2019年吉林省长春市高考数学三模试卷及解析(理科)〔精品解析版〕

2019年吉林省长春市高考数学三模试卷（理科）一、选择题：本题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（5分）sin210°的值为（）A．B．﹣C．D．﹣2．（5分）已知集合A＝{﹣1，0，1，2}，B＝{x|（x+1）（x﹣2）＜0}，则A∩B＝（）A．{0，1}B．{﹣1，0}C．{﹣1，0，1}D．{0，1，2} 3．（5分）若的实部与虚部相等，则实数a的值为（）A．0B．1C．2D．34．（5分）执行如图所示的程序框图，如果输入N＝4，则输出p为（）A．6B．24C．120D．7205．（5分）已知等差数列{a n}的前n项和为S n，且a2＝4，a4＝2，则S6＝（）A．0B．10C．15D．306．（5分）已知、是两个单位向量，且夹角为，则（﹣2）•（﹣2+）＝（）A．B．C．D．7．（5分）若8件产品中包含6件一等品，在其中任取2件，则在已知取出的2件中有1件不是一等品的条件下，另1件是一等品的概率为（）A．B．C．D．8．（5分）已知m，n为两条不重合直线，α，β为两个不重合平面，下列条件中，一定能推出α∥β的是（）A．m∥n，m⊂α，n⊂βB．m∥n，m⊥α，n⊥βC．m⊥n，m∥α，n∥βD．m⊥n，m⊥α，n⊥β9．（5分）“科技引领，布局未来”科技研发是企业发展的驱动力量.2007年至2018年，某企业连续12年累计研发投入达4100亿元，我们将研发投入与经营收入的比值记为研发投入占营收比．这12年间的研发投入（单位：十亿元）用图中的条形图表示，研发投入占营收比用图中的折线图表示．根据折线图和条形图，下列结论错误的是（）A．2012﹣2013 年研发投入占营收比增量相比2017﹣2018 年增量大B．该企业连续12 年研发投入逐年增加C．2015﹣2016 年研发投入增值最大D．该企业连续12 年研发投入占营收比逐年增加10．（5分）函数f（x）＝的部分图象大致是（）A．B．C．D．11．（5分）已知O为坐标原点，抛物线C：y2＝8x上一点A到焦点F的距离为6，若点P 为抛物线C准线上的动点，则|OP|+|AP|的最小值为（）A．4B．C．D．12．（5分）已如函数f（x）＝，若x1≠x2，且f（x1）+f（x2）＝2，则x1+x2的取值范围是（）A．[2，+∞）B．[e﹣1，+∞）C．[3﹣2ln2，+∞）D．[3﹣2ln3，+∞）二、填空题：本题共4小题，每小题5分.13．（5分）已知函数的最小正周期为π，则ω＝，若，则sin2α＝．14．（5分）已知矩形ABCD，AB＝12，BC＝5，以A，B为焦点，且过C，D两点的双曲线的离心率为．15．（5分）我国古代数学名著《九章算术•商功》中阐述：“斜解立方，得两堑堵．斜解堑堵，其一为阳马，一为鳖臑．阳马居二，鳖臑居一，不易之率也．合两鳖臑三而一，验之以棊，其形露矣．”若称为“阳马”的某几何体的三视图如图所示，图中网格纸上小正方形的边长为1，对该几何体有如下描述：①四个侧面都是直角三角形；②最长的侧棱长为；③四个侧面中有三个侧面是全等的直角三角形；④外接球的表面积为24π．其中正确的描述为．16．（5分）已知数列{a n}中，a1＝2，，则＝．三、解答题：共70份，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17～21题为必考题，，）若为比较两个车间工人的生产效率，采用分层抽样的方法抽取工人，位工人生产完成一件产品的时间（单位：min）分别进行统计，得到下列统计图表（按照），[85，95]分组）．第一车间样本频数分布表（Ⅰ）分别估计两个车间工人中，生产一件产品时间小于75min的人数；（Ⅱ）分别估计两车间工人生产时间的平均值，并推测哪个车间工人的生产效率更高？（同一组中的数据以这组数据所在区间中点的值作代表）（Ⅲ）从第一车间被统计的生产时间小于75min的工人中，随机抽取3人，记抽取的生产时间小于65min的工人人数为随机变量X，求X的分布列及数学期望．19．