2018高考全国2卷理科数学带答案

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2018年普通高等学校招生全国统一考试

理科数学

本试卷共23题，共150分，共4页。考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

注意事项：1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在

条形码区域内。

2．选择题必须使用2B 铅笔填涂；非选择题必须使用0．5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚。 3．请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。

4．作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。

5．保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一

项是符合题目要求的。 1．12i 12i +=-

A ．43i 55--

B ．43i 55-+

C ．34i 55--

D ．34i 55

-+

2．已知集合22{(,)|3,,A x y x y x y =+≤∈∈Z Z}，则A 中元素的个数为

A ．9

B ．8

C ．5

D ．4

3．函数2

e e ()x x

f x x --=的图象大致为

4．已知向量a ，b 满足||1=a ，1?=-a b ，则(2)?-=a a b A ．4

B ．3

C ．2

D ．0

5．双曲线

2

2

22

1(0,0)x y a b a b -=>>3 A ．2y x = B ．3y x =±

C ．2y =

D ．3y = 6．在ABC △中，5

cos 2C =

1BC =，5AC =，则AB = A ．42B 30C 29D ．5

7．为计算11111

123499100

S =-+-++-L ，设计了右侧的程

序框图，则在空白框中应填入

A ．1i i =+

B ．2i i =+

C ．3i i =+

D ．4i i =+

8．我国数学家陈景润在哥德巴赫猜想的研究中取得了世界领先的成果．哥德巴赫猜想是“每个大于2的偶数可以表示为两个素数的和”，如30723=+．在不超过30的素数中，随机选取两个不同的数，其和等于30的概率是

A ．

112 B ．114 C ．115 D ．118

9．在长方体1111ABCD A B C D -中，1AB BC ==

，1AA ，则异面直线1AD 与1DB 所成角

的余弦值为

A ．1

5

B

C

D

10．若()cos sin f x x x =-在[,]a a -是减函数，则a 的最大值是

A ．

π4 B ．π2 C ．3π4

D ．π 11．已知()f x 是定义域为(,)-∞+∞的奇函数，满足(1)(1)f x f x -=+．若(1)2f =，

则(1)(2)(3)(50)f f f f ++++=L A ．50- B ．0 C ．2 D ．50

12．已知1F ，2F 是椭圆22

221(0)x y C a b a b

+=>>：的左，右焦点，A 是C 的左顶点，点P 在

过A

的直线上，12PF F △为等腰三角形，12120F F P ∠=?，则C 的离心率为 A ．

23 B ．12 C ．13

D ．

14

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13．曲线2ln(1)y x =+在点(0,0)处的切线方程为__________．

14．若,x y 满足约束条件250,230,50,x y x y x +-??

-+??-?

≥≥≤则z x y =+的最大值为__________．

15．已知sin cos 1αβ+=，cos sin 0αβ+=，则sin()αβ+=__________．

16．已知圆锥的顶点为S ，母线SA ，SB 所成角的余弦值为

7

8

，SA 与圆锥底面所成角为45°，若SAB △的面积为515，则该圆锥的侧面积为__________．

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第17～21题为必考题，

每个试题考生都必须作答。第22、23为选考题。考生根据要求作答。 （一）必考题：共60分。 17．（12分）

记n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，已知17a =-，315S =-． （1）求{}n a 的通项公式； （2）求n S ，并求n S 的最小值． 18．（12分）

下图是某地区2000年至2016年环境基础设施投资额y （单位：亿元）的折线图．

为了预测该地区2018年的环境基础设施投资额，建立了y 与时间变量t 的两个线性回归模型．根据2000年至2016年的数据（时间变量t 的值依次为1,2,,17L ）建立模型①：?30.413.5y

t =-+；根据2010年至2016年的数据（时间变量t 的值依次为1,2,,7L ）建立模型②：?9917.5y

t =+． （1）分别利用这两个模型，求该地区2018年的环境基础设施投资额的预测值； （2）你认为用哪个模型得到的预测值更可靠？并说明理由． 19．（12分）

设抛物线24C y x =：的焦点为F ，过F 且斜率为(0)k k >的直线l 与C 交于A ，B 两点，||8AB =．

（1）求l 的方程；

（2）求过点A ，B 且与C 的准线相切的圆的方程． 20．（12分）

如图，在三棱锥P ABC -

中，AB BC == 4PA PB PC AC ====，O 为AC 的中点．

（1）证明：PO ⊥平面ABC ；

（2）若点M 在棱BC 上，且二面角M PA C --为30?，求PC 与平面PAM 所成角的正弦值． 21．（12分）

已知函数2

()e x

f x ax =-．

（1）若1a =，证明：当0x ≥时，()1f x ≥； （2）若()f x 在(0,)+∞只有一个零点，求a ．

（二）选考题：共10分。请考生在第22、23题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第

一题计分。

22．[选修4－4：坐标系与参数方程]（10分）

在直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为2cos ,

4sin ,x θy θ=??=?（θ为参数），直线l 的参数方

程为1cos ,

2sin ,x t αy t α=+??=+?

