安徽省舒城中学2020-2021学年高二上学期第二次月考数学(文)试题缺答案
2020-2021学年安徽六安高二上数学月考试卷
2020-2021学年安徽六安高二上数学月考试卷一、选择题1. 坐标原点到下列各点距离最小的是( )A.(1,0,−3)B.(−2,1,1)C.(1,3,−1)D.(0,2,1)2. 若直线mx+2y+m=0与直线3mx+(m−1)y+7=0平行，则m的值为( )A.7B.0或7C.0D.43. 已知直线(3−2k)x−y−6=0不经过第一象限，则k的取值范围为( )A.(−∞, 32) B.(−∞, 32] C.(32,+∞) D.[32,+∞)4. 已知正项等比数列{a n}中，a3a5=4，且a4，a6+1，a7成等差数列，则该数列公比q为( )A.1 4B.12C.2D.45. 在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，a sin2B=b cos A cos B，则△ABC的形状是()A.锐角三角形B.直角三角形C.钝角三角形D.不确定6. 已知关于x的不等式ax+b>0的解集为(−∞, 1)，则不等式ax−bx−2>0的解集为( )A.{x|−1<x<2}B.{x|x<−1或x>2}C.{x|1<x<2}D.{x|x>2或x<1}7. 若圆x2+y2−2x+4y+m=0截直线x−y−3=0所得弦长为6，则实数m的值为( )A.−31B.−4C.−2D.−18. 圆C1：x2+y2+2x+4y+1=0与圆C2：x2+y2−4x−4y−1=0的公切线有几条( )A.1条B.2条C.3条D.4条9. 在平面直角坐标系中，△ABC的顶点B，C坐标为(−2, 0)，(2, 0)，中线AD的长度是3，则顶点A的轨迹方程是( )A.x2+y2=3B.x2+y2=4C.x2+y2=9(y≠0)D.x2+y2=9(x≠0)10. 已知方程x2+y2+4x−2y−4=0，则x2+y2的最大值是( )A. 14−6√5B.14C.9D. 14+6√511. 已知函数y=x−4+9x+1(x>−1)，当x=a时，y取得最小值b，则a+b等于( )A.−3B.2C.3D.812. 已知P，Q分别为圆M：(x−6)2+(y−3)2=4与圆N：(x+4)2+(y−2)2=1上的动点，A为x轴上的动点，则|AP|+|AQ|的最小值为( )A.√101−3B.5√5−3C.7√5−3D.5√3−3二、填空题若直线xa+yb=1(a>0，b>0)始终平分圆(x−1)2+(y−1)2=4的周长，则a+4b的最小值为________.三、解答题求适合下列条件的直线方程：(1)经过点A(−1,−3)，倾斜角等于直线y=√33x的倾斜角的2倍；(2)经过点B(3,4)，且与两坐标轴围成一个等腰直角三角形.变量x，y满足{x−4y+3≤0，3x+5y−25≤0，x≥1.(1)设z=yx−1，求z的取值范围；(2)设z=x2+y2，求z的最小值．已知圆M:x2+(y−1)2=16外有一点A(4,−2)，过点A作直线l.(1)当直线l与圆M相切时，求直线l的方程；(2)当直线l的倾斜角为135∘时，求直线l被圆M所截得的弦长.已知平面内两点A(8, −6)，B(2, 2)．(1)求AB的中垂线方程；(2)求过P(2, −3)点且与直线AB平行的直线l的方程；(3)一束光线从B点射向(2)中的直线l，若反射光线过点A，求反射光线所在的直线方程．已知圆C：x2+y2+2x−4y+3=0.(1)求圆心C的坐标及半径r的大小；(2)已知不过原点的直线l与圆C相切，且在x轴，y轴上的截距相等，求直线l的方程；(3)从圆外一点P(x, y)向圆引一条切线，切点为M，O为坐标原点，且|MP|=|OP|，求点P的轨迹方程.已知M(1, −1)，N(2, 2)，P(3, 1)，圆C经过M，N，P三点．(1)求圆C的方程，并写出圆心坐标和半径的值；(2)若过点Q(1, 1)的直线l与圆C交于A，B两点，求弦AB的长度|AB|的取值范围．参考答案与试题解析2020-2021学年安徽六安高二上数学月考试卷一、选择题 1.【答案】 D【考点】空间两点间的距离公式 【解析】利用两点间的距离分别求得原点到四个选项中点的距离，得出答案． 【解答】解：A ，√12+02+(−3)2=√10； B ，√(−2)2+12+12=√6； C ，√12+32+(−1)2=√11； D ，√02+22+12=√5. ∵ √5<√6<√10<√11，∴ D 选项表示的点到坐标原点的距离最小. 故选D . 2.【答案】 B【考点】直线的一般式方程与直线的平行关系 【解析】 此题暂无解析 【解答】解：∵ 直线mx +2y +m =0与直线3mx +(m −1)y +7=0平行， ∴ m(m −1)=3m ×2，∴ m =0或7，经检验，符合题意. 故选B . 3.【答案】 D【考点】直线的图象特征与倾斜角、斜率的关系 斜率的计算公式【解析】把直线的方程化为斜截式，再根据它经过定点(0, −6)，不经过第一象限，可得它的斜率3−2k ≤0，由此求得 k 的范围． 【解答】解：∵ 直线(3−2k)x −y −6=0，即y =(3−2k)x −6，它经过定点(0, −6)，不经过第一象限， 则它的斜率3−2k ≤0，求得 k ≥32.故选D . 4.【答案】 C【考点】等比数列的性质 等差数列的性质 【解析】 此题暂无解析 【解答】解：∵ a 3a 5=4，∴ a 4a 4=4，则a 4=2， ∵ a 4，a 6+1，a 7 成等差数列，∴ 2(a 6+1)=a 4+a 7，∴ 2(a 4q 2+1)=a 4+a 4q 3， 解得，q =2. 故选C . 5. 【答案】 B【考点】两角和与差的余弦公式 正弦定理【解析】 此题暂无解析 【解答】解：因为a sin 2B =b cos A cos B ， 所以sin A sin 2B =sin B cos A cos B ，所以sin B(sin A sin B −cos A cos B)=0， 即−sin B cos (A +B)=0.因为0<A <π，0<B <π， 所以A +B =π2， 故△ABC 是直角三角形. 故选B . 6.【答案】 A【考点】其他不等式的解法 【解析】由题意可得a <0，且−ba =1，要求的不等式即a(x−b a)x−2>0，即 x+1x−2<0，即 (x +1)(x −2)<0，由此求得它的解集．【解答】解：∵关于x的不等式ax+b>0的解集为(−∞, 1)，∴a<0，且−ba=1，则不等式ax−bx−2>0可整理为a(x−ba)x−2>0，即a(x+1)x−2>0，等同于(x+1)(x−2)<0，x≠2，解得−1<x<2.故选A.7.【答案】B【考点】直线与圆相交的性质【解析】把圆x2+y2−2x+4y+m＝0化为标准方程，找到圆心和半径，发现直线x−y−3＝0恰好经过圆心，得出圆直径为6，则半径为3，从而求出m的值．【解答】解：由圆x2+y2−2x+4y+m=0即(x−1)2+(y+2)2=5−m，∴圆心为(1, −2)，∴圆心在直线x−y−3=0上，∴此圆直径为6，则半径为3，∴5−m=32，∴m=−4.故选B.8.【答案】C【考点】两圆的公切线条数及方程的确定【解析】将圆的方程化为标准方程，求出圆心距及半径，可得两圆相外切，由此可确定两圆的公切线的条数．【解答】解：圆C1：x2+y2+2x+4y+1=0化为标准方程为：(x+1)2+(y+2)2=4，圆心坐标为C1(−1, −2)，半径为2；圆C2：x2+y2−4x−4y−1=0化为标准方程为：(x−2)2+(y−2)2=9，圆心坐标为C2(2, 2)，半径为3；∴圆心距|C1C2|=√(2+1)2+(2+2)2=5=2+3即两圆的圆心距等于两圆的半径的和，∴两圆相外切，∴两圆的公切线有3条.故选C.9.【答案】C【考点】轨迹方程【解析】由题意求出中点的坐标，根据两点间的距离求出A的轨迹构成，注意三角形中A，B，C不能共线．【解答】解：设A(x, y)，由题意，得B，C的中点坐标为(0, 0)，且y≠0，再由圆的定义，得x2+y2=9(y≠0).故选C.10.【答案】D【考点】圆的一般方程两点间的距离公式【解析】把已知的方程配方后，得到此方程表示以B为圆心，3为半径的圆，在平面直角坐标系中画出此圆，所求式子即为圆上的点到原点的距离的平方，即要求出圆上的点到原点的最大距离，故连接OB并延长，与圆B交于A 点，此时A到原点的距离最大，|AB|为圆B的半径，利用两点间的距离公式求出|OB|的长，根据|AB|+|OB|=|AO|求出|AO|的平方，即为所求式子的最大值．【解答】解：方程x2+y2+4x−2y−4=0可变形为(x+2)2+(y−1)2=9，表示圆心B(−2, 1)，半径为3的圆，连接OB并延长，与圆B交于点A，如图所示：在图中，x2+y2表示圆B上的点到原点O的距离的平方，此时x2+y2的最大值为|AO|2.又|AO|=|AB|+|BO|=3+√(−2)2+12=3+√5，则|AO|2=(3+√5)2=14+6√5，即x2+y2的最大值为14+6√5.故选D.11.【答案】C【考点】基本不等式在最值问题中的应用【解析】将y=x−4+9x+1(x>−1)，转化为y＝(x+1+9x+1)−5，再利用基本不等式求解即可．【解答】解：∵ x >−1， ∴ x +1>0，∴ y =x −4+9x+1=(x +1)+9x+1−5≥2√(x +1)⋅9x+1−5=1， 当且仅当x =2时取等号． ∴ a =2，b =1， ∴ a +b =3． 故选C . 12.【答案】 B【考点】与圆有关的最值问题圆与圆的位置关系及其判定【解析】求出圆N ：(x +4)2+(y −2)2＝1关于x 轴对称的圆为圆G ：(x +4)2+(y +2)2＝1，则|AP|+|AQ|的最小值为MG −1−2，根据两点间的距离公式可求． 【解答】解：根据圆M 的标准方程得：M(6,3)，圆N ：(x +4)2+(y −2)2=1关于x 轴对称的圆为圆G ：(x +4)2+(y +2)2=1，可得：G(−4,−2). 如图所示，则|AP|+|AQ|的最小值为：MG −1−2=√102+52−3=5√5−3. 故选B .二、填空题【答案】 9【考点】基本不等式在最值问题中的应用 直线与圆的位置关系【解析】【解答】解：因为直线始终平分圆的周长，故直线xa +yb =1(a >0,b >0)过圆心(1,1)，即1a +1b =1，所以a +4b =(a +4b )(1a +1b )=5+4b a+a b≥5+2√4b a⋅ab=9，所以a +4b 的最小值为9.故答案为：9. 三、解答题 【答案】解：(1)已知tan α=√33，k =tan 2α=2tan α1−tan 2α=√3.因为直线经过点A(−1,−3)，所以直线方程为y +3=√3(x +1)，化简得√3x −y +√3−3=0.(2)由题意可知，所求直线的斜率为±1.又直线过点(3,4)，由点斜式方程得y −4=±(x −3)， 所求直线的方程为x −y +1=0或x +y −7=0. 【考点】直线的点斜式方程 直线的斜率 直线的倾斜角 【解析】 【解答】解：(1)已知tan α=√33，k =tan 2α=2tan α1−tan 2α=√3.因为直线经过点A(−1,−3)，所以直线方程为y +3=√3(x +1)，化简得√3x −y +√3−3=0.(2)由题意可知，所求直线的斜率为±1.又直线过点(3,4)，由点斜式方程得y −4=±(x −3)， 所求直线的方程为x −y +1=0或x +y −7=0. 【答案】解：(1)作出不等式组对应的平面区域如图所示.z =yx−1的几何意义是区域内的点与定点D (1,0)的斜率， 由图象知CD 的斜率最小，则{x −4y +3=0，3x +5y −25=0， 解得{x =5，y =2，即C (5,2)，则CD 的斜率k =25−1=12， 即z 的取值范围是[12,+∞).(2)z =x 2+y 2的几何意义是平面区域内的点到坐标原点的距离的平方， 由(1)中的图象知OA 的距离最小， 则{x =1，x −4y +3=0， 解得{x =1，y =1，即A (1,1)，则z 的最小值为z =12+12=2. 【考点】求解非线性目标函数的最值-有关距离 求解非线性目标函数的最值-有关斜率 【解析】【解答】解：(1)作出不等式组对应的平面区域如图所示.z =yx−1的几何意义是区域内的点与定点D (1,0)的斜率， 由图象知CD 的斜率最小， 则{x −4y +3=0，3x +5y −25=0，解得{x =5，y =2，即C (5,2)，则CD 的斜率k =25−1=12， 即z 的取值范围是[12,+∞).(2)z =x 2+y 2的几何意义是平面区域内的点到坐标原点的距离的平方， 由(1)中的图象知OA 的距离最小， 则{x =1，x −4y +3=0， 解得{x =1，y =1，即A (1,1)，则z 的最小值为z =12+12=2.【答案】解：(1)由圆M:x 2+(y −1)2=16，知圆心M(0, 1)，半径R =4， 设直线l 斜率为k ，当k 不存在时，x =4与圆M 相切，符合题意； 当k 存在时，设直线l 的方程为：y +2=k(x −4)， 则圆心M(0, 1)到直线l 的距离为 d =√1+k 2=4，即|4k +3|=4√1+k 2，解得k =724，此时直线l 的方程为：7x −24y −76=0. 所以直线l 的方程为 x =4或7x −24y −76=0.(2)当直线的倾斜角为135∘时，即直线的斜率为k =−1， 则直线l 的方程为：y +2=−x +4，圆心M(0, 1)到直线l 的距离为：d =√1+1=√22， 则所截的弦长为：2√R 2−d 2=2(√22)=√62. 【考点】直线与圆的位置关系 圆的切线方程 点到直线的距离公式【解析】 此题暂无解析 【解答】解：(1)由圆M:x 2+(y −1)2=16，知圆心M(0, 1)，半径R =4， 设直线l 斜率为k ，当k 不存在时，x =4与圆M 相切，符合题意；当k 存在时，设直线l 的方程为：y +2=k(x −4)， 则圆心M(0, 1)到直线l 的距离为 d =√1+k 2=4，即|4k +3|=4√1+k 2，解得k=724，此时直线l 的方程为：7x −24y −76=0.所以直线l 的方程为 x =4或7x −24y −76=0.(2)当直线的倾斜角为135∘时，即直线的斜率为k =−1， 则直线l 的方程为：y +2=−x +4， 圆心M(0, 1)到直线l 的距离为：d =√1+1=√22， 则所截的弦长为：2√R 2−d 2=2(√22)=√62.