几类不同增长的函数模型
几类不同增长的函数模型
几类不同增长的函数模型在我们的日常生活和各种科学领域中，函数模型扮演着极其重要的角色。
它们能够帮助我们理解和预测事物的变化趋势，为决策提供有力的依据。
今天，咱们就来聊聊几类常见的不同增长的函数模型。
首先，咱们来谈谈线性函数模型。
这可以说是最简单直观的一种了。
线性函数的表达式通常是 y ＝ kx ＋ b，其中 k 是斜率，b 是截距。
斜率 k 决定了函数的增长速度，如果 k 是正数，函数就会随着 x 的增大而增大；如果 k 是负数，函数就会随着 x 的增大而减小。
比如说，你每天固定工作 8 小时，每小时工资 50 元，那么你的日收入和工作天数之间的关系就是一个线性函数，y ＝ 50x，其中 x 是工作的天数，y 是你的总收入。
这种函数模型的增长速度是恒定的，不会出现突然加快或者减慢的情况。
接下来，再看看指数函数模型。
指数函数的一般形式是 y ＝ a^x ，其中 a 是底数且 a ＞ 0 且a ≠ 1 。
当 a ＞ 1 时，函数呈现出爆炸式的增长；当 0 ＜ a ＜ 1 时，函数则是急剧下降的。
想象一下，把一笔钱存入银行，年利率是 5%，如果按照复利计算，那么多年后你的存款金额和时间的关系就可以用指数函数来表示。
开始的时候增长可能不太明显，但随着时间的推移，增长速度会越来越快。
然后是对数函数模型。
对数函数通常的形式是 y ＝logₐ x ，其中 a是底数。
它的增长速度是相对缓慢的。
比如说，测量声音的强度，就是用对数函数来表示的。
声音强度每增加一定的倍数，人们感觉到的音量变化并不是等比例的，而是相对较小的，这就符合对数函数的特点。
咱们再对比一下这几种函数模型的增长特点。
线性函数是匀速增长，就像你在平坦的道路上以稳定的速度行走。
指数函数则像是跑步冲刺，一开始可能不明显，但很快就会加速飞奔。
而对数函数呢，更像是慢慢爬坡，虽然一直在前进，但速度相对较慢。
在实际应用中，我们要根据具体的问题选择合适的函数模型。
几类不同增长的函数模型
定义与公式
定义
幂函数是一种特殊的函数形式，通常表 示为`f(x) = x^n`，其中n是实数。
VS
公式
幂函数的公式为f(x) = x^n，其中x为底 数，n为指数。
幂函数增长的特点
增长率
幂函数的增长率随着n的增大而增大，即指数越大，函数增长速 度越快峭，随着x的增大，函数值 增长越来越快。
对数增长的应用
01
金融领域
对数增长函数模型被广泛应用于 金融领域，如股票价格、债券收 益率等变量的预测和分析。
02
03
环境科学
生物学
在环境科学领域，对数增长函数 模型被用于描述污染物在环境中 的扩散和稀释过程。
在生物学中，对数增长函数模型 被用于描述细菌生长、人口增长 等生物学过程。
04
幂函数增长模型
。
工业生产
在工业生产中，如果生产速度与 时间成正比，那么可以使用线性 增长函数来描述生产情况。通过 调整参数 k 可以控制单位时间内
生产的数量。
其他应用
线性增长函数还可以应用于描述 某些物理现象，如弹簧的伸长量
与受到的力成正比等。
02
指数增长函数模型
定义与公式
定义
指数增长函数模型是一种特殊的增长函数，其增长速度与时间成正比，通常表 示为 y = ae^rt，其中 a 为初始值，r 为增长率，t 为时间。
经济问题
高次多项式增长函数可以描述经济现象的变化 ，例如收益曲线、成本曲线等。
信号处理
高次多项式增长函数可以用于信号处理领域，例如频谱分析、滤波等。
06
分段函数增长模型
定义与公式
01
分段函数增长模型是指函数在 各个区间内具有不同的增长趋 势和公式。
几类不同增长的函数模型_课件2
【答案】y＝2x(x∈N*)
4．某商人购货，进价已按原价a扣去25%，他希望对货物 订一新价，以便按新价让利20%销售后仍可获得售价25%的纯 利，则此商人经营这种货物的件数x与按新价让利总额y之间的 函数关系是________．
【答案】y＝a4x(x∈N*) 解析：设新价为 b 元，则销售价为(1－20%)b，进价为 a(1－25%)，则(1－20%)b－(1－25%)a 是每件的纯利，∴b(1
