概率统计第五章随机变量序列的极限
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概率第五章_大数定律与中心极限定理090505
加法法则
P ( − Eξ ε ) = ξ ≥
P(ξ ≥ Eξ + ε ) + P (ξ ≤ Eξ − ε )
k
=
≤
k : xk ≥ E +
∑ξ ε p
k
+
k : xk ≤ E −
∑ξ ε p
pk +
k :xk ≥ E +
∑ξ ε
( x − Eξ ) 2
ε
2
k :xk ≤ E −
∑ξ ε
( x − Eξ ) 2
， 方差 Dξ n ( n = 1, 2,L)，且 Dξi < l (i = 1, 2,L) 其中 l 与 i 无关的
1 Eξ = (1 + 2 + 3 + L + 6) 6
35 7 故 Eξ = Dξ = 12 2
4 2 = P (ξ = 5) + P(ξ = 6) + P (ξ = 1) + P (ξ = 2) = = 6 3 7 1 P( − 2 ) = P(ξ ≥ 5.5) + P(ξ ≤ 1.5) = P (ξ = 6) + P (ξ = 1) = ξ ≥
即
lim P ( − p < ε ) = 1 n →∞ n
ξ
此定理表明：当试验在不变的条件下重复进行很多次时， 随机事件的频率 频率在它的概率 概率附近摆动。 频率 概率 由贝努里大数定律可知，若事件A的概率很小很小时，则 它的频率也很小很小，即事件A很少发生或几乎不发生， 这种事件叫小概率事件。反之，若随机事件的概率很接近1， 则可认为在个别试验中这事件几乎一定发生。 同分布的两个或多个随机变量: 同分布的两个或多个随机变量 离散型: 它们的概率分布律相同. 离散型 它们的概率分布律相同 连续型: 它们的概率密度函数相同. 连续型 它们的概率密度函数相同 所以它们的期望与方差一定相同. 所以它们的期望与方差一定相同
P ( − Eξ ε ) = ξ ≥
P(ξ ≥ Eξ + ε ) + P (ξ ≤ Eξ − ε )
k
=
≤
k : xk ≥ E +
∑ξ ε p
k
+
k : xk ≤ E −
∑ξ ε p
pk +
k :xk ≥ E +
∑ξ ε
( x − Eξ ) 2
ε
2
k :xk ≤ E −
∑ξ ε
( x − Eξ ) 2
， 方差 Dξ n ( n = 1, 2,L)，且 Dξi < l (i = 1, 2,L) 其中 l 与 i 无关的
1 Eξ = (1 + 2 + 3 + L + 6) 6
35 7 故 Eξ = Dξ = 12 2
4 2 = P (ξ = 5) + P(ξ = 6) + P (ξ = 1) + P (ξ = 2) = = 6 3 7 1 P( − 2 ) = P(ξ ≥ 5.5) + P(ξ ≤ 1.5) = P (ξ = 6) + P (ξ = 1) = ξ ≥
即
lim P ( − p < ε ) = 1 n →∞ n
ξ
此定理表明：当试验在不变的条件下重复进行很多次时， 随机事件的频率 频率在它的概率 概率附近摆动。 频率 概率 由贝努里大数定律可知，若事件A的概率很小很小时，则 它的频率也很小很小，即事件A很少发生或几乎不发生， 这种事件叫小概率事件。反之，若随机事件的概率很接近1， 则可认为在个别试验中这事件几乎一定发生。 同分布的两个或多个随机变量: 同分布的两个或多个随机变量 离散型: 它们的概率分布律相同. 离散型 它们的概率分布律相同 连续型: 它们的概率密度函数相同. 连续型 它们的概率密度函数相同 所以它们的期望与方差一定相同. 所以它们的期望与方差一定相同
概率论与数理统计 第五章
Xn ⎯ ⎯→ X 2. 依概率收敛与依分布收敛的关系
依概率收敛 ⇒ 依分布收敛
L
3. 定义：中心极限定理 设随机变量 X ~ N(0,1)，{Xi }，i = 1, 2, … 相互独 立，且数学期望和方差都存在, 若标准化随机变量序列
∑
n
i =1
Xi −
∑ E(X
i =1
n
i
)
∑
n
i =1
D(X i)
所以结论成立。 由此有，若X ~ B( n, p )，对于足够大的n，有 ⎧ m1 − np X − np m2 − np ⎫ ⎪ ⎪ < ≤ P{m1 < X ≤ m2 }= P ⎨ ⎬ np(1 − p) np(1 − p) ⎪ ⎪ np(1 − p) ⎩ ⎭