【答案】 解：(1)8+22=5，−6+22=−2，∴ AB 的中点坐标为(5, −2)， k AB =−6−28−2=−43，∴ AB 的中垂线斜率为34，∴ 由点斜式可得y +2=34(x −5)，∴ AB 的中垂线方程为3x −4y −23=0. (2)由点斜式y +3=−43(x −2)， ∴ 直线l 的方程4x +3y +1=0.(3)设B(2, 2)关于直线l 的对称点B ′(m, n)，∴ {n−2m−2=34，4×m+22+3×n+22+1=0，解得{m =−145，n =−85， ∴ B′(−145，−85)，k B′A =−6+858+145=−1127，由点斜式可得y +6=−1127(x −8)，整理得11x +27y +74=0，∴ 反射光线所在的直线方程为11x +27y +74=0． 【考点】与直线关于点、直线对称的直线方程 直线的一般式方程与直线的垂直关系 直线的一般式方程与直线的平行关系 中点坐标公式 直线的点斜式方程【解析】（1）先由中点坐标公式求出中点坐标，然后根据垂直求出中垂线的斜率，进而由点斜式求出直线方程； （2）根据平行得出斜率，从而由点斜式求出直线方程；（3）求得点B 关于直线l 的对称点B ′的坐标，然后求出斜率，再由点斜式求出直线方程即可． 【解答】 解：(1)8+22=5，−6+22=−2，∴ AB 的中点坐标为(5, −2)， k AB =−6−28−2=−43，∴ AB 的中垂线斜率为34，∴ 由点斜式可得y +2=34(x −5)， ∴ AB 的中垂线方程为3x −4y −23=0.(2)由点斜式y +3=−43(x −2)， ∴ 直线l 的方程4x +3y +1=0.(3)设B(2, 2)关于直线l 的对称点B ′(m, n)， ∴ {n−2m−2=34，4×m+22+3×n+22+1=0，解得{m =−145，n =−85， ∴ B′(−145，−85)，k B′A =−6+858+145=−1127，由点斜式可得y +6=−1127(x −8)，整理得11x +27y +74=0，∴ 反射光线所在的直线方程为11x +27y +74=0．【答案】解：(1)由圆C ：x 2+y 2+2x −4y +3=0， 得：(x +1)2+(y −2)2=2，∴圆心坐标C(−1, 2)，半径r=√2.(2)∵切线在两坐标轴上的截距相等且不为零，∴ 设直线l的方程为x+y=a.∵直线l与圆C：(x+1)2+(y−2)2=2相切，∴圆心C(−1, 2)到切线l的距离等于圆C的半径√2，即：√2=√2，解得a=−1或a=3，故所求切线方程为：x+y+1=0或x+y−3=0.(3)∵切线PM与半径CM垂直，P(x, y)，∴|PM|2=|PC|2−|CM|2.又∵|MP|=|OP|，|CM|为圆C的半径，∴x2+y2=(x+1)2+(y−2)2−2，∴点P的轨迹方程为2x−4y+3=0.【考点】圆的标准方程与一般方程的转化圆的切线方程轨迹方程点与圆的位置关系圆的标准方程【解析】（1）化圆的一般方程为标准方程，从而得到圆心坐标和半径；（2）设出直线的截距式方程，整理为一般式，由圆心到切线的距离等于半径列式求得a的值，则切线方程可求；（3）由切线垂直于过切点的半径及|MP|=|OP|列式求点P的轨迹方程．【解答】解：(1)由圆C：x2+y2+2x−4y+3=0，得：(x+1)2+(y−2)2=2，∴圆心坐标C(−1, 2)，半径r=√2.(2)∵切线在两坐标轴上的截距相等且不为零，∴ 设直线l的方程为x+y=a.∵直线l与圆C：(x+1)2+(y−2)2=2相切，∴圆心C(−1, 2)到切线l的距离等于圆C的半径√2，即：2=√2，解得a=−1或a=3，故所求切线方程为：x+y+1=0或x+y−3=0.(3)∵切线PM与半径CM垂直，P(x, y)，∴|PM|2=|PC|2−|CM|2.又∵|MP|=|OP|，|CM|为圆C的半径，∴x2+y2=(x+1)2+(y−2)2−2，∴点P的轨迹方程为2x−4y+3=0. 【答案】解：(1)设圆C的方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0．∵圆C过M，N，P三点，∴{1+1+D−E+F=0，4+4+2D+2E+F=0，9+1+3D+E+F=0，解得{D=−3，E=−1，F=0，∴圆C的方程为x2+y2−3x−y=0，整理得(x−32)2+(y−12)2=52，∴圆心C(32, 12)，半径r=√102．(2)设圆心C到直线l的距离为d，点Q(1, 1)到圆心的距离为|CQ|=√(1−32)2+(1−12)2=√22<√102=r，∴点Q在圆内，∴|AB|=2√52−d2，∴当0≤d≤|CQ|=√22（l过圆心C时，d=0；当l⊥CQ时，d=√22），∴2√2≤|AB|≤√10．【考点】直线与圆的位置关系圆的一般方程圆的标准方程点到直线的距离公式两点间的距离公式【解析】【解答】解：(1)设圆C的方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0．∵圆C过M，N，P三点，∴{1+1+D−E+F=0，4+4+2D+2E+F=0，9+1+3D+E+F=0，解得{D =−3，E =−1，F =0，∴ 圆C 的方程为x 2+y 2−3x −y =0， 整理得(x −32)2+(y −12)2=52， ∴ 圆心C(32, 12)，半径r =√102． (2)设圆心C 到直线l 的距离为d ，点Q(1, 1)到圆心的距离为|CQ|=√(1−32)2+(1−12)2=√22<√102=r ，∴ 点Q 在圆内， ∴ |AB|=2√52−d 2， ∴ 当0≤d ≤|CQ|=√22（l 过圆心C 时，d =0；当l ⊥CQ 时，d =√22）， ∴ 2√2≤|AB|≤√10．。
六安市舒城中学2020_2021学年高二数学下学期第二次月考试题理
A．既有极大值，也有极小值 极小值，无极大值
B．有
C．有极大值，无极小值 极大值，也无极小值
D．既无
8．已知函数 y ax b(a 1) 的图象经过点 (2,1) ,则
16 b 的最小值为
a
（)
A．11
B．12
D．14
C．13
9．曲线
y
1 x
4
安徽省六安市舒城中学 2020_2021 学年高二数学下学期第二次月考试题理
（1）若 f (x) 在 x 1,上是增函数,求实数 a 的 取值范围； （2）若 x 3是 f (x) 的极值点，求 f (x) 在 x 1,a上 的最大值和最小值．
18．（本题 12 分)如图，已知多面体 ABCDEF 中， ABCD为菱形， ABC 60 ， AE⊥平面 ABCD， AE / /CF ， AB AE 1， AF⊥BE ．
与曲线
y
x
2
的公切线方程为
(）
A． y 4x 4 D． y 2x 4
B． y 4x 4
C． y 2x 4
10．已知偶函数 f x 的定义域为x | x 0，导函
数为 f (x) , f 1 3，2 f x xf x 2，则不等式
f
x
1
2 x2
的解集为
（）
A．x | x 2 或 x 2
D。14
8。由题可得: a2 b 1 b 1 a2 ，所以
16 a
b
=
16 a
a2
1，令
y=
16 a
a2
1,
y
'
16 a2
2a
2a3 16 a2
2020-2021学年安徽六安高二上数学月考试卷
2020-2021学年安徽六安高二上数学月考试卷一、选择题1. 若a，b是异面直线，b，c是异面直线，则a，c的位置关系为()A.相交、平行或异面B.相交或平行C.异面D.平行或异面2. 以下判断中正确的是( )A.经过三点可以确定一个平面B.经过一条直线和一个点可以确定一个平面C.两两相交且不共点的三条直线确定一个平面D.四边形确定一个平面3. 下列正方体或四面体中，P，Q，R，S分别是所在棱的中点，这四个点不共面的一个图形是（）A. B.C. D.4. 圆台的一个底面周长是另一个底面周长的3倍，母线长为3，圆台的侧面积为84π，则圆台较小底面的半径为()A.7B.6C.5D.35. 如图所示的直观图的平面图形ABCD中，AB=2, AD=2BC=4，则原四边形的面积( ) A.4√3 B.8√3 C.12 D.106. 已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为()A.323B.32C.163D.167. 若圆锥的侧面展开图是一个半径为2的半圆，则圆锥的体积是（）A.√33π B.√3π C.√63π D.√6π8. 一个几何体的三视图如图所示，则该几何体外接球的表面积为()A.163π B.1912π C. 193π D.43π9. 给出下列命题：①第二象限角大于第一象限角；②三角形的内角是第一象限角或第二象限角；③不论用角度制还是用弧度制度量一个角，它们与扇形所对半径的大小无关；④若sinα=sinβ，则α与β的终边相同；⑤若cosθ<0，则θ是第二或第三象限的角．其中正确命题的个数是( )A.1B.2C.3D.410. 已知在△ABC中，AB=2√3,sin A=2√23,tan C=√55，则BC=()A.8√3B. 8C. 4√3D.411. 一个棱长为2的正方体被一个平面截去部分后，余下部分的三视图如图所示，则截去部分与剩余部分体积的比为( )A.1:3B.1:4C.1:5D.1:612. 设x，y满足约束条件{3x−y−6≤0,x−y+2≥0,x≥0,y≥0,若目标函数z=ax+by(a>0,b>0)的最大值为12，则2a+3b的最小值为()A.8 3B.256C.113D.4二、填空题若关于x的不等式(m+1)x2−mx+m−1>0的解集为⌀，则实数m的取值范围是________.三、解答题一个正三棱台的上下底面边长分别为3cm、6cm，高是32cm，求此三棱台的：(1)侧棱长；(2)体积．已知函数f(x)=√3sin2x+2cos2x−1，x∈R.(1)求函数f(x)的最小正周期和单调递减区间；(2)在△ABC中，A，B，C的对边分别为a，b，c，已知c=√3，f(C)=1，sin B=2sin A，求a，b的值. 已知各项均不相等的等差数列{a n}的前4项和为10，且a1，a2，a4是等比数列{b n}的前3项．(1)求a n，b n；(2)设c n=b n+1a n(a n+1)，求{c n}的前n项和S n．如图所示，在空间四面体ABCD中，E，F分别是AB，AD的中点，G，H分别是BC，CD上的点，且CG=13BC，CH=13DC.求证：(1)E，F，G，H四点共面；(2)直线FH，EG，AC共点．已知一个圆锥的地面半径为R，高为√15R，点M是母线VP的中点．(1)若该圆锥中有一个内接正方体，求该正方体的棱长；(2)有一只虫子从P点绕着圆锥面爬行到M点（如图中曲线PM），求该虫爬过的最短距离．棱长1的正方体ABCD−A1B1C1D1中，点E，F，G分别是DD1，BD，BB1的中点．(1)求证：EF⊥CF；(2)求EF与CG所成角的余弦值；参考答案与试题解析2020-2021学年安徽六安高二上数学月考试卷一、选择题1.【答案】A【考点】空间中直线与直线之间的位置关系【解析】根据异面直线的定义可得直线α，毛的位置关系可能相交，可能平行，可能是异面直线．【解答】解：因为a，b是异面直线，b，c是异面直线，则a，c的位置关系可能相交，可能平行，也可能是异面直线，如图所示.故选A.2.【答案】C【考点】平面的基本性质及推论【解析】此题暂无解析【解答】解：A，必须是不共线的三点确定一个平面，故A不对；B，一条直线和直线外的一点确定一个平面，故B不对；C，两两相交且不共点的三条直线，则三个交点不共线，故它们可以确定一个平面，故C正确；D，比如空间四边形则不是平面图形，故D不对.故选C．3.【答案】D【考点】平面的基本性质及推论【解析】此题暂无解析【解答】解：A，分别连结PR，QS，如图，则PR // QS，故P，Q，R，S共面；B，过P，Q，R，S可作一正六边形，如图，故P，Q，R，S四点共面；C，分别连结PQ，RS，则PQ // RS，故P，Q，R，S共面；D，分别连结PS，RQ，如图，PS与RQ为异面直线，故P，Q，R，S四点不共面．故选D.4.【答案】A【考点】旋转体（圆柱、圆锥、圆台）【解析】设出上底面半径为r，利用圆台的一个底面周长是另一个底面周长的3倍，母线长为3，圆台的侧面积为84π，求出上底面半径，即可．【解答】解：设上底面半径为r，因为圆台的一个底面周长是另一个底面周长的3倍，母线长为3，圆台的侧面积为84π，所以S侧面积=π(r+3r)l=84π，r=7.故选A.5.【答案】C【考点】平面图形的直观图【解析】原图为直角梯形，上底为1，高为2，下底为1+√2，利用梯形面积公式求解即可．也可利用原图和直观图的面积关系求解．【解答】解：直观图的高为AB⋅sin45∘=√2，所以直观图的面积为12×(2+4)×√2=3√2，∴原四边形面积为：3√2÷√24=12．故选C.6.【答案】A【考点】由三视图求体积【解析】先从三视图判断原几何体的形状和特点，再把相关的已知的量找出来，利用三棱锥体积公式求解即可.【解答】解：由三视图可判断几何体是一个三棱锥，底面三边为4，4，4√2，高为4，则几何体的体积为V=13Sℎ=13×12×4√2×4×2√2=323.故选A.7.【答案】A【考点】旋转体（圆柱、圆锥、圆台）【解析】该圆锥的底面半径r＝2．由题意可知该圆锥的母线长为4，则圆锥的高为2√3，由此能求出该圆锥的体积．【解答】解：因为圆锥的侧面展开图为一个半径为2的半圆，所以该圆锥的底面周长为2π，则底面半径为1，圆锥的高为√3，所以圆锥的体积为13π×12×√3=√33π.故选A.8.【答案】C【考点】由三视图求外接球问题由三视图求表面积球的表面积和体积【解析】通过三视图判断几何体的特征，几何体是一个三棱柱，三棱柱的底面是边长为2的正三角形，侧棱长是1，根据三棱柱的两个底面中心连线的中点就是三棱柱的外接球的球心，求出球的半径，即可求解球的表面积．【解答】解：由三视图知，几何体是一个三棱柱，三棱柱的底面是边长为2的正三角形，侧棱长是1，三棱柱的两个底面中心连线的中点就是三棱柱的外接球的球心，如图：底面是正三角形，AD=2√33，OD=12．r=AO=√AD2+OD2=√(2√33)2+(12)2=√1912．所以该几何体外接球的表面积为：4πr2=193π．故选C．9.【答案】A【考点】任意角的概念【解析】根据题意，对题目中的命题进行分析、判断正误即可．