概率论第5章
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概率第五章_大数定律与中心极限定理090505
加法法则
P ( − Eξ ε ) = ξ ≥
P(ξ ≥ Eξ + ε ) + P (ξ ≤ Eξ − ε )
k
=
≤
k : xk ≥ E +
∑ξ ε p
k
+
k : xk ≤ E −
∑ξ ε p
pk +
k :xk ≥ E +
∑ξ ε
( x − Eξ ) 2
ε
2
k :xk ≤ E −
∑ξ ε
( x − Eξ ) 2
， 方差 Dξ n ( n = 1, 2,L)，且 Dξi < l (i = 1, 2,L) 其中 l 与 i 无关的
1 Eξ = (1 + 2 + 3 + L + 6) 6
35 7 故 Eξ = Dξ = 12 2
4 2 = P (ξ = 5) + P(ξ = 6) + P (ξ = 1) + P (ξ = 2) = = 6 3 7 1 P( − 2 ) = P(ξ ≥ 5.5) + P(ξ ≤ 1.5) = P (ξ = 6) + P (ξ = 1) = ξ ≥
即
lim P ( − p < ε ) = 1 n →∞ n
ξ
此定理表明：当试验在不变的条件下重复进行很多次时， 随机事件的频率 频率在它的概率 概率附近摆动。 频率 概率 由贝努里大数定律可知，若事件A的概率很小很小时，则 它的频率也很小很小，即事件A很少发生或几乎不发生， 这种事件叫小概率事件。反之，若随机事件的概率很接近1， 则可认为在个别试验中这事件几乎一定发生。 同分布的两个或多个随机变量: 同分布的两个或多个随机变量 离散型: 它们的概率分布律相同. 离散型 它们的概率分布律相同 连续型: 它们的概率密度函数相同. 连续型 它们的概率密度函数相同 所以它们的期望与方差一定相同. 所以它们的期望与方差一定相同
P ( − Eξ ε ) = ξ ≥
P(ξ ≥ Eξ + ε ) + P (ξ ≤ Eξ − ε )
k
=
≤
k : xk ≥ E +
∑ξ ε p
k
+
k : xk ≤ E −
∑ξ ε p
pk +
k :xk ≥ E +
∑ξ ε
( x − Eξ ) 2
ε
2
k :xk ≤ E −
∑ξ ε
( x − Eξ ) 2
， 方差 Dξ n ( n = 1, 2,L)，且 Dξi < l (i = 1, 2,L) 其中 l 与 i 无关的
1 Eξ = (1 + 2 + 3 + L + 6) 6
35 7 故 Eξ = Dξ = 12 2
4 2 = P (ξ = 5) + P(ξ = 6) + P (ξ = 1) + P (ξ = 2) = = 6 3 7 1 P( − 2 ) = P(ξ ≥ 5.5) + P(ξ ≤ 1.5) = P (ξ = 6) + P (ξ = 1) = ξ ≥
即
lim P ( − p < ε ) = 1 n →∞ n
ξ
此定理表明：当试验在不变的条件下重复进行很多次时， 随机事件的频率 频率在它的概率 概率附近摆动。 频率 概率 由贝努里大数定律可知，若事件A的概率很小很小时，则 它的频率也很小很小，即事件A很少发生或几乎不发生， 这种事件叫小概率事件。反之，若随机事件的概率很接近1， 则可认为在个别试验中这事件几乎一定发生。 同分布的两个或多个随机变量: 同分布的两个或多个随机变量 离散型: 它们的概率分布律相同. 离散型 它们的概率分布律相同 连续型: 它们的概率密度函数相同. 连续型 它们的概率密度函数相同 所以它们的期望与方差一定相同. 所以它们的期望与方差一定相同