⎧ Yn − np ⎫ ⎪ ⎪ ≤ x ⎬ = Φ( x ) lim P ⎨ n →∞ ⎪ np(1 − p ) ⎪ ⎩ ⎭
证明：对于任意正整数n，随机变量Yn 可表示为 证明：对于任意正整数n Yn = X1＋ X2＋…＋ Xn X1, X2,…, Xn 相互独立，Xi ~ B( 1, p )，且有 E( Xi ) = p , D( Xi ) = p(1-p) 所以随机变量序列{ Xi }, i =1,2,…满足独立同分布 中心极限定理条件。即有
切比雪夫不等式的应用 1）估计随机变量落在某个区间内的概率 (P125例5.5.2) 2）估计ε的值, 使 P(│X - E(X)│<ε) ≥ a (0<a<1) 3）证明大数定律。
二. 大数定律 定义： 依概率收敛 设{Xn}是一个随机变量序列，X 是一个随机变量 或常数，若对于任意的ε＞ 0，有 lim P{| X n − X |≥ ε } = 0
概率论与数理统计 第五章 大数定律与中心极限定理
nA 一种提法是： “当 n 足够大时，频率 n 与概率 p 有较大偏差
的概率很小” ，用数学语言表达，就是要证明： 0 ，有
nA nA lim P p 0 lim P p 1 n ，或 n n ． n
另一种提法是：研究随机变量 n A 的分布的极限行为，即讨 论分布函数
nA lim P p 0 lim P n n 或 n
nA p 1 ． n
证 引入
1 , 第i次试验中事件A发生 Xi ，i 1 , 2 , , n ， 0 , 第i次试验中事件A不发生
下面我们进一步来讨论贝努利试验．若记 n A 为 n 次贝努利试
nA 验中事件 A 发生的次数， 则事件 A 发生的频率为 n ． 所谓 “频 率的稳定性” ，无非是指当试验次数 n 无限增大(即 n )时，
nA 频率 n 无限接近于某个固定常数．这个固定的常数就是“事 件 A 在一次试验中发生的的概率 p” ． nA 由此可见，讨论频率 n 的极限行为，是理解概率论中最基本
2019年1月14日星期一
11 / 102
§5.1
大数定律
作为预备知识，我们先明确随机变量序列收敛的
相关概念，同时给出一个重要的不等式，它是以下理 论证明所用的主要工具之一．
定 义 1.1 设 a 是常数，对于随机变量序列 ，如果 0 ，有
X1 , X 2 ,
, Xn ,
lim P
n
个常数，即在这个常数的附近摆动，这就是所谓的“频
率稳定性”．但对这一点，至今为止我们尚未给予理论 上的说明．另外，在第二章我们给出了二项分布的泊松 逼近，那么更一般的近似计算方案又是怎样呢?
的概率很小” ，用数学语言表达，就是要证明： 0 ，有
nA nA lim P p 0 lim P p 1 n ，或 n n ． n
另一种提法是：研究随机变量 n A 的分布的极限行为，即讨 论分布函数
nA lim P p 0 lim P n n 或 n
nA p 1 ． n
证 引入
1 , 第i次试验中事件A发生 Xi ，i 1 , 2 , , n ， 0 , 第i次试验中事件A不发生
下面我们进一步来讨论贝努利试验．若记 n A 为 n 次贝努利试
nA 验中事件 A 发生的次数， 则事件 A 发生的频率为 n ． 所谓 “频 率的稳定性” ，无非是指当试验次数 n 无限增大(即 n )时，
nA 频率 n 无限接近于某个固定常数．这个固定的常数就是“事 件 A 在一次试验中发生的的概率 p” ． nA 由此可见，讨论频率 n 的极限行为，是理解概率论中最基本
2019年1月14日星期一
11 / 102
§5.1
大数定律
作为预备知识，我们先明确随机变量序列收敛的
相关概念，同时给出一个重要的不等式，它是以下理 论证明所用的主要工具之一．
定 义 1.1 设 a 是常数，对于随机变量序列 ，如果 0 ，有
X1 , X 2 ,
, Xn ,
lim P
n
个常数，即在这个常数的附近摆动，这就是所谓的“频
率稳定性”．但对这一点，至今为止我们尚未给予理论 上的说明．另外，在第二章我们给出了二项分布的泊松 逼近，那么更一般的近似计算方案又是怎样呢?
