第3章 运输问题
管理运筹学第3章-运输规划1
6
9 u2=-2
5
9
10
6
3
-11
-3
6
13 u3=6
v1=10
v2=6
v3=4
v4=0
c32 - z32= c32 – (u3+v2)= 9 – 6-6=-3
3.3 迭代规则 运算方法—闭回路调整法
调整的步骤如下： （1）先确定最小检验数：； （2）找出以空格为一个顶点，其余顶点全是数字
-----退化解出现
3.3 迭代规则 运算方法—闭回路调整法
1
2
3
4
6
7
1
14
5
5
3
5
u1=-4
7
8
4
2
7
2
8
13
6
9 u2=-2
5
9
10
6
3
-11
-3
6
13 u3=6
v1=10
v2=6
v3=4
v4=0
x31进基, min{x21,x33}=min{8,6}=6, x33离基
转轴运算,重新计算检验数,确定进基、离基变量
第三章 运输问题
运输问题及其数学模型 运输问题表上作业法
3.1 运输问题及其数学模型
一、一般运输问题
设某种货物有m个产地A1，A2，…,Am,产量分 别为a1,a2,…,am,有n个销地B1,B2,…,Bn,销量分 别为b1,b2,…,bn，而且从Ai到Bj的单位运价为 Cij。若产销平衡（ ai= bj），问如何制定调 运方案，可以使总运费最小？
v3=4
4 3
u1
7 u2=-2
6
13 u3=6
第3章运输问题
§2 表上作业法
一、表上作业法迭代步骤 1. 按某种规则找出一个初始基可行解； 2. 对现行解作最优性判断，即求各非基变量的检 验数，判别是否达到最优解，如已是最优解，则 停止计算，如不是最优解，则进行下一步骤； 3. 在表上对初始方案进行改进，找出新的基可行 解，再按第2步进行判别，直至找出最优解。
21
用最小元素法确定例2初始调运方案
调 运 量 产地 销地
A
100
B
90
X12
C
70 100 100
X13
产量
200 100
250 100
甲
X11
80 150 65 100 75
乙
销 量
X21
X22
X23
100
150
200 100
450
22
得到初始调运方案为：
x11=100，x13=100，x22=150，x23=100
B
90
C
产量
甲
X11
70 100 100 -20
X12 X13
200
250
乙
销 量
15
80 150 65 100 75
X22 X23
X21
100
150
200
450
32
用沃格尔法确定的初始调运方案的检验数
调 运 量 产地 销地
A
50
B
90 150
X12
C
70 65 15 100
产量
200
甲 乙
销 量
为运输问题的一个基可行解。由于基变量 的检验数等于零，故有：
ui1 v j1 ci1 j1 u v c i2 j2 i2 j 2 uis v js cis js
运筹学第3章：运输问题-数学模型及其解法
整数规划模型
01
整数规划模型是线性规划模型 的扩展，它要求所有变量都是 整数。
02
整数规划模型适用于解决离散 变量问题，例如车辆路径问题 、排班问题等。
03
在运输问题中，整数规划模型 可以用于解决车辆调度、装载 等问题，以确保运输过程中的 成本和时间效益达到最优。
混合整数规划模型
混合整数规划模型是整数规划和线性规划的结合，它同时包含整数变量和 连续变量。
运筹学第3章：运输问题-数学模 型及其解法
目录
• 引言 • 运输问题的数学模型 • 运输问题的解法 • 运输问题的应用案例 • 结论
01 引言
运输问题的定义与重要性
定义
运输问题是一种线性规划问题，主要 解决如何将一定数量的资源（如货物 、人员等）从起始地点运送到目标地 点，以最小化总运输成本。
总结词
资源分配优化是运输问题在资源管理 领域的应用，主要解决如何将有限的 资源合理地分配到各个部门或项目， 以最大化整体效益。
详细描述
资源分配优化需要考虑资源的数量、 质量、成本等多个因素，通过建立运 输问题的数学模型，可以找到最优的 资源分配方案，提高资源利用效率， 最大化整体效益。
