八年级数学上册综合训练完全平方公式的综合应用平方差公式和完全平方公式(含参)天天练新人教版

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平方公式考点总结及练习

平方差公式及完全平方公式一、知识点讲解（一）平方差公式：1、概念及公式推导：两数和与这两数差的积，等于它们的平方差。

()()b a b a b a 22-=-+2、公式特点：（1）左边的两个二项式中，其中一项（a ）完全相同，另一项（b 和b -）互为相反数（2）右边是相同项的平方减去符号相反项的平方（3）公式中的b a ,可以是具体数字，也可以是单项式或多项式3、变形归纳：（1）位置变化 ()()()()b a b a b a a b a b 22-=-+=++-（2）符号变化 ()()()b a b a b a b a 2222-=-=--+--（3）系数变化 ()()()()yx x x y x y x 943222223232-=-=-+（4）指数变化()()()()n m n m n m n m 4622232323-=-=-+（5）增项变化 ()()()c b a c b a c b a 22-=-++++（6）增因式变化()()()()()()b a b a b a b a b a b a 2222-⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=+-+---- （7）连用公式变化()()()()()()()()()b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a 8844444422224422-=+-=++-=++-+例1、计算：（1）()()b a b a 2323-+ （2）⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛+-21212222x x（4）()()12001200-+ （4）()()z y x z y x -+++（二）完全平方公式1、概念及公式推导：两数的和（或差）的平方，等于这两数的平方和加上（或减去）这两数的积的两倍。

()()bab a b a b ab a b a 22222222+-=++=-+2、公式特点：（1）只有一个符号不同（2）公式中的b a ,可以是数，也可以是单项式或多项式（3）注意()b a ab 222=与(),2222b ab a b a ++=+()b a b a 222+=+（是错误的做法）3、变形归纳：（1）()ab b a b a 2222-=++（2）()ab b a b a 2222+=+-（3）()()b a b a ab 2222+-=+（4）()()b a b a ab --+=2222（5）()()ab b a b a 422+=-+ （6）()()ab b a b a 422-=+-例2、化简：（1）()b a +32（2）()y x 32+-（4）()n m --2（4）()()c b c b --+例3、已知：.3,4-==-ab b a 求（1）b a 22+ （2）()b a +2二、题型剖析题型一平方差公式及完全平方公式的运用例1、计算：（1）⎪⎭⎫ ⎝⎛--⎪⎭⎫ ⎝⎛-a b b a 313122 （2）6.94.10⨯（2）()()()3932++-x x x （4）()()a b b a ---33（5）()()z y x z y x 3232-++- （6）()c b a ++22（7）()()y x y x 323222+-题型二利用公式简化计算例2、计算：（1）2016220172015-⨯ （2）⎪⎭⎫ ⎝⎛601602（3）8.92 （4）29930122+题型三推广公式的逆用例3、计算：（1）()()z y x z x y 3232-----（2）⎪⎪⎭⎫⎝⎛-••⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎪⎭⎫⎝⎛-2016432222211111111题型四与完全平方公式有关的开放题例4、多项式192+x 加上一个单项式后，使它成为一个整式的完全平方，那么加上的单项式可以是例5、（1）求代数式的322++m m 的最小值（2）求代数式4332++-m m 的最大值题型五解决实际问题例6、某住宅小区的花园，起初被设计成边长为a m 的正方形，后应道路的原因，设计修改为北边往南平移2.5m ，而东边往东平移2.5m ，则修改后的花园面积和原先设计的花园面积相差多少？巩固提升1．平方差公式（a+b ）（a －b ）=a 2－b 2中字母a ，b 表示（）A ．只能是数B ．只能是单项式C ．只能是多项式D ．以上都可以 2．下列多项式的乘法中，可以用平方差公式计算的是（）A ．（a+b ）（b+a ）B ．（－a+b ）（a －b ）C ．（13a+b ）（b －13a ） D ．（a 2－b ）（b 2+a ）3．下列计算中，错误的有（）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个 ①（3a+4）（3a －4）=9a 2－4； ②（2a 2－b ）（2a 2+b ）=4a 2－b 2； ③（3－x ）（x+3）=x 2－9；④（－x+y ）·（x+y ）=－（x －y ）（x+y ）=－x 2－y 2． 4．若x 2－y 2=30，且x －y=－5，则x+y 的值是（）A ．5B ．6C ．－6D ．－5 5.（a+b －1）（a －b+1）=（_____）2－（_____）2． 6．（－2x+y ）（－2x －y ）=______． 7．（－3x 2+2y 2）（______）=9x 4－4y 4．8．两个正方形的边长之和为5，边长之差为2，那么用较大的正方形的面积减去较小的正方形的面积，差是_____．9.下列展开结果是n m mn 222--的式子是（） A. ()n m +2B.()n m +-2B. ()n m --2D.()n m +-210.下列计算：①()b a b a 222+=+ ②()b a b a 222-=-③()b ab a b a 2222+-=- ④()bab a b a 2222+----=.其中正确的有（）A.0个B.1个C.2个D.3个11. 小明在做作业时，不小心把一滴墨水滴在一道数学题上，题目变成了x 21+x ，看不清x 前面的数字是什么，只知道这个二次三项式能配成一个完全平方式，这个被墨水污染了的数字是12.计算（1）2023×2113．（2）（a+2）（a 2+4）（a 4+16）（a －2）（3）9.1992 （4）7655.0469.27655.02345.122⨯++（5）2012（6）（3+1）（32+1）（34+1）…（32008+1）－40163212. 已知m 2+n 2-6m+10n+34=0，求m+n 的值13. 已知0136422=+-++y x y x ，y x 、都是有理数，求y x 的值。

平方差公式与完全平方公式(解析版)(重点突围)八年级数学上册重难点专题提优训练(人教版)

