(完整版)流体力学NS方程推导过程
(完整版)流体力学NS方程推导过程
流体力学NS方程简易推导过程小菜鸟0引言流体力学的NS方程对于整个流体力学以及空气动力学等领域的作用非常显著，不过其公式繁琐，推导思路不容易理顺，最近重新整理了一下NS方程的推导，记录一下整个推导过程，供自己学习，也可以供大家交流和学习。
1基本假设空气是由大量分子组成，分子做着无规则热运动，我们可以想象，随着观察尺度的逐渐降低，微观情况下流体的速度密度和温度等物理量不可能与宏观情况相同，其物理量存在间断的现象，例如我们在空间中取出一块控制体，当控制体中存在分子时，该控制体的密度等量较大，不存在时就会为0，这在微观尺度下是常见。
不过随着观察尺度增加，在宏观情况下，控制体积内包含大量分子，控制体积的压力密度温度速度等物理量存在统计平均结果，这个结果是稳定的，例如流场变量的压力密度和温度满足理想气体状态方程。
自然界中宏观情况的流体运动毕竟占据大多数，NS方程限定了自己的适用条件为宏观运动，采用稍微专业一点难度术语是流体满足连续介质假设。
连续介质假设的意思就是说，我们在流场中随意取出流体微团，这个流体微团在宏观上是无穷小的，因此整个流场的物理量可以进行数学上的极限微分积分等运算；同时，这个流体微团在微观上是无穷大的，微团中包含了大量分子，以至于可以进行分子层面的统计平均，获得我们通常见到的流场变量。
连续介质假设成立需要满足：所研究流体问题的最小空间尺度远远大于分子平均运动自由程（标准状况下空气的平均分子自由程在十分之一微米的量级，具体值可以参考分子运动理论），这在大多数宏观情况下都是成立的，也是NS方程能够广泛采用的基础，即使在湍流中，也是成立的，因此才保证NS方程也适用于描述湍流。
有些情况下连续介质假设不成立，存在哪些情况？第一种是空间尺度特别小，例如热线风速仪的金属丝，直径通常在1~5微米量级，最小流体微团已经接近分子平均运动自由程，连续介质假设不能直接使用，类似情况还包括激波，激波面受到压缩，其尺度也较小，为几个分子平均自由程量级，不过采用连续介质假设进行激波内流场计算时，计算结果仍然可以得到比较合理，并且与实际情况相符，这也给激波问题的研究和解决带来了基础性的保证；第二种是分子平均运动自由程特别大，分子平均运动自由程是指两个分子之间碰撞距离的平均值，这个结果与分子有效直径，分子运动速度等相关，宏观上来讲，温度越高、压力越大，分子平均运动自由程越大，而在高空情况下，压力非常低，自由程可能很大，并且大到与飞行器尺度相近，于是连续介质假设失效，此时必须考虑稀薄气体效应。
纳维-斯托克斯方程(N-S方程)详细推导
针对非牛解方法 ，以揭示其复杂的流动行为和机理。
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N-S方程的改进和发展
数值方法
为了解决N-S方程的求解问题， 研究者们发展出了许多数值方法，
如有限差分法、有限元法、谱方 法等。
近似模型
针对某些特定流动，研究者们提出 了许多近似模型，如雷诺平均N-S 方程、湍流模型等，以简化求解过 程。
多物理场耦合
随着计算技术的发展，多物理场耦 合成为研究流体流动的重要方向， 如流固耦合、流热耦合等。
应力张量
01
应力张量是描述流体内部应力的二阶张量，包括正应力和剪切 应力。
02
正应力表示流体在单位面积上受到的压力，而剪切应力表示流
体在单位面积上受到的切向力。
应力张量是流体的状态函数，其值取决于流体的状态和所处的
03
边界条件。
03 纳维-斯托克斯方程的推 导
纳维方程的推导
01
02
03
从质量守恒、动量守恒 和牛顿第二定律出发， 推导出描述流体运动的
考虑流体的粘性和惯性
02
N-S方程中包含了流体的粘性和惯性力，能够描述粘性流体在运
动过程中的受力情况和运动规律。
涉及到复杂的数学处理
03
N-S方程的推导涉及到复杂的数学处理，包括微积分、线性代数
和偏微分方程等。
02 流体的基本性质
流体的定义和分类
流体是能够流动的物质，具有连续性和 不可压缩性。根据其流动特性，流体可 分为牛顿流体和非牛顿流体两大类。
04 N-S方程的应用和限制
N-S方程的应用领域
流体力学
N-S方程是描述流体运动的基本方程，广泛应用于航空、航海、 气象、环境等领域。
流体力学-N-S方程
实际流体的运动微分 方程
——纳维-斯托克斯方程式 （N-S方程式）
以应力表示的黏性流体运动微分方程式