（12分）如图，等腰梯形ABCD中，AB∥CD，AD＝AB＝BC＝1，CD＝2，E为CD中点，AE与BD交于点O，将△ADE沿AE折起，使点D到达点P的位置（P∉平面ABCE）．（1）证明：平面POB⊥平面ABCE；（2）若直线PB与平面ABCE所成的角为，求二面角A﹣PE﹣C的余弦值．20．（12分）如图所示，椭圆离心率为，B1、B2是椭圆C的短轴端点，且B1到焦点的距离为，点M在椭圆C上运动，且点M不与B1、B2重合，点N满足NB1⊥MB1，NB2⊥MB2．（1）求椭圆C的方程；（2）求四边形MB2NB1面积的最大值．21．（12分）已知a∈R，函数．（1）讨论函数f（x）的单调性；（2）若x＝2是f（x）的极值点，且曲线y＝f（x）在两点P（x1，f（x1）），Q（x2，f（x2））（x1＜x2＜6）处的切线互相平行，这两条切线在y轴上的截距分别为b1、b2，求b1﹣b2的取值范围．（二）选考题：共10分，请考生在22、23题中任选一题作答，如果多做则按所做的第一题计分.[选修4-4坐标系与参数方程选讲]22．（10分）在平面直角坐标系xOy中，直线l1的倾斜角为30°，且经过点A（2，1）．以坐标原点O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线l2：ρcosθ＝3，从原点O作射线交l2于点M，点N为射线OM上的点，满足|OM|•|ON|＝12，记点N的轨迹为曲线C．（Ⅰ）求出直线l1的参数方程和曲线C的直角坐标方程；（Ⅱ）设直线l1与曲线C交于P，Q两点，求|AP|•|AQ|的值．[选修4-5不等式选讲]23．已知函数f（x）＝|2x﹣1|+|x﹣1|．（Ⅰ）求不等式f（x）≤4的解集；（Ⅱ）设函数f（x）的最小值为m，当a，b，c∈R+，且a+b+c＝m时，求++的最大值．2019年吉林省长春市高考数学三模试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（5分）sin210°的值为（）A．B．﹣C．D．﹣【解答】解：sin210°＝sin（180°+30°）＝﹣sin30°＝﹣．故选：B．2．（5分）已知集合A＝{﹣1，0，1，2}，B＝{x|（x+1）（x﹣2）＜0}，则A∩B＝（）A．{0，1}B．{﹣1，0}C．{﹣1，0，1}D．{0，1，2}【解答】解：由B中不等式解得：﹣1＜x＜2，即B＝{x|﹣1＜x＜2}，∵A＝{﹣1，0，1，2}，∴A∩B＝{0，1}，故选：A．3．（5分）若的实部与虚部相等，则实数a的值为（）A．0B．1C．2D．3【解答】解：∵＝的实部与虚部相等，∴a+1＝1﹣a，即a＝0．故选：A．4．（5分）执行如图所示的程序框图，如果输入N＝4，则输出p为（）A．6B．24C．120D．720【解答】解：由已知中N＝4，第一次进入循环时，p＝1，此时k＝1不满足退出循环的条件，则k＝2第二次进入循环时，p＝2，此时k＝2不满足退出循环的条件，则k＝3第三次进入循环时，p＝6，此时k＝3不满足退出循环的条件，则k＝4第四次进入循环时，p＝24，此时k＝4满足退出循环的条件，故输出的p值是24故选：B．5．（5分）已知等差数列{a n}的前n项和为S n，且a2＝4，a4＝2，则S6＝（）A．0B．10C．15D．30【解答】解：数列{a n}是等差数列，a2＝4＝a1+d，a4＝2＝a1+3d，所以a1＝5，d＝﹣1，则S6＝6a1+＝15．故选：C．6．（5分）已知、是两个单位向量，且夹角为，则（﹣2）•（﹣2+）＝（）A．B．C．D．【解答】解：、是两个单位向量，且夹角为，则（﹣2）•（﹣2+）＝＝﹣4+5×＝﹣．故选：A．7．（5分）若8件产品中包含6件一等品，在其中任取2件，则在已知取出的2件中有1件不是一等品的条件下，另1件是一等品的概率为（）A．B．C．D．【解答】解：假设第一次取出的不是一等品，则第二次是从7产品包含6件一等品中取一件，是一等品的概率为．故选：C．8．（5分）已知m，n为两条不重合直线，α，β为两个不重合平面，下列条件中，一定能推出α∥β的是（）A．m∥n，m⊂α，n⊂βB．