平抛运动和圆周运动典型例题

平抛运动、圆周运动
一、 平抛运动
1、定义：平抛运动是指物体只在重力作用下，从水平初速度开始的运动。

2、条件：
a 、只受重力；
b 、初速度与重力垂直．
3、运动性质：尽管其速度大小和方向时刻在改变，但其运动的加速度却恒为重力加速度g ，因而平抛运动是一个匀变速曲线运动。

g a =
4、研究平抛运动的方法：通常，可以把平抛运动看作为两个分运动的合动动：一个是水平方向（垂直于恒力方向）的匀速直线运动，一个是竖直方向（沿着恒力方向）的匀加速直线运动。

水平方向和竖直方向的两个分运动既具有独立性，又具有等时性．
5、平抛运动的规律
①水平速度：v x =v 0，竖直速度：v y =gt 合速度（实际速度）的大小：2
2y x v v v +=
物体的合速度v 与x 轴之间的夹角为：
tan v gt v v x
y =
=
α ②水平位移：t v x 0=，竖直位移22
1gt y = 合位移（实际位移）的大小：22y x s +=
物体的总位移s 与x 轴之间的夹角为：
2tan v gt x y ==
θ 可见，平抛运动的速度方向与位移方向不相同。

而且θαtan 2tan =而θα2≠ 轨迹方程：由t v x 0=和2
21gt y =消去t 得到：22
2x v g y =。

可见平抛运动的轨迹为抛物线。

6、平抛运动的几个结论
①落地时间由竖直方向分运动决定： 由221gt h =
得：g
h t 2=
②水平飞行射程由高度和水平初速度共同决定：
g
h
v t v x 20
0== ③平抛物体任意时刻瞬时速度v 与平抛初速度v 0夹角θa 的正切值为位移s 与水平位移x 夹角θ正切值的两倍。

④平抛物体任意时刻瞬时速度方向的反向延长线与初速度延长线的交点到抛出点的距离都等于水平位移的一半。

证明：2
21tan 20x s s gt v gt =⇒==α ⑤平抛运动中，任意一段时间内速度的变化量Δv ＝gΔt，方向恒为竖直向下（与g
同向）。

任意相同时间内的Δv 都相同（包括大小、方向），如右图。

二、
V
V
V
⑥以不同的初速度，从倾角为θ的斜面上沿水平方向抛出的物体，再次落到斜面上时速度与斜面的夹角a 相同，与初速度无关。

（飞行的时间与速度有关，速度越大时间越长。

）
三、
如右图：所以θtan 20
g
v t =
)tan(v gt v v a x
y =
=
+θ 所以θθtan 2)tan(=+a ，θ为定值故a 也是定值与速度无关。

⑦速度v 的方向始终与重力方向成一夹角，故其始终为曲线运动，随着时间的增加，
θtan 变大，↑θ，速度v 与重力 的方向越来越靠近，但永远不能到达。

⑧从动力学的角度看：由于做平抛运动的物体只受到重力，因此物体在整个运动过程中机械能守恒。

例题分析：
[例1] 如图1所示，某人骑摩托车在水平道路上行驶，要在A 处越过的壕沟，沟面
对面比A 处低
，摩托车的速度至少要有多大？
图1
[例2] 如图2甲所示，以9.8m/s 的初速度水平抛出的物体，飞行一段时间后，垂直地撞在倾角为
的斜面上。

可知物体完成这段飞行的时间是（ ） A.
B.
C.
D.
[例3] 在倾角为
的斜面上的P 点，以水平速度
向斜面下方抛出一个物体，落在斜面上的Q 点，证明落在Q 点物体速度。

[例4] 如图3所示，在坡度一定的斜面顶点以大小相同的速度同时水平向左与水平向右
抛出两个小球A 和B ，两侧斜坡的倾角分别为和，小球均落在坡面上，若不计空气
阻力，则A 和B 两小球的运动时间之比为多少？
[例5] 某一平抛的部分轨迹如图4所示，已知，，，求。

图4
[例6] 从高为H的A点平抛一物体，其水平射程为，在A点正上方高为2H的B点，向同一方向平抛另一物体，其水平射程为。

两物体轨迹在同一竖直平面内且都恰好从同一屏的顶端擦过，求屏的高度。

图5
[例7] 如图6所示，在倾角为的斜面上以速度水平抛出一小球，该斜面足够长，则从抛出开始计时，经过多长时间小球离开斜面的距离的达到最大，最大距离为多少？
图6
[例8] 从空中同一点沿水平方向同时抛出两个小球，它们的初速度大小分别为和，初速度方向相反，求经过多长时间两小球速度之间的夹角为？
[例9] 宇航员站在一星球表面上的某高度处，沿水平方向抛出一个小球，经过时间，小球落到星球表面，测得抛出点与落地点之间的距离为，若抛出时初速度增大到两倍，则抛出点与落地点之间的距离为。