05 结论
运输问题的发展趋势与挑战
生产计划优化
总结词
生产计划优化是运输问题在生产领域的应用，主要解决如何合理安排生产计划， 满足市场需求的同时降低生产成本。
详细描述
生产计划优化需要考虑原材料的采购、产品的生产、成品的销售等多个环节，通 过建立运输问题的数学模型，可以找到最优的生产计划和调度方案，提高生产效 率，降低生产成本。
资源分配优化
发展趋势
随着物流行业的快速发展，运输问题变得越来越复杂，需要更高级的数学模型和算法来 解决。同时，随着大数据和人工智能技术的应用，运输问题的解决方案将更加智能化和
----第三章 运输问题
3
A2
31
B3
B4
产量
43 3
7
12
4
A3
6
39
销量
3
6
5
6
检验数的经济解释：空格（ A1 , B1） + 1 吨，保持产销平衡
(A1 , B3) - 1 吨，
(A2 , B3) + 1 吨，
(A2 , B1) - 1 吨
检验数=调整方案使运费的改变量
15
(+1)3 + (-1) 3 + (+1)2 + (-1) 1 = 1 (元)
14
①、方法一：闭回路法
每个空格都存在唯一的闭回路---从每一空格出发，用水平 线或垂直线向前划，每碰到一数字格就转 90 度后继续前 进，直到回到起始空格处为止。
例 (A1 , B1) 空格与数字格(A1 , B4) 、 (A2 , B4) 和 (A2 , B1)
表3.12/3.7 B1
B2
A1
ij = cij – ( ui + vj )
18
仍以例3.2所给出的初始基可行解表3.7为例：
第一步：在对应表3.7的数字格处填入单位运价
表3.7/3.14 B1
B2
B3
B4 行位势ui
A1
3
10
0
A2
1
2
-1
A3
4
5
-5
列位势 vj 2
9 3 10
第二步：增加一行和一列，列中填入行位势
ui ，行中填入列位势 vj
存的问题。设 xin+1 是产地 Ai 的贮存量，故有：
n
n1
xij xin1 xij ai (i 1,L , m)
运筹学(胡运权版)第三章运输问题课后习题答案
P66： 8.某部门有3个生产同类产品的工厂（产地），生产的产品由4个销售点出售，各工厂A 1， A 2，A 3的生产量、各销售点B 1，B 2，B 3，B 4的销售量（假定单位为t ）以及各工厂到销售点的单位运价（元/t ）示于下表中，问如何调运才能使总运费最小？表解：一、该运输问题的数学模型为：可以证明：约束矩阵的秩为r (A) = 6. 从而基变量的个数为 6.34333231242322213141141312116115893102114124min x x x x x x x x x x x x x c z i j ij ij +++++++++++==∑∑==⎪⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎧==≥=++=++=++=++=+++=+++=+++4,3,2,1;3,2,1,01412148221016342414332313322212312111343332312423222114131211j i x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x ij 111213142122232431323334x x x x x x x x x x x x 712111111111111111111111111⨯⎛⎫ ⎪⎪⎪ ⎪⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎝⎭二、给出运输问题的初始可行解（初始调运方案）1. 最小元素法思想：优先满足运价（或运距）最小的供销业务。
其余（非基）变量全等于零。