第五章 大数定律与中心极限定理 《概率论》PPT课件
概率论与数理统计
§5.2 中心极限定理
2）中 心极限 定理表明，若 随 机 变 量 序 列
X 1 , X 2 , , X n 独立同分布，且它们的数学期
望及方差存在，则当n充分大时，其和的分布,
n
即 X k 都近似服从正态分布. (注意:不一定是 k 1
标准正态分布）
3）中心定理还表明：无论每一个随机变量 X k ,
概率论与数理统计
§5.1 大数定律
定理1（Chebyshev切比雪夫大数定律）
假设{ Xn}是两两不相关的随机
变量序列，EXn , DXn , n 1,2, 存在，
其方差一致有界，即 D(Xi) ≤L，
i=1,2, …， 则对任意的ε>0，
lim P{|
n
1 n
n i1
Xi
1 n
n i1
E(Xi ) | } 1.
概率论与数理统计
§5.2 中心极限定理
现在我们就来研究独立随机变量之和所 特有的规律性问题.
在概率论中，习惯于把和的分布 收敛于正态分布这一类定理都叫做中心 极限定理.
下面给出的独立同分布随机变量序 列的中心极限定理, 也称列维——林德 伯格（Levy－Lindberg）定理.
概率论与数理统计
§5.2 中心极限定理
大量的随机现象平均结果的稳定性
大量抛掷硬币 正面出现频率
生产过程中的 字母使用频率 废品率
概率论与数理统计
§5.1 大数定律
一、大数定律
阐明大量的随机现象平均结果的稳定性的一系
列定理统称为大数定律。
定义1 如果对于任意 0, 当n趋向无穷时，事件
" Xn X " 的概率收敛到1，即
概率论与数理统计----第五章大数定律及中心极限定理
故
= 1 − Φ(3.54)
=0.0002
一箱味精净重大于20500的概率为 的概率为0.0002. 一箱味精净重大于 的概率为
推论:
特别，若X～Ｂ（n，p）,则当n充分大时， 特别， ～Ｂ（n 则当n充分大时，
Ｘ～Ｎ（np，npq） Ｘ～Ｎ（np，npq） np
若随机变量Ｘ～Ｂ（ Ｘ～Ｂ（n， ），则对任意实数x有 ），则对任意实数 即 若随机变量Ｘ～Ｂ（ ，p），则对任意实数 有
不等式证明 P{-1<X<2n+1}≥(2n+1)/(n+1)(n+1)
3. 设P{|X-E(X)|<ε}不小于 不小于0.9,D(X)=0.009.则用 不小于 则用
切比绍夫不等式估计ε的 最小值是( 切比绍夫不等式估计 的 最小值是
0.3 ).
4.(894) 设随机变量 的数学期望为 设随机变量X的数学期望为 的数学期望为µ, 标准差为σ,则由切比绍夫不等式 标准差为 则由切比绍夫不等式 P{|X-µ|≥3σ}≤( ). 1/9 5. 设随机变量X的分布律为 设随机变量 的分布律为 P{X=0.3}=0.2, P{X=0.6}=0.8, 用切比绍夫不等式估计 |X-E(X)|<0.2的概率 的概率. 的概率
1 n lim P ∑ Xi − µ < ε = 1 n→∞ n i =1
定理（贝努里利大数定律） 设每次实验中事件A发生的概率 定理（贝努里利大数定律） 设每次实验中事件A 为p，n次重复独立实验中事件A发生的次数为nA，则对任 次重复独立实验中事件A发生的次数为n 意的ε>0 意的ε>0 ，事件的频率 nA ，有 ε>
∫
+∞
−∞
= 1 − Φ(3.54)
=0.0002
一箱味精净重大于20500的概率为 的概率为0.0002. 一箱味精净重大于 的概率为
推论:
特别，若X～Ｂ（n，p）,则当n充分大时， 特别， ～Ｂ（n 则当n充分大时，
Ｘ～Ｎ（np，npq） Ｘ～Ｎ（np，npq） np
若随机变量Ｘ～Ｂ（ Ｘ～Ｂ（n， ），则对任意实数x有 ），则对任意实数 即 若随机变量Ｘ～Ｂ（ ，p），则对任意实数 有
不等式证明 P{-1<X<2n+1}≥(2n+1)/(n+1)(n+1)
3. 设P{|X-E(X)|<ε}不小于 不小于0.9,D(X)=0.009.则用 不小于 则用
切比绍夫不等式估计ε的 最小值是( 切比绍夫不等式估计 的 最小值是
0.3 ).