• 一、作用在流体微元上的应力 在粘性不起作用的平衡流体 中，或者在没有粘性的理想运动 流体中，作用在流体微元表面上 的表面力只有与表面相垂直的压 应力，而且压应力又具有一点上 各向同性的性质。
图一
v x x v y
（6）
由式（6）可以看出，由于各个方向的直线应变速 度不见得相等，因而这种由于粘性阻碍作用所产生的 法向应力也是各向不等的，p'xxp'yyp'zz统称为一点上的 各项异性压强。 • 于是在实际流体运动时，一点上的法向应力除了由 于分子运动统计平均的各向同性压强p之外，还需加上 由于粘性影响而与直线变形有关的各向异性压强，最 后可以得到法向应力与直线应变速度之间的关系为
（9）
此式说明一点上的各向同性压强也就是不可 压缩实际流体中不同方向压强的算术平均值。这 给具体计算实际流体中的压强带来很大的方便， 我们无需进一步研究各向异性压强，只要找出各 向同性压强与其他流动参数之间的关系，则据此 算出的各向同性压强事实上也就是不可压缩实际 运动流体一点上的流体动压强。
p的含义
但是在运动着的实际流体中取出边长dx、dy、 dz的六面体微元，如右图1多示，由于粘性影响，当 微元有剪切变形时，作用在微元体ABCDEFGH上的表 面力就不仅有压应力p，而且也有切应力τ 。当微元 有直线变形时，一点上的压应力也不再具有各项同 性的性质了。
纳维-斯托克斯方程(N-S方程)详细推导
• 线变形运动 微团左、右两侧的 A 点和 C 点沿 x 方向的速
度差为
，当这速度差值为正时，微团沿 x 方向发生
伸长变形；当它为负时，微团沿 x 方向发生缩短变形。
• 线变形速度 单位时间，单位长度的线变形称为线变形速 度。流体微团沿 x 方向的线变形速度：
Hale Waihona Puke 本构方程和NS方程粘性流体动力学基础
旋转角速度 把对角线的旋转角速度定义为整个流体微团在平 面上的旋转角速度。
dxdydzdt
t
dxdydzdt
或：
(vx ) (vy ) (vz ) 0
t x
y
z
连续性方程
矢量形式：
r
g()
0
t
（适用于层流、湍流、 牛顿、非牛顿流体）
连续方程物理意义：流体在单位时间内流经单位体积空间输 出与输入的质量差与其内部质量变化的代数和为零。
本构方程和NS方程
粘性流体动力学基础
本构方程和NS方程
方程的物理意义：
粘性流体动力学基础
方程左边是：任意时刻t通过考察点A的流体质点
加速度的三个分量；
Dvx / Dt ax
方程右边是：作用在单位体积流体上的表面力和体 积力在各坐标上的分量。
方程可简略表示成：
r ur
a F
这就是以单位体积的流体质量为基准的牛顿第二运动定律
本构方程和NS方程
dy
zx
zx z
dz
xx yx
z y xz
yz
xy
xy x
dx
xx
xx x
dx
x
zx
zz
yx
yx y
dy
应力状态：
ns推倒方程
ns推倒方程ns 推倒方程（Navier-Stokes equations）是描述流体力学中流体速度和压力变化的基本方程之一。
它由法国数学家克劳德·路易·马里·亨利·纳维-斯托克斯（Claude Louis Marie Henri Navier-Stokes）在1822年和英国物理学家乔治·加布里埃尔·斯托克斯（George Gabriel Stokes）在1845年独立提出。
ns 推倒方程是控制和描述流体运动的基本方程，广泛应用于流体力学、气象学、海洋学等领域的研究中。
ns 推倒方程的推导过程相对复杂，涉及到一系列假设和数学推导。
首先，我们假设流体是连续的，即流体的密度和速度在任意时刻和任意位置都是连续变化的。
其次，我们假设流体是不可压缩的，即流体在运动过程中密度保持不变。
在这些假设的基础上，我们可以得到 ns 推倒方程的一般形式。
ns 推倒方程可以分为连续性方程和动量方程两个部分。
连续性方程描述了流体在运动过程中质量守恒的原理，它可以用数学形式表示为：∂ρ/∂t + ∇·(ρu) = 0其中，ρ表示流体的密度，t表示时间，u表示流体的速度，∇表示梯度算子，·表示向量的点积运算。
这个方程表示了流体在运动过程中质量的变化率等于流体的速度散度。
动量方程描述了流体在运动过程中动量守恒的原理，它可以用数学形式表示为：ρ(∂u/∂t + u·∇u) = -∇p + μ∇²u + ρg其中，p表示流体的压力，μ表示流体的动力粘度，g表示重力加速度。
这个方程表示了流体在运动过程中受到的压力、粘度和重力的作用。