（t 为参数）．

（1）求C 和l 的直角坐标方程；

（2）若曲线C 截直线l 所得线段的中点坐标为(1,2)，求l 的斜率． 23．[选修4－5：不等式选讲]（10分）

设函数()5|||2|f x x a x =-+--．

（1）当1a =时，求不等式()0f x ≥的解集； （2）若()1f x ≤，求a 的取值范围． 绝密★启用前

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理科数学试题参考答案

一、选择题

1．D 2．A 3．B 4．B 5．A 6．A 7．B

8．C

9．C

10．A

11．C

12．D

二、填空题

13．2y x = 14．9 15．12

-

16．

三、解答题 17．解：

（1）设{}n a 的公差为d ，由题意得13315a d +=-． 由17a =-得d =2．

所以{}n a 的通项公式为29n a n =-．

（2）由（1）得22

8(4)16n S n n n =-=--．

所以当n =4时，n S 取得最小值，最小值为?16． 18．解：

（1）利用模型①，该地区2018年的环境基础设施投资额的预测值为

?30.413.519226.1y

=-+?=(亿元)． 利用模型②，该地区2018年的环境基础设施投资额的预测值为

?9917.59256.5y

=+?=(亿元)． （2）利用模型②得到的预测值更可靠． 理由如下：

（ⅰ）从折线图可以看出，2000年至2016年的数据对应的点没有随机散布在直线30.413.5y t =-+上下．

这说明利用2000年至2016年的数据建立的线性模型①不能很好地描述环境基础设施投资额的变化趋势．2010年相对2009年的环境基础设施投资额有明显增加，2010年至2016年的数据对应的点位于一条直线的附近，这说明从2010年开始环境基础设施投资额的变化规律呈线性增长趋势，利用2010年至2016年的数据建立的线性模型

