专题一 求数列的通项公式

数列专题1：求数列的通项公式
一、观察法
例1、用观察法写出下列数列的一个通项公式： （1）1，6，15，28，45，…
（2）5，55，555，5555，55555，…
（3）1，2+3，3+4+5，4+5+6+7，5+6+7+8+9，… （4）21，65-，1211，2019-，30
29
，…
二、由n S 求n a （作差法）
给出数列{}n a 的前n 项和为n S 或1+n S 与n S 的递推关系，或者给出数列{}n a 的前n 项和
n S 与n a 的递推关系，求通项n a
型一：2
111
≥=⎩⎨
⎧-=-n n S S S a n n n
【法一】“1--n n S S ”代入消元消n a ； 【法二】写多一项，作差消元消n S ． 【注意】检验1=n 的值，若1a 的值适合n a 的表达式，应把1a 合并到n a 中去，否则应 写成分段形式．
型二：⎪⎩⎪
⎨⎧≥==-)2( )
1( 1
1n T T n T a n n n
【法一】“
1
-n n
T T ”代入消元消n a ， 【法二】写多一项，作商消元消n T . 例2、（1）若)1(21+-=+n n S n n ，求n a ； （2）若11=a ，)(12
3
*1N n S S n n ∈+=+，求n a ．
【变式2】设数列{}n a 的前n 项和为n S （1）若)(3*2N n n n S n ∈-=，求n a ．
（2）若n n a S 31+=（*
N n ∈），0≠n a ，求n a ．
三、累加、类乘法
型一：)(1n f a a n n =--或)(1n f a a n n +=+，用累加法求通项公式
)
1()2()2()1(1223211f a a f a a n f a a n f a a n n n n +=+=-+=-+=---
⇒
的情况
检验，1)
()
1()2()2()1(21
1
11=+=-+-++++=≥∑-=n i f a n f n f f f a a n n i n
型二：
)(1
n f a a n n
=-或n n a n f a )(1=+，用累乘法求通项公式 )1()2()2()1(1
223211f f n f n f a a a a a a a a n n n n ⋅⋅⋅-⋅-=⋅⋅⋅⋅---
1)1()2()2()1(,2a f f n f n f a n n ⋅⋅⋅⋅-⋅-=≥ 检验1=n 的情况
⇓
例3、数列{}n a 中，
（1）若231++=+n a a n n ，21=a ，求n a ； （2）若n n n a a 21=+，11=a ，求n a ；
【变式3】数列{}n a 中，
（1）若n n n a a 21
1+=+，21=a ，求n a ； （2）若n n a n n a 21+=
+，且3
2
1=a ，求n a ． （3）（2009广东高考）11=a ，n n n n a n a 21
)11(1+++=+．设n
a b n n =，求数列{}n b 和{}
n a 的通项公式．
四、待定系数法
型一：)1,1,( 1≠≠+=+p c p c p ca a n n 为非零常数，
说明：（1）若1=c ，则p a a n n +=+1，数列}{n a 为等差数列； （2）若0=p ，则n n ca a =+1，数列}{n a 为等比数列； 【方法】构造x c ca a x a c x a n n n n )1(),(11-+=+=+++即， 故p x c =-)1(， 即}1
{-+
c p
a n 为等比数列. 型二：)1,( 1≠+=+c k c kn ca a n n 为非零常数， 【方法】分拆n
设y x ,，满足)()1(1y xn a c y n x a n n ++=++++， 整理，得x y c xn c ca a n n +-+-+=+)1()1(1
即：⎪⎪⎩
⎪
⎪⎨⎧
-=
-=⎩⎨⎧=--=-2)1(1 0)1()1(c k y c k x x y c k x c 数列})1(1{2
-+-+c k n c k a n 为等比数列. 型三：)1,,( 1≠⋅+=+c k c k ca a n n n 为非零常数λ除幂变换 【法一】分拆n
λ，两边同时除以1
+n λ
得
λ
λλk
ca a n n
n n +
=
+++1
1
1
，即
λ
λ
λλk a c a n n n n +⋅=
++1
1
，
若λ=c ，⎭
⎬⎫
⎩⎨
⎧n n a λ为等差数列；若λ≠c 时，转化为型一求解 【法二】两边同时除以1
+n c
得，111++++=n n
n n n n c
k c ca c a λ
若λ=c ，⎭
⎬⎫
⎩⎨⎧n n c a 为等差数列；若λ≠c 时，再用累加法求解
例4、（1）已知321+=+n n a a ，11=a ，求{}n a ．
（2）已知1231++=+n a a n n ，11=a ，求{}n a ． （3）已知n n n a a 231+=+，11=a ，求{}n a ．
【变式4】设数列}{n a 中，（1）若1,32
1
11=+=
+a a a n n ，求n a . （2）)2(123,411≥-+==-n n a a a n n ，求n a .
（3）已知数列}{n a 中，1
112131,65++⎪
⎭
⎫
⎝⎛+==n n n a a a ，求n a .
（4）若32-+=n a S n n ，求n a
型一：),,( 1为非零常数c p k d
ca ba a n n
n +=
+
【方法】两边取倒数，得
b
c
a b d a n n +⋅=+111，转化为待定系数法求解 （1）若d b =，则
n n a b c a 111+=+，故数列⎭
⎬⎫⎩⎨⎧n a 1是首项为1
1
a ，公差为
b
c 的等差数列.
b
c
n a a n )1(111-+=∴
，由此求出通项n a . （2）若d b ≠，令n
n a b 1
=
，则n n b b d b c b ⋅+=+1，转化为待定系数法求出n b ，进而求出n a .
型二：),,( 011为非零常数q p c qa pa a ca n n n n =++++ 【方法】两边同除以1+n n a a ，得01
11=⋅+⋅
++n
n a q a p c ，转化为数列⎭
⎬⎫⎩⎨⎧n a 1，再求解. 例5、（1）数列}{n a 中，若2
1
,3311=+=+a a a a n n n ，求n a . （2）已知数列}{n a 满足：1112,2
1
++-=-=n n n n a a a a a ，求432,,a a a 的值及数列}{n a 的通项公式.
【变式5】（1）数列}{n a 中，2
1
,1311=+=
+a a a a n n n ，求n a . （2）已知数列}{n a 满足2,2
211
11=+⋅=+++a a a a n n n
n n 且，求n a .
1、根据下列各数列的前4项，写出它的一个通项公式： （1）2，212
，313，41
4， (2)
21，52-，103，174-，…
（3）
3
2，154，356，63
8，… 2、设数列{}n a 的前n 项和为n S ，若31=a 且)(2*11N n a S S n n n ∈=+++，求通项公式n a ．
3、数列{}n a 中，
（1）若12+=n a n ，21=b ，)2(1≥+=-n a b b n n n ，求n b ； （2）若21=a ，n n a n na )1(1+=+，求n a ； （3）若a 1＝2，a n ＋1＝a n ＋2n ＋1，求n a ； （4）若311=a ，32111+=-+n a a n
n ，求n a ．
4、已知3
2
231341+⨯-=+n n n a S ，求1a 和n a ．
5、已知数列{}n a 中，),2,1(14 =+=n a S n n ，11=a ，求n a ．
6、若4
1
1=a ，)2(1≥-=-n S S a n n n ，求n a ．
7、已知数列{}n a 满足1
112
2++++⋅=n n n
n n a a a ，且21=a ，求n a ．
8、已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，21=a ，当2≥n 时，11+-n S ，n a ，1+n S 成等差数列，求n a ．。