【解答】解：对于①，根据任意角的概念知，第二象限角不一定大于第一象限角，例如120∘是第二象限角，361∘是第一象限角， 而361∘>120∘，故①错误；对于②，三角形的内角α∈(0, π)，∴ α是第一象限角或第二象限角，或y 轴正半轴角，故②错误；对于③，根据角的定义知，不论用角度制还是用弧度制度量一个角， 它们与扇形所对半径的大小无关，故③正确； 对于④，若sin α=sin β，则α与β的终边相同， 或关于y 轴对称，故④错误；对于⑤，若cos θ<0，则θ是第二或第三象限的角， 或终边在x 负半轴上，故⑤错误.综上，其中正确命题是③，只有1个． 故选A . 10.【答案】 B【考点】 正弦定理 【解析】 此题暂无解析 【解答】 解：因为 tan C =√55,所以 sin C =√66， 在△ABC 中，由正弦定理， 可得ABsin C =BCsin A ，故√3√66=2√23，解得 BC =8. 故选B ． 11.【答案】 A【考点】由三视图求体积（切割型） 【解析】 此题暂无解析 【解答】解：由题意可知，几何体被平面ABCD 分为上下两个部分，如图所示：∵ 正方体的棱长为2，截去部分体积为：12×2×1×2=2，剩余部分体积为：2×2×2−2=6， ∴ 截去部分与剩余部分体积的比为：1:3. 故选A . 12. 【答案】 B【考点】基本不等式在最值问题中的应用 求线性目标函数的最值 简单线性规划【解析】 此题暂无解析 【解答】解：不等式表示的平面区域如图所示阴影部分，当直线ax +by =z (a >0,b >0)，过直线x −y +2=0与直线3x −y −6=0的交点(4,6)时， 目标函数z =ax +by (a >0,b >0)取得最大值12， 即4a +6b =12，即2a +3b =6，而2a +3b =(2a +3b )2a+3b6=136+(b a +a b)≥136+2=256．故选B .二、填空题 【答案】(−∞,−2√33] 【考点】一元二次不等式的解法 【解析】 【解答】解：由题可得，(m+1)x2−mx+m−1≤0的解集为R，令f(x)=(m+1)x2−mx+m−1，当m=−1时，不成立，当m>−1时，不成立,当m<−1时, Δ≤0，∴m2−4(m+1)(m−1)≤0，∴m2≥43，∴ m≥2√33或m≤−2√33，又m<−1，∴ m≤−2√33.故答案为：(−∞,−2√33].三、解答题【答案】解：(1)如图，由题意知，DM=23×3×√32=√3，AN=23×6×√32=2√3，又由MN=32，则AD=√MN2+(AN−DM)2=√212，即侧棱长为√212cm.(2)S1=12×3×3×sin60∘=9√34，S2=12×6×6×sin60∘=9√3，则V=13×(9√34+129√3+9√3)×32=63√38(cm2)．【考点】柱体、锥体、台体的体积计算棱台的结构特征【解析】作出三棱台，（1）构造直角三角形，利用勾股定理求解，（3）代入体积公式求体积即可．【解答】解：(1)如图，由题意知，DM=23×3×√32=√3，AN=23×6×√32=2√3，又由MN=32，则AD=√MN2+(AN−DM)2=√212，即侧棱长为√212cm.(2)S1=12×3×3×sin60∘=9√34，S2=12×6×6×sin60∘=9√3，则V=13×(9√34+129√3+9√3)×32=63√38(cm2)．【答案】解：(1)由f(x)=√3sin2x+cos2x=2sin(2x+π6)，可得最小正周期为T=2π2=π，令π2+2kπ≤2x+π6≤3π2+2kπ(k∈Z)，解得π6+kπ≤x≤2π3+kπ(k∈Z)，∴函数的单调递减区间为[π6+kπ,2π3+kπ],k∈Z；(2)∵f(C)=2sin(2C+π6)=1，∴C=π3.由余弦定理得(√3)2=a2+b2−2ab cosπ3，即a2+b2−ab=3，①又∵sin B=2sin A，由正弦定理得b=2a，②①②联立，解得a=1，b=2.【考点】两角和与差的正弦公式正弦函数的周期性余弦定理正弦定理三角函数中的恒等变换应用正弦函数的单调性【解析】（1）根据辅助角公式即可求得f(x)，即可求得f(x)最小正周期及单调递减区间；（2）由f(C)＝1，即可求得C，利用余弦定理及正弦定理即可求得a和b的值．【解答】解：(1)由f(x)=√3sin2x+cos2x=2sin(2x+π6)，可得最小正周期为T=2π2=π，令π2+2kπ≤2x+π6≤3π2+2kπ(k∈Z)，解得π6+kπ≤x≤2π3+kπ(k∈Z)，∴函数的单调递减区间为[π6+kπ,2π3+kπ],k∈Z；(2)∵f(C)=2sin(2C+π6)=1，∴C=π3.由余弦定理得(√3)2=a2+b2−2ab cosπ3，即a2+b2−ab=3，①又∵sin B=2sin A，由正弦定理得b=2a，②①②联立，解得a=1，b=2.【答案】解：(1)设数列{a n}的公差为d，由题意知：a1+a2+a3+a4=4a1+4×(4−1)2d=4a1+6d=10，①又因为a1,a2,a4成等比数列，所以a22=a1⋅a4，所以(a1+d)2=a1⋅(a1+3d)，整理得d2=a1d,又因为d≠0,所以a1=d，②由①②得a1=1，d=1，所以a n=n，b n=2n−1.(2)因为c n=2n−1+1n(n+1)，所以S n=20+21+⋯+2n−1+(1−12+12−13+⋯+1n−1n+1)=1−2n+1−1=2n−1n+1，所以数列{c n}的前n项和S n=2n−1n+1．【考点】等比中项数列的求和等比数列的前n项和等比数列的通项公式等差数列的前n项和等差数列的通项公式【解析】此题暂无解析【解答】解：(1)设数列{a n}的公差为d，由题意知：a1+a2+a3+a4=4a1+4×(4−1)2d=4a1+6d=10，①又因为a1,a2,a4成等比数列，所以a22=a1⋅a4，所以(a1+d)2=a1⋅(a1+3d)，整理得d 2=a 1d , 又因为d ≠0, 所以a 1=d ，②由①②得a 1=1，d =1， 所以a n =n ，b n =2n−1. (2)因为c n =2n−1+1n (n+1)，所以S n =20+21+⋯+2n−1+(1−12+12−13+⋯+1n−1n+1)=1−2n1−2+1−1n +1=2n −1n+1，所以数列{c n }的前n 项和S n =2n −1n+1． 【答案】证明：(1)如图，连接EF,GH ，∵ E ，F 分别是AB ，AD 的中点， ∴ EF // BD ；∵ G ，H 分别为BC ，CD 上的点， 且CG =13BC ，CH =13DC ，∴ GH // BD ． ∴ EF // GH ，∴ E ，F ，G ，H 四点共面．(2)易知FH 与直线AC 不平行，但共面，可设 FH ∩AC =M ， M ∈ 平面EFHG ,M ∈ 平面ABC. ∵ 平面 EFHG ∩ 平面ABC =EG ，∴ M ∈EG , ∴ 直线FH ，EG ，AC 共点.【考点】平面的基本性质及推论 【解析】（1）利用三角形中位线定理、平行线分线段成比例的判定定理及共面的判定定理即可证明； （2）利用分别位于两个相交平面的相交直线必相交于两个相交平面的交线上． 【解答】证明：(1)如图，连接EF,GH ，∵ E ，F 分别是AB ，AD 的中点， ∴ EF // BD ；∵ G ，H 分别为BC ，CD 上的点， 且CG =13BC ，CH =13DC ，∴ GH // BD ． ∴ EF // GH ，∴ E ，F ，G ，H 四点共面．(2)易知FH 与直线AC 不平行，但共面，可设 FH ∩AC =M ， M ∈ 平面EFHG ,M ∈ 平面ABC. ∵ 平面 EFHG ∩ 平面ABC =EG ，∴ M ∈EG , ∴ 直线FH ，EG ，AC 共点.【答案】解：(1)设该正方体的棱长为a ，则利用轴截面可得√22a R=√15R−a15R， ∴ a =15√2−2√1513R . (2)圆锥的底面半径为R ，高为√15R ，∴ VP =4R ，圆锥的侧面展开图为扇形，弧长为2πR ，圆心角为π2， ∴ 该虫爬过的最短距离为√4R 2+16R 2=2√5R ． 【考点】多面体和旋转体表面上的最短距离问题 旋转体（圆柱、圆锥、圆台） 【解析】（1）设该正方体的棱长为a ，则利用轴截面可得√22a R=√15R−a√15R，即可求出该正方体的棱长； （2）求出VP =4R ，圆锥的侧面展开图为扇形，弧长为2πR ，圆心角为π2，即可求出该虫爬过的最短距离 【解答】解：(1)设该正方体的棱长为a ，则利用轴截面可得√22a R=√15R−a√15R， ∴ a =15√2−2√1513R . (2)圆锥的底面半径为R ，高为√15R ，∴ VP =4R ，圆锥的侧面展开图为扇形，弧长为2πR ，圆心角为π2， ∴ 该虫爬过的最短距离为√4R 2+16R 2=2√5R ． 【答案】(1)证明：在棱长为1的正方体ABCD −A 1B 1C 1D 1中， 易得EF =√32，FC =√22，CE =√52， ∴ EF 2+CF 2=CE 2，∴ EF ⊥CF .(2)解：取B 1D 1的中点M ，连接GM ，CM ，B 1D ．在平面BB 1D 1D 上，FE // BD 1，GM // BD 1， 所以∠CGM （或其补角）为EF 与CG 所成角． 在△CMG 中，MG =√32， CG =√1+14=√52，CM =√1+12=√62，∴ cos ∠CGM =34+54−642×√32×√52=√1515， ∴ EF 与CG 所成角的余弦值为√1515. 【考点】两条直线垂直的判定 异面直线及其所成的角【解析】（1）利用线面垂直的判定证明CF ⊥平面BDD 1B 1，再利用线面垂直的性质证明EF ⊥CF ；（2）取B 1D 1的中点M ，连接GM ，CM ，B 1D ．在平面BB 1DD 1上，FE // B 1D ，GM // B 1D ，所以∠CGM （或其补角）为EF 与CG 所成角，故可求；【解答】(1)证明：在棱长为1的正方体ABCD −A 1B 1C 1D 1中， 易得EF =√32，FC =√22，CE =√52， ∴ EF 2+CF 2=CE 2，∴ EF ⊥CF .(2)解：取B 1D 1的中点M ，连接GM ，CM ，B 1D ．在平面BB 1D 1D 上，FE // BD 1，GM // BD 1， 所以∠CGM （或其补角）为EF 与CG 所成角． 在△CMG 中，MG =√32， CG =√1+14=√52，CM =√1+12=√62， ∴ cos ∠CGM =34+54−642×√32×√52=√1515， ∴ EF 与CG 所成角的余弦值为√1515.。
2020-2021学年安徽省六安市舒城中学高二上学期开学考试数学(文)试题(解析版)
2020-2021学年安徽省六安市舒城中学高二上学期开学考试数学（文）试题一、单选题1．设集合{}2|430A x x x =-+<，{}|230B x x =->，则AB =（ ）A ．33,2⎛⎫--⎪⎝⎭B ．33,2⎛⎫- ⎪⎝⎭C ．31,2⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．3,32⎛⎫ ⎪⎝⎭【答案】D【解析】先解不等式得到集合,A B ，然后再求出A B 即可．【详解】由题意得{}{}243013A x x x x x =-+<=<<，32B x x ⎧⎫=>⎨⎬⎩⎭∴333,322A B x x ⎧⎫⎛⎫⋂=<<=⎨⎬ ⎪⎝⎭⎩⎭． 故选：D ． 【点睛】本题考查集合的交集运算，考查运算能力，解题的关键是是通过解不等式得到集合，属于基础题．2．已知0a b +<，且0a >，则（ ） A ．22a ab b <-< B ．22b ab a <-< C ．22a b ab <<- D ．22ab b a -<<【答案】A【解析】利用不等式的性质即可求解. 【详解】由0a b +<，且0a >，可得0a b <<-， 将不等式的两边同时乘以a ，可得2a ab <-， 将不等式的两边同时乘以b -，可得2ab b -<， 从而可得22a ab b <-<. 故选：A【点睛】本题考查了不等式的性质，掌握不等式的两边同时乘以正数，不等号的方向不变，此题属于基础题.3．若tan 0α>，则（ ） A ．sin 0α> B ．cos 0α>C ．sin 20α>D ．cos20α>【答案】C 【解析】由tan sin cos ααα=及sin 22sin cos ααα=即可得解. 【详解】 由tan 0sin cos ααα=>，可得sin 220sin cos ααα=>. 故选C. 【点睛】本题主要考查了同角三角函数的基本关系及二倍角公式，属于基础题.4．设函数()133,11log ,1x x f x x x -⎧≤=⎨->⎩，则满足()3f x ≤的x 的取值范围是（ ）A ．[)0,+∞B ．[]1,3-C ．[]0,3D ．[)1,+∞【答案】A【解析】由分段函数解析式，根据x 的取值范围，利用指数函数、对数函数的单调性分别解不等式即可求解. 【详解】由函数()133,11log ,1x x f x x x -⎧≤=⎨->⎩，满足()3f x ≤，当1x ≤时，则133x -≤，即11x -≤，解得0x ≥， 此时01x ≤≤，当1x >时，则31log 3x -≤，即233log 2log 3x -≥-=，解得19≥x ，此时1x >， 综上所述，不等式的解集为[)0,+∞. 故选：A 【点睛】本题主要考查了指数函数、对数函数的单调性解不等式，考查了基本运算求解能力，属于基础题.5．设D 为ABC ∆所在平面内一点，若3BC CD =，则下列关系中正确的是（ ）A ．1433AD AB AC =-+ B ．1433AD AB AC =- C ．4133AD AB AC =+D ．4133AD AB AC -=【答案】A 【解析】【详解】 ∵3BC CD =∴AC −AB =3(AD −AC )； ∴AD =43AC −13AB . 故选A.6．函数()4xf x e x =+-的零点所在的区间为（ ）A ．(1,2)B ．(1,0)-C ．(0,1)D ．(2,3)【答案】A【解析】先判断函数的单调性，再结合零点存在性定理，即可判断出零点所在的区间. 【详解】因为函数xy e =与y x =在R 上均是单调增函数，所以函数()4xf x e x =+-是R 上的单调增函数，因为(1)1430f e e =+-=-<，22(2)2420f e e =+-=->，又函数()f x 的图象连续不间断， 所以函数()f x 的零点所在的区间为(1,2). 