普通高等学校2018年招生全国统一考试临考冲刺卷(七)文科数学含答案解析
普通高等学校2018年招生全国统一考试临考冲刺卷(一)文科数学含解析
普通高等学校2018年招生全国统一考试临考冲刺卷(一)文科数学注意事项：1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。
2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
3．非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
4．考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。
第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1． i 为虚数单位，则复数 ） ABCD【答案】AA ．2．已知集合{}|02A x x =<<，{}210B x x =->，那么A B =（ ） A ．{}|01x x << B ．{}|12x x << C ．{}|10x x -<< D ．{}|12x x -<<【答案】B【解析】{}210B x x =->()()=,11,-∞-+∞，所以{}|12A B x x =<<，故选B ．3．中人民银行发行了2018中国皮(狗)年金银纪念币一套，如图所示是一枚3克圆形金质纪念币，直径18m ，小米同学为了算图中饰狗的面积，他用1枚针向纪念币上投那500次，其中针尖恰有150次落在装饰狗的身体上，据此可估计装饰狗的面积大约是ABCD【答案】B【解析】由古典概型概率得落在装饰狗的概率为150500，由几何概型概率得落在装243π10S ∴=，选B ．4．在ABC △中，角A ，B ，C 所对应的边分别为a ，b ，c ．若角A ，B ，C 依次成等差数列，且1a =，b =．则ABC S =△（ ） ABCD ．2【答案】C【解析】∵A ，B ，C 依次成等差数列，∴60B =︒，∴由余弦定理得：2222cos b a c ac B =+-，得：2c =，∴由正弦定理得：1sin 2ABC S ac B ==△，故选C ．5．如图，网格纸上小正方形的边长均为1，粗线画出的是某几何体的三视图，则该几何体的体积为（ ）A ．7B ．6C ．5D ．4【答案】B【解析】几何体如图，则体积为332=64⨯，选Ｂ．6．已知函数()f x 是定义在R 上的偶函数，且在区间(),0-∞上单调递增．若实数a 满足()(213a f f -≥，则a 的最大值是（ ） A ．1 B ．12C ．14D ．34【答案】D【解析】根据题意，函数()f x 是定义在R上的偶函数，则(f=f ，又由()f x 在区间(),0-∞上单调递增，则()f x 在()0,+∞上递减，a 的最大值是34，故选D ． 7．已知实数x ，y 满足条件3703130 10x y x y x y +-≥+-≤--≤⎧⎪⎨⎪⎩，则2z x y =+的最小值为（ ）A ．3B ．4C ．5D ．6【答案】C【解析】由约束条件画出可行域如下图，目标函数可变形为2z x y =+，即2y x z =-+，求截距的最小值，过点()2,1C 时，min 5z =，选C ．8．已知函数()()()sin 2π0f x x ϕϕ=+-<<，将()f x 度后所得的函数图象经过点()0,1，则函数()f x （ ）ABCD【答案】B【解析】由题意，函数()()()sin 2π0f x x ϕϕ=+-<<，将()f x 的图象向左平移()0,1，所以()01g =，k ∈Z ，k ∈Z ，又因为π0ϕ-<<，k ∈Z k ∈Z ，当1k =B ．9．我国古代数学名著《九章算术》里有一道关于买田的问题：“今有善田一亩，价三百；恶田七亩，价五百．今并买一顷，价钱一万．问善、恶田各几何？”其意思为：“今有好田1亩价值300钱；坏田7亩价值500钱．今合买好、坏田1顷，价值10000钱．问好、坏田各有多少亩？”已知1顷为100亩，现有下列四个程序框图，其中S 的单位为钱，则输出的x ，y 分别为此题中好、坏田的亩数的是（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】B【解析】设好田为x ，坏田为y12.5 87.5x y =⎧∴⎨=⎩， A 中12.5x ≠；B 中正确；C 中87.5x =，12.5y =；D 中12.5x ≠，所以选B ． 10） A ． B ．C ．D ．【答案】C【解析】令'0y >，0x <，令'0y <，0x >，令'0y =，0x =，所以在(),0-∞为增函数，在()0,+∞为减函数，且0x =是函数的极大值点，结合4个函数的图象，选C ．11．已知底面半径为1的圆锥的底面圆周和顶点都在表面积为16π的球面上，则该圆锥的体积为（ ）A BCD 【答案】D【解析】由题意圆锥底面半径为1r =，球的半径为2,R =如图设1OO x =，D ．12．已知点1F 是抛物线24x y =的焦点，点2F 为抛物线的对称轴与其准线的交点，过2F 作抛物线的切线，切点为A ，若点A 恰在以1F ，2F 为焦点的双曲线上，则双曲线的离心离为（ ）A B 1+ C D 1-【答案】B【解析】()10,1F ，()20,1F -，200,4x A x ⎛⎫ ⎪⎝⎭2000142x x k x +∴==，204x ∴=，2014x =，以1F ，2F 为焦点的双曲线可设为22221y x a b -=，221a b +=，1a ∴=，1e ∴==，选B ． 第Ⅱ卷二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．13．已知()2,1=-a ，()1,0=b ，()1,2=-c ，若a 与m -b c 平行，则m =__________． 【答案】-3【解析】已知()2,1=-a ，()1,2m m -=-b c ，若a 与m -b c 平行则143m m -=⇒=-，故答案为：-3．14．已知点()2,0A -，()0,2B 若点M 是圆22220x y x y +-+=上的动点，则ABM △面积的最小值为__________．【答案】2【解析】将圆22:220M x y x y +-+=化简成标准方程()()22112x y -++=， 圆心()1,1-，半径r =，因为()2,0A -，()0,2B，所以AB =， 要求ABM △面积最小值，即要使圆上的动点M 到直线AB 的距离d 最小，而圆心()1,1-到直线AB的距离为，所以ABM S △的最小值为min 11222AB d ⋅⋅=⨯=，故答案为2．15．．【答案】1212．16．设函数()1 0x f x x C ∈⎧=⎨∈⎩R Z Z ，，，Z是整数集．给出以下四个命题：①()1f f=；②()f x 是R 上的偶函数；③若12x x ∀∈R ，，则()()()1212f x x f x f x +≤+；④()f x 是周期函数，且最小正周期是1．请写出所有正确命题的序号__________． 【答案】①②④【解析】∵函数()1 0x f x x C ∈⎧=⎨∈⎩R Z Z ，，，Z 是整数集．∴()()01f ff ==，①正确；由偶函数定义分x 为整数和非整数可知②正确；取11x =-，20.1x =，则()()1201f x x f +==而()()120f x f x +=，不满足，故③不正确；由周期性定义和图象可得最小正周期是1，故④正确．故答案为：①②④ 三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23为选考题，考生根据要求作答．（一）必考题：60分，每个试题12分． 17．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且满足()413n n S a =-，*n ∈N ． （1）求数列{}n a 的通项公式；（2）令2log n n b a =，记数列()()111n n b b ⎧⎫⎪⎪⎨⎬-+⎪⎪⎩⎭的前n 项和为n T ，证明：12nT <． 【答案】（1）()*4n n a n =∈N ；（2）见解析． 【解析】（I ）当1n =时，有()111413a S a ==-，解得14a =．……1分 当n ≥2时，有()11413n n S a --=-，则()()11441133n n n n n a S S a a --=-=---，……3分 整理得：14nn a a -=，……4分 ∴数列{}n a 是以4q =为公比，以14a =为首项的等比数列．……5分 ∴()1*444n n n a n -=⨯=∈N ，即数列{}n a 的通项公式为：()*4n n a n =∈N ．……6分 （2）由（1）有22log log 42n n n b a n ===，……7分 则()()()()11111=11212122121n n b b n n n n ⎛⎫=- ⎪+-+--+⎝⎭，……8分∴()()11111335572121n T n n =+++⋅⋅⋅+⨯⨯⨯+- 11111111121335572121n n ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-+-+⋅⋅⋅+- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥-+⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦……10分 11112212n ⎛⎫=-< ⎪+⎝⎭，故得证．……12分 18．《中华人民共和国道路交通安全法》第47条的相关规定：机动车行经人行横道时，应当减速慢行；遇行人正在通过人行横道，应当停车让行，俗称“礼让斑马线”，《中华人民共和国道路交通安全法》第90条规定：对不礼让行人的驾驶员处以扣3分，罚款50元的处罚．下表是某市一主干路口监控设备所抓拍的5个月内驾驶员不“礼让斑马线”行为统计数据：（1）请利用所给数据求违章人数y 与月份x 之间的回归直线方程ˆˆˆy bx a =+； （2）预测该路口9月份的不“礼让斑马线”违章驾驶员人数；（3）若从表中3、4月份分别抽取4人和2人，然后再从中任选2人进行交规调查，求抽到的两人恰好自同一月份的概率．参考公式：1221ˆni i i ni i x y nxy bx nx ==-=-∑∑()()()121niii nii x x y y x x ==--=-∑∑，ˆˆa y bx =-． 【答案】（1）8.512.5ˆ5y x =-+；（2）49人；（3）715P =．【解析】（1100y =，……2分∴1221ˆni i i n i i x y nxy bx nx ==-=-∑∑141515008.55545-==--，……3分ˆ125.ˆ5ay bx =-=，……4分 ∴所求回归直线方程为8.512.5ˆ5yx =-+．……5分 （2）由（1）知，令9x =，则8.591ˆ25.549y=-⨯+=人．……7分 （3）设3月份抽取的4位驾驶员编号分别为1a ，2a ，3a ，4a ，4月份的驾驶员编号分別为1b ，2b ．从这6人中任选两人包含以下基本事件()12,a a ，()13,a a ，()14,a a ，()11,a b ，()12,a b ，()23,a a ，()24,a a ，()21,a b ，()22,a b ，()34,a a ，()31,a b ，()32,a b ，()41,a b ，()42,a b ，()12,b b ，共15个基本事件；……10分其中两个恰好自同一月份的包含7个基本事件，……11分 ∴所求概率为715P =．……12分 19．如图，已知多面体PEABCD 的底面ABCD 是边长为2的菱形，且PA ⊥平面ABCD ，ED PA ∥，且22PA ED ==． （1）证明：平面PAC ⊥平面PCE ；（2）若60ABC ∠=︒，求点P 到平面ACE 的距离．【答案】（1）证明见解析；（2．【解析】（1）证明：连接BD ，交AC 于点O ，设PC 中点为F ， 连接OF ，EF ．因为O ，F 分别为AC ，PC 的中点，所以OF PA ∥，且12OF PA =， 因为DE PA ∥，且12DE PA =，所以OF DE ∥，且OF DE = 所以四边形OFED 为平行四边形，所以OD EF ∥，即BD EF ∥．……2分 因为PA ⊥平面ABCD ，BD ⊂平面ABCD ，所以PA BD ⊥． 因为ABCD 是菱形，所以BD AC ⊥． 因为PAAC A =，所以BD ⊥平面PAC ，……4分因为BD EF ∥，所以EF ⊥平面PAC ，……5分因为EF ⊂平面PCE ，所以平面PAC ⊥平面PCE ．……6分（2）因为60ABC ∠=，所以ABC △是等边三角形，所以2AC =． 又因为PA ⊥平面ABCD ，AC ⊂平面ABCD ，PA AC ∴⊥．122PAC S PA AC ∴=⨯⨯=△，……7分因为EF ⊥面PAC ，所以EF 是三棱锥E PAC -的高，EF DO BO ===，11233E PAC PACP ACEV V S EF--∴==⨯=⨯△9分DE PA∥PA⊥平面ABCD，DE∴⊥平面ABCD，DE AD∴⊥，DE CD⊥，1DE =，AE CE∴=，1=22=22ACES∴⨯⨯△，……10分所以点P到平面ACE的距离31233P ACEACEVhS-===△12分20．设O为坐标原点，椭圆()2222:10x yC a ba b+=>>的左焦点为F，离心率为():0l y kx m m=+>与C交于A，B两点，AF的中点为M，5OM MF+=．（1）求椭圆C的方程；（2）设点()0,1P，4PA PB⋅=-，求证：直线l过定点，并求出定点的坐标．【答案】（1）221255x y+=；（2）直线l过定点()0,2．【解析】（1）设椭圆的右焦点为1F，则OM为1AFF△的中位线．∴112OM AF=，12MF AF=，∴152AF AFOM MF a++===，……3分∵cea==，∴c=b=∴椭圆的方程为：221255x y+=．……5分（2）设()11,A x y，()22,B x y，联立22 1255y kx m x y ⎧=++=⎪⎨⎪⎩，消去y 整理得：()22215105250k x mkx m +++-=．∴0∆>，1221015kmx x k+=-+，212252515m x x k -=+，……7分 ∴()121222215my y k x x m k +=++=+， ()()()2212121212y y kx m kx m k x x km x x m =++=+++222222222222525105251515k m k k m m k m k m k k--++-+==++， ∵()01P ，，4PA PB ⋅=-，∴()()()11221212121114x y x y x x y y y y -⋅-=+-++=-，，，……8分∴22222252525250151515m k m m k k k--++-+=+++，……10分 整理得：23100m m --=，……11分解得：2m =或53m =-（舍去），∴直线l 过定点()0,2．……12分 21（1）当1a =时，求函数()f x 的单调区间；（2）当0a <时，求函数()f x 在区间[]0,1上的最小值． 【答案】（1）(),2-∞递增，在()2,+∞递减； （2）10a -≤<时，()min 1,1f x a =-<-【解析】（1）当1a =x ∈R ，()2e xx f x -+∴='，……1分 令()0f x '>，解得：2x <； 令()0f x '<，解得：2x >；()f x ∴在(),2-∞递增，在()2,+∞递减．……4分 （2[]0,1x ∈， 令()0f x '=，0a <5分 ①110a+≤时，即10a -≤<时，()0f x '≥对[]0,1x ∈恒成立， ()f x ∴在[]0,1递增，()()min 01f x f ==-；……8分 ②当1011a<+<时，即1a <-时，x ，()f x '，()f x 在[]0,1上的情况如下：综上，10a -≤<时，()min 1f x =-，1a <-12分（二）选考题（共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答．如果多做，则按所做第一题计分）22．在平面直角坐标系xOy 中，曲线1C 过点(),1P a ，其参数方程为 1x a y ==+⎧⎪⎨⎪⎩（t 为参数，a ∈R ），以O 为极点，x 轴非负半轴为极轴，建立极坐标系，曲线2C 的极坐标方程为2cos 4cos 0ρθθρ+-=．（1）求曲线1C 的普通方程和曲线2C 的直角坐标方程；（2）求已知曲线1C 和曲线2C 交于A ，B 两点，且2PA PB =，求实数a 的值．【答案】（1）10x y a --+=，24y x =；（2）136a =或94． 【解析】（1）1C的参数方程 1x a y =+=⎧⎪⎨⎪⎩，消参得普通方程为10x y a --+=，……2分2C 的极坐标方程为2cos 4cos 0ρθθρ+-=两边同乘ρ得222cos 4cos 0ρθρθρ+-=即24y x =；……5分（2）将曲线1C的参数方程2 12x a y ⎧⎪⎪⎨=+=+⎪⎪⎩（t 为参数，a ∈R ）代入曲线224C y x =：，得211402t a +-=，……6分由(()2141402a ∆=-⨯->，得0a >，……7分 设A ，B 对应的参数为1t ，2t ，由题意得122t t =即122t t =或122t t =-，…8分当122t t =时，()1212122 214t t t t t t a =+==-⎧⎪⎨⎪⎩，解得136a =，……9分当122t t =-时，()1212122 214t t t t t t a =⎧-+==-⎪⎨⎪⎩解得94a =，综上：136a =或94．……10分 23．选修4-5：不等式选讲已知x ∃∈R ，使不等式12x x t ---≥成立． （1）求满足条件的实数t 的集合T ；（2）若1,1m n >>，对t T ∀∈，不等式33log log m n t ⋅≥恒成立，求22m n +的最小值．【答案】（1）{|1}t T t t ∈=≤；（2）18．【解析】（12分则()11f x -≤≤，……4分由于x ∃∈R 使不等式12x x t ---≥成立，有{|1}t T t t ∈=≤．……5分 （2）由（1）知，33log log 1m n ⋅≥，从而23mn ≥，当且仅当3m n ==时取等号， (7)分再根据基本不等式6m n +≥≥，当且仅当3m n ==时取等号． 所以m n +的最小值为6．……10分。