题型二 指数函数模型的应用 【例2】 某城市现有人口总数为100万人，如果年自然增 长率为1.2%，试解答下面的问题： (1) 写 出 该 城 市 人 口 总 数 y( 万 人 ) 与 年 份 x( 年 ) 的 函 数 关 系 式； (2)计算10年以后该城市人口总数(精确到0.1万人)； (3)计算大约多少年以后该城市人口将达到120万人(精确到 1年)． (1.01210＝1.127,1.01215＝1.196,1.01216＝1.210) 思路点拨：根据指数函数的增长速度进行求解即可．
1．学校商店出售软皮本和精美铅笔，软皮本每本2元，铅 笔每枝0.5元．该店推出两种优惠办法：(1)买一本软皮本，赠 送一枝精美铅笔；(2)按总价的92%付款．某位同学需买软皮本 4本，铅笔若干枝(不少于4枝)，若购买铅笔x枝，总付款为 y(角)，试分别建立两种优惠办法中y与x之间的函数关系式．
解：付款分两部分，软皮本款和铅笔款，需要分别计算． 由优惠办法(1)，得函数关系式为 y1＝20×4＋5(x－4)＝5x＋60(x≥4且x∈N*)． 由优惠办法(2)，可得函数关系式为 y2＝(5x＋20×4)×92%＝4.6x＋73.6(x≥4且x∈N*)．
错因分析：错因在于未读懂图象，从而作出错误判断．对 于②，不能依据图象的位置判断位移大小，要经计算判断；对 于④，乙的位移计算错误．
几类不同增长的函数模型 课件
(2)如图所示，折线是某电信局规定打长途电话所需 要付的电话费y(元)与通话时间t(分钟)之间的函数 关系图象，根据图象填空：
①通话2分钟，需付电话费________元．
②通话5分钟，需付电话费________元．
③如果t≥3，则电话费y(元)与通话时间t(分钟)之间 的函数关系式为________．
几类不同增长的函数模型
常见的增长模型
1．线性函数模型
线性函数模型y＝kx＋b(k>0)的增长特点是直线上升，其增长速度不 变．
2．指数函数模型
能 利 用 _ _ _ _ _ _ _ _ _ _指_ _数_ _函_ _数_ _(_底_ _数_ _a_>_1_)_ _ _ _ 表 达 的 函 数 模 型 叫 指 数 函
数模型．指数函数模型的特点是随自变量的增大，函数值的增长速 度越来越快，常形象地称为指数爆炸．
3．对数函数模型 能 用 _ _ _ _ _ _ _对_ _数_函_ _数_ _(_底_数_ _a_>_1_)_ _ _ 表 达 的 函 数 模 型 叫 做 对
数函数模型，对数函数增长的特点是随自变量的增大 _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _越_ _来_越_ _慢_ _ ， 函 数 值 增 长 速 度 _____________．
函数模型的增长差异
(1)下列函数中，随x的增大，增长速度最快的是( )
A．y＝60x
B．y＝x60
C．y＝60x D．y＝log60x(x∈N*) (2)研究函数y＝0.3ex－3，y＝ln(x＋2)，y＝x2－2在[0，＋
∞)上的增长情况．
[思路探究] 1．处理函数模型增长速度差异问题的关键是什么？ 2．对数函数模型和指数函数模型的增长速度有何差异？
几类不同增长的函数模型课件
多项式增长模型
1 定义和特征
多项式增长模型描述的是随着自变量的变化，因变量按照多项式的形式增长。
2 例子和应用
多项式增长模型常用于描述销售额、温度变化等波动性较大的现象。
3 多项式增长的局限性
多项式增长模型的高次项往往会导致过拟合，不适用于长期预测。
总结与展望
1
不同增长模型的比较和选择
选择合适的增长模型需要综合考虑实际情况、数据特征和模型的解释能力。
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# 几类不同增长的函数模型 ## 概述 - 函数模型的基本概念 函数模型是描述现实世界中各种现象和变化规律的数学工具。 - 增长函数模型的意义和应用 增长函数模型可以帮助我们理解不同变化规律，预测未来发展趋势，以及优化决策分析。
线性增长模型
定义和特征
线性增长模型描述的是随 着自变量的变化，因变量 按照恒定的比例增长。
例子和应用
