数字信号处理第六章
数字信号处理 第六章
二、巴特沃斯低通滤波器的设计方法
巴特沃斯低通滤波器的幅度平方函数为： 1 2 Ha( j ) 1 ( )2 N c 2 将幅度平方函数 H a ( j ) 写成 s 的函数
1
H a ( j)
1 2
H a ( s) H a ( s)
1 s 2N 1 ( ) j c
1 2 k 1 jπ ( ) 2 2N
0
c
巴特沃斯幅度特性和N的关系
jΩ
幅度平方函数有2N个极点：
sk (1) ( jc ) c e
1 2N
s0
s1 s2
s5
s4
σ
k=0, 1, 2, … , (2N-1)
取s平面左半平面的N个极点构成 H a ( s )
H ( j ) Ha ( j ) 因此有： 一般滤波器的冲激响应为实数，
H a ( j ) H a ( s ) H a ( s ) | s j
如果能由 α p、 p、αs、s ，求出 H a ( j ) 就很容易得到所需要的 H a ( s)
2
2
注意：Ha(s)必须是稳定的，因此极点必须落在 s 平面的
s3 c
1 j π e 3 ,
s 4 c , s5 c
3 c 2 j π 3
1 j π e3。
取左半平面3个极点组成Ha(s) H ( s ) a 采用3dB截止频率 c对 H a ( s )
H a ( s) 1 N 1 sk s ( ) c k 0 c
功能
现代滤波器 维纳滤波器、卡尔曼滤波器、自适应滤波器等，按照随机 信号内部的一些统计分布规律，从干扰中最佳地提取信号。
数字信号处理_第六章
j2
j2
s p 3 c e 3,s p 4 c ,s p 5 c e3,k 0 ,1 ,2
系统函数为： H a(s)(ssp3)(s sc 3p4)(ssp5)
或
1 H a (s) (s/ c)3 2 (s/ c)2 2 (s/ c) 1
令
p
s c
，则
pk sk /c
有，归一化的三阶滤波器的系统函数
22 0 lgH H ((e e j j0 st)) 2 0 lgH (ej st) 2 0 lg2
其中： H(ej0) 1
当 H (ej c)2/20 .7 0 7时，1 3dB
称 c 为3dB通带截止频率
3.滤波器的设计方法
直接设计法
在时域或频域直接设计数字滤波器
间接设计法
先根据指标要求设计对应的模拟滤波器 再将模拟滤波器转换为数字滤波器
通带： c
11H(ej)1
阻带： st H(ej) 2
过渡带： cst
c ：通带截止频率
s t ：阻带截止频率
：通带容限
1
2 ：阻带容限
通带最大衰减： 1
1 2 0 lgH H ( (e e jj 0 c ) ) 2 0 lgH (ej c) 2 0 lg (1 1 )
阻带最小衰减： 2
数字滤波器分为： 无限长单位脉冲响应滤波器（IIR DF） [递归系统] 有限长单位脉冲响应滤波器（FIR DF）[非递归系统]
M
bj z r
H (z) j0 N 1 ak z k k 1
N1
H(z) h(n)zn n0
(6.1.1) (6.1.2)
2． 数字滤波器的技术指标
数字滤波器的频率响应函数H(ejω)用下式表示： H(ejω)=|H(ejω)|ejθ(ω)
数字信号处理 第六章
各种数字滤波器的理想幅度频率响应 数字滤波器的设计步骤 理想滤波器的逼近 数字滤波器的系统函数H(z) IIR滤波器设计方法
6.1 引言
数字滤波器的设计步骤：
按任务要求，确定滤波器性能要求。 用一个因果稳定的离散线性移不变的系统函数去逼 近这一性能要求。逼近所用系统函数有无限冲激响 应（IIR）系统函数与有限长单位冲激响应（FIR） 系统函数两种。 利用有限精度算法来实现这个系统函数。 实际的技术实现。
零极点分布对系统相角的影响
相位“延时”（或相位“滞后”）系统
最小相位延时系统 最大相位延时系统 最大相位超前系统 最小相位超前系统
相位“超前”（或相位“领先”）系统
当全部零点在单位圆外时，相位变化最大，又是负数， 当全部零点在单位圆外时，相位变化最小， 当全部零点在单位圆内时，相位变化最大， 当全部零点在单位圆内时，相位变化最小， 故称为最小相位超前系统。 故称为最大相位超前系统。 故称为最大相位延时系统。 故称为最小相位延时系统。
2、可实现Ha(s)Ha(-s)零极点分布
j
σ