2018年普通高等学校招生全国统一考试冲刺卷文科数学-含答案
2018年普通高等学校招生全国统一考试冲刺卷文科数学第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．设集合2{|}M x x x =∈=R ，{}1,0,1N =-，则M N =（ ）A ．{}0B ．{}1C ．{}0,1D ．{}1,0,1-2．设i 1i 1z +=-，()21f x x x =-+，则()f z =（ ） A ．B ．i -C ．1i -+D ．1i --3．已知()()22log 111sin13x x f x xx ⎧--<<⎪=⎨π⎪⎩≥，则3122f f ⎛⎫⎛⎫+= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭（ ） A ．52B ．52-C ．32-D ．12-4．已知等差数列{}n a 的前项和为n S ，且96=πS ，则5tan a =（ ） AB．C．D．5．执行如图所示的程序框图，如果输入的100t =，则输出的n =（ ）开始输入t输出n 结束k ≤t否是0,2,0S a n ===S S a=+31,1a a n n =-=+A ．5B ．6C ．7D ．86．已知函数()sin(2)(02)ϕϕπ=+≤＜f x x 的图象向右平移3π个单位长度后，得到函数()cos2=g x x 的图象，则下列是函数()=y f x 的图象的对称轴方程的为（） A ．6π=x B ．12π=x C ．3π=x D ．0=x7．图一是美丽的“勾股树”，它是一个直角三角形分别以它的每一边向外作正方形而得到．图二是第1代“勾股树”，重复图二的作法，得到图三为第2代“勾股树”，以此类推，已知最大的正方形面积为1，则第代“勾股树”所有正方形的个数与面积的和分别为（ ）A ．21;n n -B ．21;1n n -+C ．121;n n +-D ．121;1n n+-+8．已知点P 在圆C：224240x y x y+--+=上运动，则点P 到直线：250x y --=的距离的最小值是（ ） A ．B ．C 1D 19．已知偶函数()f x 在[)0,+∞单调递减，若()20f -=，则满足()10xf x ->的的取值范围是（ ） A ．()(),10,3-∞- B ．()()1,03,-+∞ C ．()(),11,3-∞-D ．()()1,01,3-10．已知点()4,0A ，()0,4B ，点(),P x y 的坐标，y 满足0034120+⎧⎪⎪-⎨⎩≥≥≤x y x y ，则AP BP ⋅的最小值为（ ） A ．254B ．0C ．19625－D ．－811．某几何体的直观图如图所示，AB 是O 的直径，BC 垂直O 所在的平面，且10AB BC ==，Q 为O 上从A 出发绕圆心逆时针方向运动的一动点．若设弧AQ 的长为，CQ 的长度为关于的函数()f x ，则()y f x =的图像大致为（ ）A ．B ．C ．D ．12．双曲线22221x y a b-=(0,0)a b >>的左、右焦点分别为1F ，2F ，过1F 作倾斜角为60︒的直线与y 轴和双曲线的右支分别交于A ，B 两点，若点A 平分线段1F B ，则该双曲线的离心率是（ ）A B ．2+C ．2 D 1第Ⅱ卷本卷包括必考题和选考题两部分。
普通高等学校2018年招生全国统一考试临考冲刺卷(二)数学(文)含答案解析
普通高等学校2018年招生全国统一考试临考冲刺卷高三文科数学（二）注意事项：1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。
2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
3．非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
4．考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。
第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合1=1A x x ⎧⎫<⎨⎬⎩⎭，{}2=4B x y x =，则A B =（ ） A ．(),1-∞ B ．()1,+∞ C ．()0,1 D ．()0,+∞【答案】B2．若复数z 满足()2i 17i z +=+，则z =（ ）A B ．C D ．2【答案】A3．阅读程序框图，该算法的功能是输出（ ）A ．数列{}21n -的第4项B ．数列{}21n -的第5项C ．数列{}21n -的前4项的和 D ．数列{}21n -的前5项的和【答案】B4．在ABC △中，AD AB ⊥，33CD DB ==，1AD =，则=AC AD ⋅（ ） A ．1 B ．2C ．3D ．4【答案】D5．七巧板是我国古代劳动人民的发明之一，被誉为“东方模板”，它是由五块等腰直角三角形、一块正方形和一块平行四边形共七块板组成的．如图是一个用七巧板拼成的正方形，若在此正方形中任取一点，则此点取自黑色部分的概率为（ ）A ．932B ．516C ．38D ．716【答案】C6．已知n S 是等差数列{}n a 的前n 项和，则“n n S na <对2n ≥恒成立”是“数列{}n a 为递增数列”的（ ） A ．充分必要条件B ．充分而不必要条件C ．必要而不充分条件D ．既不充分也不必条件【答案】A7．将标号为1，2，…，20的20张卡片放入下列表格中，一个格放入一张卡片，选出每列标号最小的卡片，将这些卡片中标号最大的数设为a ；选出每行标号最大的卡片，将这些卡片中标号最小的数设为b ．甲同学认为a 有可能比b 大，乙同学认为a 和b 有可能相等，那么甲乙两位同学的说法中（ ） A ．甲对乙不对 B ．乙对甲不对C ．甲乙都对D ．甲乙都不对【答案】B8．某几何体的三视图如图所示，记A 为此几何体所有棱的长度构成的集合，则（ ）A ．3A ∈B ．5A ∈C ．AD ．A【答案】D 9．已知函数()1cos f x x x=+，下列说法中正确的个数为（ ） ①()f x 在0,2π⎛⎫⎪⎝⎭上是减函数； ②()f x 在()0,π上的最小值是2π； ③()f x 在()0,π2上有两个零点． A ．0个 B ．1个 C ．2个 D ．3个【答案】C10．已知A ，B ，C ，D 54AC BD ==，11AD BC ==AB CD =，则三棱锥D ABC -的体积是（ ）A ．B ．C ． D【答案】C11．已知函数()2ln xf x a x x a =+-，()01a a >且≠，对任意的1x ，[]20,1x ∈，不等式()()122f x f x a -≤-恒成立，则a 的取值范围为（ ）A ．)2e ,⎡+∞⎣B ．[)e,+∞C ．[]2,eD ．2e,e ⎡⎤⎣⎦【答案】A12．已知S 为双曲线()222210,0x y a b a b-=>>上的任意一点，过S 分别引其渐近线的平行线，分别交x 轴于点M ，N ，交y 轴于点P ，Q ，若()118OP OQ OM ON ⎛⎫+⋅+≥ ⎪ ⎪⎝⎭恒成立，则双曲线离心率e 的取值范围为（ ）A ．(B ．)+∞C ．(D ．)+∞【答案】B第Ⅱ卷二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．13．已知实数x ，y 满足：1310x y x y +≥⎧⎪≤⎨⎪-≥⎩，则3x y +的最大值为_______．【答案】1314．设函数()22,1lg ,1x x x f x x x ⎧+-≤=⎨->⎩，则()()4f f -=_______．【答案】1-15．抛物线28y x =的焦点为F ，弦AB 过F ，原点为O ，抛物线准线与x 轴交于点C ，2π3OFA ∠=，则tan ACB ∠=_______．【答案】16．设有四个数的数列1a ，2a ，3a ，4a ，前三个数构成一个等比数列，其和为k ，后三个数构成一个等差数列，其和为15，且公差非零．对于任意固定的实数k ，若满足条件的数列个数大于1，则k 的取值范围为_______． 【答案】()()15,55,1515,4⎛⎫+∞⎪⎝⎭三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．（12分）在ABC △中，角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c()cos 2cos C b A =． （1）求角A 的大小；（2）若2a =，求ABC △面积的最大值． 【答案】（1）6A π=；（2）2． 【解析】（1cos 2sin cos cos A C B A C A =，()2sin cos A C B A +=2sin cos B B A =，又B 为三角形内角，所以sin 0B ≠，于是cos A = 又A 为三角形内角，所以6A π=．（2）由余弦定理：2222cos a b c bc A =+-得：22422b c bc =+-≥，所以(42bc ≤+，所以1sin 22S bc A ==． 18．（12分）在2018年3月郑州第二次模拟考试中，某校共有100名文科学生参加考试，其中语文考试成绩低于130的占95%人，数学成绩的频率分布直方图如图：（1）如果成绩不低于130的为特别优秀，这100名学生中本次考试语文、数学成绩特别优秀的大约各多少人？ （2）如果语文和数学两科都特别优秀的共有3人．①从（1）中的这些同学中随机抽取2人，求这两人两科成绩都优秀的概率．②根据以上数据，完成22⨯列联表，并分析是否有99%的把握认为语文特别优秀的同学，数学也特别优秀．【答案】（1）5人，4人；①15，②是．【解析】（1）我校共有100名文科学生参加考试，其中语文考试成绩低于130的有95%人，语文成绩特别优秀的概率为1=10.95=0.05P -，语文特别优秀的同学有1000.05=5⨯人，数学成绩特别优秀的概率为2=0.00220=0.04P ⨯，数学特别优秀的同学有1000.04=4⨯人．①语文数学两科都特别优秀的有3人，单科特别优秀的有3人，记两科都特别优秀的3人分别为1A ，2A ，3A ，单科特别优秀的3人分别为1B ，2B ，3B ，从中随机抽取2人，共有：()12A A ,，()13,A A ，()23,A A ，()12,B B ，()13,B B ，()23,B B ，()11,A B ，()12,A B ，()13,A B ，()21,A B ，()22,A B ，()23,A B ，()31,A B ，()32,A B ，()33,A B 共15种，其中这两人成绩都特别优秀的有()12,A A ，()13,A A ，()23,A A 这3种，则这两人两科成绩都特别优秀的概率为：31=155P =．②，()2210039412245042.982 6.63549659557k ⨯⨯-⨯∴==≈>⨯⨯⨯，∴有99%的把握认为语文特别优秀的同学，数学也特别优秀．19．（12分）如图，四棱锥E ABCD -中，AD BC ∥，112AD AB AE BC ====且BC ⊥底面ABE ，M 为棱CE 的中点．（1）求证：直线DM ⊥平面CBE ；（2）当四面体D ABE -的体积最大时，求四棱锥E ABCD -的体积．【答案】（1）见解析；（2）12． 【解析】（1）因为AE AB =，设N 为EB 的中点，所以AN EB ⊥， 又BC ⊥平面AEB ，AN ⊂平面AEB ，所以BC AN ⊥，又BC BE B =，所以AN ⊥平面BCE ，又DM AN ∥，所以DM ⊥平面BCE ． （2）AE CD ⊥，设=EAB θ∠，=1AD AB AE ==，则四面体D ABE -的体积111sin sin 326V AE AB AD θθ=⨯⨯⋅⋅⋅=， 当90θ=︒，即AE AB ⊥时体积最大，又BC ⊥平面AEB ，AE ⊂平面AEB ，所以AE BC ⊥，因为BC AB B =，所以AE ⊥平面ABC ，()1111211322E ABCD V -=⨯⨯+⨯⨯=．20．（12分）已知动点(),M x y=（1）求动点M 的轨迹E 的方程；（2）设A ，B 是轨迹E 上的两个动点，线段AB 的中点N 在直线1:2l x =-上，线段AB 的中垂线与E 交于P ，Q 两点，是否存在点N ，使以PQ 为直径的圆经过点()1,0，若存在，求出N 点坐标，若不存在，请说明理由．【答案】（1）2212x y +=；（2）1,219N ⎛⎫-± ⎪ ⎪⎝⎭． 【解析】（1）2212x y +=． （2）当直线AB 垂直于x 轴时，直线AB 方程为12x =-， 此时()P ，)Q，221F P F Q ⋅=-，不合题意；当直线AB 不垂直于x 轴时，设存在点()1,02N m m ⎛⎫-≠ ⎪⎝⎭，直线AB 的斜率为k ， ()11,A x y ，()22,B x y ，由221122221212x y x y ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩得：()()1212121220y y x x y y x x ⎛⎫-+++⋅= ⎪-⎝⎭，则140mk -+=， 故14k m=，此时，直线PQ 斜率为14k m =-， PQ 的直线方程为142y m m x ⎛⎫-=-+ ⎪⎝⎭，即4y mx m =--，联立22412y mx mx y =--⎧⎪⎨+=⎪⎩消去y ，整理得：()222232116220m x m x m +++-=，所以212216321m x x m +=-+，212222321m x x m -⋅=+，由题意220F P F Q ⋅=，于是()()()()()22121212121211144F P F Q x x y y x x x x mx m mx m ⋅=--+=⋅-+++++ ()()()2221212116411m x x m x x m =+⋅+-+++()()()()()()22222222211622411619110321321321m m m m m mm m m +----=+++==+++，m ∴=，因为N 在椭圆内，278m ∴<，m ∴=符合条件， 综上所述，存在两点N符合条件，坐标为1,219N ⎛-± ⎝⎭． 21．（12分）已知函数()ln f x ax x x =-在2e x -=处取得极值．（1）求实数a 的值；（2）设()()()21ln F x x x x f x a =+-++，若()F x 存在两个相异零点1x ，2x ，求证：122x x +>． 【答案】（1）1a =-；（2）见解析．