此解满足所有约束条件，且基变量（非零变量）的个数为6（等于m+n-1=3+4-1=6).总运费为（目标函数值） ,1013=x ,821=x ,223=x ,1432=x ,834=x ,614=x ∑∑===3141i j ijij x c Z2. 伏格尔（Vogel)法伏格尔法的基本思想：运输表中各行各列的最小运价与次小运价之差值（罚数）应尽可能地小。
或者说：优先供应罚数最大行（或列）中最小运费的方格，以避免将运量分配到该行（或该列）次小运距的方格中。
广工管理运筹学第三章运输问题
闭合回路法的优点是能够找到全局最 优解，适用于大型复杂运输问题。但 该方法的计算复杂度较高，需要较长 的计算时间。
商位法
01
商位法是一种基于商位划分的优化算法，用于解决运输问题。该方法通过将供 应点和需求点划分为不同的商位，并最小化总运输成本。
02
商位法的计算步骤包括：根据地理位置和货物需求量，将供应点和需求点划分 为不同的商位；根据商位的地理位置和货物需求量，计算总运输成本；通过比 较不同商位的总运输成本，确定最优的配送路线。
80%
线性规划法
通过建立线性规划模型，利用数 学软件求解最优解，得到最小化 总成本的运输方案。
100%
启发式算法
采用启发式规则逐步逼近最优解 ，常用的算法包括节约算法、扫 描算法等。
80%
遗传算法
基于生物进化原理的优化算法， 通过模拟自然选择和遗传机制来 寻找最优解。
02
运输问题的数学模型
变量与参数
约束条件
供需平衡
每个供应点的供应量等于对应 需求点的需求量，这是运输问 题的基本约束条件。
非负约束
运输量不能为负数，即每个供 应点对每个需求点的运输量都 应大于等于零。
其他约束条件
根据实际情况，可能还有其他 约束条件，如运输能力的限制 、运输路线的限制等。
03
运输问题的求解算法
表上作业法
总结词
直到达到最优解。这两种方法都可以通过构建线性规划模型来求解最优解。
04
运输问题的优化策略
节约法
节约法是一种基于节约里程的优化算法，用于解决 运输问题。该方法通过比较不同配送路线的距离和 货物需求量，以最小化总运输距离为目标，确定最 优的配送路线。
节约法的计算步骤包括：计算各供应点到需求点的 距离，找出最短路径；根据最短路径和货物需求量 ，计算节约里程；按照节约里程排序，确定最优配 送路线。
运筹学基础及应用第3章-运输问题(胡运权)
产量<销量
1.运输规划问题的典例和数学模型 特征：
1、平衡运输问题必有可行解，也必有最优解； 2、运输问题的基本可行解中应包括 m+n－1 个 基变量。
运筹学基础及应用
Operations Research
运 筹 帷 幄 之 中
第三章
运输问题
决 胜 千 里 之
Transportation Problem
外
目
1
运输规划问题的典例和数学模型 表上作业法 运输问题的应用
录
CONTENTS
2
3
1.运输规划问题的典例和数学模型
例3.1 某公司从两个产地A1、A2将物品运往三个销地B1, B2, B3，各产地的产量、各销地的销量和各产地运往各销地每件 物品的运费如下表所示，问：应如何调运可使总运输费用最 小？
48
列差额
例3.4 某运输资料如下表所示：
销地 产地 A1 2 10
2.表上作业法
B2 B3
12 4
B1
4
B4
11
产量
行差额
16 3 9
0
A2
10
1
8 A3
5
11
6 22 2
14
销量 8 2 14 12 1
8
14 3 48
列差额
2.表上作业法
例3.4 某运输资料如下表所示：
销地 产地 A1 2 10 3 9 B1 4 B2 12 B3 4 B4 11 16 0 产量
第3章运输问题
ui + v j cij i = 1,2,..,m s.t. j = 1,..,n ui ,v j的符号不限
运输问题
解 的 最 优 性 检 验
检验数：目标函数的系数减去对偶变量之和
原问题检验数：σij=cij-(ui+vj) 特别对于m+n-1个基变量，有 σij=0
运输问题
B4 4 4 11 2 12 2 10 1 3 2 9 14 5 12 11 8 6 14 12 14