概率论与数理统计 第五章
Xn ⎯ ⎯→ X 2. 依概率收敛与依分布收敛的关系
依概率收敛 ⇒ 依分布收敛
L
3. 定义：中心极限定理 设随机变量 X ~ N(0,1)，{Xi }，i = 1, 2, … 相互独 立，且数学期望和方差都存在, 若标准化随机变量序列
∑
n
i =1
Xi −
∑ E(X
i =1
n
i
)
∑
n
i =1
D(X i)
所以结论成立。 由此有，若X ~ B( n, p )，对于足够大的n，有 ⎧ m1 − np X − np m2 − np ⎫ ⎪ ⎪ < ≤ P{m1 < X ≤ m2 }= P ⎨ ⎬ np(1 − p) np(1 − p) ⎪ ⎪ np(1 − p) ⎩ ⎭
⎧ Yn − np ⎫ ⎪ ⎪ ≤ x ⎬ = Φ( x ) lim P ⎨ n →∞ ⎪ np(1 − p ) ⎪ ⎩ ⎭
证明：对于任意正整数n，随机变量Yn 可表示为 证明：对于任意正整数n Yn = X1＋ X2＋…＋ Xn X1, X2,…, Xn 相互独立，Xi ~ B( 1, p )，且有 E( Xi ) = p , D( Xi ) = p(1-p) 所以随机变量序列{ Xi }, i =1,2,…满足独立同分布 中心极限定理条件。即有
切比雪夫不等式的应用 1）估计随机变量落在某个区间内的概率 (P125例5.5.2) 2）估计ε的值, 使 P(│X - E(X)│<ε) ≥ a (0<a<1) 3）证明大数定律。
二. 大数定律 定义： 依概率收敛 设{Xn}是一个随机变量序列，X 是一个随机变量 或常数，若对于任意的ε＞ 0，有 lim P{| X n − X |≥ ε } = 0
概率论与数理统计 第五章 大数定律与中心极限定理
nA 一种提法是： “当 n 足够大时，频率 n 与概率 p 有较大偏差
的概率很小” ，用数学语言表达，就是要证明： 0 ，有
nA nA lim P p 0 lim P p 1 n ，或 n n ． n
另一种提法是：研究随机变量 n A 的分布的极限行为，即讨 论分布函数
nA lim P p 0 lim P n n 或 n
nA p 1 ． n
证 引入
1 , 第i次试验中事件A发生 Xi ，i 1 , 2 , , n ， 0 , 第i次试验中事件A不发生
下面我们进一步来讨论贝努利试验．若记 n A 为 n 次贝努利试
nA 验中事件 A 发生的次数， 则事件 A 发生的频率为 n ． 所谓 “频 率的稳定性” ，无非是指当试验次数 n 无限增大(即 n )时，
nA 频率 n 无限接近于某个固定常数．这个固定的常数就是“事 件 A 在一次试验中发生的的概率 p” ． nA 由此可见，讨论频率 n 的极限行为，是理解概率论中最基本
2019年1月14日星期一
11 / 102
§5.1
大数定律
作为预备知识，我们先明确随机变量序列收敛的
相关概念，同时给出一个重要的不等式，它是以下理 论证明所用的主要工具之一．
定 义 1.1 设 a 是常数，对于随机变量序列 ，如果 0 ，有
X1 , X 2 ,
, Xn ,
lim P
n
个常数，即在这个常数的附近摆动，这就是所谓的“频
率稳定性”．但对这一点，至今为止我们尚未给予理论 上的说明．另外，在第二章我们给出了二项分布的泊松 逼近，那么更一般的近似计算方案又是怎样呢?
