概率论 第五章汇总
概率第五章_大数定律与中心极限定理090505
P ( − Eξ ε ) = ξ ≥
P(ξ ≥ Eξ + ε ) + P (ξ ≤ Eξ − ε )
k
=
≤
k : xk ≥ E +
∑ξ ε p
k
+
k : xk ≤ E −
∑ξ ε p
pk +
k :xk ≥ E +
∑ξ ε
( x − Eξ ) 2
ε
2
k :xk ≤ E −
∑ξ ε
( x − Eξ ) 2
， 方差 Dξ n ( n = 1, 2,L)，且 Dξi < l (i = 1, 2,L) 其中 l 与 i 无关的
1 Eξ = (1 + 2 + 3 + L + 6) 6
35 7 故 Eξ = Dξ = 12 2
4 2 = P (ξ = 5) + P(ξ = 6) + P (ξ = 1) + P (ξ = 2) = = 6 3 7 1 P( − 2 ) = P(ξ ≥ 5.5) + P(ξ ≤ 1.5) = P (ξ = 6) + P (ξ = 1) = ξ ≥
即
lim P ( − p < ε ) = 1 n →∞ n
ξ
此定理表明：当试验在不变的条件下重复进行很多次时， 随机事件的频率 频率在它的概率 概率附近摆动。 频率 概率 由贝努里大数定律可知，若事件A的概率很小很小时，则 它的频率也很小很小，即事件A很少发生或几乎不发生， 这种事件叫小概率事件。反之，若随机事件的概率很接近1， 则可认为在个别试验中这事件几乎一定发生。 同分布的两个或多个随机变量: 同分布的两个或多个随机变量 离散型: 它们的概率分布律相同. 离散型 它们的概率分布律相同 连续型: 它们的概率密度函数相同. 连续型 它们的概率密度函数相同 所以它们的期望与方差一定相同. 所以它们的期望与方差一定相同
概率论与数理统计 第五章
Xn ⎯ ⎯→ X 2. 依概率收敛与依分布收敛的关系
依概率收敛 ⇒ 依分布收敛
L
3. 定义：中心极限定理 设随机变量 X ~ N(0,1)，{Xi }，i = 1, 2, … 相互独 立，且数学期望和方差都存在, 若标准化随机变量序列
∑
n
i =1
Xi −
∑ E(X
i =1
n
i
)
∑
n
i =1
D(X i)
所以结论成立。 由此有，若X ~ B( n, p )，对于足够大的n，有 ⎧ m1 − np X − np m2 − np ⎫ ⎪ ⎪ < ≤ P{m1 < X ≤ m2 }= P ⎨ ⎬ np(1 − p) np(1 − p) ⎪ ⎪ np(1 − p) ⎩ ⎭
⎧ Yn − np ⎫ ⎪ ⎪ ≤ x ⎬ = Φ( x ) lim P ⎨ n →∞ ⎪ np(1 − p ) ⎪ ⎩ ⎭
证明：对于任意正整数n，随机变量Yn 可表示为 证明：对于任意正整数n Yn = X1＋ X2＋…＋ Xn X1, X2,…, Xn 相互独立，Xi ~ B( 1, p )，且有 E( Xi ) = p , D( Xi ) = p(1-p) 所以随机变量序列{ Xi }, i =1,2,…满足独立同分布 中心极限定理条件。即有
切比雪夫不等式的应用 1）估计随机变量落在某个区间内的概率 (P125例5.5.2) 2）估计ε的值, 使 P(│X - E(X)│<ε) ≥ a (0<a<1) 3）证明大数定律。
二. 大数定律 定义： 依概率收敛 设{Xn}是一个随机变量序列，X 是一个随机变量 或常数，若对于任意的ε＞ 0，有 lim P{| X n − X |≥ ε } = 0
第5章概率知识点清单-高一下学期数学湘教版