通过对连续性方程和动量方程的推导，我们可以得到完整的 ns 推倒方程。
这些方程的求解可以提供流体的速度和压力分布，从而进一步研究流体的流动行为和特性。
然而，由于 ns 推倒方程的复杂性，目前尚无法找到其一般解析解，只能通过数值模拟和实验方法来近似求解。
N-S(纳维斯托克斯)方程推导过程
很多人一听到N-S 方程就有点头皮发麻，因为涉及到流体力学的知识比较多，如果没有一个完整有逻辑的思路，理解N-S 方程是有点困难。
其中涉及到欧拉法，场论，随体导数，流体力学连续性方程（即质量守恒方程），流体力学N-S 方程（即动量方程），动量方程在流体力学中有两种，一种是理想流体动量方程，一种是粘性流体动量方程，粘性流体的动量方程也叫纳维-斯托克斯方程，也简称N-S 方程。
我试图想把N-S 方程弄清楚点，所以写了一点东西，分享一下。
首先要讲一下流体力学的欧拉法，在课本中还讲了拉格朗斯法，因为连续性方程和N-S 方程是用欧拉法得出的，和拉格朗日法没什么关系。
我就不讲拉格朗日法，以免产生混乱。
欧拉方法的着眼点不是流体质点而是空间点。
设法在空间中的每一点上描述出流体运动随时间的变化状况。
如果每一点的流体运动都已知道，则整个流体的运动状况也就清楚了。
欧拉方法中流体质点的运动规律数学上可表示为下列矢量形式：假设空间一点的坐标(x,y,z,t)，其中x,y,z 是该空间的坐标，t 是此刻时间。
u,v,w 是这一空间点的三个方向速度。
p,ρ,T 是这一空间点的压力，密度和温度。
这样就有了每一个点的速度，压力，密度，温度，就可以描述运动流体的状态。
这里需要强调一点的是下面这六个式子，可以换一个角度把他们看成方程，对后面理解连续性方程和N-S 方程有帮助，比如u=x+2y+3z),,,();,,,();,,,();,,,();,,,();,,,(t z y x T T t z y x t z y x p p t z y x w w t z y x v v t z y x u u ======ρρ因为后面需要随体导数的概念，还需要把速度函数表示成矢量的形式。
前面u,v,w 是标量，是ν在(x,y,z,t)直角坐标系三个方向的速度。
),(t rνν=M 点（x,y,z,t ），速度为),(t M ν ，过了t ∆之后，在M '点，速度为),(t t M ∆+'ν。
NS方程推导
代入上面加速度公式，得到
d dt
(M ,t) t
t0,M和M 靠近，
MMMlMi的m变0化会(引M起,三tM个) M方向速(M度的,变t)化
用M点速度
du dt
u(x, y, t
z,t)
u(x,
y,
z,t)
u(x, y, x
z,t)
v(x,
y, z,t)
u(x, y, z,t) y
w(
x,
y,
z,
t
)
u(
x, y, z
z,
t
)
u u u v u w u t x y z
du dt
u t
u
u x
v
u y
w
u z
;
dv dt
v t
u
v x
v
v y
w
v z
;
dw w u w v w w w dt t x y z
至此已经用欧拉法推到出了流体速度和加速度(即随体导数)的公式。随体导数也可以用复合
以上就已经得到了连续性方程。 对不可压缩流体，连续性方程可以简化，可以得到以下简化的连续性方程：
u x
v y
பைடு நூலகம்
纳维斯托克斯方程(NS方程)详细推导
本构方程和NS方程
粘性流体动力学基础
平移运动、旋转运动、线变形运动和角变形运动 右图为任意t时刻在平面流场中所取的一个正方形流体微团。由 于流体微团上各点的运动速度不一致，经过微小的时间间隔后， 该流体微团的形状和大小会发生变化，变成了斜四边形。
本构方程和NS方程
粘性流体动力学基础
流体微团的运动形式
流体质点运动的分析
•分析流场中任意流体微团运动是研究整个流场运动的基础。 •流体运动要比刚体运动复杂得多，流体微团基本运动形式 有平移运动、旋转运动、线变形和角变形运动等。实际运 动也可能遇到只有其中的某几种形式所组成。 •当流体微团无限小而变成质点时，其运动也是由平动、线 变形、角变形及旋转四种基本形式所组成。
理想流体的运动微分方程
理想流体运动微分方程式是研究流体运动学的重要理论基 础。可以用牛顿第二定律加以推导。 a F 受力分析：
1、质量力：
fxρdxdydz
x轴正方向
2、表面力：
切向应力＝0（理想流体） 法向应力＝压强
p