?9917.5y

t =+可以较好地描述2010年以后的环境基础设施投资额的变化趋势，因此利用模型②得到的预测值更可靠．

（ⅱ）从计算结果看，相对于2016年的环境基础设施投资额220亿元，由模型①得到

的预测值226．1亿元的增幅明显偏低，而利用模型②得到的预测值的增幅比较合理．说明利用模型②得到的预测值更可靠．

以上给出了2种理由，考生答出其中任意一种或其他合理理由均可得分． 19．解：

（1）由题意得(1,0)F ，l 的方程为(1)(0)y k x k =->． 设1221(,),(,)A y x y x B ，

由2(1),4y k x y x

=-??=?得2222(24)0k x k x k -++=． 2

16160k ?=+>，故1222

24

k x k x ++=

． 所以122244

||||||(1)(1)x k AB AF BF k x +=+=+++=．

由题设知22

44

8k k

+=，解得1k =-（舍去），1k =． 因此l 的方程为1y x =-．

（2）由（1）得AB 的中点坐标为(3,2)，所以AB 的垂直平分线方程为2(3)y x -=--，即5y x =-+．

设所求圆的圆心坐标为00(,)x y ，则

0022

0005,

(1)(1)16.2

y x y x x =-+???-++=

+??解得003,2x y =??=?或0011,6.x y =??=-? 因此所求圆的方程为2

2

(3)(2)16x y -+-=或2

2

(11)(6)144x y -++=． 20．解：

（1）因为4AP CP AC ===，O 为AC 的中点，所以OP AC ⊥

，且OP =

连结OB

．因为2

AB BC AC ==，所以ABC △为等腰直角三角形， 且OB AC ⊥，1

22

OB AC =

=．

由222OP OB PB +=知PO OB ⊥． 由,OP OB OP AC ⊥⊥知PO ⊥平面ABC ．

（2）如图，以O 为坐标原点，OB uu u r

的方向为x 轴正方向，建立空间直角坐标系O xyz -．

由已知得(0,0,0),(2,0,0),(0,2,0),(0,2,0),(0,0,23),(0,2,23),O B A C P AP -=u u u r

取平面PAC 的法向量(2,0,0)OB =u u u r

．

设(,2,0)(02)M a a a -<≤，则(,4,0)AM a a =-u u u r

．

设平面PAM 的法向量为(,,)x y z =n ．

由0,0AP AM ?=?=uu u r uuu r n n 得2230(4)0

y z ax a y ?+=??+-=??，可取

(3(4),3,)a a a =--n ，

所以2

2

2

23(4)cos ,23(4)3a OB a a a

-=-++uu u r

n ．由已知得

3|cos ,|OB =uu u r n ．

所以

222

23|4|3=

23(4)3a a a a --++．解得4a =-（舍去），43

a =． 所以83434(,,)333=--n ．又(0,2,23)PC =-u u u r ，所以3

cos ,4

PC =uu u r n ． 所以PC 与平面PAM 所成角的正弦值为3

4

．

21．解：

（1）当1a =时，()1f x ≥等价于2(1)e 10x

x -+-≤．

设函数2()(1)e

1x

g x x -=+-，则22()(21)e (1)e x x g'x x x x --=--+=--．

当1x ≠时，()0g'x <，所以()g x 在(0,)+∞单调递减． 而(0)0g =，故当0x ≥时，()0g x ≤，即()1f x ≥．

（2）设函数2()1e x

h x ax -=-．

()f x 在(0,)+∞只有一个零点当且仅当()h x 在(0,)+∞只有一个零点．

（i ）当0a ≤时，()0h x >，()h x 没有零点；

（ii ）当0a >时，()(2)e x

h'x ax x -=-．

当(0,2)x ∈时，()0h'x <；当(2,)x ∈+∞时，()0h'x >． 所以()h x 在(0,2)单调递减，在(2,)+∞单调递增． 故24(2)1e

a

h =-

是()h x 在[0,)+∞的最小值．

①若(2)0h >，即2

e 4a <，()h x 在(0,)+∞没有零点；

②若(2)0h =，即2

e 4

a =，()h x 在(0,)+∞只有一个零点；

③若(2)0h <，即2

e 4

a >，由于(0)1h =，所以()h x 在(0,2)有一个零点，

由（1）知，当0x >时，2e x x >，所以

33342241616161

(4)11110e (e )(2)a a a a a h a a a

=-=->-=->．

故()h x 在(2,4)a 有一个零点，因此()h x 在(0,)+∞有两个零点．

综上，()f x 在(0,)+∞只有一个零点时，2

e 4

a =．

22．．解：

（1）曲线C 的直角坐标方程为22

1416

x y +=．

当cos 0α≠时，l 的直角坐标方程为tan 2tan y x αα=?+-， 当cos 0α=时，l 的直角坐标方程为1x =．

（2）将l 的参数方程代入C 的直角坐标方程，整理得关于t 的方程

22(13cos )4(2cos sin )80t t ααα+++-=．①

因为曲线C 截直线l 所得线段的中点(1,2)在C 内，所以①有两个解，设为1t ，2t ，则

120t t +=．

又由①得1224(2cos sin )

13cos t t ααα

++=-

+，故2cos sin 0αα+=，于是直线l 的斜率

tan 2k α==-．

23．解：

（1）当1a =时，24,1,()2,12,26, 2.x x f x x x x +≤-??

=-<≤??-+>?

可得()0f x ≥的解集为{|23}x x -≤≤． （2）()1f x ≤等价于|||2|4x a x ++-≥．

而|||2||2|x a x a ++-≥+，且当2x =时等号成立．故()1f x ≤等价于|2|4a +≥． 由|2|4a +≥可得6a ≤-或2a ≥，所以a 的取值范围是(,6][2,)-∞-+∞U ．

21（12分）

已知函数2()e x f x ax =-．

（1）若1a =，证明：当0x ≥时，()1f x ≥； （2）若()f x 在(0,)+∞只有一个零点，求a ． 解：

（1）()e 2x f x x '=-，()e 2x f x ''=-．

当ln2x <时，()0f x ''<，当ln2x >时，()0f x ''>，所以()f x '在(,ln 2)-∞单调递减，在(ln 2,)+∞单调递增，故()(ln 2)22ln 20f x f ''≥=->，()f x 在(,)-∞+∞单调递增．

因为0x ≥，所以()(0)1f x f ≥=．

（2）当0x >时，设2e ()x

g x a x

=-，则2()()f x x g x =，()f x 在(0,)+∞只有一个零点

等价于()g x 在(0,)+∞只有一个零点．

3

e (2)

()x x g x x -'=，当02x <<时，()0g x '<，当2x >时，()0g x '>，所以()g x 在(0,2)单调递减，在(2,)+∞单调递增，故2

e ()(2)4

g x g a ≥=-．

若2

e 4a <，则()0g x >，()g x 在(0,)+∞没有零点．

若2

e 4

a =，则()0g x ≥，()g x 在(0,)+∞有唯一零点2x =．

若2e 4

a >，因为(2)0g <，由（1）知当0x >时，

2

e 1x x >+，22e 1()1x g x a a x x =->+-，

故存在1(0,2)x ∈?，使1()0g x >． 4422

e e (4)1616a a

g a a a a a =->- 2e x x >，