主要内容本章介绍了三种基本传热方式,即导热、对流传热
传热的基本概念及三种基本方式特点、区别和联系。
传热的基本概念及三种基本方式特点、区别和联系。
摘要：一、传热基本概念二、传热三种基本方式特点三、传热三种基本方式区别四、传热三种基本方式联系正文：传热是物体之间由于温度差异而发生的能量传递现象。
在工程、自然界和日常生活中，传热现象无处不在。
根据热力学原理，传热主要有三种基本方式：热传导、热对流和热辐射。
一、传热基本概念1.热传导：热传导是指在温度不同的物体之间，由于分子内能的碰撞和传递，使热量从高温端传递到低温端的过程。
热传导通常发生在固体中，尤其是金属材料。
2.热对流：热对流是指在流体（如气体和液体）中，因温度差异产生的密度差导致流体发生运动，从而实现热量传递的过程。
热对流主要包括自然对流和强制对流两种。
3.热辐射：热辐射是指物体在较高温度下，由于分子、原子或自由电子的热运动产生的电磁波向外传播的过程。
热辐射可以在真空中进行，无需介质。
二、传热三种基本方式特点1.热传导：速度快，能量损失小，适用于固体材料之间的热量传递。
2.热对流：速度较快，能量损失较大，适用于流体之间的热量传递。
3.热辐射：速度最快，能量损失较大，适用于真空中的热量传递。
三、传热三种基本方式区别1.传播介质：热传导和热对流需要介质，而热辐射无需介质，可在真空中进行。
2.温度差异：热传导和热对流需要温度差异，而热辐射可以在温度相同的情况下发生。
3.能量损失：热传导和热对流能量损失较小，热辐射能量损失较大。
四、传热三种基本方式联系1.联合传热：在实际工程和自然界中，传热过程往往是多种方式共同作用的结果。
如太阳能热水器中，太阳辐射与热传导、热对流共同完成热量传递。
2.转换关系：在一定条件下，一种传热方式可以转换为另一种传热方式。
如在热机中，热辐射转换为热传导，进而转换为热对流。
传热学知识点总结
第一章§ 1-1 “三个W§ 1-2热量传递的三种基本方式§ 1-3传热过程和传热系数要求：通过本章的学习，读者应对热量传递的三种基本方式、传热过程及热阻的概念有所了解，并能进行简单的计算，能对工程实际中简单的传热问题进行分析(有哪些热量传递方式和环节)。
作为绪论，本章对全书的主要内容作了初步概括但没有深化，具体更深入的讨论在随后的章节中体现。
本章重点：1. 传热学研究的基本问题物体内部温度分布的计算方法热量的传递速率增强或削弱热传递速率的方法2. 热量传递的三种基本方式(1) .导热：依靠微观粒子的热运动而产生的热量传递。
传热学重点研究的是在宏观温差作用下所发生的热量传递。
傅立叶导热公式：(2) .对流换热：当流体流过物体表面时所发生的热量传递过程。
牛顿冷却公式：(3) .辐射换热：任何一个处于绝对零度以上的物体都具有发射热辐射和吸收热辐射的能力，辐射换热就是这两个过程共同作用的结果。
由于电磁波只育請线传播，所以只有两个物体相互看得见的咅盼才能发生辐射换热。
黑体热辐射公式：实际物体热辐射：3. 传热过程及传热系数：热量从固壁一则的流体通过固壁传向另一侧流体的过程。
最简单的传热过程由三个环节串联组成。
4. 传热学研究的基础傅立叶定律能量守恒定律+牛顿冷却公式+质量动量守恒定律四次方定律本章难点1. 对三种传热形式关系的理解各种方式热量传递的机理不同，但却可以(串联或并联)同时存在于一个传热现象中。
2. 热阻概念的理解严格讲热阻只适用于一维热量传递过程，且在传递过程中热量不能有任何形式的损耗。
思考题:1. 冬天经太阳晒过的棉被盖起来很暖和，经过拍打以后，效果更加明显。
为什么？2. 试分析室内暖气片的散热过程。
3. 冬天住在新建的居民楼比住旧楼房感觉更冷。
试用传热学观点解释原因。
4. 从教材表1-1给出的几种h数值，你可以得到什么结论？5. 夏天，有两个完全相同的液氮贮存容器放在一起，一个表面已结霜，另一个则没有。
4.1 传热概述及热传导