新教材湘教版2019版数学必修第二册第5章知识点清单目录第5章概率5. 1 随机事件与样本空间5. 2 概率及运算5. 3 用频率估计概率5. 4 随机事件的独立性第5章概率5. 1 随机事件与样本空间5. 1. 1 随机事件一、确定性现象与随机现象1. 在一定条件下必然发生(出现)的现象称为确定性现象.2. 在条件相同的情况下，不同次的试验或观察会得到不同的结果，每一次试验或观察之前不能确定会出现哪种结果. 我们把这种现象称为随机现象.二、随机试验、样本点与样本空间1. 随机试验对随机现象进行试验、观察或观测称为随机试验. 随机试验一般用大写字母E表示.2. 样本点对于一个随机试验，我们将该试验的每个可能结果称为样本点，常用ω(或带下标)表示.3. 样本空间将随机试验所有样本点构成的集合称为此试验的样本空间，用Ω表示.用集合的语言描述时，试验的样本空间是该试验所有样本点构成的全集，样本点是该全集的元素. 它们之间的关系可用如图刻画.4. 有限样本空间如果样本空间中样本点的个数是有限的，则称该样本空间为有限样本空间.三、随机事件1. 随机事件一般地，当Ω是试验的样本空间时，我们称Ω的子集A是Ω的随机事件，简称为事件，一般用大写字母A，B，C，…来表示.对于样本空间Ω，A是事件和A⊆Ω等价.2. 基本事件由一个样本点组成的集合，称为基本事件.当试验结果(即试验的样本点)ω∈A时，就称事件A发生，否则称A不发生，即样本点ω∈A和事件A发生等价.3. 必然事件Ω也是Ω的子集，并且包括了所有的样本点，所以必然发生. 我们称样本空间Ω是必然事件.4. 不可能事件空集⌀也是Ω的子集，所以空集⌀是事件. 空集⌀中没有样本点，永远不会发生，所以我们称⌀是不可能事件.四、随机事件、必然事件与不可能事件的理解1. 判断一个事件是随机事件、必然事件还是不可能事件，首先要看条件，其次是看在该条件下所研究的事件是一定发生(必然事件)、不一定发生(随机事件)还是一定不发生(不可能事件).五、样本点与样本空间的确定1. 样本空间是由试验的所有可能结果组成的集合，而试验的每种可能结果称为该试验的样本点，样本点具有以下性质：(1)样本点是不能再分的最简单的可能结果；(2)样本点和样本空间是元素和集合的关系.2. 随机事件的结果是相对于条件而言的，要弄清某一个随机事件的所有结果，必须首先明确事件发生的条件，再根据题意，按一定的次序列出问题的答案.3. 探求样本空间中的样本点通常用字典排列法、画树状图法和列表法三种方法.(1)“从n个元素中任取m个元素”常采用字典排列法；(2)“依次取出”常采用画树状图法；(3)“从两个集合中分别任取一个”常采用列表法.5. 1. 2 事件的运算一、事件的关系二、事件的运算三、互斥事件与对立事件四、概率论中事件的运算性质1. 概率论中事件的运算性质与集合论中的运算性质是一致的，主要包括：(1)A∪B=B∪A，A∩B=B∩A；(2)(A∪B)∪C=A∪(B∪C)，(A∩B)∩C=A∩(B∩C)；(3)(A∪B)∩C=(A∩C)∪(B∩C)，C∩(A∪B)=(C∩A)∪(C∩B)；(4)A∪B=A∩B，A∩B=A∪B.五、互斥事件与对立事件的判断1. 互斥事件是不可能同时发生的事件，但可以同时不发生；对立事件是特殊的互斥事件，特殊在对立的两个事件不可能都不发生，即有且仅有一个发生.2. 判断两个事件是互斥事件还是对立事件可以先对样本点进行逻辑划分，再进行分析.3. 可以利用Venn图，类比集合的关系进行分析判断.六、事件的运算事件间运算的方法1. 