已知两落地点在同一水平面上，该星球的半径为R，万有引力常数为G，求该星球的质量M。

[例10] 如图11所示，与水平面的夹角为的直角三角形木块固定在地面上，有一质点以初速度从三角形木块的顶点上水平抛出，求在运动过程中该质点距斜面的最远距离。

图11
二、圆周运动
匀速圆周运动
1、定义：物体运动轨迹为圆称物体做圆周运动。

2、分类：
⑴匀速圆周运动：
质点沿圆周运动，如果在任意相等的时间里通过的圆弧长度相等，这种运动就叫做匀速圆周运动。

物体在大小恒定而方向总跟速度的方向垂直的外力作用下所做的曲线运动。

注意：这里的合力可以是万有引力——卫星的运动、库仑力——电子绕核旋转、洛仑兹力——带电粒子在匀强磁场中的偏转、弹力——绳拴着的物体在光滑水平面上绕绳的一端旋转、重力与弹力的合力——锥摆、静摩擦力——水平转盘上的物体等．
⑵变速圆周运动：如果物体受到约束，只能沿圆形轨道运动，而速率不断变化——如小球被绳或杆约束着在竖直平面内运动，是变速率圆周运动．合力的方向并不总跟速度方向垂直．
3、描述匀速圆周运动的物理量
（1）轨道半径（r ）：对于一般曲线运动，可以理解为曲率半径。

（2）线速度（v ）：
①定义：质点沿圆周运动，质点通过的弧长S 和所用时间t 的比值，叫做匀速圆周运动的线速度。

②定义式：t
s v =
③线速度是矢量：质点做匀速圆周运动某点线速度的方向就在圆周该点切线方向上，实际上，线速度是速度在曲线运动中的另一称谓，对于匀速圆周运动，线速度的大小等于平均速率。

（3）角速度（ω，又称为圆频率）：
①定义：质点沿圆周运动，质点和圆心的连线转过的角度跟所用时间的比值叫做匀速圆周运动的角速度。

②大小：T
t
πϕ
ω2=
=
(φ是t 时间内半径转过的圆心角)
③单位：弧度每秒（rad/s ）
④物理意义：描述质点绕圆心转动的快慢
（4）周期（T ）：做匀速圆周运动的物体运动一周所用的时间叫做周期。

（5）频率（f ，或转速n ）：物体在单位时间内完成的圆周运动的次数。

各物理量之间的关系：
r t r v f T t rf T
r t s v ωθππθωππ==⇒⎪⎪
⎭⎪⎪
⎬
⎫
======
2222 注意：计算时，均采用国际单位制，角度的单位采用弧度制。

（6）圆周运动的向心加速度
①定义：做匀速圆周运动的物体所具有的指向圆心的加速度叫向心加速度。

②大小：r r v a n 22ω==（还有其它的表示形式，如：()r f r T v a n 22
22ππω=⎪⎭
⎫ ⎝⎛==）
③方向：其方向时刻改变且时刻指向圆心。

对于一般的非匀速圆周运动，公式仍然适用，为物体的加速度的法向加速度分量，r 为曲率半径；物体的另一加速度分量为切向加速度τa ，表征速度大小改变的快慢（对匀速圆周运动而言，τa =0） （7）圆周运动的向心力
匀速圆周运动的物体受到的合外力常常称为向心力，向心力的来源可以是任何性质的力，常见的提供向心力的典型力有万有引力、洛仑兹力等。

对于一般的非匀速圆周运动，物体受到的合力的法向分力n F 提供向心加速度（下式仍然适用），切向分力τF 提供切向加速度。

向心力的大小为：r m r
v m ma F n n 22
ω===（还有其它的表示形式，如： ()r f m r T m mv F n 2
2
22ππω=⎪⎭
⎫ ⎝⎛==）
；向心力的方向时刻改变且时刻指向圆心。

实际上，向心力公式是牛顿第二定律在匀速圆周运动中的具体表现形式。

例题解析
[例1] A.
[例2] 的夹角分别为
[例3] 如图2轮上，已知A r =（1）=B C ωω: ；（2）=B C v v : ；（3）=B C a a : 。

个质量相同的小球A和B紧贴着内壁分别在图中所示的水平面内作匀速圆周运动，则下列说法正确的是（）
A. 球
B. 球
C. 球
D. 球
[例6]
的是（
A.
B. 两人的角速度相同，为6rad/s
C. 两人的运动半径相同，都是0.45m
D. 两人的运动半径不同，甲为0.3m，乙为0.6m。