p dx x 2
p
p dx x 2
x轴正方向
x轴负方向
本构方程和NS方程
微元体上X和Z方向的表面力
yx xy
yz zy
zx xz
本构方程和NS方程
粘性流体动力学基础
微元体表面力的总力分量
X方向的表面力：
yx x zx dxdydz dydxdz dzdxdy x y z x yx zx dxdydz x y z
旋转角速度 把对角线的旋转角速度定义为整个流体微团在平 面上的旋转角速度。
；
；
1 u z u y x ( ) 2 y z
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流体力学NS方程简易推导过程小菜鸟0 引言流体力学的NS方程对于整个流体力学以及空气动力学等领域的作用非常显著，不过其公式繁琐，推导思路不容易理顺，最近重新整理了一下NS方程的推导，记录一下整个推导过程，供自己学习，也可以供大家交流和学习。
1 基本假设空气是由大量分子组成，分子做着无规则热运动，我们可以想象，随着观察尺度的逐渐降低，微观情况下流体的速度密度和温度等物理量不可能与宏观情况相同，其物理量存在间断的现象，例如我们在空间中取出一块控制体，当控制体中存在分子时，该控制体的密度等量较大，不存在时就会为0，这在微观尺度下是常见。
不过随着观察尺度增加，在宏观情况下，控制体积内包含大量分子，控制体积的压力密度温度速度等物理量存在统计平均结果，这个结果是稳定的，例如流场变量的压力密度和温度满足理想气体状态方程。
自然界中宏观情况的流体运动毕竟占据大多数，NS方程限定了自己的适用条件为宏观运动，采用稍微专业一点难度术语是流体满足连续介质假设。
连续介质假设的意思就是说，我们在流场中随意取出流体微团，这个流体微团在宏观上是无穷小的，因此整个流场的物理量可以进行数学上的极限微分积分等运算；同时，这个流体微团在微观上是无穷大的，微团中包含了大量分子，以至于可以进行分子层面的统计平均，获得我们通常见到的流场变量。
连续介质假设成立需要满足：所研究流体问题的最小空间尺度远远大于分子平均运动自由程（标准状况下空气的平均分子自由程在十分之一微米的量级，具体值可以参考分子运动理论），这在大多数宏观情况下都是成立的，也是NS 方程能够广泛采用的基础，即使在湍流中，也是成立的，因此才保证NS 方程也适用于描述湍流。
有些情况下连续介质假设不成立，存在哪些情况？第一种是空间尺度特别小，例如热线风速仪的金属丝，直径通常在1~5微米量级，最小流体微团已经接近分子平均运动自由程，连续介质假设不能直接使用，类似情况还包括激波，激波面受到压缩，其尺度也较小，为几个分子平均自由程量级，不过采用连续介质假设进行激波内流场计算时，计算结果仍然可以得到比较合理，并且与实际情况相符，这也给激波问题的研究和解决带来了基础性的保证；第二种是分子平均运动自由程特别大，分子平均运动自由程是指两个分子之间碰撞距离的平均值，这个结果与分子有效直径，分子运动速度等相关，宏观上来讲，温度越高、压力越大，分子平均运动自由程越大，而在高空情况下，压力非常低，自由程可能很大，并且大到与飞行器尺度相近，于是连续介质假设失效，此时必须考虑稀薄气体效应。
在层流边界层情况下，分子平均运动自由程与边界层之间存在近似关系：从这个关系中，可以发现，当马赫数非常大但是同时雷诺数非常小的时候，流场微小尺度才可能达到分子平均运动自由程lmd 的程度。
可以想象一下，在大多数我们能观察到的情况下，上述公式的结果都是非常小的，满足连续介质假设，这个公式不成立的情况在大气层外边缘，此时大气分子之间平均动量交换降低，导致粘性变得非常小，雷诺数很高，因此公式计算结果急剧降低，导致连续介质假设失效。
前面讨论了连续介质建设成立的条件以及不成立的例子，下面讨论的都是连λδ≈续介质假设范围内的结果。
2 连续性方程：质量守恒定律的流体表达根据质量守恒定律，我们知道，在流场取的控制体满足如下物理规律：控制体的总质量不随着运动而变化的，在运动过程中控制体始终由相同流体微团组成，因此利用流场物理量将物理规律用数学公式表达可得：根据引论1中的内容，上式左边随体导数可以采用两种形式的偏导数表示：（1）微元体表达形式：根据引论1中微元体的随体导数关系可以得到：或者 （2）张量表达形式：3 动量方程：牛顿第二定律的流体表达根据牛顿第二定律，流场中取出控制体满足如下规律：某一时刻，控制体中所有流体微团的总动量随时间的变化率=控制体中所有流体微团受到的合力。