故选：A 【点睛】本题主要考查函数零点存在性定理的应用，属于基础题.7．ω是正实数，函数()2sin f x x ω=在,34ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上是增函数，那么（ ）A ．302ω<≤ B ．02ω<≤ C ．0247ω<≤D ．2ω≥【答案】A【解析】由函数()2sin f x x ω=在,34ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上是增函数可得函数的周期76T π≥，即可得276ππω≥，由34x ππ-≤≤得34x πωπωω-≤≤，,2,23422k k πωπωππππ⎡⎤⎡⎤-⊆-++⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦结合0>ω即可求出ω的取值范围. 【详解】因为函数()2sin f x x ω=在,34ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上是增函数， 所以函数的周期724312T πππ⎛⎫≥--= ⎪⎝⎭，即函数的周期276ππω≥， 所以276ππω≥，得127ω≤， 又因为,34x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，所以34x πωπωω-≤≤， 函数()2sin f x x ω=在,34ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上是增函数 所以()()2,322,42k k Z k k Z πωπππωππ⎧-≥-+∈⎪⎪⎨⎪≤+∈⎪⎩，()()36,228,k k Z k k Z ωω⎧≤-∈⎪⎨⎪≤+∈⎩因为127ω≤，所以当0k =时， 32ω≤，又因为ω是正实数，所以302ω<≤， 故选：A 【点睛】本题主要考查了复合三角函数已知单调区间求参数，涉及正弦单调区间，三角函数周期公式，属于中档题.8．设1a >，0b >，若2a b +=，则121a b+-的最小值为 A． B ．6C．3+D．【答案】C【解析】试题分析：：∵a ＞1，b ＞0，a+b=2，∴a-1＞0，a-1+b=1．∴121a b +-=[(a−1)+b](121a b +-)=3+2(1)1b a a b -+-2(1)321b a a b-≥+⋅-322=+．当且仅当2(1),2b a a b =-+=,即2,22a b ==-时取等号．121a b+-的最小值为322+．故选C ． 【考点】基本不等式的性质9．如图，四个棱长为1的正方体排成一个正四棱柱，AB 是一条侧棱，()1,2,,8i P i =是上底面上其余的八个点，则()1,2,,8i AB AP i ⋅=⋅⋅⋅的不同值的个数为（ ）A ．8B ．4C ．2D ．1【答案】D【解析】根据平面向量运算法则可知2i i AB AP AB AB BP ⋅=+⋅，由线面垂直性质可知0i AB BP ⋅=，从而得到21i AB AP AB ⋅==，进而得到结果. 【详解】()2i i i AB AP AB AB BP AB AB BP ⋅=⋅+=+⋅AB ⊥平面286BP P P i AB BP ∴⊥ 0i AB BP ∴⋅= 21i AB AP AB ∴⋅== 则()1,2,,8i AB AP i ⋅=⋅⋅⋅的不同值的个数为1个 故选：D 【点睛】本题考查向量数量积的求解问题，关键是能够利用平面向量线性运算将所求向量数量积转化为已知模长的向量和有垂直关系向量的数量积的运算问题，考查了转化与化归的思想.10．设变量,x y 满足约束条件：34,32y x x y z x y x ≥⎧⎪+≤=-⎨⎪≥-⎩则的最大值为A ．10B ．8C ．6D ．4【答案】B【解析】分析：先作可行域，再确定直线3x y m -=变化范围，最后确定z m =最大值.详解：作可行域，则直线3x y m -=过点B(-2,-2)时取最大值4，过点A(-2,2)时取最小值-8，因此z m =最大值为8， 选B.点睛：线性规划的实质是把代数问题几何化，即数形结合的思想.需要注意的是：一，准确无误地作出可行域；二，画目标函数所对应的直线时，要注意与约束条件中的直线的斜率进行比较，避免出错；三，一般情况下，目标函数的最大或最小值会在可行域的端点或边界上取得.11．一个棱锥的三视图如图，则该棱锥体积（单位：2cm ）为（ ）A ．48B ．24C ．122D ．242【答案】B【解析】由三视图可知，该三棱锥的底面是以6为腰长的等腰直角三角形，高为4，根据体积公式计算出体积即可. 【详解】由三视图可知，该棱锥是以6为腰长的等腰直角三角形作底面，高为4的三棱锥， 则该三棱锥的体积116642432V =⨯⨯⨯⨯=. 故选：B. 【点睛】本题考查由三视图求几何体体积，属于基础题.12．棱长为1的正方体1111ABCD A B C D -的8个顶点都在球O 的表面上，E F ，分别是棱1AA ，1DD 的中点，则直线EF 被球O 截得的线段长为（ ） A ．22B ．1C ．212+D 2【答案】D【解析】思路分析：由题意推出，球为正方体的外接球.平面11AA DD 截面所得圆面的半径122AD R ==得知直线EF 被球O 截得的线段就是球的截面圆的直径. 由题意可知，球为正方体的外接球.平面11AA DD 截面所得圆面的半径122AD R ==11EF AA DD ⊂面， ∴直线EF 被球O 截得的线段为球的截面圆的直径2R =点评：本题考查球与正方体“接”的问题，利用球的截面性质，转化成为求球的截面圆直径.二、填空题13． 设函数f (x )＝(1)()x x a x++为奇函数，则a ＝________.【答案】1- 【解析】【详解】因为函数f (x )＝(1)()x x a x++为奇函数，(11)(1)(11)(1)(1)=(1), 1.11a a f f a ++-+-+∴=--=∴=-经检验符合题意.故答案为1-.14．在等差数列{}n a 中，12a =，3510a a +=，则7a = ． 【答案】8 【解析】【详解】设等差数列{}n a 的公差为d ， 则351712610a a a a a d +=+=+=， 所以71101028a a =-=-=，故答案为8.15．已知向量a ，b ，其中3a =，2b =，且()a b a +⊥，则向量a 和b 的夹角是__________． 【答案】56π 【解析】利用()a b a +⊥得()0a b a +⋅=，可求出3cos ,a b =-，从而求出向量a 和b 的夹角.【详解】∵()a b a +⊥，∴()2332cos ,0a b a aa b a b +⋅=+⋅=+⨯=，解得:3cos ,2a b =-， [],0,a b π∈所以夹角为56π． 故答案为：56π【点睛】本题主要考查了向量垂直数量积为0，向量数量积的定义，属于基础题. 16．已知数列{}n a 满足1133,2,n n a a a n +=-=则na n的最小值为__________. 【答案】212【解析】先利用累加法求出a n ＝33+n 2﹣n ，所以331n a n n n =+-，设f （n ）331n n=+-，由此能导出n ＝5或6时f （n ）有最小值．借此能得到n an的最小值．【详解】解：∵a n +1﹣a n ＝2n ，∴当n ≥2时，a n ＝（a n ﹣a n ﹣1）+（a n ﹣1﹣a n ﹣2）+…+（a 2﹣a 1）+a 1＝2[1+2+…+（n ﹣1）]+33＝n 2﹣n +33 且对n ＝1也适合，所以a n ＝n 2﹣n +33．从而331n a n n n=+- 设f （n ）331n n =+-，令f ′（n ）23310n-=+＞，则f （n ）在)+∞上是单调递增，在(0上是递减的，因为n ∈N +，所以当n ＝5或6时f （n ）有最小值．又因为55355a =，66321662a ==， 所以n a n的最小值为62162a =故答案为 212【点睛】本题考查了利用递推公式求数列的通项公式，考查了累加法．还考查函数的思想，构造函数利用导数判断函数单调性．三、解答题17．已知关于x 的不等式22x m -≤的解集为[]1,3.（1）求m 的值；（2）若实数a ，b 满足a b m +=，求22a b +的最小值. 【答案】（1）4；（2）8.【解析】（1）去掉绝对值，解出不等式，即可对比建立方程组，求出m ； （2）利用基本不等式可求解. 【详解】（1）由22x m -≤可得111122m x m -≤≤+， 11121132m m ⎧-=⎪⎪∴⎨⎪+=⎪⎩，解得4m =；（2）可知4a b +=，则()22216822a b a b +≥==+，当且仅当2a b ==时等号成立， ∴22a b +的最小值为8.【点睛】本题考查含绝对值不等式的求解，考查基本不等式的应用，属于基础题. 18．已知函数()sin(3)4f x x π=+.（1）求()f x 的单调递增区间； （2）若α是第二象限角，4()cos()cos 2354f απαα=+，求cos sin αα-的值. 【答案】（1）22[,]34312k k ππππ-+，k Z ∈；（2）或． 【解析】试题分析：（1）将34x π+看作一个整体，根据正弦函数sin y x =的单调递增区间便可得()sin(3)4f x x π=+的单调递增区间.（2）将3α代入4()cos()cos 2354f απαα=+得4sin()cos()cos 2454ππααα+=+.求三角函数值时，首先考虑统一角，故利用和角公式和倍角公式化为单角α的三角函数得：4sin cos (cos sin )(cos sin )(sin cos )5αααααααα+=--+.注意这里不能将sin cos αα+约了.接下来分sin cos 0αα+=和sin cos 0αα+≠两种情况求值.试题解答：（1）22232()24243123k x k k x k k Z πππππππππ-+≤+≤+⇒-+≤≤+∈； （2）由题设得：4sin()cos()cos 2454ππααα+=+， 即4sin cos (cos sin )(cos sin )(sin cos )5αααααααα+=--+，. 若sin cos 0αα+=，则cos sin αα-= 若sin cos 0αα+≠，则241(cos sin )cos sin 5αααα=-⇒-=【考点定位】三角函数的性质、三角恒等变换三角函数的求值.19．已知数列{}n a 的首项为1，前n 项和n S1(2)n =≥.（1）求n S 与数列{}n a 的通项公式； （2）设()*11n n n b n N a a +=∈，求使不等式121225n b b b +++>成立的最小正整数n . 【答案】（1）2n S n =，21n a n =-；（2）13.【解析】（1n S ，然后由n a 与n S 的关系求得n a ；（2）先由（1）得出n b ，然后由裂项法求数列{}n b 的和，从而求得最小正整数n ．【详解】 （1()12n=≥，1，公差为1的等差数列． ()111n n =+-=，从而2n S n =．当1n =时,111a S ==,当1n >时,()221121n n n a S S n n n -=-=--=-． 因为11a =也符合上式， 所以21n a n =-．（2）由（1）知()()111111212122121n n n b a a n n n n +⎛⎫===- ⎪-+-+⎝⎭． 所以121111111112323522121n b b b n n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++=-+-++- ⎪ ⎪ ⎪-+⎝⎭⎝⎭⎝⎭111221n ⎛⎫=- ⎪+⎝⎭21nn =+． 由122125n n >+,计算得出12n >， 所以使不等式成立的最小正整数为13． 【点睛】本题考查等差数列的定义，考查n a 与n S 的关系，考查裂项相消法求数列的和，属于中档题.20．在ABC 内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知cos sin a b C c B =+.（1）若2b =，c =cos C ；（2）若2b =，求ABC 面积的最大值. 【答案】（1）cos C =；（21. 【解析】4ac ≤+ 【详解】（1）由cos sin a b C c B =+及正弦定理得：sin sin cos sin sin A B C C B =+，又()sin sin sincos cos sin A B C B C B C π=-+=+⎡⎤⎣⎦，sin cosB B ∴=， ()0,B π∈ ，4B π∴=，2b =，c =，则由正弦定理得，sin 2sin 24c B C b=== 0,2b c C π⎛⎫>∴∈ ⎪⎝⎭cos 4C ∴=； （2）由余弦定理得222=2cos b a c ac B +-，即22224=2cos 4a c ac a c π+-=+，又222a c ac +≥，4ac ∴≤=+a c =时，等号成立，由（1）知4B π=，ABC ∴的面积1sin 24S ac B ac ==，1S ∴≤故ABC 1. 【点睛】本题考查了正弦定理和余弦定理的应用，两角和的正弦公式，三角形面积公式，以及重要不等式，属于中档题.21．已知数列{}n a 为等比数列，其前n 项和为()*n S n N ∈，且143a=，289S =.（1）求数列{}n a 的通项公式及n S ； （2）设1n n nT S S =-，求数列{}n T 的最大项的值与最小项的值. 【答案】（1）14133n n a -⎛⎫=⨯- ⎪⎝⎭，113nn S ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭；（2）{}n T 的最大项为712，最小项为1772-. 【解析】（1）由143a =，289S =即可求出{}n a 的公比q ，即可求解.（2）先分n 为奇数和偶数讨论，将113nn S ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭写成分段的形式，再利用n S 的单调性即可求1n n nT S S =-的范围，即可求解. 