m∥n，m⊥α，n⊥βC．m⊥n，m∥α，n∥βD．m⊥n，m⊥α，n⊥β【解答】解：对于A，若α∩β＝l，m∥l，n∥l，显然条件成立，但α，β不平行，故A 错误；对于B，由m∥n，m⊥α可得n⊥α，又n⊥β，故α∥β，故B正确；对于C，若m⊥n，m∥α，n∥β，则α，β可能平行，可能相交，故C错误；对于D，m⊥n，m⊥α，n⊥β，则α⊥β，故D错误．故选：B．9．（5分）“科技引领，布局未来”科技研发是企业发展的驱动力量.2007年至2018年，某企业连续12年累计研发投入达4100亿元，我们将研发投入与经营收入的比值记为研发投入占营收比．这12年间的研发投入（单位：十亿元）用图中的条形图表示，研发投入占营收比用图中的折线图表示．根据折线图和条形图，下列结论错误的是（）A．2012﹣2013 年研发投入占营收比增量相比2017﹣2018 年增量大B．该企业连续12 年研发投入逐年增加C．2015﹣2016 年研发投入增值最大D．该企业连续12 年研发投入占营收比逐年增加【解答】解：从研发投入占营收比（图中的红色折线）07～09年有所下降，并非连续12年研发投入占营收比逐年增加，故D错．故选：D．10．（5分）函数f（x）＝的部分图象大致是（）A．B．C．D．【解答】解：∵函数f（x）的定义域为（﹣∞，﹣）∪（﹣，）∪（，+∞）f（﹣x）＝＝＝f（x），∴f（x）为偶函数，∴f（x）的图象关于y轴对称，故排除A，令f（x）＝0，即＝0，解得x＝0，∴函数f（x）只有一个零点，故排除D，当x＝1时，f（1）＝＜0，故排除C，综上所述，只有B符合，故选：B．11．（5分）已知O为坐标原点，抛物线C：y2＝8x上一点A到焦点F的距离为6，若点P 为抛物线C准线上的动点，则|OP|+|AP|的最小值为（）A．4B．C．D．【解答】解：抛物线y2＝8x的准线方程为x＝﹣2，∵|AF|＝4，∴A到准线的距离为6，即A点的横坐标为4，∵点A在抛物线上，∴A的坐标A（4，4）∵坐标原点关于准线的对称点的坐标为B（﹣4，0），∴|PO|＝|PB|，∴|P A|+|PO|的最小值：|AB|＝＝4．故选：C．12．（5分）已如函数f（x）＝，若x1≠x2，且f（x1）+f（x2）＝2，则x1+x2的取值范围是（）A．[2，+∞）B．[e﹣1，+∞）C．[3﹣2ln2，+∞）D．[3﹣2ln3，+∞）【解答】解：根据题意，画出分段函数f（x）图象如下：由两个函数图象及题意，可知：x1，x2不可能同时＞1．因为当x1和x2都＞1时，f（x1）+f（x2）＞2，不满足题意，∴x1，x2不可能同时＞1．而x1≠x2，∴x1＜1＜x2，∴f（x1）+f（x2）＝，∵f（x1）+f（x2）＝2，∴，∴x1＝1﹣2lnx2，∴x1+x2＝1+x2﹣2lnx2，（x2＞1）．构造函数g（x）＝1+x﹣2lnx，（x＞1）则．①令g′（x）＝0，即，解得x＝2；②令g′（x）＜0，即，解得x＜2；③令g′（x）＞0，即，解得x＞2．∴g（x）在（1，2）上单调递减，在x＝2处取得极小值，在（2，+∞）上单调递增．∴g（x）min＝g（2）＝3﹣2ln2．∴g（x）≥3﹣2ln2．∴x1+x2≥3﹣2ln2．故选：C．二、填空题：本题共4小题，每小题5分.13．（5分）已知函数的最小正周期为π，则ω＝2，若，则sin2α＝．【解答】解：由周期公式，可得ω＝2，由得，，所以，平方得，∴，故答案为：2；﹣．14．（5分）已知矩形ABCD，AB＝12，BC＝5，以A，B为焦点，且过C，D两点的双曲线的离心率为．【解答】解：由题意可得点OA＝OB＝6，AC＝13设双曲线的标准方程是．则2c＝12，c＝6，则2a＝AC﹣BC＝13﹣5＝8，所以a＝4．所以双曲线的离心率为：e＝＝．故答案为：．15．（5分）我国古代数学名著《九章算术•商功》中阐述：“斜解立方，得两堑堵．斜解堑堵，其一为阳马，一为鳖臑．阳马居二，鳖臑居一，不易之率也．合两鳖臑三而一，验之以棊，其形露矣．”若称为“阳马”的某几何体的三视图如图所示，图中网格纸上小正方形的边长为1，对该几何体有如下描述：①四个侧面都是直角三角形；②最长的侧棱长为；③四个侧面中有三个侧面是全等的直角三角形；④外接球的表面积为24π．