利用事件间运算的定义，列出同一条件下的试验所有可能出现的结果(可以是样本点，也可以是具有相同特点的一些样本点的集合)，分析并利用这些结果进行事件间的运算.2. 利用Venn图，借助集合间运算的思想，分析同一条件下的试验所有可能出现的结果，把这些结果在图中列出，从而进行运算.3. 对复杂事件的研究，通常将复杂事件表示为简单事件的和或积的形式.5. 2 概率及运算5. 2. 1 古典概型一、概率1. 定义设试验的样本空间Ω有n个样本点，且每个样本点发生的可能性相同. 当Ω中的事件A包含了m个样本点时，称P(A)=mn为事件A发生的概率，简称为A的概率. 2. 概率的基本性质(1)任何事件的概率在0~1之间，即0≤P(A)≤1.(2)必然事件包含样本空间Ω中的所有样本点，因而P(Ω)=1.(3)不可能事件不包含任何样本点，因而P(⌀)=0.二、古典概型1. 定义：我们把概率定义描述的概率模型称为古典概率模型，简称为古典概型.2. 特点(1)样本空间中只有有限个样本点；(2)每个样本点出现的可能性相等.3. 计算公式P(A)=A中的样本点个数Ω中的样本点个数.三、求古典概型的概率1. 解决古典概型实际问题的步骤 四、古典概型的综合应用1. 有关古典概型与统计结合的题型，一般利用频率分布表、频率分布直方图等给出信息，只要能够从题中提炼出需要的信息，就能解决此类问题.2. 有关古典概型与其他数学知识结合的题型，可利用有关数学知识得出限制事件的条件，进而解决概率问题.5. 2. 2 概率的运算一、概率的运算1. 互斥事件的概率加法公式如果Ω中的事件A，B互斥，则P(A∪B)=P(A)+P(B).推广：如果事件A1，A2，A3，…，A n两两互斥，那么事件A1∪A2∪A3∪…∪A n发生(是指A1，A2，A3，…，A n中至少有一个发生)的概率，等于这n个事件的概率的和，即P(A1∪A2∪…∪A n)=P(A1)+P(A2)+…+P(A n).2. 对立事件的概率公式：如果A是样本空间Ω的事件，则P(A)=1-P(A).3. 一般概率加法公式：P(A∪B)=P(A)+P(B)-P(A∩B).二、利用概率的运算性质求事件的概率1. 已知简单事件的概率求复杂事件的概率的一般步骤(1)事件表示：将已知概率的事件、要求概率的事件用适当的字母表示；(2)事件运算：将已知概率的事件进行适当运算得到要求概率的事件；(3)求概率：利用互斥事件、对立事件等的概率公式求相关概率.5. 3 用频率估计概率一、频率与概率1. 设Ω是某个试验的样本空间，A是Ω的事件. 在相同的条件下将该试验独立地重复n次，则称F n(A)=n次试验中A发生的次数n是n次独立重复试验中事件A发生的频率.2. 一般地，如果事件A发生的可能性愈大，频率F n(A)也愈大；反之，如果F n(A)愈大，那么可以设想事件A发生的可能性也愈大. 因此，频率与概率间应有紧密的联系.3. 理论和实践都证明：在相同的条件下，将一试验独立重复n次，若用F n(A)表示事件A在这n次试验中发生的频率，则当n增加时，F n(A)将向一个固定的数值p靠近，这个数值p就可看作事件A发生的概率P(A)，即F n(A)是P(A)的估计.4. 频率和概率都是随机事件发生可能性大小的定量刻画，但频率与试验次数及具体的试验有关，因此频率具有随机性；而概率是刻画随机事件发生可能性大小的数值，是一个固定的量，不具有随机性，因此频率不能完全反映概率.二、用频率估计概率1. 频率是事件A发生的次数m与试验总次数n的比值，利用此公式可求出事件A的频率. 频率本身是随机变化的，当n很大时，频率总是在一个稳定值附近摆动，这个稳定值就是概率.2. 