定积分的应用习题答案
定积分应用(平面图形面积)例题及习题解答.docx
定积分应用1、直角坐标系下平面图形面积的计算①连续】11|线y = f(x)(f(x)>O)Rx = a J x = h及兀轴所围成的平而图形而积为^f(x)dx②设平而图形山上下两条曲线)=广上⑴与)=f心)及左右两条肓线与x=b所|韦|成，则血•积元素为[f f r(x)]dx,于是平而图形的而积为：S = W-.A F(x)]dx .③连续曲线兀=久刃(0(y)» 0)及y = c, y = d及V轴所围成的平iM图形面积为A= [ 0(y)〃y④由方程X = 01 (y)与X = 02(歹)以及y = y = d所围成的平面图形面积为A=f”(y)—0(y)〕dy 翎>©)例1计算两条抛物线y = 0与兀=y2所围成的而积.解求解而积问题，一般需要先画一草图(图3),我们要求的是阴影部分的而积.需y = x2x = y2要先找出交点处标以便确定积分限，为此解方程组:得交点(0,0)和(1,1).选取兀为积分变量，则积分区间为[0,1],根据公式(1),所求的面积为3 lo 3—•般地，求解而积问题的步骤为：(1)作草图，求曲线的交点，确定积分变最和积分限.(2)写出积分公式.(3)计算定积分.例2计算抛物线r=2v与直线)=x-4所围成的图形的面积.解(1)画图.(2)确定在y轴上的投影区间：L-2,4J.(3)确定左右曲线:0左(刃=如2, 0右(y) = y+4.⑷计算积分s =匸。
+4-号y2）dy 二母y2+4）一”,3］役=］8.例3求在区间［丄，2 ］上连续|11|线y=ln x , x轴及二直线x =-，与x二2所围成平面区2 2域（如图2）的面积o解：已知在［$2］上，in淀°;在区间［1 , 2 ］上，In x $0，则此区域的面积为:Ji |ln x^/x =21二-(x \n x - x) i + T4ln2-1•29例4 求抛物线y =x与x-2y-3=0所围成的平面图形（图3）的面积A。
数学分析课本(华师大三版)-习题及答案第十章
数学分析课本(华师大三版)-习题及答案第十章第十章 定积分的应用一、 填空题 1． 求曲线8,2222=+=y x x y 所围成图形面积A （上半平面部分），则A =2． 曲线xxe y e y -==,及1=x 所围面积A =3． 曲线θθcos 1,cos 3+==r r 所围面积A = 4． 曲线)0(>=λλθae r 从0=θ到αθ=一段弧长S =5． 曲线⎩⎨⎧-=+=)cos (sin )sin (cos t t t a y t t t a x 从0=t 到π=t 一段弧长S =6． 均匀摆线)0(cos 1sin π≤≤⎩⎨⎧-=-=t t y tt x ，弧长4=S ，则其重心坐标是 7． 曲线0,0),0(==≤=y x x ey x所围图形绕Ox 轴旋转所得旋转体的体积为 ；而绕Oy 轴旋转所得旋转体的体积为 8． 抛物线)(a x x y -=与直线x y =所围图形的面积为9． 在抛物线24x y =上有一点P ，已知该点的法线与抛物线所围成的弓形面积为最小，则P 点的坐标是 10．设有一内壁形状为抛物面22y xz +=的容器，原来盛有)(83cm π的水，后来又入注)(643cm π的水，设此时水面比原来提高了hcm ，则h =11．由曲线,2,1=+=x x x y 及2=y 所围图形的面积S = 曲线xx xy 223++-=与x 轴所围成的图形的面积A =二、选择填空题1． 曲线)0(ln ,ln b a a y x y <<==与y 轴所围成图形的面积为A ，则A =（ ） （A ）⎰baxdxln ln ln （B ）⎰bae ex dxe （C）⎰b ay dye ln ln（D ）⎰b a e e xdxln2．曲线x y x y ==,1，2=x 所围成的图形面积为A ，则A =（ ） （A ）dx x x)1(21-⎰（B ）dx x x )1(21-⎰ （C ）⎰⎰-+-2121)2()12(dyy dy y（D ）⎰⎰-+-2121)2()12(dxx dx x3．