2.2基本不等式求最值方法(解析)

基本不等式中常见的方法求最值一、例题选讲 题型一、消参法消参法就是对应不等式中的两元问题，用一个参数表示另一个参数，再利用基本不等式进行求解.解题过程中要注意“一正，二定，三相等”这三个条件缺一不可！例1、(2017苏北四市期末）. 若实数x ，y 满足xy ＋3x ＝3⎝⎛⎭⎫0＜x ＜12，则3x ＋1y －3的最小值为________． 【答案】 8【解析】解法1 因为实数x ，y 满足xy ＋3x ＝3⎝⎛⎭⎫0＜x ＜12，所以y ＝3x－3(y ＞3)， 所以3x ＋1y －3＝y ＋3＋1y －3＝y －3＋1y －3＋6≥2(y －3)·1y －3＋6＝8，当且仅当y －3＝1y －3，即y ＝4时取等号，此时x ＝37，所以3x ＋1y －3的最小值为8.解法2 因为实数x ，y 满足xy ＋3x ＝3⎝⎛⎭⎫0＜x ＜12，所以y ＝3x －3(y ＞3)，y －3＝3x－6＞0， 所以3x ＋1y －3＝3x ＋13x －6＝3x －6＋13x －6＋6≥2⎝⎛⎭⎫3x －6·13x －6＋6＝8，当且仅当3x －6＝13x －6，即x ＝37时取等号，此时y ＝4，所以3x ＋1y －3的最小值为8.例2、（2013徐州、宿迁三检）若0,0a b >>，且11121a b b =+++，则2a b +的最小值为 ．【解析】由已知等式得222122a b ab a b b ++=+++，从而212b b a b-+=，21222b b a b b b -++=+131222b b=++1122≥+=题型二、双换元若题目中含是求两个分式的最值问题，对于这类问题最常用的方法就是双换元，分布运用两个分式的分母为两个参数，转化为这两个参数的不等关系例3、(2015苏锡常镇、宿迁一调）已知实数x ，y 满足x >y >0，且x ＋y ≤2，则2x ＋3y ＋1x －y的最小值为________．【答案】3＋224【解析】设⎩⎪⎨⎪⎧x ＋3y ＝m ，x －y ＝n .解得⎩⎨⎧x ＝m ＋3n4，y ＝m －n4.所以x ＋y ＝m ＋n 2≤2，即m ＋n ≤4.设t ＝2x ＋3y ＋1x －y ＝2m ＋1n，所以4t ≥⎝⎛⎭⎫2m ＋1n (m ＋n )＝3＋2n m ＋m n ≥3＋2 2.即t ≥3＋224，当且仅当2n m ＝mn ，即m ＝2n 时取等号．例4、（2013徐州、宿迁三检）若0,0a b >>，且11121a b b =+++，则2a b +的最小值为． 【解析】12,211m n a b m a b n b n --⎧+==⎧⎪⎨⎨+=⎩⎪=-⎩解得 所以111,m n +=332222m n a b +=+-，因为33113()()22222222m n m n m n m n n m+=++=++≥所以332222m n a b +=+-≥题型三、1的代换1的代换就是指凑出1，使不等式通过变形出来后达到运用基本不等式的条件，即积为定值，凑的过程中要特别注意等价变形。

例5、(2019苏锡常镇调研）已知正实数a ，b 满足a ＋b ＝1，则bb a a 421222+++的最小值为 ． 【答案】.11【解析】思路分析：由于目标式比较复杂，不能直接求最小值，需要对该式子进行变形，配凑出使用基本不等式的条件，转化为熟悉的问题，然后利用基本不等式求解．1174274))(41()(24212421222=+⨯≥++=++++=+++=+++baa b b a a b b a b a b a b b a a b b a a 当且仅当b a a b 4=，即⎪⎩⎪⎨⎧==3231b a 时取“=”，所以b b a a 421222+++的最小值为.11例6、（2019年苏州学情调研）若正实数x y ，满足1x y +=，则4y x y+的最小值是 ． 【答案】8【解析】因为正实数x y ，满足1x y +=， 所以4()444y y x y y xx y x y x y ⨯++=+=++4448≥=+=，当且仅当4y x x y =，即2y x =，又1x y +=，即12,33x y ==，等号成立，即4yx y +取得最小值8.题型四、齐次化齐次化就是含有多元的问题，通过分子、分母同时除以得到一个整体，然后转化为运用基本不等式进行求解。