控制体受力主要包括表面力和体积力，表面力作用于物体表面，例如压力等应力，表面力可以分解为法向力和切向力，法向力通常为压力，切向力通常为粘0t VDdV D ρ=⎰⎰⎰()()=0VDVdV v n dS v dV t t ρρρρ∂∂⎡⎤+⋅=+∇⋅⎢⎥∂∂⎣⎦⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰()=0v tρρ∂+∇⋅∂=0D v Dtρρ+∇⋅1=-D v Dt ρρ∇⋅()=0j ju t x ρρ∂∂+∂∂性力（当然这不是绝对，因为法向力还包括流场可压缩性引起的法向应力）；体积力作用于流场中每一个流体微团，例如重力，电磁力等。
因此，牛顿第二定律可以表达为：控制体总动量随时间变化率=控制体表面力合力+控制体体积力合力（为了推导方便，下面将体积力忽略，在重力等法向力影响较大时，将该项加入即可）。
利用流场变量可以将上述定律表达为数学公式：其中根据引论1和引论2，可知方程左边具有两种偏导数表达形式，（1）微元体表达形式：根据引论2，上式左边具有这两种偏导数表达形式（一种根据定义，一种引入质量守恒关系）：（2）张量表达形式：根据引论2，上式左边具有两种偏导数表达形式（一种定义，一种引入质量守恒）：-t V S SDvdV pndS ndS D ρτ=+⋅⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰()()t t =-V V SVDv vL dV dV v v n dS D R p dVρρρτ∂==+⋅∂∇+∇⋅⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰=-tDvp D ρτ∇+∇⋅()()=+=+t t tDv v vv v v D ρρρρρ∂∂⋅∇∇⋅∂∂=-t iji i jDu p D x x τρ∂∂+∂∂()=+=+t t t i i i i j i j j jDu u u u u u u D x x ρρρρρ∂∂∂∂∂∂∂∂（3）补充说明1：粘性应力表达式上述公式中，我们将表面力表达为表面压力+粘性力的形式，其中表面压力为法向力，粘性力由流体粘性引起，包括法向力和切向力，根据各项同性假设，粘性应力张量可以表达为：其中，\miu 称为动力粘性系数。
根据Stokes 假设，在通常情况下，体积粘性系数，于是上述粘性应力表达为：（4）补充说明2：粘性应力的空间导数在动量方程中，粘性应力的空间导数可以表达为：如果流场为不可压缩s=0并且粘性系数不随空间改变，即温度不变，可以简化为：（5）补充说明3：动力粘性系数表达式：该公式中动力粘性系数是流体的基本变量，该系数表征流体分子之间动量交换的快慢程度，与流场的温度相关，与压力等其他变量关系较小，在温度为21,2ij ij ijj i k ij ji k s s u u u s s x x x τλδμ=+⎛⎫∂∂∂=+= ⎪ ⎪∂∂∂⎝⎭2'=03μλμ=+23j i k ij ij j i k u u u x x x τμδ⎛⎫∂∂∂=+- ⎪ ⎪∂∂∂⎝⎭22233233ijj j i k i k ij ij j jj i k j j i k j i i k ij j j j j j i k u u u u u u x x x x x x x x x u u u u s x x x x x x x τμμδδμμμδ⎛⎫⎛⎫∂∂∂∂∂∂∂∂∂=+-++- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪∂∂∂∂∂∂∂∂∂⎝⎭⎝⎭⎛⎫∂∂∂∂∂∂=+++- ⎪ ⎪∂∂∂∂∂∂∂⎝⎭2,0,ijij j ju when s C x x x τμμ∂∂===∂∂∂100到1900K 范围，可以采用Sutherland 公式进行表达：其中，T ref =110.3，T0和\miu0则可以采用任何温度的结果，例如在常温288K 情况下，动力粘性系数为1.7894X10-5。
