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圆锥的体积推导过程和体积公式
圆锥的体积推导过程如下：
首先，考虑一个圆柱，其底面半径为r，高为h。
这个圆柱的体积公式是V_柱= πr^2h。
然后，考虑一个与这个圆柱等底等高的圆锥。
为了求这个圆锥的体积，我们可以尝试使用“切割法”。
想象将圆锥沿其高切成无数个薄片，每个薄片都是一个圆环。
当这些薄片叠加起来时，它们就构成了圆锥。
现在，考虑这些薄片中的一个，其厚度为Δh。
这个薄片的体积（即圆环的体积）可以近似为πr^2Δh。
由于圆锥是由无数个这样的薄片组成的，因此，圆锥的体积可以近似为无数个这样的薄片的体积之和，即：
V_锥≈ πr^2Δh + πr^2Δh + ... + πr^2Δh
由于薄片数量非常多，Δh非常小，因此可以将上式简化为：
V_锥≈ πr^2 × (h/Δh) × Δh
这里，h/Δh是薄片的数量，因此上式可以进一步简化为：
V_锥≈ πr^2h
这就是圆锥的体积公式。
需要注意的是，这个公式是通过近似方法推导出来的，但在实际应用中，它提供了足够精确的结果。
所以，圆锥的体积公式为：V = (1/3)πr^2h，其中r为底面半径，h 为高。
【课件】圆柱、圆锥、圆台的表面积与体积+课件高一下学期数学人教A版(2019)必修第二册
设圆台的上底面面积为S'，下底面面积为S
r O
1
1
2
2
2
2
V圆台 (r r r r )h ( S S S S )h
3
3
1
这和V棱台 ( S S S S )h是一致的。
3
1
因而得 V台体 = ( S S S S )h
3
【练习】 如图，在直角梯形 ABCD 中，BC∥AD，∠ABC＝90°，AB＝5，
1
V锥体 Sh
3
1 2
r h
3
1
V台体 = ( S SS S )h
3
1
= h(r 2 rr r 2 )
3
2
感谢聆听
S圆柱 =πr +πr +2πrl 2πr (r l )
2
2
(1)圆柱的表面积、体积
圆柱的侧面展开图是什么？如何计算它的表面积？
r O
l
2 r
O
圆柱的侧面展开图是一个矩形，
S圆柱表面积 2r 2rl 2r (r l ).
2
V圆柱 = πr h
2
例1 将一个边长分别为4π，8π的矩形卷成一个圆柱的侧面，则
圆台的表面积为(
A．81π
)
B．100π
C．168π
D．169π
解 圆台的轴截面如图所示，
设上底面半径为 r，下底面半径为 R，则它的母线长为
l＝ h2＋R－r2＝ 4r2＋3r2＝5r＝10，
所以 r＝2，R＝8。
故 S 侧＝π(R＋r)l＝π(8＋2)×10＝100π，
S 表＝S 侧＋πr2＋πR2＝100π＋4π＋64π＝168π。故选 C。
高中圆锥体积公式推导过程
高中圆锥体积公式推导过程
圆锥体的体积由圆柱推导而来，设h为圆台的高，r和r为棱台的上下底面半径，v 为圆台的体积。
由于圆台是由一个平面截去圆锥的一部分（也就是和原来圆锥相似的一个小圆锥）得到，所以计算体积的时候，可以先算出原来圆锥的体积。
再减去和它相似的小圆锥的体积。
圆锥是一种几何图形，有两种定义。
解析几何定义：圆锥面和一个截它的平面（满足交线为圆）组成的空间几何图形叫圆锥。
立体几何定义：以直角三角形的直角边所在直线为旋转轴，其余两边旋转度而成的曲面所围成的几何体叫做圆锥。
旋转轴叫做圆锥的轴。
垂直于轴的边旋转而成的曲面叫做圆锥的底面。
不垂直于轴的边旋转而成的曲面叫做圆锥的侧面。
无论旋转到什么位置，不垂直于轴的边都叫做圆锥的母线。
（边是指直角三角形两个旋转边）。
圆锥体积计算公式推导过程
圆锥体积计算公式推导过程
圆锥体的体积可以通过积分求解。
我们以从顶点到底面的高度为y，底面半径为r的圆锥体为例来推导。
首先，我们可以将圆锥体截成无数个小圆片，然后将这些圆片依次叠加起来，最后可以得到整个圆锥体的体积。
考虑一个高度为y的小圆片，它的厚度可以假设为dy，那么这个小圆片的体积可以近似表示为：dV = πr^2 dy。
然后，我们需要将所有的小圆片叠加起来。