1、零极点中一半属Ha(s)，另一 半属Ha(-s)。如要求系统稳定， 则左半平面极点属于Ha(s)。 2、挑选零点时，不加任何限制， 则Ha(s)的解不唯一。 3、如限定Ha(s)是最小相位的， 则只能取所有左半平面的零极 点作为Ha(s)的零极点，Ha(s) 的解唯一。 4、虚轴上的零点阶数减半分配给 Ha(s)。 5、稳定系统虚轴上无极点，临界 稳定时虚轴上才会有极点。
第6章 无限冲激响应IIR 数字滤波器的设计方法
刘笑楠
第6章 无限冲激响应IIR 数字滤波器的设计方法
数字信号处理_刘顺兰 第6章 完整版习题解答
其系统的频率响应为
H (e j )
n
h(n)e j n e j n
n 0 j n
2
1 e j 3 sin(3 / 2) e j j 1 e sin( / 2)
H (e )
j
n
h(n)e
2 n 0
e
j j
e j , c c , H d (e ) 0 , c , c
j
则
hd (n)
1 H d (e j )e jn d 2 1 c j jn e e d 2 c sin[ c (n )] (n )
n 0
2
j n
1 e j 3 sin(3 / 2) e j j 1 e sin( / 2)
或
H (e j ) e j n 1 e j e j 2 e j (e j 1 e j ) e j (1 2 cos )
1 0 n 6 ； 0 其它n
1 0 n 3 ； 0 其它n
（1） 分别判断是否为线性相位 FIR 滤波器？如是，请问是哪一类线性相位滤波器？ （2） 如果是线性相位滤波器，写出它们的相位函数，群延迟。 解：(a) h( n) ( n) ( n 3) 则
H ( z ) 1 z 3 H (e ) 1 e
4
（2）
(1)
n 0
5
n
h( n) 0
j / 4
。
（3）在 z 0.7e （4）
处 H ( z ) 等于零。 。
5
H (e
数字信号处理ppt第六章
一、DF按频率特性分类 可分为低通、高通、带通、带阻和全通，
其特点为：
（1）频率变量以数字频率 ω 表示，ω = ΩT ，
Ω 为模拟角频率，T为抽样时间间隔； （2）以数字抽样频率 ωs = 2πfs ⋅T = 2π 为周期； （3）频率特性只限于 ω ≤ ω s / 2 = π 范围，这
3、由 A2 (Ω) = H a ( jΩ) 2 确定 H a (s)的方法
（1）求 H a (s)H a (−s) = A2 (Ω) Ω2 =−S 2
（2）分解 Ha (S)Ha (−S),得到各零极点，将左半面的 极点 归于 Ha (S)，对称的零点任一半归 Ha (S)。若要求 最小相位延时，左半面的零点归 Ha (S)（全部零极点 位于单位圆内）。
将2、技Q∴计术算2H指0所a标l(g需j，ΩH的代)a阶2入( j=数Ω上1及式)/[3=1，d+B−可截(1得Ω0Ω止lC频g)[21率N+]Ω(CΩΩC )2N ]
{−10lg[1+ ( 2π×103 )2N ] ≥ −1 −10lg[1+ (3π×Ω1C03 )2N ] ≤ −15 ΩC
解上述两式得：
它是表示每个频率分量的延迟情况；当其为常数时， 就是表示每个频率分量的延迟相同。
四、DF设计内容 1、按任务要求确定Filter的性能指标； 2、用IIR或FIR系统函数去逼近这一性能要求； 3、选择适当的运算结构实现这个系统函数； 4、用软件还是用硬件实现。
五、IIR数字filter的设计方法
1、借助模拟filter的设计方法 （1）将DF的技术指标转换成AF的技术指标； （2）按转换后技术指标、设计模拟低通filter的 Ha (s)； （3）将 H a (s) → H (z) （4）如果不是低通，则必须先将其转换成低通
数字信号处理第六章
1）幅度函数特点：
H a ( j)
2
1 1 c
2
2N
0
c
H a ( j) 1 H a ( j) 1/ 2 1 3dB 3dB不变性
2
c 通带内有最大平坦的幅度特性，单调减小
c 过渡带及阻带内快速单调减小
3、逼近情况
1）
s平面虚轴
2）
z平面单位圆
s平面
左半平面
z平面 单位圆内 单位圆外 单位圆上
右半平面
虚轴
例7.4
已知模拟滤波器的传输函数为
1 H a ( s) 2 2s 3s 1
采用双线性变换法将其转换为数字滤波 器的系统函数，设T=2s 解 将s代入Ha(s)可得
H ( z ) H a ( s ) s 2 1 z 1 ,T 2
i 1,2,..., m
例6.4.1试分别用脉冲响应不变法和双 线性不变法将图6.4.4所示的RC低通滤波器 转换成数字滤波器。 解 首先按照图6.4.4写出该滤波器的传 输函数Ha(s)为 1
