2009年浙江高考数学(理科)试卷(含答案)

2009年高考数学浙江理科试卷含详细解答一、选择题（本大题共10小题，共0分）1．（2009浙江理1）设U=R ，{|0}A x x =>，{|1}B x x =>，则U A C B ⋂=( )A.{|01}x x ≤<B.{|01}x x <≤C.{|0}x x <D.{|1}x x >2．（2009浙江理2）已知,a b 是实数，则“0a >且0b >”是“0a b +>且0ab >”的( ) A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件3．（2009浙江理3）设1z i =+（i 是虚数单位），则22z z +=( )A.1i --B.1i -+C.1i -D.1i +4．（2009浙江理4）在二项式251()x x -的展开式中，含4x 的项的系数是( ). A.10- B.10 C.5- D.55．（2009浙江理5）在三棱柱111ABC A B C -中，各棱长相等，侧掕垂直于底面，点D 是侧面11BB C C的中心，则AD 与平面11BB C C所成角的大小是( )A.30B.45C.60D.906．（2009浙江理6）某程序框图如图所示，该程序运行后输出的k 的值是( )A.4B.5C.6D.77．（2009浙江理7）设向量a ，b 满足：||3=a ，||4=b ，0⋅=a b .以a ，b ，-a b 的模为边长构成三角形，则它的边与半径为1的圆的公共点个数最多为( ). A.3 B.4 C.5 D.68．（2009浙江理8）已知a 是实数，则函数()1sin f x a ax =+的图象不可能是( )A. B.C. D.9．（2009浙江理9）过双曲线22221(0,0)x y a b a b -=>>的右顶点A 作斜率为1-的直线，该直线与双曲线的两条渐近线的交点分别为,B C .若12AB BC =，则双曲线的离心率是( )A.2B.3C.5D.1010．（2009浙江理10）对于正实数α，记M α为满足下述条件的函数()f x 构成的集合：12,x x ∀∈R 且21x x >，有212121()()()()x x f x f x x x αα--<-<-.下列结论中正确的是( ) A.若1()f x M α∈，2()g x M α∈，则12()()f x g x M αα⋅⋅∈B.若1()f x M α∈，2()g x M α∈，且()0g x ≠，则12()()f x M g x αα∈ C.若1()f x M α∈，2()g x M α∈，则12()()f x g x M αα++∈D.若1()f x M α∈，2()g x M α∈，且12αα>，则12()()f x g x M αα--∈二、填空题（本大题共7小题，共0分）11．（2009浙江理11）设等比数列{}n a 的公比12q =，前n 项和为n S ，则44S a = .12．（2009浙江理12）若某几何体的三视图（单位：cm ）如图所示，则此几何体的体积是3cm .13．（2009浙江理13）若实数,x y 满足不等式组2,24,0,x y x y x y +≥⎧⎪-≤⎨⎪-≥⎩则23x y +的最小值是14．（2009浙江理14）某地区居民生活用电分为高峰和低谷两个时间段进行分时计价.该地区的电网销售电价表如下：若某家庭5月份的高峰时间段用电量为200千瓦时，低谷时间段用电量为100千瓦时，则按这种计费方式该家庭本月应付的电费为 元（用数字作答）.15．（2009浙江理15）观察下列等式：1535522C C +=-， 1597399922C C C ++=+，159131151313131322C C C C +++=-，1591317157171717171722C C C C C ++++=+，………由以上等式推测到一个一般的结论：对于*n N ∈，1594141414141n n n n n C C C C +++++++++=.16．（2009浙江理16）甲、乙、丙3人站到共有7级的台阶上，若每级台阶最多站2人，同一级台阶上的人不区分站的位置，则不同的站法种数是 （用数字作答）.17．