平方差和完全平方公式教学与拓展
--平方差和完全平方公式第四次课
一对一个性化辅导教案教导处签字： 日 期： 年 月 日课后一、学生对于本次课的评价 ○ 特别满意 ○ 满意 ○ 一般 ○ 差 学生签字：课题 北师大七年级下册数学---平方差和完全平方公式 考点分析 平方差公式和完全平方公式是进行代数运算与变形的重要的知识基础。
教 学步 骤及教 学 内容 教学过程：一、教学一、教学衔接 1、回收上次的教案并进行点评 2、捕捉学生的思想动态二、课前热身： 1、进行平方差公式和完全平方公式知识点的回顾；Page 3 三、课堂讲解： 知识点一：平方差公式 知识点二：完全平方公式② 教学辅助练习；针对本堂课讲解的重点与难点进行课堂练习的训练，提高学生的举一反三的能力与做题的熟练程度。
知识的延伸和拓展；四、课堂总结：Page 8 五、作业布置：Page 8评价二、教师评定1、学生上次作业评价：○好○较好○一般○差2、学生本次上课情况评价：○好○较好○一般○差教师签字：作业布置教师留言家长留言家长签字：日期：年月日心灵调整好心态，兴趣是最好的老师，加油！鸡汤讲义：北师大七年级下册数学---平方差和完全平方公式课前热身:平方差和完全平方部分知识热身1、(x+4)(－x+4)=_____, (x+3y)(_____)=9y2－x2, (－m－n)(_____)=m2－n22.98×102=(_____)(_____)=( )2－( )2=_____.3.－(2x2+3y)(3y－2x2)=_____.4.(a－b)(a+b)(a2+b2)=_____.5.(xy－z)(z+xy)=_____,( x－0.7y)( x+0.7y)=_____6、已知a+b=7，ab=12，求a2+ab+b2的值是多少？a2+3ab+b2的值是多少？7. 解方程：x（x+2）+（2x+1）（2x－1）=5（x2+3）8．两个正方形的边长之和为5，边长之差为2，那么用较大的正方形的面积减去较小的正方形的面积，差是_____．9.观察下列各式：(x－1)(x+1)=x2－1(x－1)(x2+x+1)=x3－1(x－1)(x3+x2+x+1)=x4－1根据前面各式的规律可得(x－1)(x n+x n－1+…+x+1)=_____.课堂讲解知识点一：平方差公式问题探究：时代中学计划将一个边长为m米的正方形花坛改造成长（m+1）米，宽为（m-1）米的长方形花坛。
完全平方公式与平方差公式教案
完全平方公式与平方差公式教案章节一：完全平方公式的探究与理解1. 导入：通过实际问题引入完全平方公式的概念，例如求(x + 2)²的值。
2. 探究：引导学生通过具体例子，如(x + 2)²= x²+ 4x + 4，发现完全平方公式的规律。
4. 练习：布置一些简单的练习题，让学生运用完全平方公式进行计算。
章节二：平方差公式的探究与理解1. 导入：通过实际问题引入平方差公式的概念，例如求(x 2)²的值。
2. 探究：引导学生通过具体例子，如(x 2)²= x²4x + 4，发现平方差公式的规律。
4. 练习：布置一些简单的练习题，让学生运用平方差公式进行计算。
章节三：完全平方公式与平方差公式的应用1. 导入：通过实际问题引入完全平方公式与平方差公式的应用，例如求(x +1)(x 1) 的值。
2. 探究：引导学生运用完全平方公式与平方差公式，将(x + 1)(x 1) 进行展开和简化。
4. 练习：布置一些实际问题，让学生运用完全平方公式与平方差公式进行解决。
章节四：完全平方公式与平方差公式的巩固与拓展1. 导入：通过实际问题引入完全平方公式与平方差公式的巩固与拓展，例如求(x + 2)(x 2) 的值。
2. 探究：引导学生运用完全平方公式与平方差公式，将(x + 2)(x 2) 进行展开和简化。
4. 练习：布置一些更复杂的实际问题，让学生运用完全平方公式与平方差公式进行解决。
1. 回顾：引导学生回顾本节课学习的完全平方公式与平方差公式。
3. 评价：对学生的学习情况进行评价，鼓励学生积极参与课堂讨论和练习。
4. 布置作业：布置一些相关的练习题，让学生巩固所学知识。
章节六：完全平方公式与平方差公式的综合应用1. 导入：通过实际问题引入完全平方公式与平方差公式的综合应用，例如求(x + y)²(x y)²的值。
2. 探究：引导学生运用完全平方公式与平方差公式，将(x + y)²(x y)²进行展开和简化。
《完全平方公式》教案【通用七篇】
《完全平方公式》教案【通用七篇】（经典版）编制人：__________________审核人：__________________审批人：__________________编制单位：__________________编制时间：____年____月____日序言下载提示：该文档是本店铺精心编制而成的，希望大家下载后，能够帮助大家解决实际问题。