4 能量方程：能量守恒定律的流体表达根据能量守恒定律，流场中取出控制体满足如下物理规律：控制体的总能量增加=控制体受到外力做功+外界向控制体热传导 采用流场变量可以将该物理定律表达为数学形式(e=CvT 表示流场内能，内能可以采用定容比热乘以温度得到)：其中，根据引论1和2可知，方程左边具有两种偏导数表达形式：（3） 微元体表达形式：根据引论1和2可知上式具有两种偏导数表达形式：（2）张量表达形式 A: 总能公式E=e+ v 2/21.51.51.500000=/,[100,1900]ref ref refref T T T T T when T K T T T T T T T μμ⎛⎫+⎛⎫=∈⎪ ⎪ ⎪+++⎝⎭⎝⎭21-t 2V S S SD e v dV pv ndS v ndS k T ndS D ρτ⎛⎫+=⋅+⋅⋅+∇⋅ ⎪⎝⎭⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰()()()222111==+t 2t 22=VV VD L e v dV e v e v v dV D R pv v k T dVρρρτ⎧⎫∂⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫++∇⋅+⎨⎬ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥∂⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎩⎭-∇⋅+∇⋅⋅+∇⋅∇⎡⎤⎣⎦⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰()()()21=t 2D e v pv v k T D ρτ⎛⎫+-∇⋅+∇⋅⋅+∇⋅∇ ⎪⎝⎭()2222211111=t 22222D e v e v v e v e v v e v D t t ρρρρρ∂∂⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++⋅∇+=++∇⋅+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎢⎥∂∂⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎣⎦()()=t j ij i j j jj DE Tpu u k D x x x xρτ⎛⎫∂∂∂∂-++ ⎪ ⎪∂∂∂∂⎝⎭根据引论1和引论2，上式左边具有两种偏导数表达形式：B: 内能公式e=E- v 2/2将总能关系式代入上述公式可得：因此可得内能关系式为：根据引论1和引论2上式左边具有两种偏导数表达形式，略。
C ：焓公式h=e+p/rou将内能关系式代入上式可得：根据引论1和引论2上式左边具有两种偏导数表达形式，略。
D ：总焓公式h0=h+v 2/2=E+p/rou注意上式中采用了引论2中的内容，将焓关系式代入上式可得：于是可得总焓关系式为：()()=t j j j jDE E E u E Eu D t x t x ρρρρρ∂∂∂∂+=+∂∂∂∂21==t t 2t t t ij i i i i i i ij Du Du De D DE DE DE p E v u u u u D D D Dt D Dt D x x τρρρρρρρ∂∂⎛⎫⎛⎫--=-=-+ ⎪ ⎪∂∂⎝⎭⎝⎭()()=t ij i j ij i i i ij j j jj i j j j j u De Tp T pu u k u u ps k D x x x xx x x x xτρττ⎛⎫⎛⎫∂∂∂∂∂∂∂∂∂-++-+=-++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪∂∂∂∂∂∂∂∂∂⎝⎭⎝⎭t i ij j jj u De Tps k D x x xρτ⎛⎫∂∂∂=-++ ⎪ ⎪∂∂∂⎝⎭==t t t t Dh D p De Dp p D De Dp e ps D D D Dt Dt D Dtρρρρρρρ⎛⎫++-=++ ⎪⎝⎭=t i ij j j ju Dh Dp Tk D Dt x x x ρτ⎛⎫∂∂∂++ ⎪ ⎪∂∂∂⎝⎭201==t t 2t t t ij i i i i i jDh Du D Dh Dh ph v u u u D D D D D x x τρρρρρ∂∂⎛⎫++=-+ ⎪∂∂⎝⎭0=t ij i ij i i j jj i j Dh u Dp Tp k u u D Dt x x xx x τρτ⎛⎫∂∂∂∂∂++-+ ⎪ ⎪∂∂∂∂∂⎝⎭根据引论1和引论2上式左边具有两种偏导数表达形式，略。