【解析】（1）因为()ln f x ax x x =-，所以()ln 1f x a x '=--，因为函数()f x 在2e x -=处取得极大值，所以()2e 0f -'=，即()22e ln e 10f a --'=--=，所以1a =-，此时()ln 2f x x '=--，经检验，()f x 在()20,e -上单调递增，在()2e ,-+∞单调递减， 所以()f x 在2e x -=处取得极大值，符合题意，所以1a =-．（2）由（1）知：函数()()()21ln F x x x x f x a =+-++，函数()F x 图像与x 轴交于两个不同的点()1,0C x ，()2,0D x ，()12x x <， 为函数()2ln 1F x x x x =---的零点，令()()()212112121x x x x F x x x x x-+--'=--==，()F x ∴在()0,1单调递减，在()1,+∞单调递增且()110F =-<，1x ∴，()21,x ∈+∞，欲证：122x x +>，即证：212x x >-，即证()()212F x F x >-，即证()()112F x F x >-， 构造函数()()()()()20,1x F x F x x ϕ=--∈，()()()22102x x x x ϕ--'=<-，()()10x ϕϕ∴>=，得证．请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分． 22．（10分）选修4-4：坐标系与参数方程 在平面直角坐标系xoy 中，直线l 的参数方程为cos 1sin x t y t αα=⎧⎨=+⎩（t 为参数，0α≤<π）．以坐标原点O 为极点，以x 轴正半轴为极轴，建立极坐标系，已知曲线C 的极坐标方程为：2cos 4sin ρθθ=．（1）求直线l 的普通方程与曲线C 的直角坐标方程；（2）设直线l 与曲线C 交于不同的两点A ，B ，若8AB =，求a 的值． 【答案】（1）sin cos cos 0x y ααα⋅-⋅+=，24x y =；（2）4απ=或34π． 【解析】（1）直线l 普通方程为sin cos cos 0x y ααα⋅-⋅+=，曲线C 的极坐标方程为2cos 4sin ρθθ=，cos x ρθ=，sin y ρθ=，则22cos 4sin ρθρθ=，24x y ∴=即为曲线C 的普通方程．（2）将cos 1sin x t y t αα=⎧⎨=+⎩（t 为参数，0απ≤<）代入曲线2:4C x y =，22cos 4sin 40t t αα∴⋅-⋅-=，1224sin cos t t αα∴+=，1224cos t t α-⋅=，128AB t t =-===， cos 2α∴=±，4απ∴=或34π． 23．（10分）选修4-5：不等式选讲已知0a >，0b >，函数()2f x x a x b =++-的最小值为1． （1）证明：22a b +=；（2）若2a b tab +≥恒成立，求实数t 的最大值． 【答案】（1）见解析；（2）92． 【解析】（1）证明：2b a -<，()3,,23,2x a b x a b f x x a b a x b x a b x ⎧⎪--+<-⎪⎪∴=-++-≤≤⎨⎪⎪+->⎪⎩，显然()f x 在,2b ⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭上单调递减，在,2b ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上单调递增，所以()f x 的最小值为122b b f a ⎛⎫=+= ⎪⎝⎭，即22a b +=． （2）因为2a b tab +≥恒成立，所以2a bt ab+≥恒成立， ()212112122925+222a b a b a b ab b a b a b a +⎛⎫⎛⎫≥+=++=+≥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 当且仅当23a b ==时，2a b ab +取得最小值92， 所以92t ≤，即实数t 的最大值为92．。
2018年普通高等学校招生全国统一考试高考数学临考冲刺卷(二)文
普通高等学校2018年招生全国统一考试临考冲刺卷高三文科数学（二）注意事项：1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。
2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
3．非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
4．考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。
第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．已知集合1=1A x x ⎧⎫<⎨⎬⎩⎭，{}2=4B x y x =，则A B =（ ） A ．(),1-∞ B ．()1,+∞ C ．()0,1 D ．()0,+∞【答案】B2．若复数z 满足()2i 17i z +=+，则z =（ ）A B ．C D ．2【答案】A3．阅读程序框图，该算法的功能是输出（ ）A ．数列{}21n-的第4项 B ．数列{}21n-的第5项 C ．数列{}21n -的前4项的和D ．数列{}21n-的前5项的和4．在ABC △中，AD AB ⊥，33CD DB ==，1AD =，则=AC AD ⋅（ ） A ．1 B ．2C ．3D ．4【答案】D5．七巧板是我国古代劳动人民的发明之一，被誉为“东方模板”，它是由五块等腰直角三角形、一块正方形和一块平行四边形共七块板组成的．如图是一个用七巧板拼成的正方形，若在此正方形中任取一点，则此点取自黑色部分的概率为（ ）A ．932B ．516C ．38D ．716【答案】C6．已知n S 是等差数列{}n a 的前n 项和，则“n n S na <对2n ≥恒成立”是“数列{}n a 为递增数列”的（ ） A ．充分必要条件B ．充分而不必要条件C ．必要而不充分条件D ．既不充分也不必条件【答案】A7．将标号为1，2，…，20的20张卡片放入下列表格中，一个格放入一张卡片，选出每列标号最小的卡片，将这些卡片中标号最大的数设为a ；选出每行标号最大的卡片，将这些卡片中标号最小的数设为b ．甲同学认为a 有可能比b 大，乙同学认为a 和b 有可能相等，那么甲乙两位同学的说法中（ ） A ．甲对乙不对B ．乙对甲不对C ．甲乙都对D ．甲乙都不对8．某几何体的三视图如图所示，记A 为此几何体所有棱的长度构成的集合，则（ ）A ．3A ∈B ．5A ∈C ．AD ．A【答案】D 9．已知函数()1cos f x x x=+，下列说法中正确的个数为（ ） ①()f x 在0,2π⎛⎫⎪⎝⎭上是减函数； ②()f x 在()0,π上的最小值是2π； ③()f x 在()0,π2上有两个零点． A ．0个 B ．1个C ．2个D ．3个【答案】C10．已知A ，B ，C ，D 4AC BD ==，AD BC ==AB CD =，则三棱锥D ABC -的体积是（ ）A ．B ．C ．D【答案】C11．已知函数()2ln xf x a x x a =+-，()01a a >且≠，对任意的1x ，[]20,1x ∈，不等式()()122f x f x a -≤-恒成立，则a 的取值范围为（ ）A ．)2e ,⎡+∞⎣ B ．[)e,+∞ C ．[]2,eD ．2e,e ⎡⎤⎣⎦【答案】A12．已知S 为双曲线()222210,0x y a b a b-=>>上的任意一点，过S 分别引其渐近线的平行线，分别交x 轴于点M ，N ，交y 轴于点P ，Q ，若()118OP OQ OM ON ⎛⎫+⋅+≥ ⎪ ⎪⎝⎭恒成立，则双曲线离心率e 的取值范围为（ ） A．(B．)+∞C．(D．)+∞【答案】B第Ⅱ卷二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．13．已知实数x ，y 满足：1310x yx y +≥⎧⎪≤⎨⎪-≥⎩，则3x y +的最大值为_______．【答案】1314．设函数()22,1lg ,1x x x f x x x ⎧+-≤=⎨->⎩，则()()4f f -=_______．【答案】1-15．抛物线28y x =的焦点为F ，弦AB 过F ，原点为O ，抛物线准线与x 轴交于点C ，2π3OFA ∠=，则tan ACB ∠=_______．【答案】16．设有四个数的数列1a ，2a ，3a ，4a ，前三个数构成一个等比数列，其和为k ，后三个数构成一个等差数列，其和为15，且公差非零．对于任意固定的实数k ，若满足条件的数列个数大于1，则k 的取值范围为_______． 【答案】()()15,55,1515,4⎛⎫+∞⎪⎝⎭三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17．（12分）在ABC △中，角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c，且()cos 2cos C b A =．（1）求角A 的大小；（2）若2a =，求ABC △面积的最大值．【答案】（1）6A π=；（2）2+．【解析】（1cos 2sin cos cos A C B A C A =，()2sin cos A C B A +=2sin cos B B A =，又B 为三角形内角，所以sin 0B ≠，于是cos 2A =， 又A 为三角形内角，所以6A π=．（2）由余弦定理：2222cos a b c bc A =+-得：224222b c bcbc =+-≥-，所以(42bc ≤+，所以1sin 22S bc A ==． 18．（12分）在2018年3月郑州第二次模拟考试中，某校共有100名文科学生参加考试，其中语文考试成绩低于130的占95%人，数学成绩的频率分布直方图如图：（1）如果成绩不低于130的为特别优秀，这100名学生中本次考试语文、数学成绩特别优秀的大约各多少人？（2）如果语文和数学两科都特别优秀的共有3人．①从（1）中的这些同学中随机抽取2人，求这两人两科成绩都优秀的概率．②根据以上数据，完成22⨯列联表，并分析是否有99%的把握认为语文特别优秀的同学，数学也特别优秀．【答案】（1）5人，4人；①15，②是．【解析】（1）我校共有100名文科学生参加考试，其中语文考试成绩低于130的有95%人，语文成绩特别优秀的概率为1=10.95=0.05P -，语文特别优秀的同学有1000.05=5⨯人，数学成绩特别优秀的概率为2=0.00220=0.04P ⨯，数学特别优秀的同学有1000.04=4⨯人． ①语文数学两科都特别优秀的有3人，单科特别优秀的有3人，记两科都特别优秀的3人分别为1A ，2A ，3A ，单科特别优秀的3人分别为1B ，2B ，3B ，从中随机抽取2人，共有：()12A A ,，()13,A A ，()23,A A ，()12,B B ，()13,B B ，()23,B B ，()11,A B ，()12,A B ，()13,A B ，()21,A B ，()22,A B ，()23,A B ，()31,A B ，()32,A B ，()33,A B 共15种，其中这两人成绩都特别优秀的有()12,A A ，()13,A A ，()23,A A 这3种，则这两人两科成绩都特别优秀的概率为：31=155P =． ②，()2210039412245042.982 6.63549659557k ⨯⨯-⨯∴==≈>⨯⨯⨯，∴有99%的把握认为语文特别优秀的同学，数学也特别优秀．19．（12分）如图，四棱锥E ABCD -中，AD BC ∥，112AD AB AE BC ====且BC ⊥底面ABE ，M 为棱CE 的中点． （1）求证：直线DM ⊥平面CBE ；（2）当四面体D ABE -的体积最大时，求四棱锥E ABCD -的体积．【答案】（1）见解析；（2）12． 【解析】（1）因为AE AB =，设N 为EB 的中点，所以AN EB ⊥， 又BC ⊥平面AEB ，AN ⊂平面AEB ，所以BC AN ⊥，又BC BE B =，所以AN ⊥平面BCE ，又DM AN ∥，所以DM ⊥平面BCE ． （2）AE CD ⊥，设=EAB θ∠，=1AD AB AE ==，则四面体D ABE -的体积111sin sin 326V AE AB AD θθ=⨯⨯⋅⋅⋅=， 当90θ=︒，即AE AB ⊥时体积最大，又BC ⊥平面AEB ，AE ⊂平面AEB ，所以AE BC ⊥，因为BC AB B =，所以AE ⊥平面ABC ，()1111211322E ABCD V -=⨯⨯+⨯⨯=．20．（12分）已知动点(),M x y =．（1）求动点M 的轨迹E 的方程；（2）设A ，B 是轨迹E 上的两个动点，线段AB 的中点N 在直线1:2l x =-上，线段AB 的中垂线与E 交于P ，Q 两点，是否存在点N ，使以PQ 为直径的圆经过点()1,0，若存在，求出N 点坐标，若不存在，请说明理由．【答案】（1）2212x y +=；（2）1,2N ⎛- ⎝⎭． 【解析】（1）2212x y +=． （2）当直线AB 垂直于x 轴时，直线AB 方程为12x =-，此时()P ，)Q，221F P F Q ⋅=-，不合题意；当直线AB 不垂直于x 轴时，设存在点()1,02N m m ⎛⎫-≠ ⎪⎝⎭，直线AB 的斜率为k ， ()11,A x y ，()22,B x y ，由221122221212x y x y ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩得：()()1212121220y y x x y y x x ⎛⎫-+++⋅= ⎪-⎝⎭，则140mk -+=， 故14k m=，此时，直线PQ 斜率为14k m =-， PQ 的直线方程为142y m m x ⎛⎫-=-+ ⎪⎝⎭，即4y mx m =--，联立22412y mx mx y =--⎧⎪⎨+=⎪⎩消去y ，整理得：()222232116220m x m x m +++-=，所以212216321m x x m +=-+，212222321m x x m -⋅=+， 由题意220F P F Q ⋅=，于是()()()()()22121212121211144F P F Q x x y y x x x x mx m mx m ⋅=--+=⋅-+++++ ()()()2221212116411m x x m x x m =+⋅+-+++()()()()()()22222222211622411619110321321321m m m m m mm m m +----=+++==+++，m ∴=，因为N 在椭圆内，278m ∴<，m ∴= 综上所述，存在两点N符合条件，坐标为1,2N ⎛-⎝⎭． 21．（12分）已知函数()ln f x ax x x =-在2e x -=处取得极值． （1）求实数a 的值；（2）设()()()21ln F x x x x f x a =+-++，若()F x 存在两个相异零点1x ，2x ，求证：122x x +>．【答案】（1）1a =-；（2）见解析．【解析】（1）因为()ln f x ax x x =-，所以()ln 1f x a x '=--，因为函数()f x 在2e x -=处取得极大值，所以()2e 0f -'=，即()22e ln e 10f a --'=--=， 所以1a =-，此时()ln 2f x x '=--，经检验，()f x 在()20,e -上单调递增，在()2e ,-+∞单调递减， 所以()f x 在2e x -=处取得极大值，符合题意，所以1a =-．（2）由（1）知：函数()()()21ln F x x x x f x a =+-++，函数()F x 图像与x 轴交于两个不同的点()1,0C x ，()2,0D x ，()12x x <， 为函数()2ln 1F x x x x =---的零点，令()()()212112121x x x x F x x x x x-+--'=--==，()F x ∴在()0,1单调递减，在()1,+∞单调递增且()110F =-<，1x ∴，()21,x ∈+∞，欲证：122x x +>，即证：212x x >-，即证()()212F x F x >-，即证()()112F x F x >-， 构造函数()()()()()20,1x F x F x x ϕ=--∈，()()()22102x x x x ϕ--'=<-，()()10x ϕϕ∴>=，得证．