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初中数学初一数学下册《完全平方公式与平方差公式》教案、教学设计
（1）(x+3)^2
（2）(y-4)^2
（3）(2a+b)(2a-b)
（4）(3m-n)(3m+n)
2.变式练习题：通过一些变式题目，让学生学会将公式应用于不同场景，提高解决问题的能力。
例题：已知x+y=5，xy=6，求(x-y)^2的值。
3.综合应用题：设计一些综合应用题目，让学生将所学知识应用于解决实际问题，提高学生的综合运用能力。
5.生活实践题：让学生将所学知识联系到生活实际，感受数学在生活中的应用。
例题：某班组织一次郊游活动，共有45人参加。如果每组多安排1人，可以多分5组。请问原来每组有多少人？
在作业布置过程中，教师要关注以下几点：
1.作业难度要适中，既要保证学生对基础知识的掌握，又要适当提高学生的思维能力。
2.作业量要适当，避免给学生造成过重的负担，确保学生有足够的时间进行自主学习和休息。
讨论过程中，教师要关注以下几点：
1.激发学生的讨论热情，鼓励学生积极发表自己的观点。
2.引导学生互相交流解题方法，分享学习心得。
3.注意观察学生的讨论情况，适时给予指导和帮助。
（四）课堂练习，500字
在课堂练习阶段，教师设计不同难度的练习题，让学生进行巩固练习。练习题要涵盖完全平方公式和平方差公式的各种应用场景，包括基本题、变式题和综合应用题。
接着，教师可以引导学生回顾已学的平方运算知识，如（a+b）^2 = a^2 + 2ab + b^2，让学生尝试推导出完全平方公式：（a+b）^2 = a^2 + 2ab + b^2 = (a-b)^2 + 4ab。在此基础上，引出本节课将要学习的完全平方公式和平方差公式。
平方差公式和完全平方公式复习和拓展
平方差公式：
(a+b)(a−b)= a2−b2
两数和与这两数差的积,
等于 这两数的平方差.
公式变形:
1、（a – b ) ( a + b) = a2 - b2 2、（b + a )( -b + a ) = a2 - b2
1、对应练习
1.下面各式的计算对不对？如果不对，应当怎样改正？ (1)(x+3)(x－3)=x2－3； (2)(－3a－5)(3a－5)=9a2－25.
(3)（5m2 +n)2
(4) 972
25m4 10m2n n2
9409
3、填空题：
(1)（3a-2b)(_3_a_+2b)=9a2-4b2
(2) (x-6)2=x2+_(-_1_2_x_) +36
（3）x2-4x+__4__=(x-__2__)2
4、选择题
c (1)下列各式中，是完全平方公式的是（ ）
则a _±__8____。
（2）已知，4x2 kxy 25y2是完全平方式，
则k __±__2_0______。
(3)x2 12x m是完全平方式,则m _36____
(4)请把4x4 1添加一项后是完全平方式，
可以添加__4_x_2或__-1_或_-_4x_4_或_4.x8或
3.在横线上添上适当的代数式，使等 式成立
(1)a2 b2 (a b)2 _2_a_b__ (2)a2 b2 (a b)2 _2_ab___ (3)(a b)2 (a b)2 _4_a_b____
4.公式变形的应用：((aa+-bb))22
平方差与完全平方公式知识点与习题
（1）()()c a b a -+ （（2）()()x y y x +-+（3）()()ab x x ab ---33 （（4）()()n m n m +--2.2.判断：判断：判断：（1）()()22422b a a b b a -=-+ （ ）） （2）1211211212-=÷øöçèæ-÷øöçèæ+x x x （ ）） 平方差与完全平方式一、平方差公式：（a+b ）(a-b)=a 2-b 2两数和与这两数差的积，等于它们的平方之差。
1、即：（、即：（a+b a+b a+b））(a-b) = (a-b) = 相同符号项的平方相同符号项的平方相同符号项的平方 - - - 相反符号项的平方相反符号项的平方相反符号项的平方2、平方差公式可以逆用，即：a 2-b 2=（a+b ）(a-b)。