4.(894) 设随机变量 的数学期望为 设随机变量X的数学期望为 的数学期望为µ, 标准差为σ,则由切比绍夫不等式 标准差为 则由切比绍夫不等式 P{|X-µ|≥3σ}≤( ). 1/9 5. 设随机变量X的分布律为 设随机变量 的分布律为 P{X=0.3}=0.2, P{X=0.6}=0.8, 用切比绍夫不等式估计 |X-E(X)|<0.2的概率 的概率. 的概率
1 n lim P ∑ Xi − µ < ε = 1 n→∞ n i =1
定理（贝努里利大数定律） 设每次实验中事件A发生的概率 定理（贝努里利大数定律） 设每次实验中事件A 为p，n次重复独立实验中事件A发生的次数为nA，则对任 次重复独立实验中事件A发生的次数为n 意的ε>0 意的ε>0 ，事件的频率 nA ，有 ε>
∫
+∞
−∞
第五章 大数定律与中心极限定理
∑200
【解】 设 X i 表示“该射手第 i 次射击的得分”，则 Y = X i 表示射手所得总分，
i=1
Xi (i =1, 2, , 200) 独立同分布，分布表如下：
Xi
0
2
3
4
5
p
由于
0.1
0.1
0.2
0.2
0.4
E( Xi ) = 0×0.1+ 2×0.1+ 3×0.2 + 4×0.2 + 5×0.4 = 3.6 ；
试验中发生的概率，这个定律以严格的数学形式刻画了频率的稳定性，在实际应用中，当试 验次数很大时，便可以用事件发生的频率来替代事件的概率.
3、辛钦大数定律
设随机变量序列 X , X , 12
，Xn,
相互独立且服从相同的分布,具有相同的数学期望
E(X i
)
=
μ
,（
i
=
1,
2,
） ,则对任意给定的正数 ε ，有
) ,则对任意实数 x ，有
∑ ⎧
⎪
n
X − nμ i
⎫ ⎪
⎨ lim P i=1
≤ x⎬ =
⎪ n→∞
nσ
⎪
⎩
⎭
∫ 1
2π
x −t2
e
−∞
2 dt = Φ(x) .
154
第五章 大数定律与中心极限定理
n
∑ 【评注】 n 个相互独立同分布、方差存在的随机变量之和 Xi ，当 n 充分大时，近似 i =1
第五章 大数定律与中心极限定理
本章学习要点
① 了解切比雪夫不等式； ② 了解切比雪夫大数定律、伯努利大数定律和辛钦大数定律（独立同分布随机变量的大
【解】 设 X i 表示“该射手第 i 次射击的得分”，则 Y = X i 表示射手所得总分，
i=1
Xi (i =1, 2, , 200) 独立同分布，分布表如下：
Xi
0
2
3
4
5
p
由于
0.1
0.1
0.2
0.2
0.4
E( Xi ) = 0×0.1+ 2×0.1+ 3×0.2 + 4×0.2 + 5×0.4 = 3.6 ；
试验中发生的概率，这个定律以严格的数学形式刻画了频率的稳定性，在实际应用中，当试 验次数很大时，便可以用事件发生的频率来替代事件的概率.
3、辛钦大数定律
设随机变量序列 X , X , 12
，Xn,
相互独立且服从相同的分布,具有相同的数学期望
E(X i
)
=
μ
,（
i
=
1,
2,
） ,则对任意给定的正数 ε ，有
) ,则对任意实数 x ，有
∑ ⎧
⎪
n
X − nμ i
⎫ ⎪
⎨ lim P i=1
≤ x⎬ =
⎪ n→∞
nσ
⎪
⎩
⎭
∫ 1
2π
x −t2
e
−∞
2 dt = Φ(x) .