专题13 平方差公式与完全平方公式考点一运用平方差公式进行计算考点二平方差公式与几何图形考点三运用完全平方公式进行运算考点四求完全平方式中的字母系数考点五整式的混合运算——化简求值考点六通过对完全平方公式变形求值考点七完全平方公式在几何中的应用考点八运用完全平方式求代数式的最值问题考点一运用平方差公式进行计算例题：（2022·安徽·合肥市第四十五中学橡树湾校区七年级期中）下列整式乘法中，能用平方差公式简便计算的有（）（1）()()22a b a b +-（2）()()22a b b a +-（3）()()a b b a -+-（4）()()a b b a ---A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个【答案】B【分析】根据平方差公式为两数之和与两数之差的积，逐项分析判断即可求解．【详解】解：能用平方差公式计算的有()()22224a b b a b a +-=-；()()22a b b a a b ---=-，则能用平方差公式简便计算的有2个．故选：B ．【点睛】本题考查了平方差公式，掌握平方差公式的结构()()a b a b +-是解题的关键．【变式训练】1．（2022·四川乐山·八年级期末）化简：(32)(32)a b a b ---【答案】2249b a -【分析】根据平方差公式求解即可．【详解】解：(32)(32)a b a b ---22=49b a -【点睛】此题考查了平方差公式，解题的关键是熟练掌握平方差公式的运用．2．（2022·浙江·宁波市鄞州区咸祥镇中心初级中学七年级阶段练习）先化简，再求值：()()()()2222x y y x y x y x -+-+-，其中x ＝1，y ＝2；【答案】2255x y -，-15【分析】根据平方差公式即可进行化简，再代入x ，y 求值即可．【详解】解：原式=()()222244x y y x --- =222244x y y x --+=2255x y -，当12x y =,=时，原式=225152⨯⨯-=520-=15-．【点睛】此题主要考查整式的化简求值，解题的关键是熟知平方差公式的运用．3．（2022·河南平顶山·七年级期末）运用整式乘法公式先化简，再求值．()()()()2312312121a b a b a a +-++-+-其中，a ＝－2，b ＝1．【答案】2129ab b +，-15【分析】先根据平方差公式去括号，再合并同类项，然后把a 、b 的值代入化简后的式子进行计算，即可解答．【详解】解： ()()()()2312312121a b a b a a +-++-+-()()2223141a b a =+--- 2224129141a ab b a =++--+2129ab b =+，当a=-2，b ＝1时，原式()212219124915=⨯-⨯+⨯=-+=-．【点睛】本题考查了整式的混合运算一化简求值，解题的关键是掌握平方差公式并准确熟练地进行计算．考点二平方差公式与几何图形例题：（2022·江西·抚州市实验学校七年级阶段练习）乘法公式的探究及应用．(1)如图1，若将阴影部分裁剪下来，重新拼成一个矩形，如图2，通过比较图1、图2阴影部分的面积，可以得到整式乘法公式：；(2)运用你所得到的乘法公式，计算或化简下列各题：①102×98，②（2m+n﹣3）（2m﹣n﹣3）．【答案】(1)（a+b）（a﹣b）＝22-a b(2)①9996②22-+-4129m m n【分析】（1）根据图1与图2面积相等，则可列出等式即可得出答案；（2）应用平方差公式进行计算即可．（1）解：大的正方形边长为a，面积为2a，小正方形边长为b，面积为2b，∵图1阴影部分的面积为大的正方形面积减去小的正方形面积，∵图1阴影部分面积＝22a b-，图2阴影部分面积＝（a+b）（a﹣b），∵图1的阴影部分与图2面积相等，∵（a+b）（a﹣b）＝22a b-，故答案为：（a+b）（a﹣b）＝22-；a b（2）①102×98＝（100+2）（100﹣2）＝221002-＝10000﹣4＝9996；②（2m +n ﹣3）（2m ﹣n ﹣3）＝[（2m ﹣3）+n ）][（2m ﹣3）﹣n ]＝()2223m n --＝224129m m n +--．【点睛】本题主要考查平方差的几何背景的应用，根据题意运用平方差公式计算是解决本题的关键【变式训练】1．（2022·吉林吉林·八年级期末）（1）如图1，若大正方形的边长为a ，小正方形的边长为b ，则阴影部分的为；面积为．（2）由（1）可以得到一个公式：．（3）利用你得到的公式计算：2202220232021-⨯．【答案】（1）22a b -，a +b ，a ﹣b ，（a +b ）（a ﹣b ）；（2）22a b -＝（a +b ）（a ﹣b ）；（3）1【分析】（1）由图形所示，由正方形、长方形的面积公式可得此题结果；（2）由（1）结果可得等式22a b -＝（a +b ）（a ﹣b ）；（3）由（2）结论22a b -＝（a +b ）（a ﹣b ），可得2202220232021-⨯＝1．【详解】解：（1）由题意得，图形中阴影部分的面积是22a b -；图2的长为a +b ，宽为a ﹣b ，其面积（a +b ）（a ﹣b ）；故答案为：22a b -，a +b ，a ﹣b ，（a +b ）（a ﹣b ）；（2）由（1）结果可得等式22a b -＝（a +b ）（a ﹣b ），故答案为：22a b -＝（a +b ）（a ﹣b ）；；（3）由（2）题结果22a b -＝（a +b ）（a ﹣b ），可得2202220232021-⨯()()220222022120221=-+-()222202220221=--22202220221=-+1=【点睛】此题考查了平方差公式几何背景的应用能力，关键是能用不同整式表示出图形面积，并能运用所得结论进行计算．2．（2022·陕西渭南·七年级期末）如图1，边长为a 的大正方形中有一个边长为b 的小正方形，把图1中的阴影部分拼成一个长方形（如图2所示）．(1)【探究】通过观察比较图2与图1中的阴影部分面积，可以得到乘法公式______；（用含a ，b 的等式表示）(2)【应用】请应用这个公式完成下列各题：①已知22412m n =+，2m ＋n ＝4，则2m －n 的值为______；②计算：()()2323x y x y +--+；(3)【拓展】计算：222222221009998974321-+-++-+-．【答案】(1)()()22a b a b a b +-=- (2)①3；②22469x y y -+-(3)5050【分析】（1）将两个图中阴影部分面积分别表示出来，建立等式即可；（2）①利用平方差公式得出()()22224m n m n m n +=--，代入求值即可；②利用平方差公式进行计算；（3）利用平方差公式将2210099写成（100+99）×（100-99），以此类推，然后化简求值．（1）图1中阴影部分面积22a b -，图2中阴影部分面积，()()a b a b +-所以，得到乘法公式()()22a b a b a b +-=-故答案为()()22a b a b a b +-=-（2）解：①∵22412m n =+，2m ＋n ＝4，∵()()22224m n m n m n +=--23m n ∴-=故答案为：3②()()2323x y x y +--+=()()2223x y --22469x y y =-+- （3）222222221009998974321-+-+⋯+-+-=（100+99）×（100-99）+（98+97）×（98-97）+…+（4+3）×（4-3）+（2+1）×（2-1）=199+195+…+7+3=5050．【点睛】本题考查平方差公式的应用．熟练掌握平方差公式是解题的关键．考点三运用完全平方公式进行运算例题：（2022·湖南邵阳·七年级期末）计算：()()22362x x x ---【答案】229x -+【分析】首先根据完全平方公式及单项式乘以多项式法则运算，再去括号，最后合并同类项，即可求得．【详解】解：()()22362x x x --- ()224129612x x x x =-+--224129612=-+-+x x x x229=-+x【点睛】本题考查了完全平方公式，单项式乘以多项式法则，解本题的关键在注意去括号时符号的变化．完全平方公式：()2222a b a ab b +=++．【变式训练】1．（2022·江苏·南京市第一中学泰山分校七年级阶段练习）先化简，再求值：23()(2)(2)x y x y x y +--+，其中x =-1，y =2．【答案】2264x xy y -++，3．【分析】根据完全平方公式和平方差公式可以化简题目中的式子，然后将x 、y 的值代入化简后的式子即可解答本题．【详解】解：23()(2)(2)x y x y x y +--+22223634x xy y x y =++-+ 2264x xy y =-++，当x =-1，y =2时，原式22(1)6(1)2423=--+⨯-⨯+⨯=．【点睛】本题考查整式的混合运算-化简求值，解答本题的关键是明确整式的化简求值的方法． 2．（2021·湖南·长沙一中岳麓中学八年级阶段练习）整式化简：(1)()()()()21322x x x x x ---++-；(2)()()()222x y z x y z x z --+--+．【答案】(1)23x x +-(2)244xz y --【分析】(1)首先根据完全平方公式及平方差公式、单项式乘以多项式法则进行运算，再合并同类项即可求得结果；(2)首先根据平方差公式及完全平方公式进行计算，再根据完全平方公式及合并同类项法则进行运算，即可求得结果．（1）解：()()()()21322x x x x x ---++-2222134x x x x x =-+-++-23x x =+- （2）解：()()()222x y z x y z x z --+--+ ()()()222x z y x z y x z ⎡⎤⎡⎤=---+-+⎣⎦⎣⎦ ()222242x z y x xz z =-----22222242x xz z y x xz z =-+---- 244xz y =--【点睛】本题考查了整式的混合运算，熟练掌握和运用各运算法则是解决本题的关键．