数学建模实验 ――曲线拟合与回归分析
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sup曲线拟合与回归分析 ppt课件
通常不存在一組解來滿足這 21 個方程式。
在一般情況下，只能找到一組 ，使得等號兩邊的
差異為最小，此差異可寫成
yA 2(yA )T(yA )
此即為前述的總平方誤差 E
MATLAB 提供一個簡單方便的「左除」（\）指
令，來解出最佳的
2020/12/27
10
線性迴歸：曲線擬合
利用「左除」來算出最佳的 值，並同時畫出 具有最小平方誤差的二次曲線
、
0
a
1、a
的一次式
2
令上述導式為零之後，我們可以得到一組三元一次
線性聯立方程式，就可以解出參數 佳值。
a
0、
a
1、a
的最
2
2020/12/27
8
線性迴歸：曲線擬合
假設 21 個觀察點均通過此拋物線，將這 21 個點帶入拋物線方程式，得到下列21個等式：
a0 a1 x1 a2 x12 y1 a0 a1 x2 a2 x2 2 y2
範例10-2： census01.m
load census.mat plot(cdate, pop, 'o');
% 載入人口資料 % cdate 代表年度，pop 代表人口總數
A = [ones(size(cdate)), cdate, cdate.^2];
y = pop; theta = A\y;
a0 a1 x21 a2 x212 y21
亦可寫成
1 1
x1
x2
x12 x22
1
2
y1
y2
1
x 21
x
212
3
y21
A
y
其中 2020/12/27
在一般情況下，只能找到一組 ，使得等號兩邊的
差異為最小，此差異可寫成
yA 2(yA )T(yA )
此即為前述的總平方誤差 E
MATLAB 提供一個簡單方便的「左除」（\）指
令，來解出最佳的
2020/12/27
10
線性迴歸：曲線擬合
利用「左除」來算出最佳的 值，並同時畫出 具有最小平方誤差的二次曲線
、
0
a
1、a
的一次式
2
令上述導式為零之後，我們可以得到一組三元一次
線性聯立方程式，就可以解出參數 佳值。
a
0、
a
1、a
的最
2
2020/12/27
8
線性迴歸：曲線擬合
假設 21 個觀察點均通過此拋物線，將這 21 個點帶入拋物線方程式，得到下列21個等式：
a0 a1 x1 a2 x12 y1 a0 a1 x2 a2 x2 2 y2
範例10-2： census01.m
load census.mat plot(cdate, pop, 'o');
% 載入人口資料 % cdate 代表年度，pop 代表人口總數
A = [ones(size(cdate)), cdate, cdate.^2];
y = pop; theta = A\y;
a0 a1 x21 a2 x212 y21
亦可寫成
1 1
x1
x2
x12 x22
1
2
y1
y2
1
x 21
x
212
3
y21
A
y
其中 2020/12/27
回归分析曲线拟合通用课件
生物医学研究
研究生物标志物与疾病之间的 关系，预测疾病的发生风险。
金融市场分析
分析股票价格、利率等金融变 量的相关性，进行市场预测和 风险管理。
社会科学研究
研究社会现象之间的相关关系 ，如教育程度与收入的关系、 人口增长与经济发展的线性回归模型
线性回归模型是一种预测模型，用于描 述因变量和自变量之间的线性关系。
SPSS实现
SPSS实现步骤 1. 打开SPSS软件； 2. 导入数据；
SPSS实现
01
3. 选择回归分析命令；
02
4. 设置回归分析的变量和选项；
03
5. 运行回归分析；
04
6. 查看并解释结果。
THANKS
感谢观看
回归分析曲线拟合通用课件
• 回归分析概述 • 线性回归分析 • 非线性回归分析 • 曲线拟合方法 • 回归分析的实践应用 • 回归分析的软件实现