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第五章 大数定律与中心极限定理
n
∑ 【评注】 n 个相互独立同分布、方差存在的随机变量之和 Xi ，当 n 充分大时，近似 i =1
第五章 大数定律与中心极限定理
本章学习要点
① 了解切比雪夫不等式； ② 了解切比雪夫大数定律、伯努利大数定律和辛钦大数定律（独立同分布随机变量的大
东华大学《概率论与数理统计》课件 第五章 大数定律与中心极限定理
7 8.75E-06 6.2863E-05 7.19381E-05 7.28862E-05 7.2992E-05
8 3.65E-07 7.3817E-06 8.93826E-06 9.1053E-06 9.124E-06
4 0.01116 0.01494171 0.015289955 0.015324478 0.01532831
5 0.001488 0.00289779 0.003048808 0.003063976 0.00306566
6 0.000138 0.00046345 0.0005061 0.000510458 0.00051094
ln n) + 1 ( 2
ln n) = 0
Dn
=
E
2 n
=
1 2
(ln n) +
1 2
(ln n)
=
ln n
→
但 1
n2
n
D( i ) =
i =1
1 n2
n i =1
Di
=
1 n2
n
ln i
i =1
1 n2
n
ln n =
i =1
ln n n
→0
满足马尔可夫条件，{
｝服从大数定律
n
注意: 辛钦大数定律只要求一阶矩存在,但是 随机变量序列是独立同分布的. 若所讨论的 随机变量序列是不服从同分布的要求或不独 立可应用切比雪夫大数定律 或者马尔可夫大 数定律 .
（2）设 n 为 n 次独立重复试验中 A 出现的次数， p 是事件 A 在每次试验中出现的概率， 0 ，
则
lim
n→
P{
n
n
−
p
大数定律
则对于任意ε＞0，有
1
lnimlniPmPn
n
1n
i
X
1
nXi
En(
Xn
i 1
)E( Xi
)
1
1
记
1n X n n i1 X i
1 n
E( Xn ) n i1 E( Xi )
这意味着在n充分大时，相互独立的随机变量的算术平均值
X n 的值将比较紧密地聚集在它的数学 期望 E( Xn ) 附近．
第五章 极限定理
考试内容 切比雪夫（Chebyshev）不等式 切比雪夫大数定律 伯
努利（Bernoulli)大数定律 辛钦（Khinchine）大数定律 棣 莫弗－拉普拉斯（De Moivre－laplace）定理 列维－林德伯格 （Levy-Lindberg）定理
考试要求 1．了解切比雪夫不等式． 2．了解切比雪夫大数定律、伯努利大数定律和辛钦大数定
结束
二、大数定律
定理1(切贝雪夫大数定律)如果X1，X2…，Xn，…是相互独立的 随机变量序列，每一个Xi都有数学期望E(Xi）和有限的方差D(Xi), 且方差有公共的上界，即
D( Xi ) C, i 1, 2, , n, ; C 0 则对于任意ε＞0，有
lim P n
1 n
n i 1
(3 D(X ) )2 9
《概率统计》
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结束
例2．若在每次试验中，A发生的概率为0.5，进行1000 次独立试验，估计 A 发生 400～600 次之间的概率。
解：因 X ～B（1000，0.5），E（X）=500，D（X）=250
所以 P{ 400 < X < 600 } = P{ | X-500 | < 100 }
1
lnimlniPmPn
n
1n
i
X
1
nXi
En(
Xn
i 1
)E( Xi
)
1
1
记
1n X n n i1 X i
1 n
E( Xn ) n i1 E( Xi )
这意味着在n充分大时，相互独立的随机变量的算术平均值
X n 的值将比较紧密地聚集在它的数学 期望 E( Xn ) 附近．
第五章 极限定理
考试内容 切比雪夫（Chebyshev）不等式 切比雪夫大数定律 伯
努利（Bernoulli)大数定律 辛钦（Khinchine）大数定律 棣 莫弗－拉普拉斯（De Moivre－laplace）定理 列维－林德伯格 （Levy-Lindberg）定理
考试要求 1．了解切比雪夫不等式． 2．了解切比雪夫大数定律、伯努利大数定律和辛钦大数定
结束
二、大数定律
定理1(切贝雪夫大数定律)如果X1，X2…，Xn，…是相互独立的 随机变量序列，每一个Xi都有数学期望E(Xi）和有限的方差D(Xi), 且方差有公共的上界，即