3 3、能否运用平方差公式的判定、能否运用平方差公式的判定、能否运用平方差公式的判定①有两数和与两数差的积①有两数和与两数差的积①有两数和与两数差的积 即：（即：（即：（a+b a+b a+b））(a-b)(a-b)或（或（或（a+b a+b a+b））(b-a) ②有两数和的②有两数和的②有两数和的相反数相反数与两数差的积与两数差的积 即：（即：（即：（-a-b -a-b -a-b））(a-b)(a-b)或（或（或（a+b a+b a+b））(b-a)③有两数的平方差③有两数的平方差③有两数的平方差 即：即：即：a a 22-b 2 2 或-b 22+a 22二、完全平方公式：(a+b)2=a 2+2ab+b 2 (a-b)2=a 2-2ab+b 2两数和（或差）的平方，等于它们的平方和，加上（或减去）它们的积的2倍。
倍。
1 1、、完全平方公式也可以逆用，即a 2+2ab+b 2=(a+b)2 a 2-2ab+b 2=(a-b)2 2、能否运用完全平方式的判定、能否运用完全平方式的判定①有两数和（或差）的平方①有两数和（或差）的平方①有两数和（或差）的平方即：即：(a+b)2或 (a-b)2或 (-a-b)2或 (-a+b)2②有两数平方，加上（或减去）它们的积的2倍，且两数平方的符号相同。
平方差公式和完全平方公式复习和拓展-2022年学习资料
2、运用完全平方公式计算：-13x-229x2-12x+42-2n-5216y2-1-35m2+n2-49 2-25m4+10m2n+1n2-9409-3、填空题：-13a-2b3a+2b=9a2-4b2-2x-6 =x2+-12x+36-3x2.4x+4=X-22
4、选择题-1下列各式中，是完全平方公式的是-C-AX2-X+1-B4x2+1-CX2+2X+1-Dx2+ x-1-2如y2+ay+9是完全平方公式，则a的值等于D-A3-B-6-C6-D6或-6-3下列计算正确的 C-A.X-2y2y-x）=4y2-x2-B.-x-1X+1=x2.1-C.m-n-m-n）=-m2+n2 D.x2+2y-2y=x3-4y2
小试牛刀-2.下列计算中正确的是（D-A.（x+22=x2+2x+4-B.（-3-x（3+x=9-x2-C （-3-x3+x=-x2-9+6x-D.（2x-3y2=4x2+9y2-12xy
小试牛刀-3.x2+kx+81是一个完全平方式，则k是（D-A.9-B.-9-C.±9-D.±18
小试牛刀-15+3q2;-25+30q+9q1-2-2a-52.4a2+20a+25-32x+32（2x2;16x4-72x2+81-4x+y-4x+y+4;x2+2xy+y2-16-5a-1a+1a2-1.a -2a2+1
5.完全平方式-1已知，x2+ax+16是完全平方式，-则a=8-己知，4x2-ky+25y2是完全平方式 -则k=-±20-3x2+12x+m是完全平方式，则m=36-4请把4x4+1添加一项后是完全平方式，-可 添加-±4x2或-1或-4x4或4x8或
平方差公式与完全平方公式的组合运算(一)
平方差公式与完全平方公式的组合运算(一)平方差公式与完全平方公式是初中阶段学习中十分重要的数学知识，而它们的组合运算也是十分常见的。
本文将介绍平方差公式与完全平方公式，探讨它们的组合运算，以及为什么能够达到预期效果。
一、平方差公式平方差公式是指：$(a+b)\times(a-b)=a^2-b^2$。
它的形式可能比较简单，但是应用起来却十分广泛。
例如，当我们需要求出两个数的平方和与平方差时，便可以通过平方差公式来解决。
如果要求$(a+b)^2+(a-b)^2$，那么我们可以先算出$(a+b)\times(a-b)=a^2-b^2$，再把这个结果带入到$(a+b)^2+(a-b)^2$中，得到$(a+b)^2+(a-b)^2=2a^2+2b^2$。
同理，如果要求$(a+b)^2-(a-b)^2$，我们可以先算出$(a+b)\times(a-b)=a^2-b^2$，再把这个结果带入到$(a+b)^2-(a-b)^2$中，得到 $(a+b)^2-(a-b)^2=4ab$。
二、完全平方公式完全平方公式是指：$a^2+2ab+b^2=(a+b)^2$。
这个公式相信大家都非常熟悉，因为在代数式的展开中，非常经常会用到这个公式。
例如，如果要展开$(x+3)^2$，那么我们就可以利用完全平方公式，得到$(x+3)^2=x^2+6x+9$。
三、平方差公式和完全平方公式的组合运算平方差公式和完全平方公式在实际运用中往往也会相互组合，来求解一些更加复杂的数学问题。
例如，如果我们要求$(a+b+c)^2$，那么我们就可以先算出$(a+b)^2$和$c^2$，再通过平方差公式来得到$$(a+b+c)^2=(a+b)^2+c^2+2(a+b)\timesc$$$$=a^2+2ab+b^2+c^2+2ac+2bc$$同样地，如果我们要求$(a-b)^2-(c-d)^2$，那么我们可以先用完全平方公式算出$(a-b)^2$和$(c-d)^2$，再用平方差公式来得到$$(a-b)^2-(c-d)^2=(a-b+c-d)\times(a-b-c+d)$$$$=(a+c-b-d)\times(a-b-c+d)$$$$=(a^2-2ab+b^2-c^2+2cd-d^2)$$综上所述，平方差公式与完全平方公式的组合运算非常灵活，而且可以帮助我们解决许多数学问题。