的概率很小” ，用数学语言表达，就是要证明： 0 ，有
nA nA lim P p 0 lim P p 1 n ，或 n n ． n
另一种提法是：研究随机变量 n A 的分布的极限行为，即讨 论分布函数
nA lim P p 0 lim P n n 或 n
nA p 1 ． n
证 引入
1 , 第i次试验中事件A发生 Xi ，i 1 , 2 , , n ， 0 , 第i次试验中事件A不发生
下面我们进一步来讨论贝努利试验．若记 n A 为 n 次贝努利试
nA 验中事件 A 发生的次数， 则事件 A 发生的频率为 n ． 所谓 “频 率的稳定性” ，无非是指当试验次数 n 无限增大(即 n )时，
nA 频率 n 无限接近于某个固定常数．这个固定的常数就是“事 件 A 在一次试验中发生的的概率 p” ． nA 由此可见，讨论频率 n 的极限行为，是理解概率论中最基本
2019年1月14日星期一
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§5.1
大数定律
作为预备知识，我们先明确随机变量序列收敛的
相关概念，同时给出一个重要的不等式，它是以下理 论证明所用的主要工具之一．
定 义 1.1 设 a 是常数，对于随机变量序列 ，如果 0 ，有
X1 , X 2 ,
, Xn ,
lim P
n
个常数，即在这个常数的附近摆动，这就是所谓的“频
率稳定性”．但对这一点，至今为止我们尚未给予理论 上的说明．另外，在第二章我们给出了二项分布的泊松 逼近，那么更一般的近似计算方案又是怎样呢?
概率论与数理统计----第五章大数定律及中心极限定理
故
= 1 − Φ(3.54)
=0.0002
一箱味精净重大于20500的概率为 的概率为0.0002. 一箱味精净重大于 的概率为
推论:
特别，若X～Ｂ（n，p）,则当n充分大时， 特别， ～Ｂ（n 则当n充分大时，
Ｘ～Ｎ（np，npq） Ｘ～Ｎ（np，npq） np
若随机变量Ｘ～Ｂ（ Ｘ～Ｂ（n， ），则对任意实数x有 ），则对任意实数 即 若随机变量Ｘ～Ｂ（ ，p），则对任意实数 有
不等式证明 P{-1<X<2n+1}≥(2n+1)/(n+1)(n+1)
3. 设P{|X-E(X)|<ε}不小于 不小于0.9,D(X)=0.009.则用 不小于 则用
切比绍夫不等式估计ε的 最小值是( 切比绍夫不等式估计 的 最小值是
0.3 ).
4.(894) 设随机变量 的数学期望为 设随机变量X的数学期望为 的数学期望为µ, 标准差为σ,则由切比绍夫不等式 标准差为 则由切比绍夫不等式 P{|X-µ|≥3σ}≤( ). 1/9 5. 设随机变量X的分布律为 设随机变量 的分布律为 P{X=0.3}=0.2, P{X=0.6}=0.8, 用切比绍夫不等式估计 |X-E(X)|<0.2的概率 的概率. 的概率
1 n lim P ∑ Xi − µ < ε = 1 n→∞ n i =1
定理（贝努里利大数定律） 设每次实验中事件A发生的概率 定理（贝努里利大数定律） 设每次实验中事件A 为p，n次重复独立实验中事件A发生的次数为nA，则对任 次重复独立实验中事件A发生的次数为n 意的ε>0 意的ε>0 ，事件的频率 nA ，有 ε>
∫
+∞
−∞
= 1 − Φ(3.54)
=0.0002
一箱味精净重大于20500的概率为 的概率为0.0002. 一箱味精净重大于 的概率为
推论:
特别，若X～Ｂ（n，p）,则当n充分大时， 特别， ～Ｂ（n 则当n充分大时，
Ｘ～Ｎ（np，npq） Ｘ～Ｎ（np，npq） np
若随机变量Ｘ～Ｂ（ Ｘ～Ｂ（n， ），则对任意实数x有 ），则对任意实数 即 若随机变量Ｘ～Ｂ（ ，p），则对任意实数 有
不等式证明 P{-1<X<2n+1}≥(2n+1)/(n+1)(n+1)
3. 设P{|X-E(X)|<ε}不小于 不小于0.9,D(X)=0.009.则用 不小于 则用
切比绍夫不等式估计ε的 最小值是( 切比绍夫不等式估计 的 最小值是
0.3 ).