请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分． 22．（10分）选修4-4：坐标系与参数方程 在平面直角坐标系xoy 中，直线l 的参数方程为cos 1sin x t y t αα=⎧⎨=+⎩（t 为参数，0α≤<π）．以坐标原点O 为极点，以x 轴正半轴为极轴，建立极坐标系，已知曲线C 的极坐标方程为：2cos 4sin ρθθ=．（1）求直线l 的普通方程与曲线C 的直角坐标方程；（2）设直线l 与曲线C 交于不同的两点A ，B ，若8AB =，求a 的值．【答案】（1）sin cos cos 0x y ααα⋅-⋅+=，24x y =；（2）4απ=或34π． 【解析】（1）直线l 普通方程为sin cos cos 0x y ααα⋅-⋅+=，曲线C 的极坐标方程为2cos 4sin ρθθ=，cos x ρθ=，sin y ρθ=，则22cos 4sin ρθρθ=，24x y ∴=即为曲线C 的普通方程．（2）将cos 1sin x t y t αα=⎧⎨=+⎩（t 为参数，0απ≤<）代入曲线2:4C x y =，22cos 4sin 40t t αα∴⋅-⋅-=，1224sin cos t t αα∴+=，1224cos t t α-⋅=，128AB t t =-===， cos 2α∴=±，4απ∴=或34π． 23．（10分）选修4-5：不等式选讲已知0a >，0b >，函数()2f x x a x b =++-的最小值为1． （1）证明：22a b +=；（2）若2a b tab +≥恒成立，求实数t 的最大值． 【答案】（1）见解析；（2）92． 【解析】（1）证明：2b a -<，()3,,23,2x a b x a b f x x a b a x b x a b x ⎧⎪--+<-⎪⎪∴=-++-≤≤⎨⎪⎪+->⎪⎩，显然()f x 在,2b ⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭上单调递减，在,2b ⎛⎫+∞⎪⎝⎭上单调递增，所以()f x 的最小值为122b b f a ⎛⎫=+= ⎪⎝⎭，即22a b +=．（2）因为2a b tab +≥恒成立，所以2a bt ab+≥恒成立， ()212112122925+222a b a b a b ab b a b a b a +⎛⎫⎛⎫≥+=++=+≥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，当且仅当23a b==时，2a bab+取得最小值92，所以92t≤，即实数t的最大值为92．- 11 -。
普通高等学校2018年招生全国统一考试临考冲刺卷(十)文科数学(含解析)
普通高等学校2018年招生全国统一考试临考冲刺卷(十)文科数学注意事项：1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。
2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
3．非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
4．考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。
第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合{}2,1,0,1,2A =--，2{|4}B x x =≥，则下图中阴影部分所表示的集合为（ ）A ．{}2,1,0,1--B ．{}0C ．{}1,0-D ．{}1,0,1-【答案】D【解析】求解二次不等式可得：{}|22B x x x =-≥或≤，则{}|22B x x =-<<R ð， 由Venn 图可知图中阴影部分为：(){}1,0,1RA B =-ð．本题选择D 选项．2．已知函数()f x =，则满足()4log f a a 的值为（ ） A ．13B ．14C ．12D ．2【答案】B【解析】()4log f a ===11212,4,4aa a --===．3．已知向量()2,1=a ,(),1x =b ，若+a b 与-a b 共线,则实数x 的值是（ ） A ．2- B ．２C ．2±D ．４【答案】B【解析】由()2,1=a ，(),1x =b ，则()2,2x +=+a b ，()2,0x -=-a b ， 因为+a b 与-a b 共线，所以()()2022x x +⨯=-，解得2x =，故选B ．4．2倍（纵坐标不变），个单位，则所得函数图像的解析式为（）ABCD 【答案】B【解析】函数πs i n 4y x ⎛⎫=-⎪⎝⎭经伸长变换得1πs i n 24y x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，再作平移变换得1ππs i n 264y x ⎡⎤⎛⎫=-- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦1πsi n 23x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，故选：B ．5．《孙子算经》是我国古代的数学名著，书中有如下问题：“今有五等诸侯，共分橘子六十颗，人别加三颗．问：五人各得几何？”其意思为：“有5个人分60个橘子，他们分得的橘子个数成公差为3的等差数列，问5人各得多少橘子．”根据这个问题，有下列3个说法：①得到橘子最多的人所得的橘子个数是15；②得到橘子最少的人所得的橘子个数是6；③得到橘子第三多的人所得的橘子个数是12．其中说法正确的个数是（ ） A ．0 B ．1C ．2D ．3【答案】C【解析】由题可设这五人的橘子个数分别为：a ，3a +，6a +，9a +，12a +，其和为60，故6a =，由此可知②得到橘子最少的人所得的橘子个数是6；③得到橘子第三多的人所得的橘子个数是12是正确的，故选C ．6．一个几何体的三视图如图所示，则这个几何体的体积为（ ）A B C D 【答案】D【解析】该立方体是由一个四棱锥和半个圆柱组合而成的，所以体积为6πD ．7．如图所示的程序框图，若输出的结果为4，则输入的实数x 的取值范围是（ ）A ．18,279⎡⎫-⎪⎢⎣⎭B ．81,927⎡⎫-⎪⎢⎣⎭C ．12,9⎡⎫-⎪⎢⎣⎭D ．1,29⎡⎫-⎪⎢⎣⎭【答案】A【解析】1n =，12x ≥，否，31x x =+；2n =，否，()313194x x x =+⨯+=+； 3n =，否，()94312713x x x =+⨯+=+； 4n =，12x ≥，是，即271312x +≥；解不等式271x -≥，127x -≥，且满足9412x +<，89x <， 综上所述，若输出的结果为4，则输入的实数x 的取值范围是18279⎡⎫-⎪⎢⎣⎭，，故选A ．8．已知抛物线24y x =上的点M 到其准线的距离为5，直线l 交抛物线于A ，B 两点，且AB 的中点为()2,1N ，则M 到直线l 的距离为（ ） AB．5或5C．55D．5或 【答案】B【解析】根据题意设()11,A x y ，()22,B x y故直线l 可以写成()22123y x y x =-+⇒=-，点M 到其准线的距离为5，可得到M 的横坐标为4，将点代入抛物线可得到纵坐标为4或-4，由点到直线的距离公式得到，M点到直线的距离为．故答案为：B ．9．数列{}n a 中，已知11S =，22S =，且1123n n n S S S +-+=，（2n ≥且*n ∈N ），则此数列{}n a 为（ ） A ．等差数列B ．等比数列C ．从第二项起为等差数列D ．从第二项起为等比数列【答案】D【解析】由11S =，得11a =，又由22S =，得212a +=，解得21a =，11320n n n S S S +--+=，（*2n n ∈≥N 且），()()*112(n n n n S S S S n +-∴-=-∈N 且2)n ≥，*12(n n a a n +∴=∈N 且2)n ≥，1n =时，上式不成立，故数列{}n a 从第2项起是以2为公比的等比数列，故选D ．10．某企业生产甲、乙两种产品，销售利润分别为2千元/件、1千元/件．甲、乙两种产品都需要在A 、B 两种设备上加工，生产一件甲产品需用A 设备2小时，B 设备6小时；生产一件乙产品需用A 设备3小时，B 设备1小时．A 、B 两种设备每月可使用时间数分别为480小时、960小时，若生产的产品都能及时售出，则该企业每月利润的最大值为（ ）A ．320千元B ．360千元C ．400千元D ．440千元【答案】B【解析】设生产甲、乙两种产品x 件,y 件时该企业每月利润的最大值为z ，由题意可得约束条件：234806960 0,0,x y x y x y x y ++∈⎧⎨⎪⎩∈⎪⎪⎪N N≤≤≥≥， 原问题等价于在上述约束条件下求解目标函数2z x y =+的最大值． 目标函数表示的平面区域如图所示，结合目标函数的几何意义可知：目标函数在点()150,60B 处取得最大值：max 2215060360z x y =+=⨯+=千元． 本题选择B 选项．11．函数()()log 3101a y x a a =+->≠且的图象恒过定点A ，若点A 在直线10mx ny ++=上，其中0mn >，则11m n+的最小值为（ ） A．3- B ．5 C．3+ D．3【答案】C【解析】令31x +=，则2x =-可得：()log 111a y =-=-，据此可得：()2,1A --， 点A 在直线10mx ny ++=上，故：210m n --+=，21m n ∴+=，则n = 综上可得：11mn+的最小值为3+．本题选择C 选项．12．偶函数()f x 定义域为00,22ππ⎛⎫⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，，其导函数是()'f x ．当02x π<<时，有()()'c o s s i n0f x x f x x +<，则关于x 的不等式()cos 4f x x π⎛⎫⎪⎝⎭的解集为（ ）A ．,42ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．,,2442ππππ⎛⎫⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭C ．,00,44ππ⎛⎫⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭D ．,0,442πππ⎛⎫⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭【答案】C 【解析】令()()cos f x F x x=，则()()()2cos sin cos f x x f x xF x x'+'=，当02x π<<时，有()()cos sin 0f x x f x x '+<，则()0F x '<， 又()()()()()cos cos f x f x F x F x x x--===-，∴()F x 为偶函数，()F x ∴在02π⎛⎫- ⎪⎝⎭，上单调递增，在02π⎡⎫⎪⎢⎣⎭，上单调递减， 则()cos 4f x x π⎛⎫> ⎪⎝⎭，当00,22x ππ⎛⎫⎛⎫∈- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，时，cos 0x >，即()4cos cos 4f f x x π⎛⎫⎪⎝⎭>π， 4x π<且0x ≠，故04x π-<<或04x π<<，故选C ．第Ⅱ卷二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．13．设a ∈R ，若复数(1i)(+i)a +在复平面内对应的点位于实轴上，则a =__________． 【答案】-1【解析】复数(1i)(+i)=(1)+(+1)a a a +-，因为该复数在复平面内对应的点在数轴上，所以10a +=．故1a =-．14．观察下列各式：1a b +=，223a b +=，334a b +=，447a b +=，5511a b +=，…，则1111a b +=_________．【答案】199【解析】通过观察发现，从第三项起，等式右边的常数分别为其前两项等式右边的常数的和，因此6618a b +=，7729a b +=，8847a b +=，9976a b +=,1010123a b +=，1111199a b +=，故答案为199．15．记()f x 在n ，且()f x 在[]m n ππ，（m n <）上单调递增，则实数m 的最小值是__________． 【答案】2312266k θππ⨯+-=π，又0θ-π<<，得6θπ=-，2n =，又222232k x k πππ-+π-+π≤≤，得单调递增区间为5,1212k k ππ⎡⎤-+π+π⎢⎥⎣⎦，由题意，当2k =时，2312m =．16．已知点P 是双曲线C , 2F 是双曲线的右焦点，且双曲线的一条渐近线恰是线段2PF 的中垂线,则该双曲线的离心率是________．【解析】由题意可设直线2PF 的方程为()a y x c b=-+，设直线2PF 与渐近线的交点为M ，联立2,a ab M c c ⎛⎫-- ⎪⎝⎭． ∵M 是2PF 的中点，∴222,a ab P c c c ⎛⎫-+- ⎪⎝⎭，∵点P 在双曲线C 上，∴()2222222222222222241a ab c c a c a b c a b a c c b⎛⎫⎛⎫-+- ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭-=-=，即4225c a c =，∴e =三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23为选考题，考生根据要求作答． （一）必考题：60分，每个试题12分．17．已知ABC △的内角A ，B ，C 满足sin sin sin sin sin sin sin sin A B C BC A B C -+=+-． （1）求角A ；（2）若ABC △的外接圆半径为1，求ABC △的面积S 的最大值． 【答案】【解析】（1）设内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ．根据sin sin sin sin sin sin sin sin A B C BC A B C -+=+-， 可得222a b c b a b c bc c a b c-+=⇒=+-+-，·········3分 所以2221cos 222b c a bc A bc bc +-===， 又因为0A <<π，所以3A π=．·········6分 （2）22sin 2sin sin 3a R a R A A π=⇒===·········8分 所以2232b c bc bc bc bc =+--=≥，·········10分所以11sin 32224S bc A =⨯⨯=≤（b c =时取等号）．·········12分18．某海产品经销商调查发现，该海产品每售出1吨可获利0.4万元，每积压1吨则亏损0.3万元．根据往年的数据，得到年需求量的频率分布直方图如图所示，将频率视为概率．（1）请补齐[]90,100上的频率分布直方图，并依据该图估计年需求量的平均数；（2）今年该经销商欲进货100吨，以x （单位：吨，[]60,110x ∈）表示今年的年需求量，以y （单位：万元）表示今年销售的利润，试将y 表示为x 的函数解析式；并求今年的年利润不少于27.4万元的概率．【答案】（1）86.5x =；（2）今年获利不少于27.4万元的概率为0.7． 【解析】（1）·········3分解：设年需求量平均数为x ，则650.05750.15850.5950.21050.186.5x =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=，·····6分 （2）设今年的年需求量为x 吨、年获利为y 万元， 当0100x ≤≤时，()0.40.31000.730y x x x =-⨯-=-， 当100x >时，40y =，故0.730,6010040,100110x xyx-⎧=⎨<⎩≤≤≤，·········8分0.73027.4x-≥，则82x≥，40.50.45⨯=，(90100)0.2P x<=≤，()1001100.1P x=≤≤，·········10分()82(8290)(90100)(100110)P x P x P x P x=<+<+<≥≤≤≤0.40.20.10.7=++=．