线性增长模型可以用于描 述时间与距离的关系、人 口增长等方面。
线性增长的局限性
线性增长模型假设变量之 间的关系是直线的，但实 际情况往往更加复杂。
指数增长模型
1
定义和特征
指数增长模型描述的是随着自变量的
例子和应用
2
变化，因变量按照指数倍数增长。
指数增长模型常用于描述物种繁殖、
科技发展等快速增长的现象。
3
理解指数增长的关键因素
指数增长的关键因素包括增长率、初 始值和增长时间。
对数增长模型
定义和特征
对数增长模型描述的是随着自 变量的变化，因变量按照对数 倍数增长。
例子和应用
对数增长模型可以用于描述股 票市场、地震强度等非线性增 长的现象。
对数增长的特点和意义
几种不同增长的函数模型 课件
【自主解答】 (1)用①来模拟比较合适．因为该饮料在人均GDP处于中等的 地区销售量最多，然后向两边递减．而②，③，④表示的函数在区间上是单调函 数，所以②，③，④都不合适，故用①来模拟比较合适．
(2)因为人均 GDP 为 1 千美元时，年人均 A 饮料的销量为 2 升；人均 GDP 为 4 千美元时，年人均 A 饮料的销量为 5 升，把 x＝1，y＝2；x＝4，y＝5 代入 到 y＝ax2＋bx，得25＝＝a1＋6ab＋4b， 解得 a＝－14，b＝94，
几类不同增长的函数模型
教材整理 几类不同增长的函数模型 1．三种函数模型的性质
性质
函数 y＝ax(a>1)
在(0，＋∞)上 的增减性
增函数
图象的变化
随x的增大逐渐与 y轴平行
y＝logax(a>1)
增函数 随x的增大逐渐与 x轴平行
y＝xn(n>0)
增函数 随n值的不同而不 同
2.三种函数增长速度的比较 (1)在区间(0，＋∞)上，函数 y＝ax(a>1)，y＝logax(a>1)和 y＝xn(n>0)都是增 函数，但增长进度不同，且不在同一个“档次”上． (2)随着 x 的增大，y＝ax(a>1)的增长速度越来越快，会超过并远远大于 y＝xn(n>0)的增长速度，而 y＝logax(a>1)的增长速度越来越慢． (3)存在一个 x0，当 x>x0 时，有 ax>xn>logax.
所以函数解析式为 y＝－41x2＋49x.(x∈[0.5,8]) ∵y＝－14x2＋94x＝－41x－922＋8116，∴当 x＝29时，年人均 A 饮料的销售量最 多是8116 L.
函数模型的增长差异
课时达标检测几类不同增长的函数模型
课时达标检测几类不同增长的函数模型在数学中，函数可以用来描述变量之间的关系。
而不同类型的函数模型则可以用来描述这些关系的增长方式。
下面将介绍一些常见的函数模型。
1.线性增长模型：线性函数是最简单的一类函数模型，表示为 f(x) = ax + b，其中a和b为常数。
线性函数的图像是一条直线，增长速度恒定且呈直线趋势。
这种模型适用于简单的增长关系，比如物体的匀速直线运动。
2.指数增长模型：指数函数是一种常见的非线性增长模型，表示为f(x)=a^x，其中a为常数。
指数函数的图像是递增或递减的曲线，增长速度随着x的增加而指数级增加。
这种模型适用于一些现实世界中的增长现象，如人口增长和电子器件的寿命。
3.幂函数增长模型：幂函数是另一种常见的非线性增长模型，表示为 f(x) = ax^b，其中a和b为常数。
幂函数的图像是典型的S形曲线，增长速度随着x的增加而减缓。
这种模型适用于一些复杂的增长关系，如生物种群的增长和金融市场的发展。
4.对数增长模型：对数函数是一种特殊的非线性增长模型，表示为 f(x) = logax，其中a为常数。
对数函数的图像是一条递增但增长速度逐渐减缓的曲线。
这种模型适用于一些增长趋势相对缓慢的关系，如细菌的增长和信息传输的速度。
需要注意的是，上述的函数模型只是一些常见的例子，并不能穷尽所有的可能性。
实际问题中，可能需要根据具体情况选择不同的函数模型来描述变量之间的关系。
此外，还可以将不同类型的函数模型进行组合和变换，以适应更复杂的增长过程。
在实际应用中，可以通过观察数据的变化趋势来选择合适的函数模型。
并利用统计方法来估计函数模型的参数，从而得到最佳拟合的函数曲线。
同时，还可以利用函数模型来进行预测和推断，以了解变量之间的关系及其未来的发展趋势。