H a ( s)
s
,
RC
利用脉冲响应不变法转换，数字滤波器的系统函 数H1(z)为
低通
0 高通
0 带通 0
带阻
0
全通 0
通带
阻带 过渡带 平滑过渡
三、DF频响的三个参量 1、幅度平方响应
2、相位响应
3、群延迟
它是表示每个频率分量的延迟情况；当其为常 数时， 就是表示每个频率分量的延迟相同。 四、DF设计内容 1、按任务要求确定Filter的性能指标； 2、用因果稳定LSI的系统函数去逼近这一性 能要求； 3、选择适当的运算结构实现这个系统函数； 4、用软件还是用硬件实现。
数字信号处理 第六章
第六章数字滤波器结构6、1:级联得实现num = input('分子系数向量 = ');den = input('分母系数向量 = ');[z,p,k] = tf2zp(num,den);sos = zp2sos(z,p,k)Q6、1使用程序P6、1,生成如下有限冲激响应传输函数得一个级联实现:H1(z)=2+10z^(-1)+23z^(-2)+34z^(-3)+31z^(-4)+16 z^(-5)+4z^(-6)画出级联实现得框图。
H1(z)就是一个线性相位传输函数吗?答:运行结果:sos = zp2sos(z,p,k)Numerator coefficient vector = [2,10,23,34,31,16,4]Denominator coefficient vector = [1]sos =2、0000 6、0000 4、0000 1、0000 0 01、0000 1、00002、0000 1、0000 0 01、0000 1、0000 0、5000 1、0000 0 0级联框图:H1(z)不就是一个线性相位传输函数,因为系数不对称。
Q6、2使用程序P6、1,生成如下有限冲激响应传输函数得一个级联实现:H2(z)=6+31z^(-1)+74z^(-2)+102z^(-3)+74z^(-4)+31 z^(-5)+6z^(-6)画出级联实现得框图。
H2(z)就是一个线性相位传输函数吗?只用4个乘法器生成H2(z)得一级联实现。
显示新得级联结构得框图。
Numerator coefficient vector = [6,31,74,102,74,31,6]Denominator coefficient vector = [1]sos =6、0000 15、0000 6、0000 1、0000 0 01、00002、00003、0000 1、0000 0 01、0000 0、6667 0、3333 1、0000 0 0级联框图:H2(z)就是一个线性相位传输函数。
数字信号处理(刘顺兰)(第二版)全书章 (6)
cos
m
1 2
因此
H
(
)
N /2 n1
b(n)
c os
n
1 2
（6-17）
第6章 有限长单位脉冲响应
式中:
b(n) 2h N n 2
n=1,2, 3, …, N/2 （6-18）
按ω照 =π式呈（奇6-对17称），，因当此ωH=(ππ时)=，0，c即osH(z)n在 12z=e jπ0=-，1
N 2
1
n
（6-4）
我们可以看到，上式的Σ以内全部是标量，如果我们将频率响应 用相位函数θ(ω)及幅度函数H(ω)表示
H (e j ) H ( )e j ( )
（6-5）
第6章 有限长单位脉冲响应
那么有：
H
(
)
N 1
h(n)
n0
c
os
N 2
1
n
() N 1
2
（6-6） （6-7）
式(6-6)的幅度函数H(ω)是标量函数，可以包括正值、负值和零， 而且是ω的偶对称函数和周期函数; 而|H(ejω)|取值大于等于零, 两者在某些ω值上相位相差π。式(6-7)的相位函数θ(ω)具有严 格的线性相位，如图6-1所示。
其系统函数为
N 1
N 1
H (z) h(n)zn h(N 1 n)zn
n0
n0
将m=N-1-n代入
N 1
N 1
H (z) h(m)z(N 1m) z(N 1) h(m)zm
m0
m0
第6章 有限长单位脉冲响应
即
H (z) z(N 1)H (z1)
（6-2）
上式改写成
H (z) 1 [H (z) z(N 1)H (z1)] 2
《数字信号处理》第六章 Z变换
第一节 Z变换的定义
例1：求 x(n)=(1/2)nu(n) 的z变换
解：
X (z)
x(n)zn
(1)nu(n)zn
z
n
n
n 2
n0 2
例2：求 x(n)=-(1/2)nu(-n-1)的z变换
解：
X (z)