保温杯内胆与瓶身中间处于真空，
无气体分子，不导热。
27
4.2.1 傅立叶定律（Fourier's Law）
1.固体的导热系数
导热性能与导电性能密切相关，一般而言，良好的导电体必然是良好的导热体，
反之亦然。在所有固体中，金属的导热性能最好。 大多数金属的导热系数与金属温度和纯度有关，即
t ， λ
t 0
t 0
非稳态(非定常)传热：间歇生产过程，开、停车阶段。
Q , q, t f x , y , z
本章只讨论稳定传热
17
4.1.3 传热过程 热载体及其选择
选择原则
①载热体的温度易调节控制；
②载热体的饱和蒸气压较低，加热时不易分解； ③载热体的毒性小，不易燃、易爆，不易腐蚀设备；
《化工原理》
第4章 传热
4.1 传热概述及热传导
新课导入
热传递3种方式
热 传 导
热 对 流
热 辐 射
热量传递可以依靠其中的一种方式或几种方式同时进行，净的热流方向总是 从高温处向低温处流动。
2
4.1.1 传热的三种基本方式
热传导
若物体各部分之间借分子、原子和自由电子等微观粒子的热运动 传递热量的过程为热传导(又称导热)。
物质种类
气体
液体
非导固体
金属
绝热材料
W/(m﹒oC) 0.006～0.6 0.07～0.7
0.2～3.0
15～420
﹤0.25
26
4.2.1傅立叶定律（Fourier's Law）
从导热系数的角度分析一下，泡沫箱和保温杯的保温原理。
泡沫箱中存在大量微孔，填充
了大量空气，同时其自身为绝
传热学——精选推荐
第一章、基本内容：一、热量传递的三种基本方式⒈导热 掌握导热系数λ是一物性参数，其单位为w ／(m·K)；它取决于物质的热力状态，如压力、温度等。
⒉对流 掌握对流换热的表面传热系数h 为一过程量，而不像导热系数λ那样是物性参数。
⒊热辐射 掌握黑体辐射的斯蒂藩—玻耳兹曼定律。
二、传热过程与传热系数⒈传热过程 理解传热系数K 是表征传热过程强弱的标尺。
⒉热阻分析1、试分析室内暖气片的散热过程，各环节有哪些热量传递方式？以暖气片管内走热水为例。
答：有以下换热环节及热传递方式(1)由热水到暖气片管到内壁，热传递方式是对流换热(强制对流)；(2)由暖气片管道内壁至外壁，热传递方式为导热；(3)由暖气片外壁至室内环境和空气，热传递方式有辐射换热和对流换热。
二、定量计算本节的定量计算主要是利用热量传递的三种基本方式所对应的定律，即导热的傅里叶定律，对流换热的牛顿冷却公式，热辐射的斯蒂藩—玻耳兹曼定律进行简单的计算。
另外，传热过程、热阻综合分析法及能量守恒定律也是较重要的内容。
1、一双层玻璃窗，宽1.1m ，高1.2m ，厚3mm ，导热系数为1.05W/(m·K)；中间空气层厚5MM ，设空气隙仅起导热作用，导热系数为0.026W/(m·K)。
室内空气温度为25℃。
表面传热系数为20W/(m 2·K)；室外空气温度为-10℃，表面传热系数为15W/(m 2·K)。
试计算通过双层玻璃窗的散热量，并与单层玻璃窗相比较。
假定在两种情况下室内、外空气温度及表面传热系数相同。
解：(1)双层玻璃窗情形，由传热过程计算式：(2)单层玻璃窗情形：显然，单层玻璃窃的散热量是双层玻璃窗的2.6倍。
因此，北方的冬天常常采用双层玻璃窗使室内保温。
2、一外径为0.3m ，壁厚为5mm 的圆管，长为5m ，外表面平均温度为80℃。
200℃的空气在管外横向掠过，表面传热系数为80W/(m 2·K)。
第三章传热过程
第三章传热过程内容提要：本章先对传热的三种基本方式即传导传热、对流传热和辐射传热以及工业上的换热方法进行介绍，然后着重讨论传导传热、对流传热的机理和传导传热、对流传热的速率方程式，在此基础上建立总传热速率方程。
冷热流体通过固体壁面进行热交换时的热量衡算及与总传热方程相结合解决热交换过程中的问题。
对强化和抑制传热过程的途径以及列管式热交换器的基本结构仅作简单介绍。