总之，不同类型的函数模型可以用来描述不同的增长方式。
选择合适的函数模型可以更好地理解和解释数据的背后规律，从而对实际问题做出更准确的预测和分析。
高中数学同步学案 几类不同增长的函数模型
3.2.1 几类不同增长的函数模型知识点一常见的增长模型1．线性函数模型线性函数模型y＝kx＋b(k>0)的增长特点是直线上升,其增长速度不变．2．指数函数模型能利用指数函数(底数a>1)表达的函数模型叫指数函数模型．指数函数模型的特点是随自变量的增大,函数值的增长速度越来越快,常形象地称为指数爆炸．3．对数函数模型能用对数函数(底数a>1)表达的函数模型叫做对数函数模型,对数函数增长的特点是随自变量的增大,函数值增长速度越来越慢．4．幂函数模型幂函数y＝x n(n>0)的增长速度介于指数增长和对数增长之间．函数模型的选取(1)当描述增长速度变化很快时,常常选用指数函数模型．(2)当要求不断增长,但又不会增长过快,也不会增长到很大时,常常选用对数函数模型．(3)幂函数模型y＝x n(n>0)则可以描述增长幅度不同的变化,n值越小(n≤1)时,增长较慢；n值较大(n>1)时,增长较快．知识点二指数函数y＝a x(a>1),对数函数y＝log a x(a>1)和幂函数y＝x n(n>0)增长速度的比较1．在区间(0,＋∞)上,函数y＝a x(a>1),y＝log a x(a>1)和y＝x n(n>0)都是增函数,但增长速度不同,且不在同一个“档次”上．2．在区间(0,＋∞)上随着x的增大,y＝a x(a>1)增长速度越来越快,会超过并远远大于y＝x n(n>0)的增长速度,而y＝log a x(a>1)的增长速度则会越来越慢．[小试身手]1．判断(正确的打“√”,错误的打“×”)(1)函数y＝x2比y＝2x增长的速度更快些．( )(2)当a>1,n>0时,在区间(0,＋∞)上,对任意的x,总有log a x<x n<a x成立．( )答案：(1)×(2)×2．下列函数中,随x的增大,增长速度最快的是( )A．y＝3x B．y＝1 000xC．y＝log2x D．y＝x3解析：指数函数模型增长速度最快．答案：A3．设a＝log123,b＝⎝⎛⎭⎪⎫130.2,c＝213,则( )A．a<b<c B．c<b<a C．c<a<b D．b<a<c解析：∵由指数函数、对数函数的性质可知：a＝log123<log121＝0,0<b＝⎝⎛⎭⎪⎫130.2<1,c＝213>1,∴有a<b<c.故选A.答案：A4．某同学最近5年内的学习费用y(千元)与时间x(年)的关系如图所示,则可选择的模拟函数模型是( )A．y＝ax＋b B．y＝ax2＋bx＋cC．y＝a·e x＋b D．y＝aln x＋b解析：由散点图和四个函数的特征可知,可选择的模拟函数模型是y＝ax2＋bx＋c.答案：B类型一几类函数模型的增长差异例1 (1)下列函数中,增长速度最快的是( )A．y＝2 018x B．y＝x2 018C．y＝log2 018x D．y＝2 018x(2)四个自变量y1,y2,y3,y4随变量x变化的数据如表：x 1 5 10 15 20 25 30y1 2 26 101 226 401 626 901y2 2 32 1 024 32 768 1.05×106 3.36×107 1.07×109y3 2 10 20 30 40 50 60y4 2 4.322 5.322 5.907 6.322 6.644 6.907 则关于x呈指数型函数变化的变量是________．【解析】(1)比较幂函数、指数函数与对数函数、一次函数可知,指数函数增长速度最快．(2)以爆炸式增长的变量呈指数函数变化．从表格中可以看出,四个变量y1,y2,y3,y4均是从2开始变化,且都是越来越大,但是增长速度不同,其中变量y2的增长速度最快,画出它们的图象(图略),可知变量y2关于x呈指数型函数变化．【答案】(1)A (2)y2,(1)由题意,指数函数增长速度最快．(2)观察变量y1,y2,y3,y4的变化情况→找出增长速度最快的变量→该变量关于x呈指数型函数变化跟踪训练1 分析指数函数y＝2x与对数函数y＝log2x在区间[1,＋∞)上的增长情况．