B2
B3 12
产量
16 10 22 48
ij 0, 此时的解为最优解。 z 8 2 14 5 12 4 4 11 2 9 8 6 244 246 2
运输问题
2.对偶变量法（位势法）
解 的 最 优 性 检 验
位势：设对应基变量xij的m+n-1个i、j ， 存 在 ui,vj 满 足 ui+vj=cij,i=1,2,..,m; j=1,2 ,… ,n称这些ui , vj 为该基本可 行解对应的位势。
运输问题
2.对偶变量法（位势法）
解 的 最 优 性 检 验
运输问题
最小元素法举例
A1 A2 A3
销量
B1 B2 B3 B4
4 12
产量
60 16 10 2 3 9 10 8 2 20 8 14 5 11 8 6 22 80 8 14 12 14 48 0 0 10 6 10
4
6
11
0
0
运输问题
最小元素法举例
A1 A2 A3
销量
B1 B2 B3 B4
4 12
2 列 罚 3 数 4
2
2
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第三章运输问题一、选择1.运输问题在用表上作业法计算的时候，用闭回路法进行调整检验时，通过任一空格可以找到（）闭回路A、惟一B、多个C、零个 D 不能确定2.在产销不平衡的运输问题中，如果产大于销，我们（B ）把他变成一个产销平衡的运输问题A 假想一个产地B 假想一个销地C 去掉一个产地D 没有办法3.最小元素法的基本思想就是（ D）。
A依次供应B全面供应 C 选择供应 D就近供应4.运输问题中在闭回路调整中，使方案中有数字的格为（ C ）。
A mB nC m+nD m+n-15.在表上作业法中，调运方案中有数字的格为（ C ）A m+nB m-nC m+n-1D m*n6.运输问题的数学模型中，包含有（D）变量。
A m+nB m-nC m+n-1D m*n7. 运输问题的数学模型中，包含有（A）个约束条件。
A m+nB m-nC m+n-1D m*n8. 运输问题的数学模型中,系数矩阵中线性独立的列向量的最大个数为（C ）A m+nB m-nC m+n-1D m*n9. 运输问题的解中的基变量数一般为（C ）A m+nB m-nC m+n-1D m*n10.运输问题中，在检验数表上所有检验数都（C ），此时运输表中给出的方案就是最优方案。
A大于零B等于零C大于等于零D小于零11.在产销不平衡的运输问题中，如果销大于产时，可以在产销平衡表上（ A），把他变成一个产销平衡的运输问题A 假想一个产地B 假想一个销地C 去掉一个产地D 没有办法12.运输问题数学模型的特点之一是（）A 一定有最优解B 不一定有最优解C 一定有基可行解D 不一定有基可行解13.运输问题的数学模型的约束条件的系数矩阵的元素由（）组成。
A 0B1C0,1D 不确定14.二、填空1. 求解不平衡的运输问题的基本思想是(设立虚供地或虚需求点，化为供求平衡的标准形式) 。
2.运输问题中求初始基本可行解的方法通常有 (最小元素法 )、 (伏格尔法 ) 两种方法。
3.伏格尔法有时就用作求运输问题最优方案的（近似解 ）4.运输问题最优性检验通常有（闭回路法、位势法）两种方法。
5.6.运输问题约束条件系数矩阵中，变量xij对应的系数列向量可表为（e e P j m i ij ++=⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡=0110M M M ）7.运输问题中，在调运方案表中，称填写数字处为由数字的格，它对应运输问题解中的（基变量取值）。
8. 运输问题中，在调运方案表中，称不填数字处为空格，它对应解中的（非基变量）。
9.最小元素法求解时，当选定最小元素后，发现该元素的行和列的产量等于销量，此时，在产销平衡表上填一个数，运价表上就要同时划去一行或一列，为了保持调运方案中的有数字格保持m+n-1个，就要在同时划去的该行或该列的任一空格位置补填一个（0 ）。