【详解】（1）由于212S a ≠，所以公比1q ≠，所以()12143819a S a q ⎧=⎪⎪⎨⎪=+=⎪⎩解得：13q =-， 所以{}n a 的通项公式为14133n n a -⎛⎫=⨯- ⎪⎝⎭，前n 项和为41133111313nn nS ⎡⎤⎛⎫⨯--⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎛⎫⎣⎦==-- ⎪⎛⎫⎝⎭-- ⎪⎝⎭（2）11,131131,3nn n nn S n ⎧+⎪⎪⎛⎫=--=⎨ ⎪⎝⎭⎪-⎪⎩为奇数为偶数，当n 为奇数时，n S 随n 的增大而减小，所以111143703412n n S S S S <-≤-=-=， 当n 为偶数时，n S 随n 的增大而增大，所以2211891709872n n S S S S >-≥-=-=-， 对于*n N ∈总有17117007212n n n n S S S S -≤-<<-≤，， 故数列{}n T 的最大项为712，最小项为1772-， 【点睛】本题主要考查了等比数列的通项公式和前n 项和公式，涉及函数的单调性， 22．已知函数()229f x x x a a =--，a R ∈. （1）若()f a a ≥，求实数a 的取值范围； （2）解关于x 的不等式()0f x ≤.【答案】（1）9,02⎡⎤-⎢⎥⎣⎦；（2）当0a =时，不等式的解集为(],0-∞；当0a >时，不等式的解集为2,33a a ⎡⎫⎛⎤-∞⋃⎪⎢ ⎥⎪⎝⎦⎣⎭；当0a <时，不等式的解集为⎛⎤-∞ ⎥ ⎝⎦. 【解析】（1）将x a =代入函数表达式，解关于a 的一元二次不等式即可. 讨论0a =；0a >或0a <，去绝对值解一元二次不等式即可. 【详解】（1）由()f a a ≥，即229a a -≥，整理可得2290a a +≤， 解得902a -≤≤，所以实数a 的取值范围为9,02⎡⎤-⎢⎥⎣⎦. （2）当0a =时，()2209f x x x a a x x =--=≤，解得0x ≤， 不等式的解集为(],0-∞，当0a >时，当x a ≥时，()22222099f x x x a a x ax a =--=--≤，解不等式可得113322a x a -+≤≤，此时不等式的解集为3,6a a ⎡⎤+⎢⎥⎣⎦，当x a <时，()22222099f x x x a a x ax a =--=-+-≤， 整理可得()()3320x a x a --≥，解得23ax ≥或3a x ≤，此时不等式的解集为2,,33a a a ⎛⎤⎡⎫-∞⋃ ⎪⎥⎢⎝⎦⎣⎭.即当0a >时，不等式的解集为2,33a a ⎡⎫⎛⎤-∞⋃⎪⎢ ⎥⎪⎝⎦⎣⎭. 当0a <时，当x a ≥时，()22222099f x x x a a x ax a =--=--≤，解不等式可得113322a x a +-≤≤，此时不等式的解集为a ⎡⎤⎢⎥⎣⎦， 当x a <时，()22222099f x x x a a x ax a =--=-+-≤， 整理可得()()3320x a x a --≥，解得3a x ≥或23ax ≤，此时不等式的解集为(),a -∞.即当0a <时，不等式的解集为⎛⎤-∞ ⎥ ⎝⎦. 综上所述，当0a =时，不等式的解集为(],0-∞，当0a >时，不等式的解集为2,33a a ⎡⎫⎛⎤-∞⋃⎪⎢ ⎥⎪⎝⎦⎣⎭，当0a <时，不等式的解集为⎛⎤-∞ ⎥ ⎝⎦. 【点睛】本题考查了绝对值不等式的解法以及一元二次不等式的解法，考查了分类与整合的思想，属于中档题.。
舒城中学2020_2021学年高二数学上学期新课程自主学习系列训练试题二文
安徽省舒城中学2020-2021学年高二数学上学期新课程自主学习系列训练试题(二）文一．选择题（本大题10小题，每题5分，共50分）1．设,m n 是不同的直线，,αβ是不同的平面，则 （ ）A ．若//m α，n ⊂α，则//m nB ．若m αβ=，n β⊂，n m ⊥，则n α⊥C ．若//m α，//n β,//m n ，则//αβD ．若m α⊥，n β⊥，n m ⊥，则αβ⊥2．已知直线1l :0ax y b -+=，2l :0bx y a --=，则它们的图象可能为 （ ）A ．B ．C ．D ．3．一个棱长为2的正方体被一个平面截后所得几何体的三视图如图所示,则该截面的面积为 （ ）A ．92B ．4C ．3D ．31024．如图，透明塑料制成的长方体容器1111ABCD A B C D -内灌进一些水，固定容器一边AB 于地面上，再将容器倾斜,随着倾斜度的不同，有下面几个结论，其中正确的命题是 （ ）A ．水面EFGH 所在四边形的面积为定值B ．随着容器倾斜度的不同，11A C 始终与水面所在平面平行C ．没有水的部分有时呈棱柱形有时呈棱锥形D ．当容器倾斜如图（3）所示时,AE AH ⋅为定值5．已知正三棱锥P ABC -的底面边长为3,侧棱长为3且三棱锥的四个顶点都在同一球面上，则该球的表面积为 （ ） A ．20π B ．16π C ．12πD ．3π6．一条光线从点()2,3--射出,经y 轴反射后与圆()()22321x y ++-=相切，则反射光线所在直线的斜率为 （ ）A ．53-或35B ．32-或23- C ．54-或45-D ．43-或34- 7．与直线40x y --=和圆22220x y x y ++-=都相切的半径最小的圆的方程是 （ ） A ．()()22112x y +++= B ．()()22114x y -++=舒中高二文数 第1页 (共4页) 舒中高二文数第2页 （共C ．()()22112x y -++=D ．()()22114x y +++=8．如图，正方体1111ABCD A B C D -的棱长为1，P ，Q 分别是线段1AD 和1B C 上的动点，且满足1AP B Q =，则下列命题错误的是 （ ）A ．存在P ,Q 的某一位置，使//AB PQ B ．PBQ ∆的面积为定值C ．当0PA >时,直线1PB 与AQ 是异面直线D ．无论P ，Q 运动到任何位置，均有BC PQ ⊥ 9．在平面直角坐标系xoy 中，圆C 的方程为228150x y x +-+=，若直线l ：2y kx =+上至少存在一点，使得以该点为圆心半径为1的圆与圆C 有公共点,则k 的最小值是 （ ）A ．43-B ．54-C ．25-D ．53-10．若圆C:222430x y x y ++-+=关于直线260ax by ++=对称，则由点(,)a b 向圆所作的切线长的最小值是 ( ） A ．2B ．4C ．3D ．6二．填空题（本大题4小题，每题5分,共20分）11． 已知圆222410x y x y ++-+=上任一点A 关于直线20x ay -+=对称的点A '仍在该圆上,则a =________．12．点(5,2)到直线()1(21)5m x m y m -+-=-的距离的最大值为________.13．在直三棱柱ABC A B C '''-中,所有的棱长都相等，M 为B C ''的中点，N 为A B ''的中点，则AM 与BN 所成角的余弦值为________.14．已知曲线29C y x =--：，直线2l y =：，若对于点(0,)A m ，存在C 上的点P 和l 上的点Q ，使得0AP AQ +=，则m 取值范围是_________．三．解答题(本大题3小题，每题10分，共30分）15．如图所示,在三棱锥P ABC -中，PC ⊥平面ABC ，3PC =，D 、E 分别为线段AB 、BC 上的点，且2CD DE ==，22CE EB ==。
安徽省舒城中学2022-2023学年高二上学期第二次月考数学试题(含答案)
舒城中学2022-2023学年度第一学期第二次统考高二数学（总分：150分 时间：120分钟）本试题分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分。
第Ⅰ卷为选择题，共60分；第Ⅱ卷为非选择题，共90分，满分150分，考试时间为120分钟。
第Ⅰ卷（选择题 共60分）一、选择题(本大题共8小题,每小题5分,共40分。
在每小题给出的四个选项中只有一项是符合要求的)1. 直线()sin 30,x y b b αα+-=∈R 的倾斜角的取值范围是 （ ）A ．[)0,πB ．5,26,62⎡⎫⎛⎤⋃⎪ ⎢⎥⎣⎭⎝⎦ππππC ．50,,66πππ⎡⎤⎡⎫⎪⎢⎥⎢⎣⎦⎣⎭ D ．5,66ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦2. 如图，已知三棱锥O ABC -，点,M N 分别是,OA BC 的中点，点G 为线段MN 上一点，且2MG GN =，若记,,OA a OB b OC c ===,则OG = （ ）A ．111333a b c ++B ．111336a b c ++C ．111633a b c ++D ．111663a b c ++3. 在棱长均等的正三棱柱111ABC A B C -中，直线1AB 与1BC 所成角的余弦值为 （ ）A ．32B ．22C ．12D ．144. 已知直线1l ：122y x =+，直线2l 是直线1l 绕点()2,1P -逆时针旋转45︒得到的直线，则直线2l 的方程是 （ ）A ．3yxB ．1533y x =+C ．37y x =-+D ．37y x =+5. 已知圆柱12O O 的轴截面是边长为2的正方形，AB 为圆1O 的直径，P 为圆2O 上的点，则()PA PB AB +⋅的最大值为（ ）A ．4B ．42C ．5D ．556. 二面角的棱上有A 、B 两点，直线AC 、BD 分别在这个二面角的两个半平面内，且都垂直于AB ，已知2AB =，3AC =，4BD =，17CD =，则该二面角的大小为 （ ） A ．30° B ．45° C ．60° D ．120°7. 已知点3(2,)A -，(3,2)B --．若直线:10l mx y m +--=与线段AB 相交，则实数m 的取值范围是 （ ）A ．3,[4,)4⎛⎤-∞-⋃+∞ ⎥⎝⎦B ．3,44⎡⎤-⎢⎥⎣⎦ C ．1,5⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭ D ．34,4⎡⎤-⎢⎥⎣⎦8. 如图所示，矩形ABCD 中，E 为边AB 的中点，将ADE ∆沿直线DE 翻转成1A DE △，若M 为线段1A C 的中点，则在ADE 翻转过程中，则下列命题错误的是 （ ）A ．||BM 是定值B ．点M 在圆上运动C ．一定存在某个位置，使1DE A C ⊥D ．一定存在某个位置，使//MB 平面1A DE二、选择题（本大题共4小题，每小题5分，共20分。
六安市舒城中学2020_2021学年高二数学下学期第二次月考试题文
1安徽省六安市舒城中学2020-2021学年高二数学下学期第二次月考试题 文时间：120分钟 分数:100分一、单选题（每题5分，总共60分)1．已知集合{}()(){}|25,|250A x Z x B x x x =∈-<≤=--≤，则A ∩B = （ ）A ．｛2,3，4}B ．{2，3，4，5}C ．{}|25x x ≤≤D ．{x ｜2<x <5｝2．下列点不在直线122x y ⎧=--⎪⎪⎨⎪=⎪⎩(t 为参数)上的是 （ ）A ．(－1，2)B ．(2，－1）C ．(3,－2）D ．(－3,2) 3．若i 为虚数单位,则113ii-+在复平面上对应的点位于 （ ）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限4．直线1122x t t y ⎧=+⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩为参数）和圆2248x y +=交于,A B 两点，则AB 的中点坐标为( )A ．()3,3- B．() C．)3-D．(3,5．执行下面的程序框图，若输入的0,0==k a ，2则输出的k 为（ ）A ．2B ．3C ．4D ．56．一个几何体的三视图如上图所示，其中俯视图是半径为r 的圆，若该几何体的体积是9π，则它的表面积是（ ) A ．27πB ．36πC ．45πD ．54π7．在△ABC 中，60A ∠=︒，2AB =,且△ABC 的面积3ABC S ∆=，则边BC 的长为（ ）舒中高二统考文数 第1页 (共4页）A．7B．3 C．3D．78．过点(3,1)作圆22(1)1x y-+=的两条切线，切点分别为,A B，则直线AB的方程为( ) A．230x y--=B．230x y+-=C．430x y--= D．430x y+-=9．如图,在圆内随机撒一把豆子,统计落在其内接正方形中的豆子数目，若豆子总数为n，落在正方形内的豆子数为m,则圆周率π的估算值是（）A．nmB．2nmC．3nmD．2mn10．设()f x是定义在R上的函数，其导函数为()'f x,且满足()()0f x xf x'+>，若(1)a f=，2(2)b f=，3(3)c f=，则( ）A．a b c>>B．c b a>>C．b c a>> D．c a b>>11．已知函数232(1)31x axyx++=++(a R∈），2(ln(log5))5f=，则5(ln(log2))f=( ）A．5-B．1-C．3D．412．已知函数()lnxf xx=，关于x的不等式34()()2 0?f x af x ->有且只有三个整数解,则实数a 的取值范围是 （ ）A ．52)52ln ln ⎡⎢⎣， B ．53)53ln ln ⎡⎢⎣， C ．52(52ln ln ⎤⎥⎦，D ．53(53ln ln ⎤⎥⎦， 二、填空题（每题5分，总共20分）13．已知,x y ∈R ，满足20,250,470,x y x y x y --≤⎧⎪+-≥⎨⎪-+≥⎩则4z y x =-的最大值为__________．14．等比数列{}na 的前n 项和为nS ，已知2533a a a =,且4a 与79a 的等差中项为2，则5S =15．在ABC Rt ∆中，2π=∠A ，2AB =，3AC =，,E F分别为BC边上的三等分点,则AE AF ⋅=__________．16．已知椭圆221112211:1(0)x y C a b a b +=>>与双曲线222222222:1(0,0)x y C a b a b -=>>有相同的焦点F 1、F 2，点P 是两曲线的一个公共点，12,e e 分别是两曲线的离心率,若PF 1⊥PF 2,则22124e e +的最小值为__________．三、解答题17．(本题10分）已知曲线1C 的参数方程为1cos :{1sin x l y θθ=+=+（θ为参数），以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线2C 的极坐标方程为1ρ=．舒中高二统考文数 第2页 （共4页）(1）把1C的参数方程式化为普通方程，2C的极坐标方程式化为直角坐标方程；(2）求1C与2C交点的极坐标(),(0,02)ρθρθπ≥≤<．18．（本题12分）由国家统计局提供的数据可知，2014年至2020年中国居民人均可支配收入y(单位：万元）的数据如下表：（1）求y关于x的线性回归方程（系数精确到0．01）;（2）利用(1）中的回归方程,预测2021年中国居民人均可支配收入．附注：参考数据：7115.47==∑iiy,7167.28==∑i iix y．参考公式：回归直线方程ˆˆˆy bx a=+的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为: 1221ˆni iiniix y nx ybx nx==-=-∑∑，ˆˆa y bx=-．19．(本题12分)为了解某班学生喜爱打篮球是否与性别有关，对该班40名学生进行了问卷调查，得到了如下的22⨯列联表：56男生 女生 总计喜爱打篮球 191534不喜爱打篮球1 5 6 总计202040(1)在女生不喜爱打篮球的5个个体中，随机抽取2人，求女生甲被选中的概率；（2)判断能否在犯错误的概率不超过0.1的条件下认为喜爱篮球与性别有关？附：()()()()()22n ad bc K a b c d a c b d -=++++，其中n a b c d =+++．2()P K k ≥0。