学习指导：了解传导传热和对流传热的机理，掌握传导传热、对流传热的速率方程式，掌握总传热速率方程式并对其中的总传热系数K、传热平均温度差Δtm能分别计算，能将热交换中热量衡算式与总传热方程相结合而解决热交换中的计算问题。
了解强化和抑制传热过程的方法以及列管式热交换器的基本结构。
第一节概述在自然界，在人们的生产和日常生活中，每时每刻都在发生由于物体或系统内部温度不同而使热量自动地转移到温度较低的部分的过程，这一过程称为热的传递简称传热。
而本章主要研究化工生产中的传热。
一、化工生产中的传热过程在化工生产、科学实验中随时会遇到热量传递问题，化工生产中的化学反应要求在一定温度下进行，而适宜的温度依靠加热或冷却才能实现。
例如，氮、氢合成氨、由氨氧化制硝酸、萘氧化制苯酐等，由于催化剂的活性和反应的要求，反应温度必须控制在一定的范围，过高过低都会导致原料利用率降低，温度控制不当甚至会发生事故。
又如在蒸馏、蒸发、干燥、结晶、冷冻等操作中也必须供给或移走一定的热量才能顺利进行。
在这类情况下，要求热量的传递速率要高，即通常所说的要求传热良好。
另有一类情况如高温或低温下操作的设备或管道，为了保持其温度应尽量隔绝热的传递即要求传热速度要低，即通常所说的保温。
此外，能量的充分利用是化工生产尤其是大型生产中极为重要的问题，为了充分利用反应热，回收余热和废热以降低生产成本，工业上大量使用热交换器，这都涉及到热量的传递问题。
传热过程是研究具有不同温度的物体内或物体间热量的传递。
物体的热传导规律
物体的热传导规律热传导是指热量从高温区域传递到低温区域的过程，物体的热传导规律描述了热量在物体中传导的方式和特性。
本文将从微观角度分析物体的热传导规律，并介绍热传导的三种方式：导热、对流和辐射。
一、热传导的微观解释热传导是由物体内部分子或原子之间的碰撞和能量传递引起的。
微观上，物体中的分子或原子在热力学平衡状态下随机运动，高温区域的分子具有较大的动能，而低温区域的分子具有较小的动能。
当两个区域接触时，高温区域的分子向低温区域传递能量，使得整个物体的温度逐渐达到平衡。
二、导热传导导热传导是最常见的热传导方式，也是最主要的传热方式。
在固体中，导热主要通过晶格中的原子振动传递。
当固体受热时，高温区域的原子振动会引起周围原子的振动，从而使热量迅速传导。
导热的速率取决于物体的热导率和温度梯度。
热导率是描述物体导热性能的物理量，单位为瓦特/(米·开尔文)，常用符号为λ。
三、对流传热对流传热是通过流体介质传递热量的方式。
当物体表面与流体接触时，流体受到物体加热而热胀冷缩，在流动过程中带走物体表面的热量，从而实现热传递。
对流传热具有较高的传热效率，适用于气体和液体介质。
对流传热速率与温度差、流体速度和流体性质有关。
四、辐射传热辐射传热是通过电磁波传递热量的方式。
所有物体都会辐射能量，其中黑体是指能够完全吸收和辐射热量的物体。
辐射传热不需要介质参与，可以在真空中传播，因此适用于空气、真空等无法进行对流传热的环境。
辐射传热速率与物体的温度、表面特性以及辐射的波长有关。
五、物体热传导规律的应用物体的热传导规律在工程、制造和日常生活中有着广泛的应用。
例如，在制冷设备中，需要通过导热将热量从冷冻室传导到冷凝器中。
在建筑领域，需要通过对流传热保持室内的适宜温度。
同时，辐射传热在太阳能电池板、太阳能热水器等领域中得到广泛应用。
六、总结物体的热传导规律是热力学和能量传递的基础，详细解释了热量在物体中传导的方式和特性。
传热的三种方式PPT
微波： 103< < 106 m
微波炉就是利用微波加热食物，因微波可穿 透塑料、玻璃和陶瓷制品，但会被食物中水分子吸 收，产生内热源，使食品均匀加热。
热辐射
由于物体内部微观粒子的热运动而使物体向 外发射辐射能的现象。
理论上热辐射的波长范围从零到无穷大，但在日 常生活和工业上常见的温度范围内，热辐射的波长 主要在 0.1m 至 100m 之间 , 包括部分紫外线、可见 光和部分红外线三个波段 。