曲线xe y =下方与该曲线过原点的切线左方及y 轴右方所围成的图形面积A =（ ）（A ）dxex ex)(10-⎰（B ）dy y y y e )ln (ln 1-⎰（C ）dxxe e ex x )(1⎰-（D ）dy y y y )ln (ln 10-⎰4．曲线)0(cos 2>=a a r θ所围图形面积A =（ ） （A）()θθπd a 220cos 221⎰（B ）θθππd a ⎰-2cos 221（C）()θθπd a 220cos 221⎰（D ）()θθπd a 220cos 2212⎰5．曲线πθπθθ=-==,,ae r 所围图形面积A =（ ）（A）⎰πθθ02221d e a（B ）⎰πθθ20222d e a （C）⎰-ππθθd e a 22（D ）⎰-ππθθd e a 2226．曲线θθ2cos ,sin 22==r r 所围图形面积A =（ ）（A ）()()⎰⎰+-222121212cos 2sin 2θθθθd d（B ）()()⎰⎰+46262cos sin 2πππθθθθd d （C ）()()⎰⎰+462602cos 21sin 221πππθθθθd d（D ）()()⎰⎰+462602cos sin 22πππθθθθd d7．曲线()21ln x y -=上210≤≤x 一段弧长S =（ ） （A）dx x ⎰⎪⎭⎫ ⎝⎛-+2102111（B ）⎰-+212211dx x x（C ）dx x x ⎰⎪⎭⎫ ⎝⎛--+2102121 （D ）dxx ⎰-+21022])1[ln(18．摆线)0()cos 1()sin (>⎩⎨⎧-=-=a t a y t t a x 一拱与x 轴所围图形绕x 轴旋转，所得旋转体的体积=V （ ） （A ）()⎰-ππ2022cos 1dt t a（B ）())]sin ([cos 12202t t a d t a a--⎰ππ（C ）()⎰--ππ2022)]sin ([cos 1t t a d t a（D ）()⎰-adt t a ππ2022cos 19．星形线⎪⎩⎪⎨⎧==ta y t a x 33sin cos 的全长S =（ ）（A ）⎰-⋅202)sin (cos 3sec 4πdtt t a t（B ）⎰-⋅022)sin (cos3sec 4πdtt t a t （C ）⎰-⋅π02)sin (cos 3sec 2dtt t a t （D ）⎰-⋅02)sin (cos 3sec 2πdtt t a t10．心形线)cos 1(4θ+=r 与直线2,0πθθ==围成图形绕极轴旋转的旋转体体积 =V （ ） （A ）⎰+202)cos 1(16πθθπd（B ）⎰+2022sin )cos 1(16πθθθπd（C ）⎰++2022]cos )cos 1(4[sin )cos 1(16πθθθθπd（D ）⎰++0222]cos )cos 1(4[sin )cos 1(16πθθθθπd11．两个半径为a 的直交圆柱体所围的体积为V=（ ）（A ）⎰-adxx a 022)(4 （B ）⎰-adx x a 022)(8（C ）⎰-a dxx a 022)(16 （D ）⎰-adx x a 022)(212．矩形闸门宽a 米，高h 米，垂直放在水中，上沿与水面齐，则闸门压力p =（ ） （A ）⎰h ahdh 0（B ）⎰a ahdh 0（C ）⎰hahdh 021（D ）⎰h ahdh 0213．横截面为S ，深为h 的水池装满水，把水全部抽到高为H 的水塔上，所作功=W （ ）（A ）⎰-+h dy y h H S 0)( （B ）⎰-+H dy y h H S 0)(（C ）⎰-h dy y H S 0)( （D ）⎰+-+H h dy y h H S 0)(14．半径为a 的半球形容器，每秒灌水b ，水深)0(a h h <<，则水面上升速度是（ ）（A ）⎰hdy y dh d2π （B ）⎰--h dy a y a dhd 022])([π（C ）⎰h dy y dh d b2π （D ）⎰-h dy y ay dhd b02)2(15．设)(),(x g x f 在区间[]b a ,上连续，且m x g x f <<)()(（m为常数），则曲线b x a x x f y x g y ====,),(),(所围平面图形绕直线m y =旋转而成的旋转体体积为（ ）（A ）⎰-+-b adx x g x f x g x f m )]()()][()(2[π（B ）⎰---b adx x g x f x g x f m )]()()][()(2[π（C ）⎰-+-b adx x g x f x g x f m )]()()][()([π（D ）⎰---b adx x g x f x g x f m )]()()][()([π三、计算题1．求抛物线2x y =与2x 2y -=所围图形的面积。