01
回归分析概述
回归分析的定义
01
回归分析是一种统计学方法，用 于研究自变量和因变量之间的相 关关系，并建立数学模型来预测 因变量的值。
02
它通过分析数据中的变异关系， 找出影响因变量的主要因素，并 建立回归方程，用于预测和控制 因变量的取值。
线性回归模型的假设包括：误差项的独立性、误差项的同方差性、误差 项的无偏性和误差项的正态性。
对假设的检验可以通过一些统计量进行，如残差图、Q-Q图、Durbin Watson检验等。如果模型的假设不满足，可能需要重新考虑模型的建立 或对数据进行适当的变换。
03
非线性回归分析
非线性回归模型
线性回归模型的局限性
回归分析的分类
01
02
03
一元线性回归
研究生物标志物与疾病之间的 关系，预测疾病的发生风险。
金融市场分析
分析股票价格、利率等金融变 量的相关性，进行市场预测和 风险管理。
社会科学研究
研究社会现象之间的相关关系 ，如教育程度与收入的关系、 人口增长与经济发展的线性回归模型
线性回归模型是一种预测模型，用于描 述因变量和自变量之间的线性关系。
SPSS实现
SPSS实现步骤 1. 打开SPSS软件； 2. 导入数据；
SPSS实现
01
3. 选择回归分析命令；
02
4. 设置回归分析的变量和选项；
03
5. 运行回归分析；
04
6. 查看并解释结果。
THANKS
感谢观看
回归分析曲线拟合通用课件
• 回归分析概述 • 线性回归分析 • 非线性回归分析 • 曲线拟合方法 • 回归分析的实践应用 • 回归分析的软件实现
01
回归分析概述
回归分析的定义
01
回归分析是一种统计学方法，用 于研究自变量和因变量之间的相 关关系，并建立数学模型来预测 因变量的值。
02
它通过分析数据中的变异关系， 找出影响因变量的主要因素，并 建立回归方程，用于预测和控制 因变量的取值。
线性回归模型的假设包括：误差项的独立性、误差项的同方差性、误差 项的无偏性和误差项的正态性。
对假设的检验可以通过一些统计量进行，如残差图、Q-Q图、Durbin Watson检验等。如果模型的假设不满足，可能需要重新考虑模型的建立 或对数据进行适当的变换。
03
非线性回归分析
非线性回归模型
线性回归模型的局限性
回归分析的分类
01
02
03
一元线性回归
第八章 曲线拟合、回归和相关分析
数据点集(x1,y1),…,(xn,yn)最小二乘直线方程 y=a+bx 将所有点代入直线方程后相加，我们得到 y=an+bx(或 y a b x) 以及 xy=ax+bx2 这两个方程称为最小二乘的正规方程。由上 面的方程组我们可以达到a,b分别为：
yx xxy a , 2 2 n x ( x ) nxy xy b , 其中b也可以写成 2 2 n x ( x )
1 1 0 z ln( ), z 2 1 0
1 n3
z
1
2
这里
Z Z Z Z , Z Z
1 2 1 2 1 2
2 1
2 2
1 1 n1 3 n2 3
是近似正态分布。
回归的概率解释
从同一总体抽取不同的样本作拟合，我们会 得到不同的回归曲线。 给定两个随机变量X和Y的联合密度函数和概 率函数。如果使E{[Y-g(X)]2}=最小值的y=g(x) 曲线称为Y关于X的最小二乘回归曲线有如下 定理： 定理一：y=g(x)=E(Y|X=x)满足E{[Y-g(X)]2}= 最小值，所以它是Y关于X的最小二乘曲线。
定理二：如果X和Y是具有二元正态分布的随机变量， 那么Y关于X的最小二乘回归曲线是一条回归直线，为
y Y
Y
(
x X
X
)
这里
XY ＝ XY
前面对样本的最小二乘回归的叙述容易推广到总体上。 例如，总体情况下的估计的标准误差用方差和相关系数 2 2 2 ( 1 ) 项给定为 Y . X Y
曲线拟合、回归和相关