考点四求完全平方式中的字母系数例题：（2022·广西·桂林市雁山中学七年级期中）若29x kx ++是完全平方式，则k 的值为____________．【答案】±6【分析】利用完全平方公式的结构特征计算即可．【详解】解：∵22293x kx x kx ++=++是一个完全平方式，∵k ＝±2⨯3＝±6，故答案为：±6．【点睛】此题考查了完全平方式，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键．【变式训练】1．（2022·浙江·义乌市宾王中学七年级期中）若多项式x 2﹣4x +m 是一个完全平方式，则m 的值为_____．【答案】4【分析】先根据乘积二倍项确定出这两个数是x 和-2，再根据完全平方公式求解即可．【详解】解：∵-4x =2×(-2)x ，∵这两个数是x 和-2，∵()224m =-=．故答案为：4．【点睛】本题是完全平方公式的应用，两数的平方和，再加上或减去它们积的2倍，就构成了一个完全平方式．此题解题的关键是利用乘积项来确定这两个数．2．（2022·安徽·合肥市第四十五中学橡树湾校区七年级期中）若()22325x m x -++是关于x 的完全平方式，则m =______．【答案】8-或2【分析】根据完全平方式逆运用，可知22(5)1025x x x ±=±+，由此即可求得m 的值．【详解】解：22(5)1025x x x ±=±+，()2310m ∴-+=±，35m ，8m ∴=-或2m =，故答案为：8-或2．【点睛】本题主要考查的是完全平方公式的运用，解题重点是灵活运用公式，注意两种情况．考点五整式的混合运算——化简求值例题：（2022·辽宁·阜新市第一中学七年级期中）先化简，再求值()()()()222243x y x y x y x x y x ⎡⎤++-++-÷⎣⎦．其中x ＝2，y ＝-1．【答案】x ，2【分析】先根据乘法公式，单项式除以多项式计算中括号内的整式运算，然后根据单项式除以单项式的计算法则化简，最后代值计算即可．【详解】解：()()()()222243x y x y x y x x y x ⎡⎤++-++-÷⎣⎦()2222244443x xy y x y x xy x =+++-+-÷233x x =÷x =，当x ＝2，y ＝﹣1时，原式＝2．【点睛】本题主要考查了整式的化简求值，熟知乘法公式，多项式除以单项式，单项式乘以多项式的计算法则是解题的关键．【变式训练】22222a ab b a b b b96962 ()() 22222--=+++÷-96962a ab b a b b b ()()2-=÷-624ab b b考点六通过对完全平方公式变形求值例题：（2021·湖南·衡阳市第十七中学八年级期中）已知a ﹣b ＝5，ab ＝3，求代数式222a ab b ++的值．【答案】37【分析】利用完全平方公式的变形求解即可．【详解】解：∵a ﹣b ＝5，ab ＝3，∵()22525a b -==，∵222a ab b ++ 2224a ab b ab =-++()24a b ab =-+2534=+⨯ 37=．【点睛】本题主要考查了完全平方公式的变形求值，熟知完全平方公式是解题的关键．【变式训练】1．（2022·山东·万杰朝阳学校七年级阶段练习）已知a +b =5，ab =4，(1)求a ²+b ²的值(2)求（a -b ）²的值【答案】(1)17(2)9【分析】（1）直接利用完全平方公式将原式变形进而得出答案；（2）直接利用完全平方公式将原式变形进而得出答案．（1）解：∵5a b +=，4ab =，∵()225a b +=，∵22225a b ab ++=，∵22252252417a b ab +=-=-⨯=；（2）∵2217a b +=，4ab =，∵()222217249a b a b ab -=+-=-⨯=．【点睛】此题主要考查了完全平方公式，正确应用完全平方公式是解题关键．2．（2021·黑龙江·大庆市大同区同祥学校七年级期中）阅读：已知a +b ＝﹣4，ab ＝3，求a 2+b 2的值．解：∵a +b ＝﹣4，ab ＝3，∵a 2+b 2＝（a +b ）2﹣2ab ＝（﹣4）2﹣2×3＝10．已知a +b ＝6，ab ＝2，请你根据上述解题思路求下列各式的值．(1)a 2+b 2；(2)a 2﹣ab +b 2．【答案】(1)32(2)30【分析】（1）结合题意，()2222a b a b ab +=+-，代入即可得出答案；（2）由（1）可知，2232a b +=，ab ＝2，代入即可得出答案．（1）解：∵a +b ＝6，ab ＝2，∵()2222262232a b a b ab +=+-=-⨯=；（2）解：由（1）可知，2232a b +=，ab ＝2，∵222232230a ab b a b ab -+=+-=-=．【点睛】本题考查了完全平方公式的应用，结合条件对完全平方公式变形是本题的关键．考点七完全平方公式在几何中的应用例题：（2021·宁夏·永宁县回民高级中学七年级期中）如图a 是一个长为2m 、宽为2n 的长方形，沿图中虚线用剪力均分成园块小长方形，然后接图b 的形状拼成一个正方形．(1)图b 中的阴影部分的正方形的边长等于多少？(2)求出图b 中阴影部分的面积_______．(3)观察图b 你能写出下列三个代数式之间的等量关系吗？代数式：()2m n +，()2m n -，mn ．(4)根据（3）图中的等量关系，解决如下问题：若7a b +=，5ab =，则()2a b -=_______．【答案】(1)m -n(2)()24m n mn +-或()2m n -(3)()()224m n mn m n +-=-(4)29【分析】（1）根据题意可得图b 中的阴影部分的正方形的边长等于长为m ，宽为n 的长方形的长宽之差，即可求解；（2）根据图b 中的阴影部分的正方形面积等于大正方形的面积减去4个长方形的面积或图b 中的阴影部分的正方形的边长等于m -n ，即可求解；（3）由（2）写出等量关系，即可求解；（4）根据（3）中的结论可得()()224a b ab a b +-=-，再把7a b +=，5ab =代入，即可求解．（1）解：（1）图b 中的阴影部分的正方形的边长等于长为m ，宽为n 的长方形的长宽之差，即m -n ；（2）解：图b 中的阴影部分的正方形面积等于大正方形的面积减去4个长方形的面积，即()24m n mn +-；图b 中的阴影部分的正方形的边长等于m -n ，所有其面积为()2m n -；故答案为：()24m n mn +-或()2m n -（3）解：由（2）得：()()224m n mn m n +-=-；（4）解：由（3）得：()()224a b ab a b +-=-当a +b =7，ab =5时， ()2274529a b -=-⨯=，故答案为：29【点睛】本题考查了完全平方公式与图形之间的关系，从几何的图形来解释完全平方公式的意义，解此类题目的关键是正确的分析图形，找到组成图形的各个部分，并用面积的两种求法作为相等关系列式子．【变式训练】1．（2021·浙江·嵊州市马寅初初级中学七年级期中）数学活动课上，老师准备了若干个如图 1 的三种纸片，A 种纸片是边长为a 的正方形，B 种纸片是边长为b 的正方形，C 种纸片是长为a 、宽为b 的长方形，并用A 种纸片一张，B 种纸片一张，C 种纸片两张拼成如图 2 的大正方形．(1)观察图 2，请你写出下列三个代数式：2()a b +，22a b +，ab 之间的等量关系；(2)若要拼出一个面积为(2)()a b a b ++的矩形，则需要A 号卡片 1 张，B 号卡片 2 张，C 号卡片________张．(3)根据（1）题中的等量关系，解决如下问题：①已知：5a b +=，2211a b +=，求ab 的值；②已知22(2019)(2021)20x x -+-=，求2020x -的值．【答案】(1)2222a b a b ab +=++（）；(2)3；(3)①ab 的值为7；②x -2020=±3【分析】（1）用两种方法表示拼成的大正方形的面积，即可得出2()a b +，22a b +，ab 三者的关系；（2）计算（a +2b ）（a +b ）的结果为2232a ab b ++，因此需要A 号卡片1张，B 号卡片2张，C 号卡片3张；（3）①根据题（1）公式计算即可；②令a =x -2020，从而得到a +1=x -2019，a -1=x -2021，代入计算即可．（1）大正方形的面积可以表示为：2a b +（），或表示为：222a b ab ++；因此有2222a b a b ab +=++（）；（2）∵22232a b a b a ab b ++=++（)(），∵需要A 号卡片1张，B 号卡片2张，C 号卡片3张，故答案为：3；（3）①∵222222,511a b a b ab a b a b +=+++=+=（），， ∵25=11+2ab ,∵ab =7，即ab 的值为7；②令a =x -2020，∵x -2019=[x -（2020-1）]=x -2020+1=a +1，x -2021=[x -（2020+1）]=x -2020-1=a -1，∵222019202120x x -+-=（）（），∵221120a a ++-=（）（），解得29a =．∵220209x -=（），2x A -=∴原式=4AB =-4x -=-⋅2()A B +192∴=+4AB ∴=-即(2021-故答案为：考点八运用完全平方式求代数式的最值问题例题：（2022·河北承德·八年级期末）阅读下面的材料并解答后面的问题：在学了整式的乘法公式后，小明问：能求出224x x ++的最小值吗？如果能，其最小值是多少？小丽：能．