4.(894) 设随机变量 的数学期望为 设随机变量X的数学期望为 的数学期望为µ, 标准差为σ,则由切比绍夫不等式 标准差为 则由切比绍夫不等式 P{|X-µ|≥3σ}≤( ). 1/9 5. 设随机变量X的分布律为 设随机变量 的分布律为 P{X=0.3}=0.2, P{X=0.6}=0.8, 用切比绍夫不等式估计 |X-E(X)|<0.2的概率 的概率. 的概率
1 n lim P ∑ Xi − µ < ε = 1 n→∞ n i =1
定理（贝努里利大数定律） 设每次实验中事件A发生的概率 定理（贝努里利大数定律） 设每次实验中事件A 为p，n次重复独立实验中事件A发生的次数为nA，则对任 次重复独立实验中事件A发生的次数为n 意的ε>0 意的ε>0 ，事件的频率 nA ，有 ε>
∫
+∞
−∞
《概率论》第5章§1大数定律
第五章 大数定律与中心极限定理
§1
大数定律
2/8
"概率"的概念是如何产生的 概率"
设 n 次独立重复试验中事件 A发生的 次数为 nA, 则当 n →∞时,有 nA n重伯努利试验 Xn = n → p 随机变量 怎样理解"越来越接近" 怎样理解"越来越接近"? 频率 概率 P( A)
lim 怎样定义极限 n→∞ Xn = p
1/2 1 ε 2
n
O
第五章 大数定律与中心极限定理
k
§1
大数定律
5/8
(伯努利大数定律)设 nA 是 n 次独立重复试 发生的次数, 验中事件 A 发生的次数,且 P(A) = p. 则 ε > 0, 有 nA lim P{| n p | ≥ ε} = 0 n→∞ 切比雪夫大数定律 如何证明 (切比雪夫大数定律)设 {Xn}为相互独立的随 nA P 概率论历史上的第一个大数定 机变量列 且具有相同的数学期望和方差, → 机变量列,且具有相同的数学期望和方差,记 p 令 n 由雅可比伯努利 i ,1713年发 伯努利于 D( Xi ) = σ 律,由雅可比E( Xi ) =于1713年发2 , (i = 1,2, ) 1, 第 次试验 A发生 该定理通常称为 表的著作《猜测术》 提出. 表的著作《猜测术》中提出. 则 ε > 0, 有Xi = 0, 第 i 次试验 A不发生 ( i =1,2,L ) n 独立同分布大数定律P{| 1 ∑ Xi | ≥ ε} = 0 lim n i =1 n→∞ 则 X1, X2 ,L, Xn ,L相互独立 (辛钦大数定律)p(1Xn)}是独立同分布r.v列, 伯努利大数定律,切比雪夫大数定律均要求随机 伯努利大数定律,切比雪夫大数定律均要求随机 E( Xi ) = p, D( Xi ) = 设 { p 是独立同分布r.v (i =1,2,Xi ) P→r.v列 1 n L n i∑εε> 0, n Xn } 服从大数定律,即= "0, 存在, 1 E( X1) 设随机变量 ξ{的方差 D(ξ ) 存在,则 > 来代替 同分布" 有 n, 列变量列的方差存在X 该条件可用 "同分布 = 存在A 则 , 服从大数定律, 1 有 存在, = n ∑ i (n = 1,2,L ) n i =1 1 n Xk D(|ξ< ε} = 1 lim P{| (ξ) | ≥ ε}≤ ) 从而 P{|ξ E n ∑ n→∞ k =1 ε 2n nA 1 或 人物介绍 lim P{| n p | ≥ ε} = 01 n lim P{| n ∑ Xi p | ≥ ε} = 0 n→∞ →∞ lim P{| n ∑nXk | i≥1ε} = 0 辛钦 =
§1
大数定律
2/8
"概率"的概念是如何产生的 概率"
设 n 次独立重复试验中事件 A发生的 次数为 nA, 则当 n →∞时,有 nA n重伯努利试验 Xn = n → p 随机变量 怎样理解"越来越接近" 怎样理解"越来越接近"? 频率 概率 P( A)
lim 怎样定义极限 n→∞ Xn = p
1/2 1 ε 2
n
O
第五章 大数定律与中心极限定理
k
§1
大数定律
5/8