所以今年获利不少于27.4万元的概率为0.7．·········12分19．已知空间几何体ABCDE中，BCD△与CDE△均为边长为2的等边三角形，ABC△为腰长为3的等腰三角形，平面CDE⊥平面BCD，平面ABC⊥平面BCD．（1）试在平面BCD内作一条直线，使得直线上任意一点F与E的连线EF均与平面ABC平行，并给出详细证明；（2）求三棱锥E ABC-的体积．【答案】(1)见解析；（2）3．【解析】（1）如图所示，取DC中点N，取BD中点M，连结MN，则MN即为所求．证明：取BC 中点H ，连结AH ，∵ABC △为腰长为3的等腰三角形，H 为BC 中点， ∴AH BC ⊥，又平面ABC ⊥平面BCD ，平面ABC 平面BCD BC =，AH ⊂平面ABC ，∴AH ⊥平面BCD ，同理，可证EN ⊥平面BCD ，·········2分 ∴EN AH ∥，∵EN ⊄平面ABC ，AH ⊂平面ABC ， ∴EN ∥平面ABC ．·········3分 又M ，N 分别为BD ，DC 中点， ∴MN BC ∥，∵MN ⊄平面ABC ，BC ⊂平面ABC ， ∴MN ∥平面ABC ．·········4分 又MNEN N =，MN ⊂平面EMN ，EN ⊂平面EMN ，∴平面EMN ∥平面ABC ，·········5分又EF ⊂平面EMN ，∴EF ∥平面ABC ．·········6分 （2）连结DH ，取CH 中点G ，连结NG ，则NG DH ∥， 由（1）可知EN ∥平面ABC ，所以点E 到平面ABC 的距离与点N 到平面ABC 的距离相等． 又BCD △是边长为2的等边三角形，∴DH BC ⊥，又平面ABC ⊥平面BCD ，平面ABC 平面BCD BC =，DH ⊂平面BCD ，∴DH ⊥平面ABC ，∴NG ⊥平面ABC ，·········9分∴DH =N 为CD中点，∴NG =， 又3AC AB ==，2BC =，∴12ABC S BC AH =⋅⋅=△．·········10分∴E ABC N ABC V V --=13ABC S NG =⋅⋅=△．·········12分20．已知椭圆C右焦点分别为1F ，2F ，B 为椭圆的上顶点，12BF F △A 为椭圆的右顶点．（1）求椭圆C 的方程；（2）若直线l ：y kx m =+与椭圆C 相交于,M N 两点（M ，N 不是左、右顶点），且满足MA NA ⊥，试问：直线l 是否过定点？若过定点，求出该定点的坐标，否则说明理由．【答案】(1)22143x y +=；（2）直线l 过定点，定点坐标为207⎛⎫ ⎪⎝⎭，． 【解析】（1∴2224a b c =+=，∴椭圆的标准方程为22143x y +=．·········4分（2）设()11M x y ，，()22N x y ，，()()222348430k x mkx m +++-=，()()222264163430m k k m ∆=-+->，22340k m +->即，········6分 又()()()()22221212121223434m k y y kx m kx m k x x mk x x m k -=++=+++=+，因为椭圆的右顶点为()2,0A ， ∴1MA NA k k =-⋅，即1212·122y yx x =---，·········7分 ∴()121212240y y x x x x +-++=， ∴()()22222234431640343434m k mmkk k k --+++=+++，∴2271640m mk k ++=．·········10分 解得：12m k =-，227km =-，且均满足22340k m +->，·········11分 当12m k =-时，l 的方程为()2y k x =-，直线过定点()20，，与已知矛盾； 当227k m =-时，l 的方程为27y k x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，直线过定点207⎛⎫⎪⎝⎭，． 所以，直线l 过定点，定点坐标为207⎛⎫⎪⎝⎭，．·········12分 21．已知函数()4ln 1f x a x ax =--． （1）若0a ≠，讨论函数()f x 的单调性；（2）若函数()()1f x ax x >+在()0,+∞上恒成立，求实数a 的取值范围．【答案】(1)见解析(2)1,3⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭【解析】（1）依题意，()()44a x af x a x x-=-='， 若0a >，则函数()f x 在()0,4上单调递增，在()4,+∞上单调递减；若0a <，则函数()f x 在()0,4上单调递减，在()4,+∞上单调递增；·········5分 （2）因为()()1f x ax x >+，故24ln 210a x ax ax --->，① 当0a =时，显然①不成立；·········6分当0a >时，①化为：214ln 2x x x a <--；② 当0a <时，①化为：214ln 2x x x a>--；③·········7分令()24ln 2(0)h x x x x x =-->，则()()()2212422422x x x x h x x x x x-++-=--=--'=， (8)分∴当()0,1x ∈时，()()0,1,h x x ∈'>+∞时，()0h x '<，故()h x 在()0,1是增函数，在()1,+∞是减函数，()()max 13h x h ∴==-，····10分13a <-， ∴所求a 的取值范围是1,3⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭．·········12分（二）选考题（共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答．如果多做，则按所做第一题计分）22．在直角坐标系xOy 中，曲线Cα为参数），以该直角坐标系的原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l 的极坐标方程为s i n c o s 0m θρθ-+=．（1）写出曲线C 的普通方程和直线l 的直角坐标方程；（2）设点(),0P m ，直线l 与曲线C 相交于A ，B 两点，且1PA PB =，求实数m 的值． 【答案】（1）曲线C 的普通方程为()2212x y -+=，直线l的直角坐标方程为)y x m =-；（2）1m =±0m =或2m =．【解析】（1故曲线C 的普通方程为()2212x y -+=．直线l)x m y x m -+⇒=-．·········5分 （2）直线lt 为参数）． 设A ，B 两点对应的参数分别为1t ，2t ，将直线l 的参数方程代入曲线C 的普通方程()2212x y -+=，可以得到2221122m t t ⎛⎫⎛⎫-+= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭)()21120m t m -+--=， 所以()212121PA PB t t m ==--=2211m m ⇒--=2220m m ⇒-==或220m m -=，解得1m =±0m =或2m =．·········10分 23．已知0a >，0b >，且222a b +=． （1）若2214211x x a b +≥---恒成立，求x 的取值范围； （2【答案】（1（2）见解析．【解析】（1）设,1121132, 1 21,2x x y x x x x x x ⎧⎪⎪⎪=---=-<⎨⎪⎪-<⎪⎩≥≤，由222a b +=，得()22112a b +=．·5分（2）()5511a b a b ⎛⎫++ ⎪⎝⎭5544b a a b a b =+++()55222222ba ab a b a b=+++-另解：由柯西不等式，可得·······10分。
2018年普通高等学校招生全国统一考试临考冲刺卷(十)文科数学试卷
普通高等学校2018年招生全国统一考试临考冲刺卷(十)文科数学注意事项：1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。
2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
3．非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
4．考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。
第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合{}2,1,0,1,2A =--，2{|4}B x x =≥，则下图中阴影部分所表示的集合为（ ）A ．{}2,1,0,1--B ．{}0C ．{}1,0-D ．{}1,0,1- 【答案】D【解析】求解二次不等式可得：{}|22B x x x =-≥或≤，则{}|22B x x =-<<R ð， 由Venn 图可知图中阴影部分为：(){}1,0,1R AB =-ð． 本题选择D 选项．2．已知函数()f x =()4log f a =a 的值为（ ）A ．13B ．14C ．12D ．2【答案】B【解析】()4log f a ===，即11212,4,4a a a --===． 3．已知向量()2,1=a ,(),1x =b ，若+a b 与-a b 共线,则实数x 的值是（ ）A ．2-B ．２C ．2±D ．４【答案】B 【解析】由()2,1=a ，(),1x =b ，则()2,2x +=+a b ，()2,0x -=-a b ， 因为+a b 与-a b 共线，所以()()2022x x +⨯=-，解得2x =，故选B ． 4．2倍（纵坐标不变），） ABCD【答案】B 【解析】函数πsin 4y x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭经伸长变换得1πsin 24y x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，再作平移变换得1ππsin 264y x ⎡⎤⎛⎫=-- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦1πsin 23x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，故选：B ． 5．《孙子算经》是我国古代的数学名著，书中有如下问题：“今有五等诸侯，共分橘子六十颗，人别加三颗．问：五人各得几何？”其意思为：“有5个人分60个橘子，他们分得的橘子个数成公差为3的等差数列，问5人各得多少橘子．”根据这个问题，有下列3个说法：①得到橘子最多的人所得的橘子个数是15；②得到橘子最少的人所得的橘子个数是6；③得到橘子第三多的人所得的橘子个数是12．其中说法正确的个数是（ ）A ．0B ．1C ．2D ．3 【答案】C。
普通高等学校2018年招生全国统一考试临考冲刺卷(二)数学(文)含解析
普通高等学校2018年招生全国统一考试临考冲刺卷高三文科数学（二）注意事项：1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。
2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
3．非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
4．考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。
第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合1=1A x x ⎧⎫<⎨⎬⎩⎭，{}2=4B x y x =，则A B =（ ） A ．(),1-∞ B ．()1,+∞ C ．()0,1 D ．()0,+∞【答案】B2．若复数z 满足()2i 17i z +=+，则z =（ ）A B ．C D ．2【答案】A3．阅读程序框图，该算法的功能是输出（ ）A ．数列{}21n -的第4项B ．数列{}21n -的第5项C ．数列{}21n -的前4项的和 D ．数列{}21n -的前5项的和【答案】B4．在ABC △中，AD AB ⊥，33CD DB ==，1AD =，则=AC AD ⋅（ ） A ．1 B ．2C ．3D ．4【答案】D5．七巧板是我国古代劳动人民的发明之一，被誉为“东方模板”，它是由五块等腰直角三角形、一块正方形和一块平行四边形共七块板组成的．如图是一个用七巧板拼成的正方形，若在此正方形中任取一点，则此点取自黑色部分的概率为（ ）A ．932B ．516C ．38D ．716【答案】C6．已知n S 是等差数列{}n a 的前n 项和，则“n n S na <对2n ≥恒成立”是“数列{}n a 为递增数列”的（ ） A ．充分必要条件B ．充分而不必要条件C ．必要而不充分条件D ．既不充分也不必条件【答案】A7．将标号为1，2，…，20的20张卡片放入下列表格中，一个格放入一张卡片，选出每列标号最小的卡片，将这些卡片中标号最大的数设为a ；选出每行标号最大的卡片，将这些卡片中标号最小的数设为b ．甲同学认为a 有可能比大，乙同学认为和有可能相等，那么甲乙两位同学的说法中（ ） A ．甲对乙不对 B ．乙对甲不对C ．甲乙都对D ．甲乙都不对【答案】B8．某几何体的三视图如图所示，记A 为此几何体所有棱的长度构成的集合，则（ ）A ．3A ∈B ．5A ∈C ．AD ．A【答案】D 9．已知函数()1cos f x x x=+，下列说法中正确的个数为（ ） ①()f x 在0,2π⎛⎫⎪⎝⎭上是减函数； ②()f x 在()0,π上的最小值是2π； ③()f x 在()0,π2上有两个零点． A ．0个 B ．1个C ．2个D ．3个【答案】C10．已知A ，B ，C ，D 4AC BD ==，AD BC ==AB CD =，则三棱锥D ABC -的体积是（ ）A ．B ．C ．D【答案】C11．已知函数()2ln xf x a x x a =+-，()01a a >且≠，对任意的1x ，[]20,1x ∈，不等式()()122f x f x a -≤-恒成立，则a 的取值范围为（ ）A ．)2e ,⎡+∞⎣B ．[)e,+∞C ．[]2,eD ．2e,e ⎡⎤⎣⎦【答案】A12．已知S 为双曲线()222210,0x y a b a b-=>>上的任意一点，过S 分别引其渐近线的平行线，分别交x 轴于点M ，N ，交y 轴于点P ，Q ，若()118OP OQ OM ON ⎛⎫+⋅+≥ ⎪ ⎪⎝⎭恒成立，则双曲线离心率e 的取值范围为（ ）A．(B．)+∞C．(D．)+∞【答案】B第Ⅱ卷二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．13．已知实数x ，y 满足：1310x y x y +≥⎧⎪≤⎨⎪-≥⎩，则3x y +的最大值为_______．【答案】1314．设函数()22,1lg ,1x x x f x x x ⎧+-≤=⎨->⎩，则()()4f f -=_______．【答案】1-15．抛物线28y x =的焦点为F ，弦AB 过F ，原点为O ，抛物线准线与x 轴交于点C ，2π3OFA ∠=，则tan ACB ∠=_______．【答案】16．设有四个数的数列1a ，2a ，3a ，4a ，前三个数构成一个等比数列，其和为k ，后三个数构成一个等差数列，其和为15，且公差非零．对于任意固定的实数k ，若满足条件的数列个数大于1，则k 的取值范围为_______． 【答案】()()15,55,1515,4⎛⎫+∞⎪⎝⎭三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．（12分）在ABC △中，角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c，且()cos 2cos C b A =．（1）求角A 的大小；（2）若2a =，求ABC △面积的最大值． 【答案】（1）6A π=；（2）2+． 【解析】（1cos 2sin cos cos A C B A C A =，()2sin cos A C B A +=2sin cos B B A =，又B 为三角形内角，所以sin 0B ≠，于是cos A = 又A 为三角形内角，所以6A π=．