数学模型等级结构

攀枝花学院学生课程设计（论文）

题目：

学生姓名：学号：

所在院(系)：数学与计算机学院

专业：信息与计算科学

班级：

指导教师：职称：讲师

2014年 12月 19 日

攀枝花学院教务处制

攀枝花学院本科学生课程设计任务书

年

注：任务书由指导教师填写。

摘要

按照人们的职位或职位划分为许多等级，如大学教师分为教授，讲师，助教，工厂技术员分为高级工程师，工程师，技术员，学生有大学生，研究生，中学生等。不同等级人员比例不一样的等级结构。合适的，稳定的等级结构有利于教学，研究，生产等各个方面工作顺利进行，因此希望建立一个模型来描述等级结构变化情况，预知未来的结构。

引起等级结构变化的因素有两个，一是系统中等级间转移，即是升级或降级。二是系统外的交流，即是调入或退出。系统变化本是一个确定转移问题，但是当我们的人员时期按照一定比例成员提升，降级或退出，就转化为马氏链模型等级描述变化。

关键词等级结构、预知，变化，转移，马氏链

目录

摘要 (4)

1问题重述与问题分析 (5)

问题重述 (5)

问题分析： (6)

2模型假设与符号解释 (6)

模型假设 (6)

符号说明 (6)

3建立模型与分析 (9)

建立模型 (9)

模型1 (9)

..................................... 错误!未定义书签。

模型二 (10)

用调入比例进行动态调节 (10)

4模型结果 (12)

模型解释 (12)

结束语 (12)

参考文献 (12)

1问题重述与问题分析

问题重述

随着经济全球化的发展，推动生活节奏的加快，社会上常常要求按照人们的职位或职位划分为许多等级，如大学教师分为教授，讲师，助教，工厂技术员分为高级工程师，工程师，技术员，学生有大学生，研究生，中学生等。不同等级人员比例不一样的等级结构。合适的，稳定的等级结构有利于教学，研究，生产等各个方面工作顺利进行，因此希望建立一个模型来描述等级结构变化情况，预知未来的结构. 社会系统中的等级结构，适当的、稳定的结构的意义，描述等级结构的演变过程，预测未来的结构，确定为达到某个理想结构应采取相应

的策略解决问题。

问题分析：

引起等级结构变化因素。第一：系统内部等级间的转移：提升和级； 第二： 系统内外的交流：调入和退出(退休、调离等).用马氏链模型描述确定性转移问题 ——转移比例视为概率。

人才结构的系统性决定人才层次结构性，有多样性，划分标准性和各个层次功能多样性。

2模型假设与符号解释 模型假设

设一个社会系统由低级到高级分为k 个等级，如大学教师有助教、讲师、教授3个等级，时间是以年为单位离散化，就是每年只进行一次调级等级记作i=1,2,3，....k ，时间记作t=0，1，2,3....引用以下定义的符号：

符号说明

成员等级的分布向量

))(),....(2),(1()(t nk t n t n t n = (1)

其中)(t n i 为t 年属于等级i 的人数：

∑==k

i i t n t N 1)()( (2)

成员按等级分布的比列分布)(t a

))(),.....(2),(1()(t ak t a t a t a = (3) ∑==>=k

i t a t a 11)(1,0)(1 (4)

)(t a 称为等级结构

转移比列矩阵k k ij p Q *}{=其中ij p 为每年等级i 到等级j 的成员（在等级i 中的）比列

退出比例向量)...,(,21k w w w w =

∑===k

i T i i w t n t n w t W 1)()()( (5)

容易看出，,ij p i w ，满足

1,0,,1=>=∑=k

i i i i ij r r w p (6)

调入比例向量i k r r r r r r ),....,,(321=，其中i r 为每年调入等级i 的成员（在总人数中的）比例，记t 年总人数)(t R ，则t 年的总人数为)(,t R r i ，满足

1,01=>=∑=k

i i i r r (7)

等级结构基本方程 为了导出成员按等级的分布)(t n 的变化规律，先写总人数)(t N 的方程

)()()()1(t W t R t N t N -+=+ (8)

和每个等级人数转移方程

)()()1(1t R r t n p t n j i k

i ij j +=+∑= (9)

同向量、矩阵符号可以表示

r t R Q t n T n )()()1(+=+ (10)

从t 到t+1年总人数的增量记为)(t M （6），（3）得到

)()()()()(t M w t n t M t W t R T +=+= (11)

由（8）（9）得到

)()()()()(t M w t n t M t W t R T +=+= (12)

简记

r w Q P T =+ (13)

由（4）（5）是得到P 是一个随机阵，它的之是1.同时（11）记为

r t M P t n t n )()()1(+=+ (14)

当知道系统里进行转移比例矩阵Q 时，调入比例r ，初始的成员为

)0(n ，以及每年调入总人数)(t R 或总增长人数)(t M 时，可以用（8）（11）

（12）得到等级变化情况)(t n ，即是等级结构基本方程。 基本方程特殊形式

当每年系统总人数以固定的的百分比a 增长时，即

)()(t aN t M = (15)