x(n)zn
A( z )
1 za
1 a
1 1 1
z
a
按等比级数有
A(z)
1 a
(1
1 a
z
1 a2
z2
)
at
{
1 a
,
1 a2
,
1 a3
,, ,
1 a n 1
,)
第四节 Z反变换
当 a 1时，
A( z )
z
1 a
11 z 1 az 1
按等比级数有
A(z) 1 (1 az1 a2 z2 ) z
解：
Z [u(n)] 1 , z 1
1 z
Z [u(n 3)] z3
1
z3 ,
z 1
1 z 1 z
Z [x(n)] 1 z3 z2 z 1, z 1 1 z 1 z
例4 已知序列x(n)的z变换为X(Z)，求
7X(z)+3zX(z)+8z2X(z) +z3X(z) +6z5X(z)所对应的信号
k
zk
k 0
1 1 z
这是一个等比级数，当|z|<1时，该级数收敛。
数字信号处理课后答案第6章
A2 s1
比较分子各项系数可知， A1、 A2应满足方程：
A1A1s2A2
1 A2 s1
a
解之得， A1=1/2， A2=1/2， 所以
Ha
(s)
s
1/ 2 (a
jb)
s
1/ 2 (a
jb)
套用教材（6.3.4）式， 得到
H (z)
2
Ak
k 1 1 es k T z 1
1/ 2 1 e(a jb)T z 1
2． 设计一个切比雪夫低通滤波器， 要求通带截止频率 fp=3 kHz，通带最大衰减αp=0.2 dB，阻带截止频率fs=12 kHz, 阻带最小衰减αs=50 dB。 求出滤波器归一化系统函数G(p)和实 际的Ha(s)。
解: （1） 确定滤波器技术指标。 αp=0.2 dB, Ωp=2πfp=6π×103 rad/s αs=50 dB, Ωs=2πfs=24π×103 rad/s
fp=20 kHz， 阻带截止频率fs=10 kHz， fp处最大衰减为3 dB，
阻带最小衰减as=15 dB。 求出该高通滤波器的系统函数Ha(s)。
解: (1) 确定高通滤波器技术指标要求：
p=20 kHz, ap=3 dB fs=10 kHz, as=15 dB
(2) 求相应的归一化低通滤波器技术指标要求： 套用图 5.1.5中高通到低通频率转换公式②， λp=1, λs=Ωp/Ωs， 得到
sp
s p
2π 12103 2π 6103
2
将ksp和λsp值代入N的计算公式, 得
N lg17.794 4.15 lg 2
所以取N=5（实际应用中， 根据具体要求， 也可能取N=4， 指标稍微差一点， 但阶数低一阶， 使系统实现电路得到 简化）。
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成绩：《数字信号处理》作业与上机实验（第六章）班级：学号：姓名：任课老师：李宏民完成时间： 2014-12-7信息与通信工程学院2015—2016学年第1 学期第6章 无限脉冲响应数字滤波器设计一、教材p195：13,14,15,16,17,18,19二、某信号()x t 为：123()0.5cos(2)0.7cos(20.1)0.4cos(2)x t f t f t f t ππππ=+++，其中121100,130,600.f Hz f Hz f Hz ===设计最低阶数IIR 数字滤波器，按下图所示对()x t 进行数字滤波处理，实现：()x t ()y t1）将3f 频率分量以高于50dB 的衰减抑制，同时以低于2dB 的衰减通过1f 和2f 频率分量；2）将1f 和2f 频率分量以高于50dB 的衰减抑制，同时以低于2dB 的衰减通过3f 频率分量；要求：按数字滤波器直接型与级联型结构图编写滤波程序，求得()y n ；IIR滤波器采用双线性（高通）与冲击响应不变法（低通）设计；画出所设计的滤波器频率特性图、信号时域图；给出滤波器设计的MATLAB 代码与滤波器实现的代码；选择合适的信号采样周期T 与两种滤波器设计方法中对模拟滤波器冲击响应的采样周期T ’, 注意区分二者的异同。