高等数学定积分应用习题答案
第六章定积分的应用习题6-2(A) 1．求以下函数与x轴所围部分的面积：(1)y x26x8,[0,3](2)y2x x2,[0,3]2．求以下各图中暗影部分的面积：1.图6-13．求由以下各曲线围成的图形的面积：(1) y e x,y e x与 x1;(2)y lnx与x0,y lna,y lnb(ba0);(3)y2x x2与y x,y0;(4)y22x,y2(x1);(5)y24(1x)与y2x,y0;(6)y x2与y x,y2x;(7)y2sinx,y sin2x(0x);(8)y x2,x2y2（两部分都要计算）;2814．求由曲线y ln x与直线y0,x e1,x e所围成的图形的面积。
5．求抛物线y x24x3及其在点(0,3)和(3,0)处的切线所围成的图形的面积。
6．求抛物线y22px及其在点(p,p)处的法线所围成的图形的面积。
27．求曲线x y a与两坐标轴所围成的图形的面积。
x2y21所围图形的面积。
8．求椭圆2b2a9．求由摆线x a(t sint),ya(1cost)的一拱（0t2)与横轴所围图形的面积。
10．求位于曲线y e x下方与由该曲线过原点的切线的左方及x轴之间的图形的面积。
11．求由以下各方程表示的曲线围成的图形的面积：(1)2asin(a0);(2)2a(2cos)(a0);(3)22cos2（双纽线）;12.把抛物线y24ax及直线x x(x00)所围成的图形绕x轴旋转，计算所得旋转抛物体的体积。
13.由y x3,x2,y0所围成的图形，分别绕x轴及y轴旋转，计算所得两个旋转体的体积。
14．求以下已知曲线所围成的图形，按指定的轴旋转所产生的旋转体的体积：(1)y achx0,x a,y0,绕x轴;与xa(2)y sinx与y2x,绕x轴;(3)y sin x与y cosx(0x),绕x轴;2(4)y lnx,与x2,y0绕y轴;(5)y2x x2与y x,y0绕y轴;(6)(x5)2y216,绕y轴;15.求由抛物线y24(1x)及其在(0,2)处的切线和x轴所围的图形绕x轴旋转产生的旋转体的体积。
习题课_定积分的应用(解答)
中的 x0 唯一。
证明： (1)构造函数 g( x ) x f (t )dt ，对 g ( x ) 用罗尔定理即 可得证 。
x 1
(2) 考虑 g '( x) 的单调性来证明。
11
dx dx dx 2 2 2 2 0 1 2cos x 1 2cos x 2 1 2cos x
令 tan x t dx d tan x dt 2 2 而 ； 0 1 2cos 2 x 0 3 tan 2 x 0 3 t2 2 3
S S1 S2 (2 x x )dx ( x 2 2 x )dx 2
y x2 2 x
V y [(1 1 y )2 12 ]dy
1
0
[33 (1 1 y )2 ]dy 9
0
3 2 2 1 1
3
S2
1
o
3 2
d tan x 令 tan x t 0 dx dt 2 1 2cos2 x 2 3 tan2 x 3 t 2 2 3 ；
故原式
3
15
定积分的物理应用：
常 数 ，长度为 L 的细杆， 1.如图，x 轴上有一线密度为
有一质量为 m 的质点到杆右端的距离为 a ，已知引力 系数为 k，则质点和细杆之间引力的大小为（ A ） （A） L
3
5. 设曲线 y f ( x ) 在 x 轴的上方，并过点 (1,1) ，该曲线与直线
x 1 ， y 0 及动直线 x b(b 1) 所围图形绕 y 轴旋转所得的旋
高数第五章广义积分、定积分应用课堂练习题及参考答案
ab.