（2009浙江理17）如图，在长方形ABCD 中，2AB =，1BC=，E 为DC 的中点，F 为线段EC （端点除外）上一动点.现将AFD ∆沿AF 折起，使平面ABD ⊥平面ABC .在平面ABD内过点D 作DKAB ⊥，K 为垂足.设AK t =，则t 的取值范围是 .三、解答题（本大题共5小题，共0分）18．（2009浙江理18）在ABC ∆中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，且满足25cos25A =，3AB AC ⋅=.（I ）求ABC ∆的面积；（II ）若6b c +=，求a 的值。

19．（2009浙江理19）在1,2,3,,9这9个自然数中，任取3个数.（I ）求这3个数中恰有1个是偶数的概率；（II ）设ξ为这3个数中两数相邻的组数（例如：若取出的数为1,2,3，则有两组相邻的数1,2和2,3，此时ξ的值是2）.求随机变量ξ的分布列及其数学期望E ξ.20．（2009浙江理20）如图，平面PAC ⊥平面ABC ，ABC ∆是以AC 为斜边的等腰直角三角形，,,E F O 分别为PA ，PB ，AC 的中点，16AC =，10PA PC ==.（I ）设G 是OC 的中点，证明：//FG 平面BOE ； （II ）证明：在ABO ∆内存在一点M ，使FM⊥平面BOE ，并求点M 到OA ，OB 的距离.21．（2009浙江理21）已知椭圆1C ：22221(0)y x a b a b +=>>的右顶点为(1,0)A ，过1C的焦点且垂直长轴的弦长为1。

（I ）求椭圆1C 的方程；（II ）设点P 在抛物线2C ：2()y x h h =+∈R 上，2C 在点P 处的切线与1C 交于点,M N 当线段AP 的中点与MN 的中点的横坐标相等时，求h 的最小值。

22．（2009浙江理22）已知函数322()(1)52f x x k k x x =--++-，22()1g x k x kx =++，其中k ∈R .（I ）设函数()()()p x f x g x =+.若()p x 在区间(0,3)上不单调，求k 的取值范围；（II ）设函数(),0,()(),0.g x x q x f x x ≥⎧=⎨<⎩ 是否存在k ，对任意给定的非零实数1x ，存在惟一 的非零实数2x （21x x ≠），使得21()()q x q x ''=成立？若存在，求k 的值；若不存在，请说明理由.1【答案】B2【答案】C【解题关键点】对于“0a >且0b >”可以推出“0a b +>且0ab >”，反之也是成立的 3【答案】D【解题关键点】对于2222(1)1211z i i i iz i +=++=-+=++4【答案】B【解题关键点】对于()251031551()()1rr r r r rr T C x C x x --+=-=-，对于1034,2r r -=∴=，则4x 的项的系数是225(1)10C -=5【答案】C【解题关键点】取BC 的中点E ，则AE ⊥面11BB C C，AE DE ∴⊥，因此AD 与平面11BB C C所成角即为ADE ∠，设AB a =，则AE =，2aDE =，即有0tan 60ADE ADE ∠==.6【答案】A【解题关键点】对于0,1,1k s k ==∴=，而对于1,3,2k s k ==∴=，则2,38,3k s k ==+∴=，后面是113,382,4k s k ==++∴=，不符合条件时输出的4k =.7【答案】B【解题关键点】对于半径为1的圆有一个位置是正好是三角形的内切圆，此时只有三个交点，对于圆的位置稍一右移或其他的变化，能实现4个交点的情况，但5个及5个以上的交点不能实现. 8【答案】D【解题关键点】对于振幅大于1时，三角函数的周期为2,1,2T a T aππ=>∴<，而D 不符合要求，它的振幅大于1，但周期反而大于了2π.9【答案】C 【解题关键点】对于(),0A a ，则直线方程为0x y a +-=，直线与两渐近线的交点为B ，C ，22,,(,)a ab a ab B C a b a b a b a b ⎛⎫- ⎪++--⎝⎭，则有22222222(,),,a b a b abab BC AB a b a b a b a b ⎛⎫=-=- ⎪--++⎝⎭，因222,4,5AB BC a b e =∴=∴=. 