平面向量的坐标表示
平面向量的坐标表示
平面向量的坐标表示平面向量是二维空间中具有大小和方向的量，可以用坐标表示。
平面向量的坐标表示方式有两种：位置向量和方向向量。
一、位置向量的坐标表示位置向量是指从原点O到平面上的一个点P所形成的向量。
位置向量的坐标表示方式为(r, θ)，其中r表示向量的大小，θ表示向量与x轴的夹角。
当点P(x, y)在第一象限时，r为点P到原点O的距离，θ为点P与正x轴的夹角。
当点P(x, y)在第二象限时，r为点P到原点O的距离，θ为点P与正x轴的夹角的负值。
当点P(x, y)在第三象限时，r为点P到原点O的距离，θ为点P与正x轴的夹角的180°减去角度。
当点P(x, y)在第四象限时，r为点P到原点O的距离，θ为点P与正x轴的夹角的正值。
二、方向向量的坐标表示方向向量是指没有起点的向量，仅有大小和方向的定义。
方向向量的坐标表示方式为(a, b)，其中a表示向量在x轴方向上的分量，b表示向量在y轴方向上的分量。
通过给定a和b的数值，可以确定一个方向向量。
三、坐标表示的计算方法已知两个点A(x1, y1)和B(x2, y2)，求向量AB的坐标表示。
首先，根据两点坐标求出向量的坐标差：Δx = x2 - x1，Δy = y2 - y1。
然后，根据坐标差得到向量的坐标表示：AB = (Δx, Δy)。
四、坐标表示的应用1. 向量的加法和减法：若有向量A(a, b)和向量B(c, d)，则向量A加向量B的结果为A+B = (a+c, b+d)；若有向量A(a, b)和向量B(c, d)，则向量A减去向量B的结果为A-B = (a-c, b-d)。
2. 向量的数量积：若有向量A(a, b)和向量B(c, d)，则向量A和向量B的数量积为A·B = ac + bd。
3. 向量的模长：若有向量A(a, b)，则向量A的模长为|A| = √(a² + b²)。
五、结论通过坐标表示，可以方便地进行向量的计算和运算。
平面向量的坐标表示和应用
平面向量的坐标表示和应用在数学中，向量是一种包含大小和方向的量，常用来表示物理量。
而平面向量则是指位于同一平面上的向量。
为了便于描述和计算，我们通常使用坐标来表示平面向量。
本文将探讨平面向量的坐标表示及其应用。
一、平面向量的坐标表示平面向量可以用有序数对表示，例如向量AB可以表示为(AB)，其中A和B是平面上的两个点。
而这个有序数对的坐标表示即为平面向量的坐标。
对于平面上的点A(x₁, y₁)和B(x₂, y₂)，向量AB的坐标表示为：(AB) = (x₂ - x₁, y₂ - y₁)这样，我们就可以用有序数对表示平面向量，并通过坐标的差值表示向量的方向和大小。
二、平面向量的坐标运算在进行平面向量的坐标运算时，我们可以类比于进行普通的数学运算。
主要涉及到向量的加法、减法和数乘。
1. 向量的加法设有两个向量AB和CD，它们的坐标分别为(AB) = (x₁, y₁)和(CD) = (x₂, y₂)。
那么这两个向量的和为：(AB + CD) = (x₁ + x₂, y₁ + y₂)向量的加法相当于分别对向量的x轴和y轴分量进行相加。
2. 向量的减法向量的减法可以通过向量的加法和数乘来表示。
设有两个向量AB 和CD，那么它们的差为：(AB - CD) = (AB + (-CD))其中(-CD)是向量CD的相反向量，其坐标为=(-x₂, -y₂)。
将其带入上式，可得：(AB - CD) = (x₁ - x₂, y₁ - y₂)向量的减法相当于向量的加法和数乘的结合运算。
3. 向量的数乘设有向量AB，那么它与一个实数k的数乘表示为：k(AB) = (kx, ky)其中kx和ky分别为向量AB的x轴和y轴分量乘以k。
三、平面向量的坐标表示应用平面向量的坐标表示在解决实际问题中有着广泛的应用。
下面介绍两个常见的应用。
1. 向量的平移平面向量的坐标表示可以用于描述平面上的点的平移，即将一个点沿着一个向量进行移动。
平面向量坐标表示公式
平面向量坐标表示公式1. 介绍平面向量是二维空间中的有向线段，由模长和方向唯一确定。
平面向量可以使用坐标表示，这样可以方便地进行向量运算和表达。
2. 坐标表示公式平面向量的坐标表示公式如下：\(\vec{v} = \begin{bmatrix} x \\ y \end{bmatrix}\)其中，\(x\) 和 \(y\) 分别表示平面向量在 x 轴和 y 轴上的分量。
3. 向量加法平面向量的加法可以通过分别相加各个分量来实现。