10．运输问题中的闭回路是指调运方案中由（一个空格）和若干个有数字格的水平和垂直连线包围成的封闭回路。
11. 运输问题中构建闭回路的目的是要计算解中各非基变量（对应空格）的（ 检验数）。
12.位势法求任一空格检验数的公式为（)(v u cj i ijij+-=λ）13.用位势法的时候，如果表中出现有负的检验数时，对方案进行改进和调整的方法应用（闭回路法调整）。
14.在闭回路调整中，在需要减少运量的地方有两个以上相等的最小数，这样调整时原先空格处填上了这个最小数，而有两个以上最小数的地方成了空格，为了用表上作业法继续计算，就要把最小数的格之一变为空格，其余补（0）. 15.位势法计算的时候，首先设v 1等于（1）16.表上作业法又称为（运输单纯形法）17.用位势法进行检验的时候，需要找出绝对值最大的（负检验数）用闭回路调整，得出新的调运方案。
18.实际计算运输问题的检验数的时候，（位势法 ）比较简便。
19.闭回路法进行检验的方法是令某非基本量取值为（ 1），通过变化原基变量的值找到一个新的可行解，将其同原来的基可行解目标函数值的变化比较。
20.在用闭回路法进行方案调整的时候，要对运量作（最大可能的调整）。
21.构建闭回路的目的是要计算解中（各非基变量）的检验数。
22. 构建闭回路的目的是要计算解中对应空格的（检验数）。
23.任意非基变量均可表示为基向量的（唯一线性组合）。
24.三、判断1．表上作业法实质上就是求解运输问题的单纯形法。
（正确）2.当所有产地产量和销地的销量均为整数值时，运输问题的最优解也为整数值。
（正确）3.运输问题是一种特殊的线性规划问题模型，因而求解结果也可能出现下列四种情况之一：有唯一最优解，有无穷多最优解，无界解，无可行解。
（不正确）4.在运输问题中，只要任意给出一组含（m+n-1）个非零的{xij}，且满足a x inj ij=∑=1，bx jmi ij=∑=1，就可以作为一个初始基可行解。
（不正确）5.运输问题就是线性规划问题。
（正确）6.运输问题一定有可行解。
（正确）。
7.运输问题不可以用单纯形法进行计算。
（不正确）8.表上作业法在计算运输问题时，比单纯形法可节约计算的时候和费用。
（正确）9. 运输问题求初始基可行解的方法为最小元素法，即从单位运价表中最小的运价处开始确定供销关系，依次类推，一直到给出全部方案为止。
（正确）10. 运输问题求初始基可行解用最小元素法时，如果遇到相同的运价时，应该按照运的多的优先进行运输。
（不正确）11. 运输问题求初始基可行解用最小元素法时，如果遇到相同的运价时，应该任选其一。
（正确）12. 最小元素法求解时，当选定最小元素后，发现该元素的行和列的产量等于销量，此时，在产销平衡表上填一个数，此时运价表上就要同时划去一行或一列.（不正确） 13.最小元素法为求运输问题的最优方案的近似解。
（不正确）14.运输问题中，用位势法进行检验的时候，用到的最初的计算表为最小元素作出的初始方案表。
（不正确）15. 运输问题中，用位势法进行检验的时候，用到的最初的计算表为最小元素作出的初始方案表中有运量的格写入对应的运价形成的表。
（正确）16.具有中间转运站的问题，可以写出扩大运输问题的产销平衡表与单位运价表，可以应用表上作业法求解。
（正确）17.运输问题中，闭回路法和位势法的作用是相同的。
（正确） 18.伏格尔法是运输问题求检验数的方法。
（不正确） 19.位势法是求运输问题初始基可行解的方法。
（不正确） 20.在进行运输问题的检验和调整时，都需要用到闭回路法。
（正确） 21.用最小元素法给定初始方案只从局部观点考虑就近供应，可能造成总体的不合理。
（正确）22.一般当产销地的数量不多时，V ogel 法给出的初始方案有时就是最优方案。
（正确）四．名词解释1.表上作业法：根据运输问题数学模型结构上具有的特征，在单纯形法的基础上，逐渐创造出一种专门用来求解运输问题线性规划模型的运输单纯形法。