D( Xi ) C, i 1, 2, , n, ; C 0 则对于任意ε＞0，有
lim P n
1 n
n i 1
(3 D(X ) )2 9
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结束
例2．若在每次试验中，A发生的概率为0.5，进行1000 次独立试验，估计 A 发生 400～600 次之间的概率。
解：因 X ～B（1000，0.5），E（X）=500，D（X）=250
所以 P{ 400 < X < 600 } = P{ | X-500 | < 100 }
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概率统计第五章随机变量序列的极限
一 大数定律
依概率收敛的定义 独立同分布情形下的大数定律
依概率收敛
定义：设 X1, X 2, 是一个随机变量序列。
如果存在一个常数 c ，使得对任意一个 0 ，
总有
lim P
n
Xn c
1，
那么称序列Xn,i 1, 2, 依概率收敛于 c ，
记作
例 6．某计算机系统有 120 个终端， 每个终端有 5%的时间在使用，若各个终 端使用与否是相互独立的。试求在任何时 刻有 10 个或更多个终端在使用的概率。
推论：（德莫弗-拉普拉斯中心极限定理） 设 X1, X2, , X n , 是独立同分布随机变 量序列，且都服从参数为 p 的两点分布，
则对任意 x, ，有
n
Xi np
lim P i1
x x
n np 1 p
一般地有下列公式：设Y Bn, p ，则
当 n 充分大时，
Pa Y b
b np
a np
np 1 p np 1 p
例7．（p126,例5.3) 一本２０万字的长篇小说进行排版， 假定每个字排错的概率为10-5，试求该 小说出版后发现有６个以上错字的概率． 假定各个字是否排错是相互独立的．
一个随机变量 X ，已知 E X 2， D X 2.25。现在进行 100 次轰炸。问击中
的炮弹总数在 180 枚至 220 枚之间的概率。
例4． （课本例 5.2） 某人要测量甲,乙两地的距离,限于
交通工具,他分成 1200 段来测量,每段 上 的 测 量 误 差 ~R(-0.5,0.5), 且 相 互 独 立,试求总距离误差的绝对值超过 20 厘米的概率.
X
。
频率的稳定性可用贝努利大数定律来表达：
贝努利大数定律（定理 5.4）
设 X1, X 2, , X n , 独立同分布，且
X1 B1, p ，则
X p p 。
二 中心极限定理
定理 5.5 （独立同分布情形下的中心极限定理） 设独立同分布随机变量序列 X1, X2, , X n , ，
且 E X1 ， D X1 2 0 。则对任意 x, ，总有
例8． 现有一大批种子，其中良种占 1 。 6
今从中任选 6000 粒。试问在这些种子中
良种所占的比例减去 1 后小于 1%的概率 6
是多少？
例9． 利用中心极限定理计算： 当掷一枚均匀的铜币时，需投掷多少次
才能保证使得正面出现的频率在 0.4 至 0.6 之间的概率不小于 90%。
且 E X1 ， D X1 2 ，那么
X
1 n
n i 1
Xi
p
。
因 为 EX ， 极 限 也 可 表 为 X p E X 。
（也即 lim P X 0 ） n
例1． 设 X1, X 2, , X n , 独立同分布，
（1）若 X1 B1, p ；（2） X1 N , 2 。
n
Xi n
lim P i1
x x
n
n 2
进一步说明：
n
（1）记 Z X i ，则 Z n N n, n 2 i 1
n
Xi n
（2）记 Y i1
，则Y nN 0,1 ；
n 2
即 Z E Z n N 0,1 ； DZ
（3）
X
n N
,
2
n
或
X
n
N
0,1
，
n
例3． 对某据点进行轰炸，击中的炮弹数是
问 X 依概率收敛于什么值？
例2． 频率的稳定性：在 n 次重复独立试验中， 设随机变量
1 Xi 0
事件A在第i次试验时发生 事件A在第i次试验时不发生
那么 n 次重复独立试验中 A 发生的频率为
fn i 1
Xi
。于是
NA n
p p 可
表为
1 n
n i 1
Xi
p
p
E
Xn
p c
。（或
lim
n
P
Xn c
0）
考察频率的稳定性：
在 n 重贝努利试验中，设事件 A 发生了
NA 次，则 NA Bn, p ，其中 p P A 。
那么事件 A 发生的频率为
fn
A
NA n
，而且 NA n
p p 。
独立同分布情形下的大数定律