解析：指数函数y＝2x,当x由x1＝1增加到x2＝3时,x2－x1＝2,y2－y1＝23－21＝6；对数函数y＝log2x,当x由x1＝1增加到x2＝3时,x2－x1＝2,而y2－y1＝log23－log21≈1.585 0.由此可知,在区间[1,＋∞)上,指数函数y＝2x随着x的增长函数值的增长速度快,而对数函数y＝log2x 的增长速度缓慢．在同一平面直角坐标系内作出函数y＝2x和y＝log2x的图象,从图象上可观察出函数的增长变化情况．如图：类型二三类函数图象综合运用例2 判断方程2x＝x2有几个实根．【解析】设y1＝x2,y2＝2x,作出这两个函数的图象,由图象知,方程一定有一个负根,当x>0时,开始y1＝x2在y2＝2x图象的下方,但此时由于y1＝x2比y2＝2x增长的速度快,所以存在x0当x>x0时,y1＝x2的图象就会在y2＝2x的上方,故此时产生一个实根x0,但最终还是y2＝2x比y1＝x2增长得快,故存在x1,当x>x1时,y2＝2x的图象又在y1＝x2的上方,故又产生一个实根x1,以后就永远是y2＝2x比y1＝x2增长得快了,故再没有实根了,故此方程有三个实根.(1)根据指数函数与幂函数增减得快慢以及图象的上下位置判断出是否有实根．(2)对于较复杂的方程根的个数问题,利用数形结合法较为方便,其解题步骤为：①先设出两个可画图象的函数；②画出两个函数的图象；③由图象观察,其交点横坐标的个数即为方程实数解的个数．方法归纳由图象判断指数函数、对数函数和幂函数的方法根据图象判断增长型的指数函数、对数函数和幂函数时,通常是观察函数图象上升得快慢,即随着自变量的增长,图象最“陡”的函数是指数函数,图象趋于平缓的函数是对数函数．跟踪训练2 函数f(x)＝lg x,g(x)＝0.3x－1的图象如图所示．(1)指出曲线C1,C2分别对应哪一个函数；(2)比较两函数的增长差异(以两图象交点为分界点,对f(x),g(x)的大小进行比较)．解析：(1)由题图知,C1对应的函数为g(x)＝0.3x－1,C2对应的函数为f(x)＝lg x.(2)当x∈(0,x1)时,g(x)>f(x)；当x∈(x1,x2)时,g(x)<f(x)；当x∈(x2,＋∞)时,g(x)>f(x)．f(x)＝lgx图象是曲线．g(x)＝0.3x－1图象是直线．类型三函数模型的选择问题例3 某皮鞋厂今年1月份开始投产,并且前4个月的产量分别为1万双,1.2万双,1.3万双,1.37万双．由于产品质量好、款式新颖,前几个月的销售情况良好．为了推销员在推销产品时,接受订单不至于过多或过少,需要估计以后几个月的产量．厂里分析,产量的增加是由于工人生产熟练和理顺了生产流程．厂里也暂时不准备增加设备和工人．假如你是厂长,就月份x,产量为y给出三种函数模型： y＝ax＋b,y＝ax2＋bx＋c,y＝ab x＋c,你将利用哪一种模型去估算以后几个月的产量？【解析】由题意,将产量随时间变化的离散量分别抽象为A(1,1),B(2,1.2),C(3,1.3),D(4,1.37)这4个数据．(1)设模拟函数为y ＝ax ＋b 时,将B,C 两点的坐标代入函数式,得⎩⎪⎨⎪⎧3a ＋b ＝1.3，2a ＋b ＝1.2，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝0.1，b ＝1.所以有关系式y ＝0.1x ＋1.由此可得结论为：在不增加工人和设备的条件下,产量会每月上升1 000双,这是不太可能的． (2)设模拟函数为y ＝ax 2＋bx ＋c 时,将A,B,C 三点的坐标代入函数式,得⎩⎪⎨⎪⎧a ＋b ＋c ＝1，4a ＋2b ＋c ＝1.2，9a ＋3b ＋c ＝1.3，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－0.05，b ＝0.35，c ＝0.7.所以有关系式y ＝－0.05x 2＋0.35x ＋0.7.结论为：由此法计算4月份的产量为1.3万双,比实际产量少700双,而且由二次函数性质可知,产量自4月份开始将每月下降(图象开口向下 ,对称轴为x ＝3.5),不合实际．