其中正确的描述为①②④．【解答】解：由三视图还原原几何体如图，可知该几何体为四棱锥，P A⊥底面ABCD，P A＝2，底面ABCD为矩形，AB＝2，BC＝4，则四个侧面是直角三角形，故①正确；最长棱为PC，长度为，故②正确；由已知可得，PB＝2，PC＝2，PD＝2，则四个侧面均不全等，故③错误；把四棱锥补形为长方体，则其外接球半径为PC＝，其表面积为4π×＝24π，故④正确．∴其中正确的命题是①②④．故答案为：①②④．16．（5分）已知数列{a n}中，a1＝2，，则＝．【解答】解：由得a n+1（n+1+2a n）＝na n，即2a n a n+1+（n+1）a n+1＝na n，两边同时除以n（n+1）a n a n+1，得由累加法得，∴为等差数列，所以．故答案为：．三、解答题：共70份，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答，第22～23选考题，考生根据要求作答.（一）必考题：共60分17．（12分）在△ABC中，AB＝6，．（1）若，求△ABC的面积；（2）若点D在BC边上且BD＝2DC，AD＝BD，求BC的长．【解答】（本小题满分12分）解：（1）由正弦定理得：，所以sin C＝1，，所以，所以．（6分）（2）设DC＝x，则BD＝2x，由余弦定理可得解得：所以位工人生产完成一件产品的时间（单位：min）分别进行统计，得到下列统计图表（按照），[85，95]分组）．第一车间样本频数分布表（Ⅰ）分别估计两个车间工人中，生产一件产品时间小于75min的人数；（Ⅱ）分别估计两车间工人生产时间的平均值，并推测哪个车间工人的生产效率更高？（同一组中的数据以这组数据所在区间中点的值作代表）（Ⅲ）从第一车间被统计的生产时间小于75min的工人中，随机抽取3人，记抽取的生产时间小于65min的工人人数为随机变量X，求X的分布列及数学期望．【解答】解：（I）估计第一车间生产时间小于75min的工人人数为200×＝60（人），（2分）估计第二车间生产时间小于75min的工人人数为：400×（0.025+0.05）×10＝300（人）．（II）第一车间生产时间平均值约为：＝（60×2+70×4+80×10+90×4）＝78（min）．第二车间生产时间平均值约为：＝60×0.25+70×0.5+80×0.2+90×0.05＝70.5（min），∵x1＞x2，∴第二车间工人生产效率更高．（III）由题意得，第一车间被统计的生产时间小于75min的工人有6人，其中生产时间小于65min的有2人，从中抽取3人，随机变量X服从超几何分布，X可取值为0，1，2，P（X＝0）＝＝，P（X＝1）＝＝，P（X＝2）＝＝，∴X的分布列为：∴数学期望E（X）＝＝1．19．（12分）如图，等腰梯形ABCD中，AB∥CD，AD＝AB＝BC＝1，CD＝2，E为CD中点，AE与BD交于点O，将△ADE沿AE折起，使点D到达点P的位置（P∉平面ABCE）．（1）证明：平面POB⊥平面ABCE；（2）若直线PB与平面ABCE所成的角为，求二面角A﹣PE﹣C的余弦值．【解答】（本小题满分12分）（Ⅰ）证明：在△P AE中，OP⊥AE，在△BAE中，OB⊥AE，∴AE⊥平面POB，AE⊂平面ABCE，所以平面POB⊥平面ABCE；（4分）（Ⅱ）在平面POB内作PQ⊥OB＝Q，∴PQ⊥平面ABCE．∴直线PB与平面ABCE夹角为，又∵OP＝OB，∴OP⊥OB，O、Q两点重合，即OP⊥平面ABCE，以O为原点，OE为x轴，OB为y轴，OP为z轴，建立空间直角坐标系，由题意得，各点坐标为，，，∴，，设平面PCE的一个法向量为，则，即，设，则y＝﹣1，z＝1，∴，由题意得平面P AE的一个法向量，设二面角A﹣P﹣EC为α，．即二面角A﹣P﹣EC为α的余弦值为．（12分）20．（12分）如图所示，椭圆离心率为，B1、B2是椭圆C的短轴端点，且B1到焦点的距离为，点M在椭圆C上运动，且点M不与B1、B2重合，点N满足NB1⊥MB1，NB2⊥MB2．