曲线拟合
实践中寻求两个(或多个) 变量间存在的关系，拟 合给定数据用以确定变 量间的近似曲线方程， 此过程叫曲线拟合。
yx xxy a , 2 2 n x ( x ) nxy xy b , 其中b也可以写成 2 2 n x ( x )
1 1 0 z ln( ), z 2 1 0
1 n3
z
1
2
这里
Z Z Z Z , Z Z
1 2 1 2 1 2
2 1
2 2
1 1 n1 3 n2 3
是近似正态分布。
回归的概率解释
从同一总体抽取不同的样本作拟合，我们会 得到不同的回归曲线。 给定两个随机变量X和Y的联合密度函数和概 率函数。如果使E{[Y-g(X)]2}=最小值的y=g(x) 曲线称为Y关于X的最小二乘回归曲线有如下 定理： 定理一：y=g(x)=E(Y|X=x)满足E{[Y-g(X)]2}= 最小值，所以它是Y关于X的最小二乘曲线。
定理二：如果X和Y是具有二元正态分布的随机变量， 那么Y关于X的最小二乘回归曲线是一条回归直线，为
y Y
Y
(
x X
X
)
这里
XY ＝ XY
前面对样本的最小二乘回归的叙述容易推广到总体上。 例如，总体情况下的估计的标准误差用方差和相关系数 2 2 2 ( 1 ) 项给定为 Y . X Y
曲线拟合、回归和相关
曲线拟合
实践中寻求两个(或多个) 变量间存在的关系，拟 合给定数据用以确定变 量间的近似曲线方程， 此过程叫曲线拟合。
数学建模回归分析实验报告[1]
![数学建模回归分析实验报告[1]](https://img.taocdn.com/s3/m/039578ef9e314332396893fb.png)
beta = 21.0058 19.5285
所以：养护日期 x(日)及抗压强度 y(kg/cm2)的回归方程：y=21.0050+19.5288ln(x)
(2)、主程序如下： x=[2 3 4 5 7 9 12 14 17 21 28 56]; y=[35 42 47 53 59 65 68 73 76 82 86 99]; beta0=[1 1]'; [beta,r,J]=nlinfit(x',y','volum',beta0); beta
(3)、输出结果：
实验目的 1、直观了解回归分析基本内容。 2、掌握用数学软件求解回归分析问题。 实验内容 1、回归分析的基本理论。 2、用数学软件求解回归分析问题。
程序设计
1、考察温度 x 对产量 y 的影响，测得下列 10 组数据：
温度（℃） 20 25 30
35
40
45
50
55
60
65
产量（kg） 13.2 15.1 16.4 17.1 17.9 18.7 19.6 21.2 22.5 24.3
差的置信区间均包含零点，这说明回归模型 y=9.1212+0.2230x 能较好的符合原 始数据，没有异常点.
（5）、预测及作图： z=b(1)+b(2)*x plot(x,Y,'k+',x,z,'r')
预测 x=42℃时产量的估值.y=18.4872
2、某零件上有一段曲线，为了在程序控制机床上加工这一零件，需要求这段曲 线的解析表达式，在曲线横坐标 xi 处测得纵坐标 yi 共 11 对数据如下：
s=[0.6 2.0 4.4 7.5 11.8 17.1 23.3 31.2 39.6 49.7 61.7];
数学建模与数学实验 回归分析
2、多项式回归
设变量 x、Y 的回归模型为 Y 0 1x 2 x2 ... p x p
其中 p 是已知的，i (i 1,2,, p) 是未知参数， 服从正态分布 N (0, 2 ) .
Y 0 1x 2 x2 ... k xk
腿长
88 85 88 91 92 93 93 95 96 98 97 96 98 99 100 102
以身高x为横坐标，以腿长y为纵坐标将这些数据点（xI，yi） 在平面直角坐标系上标出.