由于底面半径r和高度y之间存在一定的关系，因此我们需要找到这个关系。
根据圆锥体的几何性质，可以得到r和y之间的关系：r = k * y，其中k是一个常数。
将这个关系代入到小圆片的体积公式中，可以得到：dV = π(k * y)^2 dy。
最后，我们需要将所有的小圆片叠加起来，从y = 0到y = h （h是圆锥体的高度），并对dV进行积分，即可得到整个圆锥体的体积：
V = ∫[0, h] dV = ∫[0, h] π(k * y)^2 dy。
对这个积分进行计算，可以得到圆锥体的体积公式：
V = πk^2 ∫[0, h] y^2 dy = πk^2 * (1/3) * h^3。
综上，圆锥体的体积公式为V = πk^2 * (1/3) * h^3。
其中，k 是底面半径和高度之间的关系常数，h是圆锥体的高度。
圆锥的体积公式推导过程
圆锥的体积公式推导过程首先，我们定义一个圆锥。
一个圆锥由一个圆面和一个尖端相连而成。
假设圆锥的高度为h，圆锥的底面半径为r。
为了推导圆锥的体积公式，我们可以使用积分的方法。
具体步骤如下：1.将圆锥切割为许多薄的平行模块。
我们将圆锥切割成无数个平行的圆柱体，每个圆柱体都是一样高，并且底面半径从r逐渐减小到0。
这些圆柱体的高度都为dh，并且每个圆柱体的底面半径可以表示为r(h)，其中h为该圆柱体的高度。
2.计算每个圆柱体的体积。
每个圆柱体的体积可以表示为V(h) = π[r(h)]^2dh，其中π为圆周率。
由于圆柱体的底面半径随着高度h的变化而变化，所以我们将底面半径表示为r(h)。
3.将所有圆柱体的体积相加。
我们可以通过对每个薄模块的体积进行积分来计算整个圆锥的体积。
整个圆锥的体积可以表示为V=∫[V(h)]。
4.计算积分。
我们需要找到r(h)的表达式。
根据圆锥的几何特征，可以使用类似于相似三角形的方法来推导r(h)和h的关系。
由相似三角形可得r(h)/h=r/h。
通过移项得到r(h)=r/h*h。
将r(h)的表达式带入圆柱体的体积公式V(h) = π[r(h)]^2dh中，得到V(h) = π[(r/h * h)]^2dh，整理得V(h) = (π * r^2 * h) dh。
将V(h)代入整个圆锥的体积公式V = ∫[V(h)]中，得到V = ∫[(π * r^2 * h)] dh，对h积分的上下限为0到h。
进行积分运算，得到V = ∫[0,h] (π * r^2 * h) dh。
计算该积分，得到V = π * r^2 * ∫[0,h] h dh。
对h求积分得到V=π*r^2*1/2*[h^2][0,h]。
将上限和下限的值代入得到V=π*r^2*1/2*(h^2-0^2)。
化简得到V=π*r^2*1/2*h^2=1/3*π*r^2*h^2通过以上推导过程，我们得到了圆锥的体积公式V=1/3*π*r^2*h^2、这个公式可以被用来计算任意圆锥的体积。
圆锥ppt课件
在工程设计中的应用
圆锥在工程设计中也有着广泛的 应用，例如桥梁的设计、隧道的
设计等。
圆锥的形状和性质在工程设计中 有着重要的意义，例如圆锥的稳
定性、抗压性等。
圆锥在水利工程、土木工程等领 域也有着实际的应用，例如在设 计水坝、大坝等工程时，需要考
虑圆锥形的结构稳定性。
05
圆锥的相关公式与定理
圆锥的母线
利用手工绘制圆锥的草图
绘制底面
使用圆规和直尺，绘制出一个 圆形作为圆锥的底面。
连接底面和侧面
使用直尺或曲线板，将侧面与 底面平滑连接起来，得到圆锥 的草图。
准备工具
准备好纸、笔、圆规、直尺等 手工绘图工具。
绘制侧面
以底面圆心为顶点，用直尺绘 制出一个等腰三角形，作为圆 锥的侧面。
调整草图
可以使用橡皮等工具对草图进 行修改和调整，使其更加符合 要求。
圆锥的侧面积可以通过公式 S = πrl 来计算，其 中 r 是底面半径，l 是母线长度。
侧面积公式的推导
侧面积公式是由圆的周长公式和圆锥的侧面展开 图推导而来的。
3
侧面积的应用
圆锥的侧面积在几何学、工程、艺术等领域都有 广泛的应用。
圆锥的全面积
全面积公式
圆锥的全面积可以通过公式 S_total = πrl + πr² 来计算，其中 r 是底面半径，l 是母线长度。
