b1 b4 b3 b2008 b2007
b2 b4 b2008 b1 b3 b2007
6 1
1
1004
4
1 1
121
1
1004
4
函数,且函数y f x图象的两相邻对称轴间的距离为 .
2
1求f ;
8
2将函数y f x的图象向右平移 个单位后,再将得到的图象上
6
各点的横坐标伸长到原来的4倍,纵坐标不变化,得到函数y gx 的图象, 求g x 的单调递减区间.
解: 1 f x 3 sinx cosx
2
3 2
sinx
三角函数、三角变换及解三角形
一、三角函数的概念及基本关系式
例如图在平面直角坐标系xoy中,以ox轴为始边作两个锐角, ,它们
的终边分别与单位圆交于A, B两点,已知A, B的横坐标分别为 2 , 2 5 . 10 5
1求 tan 的值;
2求 2的值.
解 : 1由已知条件及三角函数的定义知: cos 2 , cos 2 5 ,
1设方程f x1 0在0, 内有两个零点x1, x2,求x1 x2的值; 2若把函数y f x的图象向左平移mm 0个单位使所得函数的
图象关于点0,2对称, 求m的最小值.
2设y f x图象向左平移m个单位,得到函数gx的图象,
则gx 2 cos 2x 2m 2,
4
y gx的图象关于0,2对称,2m k , k Z,
C.
3 1002,41
1 4
1002
D.
3
1004,41
1 4
1004
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第2讲 三角变换与解三角形
一、选择题
1．(2010·福建卷)计算1－2sin 222.5°的结果等于 ( ) A.12 B.22 C.33 D.32 解析：1－2sin 222.5°＝cos 45°＝22
. 答案：B
2．已知tan θ＝2，则sin 2θ＋sin θcos θ－2cos 2θ＝ ( ) A ．－43 B.54 C ．－34 D.45
解析：sin 2θ＋sin θ·cos θ－2cos 2θ＝sin 2θ＋sin θcos θ－2cos 2θsin 2θ＋cos 2θ＝tan 2θ＋tan θ－2
tan 2θ＋1，又
tan θ＝2，故原式＝4＋2－24＋1＝45.
答案：D
3．已知锐角△ABC 的面积为33，BC ＝4，CA ＝3，则角C 的大小为 ( ) A ．75° B ．60° C ．45° D ．30° 解析：由题知，12×4×3×sin C ＝33，∴sin C ＝3
2.
又0<C <π2，∴C ＝π
3.
答案：B
4．(2010·威海模拟)已知方程
x 2＋4ax ＋3a ＋1＝0(a >0)的两根为
tan α、tan β，且α、β∈
⎝ ⎛⎭
⎪⎫－π2，π2，则tan
α＋β2
的值是
( )
A.12 B ．－2 C.43 D.1
2或－2
解析：∵a >0，∴tan α＋tan β＝－4a <0，tan α·tan β＝
3a ＋1>0，又∵α、β∈⎝ ⎛⎭
⎪⎫－π2，π2，
∴α、
β∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，0，则α＋β2∈⎝ ⎛⎭⎪⎫
－π2，0，∴tan(α＋β)＝
tan α＋tan β
1－tan α·tan β＝－4a
1－(3a ＋1)
＝
43
，∴tan(α＋β)＝2tan
α＋β
2
1－tan
2
α＋β
2
＝4
3，整理得2tan 2α＋β2＋3tan α＋β2－2＝0，解得tan α＋β2
＝－2或1
2
(舍去)．故选B.
答案：B
5．(2010·北京卷)某班设计了一个八边形的班徽(如图)，它
由腰长为1，顶角为α的四个
等腰三角形，及其底边构成的正方形所组成．该八
边形的面积为 ( )
A ．2sin α－2cos α＋2
B ．sin α－3cos α＋3
C ．3sin α－3cos α＋1
D ．2sin α－cos α＋1 解析：等腰三角形的面积为12×1×1·sin α＝1
2sin α，
等腰三角形的底边长为a ＝12＋12－2×1×1×cos α
＝
2－2cos α，所以八边形面积为：4×1
2
sin α＋a 2
＝2sin α＋2－2cos α. 答案：A 二、填空题
6．(2010·北京卷)在△ABC 中，若b ＝1，c ＝3，∠C ＝2π
3，则a ＝________.
解析：由正弦定理b sin B ＝c sin C ，即1sin B ＝3sin 2π3，sin B ＝12，又b <c ，∴∠B ＝π
6
.
∴∠A ＝π
6.∴a ＝1.
答案：1 7．已知△ABC
的三个内角A ，B ，C 满足cos A (sin B ＋cos
B )＋cos
C ＝0，则∠A ＝________.