2
y
b
O
ax
1
4
(2)
四．求下列平面图形分别绕 x 轴、y 轴旋转产生的立体的体积.
1. 由椭圆 x2 y2 1围成的平面图形 a2 b2
解：如图，该旋转体可视为由上半椭圆 y b a2 x2 及 x 轴所围成的图形，绕 x 轴旋转而成 a
的立体，故
Vx
a
dV
a
a
a
b2 a2
解： Vx
2 (x3 )2 dx
0
7
x7
|02
128 7
Vy
2
8 0
x
x3dx
2
1 ( 5
x5 )
|80
64 5
（或者 Vy
8 (22 3
0
y2
)dy
(4 y
3 5
5
y3
)
|80
64 5
(3)
4. 曲线 y x3 与直线 x 0, y 1所围成的图形
解： Vy
1
(3
0
y )2 dy
；当
p 1时，发散
3.
11 1 x2
dx 1 x
1 1
2
( “对”，“错” )
11 1 x2 dx
解：错，无界函数的积分，瑕积分，瑕点为 0，
1
1 dx
01 dx
11 dx
1 x2
1 x2
0 x2
0
1
1 0 dx
lim (1 1) ，（或者
1 x2
x 1
x x 0
2
3
3
x2
x3 3
1
0
北师版高中数学选修2-2课后习题版 第四章 §3 定积分的简单应用
第四章DISIZHANG定积分§3定积分的简单应用课后篇巩固提升A组1.设f(x)在区间[a,b]上连续,则曲线f(x)与直线x=a,x=b,y=0围成的图形的面积为( )A.∫ba f(x)dx B.|∫f(x)badx|C.∫ba|f(x)|dx D.以上都不对f(x)在区间[a,b]上满足f(x)<0时,∫baf(x)dx<0,排除A;当围成的图形同时存在于x轴上方与下方时,∫baf(x)dx是两图形面积之差,排除B;无论什么情况C都正确.2.下列各阴影部分的面积S不可以用S=∫ba[f(x)-g(x)]dx求出的是( )S=∫ba[f(x)-g(x)]dx的几何意义是求函数f(x)与g(x)之间的阴影部分的面积,必须注意f(x)的图像要在g(x)的图像上方,对照各选项可知,D项中的f(x)的图像不全在g(x)的图像上方.故选D.3.如图,由函数f(x)=e x-e的图像,直线x=2及x轴围成的阴影部分的面积等于( )A.e2-2e-1B.e2-2eC.e 2-e 2D.e2-2e+1S=∫21f(x)dx=∫21(e x-e)dx=(e x-e·x)|12=e2-2e.4.直线y=2x,x=1,x=2与x轴围成的平面图形绕x轴旋转一周得到一个圆台,则该圆台的体积为( )A.28π3B.32π C.4π3D.3πV=∫21π·(2x)2dx=π∫214x2dx=4π·13x3|12=4π3(8-1)=28π3.5.如图所示,在边长为1的正方形OABC中,任取一点P,则点P恰好取自阴影部分的概率为( )A.14B.15C.16D.17{y=√x,y=x,得O(0,0),B(1,1).则S阴影=∫1(√x-x)dx=(23x 32-x 22)|01=23−12=16.故所求概率为S 阴影S 正方形=161=16.6.曲线y=cos x (π2≤x ≤3π2)与x 轴围成的平面图形的面积为 .解析由图可知,曲线y=cosx (π2≤x ≤3π2)与x 轴围成的平面图形的面积S=∫3π2π2cos xdx=-sin xπ23π2=(-sin3π2)−(-sin π2)=2.7.在同一坐标系中,作出曲线xy=1和直线y=x 以及直线y=3的图像如图所示,则阴影部分的面积为 . ∫113(3-1x )dx+∫31(3-x)dx=(3x-lnx)|131+(3x -12x 2)|13=3-(1-ln 13)+(9-12×32)−(3-12)=4-ln3.8.计算由y 2=x,y=x 2所围成图形的面积.,为了确定图形的范围,先求出这两条曲线的交点的横坐标.解方程组{y 2=x ,y =x 2,得出交点的横坐标为x=0或x=1.因此,所求图形的面积S=∫10(√x -x2)dx,又因为(23x 32-13x 3)'=x 12-x 2,所以S=(23x 32-13x 3)|01=23−13=13.9.求由曲线y=x 2+4与直线y=5x,x=0,x=4所围成的平面图形的面积.,如图所示.所求平面图形为图中阴影部分.