解此类题目的步骤是先利用频率的计算公式计算出频率，再用频率估计概率.5. 4 随机事件的独立性一、事件的相互独立1. 在概率论中，设A，B为两个事件，若P(A∩B)=P(A)P(B)，则称事件A，B相互独立，简称为独立.(1)事件A与事件B相互独立，即事件A(或B)是否发生，对事件B(或A)发生的概率没有影响.(2)若事件A，B独立，则计算P(A∩B)的公式为P(A∩B)=P(A)P(B).二、事件相互独立的性质2. 相互独立事件与互斥事件的区别三、判断事件的独立性1. 判断两个事件是否相互独立的方法(1)直接法：直接判断一个事件发生与否是否影响另一事件发生的概率.(2)定义法：判断P(AB)=P(A)P(B)是否成立，即两个事件同时发生的概率是否等于每个事件发生的概率的乘积.(3)转化法：由判断事件A与事件B是否相互独立，转化为判断A与B或A与B或A与B 是否相互独立.四、利用事件的独立性求复杂事件的概率1. 由简单事件通过运算得到复杂事件，进而利用互斥、对立、独立等关系计算概率. 解题时要注意(1)对事件进行分解，一方面分解为互斥的几类简单事件求概率；另一方面分解为独立的几类，利用事件同时发生(乘法)求出概率.(2)已知两个事件A，B，那么①A，B中至少有一个发生为事件A+B.②A，B都发生为事件AB.③A，B都不发生为事件A B.④A，B恰有一个发生为事件A B+B A.⑤A，B中至多有一个发生为事件A B+B A+A B.(3)求较复杂事件的概率的一般步骤①列出题中涉及的各个事件，并且用适当的符号表示.②厘清事件之间的关系(事件是互斥还是对立，或者是相互独立)，列出关系式.③根据事件之间的关系准确选取概率公式进行计算.④当直接计算符合条件的事件的概率较复杂时，可先计算其对立事件的概率，再求出符合条件的事件的概率.。
《概率论与数理统计》第五章
第五章 极限定理
‹#›
研究随机现象的大量观测， 常采用极限形式， 由此导致了极限定理的研究。 极限定理的内容很 广泛, 最重要的有两种:
“大数定律”和“中心极限定理”。
第五章 极限定理
‹#›
§1 大数定律
对随机现象进行大量重复观测，各种结果的出 现频率具有稳定性。
大量地掷硬币 正面出现频率
生产过程 中废品率
棣莫佛—拉普拉斯定理的内容是：当 n 很大时 ，二项分布可用正态分布近似。
总结/summary
第五章 极限定理
‹#›
切比雪夫不等式 理解切比雪夫不等式
大数定律
了解辛钦大数定理。
中心极限定理
掌握运用列维-林德伯格中心定理和棣 莫弗-拉普拉斯中心极限定理求解独立 随机变量之和的近似概率值
第五章 极限定理
字母使用频率
第五章 极限定理
‹#›
1. 切比雪夫不等式
定理1: 设随机变量X有期望μ和方
差σ2，则对任给的ε> 0, 有
P
X
2
1
2
或
P | X |
2 2
.
第五章 极限定理
‹#›
证明：只对X 是连续型情况加以证明。
设X 的概率密度函数为 f(x)，则有
P | X | f (x) dx
2.5
1
P
X
n 14 0.2
2.5
1 (2.5) 0.0062 ；
第五章 极限定理
‹#›
(2).
P{X n
14}
P
X
n
14
14 14
2 / 100 2 / 100
1
P
X
n 14 0.2
概率论与数理统计 第五章
∑ X − ∑µ
k =1 k =1
k
Bn
≤ x} = ∫
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
x
1 2π
−∞
e
t2 − 2
dt＝Φ(x).