06
圆锥的绘制方法
利用几何软件绘制圆锥
确定底面半径
首先需要确定圆锥的底面半径，可以使用几何软件中的测 量工具进行测量。
绘制圆
在几何软件中，选择画圆工具，并确定圆心和半径，绘制 出一个圆形。
绘制圆锥
选择画三角形工具，以圆心为顶点，绘制出一个等腰三角 形，然后选择“合并形状”工具，将三角形与圆形进行合 并，得到圆锥的侧面。
圆锥体积推导过程
圆锥体积推导过程
一、圆锥体积推导过程
圆锥体是一种三维的几何体，它是由一个圆锥和一个圆台组成的，有时也叫作立体圆锥，顶点指向底面中心的一条轴线称为圆锥轴，下面介绍一下圆锥体体积的推导过程：
（1）圆锥体的体积公式：
V= 1/3πRh，其中，R为圆锥的底面半径，h为圆锥的高度。
（2）圆锥体的体积求解：
1）先把圆锥按圆锥轴分割成两部分，其中一部分是一个圆台，另一部分则是一个圆锥；
2）由于一个圆台的体积可以表示为：V=1/2πRh，因此可以把圆锥体的体积表示为：V=1/2πRh + 1/3πRh；
3）将上式代入圆锥体的体积公式，可以得出最终的结果：
V=1/3πRh。
二、结论
通过上述的推导过程，我们得出了圆锥体体积的公式：
V=1/3πRh。
它表明，圆锥体的体积与其底面半径和高度成正比。
人教版六年级数学下册第三单元第10课《圆锥 》整理复习课件
明明把一块底面周长是18.84cm，高5cm的圆柱体橡皮泥 捏成一个底面直径是8cm的圆锥体，这个圆锥体的高是多 少厘米？（得数保留一位小数）
圆柱体变成圆锥体，形状变了，前后体积没变。 Ⅴ锥 = V 柱
18.84÷3.14÷2=3（cm） 3×3.14×32×5÷[3.14×（8÷2）2 =423.9÷50.24 ≈8.4（cm） 答：圆锥体的高是8.4cm。
利用圆锥的体积公式计算 2．计算下面各圆锥的体积。
13×36×5＝60(cm3)
3.14×42×12×13＝200.96(cm3) 3.14×(4÷2)2×5.4×13＝22.608(cm3)
圆锥体积公式的逆用
3．(易错题)一个圆柱形铁块，底面半径是2 cm，高是 12 cm。将这个圆柱形铁块熔铸成一个底面半径是 4 cm的圆锥，圆锥的高是多少厘米？ 3.14×22×12＝150.72(cm3) 150.72×3÷3.14÷42＝9(cm) 答：圆锥的高是9 cm。
1000×25%=250（万立方米）
250＞200
答：该日该地区总降水为1000万立方米。
这些雨水的25%能满足绿化所需。
这节课你们都学会了哪些知识？
速记宝典
圆锥体积容易算，它与圆柱有关联。 等底等高不能忘，三分之一记心间。 题中条件亮红灯，单位一致需看清。 计算一定要仔细，这样才能出成绩。
圆锥的特点
3 圆柱与圆锥
练习六
圆柱和圆锥的关系
当圆柱的上底面的面积等于0时，就变成了圆锥。
圆锥体积的推导
圆锥的体积等于与它等底 等高圆柱体积的三分之一。
圆锥的体积= 13× 底面积×高
Ⅴ 圆锥 =
13Ⅴ
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判断：
1、圆柱体的体积一定比圆锥体的体积大（ × ）
2、圆锥的体积等于和它等底等高的圆柱体的 13。
（）
√
3、正方体、长方体、圆锥体的体积都等于底面积
×高。
（× ）
4、一个圆柱体木料，把它加工成最大的圆锥体，削去的部分的体
▪
B. 圆锥的体积是圆柱体积的——。
▪
C. 圆柱的体积比圆锥体积——。
▪
D. 圆锥的体积比圆柱体积——。
▪
E. 圆柱与圆锥体积之比是——。
▪
F. 圆锥与圆柱体积之比是——。
要求圆锥的体积，必须知道
哪两个条件？为什么要乘
1 3
?
主页
例1
V＝31 sh
1 3
×19×12＝76（立方厘米）
答：这个零件的体积是76立方厘米。
顶点 有一个顶点 侧面 展开后是扇形
高 只有一条
底面 有一个底面，是圆形
锥在生活中的应用
圆锥形铅锤
圆 锥 在 生 活 中 的 应 用
小实验
等底等高圆柱和圆锥的体积
之间存在着怎样的关系?
等底等高圆柱和圆锥的体积
之间存在着怎样的关系?