10【答案】C【解题关键点】对于212121()()()()x x f x f x x x αα--<-<-，即有2121()()f x f x x x αα--<<-，令2121()()f x f x kx x -=-，有k αα-<<，不妨设1()f x M α∈，2()g x M α∈，即有11,f k αα-<<22g k αα-<<，因此有1212f g k k αααα--<+<+，因此有12()()f x g x M αα++∈.11【答案】15【解题关键点】对于4431444134(1)1,,151(1)a q s q s a a q q a q q --==∴==--12【答案】18【解题关键点】该几何体是由二个长方体组成，下面体积为1339⨯⨯=，上面的长方体体积为3319⨯⨯=，因此其几何体的体积为1813【答案】4【解题关键点】通过画出其线性规划，可知直线23y x Z =-+过点()2,0时，()min 234x y += 14【答案】148.4【解题关键点】对于应付的电费应分二部分构成，高峰部分为500.5681500.598⨯+⨯；对于低峰部分为500.288500.318⨯+⨯，二部分之和为148.4 15【答案】()4121212nn n --+-【解题关键点】这是一种需类比推理方法破解的问题，结论由二项构成，第二项前有()1n-，二项指数分别为41212,2n n --，因此对于*n N ∈，1594141414141n n n n n C C C C +++++++++=()4121212nn n --+-16【答案】336【解题关键点】对于7个台阶上每一个只站一人，则有37A 种；若有一个台阶有2人，另一个是1人，则共有1237C A 种，因此共有不同的站法种数是336种.17【答案】1,12⎛⎫ ⎪⎝⎭【解题关键点】此题的破解可采用二个极端位置法，即对于F 位于DC 的中点时，1t =，随着F 点到C 点时，因,,CB AB CB DK CB ⊥⊥∴⊥平面ADB ，即有CB BD ⊥，对于2,1,3CD BC BD ==∴=，又1,2AD AB ==，因此有AD BD ⊥，则有12t =，因此t 的取值范围是1,12⎛⎫ ⎪⎝⎭18【答案】解析：（I ）因为25cos25A =，234cos 2cos 1,sin 255A A A ∴=-==，又由3AB AC ⋅=，得cos 3,bc A =5bc ∴=，1sin 22ABC S bc A ∆∴==（II ）对于5bc =，又6b c +=，5,1b c ∴==或1,5b c ==，由余弦定理得2222cos 20a b c bc A =+-=，25a ∴=19【答案】（I ）记“这3个数恰有一个是偶数”为事件A ，则12453910()21C C P A C ==；（II ）随机变量ξ的取值为0,1,2,ξ的分布列为ξ0 1 2P512 12 112所以ξ的数学期望为5112012122123E ξ=⨯+⨯+⨯=20【答案】证明：（I ）如图，连结OP ，以O 为坐标原点，分别以OB 、OC 、OP 所在直线为x 轴，y 轴，z轴，建立空间直角坐标系Oxyz-，则()0,0,0,(0,8,0),(8,0,0),(0,8,0),O A B C -(0,0,6),(0,4,3),P E -()4,0,3F ，由题意得，()0,4,0,G 因(8,0,0),(0,4,3)OB OE ==-，因此平面BOE 的法向量为(0,3,4)n =，(4,4,3FG =--得0n FG ⋅=，又直线FG 不在平面BOE 内，因此有//FG 平面BOE（II ）xyz设点M 的坐标为()00,,0x y ，则00(4,,3)FM x y =--，因为FM ⊥平面BOE ，所以有//FM n ，因此有0094,4x y ==-，即点M 的坐标为94,,04⎛⎫-⎪⎝⎭，在平面直角坐标系xoy 中，AOB ∆的内部区域满足不等式组08x y x y >⎧⎪<⎨⎪-<⎩，经检验，点M 的坐标满足上述不等式组，所以在ABO ∆内存在一点M ，使FM⊥平面BOE ，由点M 的坐标得点M 到OA ，OB 的距离为94,4。