(3)设模拟函数为y ＝ab x＋c 时,将A,B,C 三点的坐标代入函数式,得⎩⎪⎨⎪⎧ab ＋c ＝1，①ab 2＋c ＝1.2，②ab 3＋c ＝1.3.③由①,得ab ＝1－c,代入②③,得⎩⎪⎨⎪⎧b 1－c ＋c ＝1.2，b 21－c ＋c ＝1.3.则⎩⎪⎨⎪⎧c ＝1.2－b 1－b ，c ＝1.3－b21－b 2，解得⎩⎪⎨⎪⎧b ＝0.5，c ＝1.4.则a ＝1－c b ＝－0.8.所以有关系式y ＝－0.8×0.5x ＋1.4.结论为：当把x ＝4代入得y ＝－0.8×0.54＋1.4＝1.35.比较上述三个模拟函数的优劣,既要考虑到误差最小,又要考虑生产的实际,如：增产的趋势和可能性．经过筛选,以指数函数模拟为最佳,一是误差小,二是由于厂房新建,随着工人技术和管理效益逐渐提高,一段时间内产量会明显上升,但经过一段时间之后,如果不更新设备,产量必然趋于稳定,而该指数函数模型恰好反映了这种趋势．因此选用指数函数y ＝－0.8×0.5x＋1.4模拟比较接近客观实际.通过数据验证,确定系数,然后分析确定函数变化情况,最终找出与实际最接近的函数模型． 方法归纳数学知识来源于客观实际,服务于实际问题．数学是人们认识世界、改造世界的工具,其中函数是描述客观世界变化规律的基本数学模型,不同的变化规律需要不同的函数模型来描述．面临一个实际问题,选择合适的数学模型是一件非常重要的事情,根据三种不同的增长模型的特点,选择符合自己的模型,才能产生更大的经济效益．跟踪训练3 1626年,有人从印第安人手里以60荷兰基尔特(相当于24美元)的代价借用纽约的曼哈顿岛,并在借据上注明：归还此岛时,对方要还本付息,年利率是6%,但借据上没有注明利息是按单利计算还是按复利计算．事隔354年之后的1980年,双方当事人的后代到法院打官司说是利息支付不公,要求法院判明是非．法官请数学家作了计算,结果使法官大吃一惊．请问按两种方法计算出的本息和分别是多少？解析：若按单利算,本息和是24×6%×354＋24＝533.76(美元)．若按复利算,本息和是24(1＋6%)354≈2.2×1010(美元)．理解单利、复利的概念．利用公式来计算.[基础巩固](25分钟,60分)一、选择题(每小题5分,共25分)1．下列函数中,随x的增大,增长速度最快的是( )A．y＝1 B．y＝xC．y＝2x D．y＝log3x解析：结合函数y＝1,y＝x,y＝2x及y＝log3x的图象可知,随着x的增大,增长速度最快的是y＝2x.答案：C2．如图所示给出了红豆生长时间t(月)与枝数y(枝)的散点图,那么最能拟合诗句“红豆生南国,春来发几枝”所提到的红豆生长时间与枝数的关系的函数模型是( )A．指数函数：y＝2t B．对数函数：y＝log2tC．幂函数：y＝t3 D．二次函数：y＝2t2解析：由散点图可知,与指数函数拟合最贴切,故选A.答案：A3．已知a,b,c,d四个物体沿同一方向同时开始运动,假设其经过的路程和时间x的函数关系分别是f1(x)＝x2,f2(x)＝x 12,f3(x)＝log2x,f4(x)＝2x,如果运动时间足够长,则运动在最前面的物体一定是( )A．a B．bC．c D．d解析：根据四种函数的变化特点,指数函数是一个变化最快的函数．当运动时间足够长时,最前面的物体一定是按照指数函数运动的物体．答案：D4．在同一坐标系中画出函数y＝log a x,y＝a x,y＝x＋a的图象,可能正确的是( )解析：函数y＝a x与y＝log a x的单调性相同,由此可排除C；直线y＝x＋a在y轴上的截距为a,则选项A中0<a<1,选项B中a>1,显然y＝a x的图象不符,排除A,B,选D.答案：D5．y1＝2x,y2＝x2,y3＝log2x,当2<x<4时,有( )A．y1>y2>y3 B．y2>y1>y3C．y1>y3>y2 D．y2>y3>y1解析：在同一平面直角坐标系内画出这三个函数的图象(图略),在区间(2,4)内,从上到下图象依次对应的函数为y2＝x2,y1＝2x,y3＝log2x,故y2>y1>y3.答案：B二、填空题(每小题5分,共15分)6．已知函数f(x)＝3x,g(x)＝2x,当x∈R时,f(x)与g(x)的大小关系为________．