说明: 说明
在定理条件下, r.v. Zn =
∑ X − ∑µ
k =1 k k =1
n
n
k
Bn
当 n很 大
时, 近似地服从正态分布N(0, 1),由此当n很大时,
∑X
k =1 n
n
t2 2
（本定理 可以由独立同分布 的中心极限定理证 明）
说明: 说明 本定理不难看出 :若ηn
~ b(n,p), 有
t2 2
b ηn − np 1 lim P a < e dt = Φ(b) − Φ(a), ≤ b = ∫ a n →∞ npq 2π 因 而 当 n较 大 时 , 我 们 可 以 用 正 态 分 布 近 似 计 算 二 项 分布 的 概率 。
2. 切比雪夫大数定律: 设X1 , X 2 , L Xn , L 是由两两互 不相关的随机变量所构成的序列, 每一个随机变量都 有有限的方差, 并且它们有公共的上界 , D(X1 ) ≤ C, D(X 2 ) ≤ C, L , D(Xn ) ≤ C, L 则对∀ε > 0, 都有 1 n 1 n lim P ∑ Xk − ∑ E(Xk ) < ε = 1. n →∞ n k =1 n k =1
k
2 , k = 0,1, L ,90000. 3 ≤ 30500}
90000-k
显然直接计算十分麻烦, 我们利用德莫佛-拉普拉斯定理 来求它的近 似 值 即有P{29500 < X ≤ 30500} 29500-np = P < np(1-p ) 30500-np ≤ np(1-p ) np(1-p ) X-np
概率论第五章
28 March 2011
湖南大学
第五章 大数定律与中心极限定理
第10页 10页
切比雪夫大数定律
设随机变量序列X1, X2 ,K, Xn ,K相互独立，且 E( Xi ), D( Xi )存在，若存在常数C, 使得D( Xi ) ≤ C,
1 n 1 n lim P{| ∑Xi − ∑E( Xi ) |< ε} =1 n→∞ n i=1 n i=1
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则称{Xn} 服从大数定律.
28 March 2011
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第五章 大数定律与中心极限定理
第9页
定义:
设a为一常数 X1, X2 ,K, Xn， 为一随机变量序列， 若 , K 对任意的ε > 0, 有 lim P{| Xn − a |< ε} =1,
n→∞
则 X1, X2 ,K, Xn ,K 概 收 于 称 依 率 敛 a
10 0.8
9 0.1
8 0.05
7 0.02
6 0.03
= Φ( − 3.53) −Φ(-6.85)= 1-0.9998=0.0002
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第五章 大数定律与中心极限定理
第17页 17页
二项分布的正态近似
棣莫弗—拉普拉斯中心极限定理 设µn 为服从二项分布 b(n, p) 的随机变量，则当 n 充分大时，有
∑X limP n→∞ σ
n i =1
i
− nµ n
≤ y = Φ( y)
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第五章 大数定律与中心极限定理
第15页 15页
例3 每袋味精的净重为随机变量，平均重量为 100 克，标准差为10克. 一箱内装200袋味精，求一箱味 精的净重大于20500克的概率? 解: 设箱中第 i 袋味精的净重为 Xi, 则Xi 独立同分布， 且 E(Xi)=100， D(Xi) =100， 由中心极限定理得，所求概率为：
概率论m5
n
n
当 n很 大 时 ， 不 等 式 Yn a 成立的概率很大 .
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第五章 大数定律及中心极限定理
§1 大数定律
说明2： X n P a , Yn P b , g ( x , y ) 在 点(a , b )连 续 若
§1 大数定律
定理 3（辛钦大数定律） 设 X 1 ,, X n , 相互独立同分布，且具有数学期 望 EX k ，k 1,2, , n, ，
则：对任意的 0 ，有
n
lim P {|
1
X i | } 1 n i 1
n
注：贝努里大数定律是辛钦大数定律的特殊情况。
§2 中心极限定理
V - 100 V - 100 P 0.387 1 P 0.387 (10 / 12) 20 (10 / 12) 20
1 ( 0 .387 ) 0 .348
例2 一生产线生产的产品成箱包装，每箱的重量是 随机的。假设每箱平均重50千克，标准差为5千克。 若用最大载重量为5吨的汽车承用，试利用中心极限 定理说明每辆车最多可以装多少箱，才能保证不超载 的概率大于0。977。
§2 中心极限定理
2
设X 1 ,, X n ,相 互 独 立 ， 且 k k，DXk k 0, EX
1 使得当 时， 2 n Bn
E{| X k k |2 } 0
k 1
n
则 { X n } 服从中心极限定理，即：
n
lim P {
1 ( X k k ) k DX k
n
概率论数理统计基础知识第五章
C
]
（A）Y ~ 2 (n). （B）Y ~ 2 (n 1). （C）Y ~ F (n,1). （D）Y ~ F (1, n).