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第一章 整式的乘除一、平方差公式教学目标平方差公式的特征 平方差公式利用平方差公式简便计算复习回顾：多项式与多项式是如何相乘的计算下列各题：(1) ()()22-+x x ； (2) ()()a a 3131-+； (3) ()()y x y x 55-+； (4) ()()z y z y -+22. 观察以上算式及其运算结果，你有什么发现 再举两例验证你的发现. 1、平方差公式：（1）平方差公式的推导：()()2222b a b ab ab a b a b a -=++-=-+（2）文字语言：两个数的和与这两个数的差的积，等于这两个数的平方差. （3）符号语言：()()22b a b a b a -=-+.例1 利用平方差公式计算：（1）()()x x 6565-+； （2）()()y x y x 22+-； （3）()()88-+ab ab .（4）面积表示：例2如图①，从边长为a 的正方形纸片中剪去一个边长为b的小正方形，再沿着线段AB 剪开，把剪成的两张纸片拼成如图②的等腰梯形．(1)设图①中阴影部分面积为S1，图②中阴影部分面积为S2，请直接用含a ，b 的代数式表示S1，S2；(2)请写出上述过程所揭示的乘法公式．2、公式变形:()()22b a b a b a -=--+-注：（1）这里的两数可以是两个单项式也可以是两个多项式等等；（2）逆运算也是成立的.例3 利用平方差公式计算：（1）()()n m n m --+- . （2）⎪⎭⎫⎝⎛+-⎪⎭⎫ ⎝⎛--y x y x 4141；（3）()()()1112+-+x x x （4）⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛-2141212x x x例4 利用平方差公式计算：（1）()()z y x z y x ++-+-（2）()()z y x z y x -+++-（3）()()1212+--+y x y x （4）()()939322+++-x x x x3、利用平方差公式简便计算(1)计算下列各组算式，并观察它们的共同特点: (2)从以上的过程中，你发现了什么规律(3)请用字母表示这一规律，你能说明它的正确性吗例5 用平方差公式进行计算：(1)103×97； (2)118×122.例6 运用平方差公式计算：(1) 2 014×2 016－2 0152； (2) ×； (3) 31393240⨯. 拓展提高相同为a合理加括号7×9=8×8=11×13= 12×12= 79×81=80×80=b1．计算：（1）（2+1）（22+1）（24+1）…（n22+1）+1（n 是正整数）； （2）（3+1）（32+1）（34+1）…（32008+1）－401632．3.已知02,622=-+=-y x y x ，求5--y x 的值． 4.计算：1297989910022222-++-+-Λ ．5.求值：)1011)(911()411)(311)(211(22222-----Λ ． 6．利用平方差公式计算：2009×2007－20082． （1）利用平方差公式计算：22007200720082006-⨯．（2）利用平方差公式计算：22007200820061⨯+．7．解方程：()()()()35121222+=-+++x x x x x ．8．（规律探究题）已知1≠x ，计算()()2111x x x -=+-，()()32111x x x x -=++-，()()432111x x x x x -=+++-．（1）观察以上各式并猜想：()()=+++-n x x x x Λ211______．（n 为正整数）（2）根据你的猜想计算：①()()=+++++54322222212-1______． ②=++++n 222232Λ______（n 为正整数）． ③()()=++++++-112979899x x x x x x Λ_______． （3）通过以上规律请你进行下面的探索： ①()()b a b a +-= ． ②()()22b ab a b a ++-= ．③()()3223b ab b a a b a +++-= ．④()()n n n n n b b a b a b a a b a +++++----12221Λ= .