求解过程如下：因为222242114(1)3x x x x x ++=++-+=++，因为2(1)0x +≥，所以2(1)33x ++≥，即224x x ++的最小值是3．问题：(1)小丽的求解过程正确吗？(2)你能否求出265x x -+的最小值？如果能，写出你的求解过程；(3)求289x x -+-的最大值．【答案】(1)小丽的求解过程正确；(2)265x x -+的最小值为4-，过程见解析(3)289x x -+-的最大值为7【分析】（1）将式子的一部分利用完全平方公式，写成平方加上一个数的形式，根据平方的非负性即可求解；（2）根据（1）的方法即可求解；（3）根据（1）的方法即可求解．（1）小丽的求解过程正确；（2）我能出265x x -+的最小值为4-，265x x -+26995x x =-+-+()234x =-- ()230x -≥，()2344x ∴--≥-，∴265x x -+的最小值为4-；（3）解：∵289x x -+-()2816169x x =--++-()247x =--+()240x --≤∴()2477x --+≤， ∵289x x -+-的最大值为7．【点睛】本题考查了因式分解的应用，完全平方公式，平方的非负性，掌握完全平方公式是解题的关键．【变式训练】1．（2022·陕西省西咸新区秦汉中学七年级阶段练习）我们知道20a ≥，所以代数式2a 的最小值为0.学习了多项式乘法中的完全平方公式，可以逆用公式，即用2222()a ab b a b ±+=+来求一些多项式的最小值．例如，求263x x ++的最小值问题．解：22263696(3)6x x x x x ++=++-=+-，又2(3)0x +≥，2(3)66x ∴+-≥-，263x x ∴++的最小值为6-．请应用上述思想方法，解决下列问题：(1)探究：245(x x x -+=______2)+______；(2)求224x x +的最小值．(3)比较代数式：21x -与23x -的大小．【答案】(1)-2；1(2)-2(3)2123x x ->-【分析】（1）根据完全平方式的特征求解．（2）利用完全平方公式变形，再求最值．（3）作差后利用完全平方公式变形，再比较大小．（1）解：2x ﹣4x +5＝2x ﹣4x +4+1＝()221x -+．故答案为：﹣2，1．（2）22x +4x ＝2（2x +2x +1﹣1）＝()2212x +-，∵()221x +≥0，一、选择题1．（2022·山东烟台·期末）下列各式能用平方差公式计算的是（）A ．()()22a b a b -+B ．()()22m n m n -+--C ．()()22a b a b -+-D ．()()22m n m n +--【答案】B【分析】平方差公式为()()22a b a b a b +-=-，据此对各选项加以分析判断即可．【详解】A ：()()22a b a b -+无法化为()()a b a b +-形式的式子，故其不能用平方差公式计算； B ：()()22m n m n -+--符合平方差公式的形式，故其可以用平方差公式计算；C ：()()22a b a b -+-无法化为()()a b a b +-形式的式子，故其不能用平方差公式计算；D ：()()22m n m n +--无法化为()()a b a b +-形式的式子，故其不能用平方差公式计算；故选：B ．【点睛】本题主要考查了平方差公式，熟练掌握相关公式是解题关键．2．（2022·云南文山·七年级期中）若代数式264x kx ++是完全平方式，则k 等于（）A ．8±B ．8C ．16D ．16± 【答案】D【分析】先根据两平方项确定出这两个数，再根据完全平方公式的乘积二倍项即可确定k 的值．【详解】解：∵222648x kx x kx ++=++，∵kx =±2×8x ,解得k =±16．故选：D ．【点睛】本题主要考查了完全平方式，根据平方项确定出这两个数是解题的关键．3．（2022·山东聊城·七年级期末）如果21m m -=，那么代数式()()222m m m ++-的值为（） A ．6B ．5C ．2D ．6-【答案】A【分析】先将所求式子去括号、合并同类项，将21m m -=变成2222m m -=，再整体代入计算即可求解．【详解】解：()()222m m m ++-A ．（a +2b ）（a ﹣b ）=a 2+ab ﹣2b 2B ．（a +b ）2=a 2+2ab +b 2C ．a 2﹣b 2=（a +b ）（a ﹣b ）D ．（a ﹣b ）2=a 2﹣2ab ﹣b 2【答案】C 【分析】利用正方形的面积公式可知剩下的面积=22a b -，而新形成的矩形是长为a +b ，宽为a -b ，根据两者相等，即可验证平方差公式．【详解】解：由题意得：22()()a b a b a b -=+-．故选：C ．【点睛】此题主要考查平方差公式，即两个数的和与这两个数的差的积等于这两个数的平方差，这个公式就叫做平方差公式．解决本题的比较两个图形分别表示出面积．二、填空题6．（2022·湖南·双牌县第一中学七年级期中）化简：()()22x y x y -+=______．【答案】224x y -【分析】根据平方差公式计算，即可求解．【详解】解：()()22224x y x y x y -+=-．故答案为：224x y -【点睛】本题主要考查了平方差公式，熟练掌握平方差公式()()22a b a b a b +-=-是解题的关键．7．（2021·广东·沙田第一中学七年级期末）已知a +b ＝3，a －b ＝5，则22a b -＝__________．【答案】15【分析】根据平方差公式计算即可．【详解】解：∵3a b +=，5a b -=，∵()()223515a b a a b b =+-=⨯=－．故答案为：15．【点睛】本题主要考查了平方差公式的应用，解答此题的关键是熟练掌握平方差公式：()()22a b a b a b +-=-．()21a-≥∴+的最小值为a b故答案为：【点睛】本题考查了完全平方公式的逆用，平方的非负性，掌握完全平方公式是解题的关键．10．（2022【详解】解：(2019x-()()()()()()2222019202220192022201922022x x x x x x --=-∴++-⎡---⎤⎣⎦()22120192022x x =-+--⨯ ()223=-- 7=，故答案为：7．【点睛】本题考查了利用完全平方公式变形求值，熟记完全平方公式是解题关键．三、解答题11．（2022·辽宁·阜新市第一中学七年级期中）计算：(1)()()223x y x y +-；(2)2200198202-⨯ （运用乘法公式计算）．【答案】(1)2226x xy y +-(2)4【分析】（1）根据多项式乘以多项式的计算法则求解即可；（2）用平方差公式进行简便计算即可．（1）解：()()223x y x y +-222436x xy xy y =+--2226x xy y =+-；（2）解：2200198202-⨯()()220022002002=--+()2222002002=--222002004=-+ 4=．【点睛】本题主要考查了多项式乘以多项式，平方差公式，熟知相关计算法则是解题的关键．12．（2022·四川·渠县琅琊中学七年级期中）先化简，再求值：根据以上规律：202220212020222+++.....+2+1=（2－1）（202220212020222+++......+2+1）=202321－．【点睛】此题考查了平方差公式，规律型：数字的变化类，以及多项式乘多项式，熟练掌握公式及法则是解本题的关键．15．（2022·陕西省西咸新区秦汉中学七年级阶段练习）如图，图1为边长为a 的大正方形中有一个边长为b 的小正方形，图2是由图1中阴影部分拼成的一个长方形．(1)设图1中阴影部分面积为1S ，图2中阴影部分面积为2S ，请用含a 、b 的代数式表示：1S =______，2S =______； (2)以上结果可以验证哪个乘法公式？请写出这个乘法公式______；(3)运用（2）中得到的公式，计算：2202220212023-⨯．【答案】(1)22a b -，()()a b a b +-(2)()()22a b a b a b +-=-(3)1【分析】（1）结合图形写出此题结果；（2）结合（1）题结果，可得乘法公式22()()a b a b a b +-=-；（3）将2021×2023变形为（2022+1）×（2022-1），再运用平方差公式进行计算．（1）解：由题意得，221S a b =-，2()()S a b a b =+-，故答案为：22a b -，()()a b a b +-；（2）解：由（1）题结果，可得乘法公式22()()a b a b a b +-=-，故答案为：22()()a b a b a b +-=-；（3）解：2202220212023-⨯()()220222022120221=--⨯+22202220221=-+=1．【点睛】此题考查了平方差公式几何背景问题的解决能力，关键是能准确列式、计算、归纳．16．（2022·全国·九年级专题练习）利用完全平方公式（a +b ）2＝a 2+2ab +b 2和（a －b ）2＝a 2－2ab +b 2的特点可以解决很多数学问题．解决下列问题：(1)分解因式：267m m --；(2)当x 、y 为何值时，多项式2x 2+y 2－8x +6y +20有最小值？并求出这个最小值；(3)已知∵ABC 的三边长a 、b 、c 都是正整数，且满足a 2+b 2＝8a +6b －25，求∵ABC 周长的最大值．【答案】(1)()()17m m +-(2)2x = ，3y =-；3(3)13【分析】（1）把原式变换成满足完全平方公式的特点的式子，可解得答案；（2）把原式变换成满足完全平方公式的特点的式子，可解得答案；（3）把原式变换成满足完全平方公式的特点的式子，求出a 、b ，再根据两边之和大于第三边的条件判断出c 的最大值，可解得答案；（1）267m m --=26997m m -+--()2316m =--=()()3434m m -+--=()()17m m +-（2）。