解方程组{y =x 2+4,y =5x ,得交点为A(1,5),B(4,20).故所求平面图形的面积S=∫1(x 2+4-5x)dx+∫41(5x-x 2-4)dx=(13x 3+4x -52x 2)|01+(52x 2-13x 3-4x)|14=13+4-52+52×42-13×43-4×4-52+13+4=193.10.求抛物线y 2=2x 与直线y=4-x 围成的平面图形的面积.{y 2=2x ,y =4-x得抛物线和直线的交点为(2,2)及(8,-4).方法一:选x 作为积分变量,由图可得S=S A 1+S A 2.在A 1部分:由于抛物线的上部分方程为y=√2x ,下部分方程为y=-√2x ,所以S A 1=∫2[√2x -(-√2x )]dx=2√2∫20x 12dx=2√2·23x 32|02=163.S A 2=∫82[4-x-(-√2x )]dx =(4x -12x 2+2√23x 32)|28=383.所以S=163+383=18.方法二:∵y 2=2x,∴x=12y 2. 由y=4-x.得x=4-y,∴S=∫2-4(4-y -12y 2)dy=(4y -12y 2-16y 3)|-42=18.B 组1.如图,已知曲线y=f(x)与直线y=0,x=-32,x=2围成的图形面积为S 1=1,S 2=3,S 3=32,则∫2-32f(x)dx 等于( )A.112B.12C.-12D.72∫2-32f(x)dx=∫-1-32f(x)dx+∫1-1f(x)dx+∫21f(x)dx=S 1-S 2+S 3=1-3+32=-12.2.设直线y=1与y 轴交于点A,与曲线y=x 3交于点B,O 为原点,记线段OA,AB 及曲线y=x 3围成的区域为Ω.在Ω内随机取一点P,已知点P 取在△OAB 内的概率等于23,则图中阴影部分的面积为( )A.13B.14C.15D.16{y =1,y =x 3,解得{x =1,y =1. 则曲边梯形OAB 的面积为∫1(1-x 3)dx=(x -14x 4) 01=1-14=34.∵在Ω内随机取一个点P,点P 取在△OAB 内的概率等于23, ∴点P 取在阴影部分的概率等于1-23=13,∴图中阴影部分的面积为34×13=14.故选B.3.如图所示,直线y=kx 分抛物线y=x-x 2与x 轴所围成图形为面积相等的两部分,则k 的值为 .y=x-x 2与x 轴两交点横坐标为0,1,∴抛物线与x 轴所围成图形的面积为S=∫1(x-x 2)dx=(x 22-x 33)|01=16,抛物线y=x-x 2与直线y=kx 的两交点横坐标为0,1-k.∴S 2=∫1-k0(x-x 2-kx)dx=(1-k2x 2-x33)|01-k =16(1-k)3.又∵S=16,∴(1-k)3=12.∴k=1-√123=1-√432. 1-√4324.由直线y=x 和曲线y=x 3(x≥0)所围成的平面图形,绕x 轴旋转一周所得旋转体的体积为 .{y =x ,y =x 3(x ≥0),得{x =0,y =0,或{x =1,y =1.故所求体积V=∫1πx 2dx-∫10πx 6dx=π∫10x 2dx-π∫1x 6dx=π(13x 3|01-17x 7|01)=π(13-17)=4π21.5.已知函数f(x)=x 3-x 2+x+1,求其在点(1,2)处的切线与函数g(x)=x 2围成的图形的面积.(1,2)为曲线f(x)=x 3-x 2+x+1上的点,设过点(1,2)处的切线的斜率为k,则k=f'(1)=3×12-2×1+1=2,∴过点(1,2)处的切线方程为y-2=2(x-1),即y=2x.∴y=2x 与函数g(x)=x 2围成的图形如图.由{y =x 2,y =2x可得交点A(2,4). 又S △AOB =12×2×4=4,g(x)=x 2与直线x=2,x 轴围成的区域的面积S=∫20x 2dx=13x3|02=83,∴y=2x 与函数g(x)=x 2围成的图形的面积为S'=S △AOB -S=4-83=43.。
(完整版)定积分应用题附答案
《定积分的应用》复习题一．填空：1．曲线ln ,ln ,ln (0)y x y a y b a b y ===<<及轴所围成的平面图形的面积为A =ln ln by ae dy ⎰=b-a______2.2y x y ==曲线和 ____13____二．计算题：1．求由抛物线 y 2 = 2x 与直线 2x + y – 2 = 0 所围成的图形的面积。