(伯努利大数定律)设 nA 是 n 次独立重复试 发生的次数, 验中事件 A 发生的次数,且 P(A) = p. 则 ε > 0, 有 nA lim P{| n p | ≥ ε} = 0 n→∞ 切比雪夫大数定律 如何证明 (切比雪夫大数定律)设 {Xn}为相互独立的随 nA P 概率论历史上的第一个大数定 机变量列 且具有相同的数学期望和方差, → 机变量列,且具有相同的数学期望和方差,记 p 令 n 由雅可比伯努利 i ,1713年发 伯努利于 D( Xi ) = σ 律,由雅可比E( Xi ) =于1713年发2 , (i = 1,2, ) 1, 第 次试验 A发生 该定理通常称为 表的著作《猜测术》 提出. 表的著作《猜测术》中提出. 则 ε > 0, 有Xi = 0, 第 i 次试验 A不发生 ( i =1,2,L ) n 独立同分布大数定律P{| 1 ∑ Xi | ≥ ε} = 0 lim n i =1 n→∞ 则 X1, X2 ,L, Xn ,L相互独立 (辛钦大数定律)p(1Xn)}是独立同分布r.v列, 伯努利大数定律,切比雪夫大数定律均要求随机 伯努利大数定律,切比雪夫大数定律均要求随机 E( Xi ) = p, D( Xi ) = 设 { p 是独立同分布r.v (i =1,2,Xi ) P→r.v列 1 n L n i∑εε> 0, n Xn } 服从大数定律,即= "0, 存在, 1 E( X1) 设随机变量 ξ{的方差 D(ξ ) 存在,则 > 来代替 同分布" 有 n, 列变量列的方差存在X 该条件可用 "同分布 = 存在A 则 , 服从大数定律, 1 有 存在, = n ∑ i (n = 1,2,L ) n i =1 1 n Xk D(|ξ< ε} = 1 lim P{| (ξ) | ≥ ε}≤ ) 从而 P{|ξ E n ∑ n→∞ k =1 ε 2n nA 1 或 人物介绍 lim P{| n p | ≥ ε} = 01 n lim P{| n ∑ Xi p | ≥ ε} = 0 n→∞ →∞ lim P{| n ∑nXk | i≥1ε} = 0 辛钦 =
概率论第五章统计量及其分布
1) = (Np1)/(N1) 而若第一次抽到的是合格品，则第二次抽到不合 格品的概率为
P(x2 = 1 | x1 = 0) = (Np)(N1)
21 October 2019
华东师范大学
第五章 统计量及其分布
第18页
显然，如此得到的样本不是简单随机样本。 但是，当N 很大时，我们可以看到上述两种 情形的概率都近似等于p 。所以当N 很大， 而n不大（一个经验法则是 n N 0.1）时可
21 October 2019
21 October 2019
华东师范大学
第五章 统计量及其分布
第6页
比如：两个生产同类产品的工厂的产品的总体 分布：
X
0
1
p
0.983
0.017
X
0
1
p
0.915
0.085
21 October 2019
华东师范大学
第五章 统计量及其分布
第7页
例5.1.2 在二十世纪七十年代后期，美国消费 者购买日产SONY彩电的热情高于购买美产 SONY彩电，原因何在？
以把该样本近似地看成简单随机样本。
思考：
若总体的密度函数为p(x)，则其样本的（联 合）密度函数是什么？
21 October 2019
华东师范大学
第五章 统计量及其分布
第19页
§5.2 样本数据的整理与显示
5.2.1 经验分布函数
设 x1, x2, …, xn 是取自总体分布函数为F(x)的样 本，若将样本观测值由小到大进行排列,为 x(1), x(2), …, x(n)，则称 x(1), x(2), …, x(n) 为有序样本，
用有序样本定义如下函数
0, Fn ( x) k / n, 1,
P(x2 = 1 | x1 = 0) = (Np)(N1)
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第五章 统计量及其分布
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显然，如此得到的样本不是简单随机样本。 但是，当N 很大时，我们可以看到上述两种 情形的概率都近似等于p 。所以当N 很大， 而n不大（一个经验法则是 n N 0.1）时可