(完整版)实用版平方差、完全平方公式专项练习题(精品)

③（ 3－ x）（ x+3） =x 2－ 9；④（－ x+y ） ·（ x+y ） =－（ x － y）（ x+y ） =－ x2－ y 2．
A． 1 个
B．2 个
C．3 个
D．4 个
4．若 x2－ y2=30 ，且 x － y= － 5，则 x+y 的值是（）
A．5 二、填空题
B．6
C．－ 6
D ．－ 5
其中 x=1.5
1．平方差公式（ a+b）（a－ b） =a2－ b2 中字母 a， b 表示（）
A ．只能是数
B．只能是单项式
C．只能是多项式 D．以上都可以
2．下列多项式的乘法中，可以用平方差公式计算的是（
）
(3) (2a b) 2
(2a b)(a b) 2(a
2b )( a
2b) ，其中 a
较小的正方形的面积，差是 _____．
三、计算题
- 2-
9．利用平方差公式计算： 20 2 ×21 1 ． 33
10．计算：（ a+2）（ a2+4）（ a4+16）（ a－2）．
二、提高题
1．计算：（ 1）（ 2+1）（ 22+1）（ 24+1） … （22n+1） +1 （ n 是正整数）；
2、已知 (a b)2 16, ab 4, 求 a2 b2 与 (a b)2 的值。 3
- 3-
练一练 1 ．已知 (a b) 5, ab 3 求 (a b)2 与 3(a2 b2) 的值。 2 ．已知 a b 6, a b 4 求 ab 与 a2 b2 的值。
3、已知 a b 4, a2 b2 4 求 a2b 2 与 (a b)2 的值。