可以用成员等级结构)(t a 代替)(t n 得到

])([)1()1(1ar P t a a t a ++=+- (16)

如果每年进出系统的人数大致相等，可以简化总人数)(t N 保持不变

))(()()1(r w Q t a P t a t a T +==+ (17)

方程与马氏链方程完全一致，等级结构相当于概率。

3建立模型与分析

建立模型 模型1

我们的中心问题是通过对调入比例r 的调节，尽快的达到或接近给定理想等级结构*a 但是等级结构)(t a 按照（12）的规律变化，人们希望

*a 达到一旦达到，就能够通过适当的调入比例使得*a 保持不变线。

下面看到的将不是任何等级都可以调入比例控制不变的。本段的目的是：给定内部转移比例矩阵}{ij p Q =，研究合适的调入比例可以保持不变称为调入比例对等级结构的稳定控制。

问题：给定Q, 哪些等级结构可以用合适的调入比例保持不变

P t a t a )()1(=+ （18）

r w Q P T += （19）

1},{1=+=∑=i k

j ij ij w p p Q （20）

R 应该满足∑==≥k

i i i r r 1

1,0

如果存在R 使得满足条件则

)(r w Q a a T

+= 得到 T

aw aQ

a r -= （21）

∑==k

i i r 1

1可验证 时

0≥?≥r aQ a (22)

得出 a 是稳定结构

当a 稳定时在判断大学教师（教授，讲师，助教）等级i=1，2，3， 已知每年转移比例矩阵

????

??????=8.00

3.06

.00

04.05.0Q （23） 求稳定结构a=（a1+a2+a3），a1+a2+a3）=1 （24）

可行域A

???

??+≥+≥≥?≥323

2121

18.03.06.04.05.0a

a a a a a a a aQ a （25） 得到 a2>a1,a3> (26)

5

.1:1:1:::

5.13212312===a a a a a a a 交点与 (27)

这是教师等级结构的可行域和稳定域

图一

S3(0,0,1),s2(1,0,0);

这个例子中稳定域B 是以可行域A 的顶点s3为一个顶点，以A 为一条边的三角形，这是具有代表性的。为进一步构造 我们讨论控制性。

模型二

用调入比例进行动态调节

这里最重要的是理想等级结构是a*，同时合理的假设a*属于B ，已知转移矩阵Q 和初始等级a （0），求调入比例r 使得a （0）接近

a*，如果没有达到，讨论a （1）....知道

a （X ）=a* (28)

问题分析

给定Q 和初始结构 a(0), 求一系列的调入比例 r, 使尽快达到 或接近理想结构 a* 属于B

逐步法：对于Q 和 a(0), 求 r 使 a(1)尽量接近 a*, 再将 a(1)作为新的a(0), 继续下去。 等级i 的权重

∑=-=k

i i i i a a a a D 12)2()1()

2()

1()(),(λ （29）

可以得到一个再次稳定模型

1

,0),)(0()1(..)

),1((min 1*=≥+=∑=k

i i i T r

r r r w Q a a t s a a D （30）

求r 使得a （1）尽量接近a* 模型从)0(a 到)1(a

)),1((min *a a D r

（31）

))(0()1(..r w Q a a t s T += （32）

1,01

=≥∑=k

i i i r r （33）

图二

可得到

r=（0，5，0，5），a （1）=（,,） (34)

令)1,0,0()0(=a

推出*a的值

286

*

a (35)

.0,

,0(

)

428

.0,

286

4模型结果

模型解释

这个模型不但可以描述社会系统中的等级结构，还可以研究不同部门之间成员的迁移，如人才的流动情况，在自由人才流动的情况下，从商，从政，从工，从教的人员结构的变化，电子，钢铁，机械的产业结构演变。

r(t), a(t) 的计算结果

a(7)已接近a* 观察r(t)的特点

结束语

对于课程设计，基本上实现了等级结构的划分要求，在实验中遇到不少问题，在与同学交换意见中得到理解这个问题。这个问题在实际运用中很广泛，因此我们也知道学习的困难，每当遇到不懂就主动去查阅资料，在处理每个问题时都及时处理，每个不懂都每天处理。

在电脑完成课程设计的过程中，遇到了不少的问题，一是有一些东西自己没有学过，而是在编写的过程中由于思路不清晰以及自己的粗心给自己制造了一些麻烦，通过书上的的例子可以帮助自己理清思路，在后面写时就显得简单了，遇到问题及时处理那么就会显得不难了。不要使得问题留在每日，不是就会越来越多。所以遇到问题要坚持去做。直到解决问题。

参考文献

刘来福《数学模型与数学建模》(第三版) 北师大版

姜启源等《数学模型》第四版高等教育出版社

姜启源等《数学模型》第三版高等教育出版社

李大潜《中国大学生数学建模竞赛》高等教育出版社