2018/11/10 14
热辐射的主要特点：
（1）所有温度大于0 K的物体都具有发射热辐 射的能力，温度愈高，发射热辐射的能力愈强。
发射热辐射时：内热能 辐射能 （2）所有实际物体都具有吸收热辐射的能力 ， 吸收热辐射时：辐射能 内热能 ；
（ 3 ） 热辐射不依靠中间媒介，可以在真空中传 播； 双向的。
2018/11/10 11
表1-1 一些表面传热系数的数值范围
对流换热类型
空气与外墙面自然对流换热
表面传热系数 h W /( m2K)
2～25
50～1000 25～250 50～25000 2500～100000
液体自然对流换热 气体强迫对流换热 液体强迫对流换热 液体沸腾
蒸气凝结
2018/11/10
2018/11/10
（4）物体间以热辐射的方式进行的热量传递是
高温 物体 低温 热 辐 射 是 热 量 传 递 物体 的基本方式之一 。
15
辐射换热：以热辐射的方式进行的热量交换。 辐射换热的主要影响因素：
（1）物体本身的温度、表面辐射特性； （2）物体的大小、几何形状及相对位置。
注意：
（1）热传导、热对流和热辐射三种热量传递基 本方式往往不是单独出现的；
传热三种方式
1•传导传热是指温度不同的物体直接接触，由于自由电子的运动或分子的运动而 发生的热交换现象。
温度不同的接触物体间或一物体中各部分之间热能的传递过程，称为传导传热。
传热过程中，物体的微观粒子不发生宏观的相对移动，而在其热运动相互振动或 碰撞中发生动能的传递，宏观上表现为热量从高温部分传至低温部分。
微观粒子 热能的传递方式随物质结构而异，在气体和液体中靠分子的热运动和彼此相撞， 在金属中靠电子自由运动和原子振动。
⑴对流传热是热传递的一种基本方式。
热能在液体或气体中从一处传递到另一处的过程。
主要计算分类对于宅瘟畀捲T 特担黑举为聲疑*ao2、多层平面壁的计算1、单层平壁的计算⑴序+购珅子连嘉荐挑扯ft qg 醴円畀…是由于质点位置的移动，使温度趋于均匀。
是液体和气体中热传递的主要方式。
但也往往伴有热传导。
通常由于产生的原因不同，有自然对流和强制对流两种。
根据流动状态，又可分为层流传热和湍流传热。
化学工业中所常遇到的对流传热，是将热由流体传至固体壁面（如靠近热流体一面的容器壁或导管壁等），或由固体壁传入周围的流体（如靠近冷流体一面的导管壁等）。
这种由壁面传给流体或相反的过程，通常称作给热。
定义对流仅发生于流体中，它是指由于流体的宏观运动使流体各部分之间发生相对位弯管中的对流传热⑴由于流体间各部分是相互接触的，除了流体的整体运动所带来的热对流之外，还伴生有由于流体的微观粒子运动造成的热传导。
在工程上，常见的是流体流经固体表面时的热量传递过程，称之为对流传热。
[2]对流传热通常用牛顿冷却定律来描述，即当主体温度为tf的流体被温度为tw 的热壁加热时，单位面积上的加热量可以表示为q=a（tw-tf），当主体温度为tf的流体被温度为tw的冷壁冷却时，有q=a（tf-tw）式中q为对流传热的热通量，W/m2 a 为比例系数，称为对流传热系数，W/（m2「C）。
牛顿冷却公式表明，单位面积上的对流传热速率与温差成正比关系。
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t
Q qA 2rL dt 常数
dr
t
rQ
dt
dr
t1
r1 2rL
若为常数，则：
Q
t1 t ln r r1
--------可见温度分布 为对数关系
2L
0
t1 r1
r2Q Q t2 dr
薄壳衡b算法
§6.2.2一维稳态导热-----薄壳衡算法
Q t1 t2 ln r2 r1
恒压比热Cp: 恒压条件下，单位质量的物质升高或降低1℃所需（放
出）的热量，KJ/Kg.℃。取平均温度下的数值计算。 有相变时（蒸汽冷凝、液体沸腾）