【例】设 随机变量X和Y都服从标准正态分布，则[ C ]
（A）X+Y服从正态分布.
2 2 2
（B）X2 +Y2服从 2分布. Y
2
2 X （C）X 和Y 都服从 分布. （D）
(X ) ~ t ( n 1) S n
客、考点 10，正态总体的抽样分布
33/33
34/33
35/33
【例】设总体 X ~ N (0,1)，X 1 , X 2 , X1 X 2
2 2 X3 X4
, X n 是简单随机
2 X i. i 4 n
样本 , 试问下列统计量服从什么分布？ （1 ） ; （2 ） n 1X1
记：F分布是两个卡方分布的商
2. F 分布的上侧分位数
设 F ~ F (k1 , k2 ) ，对于给定的 a (0,1) ，称满足条件
P{F Fa (k1 , k2 )}
Fa ( k1 ,k2 )
f F ( x)dx a
的数 Fa (k1 , k2 ) 为F 分布的上侧a 分位数。
服从F分布.
§5.5 正态总体统计量的分布
一、单个正态总体情形 总体
X ~ N ( , 2 ) ，样本 X1 , X 2 , , Xn ，
1 n 样本均值 X X i n i 1
n 1 2 样本方差 S 2 ( X X ) i n 1 i 1
1. 定理1 若设总体X~N(μ,σ2), 则统计量
有一约束条件
(X
i 1
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1
t2
e 2 dt ( x).
n np(1 p) 2
证 由§4.2例知, n可以看成n个相互独立的服从同一(0-1)分
布的随机变量X1,...,Xn之和，即 近n 似X1 X2 Xn
np n
N (0,1) E(X i ) p, D(Xi ) p(1 p),
i 1,2,, n
➢ 伯努利大数定律是辛钦定理的特殊情况.
§5.2 中心极限定理
在客观实际中有许多随机变量,它们是由 大量的相互独立的随机因素的综合影响所 形成的,而其中每一个别因素在总的影响中 起到的作用都是微小的.这种随机变量往往 近似的服从正态分布.这种现象就是中心极 限定理的客观背景.
本节只介绍三个常用的中心极限定理.
lim
~ ~ n
Fn
(
X
xY) nnlim
P
nn
N i i11
XXi
i近n似 nx近
nnn
似 0x,N121(0e,1)t22
dt
( x). (证明略)
定理表明,当n充分大时,Yn近似服从标准正态分布.
例1 一盒同型号螺丝钉共100个，已知该型号的螺丝钉的重量是
一个随机变量，期望值是100g，标准差是10g ，求一盒螺丝钉 的重量超过10.2kg的概率.
第五章 大数定律及中心极限定理
§5.1 大数定律 §5.2 中心极限定理
第五章 大数定律及中心极限定理
概率论与数理统计是研究随机现象统计 规律性的学科. 随机现象的规律性只有在相 同的条件下进行大量重复试验时才会呈现出 来. 也就是说，要从随机现象中去寻求必然 的法则，应该研究大量随机现象.
研究大量的随机现象，常常采用极限 形式，由此导致对极限定理进行研究. 极 限定理的内容很广泛，其中最重要的有两 种:
i 1
n
n
10200 n
n
P
X
1000 100
10200 1000
100
P
X
1000 100
2
1 (2) 1 0.97725 0.02275
定理3 (德莫佛-拉普拉斯定理)设随机变量n(n=1,2,…)服从
参数为n，p(0< p < 1)的二项分布，则对任意 x，恒有
lim P n np x x
定理3（辛钦定理）设随机变量序列X1,X2,…,Xn,...