例7、(2019通州、海门、启东期末）已知实数a>b>0，且a ＋b ＝2，则3a －ba 2＋2ab －3b 2的最小值为________．【答案】3＋54思路分析2 注意到所求的代数式的分子与分母分别为一次式、二次式，为此想到将它们转化为齐次式来加以处理，即将分子利用条件a ＋b ＝2，通过常数代换转化为二次式，进而将齐次式化为单变量的问题来加以处理．解析：(化齐次式法)：因为a ＋b ＝2，所以3a －b a 2＋2ab －3b 2＝（a ＋b ）（3a －b ）2（a 2＋2ab －3b 2）＝32＋2（－ab ＋2b 2）a 2＋2ab －3b 2＝32＋2（2－ab ）（a b ）2＋2·a b －3，令u ＝2－a b ，因为a ＋b ＝2，a>b>0，所以2－b>b>0，故0<b<1，从而u ＝2－ab ＝2－2－b b ＝3－2b ∈(－∞，1)，则3a －b a 2＋2ab －3b 2＝32＋2u u 2－6u ＋5＝32＋2u ＋5u－6 当u ∈(0，1)时，u ＋5u －6>0，此时3a －b a 2＋2ab －3b 2>32；仅当u ＝－5时等号成立．因此3a －b a 2＋2ab －3b 2的最小值为3＋54.二、达标训练1、（2019年苏州学情调研）若正实数x y ，满足1x y +=，则4y x y+的最小值是 ． 【答案】8【解析】因为正实数x y ，满足1x y +=， 所以4()444y y x y y xx y x y x y ⨯++=+=++4448≥=+=，当且仅当4y x x y =，即2y x =，又1x y +=，即12,33x y ==，等号成立，即4yx y +取得最小值8.2、(2018苏锡常镇调研） 已知a>0, b>0，且2a ＋3b ＝ab ，则ab 的最小值是________．【答案】 26【解析】思路分析 利用基本不等式，化和的形式为积的形式．因为ab ＝2a ＋3b ≥22a ·3b ，所以ab ≥26，当且仅当2a ＝3b＝6时，取等号．3、(2018苏锡常镇调研） 已知a b ，为正实数，且()234()a b ab -=，则11a b+的最小值为 ．【答案】【解析】因为223()()44()4a b a b ab ab ab +=-+=+，所以3222114()44()()48()a b ab ab ab a b ab ab ab +++===+≥，故11a b +≥21()4ab a b =⎧⎨-=⎩，即11a b ⎧=⎪⎨=⎪⎩时取得等号，所以11a b +的最小值为.224、(2018南通、扬州、淮安、宿迁、泰州、徐州六市二调）已知a ，b ，c 均为正数，且abc ＝4(a ＋b)，则a ＋b ＋c 的最小值为________．【答案】 8【解析】由a ，b ，c 均为正数，abc ＝4(a ＋b)，得c ＝4a ＋4b ，代入得a ＋b ＋c ＝a ＋b ＋4a ＋4b ＝⎝⎛⎭⎫a ＋4a ＋⎝⎛⎭⎫b ＋4b ≥2a ·4a＋2b ·4b＝8，当且仅当a ＝b ＝2时，等号成立，所以a ＋b ＋c 的最小值为8. 5、(2019苏北三市期末） 已知a>0，b>0，且a ＋3b ＝1b －1a ，则b 的最大值为________．【答案】 13【解析】由a ＋3b ＝1b －1a ，得1b －3b ＝a ＋1a .又a>0，所以1b －3b ＝a ＋1a ≥2(当且仅当a ＝1时取等号)，即1b －3b ≥2，又b>0，解得0<b ≤13，所以b 的最大值为13.6、(2019扬州期末）已知正实数x ，y 满足x ＋4y －xy ＝0，若x ＋y ≥m 恒成立，则实数m 的取值范围为_________．【答案】 (－∞，9]【解析】 m ≤x ＋y 恒成立，m ≤(x ＋y)min .解法1(消元法) 由x ＋4y －xy ＝0，得y ＝x x －4，因为x ，y 是正实数，所以y>0，x>4，则x ＋y ＝x ＋xx －4＝x ＋x －4＋4x －4＝x ＋4x －4＋1＝(x －4)＋4x －4＋5≥2（x －4）·4x －4＋5＝9，当且仅当x ＝6时，等号成立，即x ＋y 的最小值是9，故m ≤9.解法2(“1”的代换) 因为x ，y 是正实数，由x ＋4y －xy ＝0，得4x ＋1y ＝1，x ＋y ＝(x ＋y)·⎝⎛⎭⎫4x ＋1y ＝4y x ＋x y ＋5≥24y x ·xy＋5＝9，当且仅当x ＝6，y ＝3时，等号成立，即x ＋y 的最小值是9，故m ≤9. 解法3(函数法) 令t ＝x ＋y ，则y ＝t －x ，代入x ＋4y －xy ＝0，得x 2－(3＋t)x ＋4t ＝0.Δ＝(t ＋3)2－16t ＝t 2－10t ＋q ≥0，得t ≤1或t ≥9.又y ＝xx －4>0，且x>0，则x>4，故t>4，从而t ≥9.所以m ≤9. 7、(2017苏州期末） 已知正数x ，y 满足x ＋y ＝1，则4x ＋2＋1y ＋1的最小值为________．【答案】 94【解析】 解法1 令x ＋2＝a ，y ＋1＝b ，则a ＋b ＝4(a ＞2，b ＞1)，4a ＋1b ＝14(a ＋b )⎝⎛⎭⎫4a ＋1b ＝14⎝⎛⎭⎫5＋4b a ＋a b ≥14(5＋4)＝94，当且仅当a ＝83，b ＝43，即x ＝23，y ＝13时取等号．8、(2019宿迁期末）已知正实数a ，b 满足a ＋2b ＝2，则1＋4a ＋3b ab的最小值为________.【答案】252【解析】解法1(消元法) 由a ＋2b ＝2得a ＝2－2b ＞0，所以0＜b ＜1，令f(b)＝1＋4a ＋3b ab ＝9－5b2b －2b 2，f ′(b)＝－10b 2＋36b －18（2b －2b 2）2＝－2（5b －3）（b －3）（2b －2b 2）2.当b ∈⎝⎛⎭⎫0，35时，f ′(b)<0，f(b)单调递减；当b ∈⎝⎛⎭⎫35，1时，f ′(b)>0，f(b)递增， 所以当b ＝35时，f(b)有唯一的极小值，也是最小值f ⎝⎛⎭⎫35＝252. 解法2(齐次化) 因为a ＋2b ＝2，所以1＋4a ＋3b ab ＝12a ＋b ＋4a ＋3bab ＝9a ＋8b 2ab ＝（9a ＋8b ）（a ＋2b ）4ab ＝9a4b ＋4b a ＋132≥29a 4b ·4b a ＋132＝252，当且仅当a ＝45，b ＝35时取等号，所以所求的最小值为252.。