解答
102
100
98
y 0 1x
96
949290 Nhomakorabea88
86
84
140
145
150
155
160
165
2019/7/8
17
二、模型参数估计
1、对 i 和 2 作估计
用最小二乘法求0 ,..., k 的估计量：作离差平方和
n
Q yi 0 1xi1 ... k xik 2 i 1
选择 0 ,..., k 使 Q 达到最小。
解得估计值 ˆ
进行检验.
假设 H 0 : 1 0 被拒绝，则回归显著，认为 y 与 x 存在线性关 系，所求的线性回归方程有意义；否则回归不显著，y 与 x 的关系 不能用一元线性回归模型来描述，所得的回归方程也无意义.
2019/7/8
8
（Ⅰ）F检验法
当 H 0 成立时，
F
U
~F（1，n-2）
Qe /(n 2)
变量的值 x1* ,..., xk ，用 yˆ * ˆ0 ˆ1 x1* ... ˆk xk * 来预测
数学建模实验3-曲线拟合
A=polyfit(x,y,2)
%做出数据点和拟合曲线的图形
z=polyval(A,x);
plot(x,y,'k+',x,z,'r')
h=(y-z).^2;
disp('抛物线拟合函数的残差平方和')
Q=[1 1 1 1 1 1 1 1 1 1]*h'
A = 0.4356 -9.3114 74.3258
A=polyfit(1./x,y,1)
%做出数据点和拟合曲线的图形
z=polyval(A,1./x);
plot(1./x,y,'k+',1./x,z,'r')
A =87.3300 18.1604
五、实验心得（质疑、建议）：
A =-8.0803 17.9488 0.5429
3.
x=[2 3 4 5 6 7 8 9 10 11];
y=[58 50 44 38 34 30 29 26 25 24];
A=polyfit(x,y,1)
%做出数据点和拟合曲线的图形
z=polyval(A,x);
plot(x,y,'k+',x,z,'r')
湖南第一师范学院数学系实验报告
姓名：
学号：
专业：
数学与应用数学
班级：
课程名称：
线性规划与数学建模
实验名称：
曲线拟合
实验类型：
基础实验
实验室名称：
实验地点：
实A302
实验时间：
2016年5月17日
指导教师：
成绩评定：
一、实验目的与要求：
1、了解曲线拟合基本原理。
%做出数据点和拟合曲线的图形
z=polyval(A,x);
plot(x,y,'k+',x,z,'r')
h=(y-z).^2;
disp('抛物线拟合函数的残差平方和')
Q=[1 1 1 1 1 1 1 1 1 1]*h'
A = 0.4356 -9.3114 74.3258
A=polyfit(1./x,y,1)
%做出数据点和拟合曲线的图形
z=polyval(A,1./x);
plot(1./x,y,'k+',1./x,z,'r')
A =87.3300 18.1604
五、实验心得（质疑、建议）：
A =-8.0803 17.9488 0.5429
3.