相变热Q=qmr r:汽化潜热，KJ/Kg。 如热流体是饱和蒸汽，在换热器中冷凝后，冷凝液温度
T2低于饱和温度T1。 则 Q=qm1[r+Cp1(T1-T2)]=qm2Cp2(t2-t1)
t1 t2
r2 r1
2L 2L r2 r1 ln r2 r1 t
令rm
r2 r1 ln r2 r1
--------对数平均半径
当 r2 2 时，可用算术平均代替
r1
于是Q t1 t2 t1 t2
b
b
2Lrm Am
对照：平壁：Q
t1 t2
①对流传热过程的基本概念、定律、传热速率方程； ②管内强制湍流流动时表面传热系数的经验关联及影 响因素； ③总传热速率方程以及传热过程的计算。
6.1 概述
一、传热过程在工业生产中的应用 传热即热的传递（以温度差为推动力的能量传递现象）根据
热力学第二定律，凡是有温度差的存在就必然有热的传递，因 此传热是自然界和工程领域中较为普遍的一种传递过程。许多 单元操作，如蒸发、精馏、干燥、结晶、冷冻、吸收和萃取等， 无不直接或间接与传热有关。
化工生产对传热要求可分为两种情况： 强化传热 ：如各种换热设备中的传热，强化传热可降低 设备费用。 削弱传热 ：保温，减少热损失。 化工生产过程中需要解决的传热问题大致分为两类： （1） 传热过程的计算，包括设计型计算和操作型计算； （2） 传热过程的改进与强化 二、传热学与热力学（物理化学） 内容： 研究方法不同： 热力学研究的是黑箱法 ，只研究体系与环境的能量交换， 不考虑机理。它是建立热力学三大定律上的严格数学推导。
§6.2.2一维稳态导热-----薄壳衡算法
一、无限大单层平壁一维稳态导热（无内热源）
输 速 入 率
热
量
输 速
出 率
热
量
常
数
t
Q qA A dt 常数
dx
t1
若为常数，则： dt 常数 t1 t2
dx
b
Q Q t2
-------可见温度分布为直线
非稳态传热：传热系统中各点的温度既随位置又随时间而 变的传热过程。 2.传热速率Q（w） 和热通量q(w/m2) 3.换热器热负荷:
生产上要求流体温度变化吸收或放出的热量
对于间壁式换热器，假设换热器绝热良好，热损失忽略不 计，则单位时间内换热器中热流体放出的热量等于冷流体 吸收的热量。 无相变时 显热 Q=qm1Cp1(T1-T2)=qm2Cp2(t2-t1)
对流传热： 依靠流体的宏观位移，将热量由一处带到另一处的传递现象。
质点的相对位移:
由于流体中各点温度不同引起的密度差所致自然对流(轻者上浮,重者下沉)
由于泵,风机,搅拌等外力所致 强制对流
对流传热过程伴随着流体质点间的热传导。工程上习惯常将流体 与固体壁面之间的传热称为对流传热。实际上包括对流和传导两 种形式：靠近壁面附近的流体层（层流内层）中依靠热传导的方 式传热，在流体主体（湍流）中则主要依靠对流方式传热。 辐射传热：
是指因热的原因而产生的电磁波在空间的传递。物体将热能 变为辐射能，以电磁波的形式在空中传播，当遇到另一物体时， 又被全部或部分地吸收而变为热能。
特点: (1)不需要介质 (2) Ea∝T4
三种传热方式一般不单独存在，往往相互伴随，同时出现。 如热量在设备保温层中的传递，以导热为主，而由保温层向空气 散热，则是对流和辐射并联传热的结果。
理想光滑的，粗糙的界面
含空气必增加传导的热阻
（因为空气的导热系数
小），接触热阻使两接触
面温度不等。
第二节：热传导
一、傅立叶定律： 物体或系统内两点间的温度差是
热传导的必要条件。若物体两部分间 连续存在着温度差，则热能将从高温 部分自动流向低温部分。直至整个物 体各部分温度相等为止，热传导是静 止物体的一种传热方式。
1、温度场、等温面和温度梯度
一物体内部，如各点间存在温度差异，则热就
从高温点向低温点传导，即产生热流，由传导方式 产生的热流大小，决定于物体内的温度分布。
第六章 传热