设有两个平面向量 \(\vec{u} = \begin{bmatrix} u_x \\ u_y \end{bmatrix}\) 和\(\vec{v} = \begin{bmatrix} v_x \\ v_y \end{bmatrix}\)，它们的和向量为 \(\vec{w} = \begin{bmatrix} w_x \\ w_y \end{bmatrix}\)，则有：\(\vec{w} = \vec{u} + \vec{v} = \begin{bmatrix} u_x + v_x \\ u_y + v_y \end{bmatrix}\)4. 向量数量乘法平面向量的数量乘法可以通过分别乘以常数来实现。
设有一个平面向量 \(\vec{v} = \begin{bmatrix} v_x \\ v_y \end{bmatrix}\)，常数为 \(k\)，则数量乘积为 \(k\vec{v} = \begin{bmatrix} kv_x \\ kv_y \end{bmatrix}\)。
5. 向量点积平面向量的点积可以用分别相乘各个对应分量再求和的方式来计算。
设有两个平面向量 \(\vec{u} = \begin{bmatrix} u_x \\ u_y\end{bmatrix}\) 和 \(\vec{v} = \begin{bmatrix} v_x \\ v_y\end{bmatrix}\)，它们的点积为 \(u \cdot v = u_x \cdot v_x + u_y \cdot v_y\)。
平面向量的坐标表示与方向角
平面向量的坐标表示与方向角平面向量是平面上的有向线段，既有大小又有方向。
为了方便表示和计算，我们可以使用坐标表示和方向角来描述平面向量。
一、平面向量的坐标表示在平面直角坐标系中，我们可以使用二维坐标来表示平面上的点。
同样地，我们可以使用两个实数来表示一个平面向量。
设平面向量为AB，A点的坐标为(x₁, y₁)，B点的坐标为(x₂, y₂)。
则向量AB的坐标表示为(Δx, Δy)，其中Δx = x₂ - x₁，Δy = y₂ - y₁。
举例说明：若A(1, 2)和B(4, 5)是平面上的两个点，可以计算得到向量AB的坐标表示为(3, 3)。
二、平面向量的方向角平面向量的方向可以用方向角来表示。
方向角是从正 x 轴逆时针旋转到向量所在直线的角度。
设平面向量为AB，与正 x 轴的夹角为θ（0 <= θ < 2π）。
则向量AB的极坐标表示为(│AB│, θ)，其中│AB│表示向量AB的长度。
计算方向角θ的方法如下：1. 若向量AB的坐标表示为(Δx, Δy)，则有tanθ = Δy/Δx。
- 当Δx > 0时，θ = arctan(Δy/Δx)。
- 当Δx = 0且Δy > 0时，θ = π/2。
- 当Δx = 0且Δy < 0时，θ = 3π/2。
- 当Δx < 0时，θ = arctan(Δy/Δx) + π。
2. 根据θ的值的范围，进行调整使其满足0 <= θ < 2π。
举例说明：若向量AB的坐标表示为(3, 3)，则有tanθ = 3/3 = 1，所以θ = π/4。
由于0 <= π/4 < 2π，θ = π/4就是向量AB的方向角。
三、使用坐标表示和方向角求解平面向量的运算使用坐标表示和方向角可以方便地进行平面向量的运算，包括加减法和数量乘法。
1. 加减法：设向量AB的坐标表示为(Δx₁, Δy₁)，向量CD的坐标表示为(Δx₂, Δy₂)。
《平面向量的坐标表示》课件
首先计算$overrightarrow{AC}$和$overrightarrow{BC}$ 的坐标。根据向量的坐标表示，$overrightarrow{AC} = C - A = (-1-1, -2-2) = (-2,-4)$，$overrightarrow{BC} = C - B = (-1-3, -2-4) = (-4,-6)$。然后计算 $overrightarrow{AB} + overrightarrow{AC}$的坐标。 根据向量加法的性质，$overrightarrow{AB} + overrightarrow{AC} = (2+(-2), 2+(-4)) = (0,-2)$。
向量加法
设向量$overset{longrightarrow}{AB} = (x_{1},y_{1})$，向量$overset{longrightarrow}{BC} = (x_{2},y_{2})$，则$overset{longrightarrow}{AC} = overset{longrightarrow}{AB} + overset{longrightarrow}{BC} = (x_{1} + x_{2},y_{1} + y_{2})$。
b坐o标ve求rse解t{longrightarrow}{ j}$。
通过向量的起点和终点坐标，可以求出$a$和$b$的值， 从而得到向量的坐标。
03
起点坐标法
如果知道起点$A$和终点$B$的坐标，则向量 $overset{longrightarrow}{AB}$的坐标为$(B_x - A_x, B_y - A_y)$。