解析：由题意得
cos A (sin B ＋cos B )－cos(A ＋B )＝0，整
理得sin B (cos A ＋sin A )＝0，
因为sin B >0，所以cos A ＋sin A ＝0，tan A ＝－1，
又A ∈(0，π)，所以∠A ＝3π
4
.
答案：34
π
8．某工程设计员为了测量某地的地势，向正东方向走了x 千米后，他向右转150°，然 后朝新方向走了3千米，这时他距离出发点恰好为3千米，则x 的值为________．
解析：如图，设此人从A 出发，则AB ＝x ，BC ＝3，AC ＝3，∠ABC ＝30°，由正 弦定理得BC sin ∠CAB ＝AC sin 30°，故∠CAB ＝60°或120°，当∠CAB ＝60°时，∠ACB ＝
90°，AB ＝23；当∠CAB ＝120°时，∠ACB ＝30°，故AB ＝ 3. 答案：23或3
9．(2010·江苏卷)在锐角△ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c .若b a ＋a
b ＝6cos C ，
则tan C tan A ＋tan C tan B
的值是________． 解析：∵b a ＋a
b ＝6cos C ，由余弦定理得a 2＋b 2ab ＝6·a 2＋b 2－
c 22ab ，∴a 2＋b 2＝32
c 2，
∴tan C tan A ＋tan C tan B ＝
sin C cos C ⎝ ⎛⎭⎪⎫
cos A sin A ＋cos B sin B ＝sin C cos C ·sin C sin A sin B
＝c 2ab ·
a 2＋
b 2－
c 22ab
＝2c 2
a 2＋
b 2－
c 2
＝
2c 2
32c 2－c 2＝4.
答案：4 三、解答题
10．(2010·辽宁卷)在△ABC中，a，b，c分别为内角A，B，C的对边，且2a sin A＝
(2b＋c)sin B＋(2c＋b)sin C.
(1)求A的大小；
(2)若sin B＋sin C＝1，试判断△ABC的形状．
解：(1)由已知，根据正弦定理得2a2＝(2b＋c)b＋(2c ＋b)c，即a2＝b2＋c2＋bc，由
余弦定理得a2＝b2＋c2－2bc cos A，
故cos A＝－1
2，A＝120°.
(2)由(1)得sin2A＝sin2B＋sin2C＋sin B sin C.
又sin B＋sin C＝1，得sin B＝sin C＝1 2.
因为0°<B<90°，0°<C<90°，故B＝C. 所以△ABC是等腰的钝角三角形．
11．(2010·天津卷)在△ABC中，AC
AB＝
cos B
cos C.
(1)证明B＝C；
(2)若cos A＝－1
3，求sin⎝
⎛
⎭
⎪
⎫
4B＋
π
3的值．
(1)证明：在△ABC中，由正弦定理及已知得sin B sin C＝
cos B
cos C
.于是sin B cos C －cos B sin C ＝0， 即sin(B －C )＝0.
因为－π<B －C <π，从而B －C ＝0. 所以B ＝C .
(2)解：由A ＋B ＋C ＝π和(1)得A ＝π－2B ， 故cos 2B ＝cos(π－A )＝－cos A ＝1
3
.
又0<2B <π，于是sin 2B ＝1－cos 2
2B ＝22
3
.
从而sin 4B ＝2sin 2B cos 2B ＝42
9，
cos 4B ＝cos 2
2B －sin 2
2B ＝－7
9
.
所以sin ⎝⎛⎭⎫4B ＋π3＝sin 4B cos π3＋cos 4B sin π3 ＝42－73
18
.
12．已知向量m ＝(－1，cos ωx ＋3sin ωx )，n ＝(f (x )，cos ωx )，其中ω>0，且m ⊥n ，
又函数f (x )的图象任意两相邻对称轴间距为3
2π.
(1)求ω的值；
(2)设α是第一象限角，且f ⎝⎛⎭⎫32α＋π2＝23
26，求sin ⎝⎛⎭
⎫α＋π
4cos ()4π＋2α的值． 解：(1)由题意得m ·n ＝0，所以，
f (x )＝cos ωx ·(cos ωx ＋3sin ωx )＝1＋cos 2ωx 2＋3sin 2ωx
2
＝sin ⎝⎛⎭⎫2ωx ＋π6＋12
根据题意知，函数f (x )的最小正周期为3π， 又ω>0，所以ω＝1
3
(2)由(1)知f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫23x ＋π6＋1
2
所以f ⎝⎛⎭⎫32α＋π2＝sin ⎝⎛⎭⎫α＋π2＋12＝cos α＋12＝23
26 解得cos α＝5
13
因为α是第一象限角，故sin α＝12
13
，
所以sin ⎝⎛⎭
⎫α＋π
4cos (4π＋2α)＝sin ⎝⎛⎭
⎫α＋π
4cos 2α＝22(cos α－sin α)
＝－13
14 2.。