在我国，这种方法习惯上称为表上作业法2.运输问题中的闭回路：是指调运方案中由一个空格和若干个有数字格的水平和垂直连线包围成的封闭回路。
3.产销平衡问题：假设A1，A2，....,A m表示某物资的m个产地，B1，B2，....,B n表示某物资的n个销地；s i表示产地A i的产量；d j表示销地B j的销量；C ij表示把物资从产地A i运往销地B j的单位运价。
如果s1+s2+...+s m=d1+d2+...+d n, 则称该运输问题为产销平衡问题。
四、简答1.写出用伏格尔法求运输问题最优方案近似解的步骤。
答：Vogel法的步骤是从运价表上分别找出每行与每列的最小的两个元素之差，再从差值最大的行或列中找出最小运价确定供需关系和供应数量。
当产地或销地中有一方数量上供应完毕或得到满足时，划去运价表中对应的行或列，再重复上述步骤。
一般当产销地的数量不多时，Vogel法给出的初始方案有时就是最优方案，所以Vogel就用作求运输问题最优方案的近似解。
2.写出在运输问题中应用表上作业方法的步骤答：第一步，用最小元素法或Vogel给出运输问题的基开行解。
第二步，用闭回路法进行最优性检验判别该解的目标函数值是否最优。
第三步，如果检验数表中所有数字大于等于零，表明对调运方案作出任何改变将导致运费不会减少，即给定的方案是最优方案。
第四步，如果检验数为负值，那就从检验数为负值的格子出发，作一条除该空格外其余顶点均为有数字格组成的闭回路，在这条闭回路上，按上面讲的方法对运量作最大可能的调整。
第五步，再对调整过的方案，再用闭回路法进行最优性检验，重复以上步骤，直到检验数为正为止，所得的方案为最优解。
3. 写出运输问题在产销平衡的条件下，使总的运费支出最小的数学表达式答：如果用x ij代表从第 i 个产地调运给第 j 个销地的物资的单位数量，那么在产销平衡的条件下，使总运费支出最小，其数学模型如下：4.如何把一个产销不平衡的运输问题（含产大于销和销大于产）转化为产销平衡的运输问题。
答：当产大于销时，只要增加一个假想的销地j=n+1(实际上是库存)，该销地总需要量为（∑∑==-nj jm i iba 11),而在单位运价表中从各产地到假想销地的单位运价为0，就转化成一个产销平衡的运输问题。
类似地，当销大于产时，可以在产销平衡表中增加一个假想的产地i=m+1，该地产量为（∑∑==-mi inj ja b 11），单位运价表上令从该假想产地到各销地的运价为0，同样可以转化为一个产销平衡的运输问题。
5.写出运输问题数学模型的约束条件的系数矩阵和其中变量xij的系数列向量pij的表达式。
6.一般线性规划问题应具备什么特征才可以转化并列出运输问题的数学模型，并从而用表上作业法求解。
7.运输问题中，运用闭回路法进行调整的方法。
答：从检验数为负值的格出发（当有两个以上负检验数时，从绝对值最大的负检验数格出发），作一条除该空格外其余顶点均为有数字格组成的闭回路。
在这条闭回路上，按上面讲的方法对运量作最大可能有的调整。
8.运输问题的数学模型的系数矩阵的特点：（1）约束条件的系数矩阵的元素只有两个：0、1。
（2）元素 x ij 对应于每一个变量在前m 个约束方程中(第i 个方程中)出现一次，在后n 个约束方程中（第m+j 个方程中）也出现一次。
（3）产销平衡问题为等式约束。
（4）产销平衡问题中各产地产量之和与各销售地点的销量之和相等。
9.运输问题的求解思路是什么？答：同单纯形法类似，用表上作业法求解运输问题时，首先给出一个初始方案，一般来讲，这个方案不会是最好的，因此需要给出一个判别准则，并对初始方案进行调整、改进，一直()()⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎨⎧≥=====∑∑∑∑====0,,1 ,,1 min 1111ij mi j ij i n j ij m i n j ijij x n j b x m i a x x c z ΛΛ到求得最优方案为止。