解析：在同一直角坐标系中画出函数f(x)＝3x,g(x)＝2x的图象,如图所示,由于函数f(x)＝3x的图象在函数g(x)＝2x图象的上方,则f(x)>g(x)．答案：f(x)>g(x)7．据报道,青海湖水在最近50年内减少了10%,如果按此规律,设2013年的湖水量为m,从2013年起,过x年后湖水量y与x的函数关系是________．解析：设湖水量每年为上年的q%,则(q%)50＝0.9,所以q%＝0.9150,所以x年后湖水量y＝m·(q%)x＝m·0.950x.答案：y ＝0.950x ·m8．某工厂8年来某种产品总产量C 与时间t(年)的函数关系如图所示,以下四种说法：①前三年产量增长的速度越来越快；②前三年产量增长的速度越来越慢；③第三年后这种产品停止生产；④第三年后产量保持不变,其中说法正确的序号是________．解析：由t∈[0,3]的图象联想到幂函数y ＝x α(0<α<1),反应了C 随时间的变化而逐渐增长但速度越来越慢．由t∈[3,8]的图象可知,总产量C 没有变化,即第三年后停产,所以②③正确．答案：②③三、解答题(每小题10分,共20分)9．每年的3月12日是植树节,全国各地在这一天都会开展各种形式的植树活动,某市现有树木面积10万平方米,计划今后5年内扩大树木面积,现有两种方案如下：方案一：每年植树1万平方米； 方案二：每年树木面积比上一年增加9%. 哪个方案较好？解析：方案一：5年后树木面积为：10＋1×5＝15(万平方米)． 方案二：5年后树木面积是10(1＋9%)5≈15.386(万平方米), 因为15.386>15,所以方案二较好．10．某公司拟投资100万元,有两种投资方案可供选择：一种是年利率为10%,按单利计算,5年后收回本金和利息；另一种是年利率为9%,按每年复利一次计算,5年后收回本金和利息．哪一种投资更有利？这种投资比另一种投资5年可多得利息多少元？(结果精确到0.01万元)解析：本金100万元,年利率为10%,按单利计算,5年后的本息和是100×(1＋10%×5)＝150(万元)． 本金100万元,年利率为9%,按每年复利一次计算,5年后的本息和是100×(1＋9%)5≈153.86(万元)． 由此可见,按年利率为9%每年复利一次计算的投资方式要比按年利率为10%单利计算的更有利,5年后多得利息3.86万元． [能力提升](20分钟,40分)11．四个函数在第一象限中的图象如图所示,a 、b 、c 、d 所表示的函数可能是( )∵8lg 3－lg 2＝80.477－0.301≈45.45,∴x>45.45.故经过46 h,细胞总数超过1010个．14．某医疗研究所开发一种新药,如果成人按规定的剂量服用,据监测：服药后每毫升血液中的含药量y 与时间t 之间近似满足如图所示的曲线．(1)写出服药后y 与t 之间的函数关系式；(2)据测定,每毫升血液中含药量不少于4 μg 时治疗疾病有效,假若某病人一天中第一次服药为上午7：00,问：一天中怎样安排服药时间(共4次)效果最佳？解析：(1)依题意得y ＝⎩⎪⎨⎪⎧6t ，0≤t≤1，－23t ＋203，1<t≤10.(2)设第二次服药时在第一次服药后t 1小时,则－23t 1＋203＝4,解得t 1＝4,因而第二次服药应在11：00.设第三次服药在第一次服药后t 2小时,则此时血液中含药量应为前两次服药后的含药量的和,即有－23t 2＋203－23(t 2－4)＋203＝4,解得t 2＝9,故第三次服药应在16：00.设第四次服药在第一次服药后t 3小时(t 3>10),则此时第一次服进的药已吸收完,血液中含药量应为第二、第三次的和,即有－23(t 3－4)＋203－23(t 3－9)＋203＝4,解得t 3＝13.5,故第四次服药应在20：30.。
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例1、假设你有一笔资金用于投资，现有三种 投资方案供你选择，这三种方案的回报如下：
方案一：每天回报40元；
方案二：第一天回报10元，以后每天比前 一天多回报10元；
方案三：第一天回报0.4元，以后每天的 奖励比前一天翻一番.