二、完全平方公式教学目标完全平方公式的特征 完全平方公式完全平方公式的应用及逆应用 引入计算下列各式，你能发现什么规律(1) ()()()=++=+1112p p p .(2) ()=+22m = .(3) ()()()=--=-1112p p p .(4) ()=-22m = .根据规律，直接写出下列下列两式子的结果，并用多项式乘多项式运算法则进行验算. （1）()2b a += .（2）()2b a -= .1、完全平方公式 （1）文字叙述：两个数的和（或差）的平方，等于它们的平方和，加上（或减去）它们的积的2倍. （2）数学表达式：()2222b ab a b a ++=+注：公式中的字母a ，b 可以表示数，单项式和多项式. 例1 利用完全平方公式计算：（1）()232-x ； （2）()254y x +； （3）()2a mn -.例2 利运用完全平方公式计算：（1）()252+-x ； （2）()22n m --； （3）23243⎪⎭⎫ ⎝⎛-y x（3）面积表示法例 3 如图，将完全相同的四张长方形纸片和一张正方形纸片拼成一个较大的正方形，则可得出一个等式为( )D ．()()ab b a b a 422--=+例4、利用完全平方公式计算：首平方，尾平方，积的2倍在中央（1）()()()()224y x y x y x y x -+-+-+； （2）222015201540322016+⨯-.（3）260160⎪⎭⎫ ⎝⎛ （4）210099100⎪⎭⎫ ⎝⎛（5）()()()2222t s t s t s ----- （6）()()()2222933++-t t t3、完全平方式的应用1. 若k x x ++22是完全平方式，则k =2. 若M xy x +-72是一个完全平方式，那么M 是 3. 如果22814b ab N a +•-是一个完全平方式，则N = 4. 如果224925y kxy x +-是一个完全平方式，那么k =5. （1）比较a 2+b 2与2ab 的大小（用“＞”、“＜”或“=”填空）：①当a=3，b=2时，a 2+b 2 2ab ， ②当a=﹣1，b=﹣1时，a 2+b 2 2ab ， ③当a=1，b=﹣2是，a 2+b 2 2ab ．（2）猜想a 2+b 2与2ab 有怎样的大小关系并证明你的结论． 4、公式的逆用1．（2x － ）2＝ －4xy ＋y 2． 2．（32m ＋_______）2＝_______＋12mn ＋________．3．2x －xy ＋________＝（x －______）2．4．249a －________＋281b ＝（________＋9b ）2．5．代数式2241y x xy --等于 -（ ）2 拓展提升5、完全平方式常见的变形有:（1）ab b a b a 2)(222-+=+ ， ab b a b a 2)(222+-=+（2）ab b a b a 4)(22=--+）（ ， ()22222)(b a b a b a +=-++）（ （3）211222++=⎪⎭⎫ ⎝⎛+x x x x ， 211222-⎪⎭⎫ ⎝⎛+=+x x x x（4）bc ac ab c b a c b a 222)(2222+++++=++例．已知()5,3a b ab -==求2()a b +与223()a b +的值。
练习1．已知6,4a b a b +=-=求ab 与22a b +的值。
1. 已知224,4a b a b +=+=求22a b 与2()a b -的值。
2. 已知()602=+b a ，()802=-b a ，求22b a +及ab 的值3. 已知6,4a b ab +==，求22223a b a b ab ++的值。
4. 已知2a －b ＝5，ab ＝23，求4a 2＋b 2－1的值．5. 已知16x x-=，求221x x +的值。
6. 0132=++x x ，求（1）221x x +（2）441xx +7. 已知222450x y x y +--+=，求21(1)2x xy --的值。
8. 试说明不论x,y 取何值，代数式226415x y x y ++-+的值总是正数。
9. 已知三角形ABC的三边长分别为a,b,c且a,b,c满足等式22223()()a b c a b c ++=++，请说明该三角形是什么三角形10. 我国古代数学的许多创新和发展都位居世界前列，如南宋数学家杨辉（约13世纪）所着的《详解九章算术》一书中，用如图的三角形解释二项和的展开式的各项系数，此三角形称为“杨辉三角”。
根据“杨辉三角”请计算的展开式中第三项的系数为（）。
A 、2017B 、2016C 、191D 、190。