（2）由余弦定理：2222cos a b c bc A =+-得：22422b c bc =+-≥，所以(42bc ≤+，所以1sin 22S bc A ==． 18．（12分）在2018年3月郑州第二次模拟考试中，某校共有100名文科学生参加考试，其中语文考试成绩低于130的占95%人，数学成绩的频率分布直方图如图：（1）如果成绩不低于130的为特别优秀，这100名学生中本次考试语文、数学成绩特别优秀的大约各多少人？（2）如果语文和数学两科都特别优秀的共有3人．①从（1）中的这些同学中随机抽取2人，求这两人两科成绩都优秀的概率．②根据以上数据，完成22⨯列联表，并分析是否有99%的把握认为语文特别优秀的同学，数学也特别优秀．【答案】（1）5人，4人；①15，②是．【解析】（1）我校共有100名文科学生参加考试，其中语文考试成绩低于130的有95%人，语文成绩特别优秀的概率为1=10.95=0.05P -，语文特别优秀的同学有1000.05=5⨯人，数学成绩特别优秀的概率为2=0.00220=0.04P ⨯，数学特别优秀的同学有1000.04=4⨯人． ①语文数学两科都特别优秀的有3人，单科特别优秀的有3人，记两科都特别优秀的3人分别为1A ，2A ，3A ，单科特别优秀的3人分别为1B ，2B ，3B ，从中随机抽取2人，共有：()12A A ,，()13,A A ，()23,A A ，()12,B B ，()13,B B ，()23,B B ，()11,A B ，()12,A B ，()13,A B ，()21,A B ，()22,A B ，()23,A B ，()31,A B ，()32,A B ，()33,A B 共15种，其中这两人成绩都特别优秀的有()12,A A ，()13,A A ，()23,A A 这3种，则这两人两科成绩都特别优秀的概率为：31=155P =． ②，()2210039412245042.982 6.63549659557k ⨯⨯-⨯∴==≈>⨯⨯⨯，∴有99%的把握认为语文特别优秀的同学，数学也特别优秀．19．（12分）如图，四棱锥E ABCD -中，AD BC ∥，112AD AB AE BC ====且BC ⊥底面ABE ，M 为棱CE 的中点． （1）求证：直线DM ⊥平面CBE ；（2）当四面体D ABE -的体积最大时，求四棱锥E ABCD -的体积．【答案】（1）见解析；（2）12． 【解析】（1）因为AE AB =，设N 为EB 的中点，所以AN EB ⊥， 又BC ⊥平面AEB ，AN ⊂平面AEB ，所以BC AN ⊥，又BCBE B =，所以AN ⊥平面BCE ，又DM AN ∥，所以DM ⊥平面BCE ． （2）AE CD ⊥，设=EAB θ∠，=1AD AB AE ==，则四面体D ABE -的体积111sin sin 326V AE AB AD θθ=⨯⨯⋅⋅⋅=， 当90θ=︒，即AE AB ⊥时体积最大，又BC ⊥平面AEB ，AE ⊂平面AEB ，所以AE BC ⊥，因为BC AB B =，所以AE ⊥平面ABC ，()1111211322E ABCD V -=⨯⨯+⨯⨯=．20．（12分）已知动点(),M x y=（1）求动点M 的轨迹E 的方程；（2）设A ，B 是轨迹E 上的两个动点，线段AB 的中点N 在直线1:2l x =-上，线段AB 的中垂线与E 交于P ，Q 两点，是否存在点N ，使以PQ 为直径的圆经过点()1,0，若存在，求出N 点坐标，若不存在，请说明理由．【答案】（1）2212x y +=；（2）1,2N ⎛- ⎝⎭． 【解析】（1）2212x y +=． （2）当直线AB 垂直于x 轴时，直线AB 方程为12x =-， 此时()P ，)Q，221F P F Q ⋅=-，不合题意；当直线AB 不垂直于x 轴时，设存在点()1,02N m m ⎛⎫-≠ ⎪⎝⎭，直线AB 的斜率为k ， ()11,A x y ，()22,B x y ，由221122221212x y x y ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩得：()()1212121220y y x x y y x x ⎛⎫-+++⋅= ⎪-⎝⎭，则140mk -+=， 故14k m=，此时，直线PQ 斜率为14k m =-，PQ 的直线方程为142y m m x ⎛⎫-=-+ ⎪⎝⎭，即4y mx m =--，联立22412y mx mx y =--⎧⎪⎨+=⎪⎩消去y ，整理得：()222232116220m x m x m +++-=，所以212216321m x x m +=-+，212222321m x x m -⋅=+， 由题意220F P F Q ⋅=，于是()()()()()22121212121211144F P F Q x x y y x x x x mx m mx m ⋅=--+=⋅-+++++()()()2221212116411m x x m x x m =+⋅+-+++ ()()()()()()22222222211622411619110321321321m m m m m m m m m +----=+++==+++，19m ∴=±，因为N 在椭圆内，278m ∴<，19m ∴=±符合条件， 综上所述，存在两点N符合条件，坐标为1,219N ⎛⎫-± ⎪ ⎪⎝⎭． 21．（12分）已知函数()ln f x ax x x =-在2e x -=处取得极值． （1）求实数a 的值；（2）设()()()21ln F x x x x f x a =+-++，若()F x 存在两个相异零点1x ，2x ，求证：122x x +>．【答案】（1）1a =-；（2）见解析．【解析】（1）因为()ln f x ax x x =-，所以()ln 1f x a x '=--，因为函数()f x 在2e x -=处取得极大值，所以()2e 0f -'=，即()22e ln e 10f a --'=--=， 所以1a =-，此时()ln 2f x x '=--，经检验，()f x 在()20,e -上单调递增，在()2e ,-+∞单调递减， 所以()f x 在2e x -=处取得极大值，符合题意，所以1a =-．（2）由（1）知：函数()()()21ln F x x x x f x a =+-++，函数()F x 图像与x 轴交于两个不同的点()1,0C x ，()2,0D x ，()12x x <，为函数()2ln 1F x x x x =---的零点，令()()()212112121x x x x F x x x x x-+--'=--==， ()F x ∴在()0,1单调递减，在()1,+∞单调递增且()110F =-<，1x ∴，()21,x ∈+∞，欲证：122x x +>，即证：212x x >-，即证()()212F x F x >-，即证()()112F x F x >-， 构造函数()()()()()20,1x F x F x x ϕ=--∈，()()()22102x x x x ϕ--'=<-，()()10x ϕϕ∴>=，得证．请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分． 22．（10分）选修4-4：坐标系与参数方程 在平面直角坐标系xoy 中，直线l 的参数方程为cos 1sin x t y t αα=⎧⎨=+⎩（t 为参数，0α≤<π）．以坐标原点O 为极点，以x 轴正半轴为极轴，建立极坐标系，已知曲线C 的极坐标方程为：2cos 4sin ρθθ=．（1）求直线l 的普通方程与曲线C 的直角坐标方程；（2）设直线l 与曲线C 交于不同的两点A ，B ，若8AB =，求a 的值．【答案】（1）sin cos cos 0x y ααα⋅-⋅+=，24x y =；（2）4απ=或34π． 【解析】（1）直线l 普通方程为sin cos cos 0x y ααα⋅-⋅+=，曲线C 的极坐标方程为2cos 4sin ρθθ=，cos x ρθ=，sin y ρθ=，则22cos 4sin ρθρθ=，24x y ∴=即为曲线C 的普通方程．（2）将cos 1sin x t y t αα=⎧⎨=+⎩（t 为参数，0απ≤<）代入曲线2:4C x y =，22cos 4sin 40t t αα∴⋅-⋅-=，1224sin cos t t αα∴+=，1224cos t t α-⋅=，128AB t t =-===，cos 2α∴=±4απ∴=或34π．23．（10分）选修4-5：不等式选讲已知0a >，0b >，函数()2f x x a x b =++-的最小值为1． （1）证明：22a b +=；（2）若2a b tab +≥恒成立，求实数t 的最大值． 【答案】（1）见解析；（2）92． 【解析】（1）证明：2b a -<，()3,,23,2x a b x a b f x x a b a x b x a b x ⎧⎪--+<-⎪⎪∴=-++-≤≤⎨⎪⎪+->⎪⎩，显然()f x 在,2b ⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭上单调递减，在,2b ⎛⎫+∞⎪⎝⎭上单调递增，所以()f x 的最小值为122b b f a ⎛⎫=+= ⎪⎝⎭，即22a b +=．（2）因为2a b tab +≥恒成立，所以2a bt ab+≥恒成立， ()212112122925+222a b a b a b ab b a b a b a +⎛⎫⎛⎫≥+=++=+≥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 当且仅当23a b ==时，2a b ab +取得最小值92， 所以92t ≤，即实数t 的最大值为92．。
2018年普通高等学校招生全国统一考试高考数学临考冲刺卷七理2-解析版 师生通用
普通高等学校2018年招生全国统一考试临考冲刺卷(七)理科数学注意事项：1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。
2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
3．非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
4．考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。
第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．设集合102x A x x ⎧⎫+=⎨⎬-⎩⎭≥，{}1,0,1,2B =-，则A B =（ ）A ．{}1,0,1-B ．{}0,1,2C ．{}1,0,1,2-D ．{}1,2【答案】A【解析】由题意得{}110=01222x x A x x x x x x ⎧⎫⎧⎫++==-<⎨⎬⎨⎬--⎩⎭⎩⎭≥≤≤，∴{}1,0,1A B =-．选A ．2．已知甲、乙两组数据的茎叶图如图所示，若它们的中位数相同，则甲组数据的平均数为（ ）A ．30B ．31C ．32D ．33【答案】B【解析】阅读茎叶图可知乙组的中位数为：3234332+=，结合题意可知：甲组的中位数为33，即3m =，则甲组数据的平均数为：243336313++=．本题选择B 选项． 3．设x ，y 满足约束条件010 30y x y x y -++⎧⎪⎨⎪-⎩≥≥≤，则43z x y =-的最大值为（ ） A ．3 B ．9C ．12D ．15【答案】C【解析】所以，过()3,0时，43z x y =-取得最大值为12．故选C ．4．一个四面体的三视图如图所示，则该四面体的体积是（ ）A ．12B ．13C ．23D ．1【答案】B【解析】根据题意得到原图是底面为等腰直角三角形，高为1的三棱锥，故得到体积为：B ． 5．已知各项都为正数的等比数列{}n a ，满足3122a a a =+，若存在两项m a ，n a，使得14a =，则14m n+的最小值为（ ）A ．2B ．32C ．13D ．1【答案】B【解析】正项等比数列{}n a 满足：3122a a a =+，可得21112a q a a q =+，即220q q --=，2q ∴=，m n a a =，2116m n a a a ∴=，()()1121112216m n a a a --∴⋅⋅⋅=，22211216m n a a +-∴⋅=，6m n ∴+=，()141146m n m n m n ⎛⎫∴+=++ ⎪⎝⎭，当且仅当4n m m n =时，等号成立，故14m n +的最小值为32，故选B ． 6．函数()22111222x x f x +-⎛⎫⎛⎫=+-⎪⎪⎝⎭⎝⎭的图象大致为（ ） A ． B ．C ．D ．【答案】C【解析】()()2222111111222222x x x x f x f x -+---+⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=+-=+-= ⎪⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，所以函数是偶函数，关于y 轴对称，排除A 、D ，当2x =B ，故选C ．7．已知函数()()sin 2(0,0)f x A x A ϕϕ=+><<π的图象经过点当()2f x a =a 的取值范围是（ ）A ．⎤⎦B ．12⎡⎢⎣C ．[]1,2D ．⎣【答案】D【解析】0ϕ<<π，6ϕπ∴=，又点在函数图象上，，3A =，0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，72,666x πππ⎡⎤∴+∈⎢⎥⎣⎦，当方程()2f x a =两个不等的实根时，已知函数()y f x =的图象与直线()2f x a =a <D ． 8．习总书记在十九大报告中指出：坚定文化自信，推动社会主义文化繁荣兴盛．如图，“大衍数列”：0,2,4,8,12来源于《乾坤谱》中对《易传》“大衍之数五十”的推论，主要用于解释中国传统文化中的太极衍生过程中曾经经历过的两仪数量总和．下图是求大衍数列前n 项和的程序框图．执行该程序框图，输入8m =，则输出的S =（ ）A ．44B ．68C ．100D ．140【答案】C【解析】第1次运行，1n =，2102n a -==，000S =+=，不符合n m ≥，继续运行； 第2次运行，22,2,0222n n a S ====+=，不符合n m ≥，继续运行；第3次运行，213,4,4262n n a S -====+=，不符合n m ≥，继续运行； 第4次运行，24,8,86142n n a S ====+=，不符合n m ≥，继续运行； 第5次运行，215,12,1412262n n a S -====+=，不符合n m ≥，继续运行； 第6次运行，26,18,2618442n n a S ====+=，不符合n m ≥，继续运行； 第7次运行，217,24,2444682n n a S -====+=，不符合n m ≥，继续运行； 第8次运行，28,32,68321002n n a S ====+=，符合n m ≥，退出运行，输出100S =； 故选C ．9．设数列{}n a 的前n 项和为n S ，121n n a a n ++=+，且1350n S =．若22a <，则n 的最大值为（ ） A ．51 B ．52C ．53D ．54【答案】A【解析】若n 为偶数，则()()()12341n n n S a a a a a a -=++++++()()12112312112n n n +=⨯++⨯++-+=，5012751350S =<，5217381350S =>，所以这样的偶数不存在，若n 为奇数， 则()()()123451n n n S a a a a a a a -=+++++++()1221241211a n =+⨯++⨯++-+()()()()122121322n n n n a a+-+-=+=-+，若5121301.51350S a =-=，则当248.52a =-<时成立，若5321405.51350S a =-=，则当255.52a =>不成立，故选A ．10．若自然数n 使得作竖式加法()()12n n n ++++均不产生进位现象，则称n 为“开心数”．例如：32是“开心数”．因323334++不产生进位现象；23不是“开心数”，因232425++产生进位现象，那么，小于100的“开心数”的个数为（ ）A ．9B ．10C ．11D ．