解：（1）确定积分变量为y ，解方程组2222y x y x ⎧=⎨=-+⎩ 得12121/22,12x x y y ==⎧⎧⎨⎨==-⎩⎩ 即抛物线与直线的交点为（21，1）和( 2 , - 2 ).故所求图形在直线y = 1和y = - 2 之间，即积分区间为［－2，1 ］。
（2）在区间［－2，1］上，任取一小区间为［ y , y + dy ］,对应的窄条面积近似于高为［(１－21y ）-21y 2 ］,底为dy 的矩形面积，从而得到面积元素 dA = [(１－21y)- 21y 2 ]dy (3)所求图形面积 A =⎰-12[（1- 21y ）-21y 2 ]dy = [y - 41y 2 – 61y 3]12-= 942．求抛物线 y = - x 2 + 4x - 3 及其在点（0，- 3）和（3，0）处的切线所围成的图形的面积。
解：由y = - x 2 + 4x – 3 得 '24,'(0)4,'(3)2y x y y =-+==-。
抛物线在点（0，- 3）处的切线方程为 y = 4x – 3 ;在点（3，0）处的切线方程为 y = - 2x + 6 ; 两切线的交点坐标为 （ 32，3 ）。
故 面积A =332223029[(43)(43)][(26)(43)]4x x x dx x x x dx --+-+-+-+-=⎰⎰3．求由摆线 x = a (t – sint) , y = a( 1- cost) 的一拱（02t π≤≤）与横轴所围成的图形的面积。
第6章定积分的应用习题集及答案
第六章 习题 定积分的应用一．选择题1．曲线x y ln =、a y ln =、b y ln =（b a <<0）和y 轴所围图形的面积为（ C ） （A ）⎰ba xdx ln ln ln ； （B ）⎰be a e xdx e ； （C ）⎰ba ydy e ln ln ； （D ）⎰ae b e xdx ln ．2．曲线x e y =下方与该曲线过原点的切线左方和y 轴右方所围图形的面积为（a ）（A ）⎰-10)(dx ex e x ； （B ）⎰-edy y y y 1)ln (ln ； （C ）⎰-e x x dx x e e 1)(； （D ）⎰-10)ln (ln dy y y y ．3．摆线)sin (t t a x -=、)cos 1(t a y -=（0>a ）的一拱（π20≤≤t ）与x 轴所围图形绕x 轴旋转一周所成旋转体的体积为（ D ）（A ）⎰-ππ2022)cos 1(dt t a ； （B ）⎰--at t a d t a ππ2022)]sin ([)cos 1(； （C ）⎰-a dt t a ππ2022)cos 1(； （D ）⎰--ππ2022)]sin ([)cos 1(t t a d t a ． 4．曲线θρcos 2a =(0>a )所围图形的面积为（ D ）（A ）⎰22)cos 2(21πθθd a ； （B ）⎰-ππθθd a 2)cos 2(21；（C ）⎰πθθ202)cos 2(21d a ； （D ）⎰202)cos 2(212πθθd a ．5．连续曲线)(x f y =与直线a x =、b x =（b a <≤0）及x 轴围成的图形绕y 轴旋转一周生成的旋转体体积为（ B ）（A ）⎰ba dx x xf )(2π；（B ）⎰ba dx x f x )(2π；（C ）⎰ba dx x xf )(22π；（D ）⎰ba dx x f x )(22π． 6．半径为R 的半球形水池已装满水．要将水全部吸出水池，需做功的为 （ C ）（A ）⎰-Rdy y R 022)(π；（B ）⎰Rdy y 02π；（C ）⎰-Rdy y R y 022)(π；（D ）⎰Rdy y 03π．二．计算题1．求曲线221x y =与822=+y x 所围图形（上半平面部分）的面积．解：易知：曲线221x y =与822=+y x 的交点为(2,2)±。
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1填空题
［解答］犁（对=2-亍，令”5=0，可得注二;
当0
-时，严工；0＜：0,
〕单调递减.