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第五章 统计量及其分布
第6页
比如：两个生产同类产品的工厂的产品的总体 分布：
X
0
1
p
0.983
0.017
X
0
1
p
0.915
0.085
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第五章 统计量及其分布
第7页
例5.1.2 在二十世纪七十年代后期，美国消费 者购买日产SONY彩电的热情高于购买美产 SONY彩电，原因何在？
以把该样本近似地看成简单随机样本。
思考：
若总体的密度函数为p(x)，则其样本的（联 合）密度函数是什么？
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§5.2 样本数据的整理与显示
5.2.1 经验分布函数
设 x1, x2, …, xn 是取自总体分布函数为F(x)的样 本，若将样本观测值由小到大进行排列,为 x(1), x(2), …, x(n)，则称 x(1), x(2), …, x(n) 为有序样本，
用有序样本定义如下函数
0, Fn ( x) k / n, 1,
概率论与数理统计 第五章
贝努里定理. 它的叙述如下:设是n次重复独立 对于任意给定的ε>0,有
lim P{| nA p | } 1
n
n
lim P{| nA p | } 1
n
n
其中nA/n是频率,p是概率,即次数多
时事件发生的频率收敛于概率.表示频率的稳定性.
定理3
lim P{|
n
1 n
n i 1
Xi
| } 1
数理统计的方法属于归纳法,由大量的资料作依据,而不
是从根据某种事实进行假设,按一定的逻辑推理得到的.例
如统计学家通过大量观察资料得出吸烟和肺癌有关,吸烟
者得肺癌的人比不吸烟的多好几倍.因此得到这个结论.
数理统计的应用范围很广泛.在政府部门要求有关的资
料给政府制定政策提供参考.由局部推断整体,学生的假期
第五章 大 数 定 律 与 中 心 极 限 定 律
§ 5.1大 数 定 律
定理1(切比雪夫定理) 设X1,X2,...,Xn,...是相互独立的随机变
量序列若存在常数C,使得D(Xi)≤C. (i=1,2,...n),则对任意给
定的ε>0,有
lim P{|
n
1 n
n i 1
[Xi
E( X i )] |
7200 6800 2
200 1
D 2
1
2100 2002
0.95
可见虽有10000盏灯,只要电力供应7200盏灯即有相当大的保 证率切贝谢夫不等式对这类问题的计算有较大价值,但它的精度 不高.为此我们研究下面的内容.
2021/9/5
10
§ 5.2 中 心 极 限 定 理
在随机变量的一切可能性的分布律中，正态分布占有特殊的
《概率论与数理统计》课件第五章大数定律及中心极限定理
有极其重要的地位？
4.大样本统计推断的理论基础
是什么？
大数定律中心极限定理
随机现象中平均结果的稳定性
大数定律的客观背景
大量抛掷硬币正面出现频率
字母使用频率
生产过程中的废品率
§5.1 大数定律
背景：1. 频率稳定性2. 大量测量结果算术平均值的稳定性
回顾
随机现象的主要研究方法
概率分布
01
证：_x001A__x001B__x001B_,_x001A__x001B__x001B_,⋯, _x001A__x001B__x001B_, ⋯相互独立同分布，则_x001A__x001B__x001B__x001B_,_x001A__x001B__x001B__x001B_, ⋯,_x001A__x001B__x001B__x001B_, ⋯也相互独立同分布,由辛钦大数定律得证.
第五章 大数定律及中心极限定理
§5.1 大数定律§5.2 中心极限定理
要点：用切比雪夫不等式估算概率独立同分布,用中心极限定理计算对于二项分布，当n很大时，计算
本章要解决的问题
1.为何能以某事件发生的频率
作为该事件的概率的估计？
2.为何能以样本均值作为总体
期望的估计？
3.为何正态分布在概率论中占
解：(1)设X表示一年内死亡的人数，则~(, )，其中=，=.%. 设Y表示保险公司一年的利润，=×−.需要求的是_x001A_<_x001B_.