一、13wpz=[0.25 0.45]; wsz=[0.15 0.55]; rp=3;rs=40;[N wc]=buttord(wpz,wsz,rp,rs); [Bz Az]=butter(N,wc); [H w]=freqz(Bz,Az); magH=abs(H); angH=angle(H);subplot(211);plot(w/pi,20*log(magH));grid;xlabel('w/pi');ylabel('幅度/dB');title('损耗函数曲线'); subplot(212);plot(w,angH);grid;xlabel('w');ylabel('相位');title('相频特性曲线'); figure(1);00.20.40.60.81-1000-5000500w/pi幅度/d B损耗函数曲线0.511.522.533.5-4-2024w相位相频特性曲线系统函数H(z)系数：Bz =Columns 1 through 130.0001 0 -0.0007 0 0.0022 0 -0.0036 0 0.0036 0 -0.0022 0 0.0007 Columns 14 through 15 0 -0.0001 Az =Columns 1 through 131.0000 -5.3093 16.2913 -34.7297 56.9399 -74.5122 80.0136 -71.1170 52.6408 -32.2270 16.1696 -6.4618 1.9831 Columns 14 through 15 -0.4218 0.0524这种设计对应于脉冲响应不变法。
14、fs=80000;wpz=4000/fs; wsz=20000/fs; rp=0.5;rs=45;[N wc]=buttord(wpz,wsz,rp,rs); [Bz Az]=butter(N,wc);disp('T14系统函数H(z)系数'); [H w]=freqz(Bz,Az); magH=abs(H); angH=angle(H);subplot(211);plot(w/pi,20*log(magH));grid;xlabel('w/pi');ylabel('幅度/dB');title('损耗函数曲线'); axis([0 1 -600 50]);subplot(212);plot(w,angH);grid;xlabel('w');ylabel('相位');title('相频特性曲线'); figure(1);00.20.40.60.81-600-400-2000w/pi幅度/d B损耗函数曲线0.511.522.533.5-4-2024w相位相频特性曲线Bz =1.0e-03 *0.1231 0.4926 0.7388 0.4926 0.1231 Az =1.0000 -3.4103 4.3986 -2.5397 0.553315、fs=80000;wpz=4000/fs; wsz=20000/fs; rp=0.5;rs=45;[N wc]=cheb1ord(wpz,wsz,rp,rs); [Bz Az]=cheby1(N,rp,wc); [H w]=freqz(Bz,Az); magH=abs(H); angH=angle(H);subplot(211);plot(w/pi,20*log(magH));grid;xlabel('w/pi');ylabel('幅度/dB');title('损耗函数曲线'); axis([0 1 -600 50]);subplot(212);plot(w,angH);grid;xlabel('w');ylabel('相位');title('相频特性曲线'); figure(1);00.20.40.60.81-600-400-2000w/pi幅度/d B损耗函数曲线0.511.522.533.5-4-2024w相位相频特性曲线Bz =1.0e-03 *0.3147 0.9442 0.9442 0.3147 Az =1.0000 -2.7859 2.6099 -0.821516、fs=2500000;wpz=325000/fs; wsz=225000/fs; rp=1;rs=40;[N wc]=ellipord(wpz,wsz,rp,rs); [Bz Az]=ellip(N,rp,rs,wc,'high'); disp('T16系统函数H(z)系数'); [H w]=freqz(Bz,Az); magH=abs(H); angH=angle(H);subplot(211);plot(w/pi,20*log(magH));grid;xlabel('w/pi');ylabel('幅度/dB');title('损耗函数曲线'); axis([0 1 -200 50]);subplot(212);plot(w,angH);grid;xlabel('w');ylabel('相位');title('相频特性曲线'); figure(1);0.20.40.60.81-200-150-100-50050w/pi幅度/d