（1）求椭圆C的方程；（2）求四边形MB2NB1面积的最大值．【解答】解：（1）∵，∴，又，且a2＝b2+c2，∴a2＝18，b2＝9，因此椭圆C的方程为．（2）法一：设M（x0，y0）（x0≠0），N（x1，y1），∵MB1⊥NB1，MB2⊥NB2，∴直线NB1：……①直线NB2：……②由①，②解得：，又∵，∴，四边形MB2NB1的面积，∵，∴当时，S的最大值为．法二：设直线MB1：y＝kx﹣3（k≠0），则直线NB1：……①直线MB1与椭圆C：的交点M的坐标为，则直线MB2的斜率为，∴直线NB2：y＝2kx+3……②由①，②解得N点的横坐标为，因此四边形MB2NB1的面积，当且仅当时，S取得最大值．21．（12分）已知a∈R，函数．（1）讨论函数f（x）的单调性；（2）若x＝2是f（x）的极值点，且曲线y＝f（x）在两点P（x1，f（x1）），Q（x2，f（x2））（x1＜x2＜6）处的切线互相平行，这两条切线在y轴上的截距分别为b1、b2，求b1﹣b2的取值范围．【解答】解：（1），①当a≤0时，f'（x）＜0在x∈（0，+∞）上恒成立，∴f（x）在（0，+∞）上单调递减；②当a＞0时，时f'（x）＜0，时，f'（x）＞0，即f（x）在上单调递减，在单调递增；（Ⅱ）∵x＝2是f（x）的极值点，∴由（1）可知，∴a＝1设在P（x1，f（x1））处的切线方程为，在Q（x2，f（x2））处的切线方程为∴若这两条切线互相平行，则，∴∵，且0＜x1＜x2＜6，∴，∴，∴x1∈（3，4）令x＝0，则，同理，．【解法一】∵，∴设，∴∴g（x）在区间上单调递减，∴即b1﹣b2的取值范围是．【解法二】∵，∴令，其中x∈（3，4）∴∴函数g（x）在区间（3，4）上单调递增，∴∴b1﹣b2的取值范围是．【解法三】∵x1•x2＝2（x1+x2），∴设，则∵，∴g'（x）＞0，∴函数g（x）在区间上单调递增，∴，∴b1﹣b2的取值范围是．（二）选考题：共10分，请考生在22、23题中任选一题作答，如果多做则按所做的第一题计分.[选修4-4坐标系与参数方程选讲]22．（10分）在平面直角坐标系xOy中，直线l1的倾斜角为30°，且经过点A（2，1）．以坐标原点O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线l2：ρcosθ＝3，从原点O作射线交l2于点M，点N为射线OM上的点，满足|OM|•|ON|＝12，记点N的轨迹为曲线C．（Ⅰ）求出直线l1的参数方程和曲线C的直角坐标方程；（Ⅱ）设直线l1与曲线C交于P，Q两点，求|AP|•|AQ|的值．【解答】解：（Ⅰ）直线l1的参数方程为，即（t为参数）．………………………………………（2分）设N（ρ，θ），M（ρ1，θ1），（ρ＞0，ρ1＞0），则，即，即ρ＝4cosθ，∴曲线C的直角坐标方程为x2﹣4x+y2＝0（x≠0）．……………………………………………（5分）（Ⅱ）将l1的参数方程代入C的直角坐标方程中，得，……………………………（7分）即，t1，t2为方程的两个根，∴t1t2＝﹣3，………………（9分）∴|AP|•|AQ|＝|t1t2|＝|﹣3|＝3．………………………………………（10分）[选修4-5不等式选讲]23．已知函数f（x）＝|2x﹣1|+|x﹣1|．（Ⅰ）求不等式f（x）≤4的解集；（Ⅱ）设函数f（x）的最小值为m，当a，b，c∈R+，且a+b+c＝m时，求++的最大值．【解答】解：（Ⅰ）f（x）≤4⇔或或，解得﹣≤x≤2，故不等式f（x）≤4的解集为{x|﹣≤x≤2}（Ⅱ）∵f（x）＝，∴f（x）min＝，即m＝，又a，b，c∈R+且a+b+c＝，z则2a+2b+2c＝1，设x＝，y＝，z＝，∵x2+y2≥2xy，2xy≤x2+y2＝2a+1+2b+1＝2a+2b+2，同理：2yz≤2a+2c+2，2xz≤2c+2a+2，∴2xy+2yz+2xz≤2a+2b+2+2b+2c+2+2c+2a+2＝8，∴（x+y+z）2＝x2+y2+z2+2xy+2yz+2xz≤2a+1+2b+1+2c+1+8＝12，∴x+y+z≤2，即++≤2，当且仅当a＝b＝c＝时，取得最大值2．。