由中心极限定理
_x001A_<_x001B_=_x001A_×−<_x001B_ =_x001A_>_x001B_=−_x001A_≤_x001B_
且，
由中心极限定理
解：设为第i个螺丝钉的重量， 相互独立同分布. 于是，一盒螺丝钉的重量为
4.大样本统计推断的理论基础
是什么？
大数定律中心极限定理
随机现象中平均结果的稳定性
大数定律的客观背景
大量抛掷硬币正面出现频率
字母使用频率
生产过程中的废品率
§5.1 大数定律
背景：1. 频率稳定性2. 大量测量结果算术平均值的稳定性
回顾
随机现象的主要研究方法
概率分布
01
证：_x001A__x001B__x001B_,_x001A__x001B__x001B_,⋯, _x001A__x001B__x001B_, ⋯相互独立同分布，则_x001A__x001B__x001B__x001B_,_x001A__x001B__x001B__x001B_, ⋯,_x001A__x001B__x001B__x001B_, ⋯也相互独立同分布,由辛钦大数定律得证.
第五章 大数定律及中心极限定理
§5.1 大数定律§5.2 中心极限定理
要点：用切比雪夫不等式估算概率独立同分布,用中心极限定理计算对于二项分布，当n很大时，计算
本章要解决的问题
1.为何能以某事件发生的频率
作为该事件的概率的估计？
2.为何能以样本均值作为总体
期望的估计？
3.为何正态分布在概率论中占
解：(1)设X表示一年内死亡的人数，则~(, )，其中=，=.%. 设Y表示保险公司一年的利润，=×−.需要求的是_x001A_<_x001B_.
由中心极限定理
_x001A_<_x001B_=_x001A_×−<_x001B_ =_x001A_>_x001B_=−_x001A_≤_x001B_
且，
由中心极限定理
解：设为第i个螺丝钉的重量， 相互独立同分布. 于是，一盒螺丝钉的重量为
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2
1
2x
e
,
x
0,
0, x 0,
因而N的概率密度为
fmin
(x)
2
2x
e
,
x
0,
0, x 0,
于是N的数学期望为: E(N)
xfmin (x)dx
2x
e
2x
dx
.
0
2
例3，例4，例5
例4 某商店对某种家用电器的销售 采用先使用后付款的方式。记使用寿 命为X（以年计），规定：
-
-
1 xy
f
(x,y)dxdy
dx
1
x
dy 1 3
1 xy 2x3y2
x
3. 5
例10 设生产x件，获利Q，
mY n(x Y) Y x
Q Q(x, Y)
mx
Yx
E(Q) QfY (y)dy
0
x
[my
n(x
y)
1
ey
/
dy
mx
1
ey
/
dy
0
x
(m n) (m n)ex / nx
§2.随机变量的方差 方差描述了r.v.对其数学期望的离散 程度, 在概率论和数理统计中十分重要.
一、定义
设X为r.v., 若E X-E(X)2 存在,
则称它为X的方差, 记作D(X) ,即
D(X) E X-E(X)2 .
称 D(X)为X的均方差或标准差.
若X为离散型r.v.其分布律为 P{X=xk}=pk, k=1,2,…, 则
X 1，一台付款1500元；1<X 2，一台付款2000元； 2<X 3，一台付款2500元；X>3，一台付款3000元；
设寿命X服从指数分布, 概率密度为
f
(x)
1
10
x
e 10
x0
0 x 0
试求该商店一台收费Y的数学期望。
3. 随机变量函数的数学期望公式:
定理: 设Y是r.v.X的函数, Y g(X) (g是连续函数)
xf (x)dx 绝对收敛, 则称积分 xf (x)dx的值为
-
-
r.v.X的数学期望, 记为E(X). 即 E(X)
xf (x)dx.
-
数学期望简称期望, 又称为均值.
例1. 甲,乙两人进行打靶, 所得分数分别记为 X1, X2, 它们的分布律分别为: X1 0 1 2 X2 0 1 2 pk 0 0.2 0.8 pk 0.6 0.3 0.1 试评定他们的成绩好坏.