数学八年级上册《平方差公式》《完全平方公式》乘法公式完全平方公式

a-b-c= a-(b+c)
添括号时, 1.如果括号前面是正号,括到括号里的各项都不变号 2.如果括号前面是负号,括到括号里的各项都改变符号
练习
1.在等号右边的括号内填上适当的项:
(1) a + b + c = a + ( b + c ); (2) a – b – c = a – ( b + c ) ; (3) a - b + c = a – ( b - c ); (4) a + b + c = a - ( -b - c ).
例3 计算:
(1) 102×98;
(2) (y+2) (y-2) – (y-1) (y+5) .
解: (1) 102×98 =（100＋2）(100－2) = 1002-22 =1000 – 4 =9996 (2)(y+2)(y-2)- (y-1)(y+5) = y2-22-(y2+4y-5) = y2-4-y2-4y+5 = - 4y + 1.
a2-b2
(a+b)2= a2 +b2 +2ab (a-b)2= a2 +b2 - 2ab
头平方，尾平方，积的2倍在中间。
例1、运用完全平方公式计算：
(1) ( 4a2 - b2 )2 2= a2 -2ab +b2 (a-b) 分析： a 4a2 b2 b
解：（ 4a2 － b2）2
=( 4a2 )2－2( 4a2 )·( b2 )+( b2 )2 =16a4－8a2b2+b4
平方差公式: (a+b)(a-b)=a2-b2
即两数和与这两数差的积等于这两个数的平方差. 做一做: 将图甲中阴影部分的小长方形变换到图乙位置,你能根据两个图形的面积关系直观地说明平方差公式吗? a