选修2-1学霸必刷题 空间向量与立体几何(选择题、填空题)
空间向量与立体几何（选择题、填空题）一、单项选择题1．（江西省赣州市赣县第三中学2020-2021学年高二8月入学考试）已知点(,1,2)A x 和点(2,3,4)B ，且AB =x 的值是（ ）A ．6或2-B ．6或2C ．3或4-D ．3-或4【答案】A【解析】AB ==()2216x -=，解得：2x =-或6x =．故选A2．（2020江西省新余期末质量检测）在空间直角坐标系中，已知P(－1，0，3)，Q(2，4，3)，则线段PQ 的长度为( )A B ．5C D 【答案】B【解析】由题得2(3,4,0),35PQ PQ =∴=+=，所以线段PQ 的长度为5． 故答案为B3．（辽宁省辽阳市辽阳县集美中学2020-2021学年高二上学期第一次月考）已知空间向量()3,1,3m =，()1,,1n λ=--，且//m n ，则实数λ=（ ）A ．13- B ．-3 C ．13D ．6【答案】A【解析】因为//m n ，所以,m n R μμ=∈，即：()3,1,3m ==(),,n μλμμμ--=， 所以3,1μλμ=-=，解得13λ=-．故选A ．4．（江西省新余一中、宜春一中2021届高二联考）如图所示，在正方体1111ABCD A B C D -中，O 是底面正方形ABCD 的中心，M 是1D D 的中点，N 是11A B 的中点，则直线NO ，AM 的位置关系是（ ）A ．平行B ．相交C ．异面垂直D ．异面不垂直【答案】C【分析】建立空间直角坐标系，写出NO 与AM 的坐标，即可判断位置关系．【解析】建立空间直角坐标系，如图所示．设正方体的棱长为2，则(2,0,0)A ，(0,0,1)M ，(1,1,0)O ，(2,1,2)N ，∴(1,0,2)NO =--，(2,0,1)AM =-．∵0NO AM ⋅=，∴直线NO ，AM 的位置关系是异面垂直． 故选: C5．（辽宁省辽阳市辽阳县集美中学2020-2021学年高二上学期第一次月考）已知空间四边形ABCD 的每条边和对角线的长都等于a ，点,E F 分别是,BC AD 的中点，则AE AF ⋅的值为（ ） A ．2aB ．212aC ．214a D 2 【答案】C【分析】由题意可得11()22AB AC AE AF AD ⋅=+⋅，再利用两个向量的数量积的定义求得结果．【解析】11()22AB AC AE AF AD ⋅=+⋅1()4AB AD AC AD =⋅+⋅ ()22211cos60cos6044a a a ︒︒=+=，故选C. 6．（辽宁省辽阳市辽阳县集美中学2020-2021学年高二上学期第一次月考）已知M ，N 分别是四面体OABC 的棱OA ，BC 的中点，点P 在线段MN 上，且2MP PN =，设向量OA a =，OBb =，OC c =则OP =（ ）A ．111666a b c ++B ．111333a b c ++C ．111633a b c ++D ．111366a b c ++【答案】C【解析】如图所示，连接ON ，∵OP ON NP =+，1()2ON OB OC =+，所以13NP NM =，NM OM ON =-，12OM OA =，∴13OP ON NP ON NM =+=+121()333ON OM ON ON OM =+-=+21()32OB OC =⨯+1132OA +⨯111633OA OB OC =++111633a b c =++．故选C ． 7．（辽宁省辽阳市辽阳县集美中学2020-2021学年高二上学期第一次月考）若两条不重合直线1l 和2l 的方向向量分别为()11,0,1ν=-，()22,0,2ν=-，则1l 和2l 的位置关系是（ ） A ．平行 B ．相交 C ．垂直D ．不确定【答案】A【解析】因为两条不重合直线1l 和2l 的方向向量分别为()11,0,1ν=-，()22,0,2ν=-， 所以212v ν=-，即2ν与1v 共线，所以两条不重合直线1l 和2l 的位置关系是平行，故选A8．（山东省滕州市第一中学2020-2021学年高二9月开学收心考试）设,x y R ∈，向量()()(),1,1,1,,1,2,4,2,a x b y c ===-且,//a c b c ⊥，则a b +=（ ）A ．BC ．3D ．4【答案】C【分析】根据向量垂直和平行的坐标表示求得参数,x y ，再求向量模长即可． 【解析】()//,241,2,1,21b c y y b ∴=-⨯∴=-∴=-，，(),1210,1a b a b x x ⊥∴⋅=+⋅-+=∴=，()()1,112,1,2a a b ∴=∴+=-，，(2213a b ∴+=+-=，故选C ．9．（江西省宜春市2016-2017学年高二上学期期末统考理）如图所示，在空间四边形OABC 中，OA a OB b OC c ==＝，，，点M 在OA 上，且2,OM MA N =为BC 中点，则MN =（ ）A ．121232a b c -+B ．211322a b c -++ C ．111222a b c +-D ．221b 332a c -+-【答案】B【解析】由向量的加法和减法运算：12211()23322MN ON OM OB OC OA a b c =-=+-=-++．故选B10．（陕西省商洛市商丹高新学校2019-2020学年高二下学期4月学情质量检测数学（理））如图，已知正方体ABCD A B C D ''''-，点E 是A C ''的中点，点F 是AE 的三等分点，且12AF EF =，则AF =（ ）A ．1122AA AB AD '++ B ．111222AA AB AD '++ C ．111266AA AB AD '++D ．111366AA AB AD '++【答案】D【解析】∵点E 是A C ''的中点，点F 是AE 的三等分点，且12AF EF =， ∴111111()333236AF AE AA A E AA A C AA A C ⎛⎫''''''''==+=+=+ ⎪⎝⎭ 11()36AA A B A D '''''=++111366AA AB AD '=++，故选D ． 11．（安徽省六安市舒城中学2020-2021学年高二上学期开学考试数学（文）试题）如图，四个棱长为1的正方体排成一个正四棱柱，AB 是一条侧棱，()1,2,,8i P i =是上底面上其余的八个点，则()1,2,,8i AB AP i ⋅=⋅⋅⋅的不同值的个数为（ ）A ．8B ．4C ．2D ．1【答案】D【解析】()2i i i AB AP AB AB BP AB AB BP ⋅=⋅+=+⋅，AB ⊥平面286BP P P ，i AB BP ∴⊥，i AB BP ∴⋅=，21i AB AP AB ∴⋅==，则()1,2,,8i AB AP i ⋅=⋅⋅⋅的不同值的个数为1个，故选D .12．（辽宁省辽阳市辽阳县集美中学2020-2021学年高二上学期第一次月考）点P (1，2，3）关于xOy 平面的对称点的坐标为（ ） A ．(－1，2，3) B ．(1，－2，－3) C ．(－1，－2，－3) D ．(1，2，－3)【答案】D【分析】关于xOy 平面对称的点的,x y 坐标不变，只有z 坐标相反． 【解析】点P (1，2，3）关于xOy 平面的对称点的坐标为(1,2,)3-．故选D ．13．（辽宁省辽阳市辽阳县集美中学2020-2021学年高二上学期第一次月考）若向量(2,0,1)a =-，向量(0,1,2)b =-，则2a b -=（ ）A ．(4,1,0)-B ．(4,1,4)--C ．(4,1,0)-D ．(4,1,4)--【答案】C【分析】根据题意求出2(4,0,2)a=-，再根据向量的减法坐标运算，由此即可求出结果．【解析】因为向量(2,0,1)a =-，向量(0,1,2)b =-，则2(4,0,2)a =-，则2(4,0,2)(0,1,2)(4,1,0)a b -=---=-，故选C ．14．（辽宁省辽阳市辽阳县集美中学2020-2021学年高二上学期第一次月考）已知正方体1111ABCD A B C D -，点E 是上底面11A C 的中心，若1AE AA xAB yAD =++，则x y +等于（ ） A ．13B ．12C ．1D ．2【答案】C【解析】如图，()111111112AE AA A E AA A B A D =+=++ ()11111222AA AB AD AA AB AD =++=++，所以12x y ==，所以1x y +=．故选C15．（江苏省南京市秦淮区2019-2020学年高一下学期期末）空间直角坐标系O xyz -中，已知两点()11,2,1P -，()22,1,3P -，则这两点间的距离为（ ）A BC ．D ．18【答案】B【解析】根据题意，两点()11,2,1P -，()22,1,3P -，则12||PP =B ．16．（湖北省恩施高中2020届高三下学期四月决战新高考名校交流卷（B ））已知向量()1,2a =，()3,b x =，()1,1c y =--，且//a b ，b c ⊥，则x y ⋅的值为（ ）A ．6B ．32 C ．9D ．132-【答案】C【解析】∵//a b ，∴60x -=，6x =，∴向量()3,6b =， ∵b c ⊥，∴()3610y -+-=，∴32y =，∴9x y ⋅=．故选C ． 17．（四川省绵阳市2019-2020学年高二下学期期末教学质量测试数学（理）试题）在空间直角坐标系中，若()1,1,0A ，()13,0,12AB =，则点B 的坐标为（ ） A ．()5,1,2-- B ．()7,1,2- C ．()3,0,1 D ．()7,1,2【答案】D【分析】首先设出点(,,)B x y z ，利用向量坐标公式以及向量相等的条件得到等量关系式，求得结果． 【解析】设(,,)B x y z ，所以(1,1,)2(3,0,1)(6,0,2)AB x y z =--==，所以16102x y z -=⎧⎪-=⎨⎪=⎩，所以712x y z =⎧⎪=⎨⎪=⎩，所以点B 的坐标为(7,1,2)，故选D ．18．（广东省云浮市2019-2020学年高二上学期期末）如图，在三棱锥P ABC -中，点D ，E ，F 分别是AB ，PA ，CD 的中点，设PA a =，PB b =，PC c =，则EF =（ ）A ．111442a b c --B ．111442a b c -+ C ．111442a b c +-D ．111442a b c -++【答案】D 【解析】点D ，E ，F 分别是AB ，PA ，CD 的中点，且PA a =，PB b =，PC c =，∴()11112224EF EP PC CF PA PC CD PA PC CA CB =++=-++=-+++()1111124442PA PC PA PC PB PC PA PB PC =-++-+-=-++111442a b c =-++．故选D ．19．（辽宁省辽阳市辽阳县集美中学2020-2021学年高二上学期第一次月考）一个向量p 在基底{},,a b c 下的坐标为()1,2,3，则p 在基底{},,a b a b c +-下的坐标为（ ）A ．31322⎛⎫- ⎪⎝⎭，，B ．31322⎛⎫- ⎪⎝⎭，， C ．13322⎛⎫- ⎪⎝⎭，，D ．13322⎛⎫- ⎪⎝⎭，，【答案】B【解析】因为向量p 在基底{},,a b c 下的坐标为()1,2,3，所以23p a b c =++， 设p 在基底{},,a b a b c +-下的坐标为(),,x y z ，所以()()()()p x a b y a b zc x y a x y b zc =++-+⇒++-+，有13223x y x y x z +=⎧⎪-=⇒=⎨⎪=⎩，12y，3z =，p 在基底{},,a b a b c +-下的坐标为31,,322⎛⎫- ⎪⎝⎭．故选B ．20．（湖北省武汉襄阳荆门宜昌四地六校考试联盟2020-2021学年高三上学期起点联考）如图，直四棱柱1111ABCD A B C D -的底面是菱形，12AA AB ==，60BAD ∠=︒，M 是1BB 的中点，则异面直线1A M 与1B C所成角的余弦值为（ ）A． B ．15- C ．15D．5【答案】D【分析】用向量1,,AB BC BB 分别表示11,AM BC ，利用向量的夹角公式即可求解． 【解析】由题意可得221111111111,5,2A M AB B M AB BB A M A B B M=+=-=+=221111,2BC BC BB B C BC BB =-=+=，()211111111111cos ,AB BB BC BB AB BC BB A M B C A M B C A M B C⎛⎫-⋅-⋅+ ⎪⋅⎝〈〉===0122cos604⨯⨯+⨯==故选D21．