x=[2 3 4 5 6 7 8 9 10 11];
y=[58 50 44 38 34 30 29 26 25 24];
A=polyfit(x,y,1)
%做出数据点和拟合曲线的图形
z=polyval(A,x);
plot(x,y,'k+',x,z,'r')
湖南第一师范学院数学系实验报告
姓名：
学号：
专业：
数学与应用数学
班级：
课程名称：
线性规划与数学建模
实验名称：
曲线拟合
实验类型：
基础实验
实验室名称：
实验地点：
实A302
实验时间：
2016年5月17日
指导教师：
成绩评定：
一、实验目的与要求：
1、了解曲线拟合基本原理。
数学建模——回归分析
编号 1 2 3 4 5 6 7 8 身高/cm 165 165 157 170 175 165 155 170
体重/kg 48 57 50 54 64 61 43 59
求根据一名女大学生的身高预报她的体重的回归方程，并预报一名身高为 172cm的女大学生的体重。
解：1、选取身高为自变量x，体重为因变量y，作散点图：
由于解释变量和随机误差的总效应（总偏差平方和）为354，而随机误差的效应为 128.361，所以解析变量的效应为
354-128.361=225.639 这个值称为回归平方和。
解析变量和随机误差的总效应（总偏差平方和） =解析变量的效应（回归平方和）+随机误差的效应（残差平方和）
我们可以用相关指数R2来刻画回归的效果，其计算公式是
R2越接近1，表示回归的效果越好（因为R2越接近1，表示解释变量和预报变量的 线性相关性越强）。
如果某组数据可能采取几种不同回归方程进行回归分析，则可以通过比较R2的值 来做出选择，即选取R2较大的模型作为这组数据的模型。
总的来说：
相关指数R2是度量模型拟合效果的一种指标。
在线性模型中，它代表自变量刻画预报变量的能力。
虽然这种向中心回归的现象只是特定领域里的结论，并不具有普遍性，但从它 所描述的关于X为自变量，Y为不确定的因变量这种变量间的关系看，和我们现在的 回归含义是相同的。
不过，现代回归分析虽然沿用了“回归”一词，但内容已有很大变化，它是一种应用 于许多领域的广泛的分析研究方法，在经济理论研究和实证研究中也发挥着重要作用。
回归分析：研究一个随机变量Y对另一个(X)或一组(X1， X2，…，Xk)变量的相依关系的统计分析方法
回归分析（regression analysis)是确定两种或两种以上变数 间相互依赖的定量关系的一种统计分析方法。运用十分广泛， 回归分析按照涉及的自变量的多少，可分为一元回归分析和 多元回归分析；按照自变量和因变量之间的关系类型，可分 为线性回归分析和非线性回归分析。如果在回归分析中，只 包括一个自变量和一个因变量，且二者的关系可用一条直线 近似表示，这种回归分析称为一元线性回归分析。如果回归 分析中包括两个或两个以上的自变量，且因变量和自变量之 间是线性关系，则称为多元线性回归分析。
体重/kg 48 57 50 54 64 61 43 59
求根据一名女大学生的身高预报她的体重的回归方程，并预报一名身高为 172cm的女大学生的体重。
解：1、选取身高为自变量x，体重为因变量y，作散点图：
由于解释变量和随机误差的总效应（总偏差平方和）为354，而随机误差的效应为 128.361，所以解析变量的效应为
354-128.361=225.639 这个值称为回归平方和。
解析变量和随机误差的总效应（总偏差平方和） =解析变量的效应（回归平方和）+随机误差的效应（残差平方和）
我们可以用相关指数R2来刻画回归的效果，其计算公式是
R2越接近1，表示回归的效果越好（因为R2越接近1，表示解释变量和预报变量的 线性相关性越强）。
如果某组数据可能采取几种不同回归方程进行回归分析，则可以通过比较R2的值 来做出选择，即选取R2较大的模型作为这组数据的模型。
总的来说：
相关指数R2是度量模型拟合效果的一种指标。
在线性模型中，它代表自变量刻画预报变量的能力。
虽然这种向中心回归的现象只是特定领域里的结论，并不具有普遍性，但从它 所描述的关于X为自变量，Y为不确定的因变量这种变量间的关系看，和我们现在的 回归含义是相同的。
不过，现代回归分析虽然沿用了“回归”一词，但内容已有很大变化，它是一种应用 于许多领域的广泛的分析研究方法，在经济理论研究和实证研究中也发挥着重要作用。
回归分析：研究一个随机变量Y对另一个(X)或一组(X1， X2，…，Xk)变量的相依关系的统计分析方法
回归分析（regression analysis)是确定两种或两种以上变数 间相互依赖的定量关系的一种统计分析方法。运用十分广泛， 回归分析按照涉及的自变量的多少，可分为一元回归分析和 多元回归分析；按照自变量和因变量之间的关系类型，可分 为线性回归分析和非线性回归分析。如果在回归分析中，只 包括一个自变量和一个因变量，且二者的关系可用一条直线 近似表示，这种回归分析称为一元线性回归分析。如果回归 分析中包括两个或两个以上的自变量，且因变量和自变量之 间是线性关系，则称为多元线性回归分析。
回归分析曲线拟合
19
实例分析
例：某单位对8名女工进行体检，体检项目包括体重和肺 活量，数据如下：
体重
42 42 46 46 46 50 50 50
肺活量 2.55 2.2 2.75 2.4 2.8 2.81 3.41 3.1
利用回归分析描述其关系。
整理ppt
20
整理ppt
21
结果分析
描述性统计量
整理ppt
22
整理ppt
43
雇员对其主管满意度的调查
整理ppt
44
整理ppt
45
模型拟差分析
整理ppt
47
回归分析结果
拟合结果为：Y=A*X1+B*X2+C**X3+D ?