专题7 平方差与完全平方公式压轴题的四种考法(原卷版)-2024年常考压轴题攻略(8年级上册人教版)

专题07平方差与完全平方公式压轴题的四种考法类型一、平方差公式逆运算类型二、完全平方公式（换元法）类型三、完全平方公式变形类型四、完全平方公式与几何综合例．两个边长分别为a 和b 的正方形如图放置（图①），其未叠合部分（阴影）面积为1S ；若再在图①中大正方形的右下角摆放一个边长为b 的小正方形（如图②），两个小正方形叠合部分（阴影）面积为2S ．（1）用含a 、b 的代数式分别表示1S 、2S ；（2）若8a b -=，13ab =，求12S S +的值；（3）用a 、b 的代数式表示3S ；并当1234S S +=时，求出图③中阴影部分的面积3S ．课后训练(1)观察图2，请你写出()2a b +、()2a b -、ab 之间的等量关系是(2)利用（1）中的结论，若5x y +=，94xy =，求()2x y -的值；(3)如图3，点C 是线段AB 上的一点，分别以AC 、BC 为边在正方形CBFG ，连接EG 、BG 、BE ，当1BC =时，BEG 的面积记为(1)图2中的阴影部分的正方形的边长等于．(2)观察图2你能写出下列三个代数式()()22m n m n mn +-，，之间的等量关系(3)运用你所得到的公式，计算若24mn m n =--=，，求：①()2m n +的值．②44m n +的值．(4)用完全平方公式和非负数的性质求代数式2224x x y y ++-（1）图2中的阴影部分的正方形的边长等于______（2）观察图2你能写出下列三个代数式(m+n)2，(m-n)（3）运用你所得到的公式，计算若mn=-2，m-n=4，求（4）用完全平方公式和非负数的性质求代数式x 2+2x+y （5）试画出一个几何图形，使它的面积等于3m 2+4mn+n9．若（m ＋48）2=654421，求（m ＋38）（m ＋58）的值．10．已知()()22a b a b a b -+=-．(1)()()()2212121-++=______；(2)求()()()()()248162121212121+++++的值；(3)求()()()()()()24816322313131313131++++++结果的个位数字．。

初二数学平方差公式完全平方公式专题训练

1、利用平方差公式计算：（1）(m+2) (m-2) (2)(1+3a) (1-3a) (3) (x+5y)(x-5y) (4)(y+3z) (y-3z)2、利用平方差公式计算（1）(5+6x)(5-6x) (2)(x-2y)(x+2y) (3)(-m+n)(-m-n)3利用平方差公式计算（1）(1)(-41x-y)(-41x+y) (2)(ab+8)(ab-8) (3)(m+n)(m-n)+3n 24、利用平方差公式计算(1)(a+2)(a-2) (2)(3a+2b)(3a-2b) (3)(-x+1)(-x-1) (4)(-4k+3)(-4k-3)5、利用平方差公式计算（1）803×797 （2）398×4027．下列多项式的乘法中，可以用平方差公式计算的是（）A ．（a+b ）（b+a ）B ．（－a+b ）（a －b ）C ．（13a+b ）（b －13a ） D ．（a 2－b ）（b 2+a ） 8．下列计算中，错误的有（）①（3a+4）（3a －4）=9a 2－4；②（2a 2－b ）（2a 2+b ）=4a 2－b 2；③（3－x ）（x+3）=x 2－9；④（－x+y ）·（x+y ）=－（x －y ）（x+y ）=－x 2－y 2．A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个9．若x 2－y 2=30，且x －y=－5，则x+y 的值是（）A ．5B ．6C ．－6D ．－510．（－2x+y ）（－2x －y ）=______．11．（－3x 2+2y 2）（______）=9x 4－4y 4．12．（a+b －1）（a －b+1）=（_____）2－（_____）2．13．两个正方形的边长之和为5，边长之差为2，那么用较大的正方形的面积减去较小的正方形的面积，差是_____．14．计算：（a+2）（a 2+4）（a 4+16）（a －2）．1利用完全平方公式计算：（1）（21x+32y)2 (2)(-2m+5n)2(3)（2a+5b)2(4)(4p-2q)22利用完全平方公式计算：（1）(21x-32y 2)2 (2)(1.2m-3n)2(3)(-21a+5b)2 (4)(-43x-32y)23 (1)(3x-2y)2+(3x+2y)2 (2)4(x-1)(x+1)-（2x+3)2(a+b)2-(a-b)2 (4)(a+b-c)2(5)(x-y+z)(x+y+z) (6)(mn-1)2—（mn-1)(mn+1)4先化简，再求值：(x+y)2-4xy,其中x=12,y=9。

平方差公式与完全平方公式的组合运算(一)

平方差公式与完全平方公式的组合运算(一)平方差公式与完全平方公式是初中阶段学习中十分重要的数学知识，而它们的组合运算也是十分常见的。

本文将介绍平方差公式与完全平方公式，探讨它们的组合运算，以及为什么能够达到预期效果。

一、平方差公式平方差公式是指：$(a+b)\times(a-b)=a^2-b^2$。

它的形式可能比较简单，但是应用起来却十分广泛。

例如，当我们需要求出两个数的平方和与平方差时，便可以通过平方差公式来解决。

如果要求$(a+b)^2+(a-b)^2$，那么我们可以先算出$(a+b)\times(a-b)=a^2-b^2$，再把这个结果带入到$(a+b)^2+(a-b)^2$中，得到$(a+b)^2+(a-b)^2=2a^2+2b^2$。