定理 5.3 设 X1, X 2, , X n , 独立同分布，
例 5． 设有 30 个电子元件 D1, D2 , , D30 。 它们如下使用：当 D1 损坏时立即使用 D2 ， 当 D2 损坏时立即起用 D3 ，依次类推。用 Di
表示第 i 个元件的寿命，设 Di E 0.1 （单
位：小时）。记T 为 30 个元件使用的总计时间。 问T 超过 350 小时的概率是多少？
一 大数定律
依概率收敛的定义 独立同分布情形下的大数定律
依概率收敛
定义：设 X1, X 2, 是一个随机变量序列。
如果存在一个常数 c ，使得对任意一个 0 ，
总有
lim P
n
Xn c
1，
那么称序列Xn,i 1, 2, 依概率收敛于 c ，
记作
例 6．某计算机系统有 120 个终端， 每个终端有 5%的时间在使用，若各个终 端使用与否是相互独立的。试求在任何时 刻有 10 个或更多个终端在使用的概率。
推论：（德莫弗-拉普拉斯中心极限定理） 设 X1, X2, , X n , 是独立同分布随机变 量序列，且都服从参数为 p 的两点分布，
则对任意 x, ，有
n
Xi np
lim P i1
x x
n np 1 p
一般地有下列公式：设Y Bn, p ，则
当 n 充分大时，
Pa Y b
b np
a np
np 1 p np 1 p
例7．（p126,例5.3) 一本２０万字的长篇小说进行排版， 假定每个字排错的概率为10-5，试求该 小说出版后发现有６个以上错字的概率． 假定各个字是否排错是相互独立的．
一个随机变量 X ，已知 E X 2， D X 2.25。现在进行 100 次轰炸。问击中
的炮弹总数在 180 枚至 220 枚之间的概率。
例4． （课本例 5.2） 某人要测量甲,乙两地的距离,限于
交通工具,他分成 1200 段来测量,每段 上 的 测 量 误 差 ~R(-0.5,0.5), 且 相 互 独 立,试求总距离误差的绝对值超过 20 厘米的概率.
X
。
频率的稳定性可用贝努利大数定律来表达：
贝努利大数定律（定理 5.4）
设 X1, X 2, , X n , 独立同分布，且
X1 B1, p ，则
X p p 。
二 中心极限定理
定理 5.5 （独立同分布情形下的中心极限定理） 设独立同分布随机变量序列 X1, X2, , X n , ，
且 E X1 ， D X1 2 0 。则对任意 x, ，总有
例8． 现有一大批种子，其中良种占 1 。 6
今从中任选 6000 粒。试问在这些种子中
良种所占的比例减去 1 后小于 1%的概率 6
是多少？
例9． 利用中心极限定理计算： 当掷一枚均匀的铜币时，需投掷多少次
才能保证使得正面出现的频率在 0.4 至 0.6 之间的概率不小于 90%。
且 E X1 ， D X1 2 ，那么
X
1 n
n i 1
Xi
p
。
因 为 EX ， 极 限 也 可 表 为 X p E X 。
（也即 lim P X 0 ） n
例1． 设 X1, X 2, , X n , 独立同分布，
（1）若 X1 B1, p ；（2） X1 N , 2 。
n
Xi n
lim P i1
x x
n
n 2
进一步说明：
n
（1）记 Z X i ，则 Z n N n, n 2 i 1
n
Xi n
（2）记 Y i1
，则Y nN 0,1 ；
n 2
即 Z E Z n N 0,1 ； DZ
（3）
X
n N
,
2
n
或
X
n
N
0,1
，
n
例3． 对某据点进行轰炸，击中的炮弹数是
问 X 依概率收敛于什么值？
例2． 频率的稳定性：在 n 次重复独立试验中， 设随机变量
1 Xi 0
事件A在第i次试验时发生 事件A在第i次试验时不发生
那么 n 次重复独立试验中 A 发生的频率为
fn i 1
Xi
。于是
NA n
p p 可
表为
1 n
n i 1
Xi
p
p
E
Xn
p c
。（或
lim
n
P
Xn c
0）
考察频率的稳定性：
在 n 重贝努利试验中，设事件 A 发生了
NA 次，则 NA Bn, p ，其中 p P A 。
那么事件 A 发生的频率为
fn
A
NA n
，而且 NA n
p p 。
独立同分布情形下的大数定律
定理 5.3 设 X1, X 2, , X n , 独立同分布，
例 5． 设有 30 个电子元件 D1, D2 , , D30 。 它们如下使用：当 D1 损坏时立即使用 D2 ， 当 D2 损坏时立即起用 D3 ，依次类推。用 Di
表示第 i 个元件的寿命，设 Di E 0.1 （单
位：小时）。记T 为 30 个元件使用的总计时间。 问T 超过 350 小时的概率是多少？