相互独立且同分布，数学期望：E(Xk)=，则对任 意正数，有
[注]
lim P
n
1 n
n i 1
Xi
1
(证明略)
➢ 伯努利大数定律就是频率稳定性的理论依据． 因而在实际应用中，当试验次数很大时，往往 用事件发生的频率来代替事件的概率．
问题: 某个随机变量是由大量相互独立且均匀 小的随机变量相加而成的, 研究其概率分布情况.
➢独立同分布的中心极限定理
定理1 设随机变量X1,X2,…,Xn,… 相互独立，服从同一 分布, 且 E(Xk)=，D(Xk)=20 (k=1,2, ...) , 则
Yn
n
i1 X i n n
的分布函数Fn(x); 0，有 lim P n
1 n
n i 1
Xi
1
即
X
1 n
n i 1
Xi
P
提示：利用切比雪夫不等式证.
此定理表明: 相互独立具有相同期望和方差的随机变 量X1, X2, …, Xn的算术平均值依概率收敛于其数学期 望值 .
证
E(X)
E
1 n
n i 1
Xi
1 n
n i 1
E(X i
实例: 考察射击命中点与靶心距离的偏差.
这种偏差是大量微小的偶然因素造成的微 小误差的总和, 这些因素包括: 瞄准误差、测量 误差、子弹制造过程方面 (如外形、重量等) 的 误差以及射击时武器的振动、气象因素(如风速、 风向、能见度、温度等) 的作用, 所有这些不同 因素所引起的微小误差是相互独立的, 并且它们 中每一个对总和产生的影响不大.
lim
n
P
nA n
-
p
1
lim
n
P
nA n
-
p
0
此证因定:而理因E表为(X明nk)A=：p~，bnnD(An(,XpkP))=,p有(P1-(pnA)A,),((knX=11,2X,.2.).),由定X理n 1,
即 这：个nlim事定 P件理 A以n1 发k严n1生格X的k的-频p数率学依形概式1 率即表收达nl敛i了m于频P事率nn件A的-的稳p 概定率性 p.1.
(a , a ) 内的概率越来越大. n0 , n n0
Xn
a a a
而 X n a 意思是: 0, n0 ,当 n n0 | X n a |
定理1 （切比雪夫定理的特殊情况）设随机变量序
列 X1,X2,…,Xn, ...相互独立，且具有相同的数学期望
和方差： E(Xk)=，D(Xk)=2 (k=1,2,...) , 则对任意
大数定律 与 中心极限定理
下面我们先介绍大数定律
§5.1 大数定律
定义1 设Y1, Y2 …,Yn ,...为一随机变量序列，a是常数， 若对任意正数，有
lim
n
P{|Yn
a
|
}
1
则称随机变量序列Y1, Y2 ,…,Yn , ... 依概率收敛于a ，
记为: Yn P a
例如:
P
Xn a
意思是:当 n 时,Xn落在
均
1 n
n
Xi
i1
接
近
于
它
们
的
数
学
期
望的
算
术
平
均
值
1 n
n
i1
E(Xi )
.
（这个接近是概率意义下的接近）
即在定理条件下, n个随机变量的算术平均, 当n 无限增加时, 几乎变成一个常数.
定理2 （伯努利大数定律）设nA是n 次独立重复 试验中A发生的次数. p 是事件A在每次试验中发
生的概率, 则对任意 > 0,有
解：设Xi 为第i个螺丝钉的重量, i=1,2,…,100, 且相互独立,
100
于是, 一盒螺丝钉的重量为 X X i i 1
且 E( Xi ) 100, D( Xi ) 10, n 100
由中心极限定理
100 P{X 10200} P{
i 1
Xi
10200}
P
100
Xi
)
μ
D(X)
D
1 n
n i 1
Xi
1 n2
n
σ2
D(X i )
i 1
n
由切比雪夫不等式
D(X) P{ X E( X ) ε} 1
ε2
即
P{
1 n
n i 1
Xi -
ε}
1
2 n
lim P{|X - | } 1
n
关于定理1的说明:
当 n 很大 时, 随机 变量X1, X2 ,, Xn 的算 术平