B损耗函数曲线0.511.52 2.53 3.5-4-2024w相位相频特性曲线Bz =0.5204 -2.5184 4.9563 -4.9563 2.5184 -0.5204 Az =1.0000 -3.6174 5.4404 -4.1472 1.5680 -0.217417、fs=5000000;wpz=[560 780]*1000/fs; wsz=[375 1000]*1000/fs; rp=0.5;rs=50;[N wc]=ellipord(wpz,wsz,rp,rs); [Bz Az]=ellip(N,rp,rs,wc); [H w]=freqz(Bz,Az); magH=abs(H); angH=angle(H);subplot(211);plot(w/pi,20*log(magH));grid;xlabel('w/pi');ylabel('幅度/dB');title('损耗函数曲线'); axis([0 1 -300 50]);subplot(212);plot(w,angH);grid;xlabel('w');ylabel('相位');title('相频特性曲线'); figure(1);00.20.40.60.81-300-200-1000w/pi幅度/d B损耗函数曲线0.511.522.533.5-4-2024w相位相频特性曲线Bz =0.0033 -0.0228 0.0712 -0.1331 0.1627 -0.1331 0.0712 -0.0228 0.0033 Az =1.0000 -7.1515 23.0141 -43.4374 52.5405 -41.6917 21.2016 -6.3236 0.848818、fs=5000;wpz=[500 2125]/fs; wsz=[1050 1400]/fs; rp=1;rs=40;[N wc]=ellipord(wpz,wsz,rp,rs); [Bz Az]=ellip(N,rp,rs,wc,'stop'); [H w]=freqz(Bz,Az); magH=abs(H); angH=angle(H);subplot(211);plot(w/pi,20*log(magH));grid;xlabel('w/pi');ylabel('幅度/dB');title('损耗函数曲线'); axis([0 1 -200 50]);subplot(212);plot(w,angH);grid;xlabel('w');ylabel('相位');title('相频特性曲线'); figure(1);0.20.40.60.81-200-150-100-50050w/pi幅度/d B损耗函数曲线0.511.52 2.53 3.5-4-2024w相位相频特性曲线Bz =0.3215 -1.4611 3.1561 -4.0061 3.1561 -1.4611 0.3215 Az =1.0000 -2.9919 4.0769 -3.4858 1.9010 -0.4505 -0.022719、T=1;fs=80000;wp=4000/fs*pi/T; ws=20000/fs*pi/T; rp=0.5;rs=45;[N wc]=buttord(wp,ws,rp,rs,'s'); [B A]=butter(N,wc,'s'); [Bz Az]=impinvar(B,A); [H w]=freqz(Bz,Az); magH=abs(H); angH=angle(H);subplot(211);plot(w/pi,20*log(magH));grid;xlabel('w/pi');ylabel('幅度/dB');title('损耗函数曲线');axis([0 1 -250 50]);subplot(212);plot(w,angH);grid;xlabel('w');ylabel('相位');title('相频特性曲线');figure(1);0.20.40.60.81-250-200-150-100-50050w/pi幅度/d B损耗函数曲线0.511.52 2.53 3.5-4-2024w相位相频特性曲线Bz =-0.0000 0.0003 0.0011 0.0002 0Az =1.0000 -3.4398 4.4709 -2.5996 0.5701与14题相比脉冲响应不变法在w=pi附近频谱混叠严重。