（河北省石家庄市第二中学2020-2021学年高二上学期8月线上考试（二））长方体1111ABCD A B C D -中，11,2,AB AD AA E ===为棱1AA 的中点，则直线1C E 与平面11CB D 所成角的余弦值为（ ） A．9 B．9CD ．23【答案】A【解析】根据题意，建立如图所示直角坐标系：则1C E (1,1,1)=--，设平面11B D C 的法向量为n (,,)x y z =，则100n B D n BC ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩可得：020x y x z --=⎧⎨--=⎩，取n (2,2,1)=--，则1,cos n C E =11n C E nC E⋅9==，设直线1C E 与平面11B D C 的夹角为θ，则9sin θ=，9cos θ==．故选A ． 22．（辽宁省辽阳市辽阳县集美中学2020-2021学年高二上学期第一次月考）已知点()1,1,A t t t --，()2,,B tt ，则A ，B 两点的距离的最小值为A．10 B．5C．5D ．35【答案】C【分析】由两点之间的距离公式求得AB 之间的距离用t 表示出来，建立关于t 的函数，转化为求函数的最小值．【解析】因为点()1,1,A t t t --，()2,,B t t ，所以22222(1)(21)()522AB t t t t t t =++-+-=-+，有二次函数易知，当15t =时，取得最小值为95，AB ∴，故选C ．23．（湖南省邵阳市邵东县第十中学2020届高三下学期模拟考试数学（文）试题）如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，M ，N 分别是棱AB ，1BB 的中点，点P 在对角线1CA 上运动．当△PMN 的面积取得最小值时，点P 的位置是（ ）A ．线段1CA 的三等分点，且靠近点1AB ．线段1CA 的中点C ．线段1CA 的三等分点，且靠近点CD ．线段1CA 的四等分点，且靠近点C【答案】B【解析】设正方体的棱长为1，以A 为原点，1,,AB AD AA 分别为,,x y z 轴，建立空间直角坐标系，如图所示：则1(,0,0)2M ，1(1,0,)2N ，MN 的中点31(,0,)44Q ，1(0,0,1)A ，(1,1,0)C ，则1(1,1,1)AC =-，设(,,)P t t z ，(1,1,)PC t t z =---， 由1AC 与PC 共线，可得11111t t z---==-，所以1t z =-，所以(1,1,)P z z z --，其中01z ≤≤，因为||(1PM ==||(11)(1PN z =--+=所以||||PM PN =，所以PQ MN ⊥，即||PQ 是动点P 到直线MN 的距离，由空间两点间的距离公式可得||PQ ===12c =时，||PQ 取得最小值4，此时P 为线段1CA 的中点，由于||4MN =为定值，所以当△PMN 的面积取得最小值时，P 为线段1CA 的中点．故选B24．（云南省梁河县第一中学2019-2020学年高二7月月考数学（理）试题）长方体1111ABCD A B C D -中，12AB AA ==，1AD =，E 为1CC 的中点，则异面直线1BC 与AE 所成角的余弦值为（ ）A BCD ．【答案】B【分析】以点A 为坐标原点，AB 、AD 、1AA 所在直线分别为x 、y 、z 轴建立空间直角坐标系，利用空间向量法可求得异面直线1BC 与AE 所成角的余弦值．【解析】以点A 为坐标原点，AB 、AD 、1AA 所在直线分别为x 、y 、z 轴建立如下图所示的空间直角坐标系A xyz -，则()0,0,0A 、()2,0,0B 、()12,1,2C 、()2,1,1E ，()2,1,1AE =，()10,1,2BC =，111cos ,6AE BC AE BC AEBC ⋅<>===⋅． 因此，异面直线1BC 与AE ．故选B ． 25．（广西桂林市2019-2020学年高二下学期期末质量检测数学（理））在正方体ABCD --A 1B 1C1D 1中，E 是C 1C 的中点，则直线BE 与平面B 1BD 所成角的正弦值为( ) A．5-B．5C ．D 【答案】B【分析】以D 为坐标原点，以DA 为x 轴，以DC 为y 轴，以1DD 为z 轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出直线BE 与平面1B BD 所成角的正弦值．【解析】以D 为坐标原点，以DA 为x 轴，以DC 为y 轴，以1DD 为z 轴，建立如图空间直角坐标系，设正方体的棱长为2，则()000D ，，，()220B ，，，()1222B ，，，()021E ，，， ∴() 220BD =--，，，()1 002BB =，，，() 201BE =-，，， 设平面1B BD 的法向量为() ,,x n y z =，∵ n BD ⊥，1n BB ⊥， ∴22020x y z --=⎧⎨=⎩，令y 1=，则() 110n =-，，，∴10cos ,n BE n BE n BE ⋅==⋅，设直线BE 与平面1B BD 所成角为θ，则10sin cos ,5n BE θ==，故选B ．26．（陕西省商洛市商丹高新学校2020届高三下学期考前适应性训练理科）如图在平行六面体1111ABCD A B C D -中，底面ABCD 是边长为1的正方形，侧棱12AA =且1160A AD A AB ∠=∠=︒，则1AC =（ ）A ． BC ．D 【答案】B【解析】因为底面ABCD 是边长为1的正方形，侧棱12AA =且1160A AD A AB ∠=∠=︒，则2=1AB ，2=1AD ，21=4AA ，0AB AD ⋅=，111cos 1AB AA AB AA A AB ⋅=⋅⋅∠=，111cos 1AD AA AD AA A AD ⋅=⋅⋅∠=，则1AC 1AB AD AA =++()1222111222AB AD AA AB AA AB AD AD AA =+++⋅+⋅+⋅==，故选B ．27．（2020届上海市七宝中学高三高考押题卷）已知MN 是正方体内切球的一条直径，点P 在正方体表面上运动，正方体的棱长是2，则PM PN →→⋅的取值范围为（ ） A ．[]0,4 B ．[]0,2 C ．[]1,4D ．[]1,2【答案】B【分析】利用向量的线性运算和数量积运算律可将所求数量积化为21PO →-，根据正方体的特点可确定PO →的最大值和最小值，代入即可得到所求范围．【解析】设正方体内切球的球心为O ，则1OM ON ==，2PM PN PO OM PO ON PO PO OM ON OM ON →→→→→→→→→→→→⎛⎫⎛⎫⎛⎫⋅=+⋅+=+⋅++⋅ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，MN 为球O 的直径，0OM ON →→∴+=，1OM ON →→⋅=-，21PM PN PO →→→∴⋅=-，又P 在正方体表面上移动，∴当P 为正方体顶点时，PO →P 为内切球与正方体的切点时，PO →最小，最小值为1，[]210,2PO →∴-∈，即PM PN →→⋅的取值范围为[]0,2．故选B ．【点睛】本题考查向量数量积的取值范围的求解问题，关键是能够通过向量的线性运算将问题转化为向量模长的取值范围的求解问题．28．（湖北省荆门市2019-2020学年高二下学期期末）在平行六面体ABCD A B C D ''''-中，若2AC x AB y BC z CC →→→→''=++，则x y z ++=（ ）A ．52B ．2C ．32D ．116【答案】A【解析】由空间向量的线性运算，得AB BC AC AC CC CC →→→→→→⎛⎫=+=++ ⎪⎭'''⎝， 由题可知，2AC x AB y BC z CC →→→→''=++，则1,1,21x y z ===，所以11,2y z ==， 151122x y z ∴++=++=．故选A ．29．（安徽省六校教育研究会2020-2021学年高三上学期第一次素质测试理科）如图，在直三棱柱111ABC A B C -中，已知90ABC ∠=︒，P 为侧棱1CC 上任意一点，Q 为棱AB 上任意一点，PQ 与AB 所成角为α，PQ 与平面ABC 所成的角为β，则α与β的大小关系为（ ）A ．αβ=B ．αβ<C ．αβ>D ．不能确定【答案】C【分析】建立空间直角坐标系设()()(),0,,0,,00,0,0P x z Q y x y z >≥≥，利用空间向量法分别求得cos ,cos αβ，然后根据(0,],0,22ππαβ⎡⎤∈∈⎢⎥⎣⎦，利用余弦函数的单调性求解．【解析】建立如图所示空间直角坐标系：设()()(),0,,0,,00,0,0P x z Q y x y z >≥≥，则()(),,,0,,0QP x y z QB y =-=-， 所以2222,,QP QB y QP x y z QB y ⋅==++=，所以2cos QP QB QP QBx zα⋅==⋅+又(0,],0,22ππαβ⎡⎤∈∈⎢⎥⎣⎦，sin QP CP QPβ⋅==所以cos β=cos cos βα>，因为cos y x = 在0,2π⎛⎫⎪⎝⎭上递减，所以αβ>，故选C 30．（江西省赣州市赣县第三中学2019-2020学年高二6月份考试数学（理）试题）如图，在四棱柱1111ABCD A B C D -中，底面ABCD 为正方形，侧棱1AA ⊥底面ABCD ，3AB =，14AA =，P 是侧面11BCC B 内的动点，且1AP BD ⊥，记AP 与平面11BCC B 所成的角为θ，则tan θ的最大值为（ ）A ．43B ．53 C ．2D ．259【答案】B【分析】建立空间直角坐标系，利用向量法能求出线面角的正切值的最大值． 【解析】以1,,DA DC DD 所在直线分别为,,x y z 轴，建立空间直角坐标系， 设(,3,)P x z ，则1(3,3,),(3,3,4)AP x z BD =-=--，11,0AP BD AP BD ⊥∴⋅=，33(3)3340,4x z z x ∴---⨯+=∴=，||BP ∴==9255=， ||5tan ||3AB BP θ∴=，tan θ∴的最大值为53．故选B ．31．（江西省赣州市赣县第三中学2019-2020学年高二6月份考试数学（理）试题）如图，在棱长都相等的正三棱柱111ABC A B C -中，D 是棱1CC 的中点，E 是棱1AA 上的动点．设AE x =，随着x 增大，平面BDE 与底面ABC 所成锐二面角的平面角是（ ）A ．增大B ．先增大再减小C ．减小D ．先减小再增大【答案】D【解析】设正三棱柱111ABC A B C -棱长为2，,02AE x x =≤≤， 设平面BDE 与底面ABC 所成锐二面角为α，以A 为坐标原点，过点A 在底面ABC 内与AC 垂直的直线为x 轴，1,AC AA 所在的直线分别为,y z 轴建立空间直角坐标系，则(0,2,1),(0,0,),(3,1,1),(0,2,1)B D E x BD ED x =-=-，设平面BDE 的法向量(,,)m s t k =，则m BD m ED⎧⊥⎨⊥⎩，即02(1)0t k t x k ⎧++=⎪⎨+-=⎪⎩，令k =33,1t x s x =-=+，所以平面BDE的一个法向量(m x=+-，底面ABC的一个法向量为(0,0,1)n =，cos|cos,|m nα=<>==当1(0,)2x∈，cosα随着x增大而增大，则α随着x的增大而减小，当1(,2)2x∈，cosα随着x增大而减小，则α随着x的增大而增大．故选D．32．（山东省滕州市第一中学2020-2021学年高二9月开学收心考试）已知空间直角坐标系O xyz-中，()1,2,3OA =，()2,1,2OB =，()1,1,2OP =，点Q在直线OP上运动，则当QA QB⋅取得最小值时，点Q 的坐标为（）A．131,,243⎛⎫⎪⎝⎭B．133,,224⎛⎫⎪⎝⎭C．448,,333⎛⎫⎪⎝⎭D．447,,333⎛⎫⎪⎝⎭【答案】C【分析】设(,,)Q x y z，根据点Q在直线OP上，求得(,,2)Qλλλ，再结合向量的数量积和二次函数的性质，求得43λ=时，QA QB⋅取得最小值，即可求解．【解析】设(,,)Q x y z，由点Q在直线OP上，可得存在实数λ使得OQ OPλ=，即(,,)(1,1,2)x y zλ=，可得(,,2)Qλλλ，所以(1,2,32),(2,1,22)QA QB λλλλλλ=---=---，则2(1)(2)(2)(1)(32)(22)2(385)QA QB λλλλλλλλ⋅=--+--+--=-+， 根据二次函数的性质，可得当43λ=时，取得最小值23-，此时448(,,)333Q ． 故选C ．【点睛】本题主要考查了空间向量的共线定理，空间向量的数量积的运算，其中解答中根据向量的数量积的运算公式，得关于λ的二次函数是解答的关键，着重考查运算与求解能力．33．（辽宁省辽阳市辽阳县集美中学2020-2021学年高二上学期第一次月考）如图该几何体由半圆柱体与直三棱柱构成，半圆柱体底面直径BC ＝4，AB ＝AC ，∠BAC ＝90°，D 为半圆弧的中点，若异面直线BD 和AB 1所成角的余弦值为23，则该几何体的体积为（ ）A ．16+8πB ．32+16πC ．32+8πD ．16+16π【答案】A【解析】设D 在底面半圆上的射影为1D ，连接1AD 交BC 于O ，设1111A D B C O ⋂=． 依题意半圆柱体底面直径4,,90BC AB AC BAC ==∠=︒，D 为半圆弧的中点， 所以1111,AD BC A D B C ⊥⊥且1,O O 分别是下底面、上底面半圆的圆心．连接1OO ， 则1OO 与上下底面垂直，所以11,,OO OB OO OA OA OB ⊥⊥⊥，以1,,OB OA OO 为,,x y z 轴建立空间直角坐标系，设几何体的高为()0h h >，则()()()()12,0,0,0,2,,0,2,0,2,0,B D h A B h -，所以()()12,2,,2,2,BD h AB h =--=-，由于异面直线BD 和1AB 所成的角的余弦值为23，所以11238BD AB BD AB ⋅==⋅，即2222,16,483h h h h ===+．所以几何体的体积为2112442416822ππ⨯⨯⨯+⨯⨯⨯=+．