同理，如果要求$(a+b)^2-(a-b)^2$，我们可以先算出$(a+b)\times(a-b)=a^2-b^2$，再把这个结果带入到$(a+b)^2-(a-b)^2$中，得到 $(a+b)^2-(a-b)^2=4ab$。

二、完全平方公式完全平方公式是指：$a^2+2ab+b^2=(a+b)^2$。

这个公式相信大家都非常熟悉，因为在代数式的展开中，非常经常会用到这个公式。

例如，如果要展开$(x+3)^2$，那么我们就可以利用完全平方公式，得到$(x+3)^2=x^2+6x+9$。

三、平方差公式和完全平方公式的组合运算平方差公式和完全平方公式在实际运用中往往也会相互组合，来求解一些更加复杂的数学问题。

例如，如果我们要求$(a+b+c)^2$，那么我们就可以先算出$(a+b)^2$和$c^2$，再通过平方差公式来得到$$(a+b+c)^2=(a+b)^2+c^2+2(a+b)\timesc$$$$=a^2+2ab+b^2+c^2+2ac+2bc$$同样地，如果我们要求$(a-b)^2-(c-d)^2$，那么我们可以先用完全平方公式算出$(a-b)^2$和$(c-d)^2$，再用平方差公式来得到$$(a-b)^2-(c-d)^2=(a-b+c-d)\times(a-b-c+d)$$$$=(a+c-b-d)\times(a-b-c+d)$$$$=(a^2-2ab+b^2-c^2+2cd-d^2)$$综上所述，平方差公式与完全平方公式的组合运算非常灵活，而且可以帮助我们解决许多数学问题。

八年级数学上册平方差公式和完全平方公式(习题及答案)

平方差公式和完全平方公式（习题）➢ 例题示范例1：计算：23(1)(1)2(1)a a a -+---+．【操作步骤】（1）观察结构划部分：23(1)(1)2(1)a a a -+---+① ②（2）有序操作依法则：辨识运算类型，依据对应的法则运算．第一部分：a -和a -符号相同，是公式里的“a ”，1和-1符号相反，是公式里的“b ”，可以用平方差公式；第二部分：可以用完全平方公式，利用口诀得出答案．（3）每步推进一点点．【过程书写】解：原式2223()12(21)a a a ⎡⎤=---++⎣⎦223(1)242a a a =----2233242a a a =----245a a =--➢ 巩固练习1. 下列多项式乘法中，不能用平方差公式计算的是（）A ．()()x y y x ---+B ．()()xy z xy z +-C ．(2)(2)a b a b --+D ．1122x y y x ⎛⎫⎛⎫--- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭ 2. 下列各式一定成立的是（）A ．222(2)42x y x xy y -=-+B ．22()()a b b a -=-C ．2221124a b a ab b ⎛⎫-=++ ⎪⎝⎭D ．222(2)4x y x y +=+3. 若2222(23)412x y x xy n y +=++，则n =__________．4. 若222()44ax y x xy y -=++，则a =________．5. 计算： ①112233m n n m ⎛⎫⎛⎫--- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭； ②22()()()y x x y x y -++；③22(32)4x y y ---；④2()a b c +-；⑤296；⑥2112113111-⨯．6. 运用乘法公式计算：①2(2)(2)(2)x y x y x y -+-+； ②22(1)2(24)a a a +--+；③(231)(231)x y x y +--+；④3()a b -；⑤222233m m ⎛⎫⎛⎫+-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭； ⑥2210199-．➢ 思考小结1. 在利用平方差公式计算时要找准公式里面的a 和b ，我们把完全相同的“项”看作公式里的“_____”，只有符号不同的“项”看作公式里的“_____”，比如()()x y z x y z +---，_______是公式里的“a ”，_______是公式里的“b ”；同样在利用完全平方公式的时候，如果底数首项前面有负号，要把底数转为它的______去处理，比如22()(_______)a b --=2. 根据两大公式填空：+(_______)+(_______)b )222(2【参考答案】➢ 巩固练习1. C2. B3. ±34. -25. ①22149n m - ②44x y -+ ③2912x xy +④222 222a ab b bc ac c ++--+ ⑤9 216⑥1 6. ①242xy y --②267a a -+- ③224961x y y -+- ④322333a a b ab b -+- ⑤83m ⑥400 ➢ 思考小结1. a ，b ，(x -z )，y ，相反数，a +b2. 2ab ，2ab ，4ab。

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平方差公式和完全平方公式（含参）
学生做题前请先回答以下问题
问题1：已知，求的值．你是怎么思考的？问题2：已知，求的值．你是怎么思考的？
平方差公式和完全平方公式（含参）（人教版）
一、单选题(共12道，每道8分)
1.若，则的值为( )
A.-2
B.2
C.±4
D.4
2.若，则的值为( )
A.-4
B.±4
C.±4y
D.4
3.若，则的值为( )
A.3
B.-3
C.±3
D.±9
4.若，则的值为( )
A.7
B.±7
C.-7
D.以上都不对
5.若是完全平方式，则的值为( )
A.2
B.-2
C.±2
D.±1
6.若是完全平方式，则的值为( )
A.36
B.9
C.-9
D.±9
7.若是完全平方式，则的值为( )
A.-6
B.-12
C.±6
D.±12
8.若，则的值为( )
A.2
B.-2
C.±2
D.4
9.若，则的值为( )
A.-1
B.1
C.±1
D.-4
10.若，则的值分别为( )
A. B.
C. D.
11.计算的结果是( )
A.0
B.1
C.-1
D.2 004
12.计算的结果为( )
A.27 501
B.29 501
C.39 601
D.49 501
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