向量积：设向量 $overset{longrightarrow}{AB} = (x_{1},y_{1})$，向量 $overset{longrightarrow}{BC} = (x_{2},y_{2})$，则 $overset{longrightarrow}{AB} times overset{longrightarrow}{BC}$的大 小为 $|overset{longrightarrow}{AB}| cdot |overset{longrightarrow}{BC}| cdot sintheta$，其中$theta$为两
平面向量的坐标表示
平面向量的坐标表示平面向量是指在平面上具有大小和方向的量。
为了表示和计算平面向量，我们常常使用坐标表示法。
本文将介绍平面向量的坐标表示方法，以及如何进行向量的加法、减法和数量乘法运算。
1. 坐标表示法简介在平面直角坐标系中，我们可以用有序数对表示一个点的坐标。
同样地，我们也可以用有序数对$(x,y)$来表示一个平面向量。
其中，$x$表示向量在$x$轴上的分量，$y$表示向量在$y$轴上的分量。
2. 向量的加法对于平面向量$\mathbf{a}=(x_1,y_1)$和$\mathbf{b}=(x_2,y_2)$，它们的和可以通过分别将它们的$x$分量相加，$y$分量相加得到：$$\mathbf{a}+\mathbf{b}=(x_1+x_2, y_1+y_2)$$3. 向量的减法平面向量的减法可以通过将被减向量取负后与减向量相加得到。
对于向量$\mathbf{a}=(x_1,y_1)$和$\mathbf{b}=(x_2,y_2)$，它们的差可以表示为：$$\mathbf{a}-\mathbf{b}=\mathbf{a}+(-\mathbf{b})=(x_1-x_2, y_1-y_2)$$4. 向量的数量乘法向量的数量乘法即将向量的每个分量都乘以一个实数。
对于平面向量$\mathbf{a}=(x,y)$和实数$k$，其数量乘积为：$$k\mathbf{a}=(kx, ky)$$5. 向量的坐标表示在几何上的意义通过坐标表示法，我们可以将平面向量转化为有向线段。
以原点$(0,0)$为起点，平面向量$(x,y)$的终点坐标为$(x,y)$。
直观地，这个有向线段从原点指向$(x,y)$，表示向量的大小和方向。
6. 向量的线性组合由于向量的加法和数量乘法运算，我们可以进行向量的线性组合。
给定平面向量$\mathbf{a}=(x_1,y_1)$和$\mathbf{b}=(x_2,y_2)$以及实数$k_1$和$k_2$，它们的线性组合可以表示为：$$k_1\mathbf{a}+k_2\mathbf{b}=(k_1x_1+k_2x_2,k_1y_1+k_2y_2)$$线性组合的几何意义是将$k_1$倍的$\mathbf{a}$和$k_2$倍的$\mathbf{b}$相加得到一个新的向量。
平面向量的坐标表示和向量方程
平面向量的坐标表示和向量方程平面向量是在平面上可平移的有向线段，用来表示平面上的大小和方向。
在解决平面向量问题时，我们常常需要使用坐标来表示向量和向量方程。
一、平面向量的坐标表示一般情况下，我们使用平面直角坐标系来表示平面向量。
在二维平面直角坐标系中，一个平面向量可以由其水平和垂直方向的分量表示。
假设有一个向量AB，它的起点为A(x1, y1)、终点为B(x2, y2)，则向量AB的表示形式为：AB = (x2 - x1, y2 - y1)这里，x2 - x1表示水平方向的分量，y2 - y1表示垂直方向的分量。
这种表示方式也被称为坐标表示。
二、向量方程向量方程是通过向量的起点和终点表示的方程，通常用于描述平面上的直线、曲线等几何问题。
对于平面向量的方程，一般形式如下：r = a + λb其中，r是位于平面上的任意一点的位置向量，a是向量的起点位置向量，b是平面上的一个固定向量，λ是实数。
解析上述向量方程，可以得到点P(x, y)的坐标表示：OP = a + λb这里，P(x, y)是位于平面上的任意一点，O是坐标系的原点。
a是向量的起点位置向量，b是平面上的一个固定向量，λ是实数。
通过这种向量方程的表示方法，我们可以方便地描述平面上的直线、曲线以及其他几何形状。
三、平面向量的基本运算1. 向量加法：对于平面上的两个向量a(x1, y1)和b(x2, y2)，它们的和记作a + b，其坐标表示为(x1 + x2, y1 + y2)。
2. 向量减法：对于平面上的两个向量a(x1, y1)和b(x2, y2)，它们的差记作a - b，其坐标表示为(x1 - x2, y1 - y2)。
3. 数乘运算：对于平面上的一个向量a(x, y)和一个实数k，它们的数乘记作k * a，其坐标表示为(kx, ky)。