12【答案】D【解析】根据题意个位数需要满足要求：∵()()1210n n n ++++<，即23n <．，∴个位数可取0，1，2三个数，∵十位数需要满足：310n <，∴33n <．，∴十位可以取0，1，2，3四个数，故小于100的“开心数”共有3×4=12个．故选：D ．11．已知函数2ln y a =+P ，函数22y x =--的图象上存在点Q ，且P ，Q 关于原点对称，则a 的取值范围是（ ）A ．)2e ,⎡+∞⎣ B C D ．23,e ⎡⎤⎣⎦【答案】D【解析】函数22y x =--的图象与函数22y x =+的图象关于原点对称，若函数2ln y a x =+）的图象上存在点P ，函数22y x =--的图象上存在点Q ，且P ，Q 关于原点对称，则函数2ln y a x =+（1,e ex ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦）的图象与函数22y x =+的图象有交点，即方程22ln 2a x x +=+（1,x e e ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦）有解，即222ln a x x =+-（1,e e x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦）有解，令()222ln f x x x =+-，()0f x '＜，当(]1e x ∈，时，()0f x '＞，故当1x =时，()f x 取最小值3，由2114e ef ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，()2e e f =，故当e x =时，()f x 取最大值2e ，故23e a ⎡⎤∈⎣⎦，，故选：D ．12．如图，各棱长均为1的正三棱柱111ABC A B C -，M ，N 分别为线段1A B ，1B C 上的动点，若点M ，N 所在直线与平面11ACC A 不相交，点O 为MN 中点，则O 点的轨迹的长度是（ ）A．2BC ．1 D【答案】B 【解析】由题意，点M ，N 所在直线与平面11ACC A 不相交，则MN ∥平面11ACC A ，过M 作1MQ AA ∥交AB于Q ，过Q 作QH AC ∥，连结NH ，得1NH BB ∥，11BB AA ∥，NH MQ ∥，则平面MQHN ∥平面11ACC A ，则MN ∥平面11ACC A ，因为M 为线段1A B 上的动点，所以这样的MN 有无数条，其中MN 中点O 的轨迹的长度等于底面正ABC △B ． 第Ⅱ卷二、填空题：本大题共4小题，每小题5分． 13，其中i 为虚数单位，则复数z 的实部为_________． 【答案】32-z 的实部为32-． 14．已知圆Ω过点()5,1A ，()5,3B ，()1,1C -，则圆Ω的圆心到直线l ：210x y -+=的距离为__________．【解析】由题知，圆心坐标为()2,2，则5d ==． 15．在锐角ABC △中，内角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，若2C B =，则cb的取值范围是________．【答案】【解析】因为2C B =，所以sin sin22sin cos C B B B ==，2cos c b B ∴=，2cos cB b=，因为锐角ABC △，所以02B π<<，022C B π<=<，032A CB B π<=π--=π-<，64B ππ∴<<，cos B ∴∈⎝⎭，c b ∈．16．已知抛物线2:2(0)C y px p =>的焦点为F ，点(0M x 0()2px>是抛物线C 上一点，以M 为圆心的圆与线段MF 相交于点A ，且被直线2px =MA ，若2MA AF=，则AF =_______．【答案】1【解析】将M 点坐标代入抛物线方程得082px =，解得04x p =，即4,M p ⎛ ⎝，MF =，由于MA 为圆的半径，而DE MA =，所以2π3D ME ∠=，π6BDM ∠=，故411223p M BMA M F p -===，即42p p -=412pp -=，解得2p =，故3MF =，113AF MF ==．三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23为选考题，考生根据要求作答． （一）必考题：60分，每个试题12分． 17．已知cos m ⎛= ，3sin n ⎛= ，设函数()f x m n =⋅． （1）求函数()f x 的单调增区间；（2）设ABC △的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且a ，b ，c 成等比数列，求()f B 的取值范围．【答案】（1，k ∈Z ；（2）11,2⎛⎤ ⎥ ⎝⎦． 【解析】（1cos m n ⎛⎫=⋅= ⎪⎭3sin 4⎛ ⎝·····3分，k ∈Z ， 所以函数()f x ，k ∈Z ．·······6分（2）由2b ac =a c =时取等号），·······8分所以03B π<≤，6263B πππ<+≤，()112f B <，综上()f B 的取值范围为⎛⎝⎦．·······12分 18．过大年，吃水饺”是我国不少地方过春节的一大习俗．2018年春节前夕，A 市某质检部门随机抽取了100包某种品牌的速冻水饺，检测其某项质量指标，（1）求所抽取的100包速冻水饺该项质量指标值的样本平均数x （同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）；（2）①由直方图可以认为，速冻水饺的该项质量指标值Z 服从正态分布()2,N μσ，利用该正态分布，求Z 落在()14.55,38.45内的概率；②将频率视为概率，若某人从某超市购买了4包这种品牌的速冻水饺，记这4包速冻水饺中这种质量指标值位于()10,30内的包数为X ，求X 的分布列和数学期望．附：①计算得所抽查的这100包速冻水饺的质量指标的标准差为11.95σ=≈； ②若()2~,Z N μσ，则()P Z μσμσ-<+=≤，(22)0.9544P Z μσμσ-<+=≤．【答案】（1）26.5x =（2）0.6826（3）X 的分布列为∴()2E X =．【解析】（1）所抽取的100包速冻水饺该项质量指标值的样本平均数x 为50.1150.2250.3350.25450.1526.5x =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=．·······3分（2）①∵Z 服从正态分布()2,N μσ，且26.5μ=，11.95σ≈，∴(14.5538.45)(26.511.9526.511.95)0.6826P Z P Z <<=-<<+=， ∴Z 落在()14.55,38.45内的概率是0.6826．·······3分 ②根据题意得1~4,2X B ⎛⎫ ⎪⎝⎭， ()404110216P X C ⎛⎫=== ⎪⎝⎭；()41411124P X C ⎛⎫=== ⎪⎝⎭；()42413228P X C ⎛⎫=== ⎪⎝⎭；()43411324P X C ⎛⎫=== ⎪⎝⎭；()444114216P X C ⎛⎫=== ⎪⎝⎭．·······11分 ∴X 的分布列为∴()422E X =⨯=．·······12分19．如图，矩形ABCD 中，6AB =，AD =F 是AC 上的动点．现将矩形ABCD沿着对角线AC 折成二面角D AC B '--，使得D B '=．（1）求证：当AF 时，D F BC '⊥；（2）试求CF 的长，使得二面角A D F B -'-【答案】（1）见解析；（2）CF = 【解析】解:（1）连结DF ，BF ．在矩形ABCD 6CD =，,60DAC ∠=︒．在ADF △中，∵AF ,2222cos 9DF DA AF DA AF DAC ∴=+-⋅⋅∠=，∵22293DF AF DA +=+=，DF AC ∴⊥，即D F AC '⊥．·······2分又在ABF △中，2222cos 21BF AB AF AB AF CAB =+-⋅⋅∠=，∴在D FB '△中，222223D F FB D B +='+=',BF D F ∴⊥',·······4分又AC FB F =,∴D F '⊥平面ABC ．·······5分 ∴D F BC '⊥．·······6分（2）解：在矩形ABCD 中，过D 作DE AC ⊥于O ，并延长交AB 于E ．沿着对角线AC 翻折后，由（1）可知，OE ，OC ，OD '两两垂直，以O 为原点，OE 的方向为x 轴的正方向建立空间直角坐标系O xyz -， 则()0,0,0O ，()1,0,0E ，()0,0,3D '，()3,B ，EO ⊥平面AD F ',()1,0,0OE ∴=为平面AD F '的一个法向量．·······7分设平面BD F '的法向量为(),,n x y z =，()0,,0F t (3,BD ∴=-'()3,BF t =--，由0, 0,n BD n BF ⋅=⋅=⎧'⎨⎩得30x --⎧⎪，取3,y =则x t =z t =，()n t t ∴=-．·······9分,OEOE⋅即2=, t ∴=·······11分 ∴当CF =A D FB -'-·······12分 20．对于椭圆()222210x y a b a b+=>>，有如下性质：若点()00,x y 是椭圆上的点，则椭圆在该点处的切线方程为00221x x y y a b +=．利用此结论解答下列问题．点31,2Q ⎛⎫⎪⎝⎭是椭圆2222C :1(0)x y a b a b+=>>上的点，并且椭圆在点Q 处的切线斜率为12-．（1）求椭圆C 的标准方程；（2）若动点P 在直线3x y +=上，经过点P 的直线m ，n 与椭圆C 相切，切点分别为M ，N ．求证：直线MN 必经过一定点．【答案】（1）22143x y +=（2）直线MN 必经过一定点4,13⎛⎫⎪⎝⎭【解析】（1）∵椭圆C 在点Q 处的切线方程为22312x ya b +=， 其斜率为222132b a -=-，∴2234a b =．·······1分 又点Q 在椭圆上， ∴221914a b+=．·······2分 解得24a =，23b =．∴椭圆C 的方程为22143x y +=；·······4分 （2）设()00,P x y ，()11,M x y ，()22,N x y ， 则切线11:143x x y y m +=，切线22:143x x y y n +=．·······6分 ∵,m n 都经过点P ，∴1010143x x y y +=，2020143x x y y +=． 即直线MN 的方程为00143x x y y+=．·······7分又003x y +=，·······8分∴()003143x yx x -+=， 即()03412120x y x y -+-=．·······10分令340, 12120,x y y =-=⎧⎨⎩-得4, 31.x y ⎧==⎪⎨⎪⎩∴直线MN 必经过一定点4,13⎛⎫⎪⎝⎭．·······12分 21．已知函数()ln f x x ax =+． （1）讨论函数()f x 的单调性；（2）当1a =时，函数()()12g x f x x m x=-+-有两个零点12x x 、，且12x x <． 求证：121x x +>．【答案】（1）见解析；（2）见解析． 【解析】（1'分①当0a ≥时，()f x 在()0,+∞上单调递增；·······2分 ②当0a <时，()f x 在10,a ⎛⎫-⎪⎝⎭上单调递增，在1,a ⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭上单调递减····4分 （2）当1a =时，()1ln 2g x x m x=+-， 由已知得：111ln 2x m x +=，221ln 2x m x +=，·······5分两式相减得：112121212211ln0222ln x x x x x x x x x x -+-=⇒⋅=，1211212ln x x x x x -∴=，2121212ln x x x x x -=，122112122lnx x x x x x x x -∴+=，·······8分令()120,1x t x =∈，设()12ln h t t t t =--，'()h t ∴在()0,1上单调递增，()()10h t h ∴<=，即12ln t t t -<，又ln 0t <，112ln t t t-∴>，121x x ∴+>·······12分（二）选考题（共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答．如果多做，则按所做第一题计分）22．选修4-4：坐标系与参数方程在平面直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为4cos 24sin x a y a=+=⎧⎨⎩（a 为参数），以O 为极点，x 轴的非负半轴为极轴的极坐标系中，直线l 的极坐标方程为()6θρπ=∈R ． （1）求曲线C 的极坐标方程；（2）设直线l 与曲线C 相交于,A B 两点，求AB 的值． 【答案】（1）24cos 120ρρθ--=；（2）6AB =．【解析】（1）将方程4cos 24sin x a y a=+=⎧⎨⎩消去参数a 得224120x y x +--=，∴曲线C 的普通方程为224120x y x +--=，·······12分 将222x y ρ+=，cos x ρθ=代入上式可得24cos 12ρρθ-=， ∴曲线C 的极坐标方程为：24cos 120ρρθ--=．·······5分 （2）设,A B 两点的极坐标方程分别为1,6ρπ⎛⎫ ⎪⎝⎭，2,6ρπ⎛⎫ ⎪⎝⎭， 由24cos 126ρρθθ-=π=⎧⎪⎨⎪⎩消去θ得2120ρ--=，·······7分 根据题意可得1ρ，2ρ是方程2120ρ--=的两根，∴12ρρ+=1212ρρ=-， ∴126AB ρρ=-=．·······10分23．选修4—5:不等式选讲已知(0)x y z ∈+∞，，，，3x y z ++＝． （1）求111x y z++的最小值 （2）证明：2223x y z ≤＋＋． 【答案】（1）3；（2）证明见解析．【解析】（1）因为0x y z ++>≥，1110x y z ++>， 所以()1119x y z x y z ⎛⎫++++⎪⎝⎭≥,即1113x y z ++≥，当且仅当1x y z ===时等号成立，此时111x y z++取得最小值3．·······5分 （2）222x y z ++()()()2222222223x y z x y y z z x ++++++++=()22223x y z xy yz zx +++++≥()233x y z ++==．·······10分。
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普通高等学校2018年招生全国统一考试临考冲刺卷(七)文科数学注意事项：1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。
2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
3．非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。
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4．考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。