4
所以 F （町的单调递减区间是 （Q-）或（4才］.
⑵曲线丿★—与其在r 处的切线所围成的部分被.轴分成两部分，这两部
分面积之比是
日n 2 2 尸3 27
2 2
两直线的交点可求得
=
—，即求解27护- 9穿+ 2 = 0
方法一：已知其一根为勺二齐设方程为 （T -
J 十 = 0
通过比较可得 盘二27,占=2 C = —6，可解得另外一根为 E =-彳
方法二：分解方程有
27卞弓—了誥―6斗+ 2= 0
弘+
2(3JT-1)=0
(我-1)〔弘2 -3H -2) = 0 即
(软-ly (致+ 2) = 0
所以
= (；［(*- ©+(红+厶］必=P^(Z^-iT+—)^X= — ］
4
3
27
4 3 27 27
A 弘―亠◎诗吩農
则虽仝 & 1
⑶设/（工）在［一兀兀］上连续，当门=_时，片何訂［于⑺―毗C ■旳讦必取最 小值.
［解答］L/S) -口 COSM 阳;r
=[[f^(X)- 2(^(X)COE + cP CCS^ ^jr](2/z J-J
=I
2&J /(jc) cosKxdx + J coE^ MZtiz
令F3=Q ，则
［解答］直线方程为
⑴函数片何=
（工＞ 0）的单调减少区间
__
2『/(JT)匚0$/3兀C/Y二2口J COS，戶jcdx
J /(TT)cos松兀国兀=2(3] UOE'MJT心=12(1 + cos 2?ix)dyi = aTT
1
所以
a =—了〔X J COSMK M X
⑷+ b三a°绕疋=-i (& ＞说＞O旋转所成旋转体体积—
[解答]令:= a = asin 0，则
当A ＞0时，
卩I =TTp (z + 占)2 如
=/r[[ (/ cof 妒+ 2i3buo汐+护加cos 饵© = jr(£/ + f 口°血十2脑)
I 3 2
当X €0时，
空 4 X
=可,(说'gJ G CM 沖竝畢-汀(-—+—/力-2^护)
所以
2
卩平-比=4J血珅+2肿)
JT
⑸ 求心脏线p = 4(l + cos^和直线3 = 0及日=-围成的图形绕极轴旋转所成旋转体
£-a
体积
［解答］将极坐标化为直角坐标形式为X =4(1+ cos, y= 4(1 + cc>s^)sin & 则血=即抵=64/7(1 + cos 軒 gmS •[-血0 cog 却一(1 + cos sin 吕弹0 =&47r(l + cos + 2 cos siti^ 田吕
所以卩-斜可;(1 + cg&)气I + 2 &)(1 - GG/&)詞(g30) (x= 3S&)
二64可；(1 + T)\l + 2x)(1- P沖
=64 巴fci +讦(1 + 2町(1—町必 (f = l + x)
=也兀Q 广一站-2?）； =1607r 2.计算题
⑴ 在直线 卞一y+l=O 与抛物线 》二疋2-4工+ 5的交点上引抛物线的法线， 求由两法线 及连接两交点的弦所围成的三角形的面积 ［解答］由题意可计算两法线的方程为
尸一2二一（工一1）,即卩恵一2卩+3=0
匚
/-5 = --(jc-4)，l 卩 x + 4y-24=0
9
壮，则 … 卢
K + 3. ,
.24-
Fs+l -丁如[(〒 1 f 4 1 rS
.