想一想，讨论一下：
通过刚才的实验，你发 现了什么？
实验报告表
积和圆锥的体积比是2 ：1．
（√ ）
5、把一个圆柱木块削成一个最大的圆锥，
应削去圆柱的
2。 （ ）
3
6、一个圆锥，底面积是6平方厘米，高
是10厘米，体积是60立方厘米。 （ ）
（3）一个圆柱和一个圆锥等底等高，体
积相差8立方厘米，圆锥的体积是12立方
厘米．
（）
丰收的喜悦
一堆大米，近似于圆锥形，量得 底面周长是18.84厘米，高6厘米。 它的体积是多少立方厘米？
1、同桌说一说圆柱体积的计算公式。 (1)已知 s、h 求 v
(2)已知 r、圆h柱公式求 复v 习
(3)已知 d、h 求 v (4)已知 C、h 求 v
计算体积 主页
只列式
（1）底面积是15平方厘米，高是4厘米。 （2）底面半径是2分米，高是5分米。 （3）底面直径是6米，高是2米。 （4）底面周长是6.28分米，高10分米。
1 3
r2h
1 3
d 2
2
h
1 3
2 2
2
3
3.14dm3
(4) 底面周长是6.28dm,高是3dm.
C
V
2
1 sh 3
r
1 3
r
r2h 1
3
C
2 C
2
2
h
1 3
6.28 2 3.14
2
3
V
1
3
d 2
2
h
V
1h
3.14dm3
巩 固 练 习练习1
1、求下面各圆锥的体积。 (2)底面半径是2 厘米，高3厘米。 (3)底面直径是6分米，高6分米 。
实验器材
实验一报桶沙告、表等底等高
的圆柱和圆锥各一个
实验过程
结论 圆锥体积 计算公式
① 在 空 圆 柱 里 装 ① 在空圆锥里装
3 3 满沙倒入空圆锥里， 满沙倒入空圆柱
（ ）次正好倒 里，（ ）次
完。
正好装满。
②圆柱的体积是 和它（等底等高 ）
的圆锥体积的
（3）倍。
②圆锥的体积是
和它（ 等底等高）
如果每立方米大米重500千克， 这堆大米有多少千克？
有一根底面直径是6厘米，长是10厘米的圆 柱形钢材，要把它削成与它等底等高的圆锥形 零件。要削去钢材多少立方厘米？
10厘米
6厘米
▪ 通过这节课的学习，你学 会了什么？
用什么方法获取的？
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巩 固 练 习练习2
2、求下面各圆锥的体积。（单位：厘米）
（1）
（2）
7
8 10
3
1 2 3 主页
思 考：
1、一个圆锥与一个圆练柱习等底3等好高，
已知圆锥的体积是 8 立方米， 圆柱的体积是（ 24立方米 ）。
2、一个圆锥与一个圆柱等底等体积， 已知圆柱的高是 2 厘米， 圆锥的 高是（ 6 厘米 ）。
的圆柱体积的 (
(
1 3
) )
V＝
1 3
S
h
圆锥的体积V等于和它等底等高 的圆柱体积的三分之一
V圆柱＝sh
V＝
1 3
sh
圆锥的体积等于和它等底等高 的圆柱体积的三分之一
V＝
1 3
sh
考考你：
▪ 已知一个圆柱体和一个圆锥体的底面积相等, 高也相等，圆柱的体积和圆锥体积的关系是：
▪
A. 圆柱的体积是圆锥体积的——。
1、说一说圆锥有哪些特征？
（（12） ）顶 底部 面： ：尖 是顶一；个圆圆锥； 特征
（3）侧面：是一个曲面（展开是一个扇形）； （4）底面圆周上任一点与顶点之间的距离都相等。 （5）高只有一条。
主页
说出圆柱和圆锥各部分的名称及特征：
高 有无数条 侧面 展开后是长方形或正方形 底面 有两个底面，是相等的圆形
求下列圆锥的体积:
(1) 底面积是3.14dm,高是3dm.
V 1 sh 1 3 3.14dm3 33
V 1 sh 3
(2)s底面半r 2径是1dm,高是3dm.
V 1r2h
3
V
1 3
sh
1
3
r 2h
1
3
12
3
3.14dm3
(3) 底面直径是2dm,高是3dm.
d
r
V
2
1 sh 3
求圆锥的体积，还可能出现哪些 情况？在这些情况下，分别怎样求圆 锥的体积？
想一想 主页
V
=
1 3
sh
必要条件
计算圆锥的体积所必须的条件可以是：
底面积和高 底面半径和高 底面直径和高 底面周长和高
圆锥体积
选择笔练：
S=3.14平方米 R=1米 D=2米 C=6.28米
H=3米 H=3米 H=3米 H=3米