第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．设集合102x A x x ⎧⎫+=⎨⎬-⎩⎭≥，{}1,0,1,2B =-，则A B =（ ）A ．{}1,0,1-B ．{}0,1,2C ．{}1,0,1,2-D ．{}1,2【答案】A【解析】由题意得{}110=01222x x A x x x x x x ⎧⎫⎧⎫++==-<⎨⎬⎨⎬--⎩⎭⎩⎭≥≤≤，∴{}1,0,1A B =-．选A ．2．已知甲、乙两组数据的茎叶图如图所示，若它们的中位数相同，则甲组数据的平均数为（ ）A ．30B ．31C ．32D ．33【答案】B【解析】阅读茎叶图可知乙组的中位数为：3234332+=，结合题意可知：甲组的中位数为33，即3m =，则甲组数据的平均数为：243336313++=．本题选择B 选项．3．设x ，y 满足约束条件010 30y x y x y -++⎧⎪⎨⎪-⎩≥≥≤，则43z x y =-的最大值为（ ）A ．3B ．9C ．12D ．15【答案】C【解析】所以，过()3,0时，43z x y =-取得最大值为12．故选C ．4．一个四面体的三视图如图所示，则该四面体的体积是（ ）A ．12B ．13C ．23D ．1【答案】B【解析】根据题意得到原图是底面为等腰直角三角形，高为1的三棱锥，故得到体积为：B ． 5．已知0a >，0b >，并且1a ，12，1b成等差数列，则9a b +的最小值为（ ）A ．16B ．9C ．5D ．4【答案】A 【解析】∵1a ，12，1b 成等差数列，∴111a b+=．9a b b a =且111a b +=，即4a =，43b =时等号成立．选A ． 6．函数()22111222x x f x +-⎛⎫⎛⎫=+-⎪⎪⎝⎭⎝⎭的图象大致为（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】C【解析】()()2222111111222222x x x x f x f x -+---+⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=+-=+-= ⎪⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，所以函数是偶函数，关于y 轴对称，排除A 、D ，当2x =()9B ，故选C ．712倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平()2:C y g x =，则()g x 在[],0-π上的单调递增区间是（ ）A B C D 【答案】B【解析】1k =-B ．8．习总书记在十九大报告中指出：坚定文化自信，推动社会主义文化繁荣兴盛．如图，“大衍数列”：0,2,4,8,12来源于《乾坤谱》中对《易传》“大衍之数五十”的推论，主要用于解释中国传统文化中的太极衍生过程中曾经经历过的两仪数量总和．下图是求大衍数列前n 项和的程序框图．执行该程序框图，输入8m =，则输出的S =（ ）A ．44B ．68C ．100D ．140【答案】C【解析】第1次运行，1n =，2102n a -==，000S =+=，不符合n m ≥，继续运行； 第2次运行，22,2,0222n n a S ====+=，不符合n m ≥，继续运行； 第3次运行，213,4,4262n n a S -====+=，不符合n m ≥，继续运行； 第4次运行，24,8,86142n n a S ====+=，不符合n m ≥，继续运行； 第5次运行，215,12,1412262n n a S -====+=，不符合n m ≥，继续运行； 第6次运行，26,18,2618442n n a S ====+=，不符合n m ≥，继续运行； 第7次运行，217,24,2444682n n a S -====+=，不符合n m ≥，继续运行； 第8次运行，28,32,68321002n n a S ====+=，符合n m ≥，退出运行，输出100S =； 故选C ．9．正项等比数列{}n a 中的1a ，4031a 是函数()3214633f x x x x =-+-的极值点，则2016=（ ）A ．1B ．2C ．1- D【答案】A【解析】令()2860f x x x =-+='，故12148x x a a +==+，2121403120166x x a a a ⋅==⋅=，故2216620166l l o g l og 61a ===． 10．若自然数n 使得作竖式加法()()12n n n ++++均不产生进位现象，则称n 为“开心数”．例如：32是“开心数”．因323334++不产生进位现象；23不是“开心数”，因232425++产生进位现象，那么，小于100的“开心数”的个数为（ ） A ．9 B ．10 C ．11 D ．12【答案】D【解析】根据题意个位数需要满足要求：∵()()1210n n n ++++<，即23n <．，∴个位数可取0，1，2三个数，∵十位数需要满足：310n <，∴33n <．，∴十位可以取0，1，2，3四个数，故小于100的“开心数”共有3×4=12个．故选：D ．11，若不等式()0f x ≤有正实数解，则实数a 的最小值为（ ）A ．3B ．2C ．2eD ．e【答案】D【解析】原问题等价于()2e 33x a x x -+≥，令()()2e 33xg x x x =-+，则()m i n a g x ⎡⎤⎣⎦≥，而()()2e xg x x x'=-，由()0g x '>可得：()(),01,x ∈-∞+∞，由()0g x '<可得：()0,1x ∈，据此可知，函数()g x 在区间()0,+∞上的最小值为()1e g =，综上可得：实数a 的最小值为e ．本题选择D 选项． 12．如图，各棱长均为1的正三棱柱111ABC A B C -，M ，N 分别为线段1A B ，1B C 上的动点，若点M ，N 所在直线与平面11ACC A 不相交，点O 为MN 中点，则O 点的轨迹的长度是（ ）A B C ．1 D【答案】B【解析】由题意，点M ，N 所在直线与平面11ACC A 不相交，则MN ∥平面11ACC A ，过M 作1MQ AA ∥交AB 于Q ，过Q 作QH AC ∥，连结NH ，得1NH BB ∥，11BB AA ∥，NH MQ ∥，则平面MQHN ∥平面11ACC A ，则MN ∥平面11ACC A ，因为M 为线段1A B 上的动点，所以这样的MN 有无数条，其中MN 中点O 的轨迹的长度等于底面正ABC △的高2，故选B ． 第Ⅱ卷二、填空题：本大题共4小题，每小题5分． 13．已知复数14i1iz +=-，其中i 为虚数单位，则复数z 的实部为_________． 【答案】32-z 的实部为32-．14．已知圆Ω过点()5,1A ，()5,3B ，()1,1C -，则圆Ω的圆心到直线l ：210x y -+=的距离为__________．【答案】5【解析】由题知，圆心坐标为()2,2，则d == 15．在锐角ABC △中，内角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，若2CB =，则cb的取值范围是________． 【答案】【解析】因为2C B =，所以sin sin22sin cos C B B B ==，2cos c b B ∴=，2cos cB b=，因为锐角ABC △，所以02B π<<，022C B π<=<，032A C B B π<=π--=π-<，64B ππ∴<<，cos B ∴∈⎝⎭，c b∈．16．已知1F ，2F 是双曲线22221(0,0)x y a b a b -=>>的左，右焦点，点P 在双曲线的右支上，如果(]()121,3PF t PF t =∈，则双曲线经过一、三象限的渐近线的斜率的取值范围是__________．【答案】(【解析】∵13t <≤，∴2，∴12e <≤．又222b c a -2b b∴双曲线经过一、三象限的渐近线的斜率的取值范围是(0,3⎤⎦．答案：(0,3⎤⎦．三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23为选考题，考生根据要求作答． （一）必考题：60分，每个试题12分．17．已知cos m ⎛= ，3sin n ⎛= ，设函数()f x m n =⋅． （1）求函数()f x 的单调增区间；（2）设ABC △的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且a ，b ，c 成等比数列，求()f B 的取值范围．【答案】（1，k ∈Z ；（2）⎛ ⎝⎦． 【解析】（1cos m n ⎛⎫=⋅= ⎪⎭3sin 4⎛ ⎝·····3分 43x π-≤≤，k ∈Z ，所以函数()f x ，k ∈Z ．·······6分（2）由2b ac =a c =时取等号）， (8)分所以03B π<≤，6263B πππ<+≤，()112f B <，综上()f B 的取值范围为12⎛⎤⎥ ⎝⎦．·······12分 18．海盗船是一种绕水平轴往复摆动的游乐项目，因其外形仿照古代海盗船而得名．现有甲、乙两游乐场统计了一天6个时间点参与海盗船游玩的游客数量，具体数据如表：（1）从所给6个时间点中任选一个，求参与海盗船游玩的游客数量甲游乐场比乙游乐场少的概率； （2）记甲、乙两游乐场6个时间点参与海盗船游玩的游客数量分别为i x ，i y （1,2,3,4,5,6i =），现从该6个时间点中任取2个，求恰有1个时间点满足i i x y >的概率．【答案】（1）13；（2）815．【解析】（1）事件“参与海盗船游玩的游客数量甲游乐场比乙游乐场少”的情况有8点、10点两个时间点，总共有6个时间点，所以所求概率为2163P ==；·······6分 （2）依题意，i i x y >有4个时间点，记为A ，B ，C ，D ；i i x y <有2个时间点，记为a ，b ； 故从6个时间点中任取2个，所有的基本事件为(),A B ，(),A C ，(),A D ，(),A a ，(),A b ，(),B C ，(),B D ，(),B a ，(),B b ，(),C D ，(),C a ，(),C b ，(),D a ，(),D b ，(),a b 共15种，······9分 其中满足条件的为(),A a ，(),A b ，(),B a ，(),B b ，(),C a ，(),C b ，(),D a ，(),D b 共8种，·······11分故所求概率815P =．·······12分 19．在三棱柱111ABC A B C -中，12AB BC CA AA ====，侧棱1AA ⊥平面ABC ，且DE ，分别是棱1111A B A A ，的中点，点F 在棱AB 上，且14AF AB =．（1）求证：EF ∥平面1BDC ； （2）求三棱锥1D BEC -的体积．【答案】（1）见解析；（2 【解析】（1）取AB 的中点O ，连接1A O ，14AF AB =， F ∴为AO 的中点，又E 为1AA 的中点，1EF AO ∴∥， 112A D =12BO AB =，AB ∥＝11A B 1A D ∴∥＝BO ·······2分∴四边形1A DBO 为平行四边形，·······3分1A O BD ∴∥，·······4分EF BD ∴∥，又EF ⊄平面1BDC ，BD ⊂平面1BDC ， EF ∴∥平面1BDC ．·······6分 ()12AA ⊥平面111A B C ，1C D ⊂平面111A B C ，11AA C D ∴⊥，1111112AC B C A B D ===，为11A B 的中点，1111C D A B C D ∴⊥=，又1AA ⊂平面11AA B B ，11A B ⊂平面11AA B B ，1111AA A B A =，1C D ∴⊥平面11AA B B ，·······8分12AB AA ==，D ，E 分别为11A B ，1AA 的中点，·······12分20．对于椭圆()222210x y a b a b +=>>，有如下性质：若点()00,x y 是椭圆上的点，则椭圆在该点处的切线方程为00221x x y y a b +=．利用此结论解答下列问题．点31,2Q ⎛⎫⎪⎝⎭是椭圆2222C :1(0)x y a b a b +=>>上的点，并且椭圆在点Q 处的切线斜率为12-．（1）求椭圆C 的标准方程；（2）若动点P 在直线3x y +=上，经过点P 的直线m ，n 与椭圆C 相切，切点分别为M ，N ．求证：直线MN 必经过一定点．【答案】（1）22143x y +=（2）直线MN 必经过一定点4,13⎛⎫⎪⎝⎭【解析】（1）∵椭圆C 在点Q 处的切线方程为22312x ya b+=， 其斜率为222132b a -=-，∴2234a b =．·······1分 又点Q 在椭圆上， ∴221914a b +=．·······2分 解得24a =，23b =．∴椭圆C 的方程为22143x y +=；·······4分（2）设()00,P x y ，()11,M x y ，()22,N x y ，则切线11:143x x y y m +=，切线22:143x x y y n +=．·······6分 ∵,m n 都经过点P ， ∴1010143x x y y +=，2020143x x y y +=． 即直线MN 的方程为00143x x y y +=．·······7分 又003x y +=，·······8分 ∴()003143x y x x -+=， 即()03412120x y x y -+-=．·······10分令340, 12120,x y y =-=⎧⎨⎩-得4, 31.x y ⎧==⎪⎨⎪⎩ ∴直线MN 必经过一定点4,13⎛⎫ ⎪⎝⎭．·······12分 21．已知函数()()e 1x f x a x =--，其中0a >，e 为自然对数底数．（1）求函数()f x 的单调区间；（2）已知b ∈R ，若函数()f x b ≥对任意x ∈R 都成立，求ab 的最大值．【答案】（1）函数()f x 的单调递增区间为()ln ,a +∞，单调递减区间为(),ln a -∞．（2【解析】（1）因为()e x f x a '=-，因为0a >，由()0f x '=得ln x a =，·······1分所以当(),ln x a ∈-∞时，()0f x '<，()f x 单调递减；当()ln ,x a ∈+∞时，()()0,f x f x '>单调递增．综上可得，函数()f x 的单调递增区间为()ln ,a +∞，单调递减区间为(),ln a -∞．····4分（2）因为0a >，由函数()f x b ≥对任意x ∈R 都成立，得()min b f x ≤， 因为()()min ln 2ln f x f a a a a ==-，所以2ln b a a a -≤．·······6分 所以222ln ab a a a -≤，设()222ln (0)g a a a a a =->，所以()()42ln 32ln g a a a a a a a a =--+=-'，·······8分由0a >，令()0g a '=时，()0g a '>，()g a 单调递增； 时，()0g a '<，()g a 单调递减．·······10分ab321e 2b =．·······12分 （二）选考题（共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答．如果多做，则按所做第一题计分）22．选修4-4：坐标系与参数方程在平面直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为4cos 24sin x a y a=+=⎧⎨⎩（a 为参数），以O 为极点，x 轴的非负半轴为极轴的极坐标系中，直线l 的极坐标方程为()6θρπ=∈R ． （1）求曲线C 的极坐标方程；（2）设直线l 与曲线C 相交于,A B 两点，求AB 的值．【答案】（1）24cos 120ρρθ--=（2）6AB = 【解析】（1）将方程4cos 24sin x a y a=+=⎧⎨⎩消去参数a 得224120x y x +--=， ∴曲线C 的普通方程为224120x y x +--=，·······12分将222x y ρ+=，cos x ρθ=代入上式可得24cos 12ρρθ-=，∴曲线C 的极坐标方程为：24cos 120ρρθ--=．·······5分（2）设,A B 两点的极坐标方程分别为1,6ρπ⎛⎫ ⎪⎝⎭，2,6ρπ⎛⎫ ⎪⎝⎭， 由24cos 12 6ρρθθ-=π=⎧⎪⎨⎪⎩消去θ得2120ρ--=，·······7分根据题意可得1ρ，2ρ是方程2120ρ--=的两根，∴12ρρ+=1212ρρ=-，∴126AB ρρ=-==．·······10分23．选修4—5:不等式选讲已知(0)x y z ∈+∞，，，，3x y z ++＝．（1）求111x y z++的最小值 （2）证明：2223x y z ≤＋＋．【答案】（1）3； （2）证明见解析．【解析】（1）因为0x y z ++>≥，1110x y z ++>， 所以()1119x y z x y z ⎛⎫++++ ⎪⎝⎭≥,即1113x y z ++≥， 当且仅当1x y z ===时等号成立，此时111x y z++取得最小值3．·······5分 （2）222x y z ++()()()2222222223x y z x y y z z x ++++++++=()22223x y z xy yz zx +++++≥ ()233x y z ++==．·······10分。