整理ppt
48
结果解读
剔除变量列表
整理ppt
49
共线性检验指标
整理ppt
3、因变量与自变量之间的关系用一个线性
方程来表示
整理ppt
5
线性回归的过程
一元线性回归模型确定过程
一、做散点图(Graphs ->Scatter->Simple) 目的是为了以便进行简单地观测（如：
Salary与Salbegin的关系)。 二、建立方程
若散点图的趋势大概呈线性关系，可以建立线性方 程，若不呈线性分布，可建立其它方程模型，并比较R2 (-->1)来确定一种最佳方程式（曲线估计）。
计或预测因变量的取值
整理ppt
2
回归分析的模型
一、分类 按是否线性分：线性回归模型和非线性回归模型 按自变量个数分：简单的一元回归和多元回归
二、基本的步骤
利用SPSS得到模型关系式，是否是我们所要的？ 要看回归方程的显著性检验（F检验）
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曲线拟合与回归分析
1、有 10个同类企业的生产性固定资产年平均价值和工业总产值资料如下:
(1说明两变量之间的相关方向;
(2建立直线回归方程;
(3计算估计标准误差;
(4估计生产性固定资产(自变量为 1100万元时的总资产
(因变量的可能值。
解:
(1工业总产值是随着生产性固定资产价值的增长而增长的,存
在正向相关性。
用 spss 回归
(2 spss 回归可知:若用 y 表示工业总产值(万元,用 x 表示生产性固定资产,二者可用如下的表达式近似表示:
567
.
395
896
. 0+
=x
y
(3 spss 回归知标准误差为 80.216(万元。
(4当固定资产为 1100时,总产值为:
(0.896*1100+395.567-80.216~0.896*1100+395.567+80.216 即(1301.0~146.4这个范围内的某个值。
MATLAB 程序如下所示:
function [b,bint,r,rint,stats] = regression1
x = [318 910 200 409 415 502 314 1210 1022 1225];
y = [524 1019 638 815 913 928 605 1516 1219 1624];
X = [ones(size(x', x'];
[b,bint,r,rint,stats] = regress(y',X,0.05;
display(b;
display(stats;
x1 = [300:10:1250];
y1 = b(1 + b(2*x1;
figure;plot(x,y,'ro',x1,y1,'g-';
生产性固定资产价值 (万元
工业总价值 (万元
industry = ones(6,1; construction = ones(6,1; industry(1 =1022; construction(1 = 1219; for i = 1:5
industry(i+1 =industry(i * 1.045;
construction(i+1 = b(1 + b(2* construction(i+1; end
display(industry; display( construction; end
运行结果:b = 395.5670 0.8958 stats = 1.0e+004 *
0.0001 0.0071 0.0000 1.6035 industry = 1.0e+003 * 1.0220 1.0680 1.1160 1.1663
1.2188 1.2736 construction = 1.0e+003 * 1.2190 0.3965 0.3965 0.3965 0.3965 0.3965。