通过以上基本运算，我们可以对平面向量进行加法、减法和数乘运算，从而解决各种与平面向量相关的问题。
四、平面向量的应用平面向量在几何学和物理学中有广泛的应用，尤其是在力学、动力学和几何形状的描述中。
平面向量的坐标表示
j O i x
我们把实数对（x,y）叫作向量a的坐标，记作 a =(x,y)
这是向量a的坐标表示．
例１ 在平面内以点Ｏ的正东方向为x轴正向，正北方向为y轴
正向建立直角坐标系．质点在平面内做直线运动．分别求下列
位移向量的坐标： (1)向量a表示沿东北方向移动了2个长度单位; (2)向量b表示沿西偏北60 方向移动了3个长度单位; (3)向量c表示沿东偏南30 方向移动了4个长度单位;
Q
y
b
P
j
a
i P’ c R’
(2)QOQ 60，| OQ | 3,
Q’ O
3 3 所以b OQ OQ Q Q i 3j 2 2 3 3 3 所以b ( , ) 2 2
x
R
(3)ROR 30，| OR | 4, 所以c Or OR RR 2 3i 2 j 所以c (2 3,2)
Q
y
b
Q’ O j
P a
i P’ c R’
x
解：设OP a, OQ b, OR c, 并设P( x1 , y1 ), Q( x2 , y2 ), R( x3 , y3 ),
R
(1)由图可知， POP 45，| OP | 2, 所以a OP OP PP 2i 2 j 所以a ( 2 , 2 )
４.1 平面向量的坐标表示
在平面直角坐标系中 ， 分别取与x轴，y 轴方向相同的两个 单位向量i, j作为基底，a 为坐标平面内的任意向 量。
以坐标原点 O为起点作 OP a
由平面向量基本定理可 知， 有且只有一对实数 x, y， 使得 OP xi yj
因此a xi Leabharlann yjy P(x,y) a
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2 .任意起点的向量的坐标表示？
向量的坐标等于原点到终点的向量的坐标减去原点到起 点的向量的坐标.
3 向量线性运算的坐标表示
P44 课外练习1，2
向量OB在直角坐标系中的坐标， 记做 :
O
OB (x, y),其中x为OB的横坐标，y 为OB的纵坐标
OB (x, y)叫做向量的坐标表示。
A(2,2) B（3,2)
MN X
例1：写出下列向量的坐标表示；
(1)a 4i 3 j (2)b 2 j
练习：写出下列向量的坐标表示
(1)3i j (3)i 3 j
我们都知道，在平面直角坐标系内，平面内的每
一个点都可以用一对有序实数来表示，这对有序实数
就是坐标，同样，在平面直角坐标系内，每一个平面
向量也可以用一对实数表示
（一）起点在坐标原点的向量
在平面直角坐标系内， 设x轴上的单位向量
为i,在y轴上的单位向量为j, 则x轴上的向量 总可以表示成 2i ,y轴上的向量总可以表示成
3j 的形式
3 B
2 1
o
A （2，3）
M 12
如图， 向量OA OM MA 2i 3 j
同理，OC 2i 3 j
C（2，-3）
Y
我们把OB xi y j叫做向量OB的坐标形式
把xi叫做OB在x轴上的分向量， 把y j叫做OB 在y轴上的分向量， 把有序实数对(x, y)叫做
结论：平面上任一向量坐标等于它的 终点坐标减去起点坐标
A (x1, y1)
B
(x2 , y2 )
0
例ห้องสมุดไป่ตู้讲解
例2： 已知点P(2,1), Q(3, 2),求PQ，QP的坐标。
练习：P36 练习7.2.1 3题
向量线性运算的坐标表示
一般地， 若a (x1, y1),b (x2, y2),则有
(1)a b (x1 x2 , y1 y2 ) (2)a b (x1 x2 , y1 y2 ) (3)k a (kx1, ky1)
例题讲解
例3： 设a(1,2),b(2,3),求下列向量的坐标：
(1)a b (2)- 3a
(3)3a 2b
练习：P46 课堂练习 2，3
(2) 1 i - 4j 2
(4)- 2j
如何通过坐标确定两个向量相等？
（1）如果两个向量的横坐标，纵坐标相等地，那么这两个向量相等 （2）如果两个向量相等，那么它们的横坐标，纵坐标分别相等
（二）起点不在坐标原点的向量
AB OB OA (x2 , y2 ) (x1, y1) (x2 x1, y2 y1)
共线向量的坐标表示
对于非零向量a,b， 设a(x1, y1),b(x2, y2).当 0时有
a // b x1 y2 x2 y1 0
例4：设a=（1，3）,b=（2，6），判断向量a,b是否共线。
练习：P38 练习7.2.3
1 向量坐标的概念？
一般地，设平面直角坐标系中，x轴的单位向量 为i, y轴的单位向量为j，则对于从原点出发的任意