请问：你会选择哪种回报方案？
选择回报方案 的标准
回报量
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还原 （答）
数学化 （列）
解答数学问题
寻找解题思路
构建数学模型
（解）
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例2 某公司为了实现1000万元利润的目标，准备
制定一个激励销售部门的奖励方案：在销售利润达到
10万元时，按销售利润进行奖励，且奖金y(单位：万 元)随着销售利润x (单位：万元)的增加而增加，但资
金数不超过5万元，同时奖金不超过利润的25%。现有
0
60
10
70
10
80
10
90
10
100 10
…
…
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300 10
12.8 25.6 51.2 102.4 204.8
…
6.4 12.8 25.6 51.2 102.4
…
214748364.8 107374182.4
我们看到，底为
2的指数函数模
y
型比线性函数模
y0.型得增多4长.2从速x中度你要1对快
10+10+10+10 =10×4
10+10+10+10+10 =10×5
方案三 0.4 0.4×2 0.4×2×2 =0.4×22
0.4×2×2×2 0.4×2×2×2×2
=0.4×23
=0.4×24
设第x天的回报是y元， 则方案一可以用函数__y_=_4_0___(_x_∈__N_*_)__进行描述； 方案二可以用函数__y_=_1_0_x____(_x_∈__N_*_)__描述； 方案三可以用__y_=_0_._4_×__2_x-_1__实_(用_x文_∈档__N_*)___描述。
“指数爆炸”的
140
含义有什么新的
120
理解？
100
y 10x
80
60
y 40
40
20
x
Hale Waihona Puke 246810 12
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三种方案的累计回报量
天数
回报/元
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13
方案 一 二
40 80 120 160 200 240 280 320 360 400 440 … 1200 10 30 60 100 150 210 280 360 450 550 660 … 4650
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学以致用，用以致优
老师殷切希望同学们学好数学， 将来为社会创造更多财富，象“指数 爆炸”一样，为祖国的繁荣富强作出 更大的贡献……
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情景问题解答
假如某公司每天给你投资1万元，共投资30天。公司 要求你给他的回报是：第一天给公司1分钱，第二天 给公司2分钱，以后每天给的钱都是前一天的2倍，共 30天，你认为这样的交易对你有利吗？
詹姆斯·西蒙斯是世界级的数学家，也是最伟大的对冲基金经理之一。2005年，西 蒙斯成为全球收入最高的对冲基金经理，净赚15亿美元，差不多是索罗斯的两倍。从 1988年开始，他所掌管的大奖章基金年均回报率高达34％，15年来资产从未减少过。 去年西蒙斯以40亿美元跻身《福布斯》400富人榜第64 位。 詹姆斯·西蒙斯(James Simons)几乎从不雇用华尔街的分析师，他的“文艺复兴科 技公司”（Renaissance Technologies Corp.）里坐满了数学和自然科学的博士。 用数学模型捕捉市场机会，由电脑作出交易决策，是这位超级投资者成功的秘诀
日 回报 量累计回报量
方案一：每天回报40元； 方案二：第一天回报10元，以后每天比前 一天多回报10元； 方案三：第一天回报0.4元，以后每天的 回报比前一天翻一番.
思考：在本例中涉及哪些数量关系？如何 用函数描述这些数量关系？
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X
1
2
3
4
5
方案一 40
40
40
40
40
方案二 10
10+10 10+10+10 =10×2 =10×3
解答如下：公司30天内为你的总投资为: 30万元
你30天内给公司的回报为:0.01+0.01×2+0.01×22+…+0.01×229 =10737418.23 ≈1074(万元)
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★ 解答例1的过程实际上就是建立函数模型的过程， 建立函数模型的程序大概如下：
实际应用问题
审 （题设）
分析、联想、抽象、转化
三
0.4 1.2 2.8 6 12 25 50.8 102 204 409 819 … 429496729
1~6天，应选择方案一；
结 7天，应选择方案一或方案二； 论 8~10天，应选择方案二；
11天（含11天）以上，应选择方案三. 实用文档
220
三个投资方案日奖金图
方案一 方案二 方案三
200 180
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在书本第三章的章头图中，有一大群喝水、嬉 戏的兔子，但是这群兔子曾使澳大利亚伤透了脑 筋。1859年，有人从欧洲带进澳洲几只兔子，由 于澳洲有茂盛的牧草，而且没有兔子的天敌，兔 子数量不断增加，不到100年，兔子们占领了整 个澳大利亚，数量达到75亿只。可爱的兔子变得 可恶起来，75亿只兔子吃掉了相当于75亿只羊所 吃的牧草，草原的载畜率大大降低，而牛羊是澳 大利亚的主要牲口。这使澳大利亚头痛不已，他 们采用各种方法消灭这些兔子，直至二十世纪五 十年代，科学家采用载液瘤病毒杀死了百分之九 十的野兔，澳大利亚人才算松了一口气
y=0.4*2x-1
每 160
天 的
140
回 120
报 100
y=10x
元 80 60
40
y=40
20
0
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9 10 11
天数
()
几种常见函数的增长情况：
常数函数
一次函数
指数型函数
没有增长 保持不变
匀速增长 直实线用文上档
急剧增长 指数爆炸
巴菲特是世人景仰的“股神”，但是在投资领域，其实有一个人的收益率在连续17年 里远远超过了他。这个人不是索罗斯，也不是罗杰斯，而是同著名数学家陈省身一起 提出“陈一西蒙斯理论”的世界级数学家詹姆斯·西蒙斯。
x 天
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 … 图像 30
方案一 方案二 方案三
y 元 增加量 元 y 元 增加量 元 y 元 增加量 元
40
10
0.4
40
0
40
0
40
0
40
0
20
10
0.8
0.4
30
10
1.6
0.8
40
10
3.2
1.6
50
10
6.4
3.2
40
0
40
0
40
0
40
0
40
0
…
…
40