立的且都服从0--1分布: P{Xi=1}=p, P{Xi=0}=q, X表
示n次独立重复试验中A发生的次数,Xi表示第i次试
验的结果:Xi=1表示A发生, Xi=0表示A不发生, 所以
n
n
X= Xi 故 E(X) E(Xi ) np.
i=1
i 1
说明: 将X分解成数个r.v.之和,然后利用r.v.和的数 学期望等于r.v.的数学期望之和来求解. 这个方法 具有一定的普遍意义.
d E(Q) 0, 得x ln( n )
dx
mn
4.均值的性质: (1) E(c)=c; (c为常数) (2) E(cX)=cE(X);( c为常数) (3) E(X+Y)=E(X)+E(Y); (4) 设X,Y相互独立, 则E(XY)=E(X)E(Y); (5) |E(XY)|2≤E(X2)E(Y2).(柯西-许瓦尔兹不等式)
解: 计算X1的均值, 由定义有 E(X1) =00+1 0.2+2 0.8=1.8
E(X2)=00.6+1 0.3+2 0.1=0.5
显然,乙的成绩比甲的差.
例2. 有2个相互独立工作的电子装置, 它们的寿命Xk (k 1, 2 )服从同一指数分布, 其概率密度为:
f(x)
1
θ
x
e
,
g(x)f(x)dx.
-
说明: 1. 在已知Y是X的连续函数前提下,当我们求 E(Y)时不必知道Y的分布, 只需知道X的分布就可 以了. 2. 上述定理可以推广到多维r.v.函数. 如Z g(X, Y)(g是连续函数)是r.v.X, Y的函数,若二
维r.v.(X, Y)的概率密度为f (x,y),则r.v.Z的期望为
(假设级数绝对收敛)
例. 设随机变量(X, Y)的概率密度为
f(x,y)
3 2x3 y 2
,
1 x
y
x.x
1
0,
其它,
试求 : E(Y),E( 1 ) XY
解: 由(4.1)式可得
E(Y)
yf (x,y)dxdy
- -
dx
1
x
1
y
3 2x3y2
dy
x
3. 4
E( 1 ) XY
第五章 随机变量的数字特征
§1. 随机变量的数学期望
1. 定义: 设离散型r.v.X的分布律为:
P X x p , k 1, 2, L
k
k
若级数 x p 绝对收敛, 则称级数 x p 的和为随机变
kk
kk
k 1
k 1
量的数学期望,记作E(X),即 E(X) x p . kk 2. 定义: 设连续型r.v.X的概率密度为kf1(x), 若积分
(i) X是离散型r.v., 它的分布律为
pk PX xk ,k 1, 2, L ,
若 g(xk )pk 绝对收敛,则 k 1
E(Y) Eg(X) g(xk )pk . k 1
(ii) X是连续型r.v., 它的概率密度为f(x), 若
g(x)f(x)dx 绝对收敛, 则 -
E(Y) Eg(X)
x
0,
0,
0, x 0,
若将这2个电子装置串联工作组成整机,
求整机寿命N的数学期望.
解: Xk(k=1,2)的分布函数为:
F(x)
1
x
e
,
x
0,
0, x 0,
由前面介绍的N min(X, Y)的分布函数可知 N min(X1 , X2 )的分布函数为
Fmin (x) 1
1 F(x)
D(X) xk E(X)2 pk ,
说明:i. 性质(3)和(4)可以推广到有限个r.v. (X1, X2, …, Xn)的情况.
ii. 对于“和”,不要求X1,X2,…,Xn相互独立; 对 于“积”要求X1,X2,…,Xn相互独立.
例. 二项分布的均值的计算:
设X~b(n,p),引入r.v.Xi(i=1, 2, …, n), 它们是相互独
E(Z) Eg(X, Y)
g(x,y)f (x, y)dxdy,
(4.1)
(假设积分绝对收敛)
又若(X, Y)为离散型r.v.
其分布律为P X xi , Y y j pij , i,j 1, 2, 3,L
则有E(Z) Eg(X, Y) g(xi ,y j )pij , (4.2) j1 i1