主要内容：本章介绍了三种基本传热方式，即导热、 对流传热、辐射传热的基本概念和定律；详细分析了 对流传热过程机理，建立了对流传热速率方程以及表 面传热系数的经验关联式；由总传热速率方程出发， 对传热过程进行设计计算和操作分析、诊断；介绍了 换热设备的类型和列管式换热器的设计和选用。
重点内容：
物体内温度分布
温度t=f(x,y,z,θ)=f(空间，时间)…温度场数学表达式
t=f(x,y,z,θ)=f(空间，时间)……不稳定的温度场
t=f(x,y,z)=f(空间)……稳定的温度场
t+t
t=f(x,θ)……一维温度场
t
t=f(x) ……一维稳定的温度场
n
等温面：
l
同一时刻，温度场中具有相同温度的各点组成的面
等温面及温度梯度
§6.2 热传导
§6.2.1 傅立叶定律
一、基本概念 传热速率 Q： 单位时间传递的热量，J/s
热通量 q： 单位传热面积的传热速率，J/m2s，矢量，方向为传
热面的法线方向
q
dQ
t+t
dA
等温面：
t
温度变化率： t l
n l
温度梯度
t n
：lim
t n
Q=常数，但 q常数
推动力
Q qA 热阻
t1 t2 t2 t3 t3 t4
b1 1 Am1 b2 2 Am2 b3 3 Am3
t1 t4 3
总推动力 总热阻
bi i Ami
i 1
t t1 t2 t3 t4
r1
r2
t2
0
r
b1 b2 b3
§6.2.2一维稳态导热-----薄壳衡算法
b1 1 A b2 2 A b3 3 A
3
bi i A
i 1
总推动力 总热阻
0
x
§6.2.2一维稳态导热-----薄壳衡算法
思考1：若上述平壁的右侧与环境进行对流传热，设环境温 度为t0、对流传热系数为，则传热量表达式如何？
Q t1 t4 t4 t0
3
bi i A
传热学的研究方法是一种工程方法。①数学模型法②因次 分析法，常常用大量经验式组成、半经验半理论的方法。
三、传热的三种基本方式
热的传递是由于物体内或系统内的两部分之间的温度差而 引起的，净的热流方向总是由高温处向低温处流动。根据 传热机理不同，热的传递有三种方式：传导、对流和辐射
热传导： 热传导又称导热。是指热量从物体的高温部分向同一
物体的低温部分、或者从一个高温物体向一个与它直接接 触的低温物体传热的过程。导热是静止物体的一种传热方 式，不依靠物质的宏观位移。
热传导在气、液、固中均可以进行，但传导的机理不 同。金属--自由电子的扩散运动；非金属和大部分液体 （除水银等）——晶格振动和分子碰撞；气体———分子 不规则热运动。
如：一根铁棒一端放在火炉上烧，热量会通过铁棒传 递到另一侧，但无物质的宏观位移。
故物质的越大，导热性能越好。
一般地， 导电固体> 非导电固体， 液体> 气体
T ， 气体， 水，其它液体的 。
§6.2.2一维稳态导热
一维稳态时 t 0
x x
由以上方程和边界条件、初始条件可数值求解温度场。 但是，下面我们将重新从热量衡算出发求解一维稳态导 热问题。
i 1
1
A
t1 t0
3
bi
i 1
i
A
1
A
总推动力 总热阻
t
t2 t3
t4
t1
t0
0
x
牛顿冷却定律：Q At4 t0
b
§6.2.2一维稳态导热-----薄壳衡算法
三、无限长单层圆筒壁一维稳态导热（无内热源）
Q qA A dt 常数
dr
但q 常数
四、传热过程冷热流体接触方式
去气柜
直接接触式
间壁式
蓄热式
造气炉 废热锅炉
E-2
1.直接接触式
冷热流体在换热设 备中直接混合，而 达到换热的目的。 这种换热方式，传 热面积大，设备简 单，常常起到其它 的作用(另有目的)
E-1
软水
增湿器
变换炉
CO+H2O→CO2+H2+Q
2.间壁式
qm1,Cp1,T1
令 dQ 0 dr2
则 r2
------临界半径 rc
当r2
时 ，dQ dr2
0
Q
当r2
时 ，dQ dr2
0
故 Q 有极大值
r1 r2
t1
t2 t0
rc
r2