完整版)完全平方公式变形公式专题

完整版)完全平方公式变形公式专题半期复（3）——完全平方公式变形公式及常见题型一、公式拓展：
拓展一：$a+b=(a+b)^2-2ab$
a-b=(a-b)^2-2ab$
拓展二：$(a+b)-(a-b)=4ab$
a+b)=(a-b)+4ab$
拓展三：$a+b+c=(a+b+c)-2ab-2ac-2bc$
拓展四：杨辉三角形
a+b)^2=a^2+2ab+b^2$
a+b)^3=a^3+3a^2b+3ab^2+b^3$
拓展五：立方和与立方差
a^3+b^3=(a+b)(a^2-ab+b^2)$
a^3-b^3=(a-b)(a^2+ab+b^2)$
二、常见题型：
一）公式倍比
已知$a+b=4$，求$\frac{a^2+b^2}{2ab}$ 1）$x+y=1$，求$x^2+xy+y^2$
2）已知$x(x-1)-(x-y)=-2$，求$x^2-y^2$ 二）公式变形
1）设$(5a+3b)^2=(5a-3b)^2+A$，求$A$
2）若$(2a-3b)=(2a+3b)+N$，求$N$
3）如果$(x-y)+M=(x+y)$，求$M$
4）已知$(a+b)=m$，$(a-b)=n$，求$ab$
5）若$(2a-3b)=(2a+3b)+N$，求$N$的代数式
三）“知二求一”
1.已知$x-y=1$，$x^2+y^2=25$，求$xy$的值
2.若$x+y=3$，$(x+2)(y+2)=12$，求$xy$和
$x^2+3xy+y^2$的值
3.已知$x+y=3$，$xy=-8$，求$x^2+y^2$和$(x^2-1)(y^2-1)$的值
4.已知$a-b=3$，$ab=2$，求$(a+b)^2$和$a^2-6ab+b^2$的值
四）整体代入
例1：已知$x-y=24$，$x+y=6$，求$5x+3y$的值
例2：已知$a=x+20$，$b=x+19$，$c=x+21$，求
$a^2+b^2+c^2-ab-bc-ac$的值
⑴若$x-3y=7$，$x-9y=49$，求$x+3y$的值
⑵若$a+b=2$，求$a-4b$的值
⑶已知$a^2+b^2=6ab$且$a>b$，求$a+b$的值
已知$a=2005x+2004$，$b=2005x+2006$，
$c=2005x+2008$，则代数式$a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca$的值为：
begin{aligned}
a^2+b^2+c^2-ab-bc-
ca&=(2005x+2004)^2+(2005x+2006)^2+(2005x+2008)^2\\ quad-(2005x+2004)(2005x+2006)-
(2005x+2006)(2005x+2008)-(2005x+2008)(2005x+2004)\\ 3\cdot(2005x)^2+3\cdot2\cdot2005x+3\cdot(2004^2+2006^2 +2008^2)-
3\cdot(2004\cdot2006+2006\cdot2008+2008\cdot2004)\\ 3\cdot2005^2x^2+6\cdot2005x+3\cdot(2004^2+2006^2+2008 ^2)-
3\cdot(2004+2006+2008)^2+3\cdot(2004^2+2006^2+2008^2)\\ 3\cdot2005^2x^2+6\cdot2005x+3\cdot(2004^2+2006^2+2008 ^2)-3\cdot2018^2+6\cdot(2004^2+2006^2+2008^2)\\
10\cdot(2005^2x^2+2005)+10\cdot(2004^2+2006^2+2008^2) -3\cdot2018^2\\
10\cdot(2005^2x^2+2005)+10\cdot(2005^2-1)-
3\cdot2018^2\\
10\cdot2005^2x^2+10\cdot2005^2-
10\cdot2005+10\cdot2005^2-10-3\cdot2018^2\\
10\cdot2005^2x^2+20\cdot2005^2-10\cdot2005-
3\cdot2018^2-10\\
end{aligned}
五）杨辉三角
观察杨辉三角（1），发现每个数都是上面两个数之和，可以得到如下规律：
a+b)^1=a+b$$
a+b)^2=a^2+2ab+b^2$$
a+b)^3=a^3+3a^2b+3ab^2+b^3$$
a+b)^4=a^4+4a^3b+6a^2b^2+4ab^3+b^4$$
a+b)^5=a^5+5a^4b+10a^3b^2+10a^2b^3+5ab^4+b^5$$
根据规律，
$(a+b)^6=a^6+6a^5b+15a^4b^2+20a^3b^3+15a^2b^4+6ab^5+b^6 $。

六）首尾互倒
1．已知$m^2-6m-1=0$，求$2m^2-6m+2$。

解答过程：
已知：$x\neq0$，且满足$x^2-3x=1$。

求：
解：因为$x^2-3x=1$，所以$x^2-3x-1=0$。

因此，$x=\frac{3\pm\sqrt{13}}{2}$。

所以，$x+\frac{1}{x}=\frac{3+\sqrt{13}}{2}+\frac{3-
\sqrt{13}}{2}=3$。

所以，$\left(x+\frac{1}{x}\right)^2=9$。

因此，$x^2+\frac{1}{x^2}+2=9$，即
$x^2+\frac{1}{x^2}=7$。

七）数形结合
1．如图（1）是一个长为$2m$，宽为$2n$的长方形，沿图中的虚线剪开均分成四个小长方形，然后按图（2）形状拼成一个正方形。

1）观察图（2）中的阴影部分，可以发现它是由两个边长为$m-n$的正方形和两个边长为$n$的矩形组成的。

因此，阴影部分的正方形边长为$m-n$。

2）方法一：正方形的面积为$(m-n)^2$，而阴影部分的面积为$2n(m-n)$，因此：
m-n)^2=2n(m-n)$$
解得$m=3n$，因此阴影部分的面积为$(2n)^2=4n^2$。

方法二：将长方形按照虚线剪开后，可以得到四个三角形，它们的面积分别为$mn$，$(m-n)n$，$(m-n)n$，$(m-n)^2$。

因此，阴影部分的面积为$2(m-n)n+mn-(m-n)^2=4n^2$。

3）根据图（2），可以得到：
m-n)^2+2n(m-n)+n^2=m^2$$
即$(m+n)^2=m^2$，因此$(m+n)^2-(m-n)^2=4mn$。

4）已知$a+b=7$，$ab=5$，求$(a-b)^2$的值。

因为$(a+b)^2=a^2+2ab+b^2=49$，$ab=5$，所以
$a^2+b^2=(a+b)^2-2ab=39$。

因此，$(a-b)^2=a^2+b^2-2ab=39-2\cdot5=29$。

八）规律探求
15．有一系列等式：
1\times2\times3\times4+1=5^2=(1+2\cdot1+1)^2$$
2\times3\times4\times5+1=11^2=(2+2\cdot2+1)^2$$
3\times4\times5\times6+1=19^2=(3+2\cdot3+1)^2$$
4\times5\times6\times7+1=29^2=(4+2\cdot4+1)^2$$
根据观察，可以发现：
n(n+1)(n+2)(n+3)+1=(n^2+3n+1)^2$$
现在，我们来证明这个猜想。

根据展开式，可以得到：begin{aligned}
n^2+3n+1)^2\\
n^4+6n^3+13n^2+10n+1\\
n(n+1)(n+2)(n+3)+1
end{aligned}$$
因此，猜想成立。

根据猜想，
$8\times9\times10\times11+1=101^2$。