= -[b —1)必 +aJjlS-3；C 血
_ 15
-- 斗
丿=一;^'+4工一 1所围成的面积最小.
［解答］直线的斜率 k = 2x=2a ，则直线方程为
即 工'+（2盘一 4）jr + l-/二0，设方程的两根为 且天［也，则
片］+兀2 = 4 - 2口， 町殆=1 - 从而
X] — 尤]=+ 尤2尸 一4天1兀2 = 2J2屮-Aa-^3
工；-看二（兀-工1）（乂2 +兀J = 4（2 -小4加-4盘+3
£ 二［'（一兀‘十4兀 一 1一 2心十二 f
一 1 一 J?十（4 一
=—』2(^ ' — 4C 3(十 了 • (2，_ 斗£2 + 3)
4
2
二-(时-4卫 +3)1
两直线的交点为 ⑵ 过抛物线 护=兀2上的一点 血&2］作切线,
问 曲为何值时所作的切线与抛物线
y-以二2口 （x-a ），与抛物线相交,
E
（呛-4）=0
卩=2开|：开（7? - 2点一 血十衍L 巩F 一 F 十2力必
又 2^2—41 + 3> 0,所以 A =
⑶求通过点〔口）的直线F = #（工）中使得畑环 为最小的直线方程. ［解答］设y-1 =七（盂-1）,贝y 卩=/（盂）=£i + l-七=七盂+£
则 rnW 訂:［/—了W 卩必二J ：［/ —严
2
=［［十 一 2£严 +〔P - 2巧 J + 2^加 + a 的 号？ R
=丁一號+亍（沪一2办）+ 4妊+ 2护
斗7一軒匕严
⑷求函数了⑴=］；（U 必 的最大值与最小值 ［解答］f ⑴=2尢（2-内昇■令n ，可得同
尸0） = 2（2- 3押）茁* 一4心-齐"
当x = C 时，/%0）:＞0，即/（畫）在z = 0取最小值，此时 /（R = 0 当"忑时，/"（血）=-牝J 丈0，即/（舟在"忑取最大值
此时/（砧=（（2-0尹处"十/ ⑸ 求曲线y " - 2x 与y" 所围阴影部分面积 & ,并将此面积绕
歹轴旋转所构成
的旋转体体积，如图所示.
Q ?
［解答］S = J 1（丘一 2A - ”）必十［（，一 F 十2五乂兀
，宀討町-”=誇
3=1 — 土）
由叫円可得亠呼一心。
即
4^7 = 8可得 jt = 2
又F”（x ）＞0则当i = 2时FC ＞）为最小，此时 y （K ）方程为 /⑴=2
兀-1
=环兰-竺-兰几+顷亡-兰+空M y 3 4
心'4 5 3 用
163
= --- TT
30
⑹ 已知圆（—时+/ =厲2，其中bx 沁，求此圆绕丁轴旋转所构成的旋转体
体积和表面积.
［解答］令y = d sin 6，如图所示，则
耳=］：汨@ + —才尸今—］：吧& - JF -于）2®=町治- ySy =加&空-b今
g=£ 沁-妙
二討心
+£ 沁+3-■/『ji+（j
=S JTZ Z J P -------- df cos =4应1 沪
a皿召
⑺ 设有一薄板其边缘为一抛物线，如图所示，铅直沉入水中，
① 若顶点恰好在水平面上，试求薄板所受的静压力，将薄板下沉多深，压力加倍？［解答］抛物线方程为工=討，则在水下龙至U A + 这一小块所受的静压力为
所以整块薄板所受的静压力为
此=$必=1920
若下沉/，此时受到的静压力为
耳二亂（6十叫护= 16®十1920 要使耳=2片，解得/ = 12.
②若将薄板倒置使弦恰好在水平面在上，试求薄板所受的静压力，将薄板下沉多深，压力加倍？
［解答］建立如图坐标系，则抛物线方程为齐=2于，则在水下芜到x+必这一小块所
9
受的静压力为
所以整块薄板所受的静压力为
时Y■皿心哼「环送『存血
= 3200-1920 = 1230
若下沉/，此时受到的静压力为
曷=(20+；= 16Q/+12S0
要使马=2好，解得f = S.。