故选A.34．（安徽省阜阳市太和第一中学2020-2021学年高二（平行班）上学期开学考试）在正方体1111ABCD A B C D -中，直线1BC 与平面1A BD 所成角的余弦值为（ ）A ．24B ．23 C ．3 D ．3 【答案】C【分析】分别以1,,DA DC DD 为,,x y z 轴建立如图所示空间直角坐标系，求出直线的方向向量和平面的法向量后可得所求线面角的余弦值． 【解析】分别以1,,DA DC DD 为,,x y z轴建立如图所示空间直角坐标系，设正方体的棱长为1，可得()()()()110,0,0,1,1,0,0,1,1,1,0,1D B C A ∴()()()111,0,1,1,0,1,1,1,0BC A D BD =-=--=--， 设(),,n x y z =是平面1A BD 的一个法向量，∴100n A D n BD ⎧⋅=⎨⋅=⎩，即00x z x y +=⎧⎨+=⎩，取1x =，得1y z ==-，∴平面1A BD 的一个法向量为()1,1,1n =--，设直线1BC 与平面1A BD 所成角为θ， ∴11126sin cos ,323BC nBC n BC nθ⋅-=〈〉===⨯， ∴23cos 1sin θθ=-1BC 与平面1A BD 所成角的余弦值是33， 故选C.【点睛】用向量法求二面角大小的两种方法：（1）分别在二面角的两个半平面内找到与棱垂直且以垂足为起点的两个向量，则这两个向量的夹角的大小即为二面角的大小；（2）分别求出二面角的两个半平面的法向量，然后通过两个法向量的夹角得到二面角大小，解题时要注意结合图形判断出所求的二面角是锐角还是钝角．35．（2020届重庆市第一中学高三下学期6月模拟数学（理）试题）如图所示，在正方体1111ABCD A B C D -中，点P 是底面1111D C B A 内（含边界）的一点，且//AP 平面1DBC ，则异面直线1A P 与BD 所成角的取值范围为（ ）A ．3,44ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦B ．,42ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦C ．,32ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦D ．2,33ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦【答案】C【解析】过A 作平面α平面1DBC ，点P 是底面1111D C B A 内（含边界）的一点，且//AP 平面1DBC ，则P ∈平面α，即P 在α与平面1111D C B A 的交线上，连接111,,AB AD B D ，11DD BB =，则四边形11BDD B 是平行四边形，11B D BD ∴，11B D ∴平面1DBC ，同理可证1AB ∥平面1DBC ，∴平面11AB D ∥平面1DBC ，则平面11AB D 即为α，点P 在线段11B D 上，以D 为坐标原点，1,,DA DC DD 建立如图坐标系，设正方体棱长为1， 则()0,0,0D ，()1,1,0B ，()1,0,0A ，设(),,1P λλ，[]0,1λ∈， ()1,1,0DB ∴=，()1,,1AP λλ=-，21DB AP λ∴⋅=-，2DB =，2AP λ=，设1A P 与BD 所成角为θ，则cos 2DB APDB APθ⋅===⋅ ==12λ=时，cos θ取得最小值为0， 当0λ=或1时，cos θ取得最大值为12，10cos 2θ∴≤≤，则32ππθ≤≤．故选C ． 36．（重庆市第八中学2020届高三下学期第五次月考数学（理）试题）如图，矩形ABCD 中，2AB AD ==E 为边AB 的中点，将ADE 沿直线DE 翻折成1A DE △．在翻折过程中，直线1A C 与平面ABCD 所成角的正弦值最大为（）A．4B ．6C．14D【答案】A【解析】分别取DE ，DC 的中点O ，F ，则点A 的轨迹是以AF 为直径的圆， 以,OA OE 为,x y 轴，过O 与平面AOE 垂直的直线为z 轴建立坐标系，则()2,1,0C -，平面ABCD 的其中一个法向量为n = (0，0．1)， 由11A O =，设()1cos ,0,sin A αα，则()1cos 2,1,sin CA αα=+-，记直线1A C 与平面ABCD 所成角为θ，则11sin 4cos ||CA nCAn θ⋅===⋅设315cos ,,sin 222t αθ⎡⎤=+∈=≤=⎢⎥⎣⎦ 所以直线1A C 与平面ABCD ，故选A ． 二、多项选择题37．（江苏省南京市秦淮中学2019-2020学年高二（美术班）上学期期末）对于任意非零向量()111,,a x y z =，()222,,b x y z =，以下说法错误的有( )A ．若a b ⊥，则1212120x x y y z z ++=B ．若//a b ，则111222x y z x y z == C ．cos ,a b =><D ．若1111===x y z ，则a为单位向量 【答案】BD【解析】对于A 选项，因为a b ⊥，则1212120a b x x y y z z ⋅=++=，A 选项正确；对于B 选项，若20x =，且20y ≠，20z ≠，若//a b ，但分式12x x 无意义，B 选项错误； 对于C 选项，由空间向量数量积的坐标运算可知cos ,a b =><，C 选项正确；对于D 选项，若1111===x y z，则211a =+=，此时，a 不是单位向量，D 选项错误．故选BD ．38．（2020届百师联盟高三开学摸底大联考山东卷）下面四个结论正确的是（ ） A ．向量(),0,0a b a b ≠≠，若a b ⊥，则0a b ⋅=．B ．若空间四个点P ，A ，B ，C ，1344PC PA PB =+，则A ，B ，C 三点共线． C ．已知向量()1,1,a x =，()3,,9b x =-，若310x <，则,a b 为钝角．D ．任意向量a ，b ，c 满足()()a b c a b c ⋅⋅=⋅⋅． 【答案】AB【解析】由向量垂直的充要条件可得A 正确；1344PC PA PB =+，∴11334444PC PA PB PC -=-即3AC CB =，∴A ，B ，C 三点共线，故B 正确；当3x =-时，两个向量共线，夹角为π，故C 错误；由于向量的数量积运算不满足结合律，故D 错误．故选AB.39．（广东省中山市2019-2020学年高一下学期期末）在空间直角坐标系中，下列结论正确的是（ ） A ．点()2,1,4-关于x 轴对称的点的坐标为()2,1,4 B ．到()1,0,0的距离小于1的点的集合是()(){}222,,11x y z x y z -++<C ．点()1,2,3与点()3,2,1的中点坐标是()2,2,2D ．点()1,2,0关于平面yOz 对称的点的坐标为()1,2,0- 【答案】BCD【解析】对于选项A ：点()2,1,4-关于x 轴对称的点的坐标为()2,1,4---，所以A 不正确； 对于选项B ：点(),,x y z到()1,0,0的距离小于11<，所以B 正确；对于选项C ：点()1,2,3与点()3,2,1的中点坐标是()132231,,2222,2,2⎛⎫=⎪⎝⎭+++，所以C 正确；对于选项D ：由点(),,x y z 关于平面yOz 对称的点的坐标为(),,x y z -，所以D 正确． 故选B C D ．40．（山东省威海市文登区2019-2020学年高二上学期期末）正方体1111ABCD A B C D -的棱长为a ，则下列结论正确的是（ ）A ．211AB AC a ⋅=- B ．212BD BD a ⋅= C ．21AC BA a⋅=- D ．212AB AC a ⋅=【答案】BC【解析】如下图所示：对于A 选项，()2211AB AC AB AC AB AB AD AB a ⋅=⋅=⋅+==，A 选项错误；对于B ，()()()()2221112BD BD AD AB BD DD AD AB AD AB AA AD AB a ⋅=-+=--+=+=，B 选项正确；对于C 选项，()()2211AC BA AB AD AA AB AB a ⋅=+⋅-=-=-，C 选项正确；对于D 选项，()2211AB AC AB AB AD AA AB a ⋅=⋅++==，D 选项错误．故选BC ．41．（福建省泉州市普通高中2019-2020学年毕业班第一次质量检查（理））如图，正方体1111ABCD A B C D -的棱长为1，E 是1DD 的中点，则（ ）A ．直线1//BC 平面1A BD B ．11B C BD ⊥C ．三棱锥11C B CE -的体积为13D ．异面直线1B C 与BD 所成的角为60︒【答案】ABD【解析】如图建立空间直角坐标系，()0,0,0A ，()1,0,0B ，()1,1,0C ，()0,1,0D ，()10,0,1A ，()11,0,1B ，()11,1,1C ，()10,1,1D ，10,1,2⎛⎫ ⎪⎝⎭E ，()1B C 0,1,1=-，()11,1,1BD =-，()1,1,0BD =-，()11,0,1BA =-，所以()111011110B C BD =-⨯+⨯+-⨯=，即11BC BD ⊥，所以11B C BD ⊥，故B 正确；()11011101B C BD =-⨯+⨯+-⨯=，12B C =，2BD =，设异面直线1B C 与BD 所成的角为θ，则111cos 2B C BD B C BDθ==，又0,2πθ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦，所以3πθ=，故D 正确；设平面1A BD 的法向量为(),,n x y z =，则1·0·0n BA n BD ⎧=⎨=⎩，即0x y x z -+=⎧⎨-+=⎩，取()1,1,1n =，则()10111110n B C =⨯+⨯+⨯-=，即1C n B ⊥，又直线1B C ⊄平面1A BD ，所以直线1//B C 平面1A BD ，故A 正确；111111111111113326C B CE B C CE C CE V B C S V -∆-===⨯⨯⨯⨯=⋅，故C 错误；故选ABD.42．（海南省海南中学2019-2020学年高三第四次月考）如图所示，正方体1111ABCD A B C D -中，1AB =，点P 在侧面11BCC B 及其边界上运动，并且总是保持1AP BD ⊥，则以下四个结论正确的是（）A ．113P AA D V -=B ．点P 必在线段1BC 上C ．1AP BC ⊥D ．//AP 平面11AC D【答案】BD 【解析】对于A ，P 在平面11BCC B 上，平面11//BCC B 平面1AA D ，P ∴到平面1AA D 即为C 到平面1AA D 的距离，即为正方体棱长，1111111113326P AA D AA D V S CD -∴=⋅=⨯⨯⨯⨯=△，A 错误；对于B ，以D 为坐标原点可建立如下图所示的空间直角坐标系：则()1,0,0A ，(),1,P x z ，()1,1,0B ，()10,0,1D ，()11,1,1B ，()0,1,0C()1,1,AP x z →∴=-，()11,1,1BD →=--，()11,0,1B C →=--，1AP BD ⊥，1110AP BD x z →→∴⋅=--+=，x z ∴=，即(),1,P x x ，(),0,CP x x →∴=，1CP x B C →→∴=-，即1,,B P C 三点共线，P ∴必在线段1B C 上，B 正确；对于C ，()1,1,AP x x →=-，()11,0,1BC →=-，111AP BC x x →→∴⋅=-+=，AP ∴与1BC 不垂直，C 错误；对于D ，()11,0,1A ，()10,1,1C ，()0,0,0D ，()11,0,1DA →∴=，()10,1,1DC →=，设平面11AC D 的法向量(),,n x y z →=，1100n DA x z n DC y z ⎧⋅=+=⎪∴⎨⋅=+=⎪⎩，令1x =，则1z =-，1y =，()1,1,1n →∴=-， 110AP n x x →→∴⋅=-+-=，即AP n →→⊥，//AP ∴平面11ACD ，D 正确．故选BD ． 43．（福建省宁德市2019-2020学年高二上学期期末考试）如图所示，棱长为1的正方体1111ABCD A B C D-中，P 为线段1A B 上的动点（不含端点），则下列结论正确的是（ ）A ．平面11D A P ⊥平面1A APB ．1AP DC ⋅不是定值 C ．三棱锥11BD PC -的体积为定值 D ．11DC D P ⊥【答案】ACD【解析】A ．因为是正方体，所以11D A ⊥平面1A AP ，11D A ⊂平面11D A P ，所以平面11D A P ⊥平面1A AP ，所以A 正确；B ．11111111()AP DC AA A P DC AA DC A P DC ⋅=+⋅=⋅+⋅ 11112cos 45cos901212AA DC A P DC =+=⨯⨯=，故11AP DC ⋅=，故B 不正确； C ．1111B D PC P B D C V V --=，11B D C 的面积是定值，1//A B 平面11B D C ，点P 在线段1A B 上的动点，所以点P 到平面11B D C 的距离是定值，所以1111B D PC P B D C V V --=是定值，故C 正确； D ．111DC A D ⊥，11DC A B ⊥，1111A D A B A =，所以1DC ⊥平面11A D P ，1D P ⊂平面11A D P ，所以11DC D P ⊥，故D 正确．故选ACD44．（山东省济南莱芜市第一中学2019-2020学年高二下学期第一次质量检测）关于空间向量，以下说法正确的是（ ）A ．空间中的三个向量，若有两个向量共线，则这三个向量一定共面B ．若对空间中任意一点O ，有111632OP OA OB OC =++，则P ，A ，B ，C 四点共面 C ．设{},,a b c 是空间中的一组基底，则{},,a b b c c a +++也是空间的一组基底 D ．若0a b ⋅<，则,a b 是钝角 【答案】ABC【解析】对于A 中，根据共线向量的概念，可知空间中的三个向量，若有两个向量共线，则这三个向量一定共面，所以是正确的；对于B 中，若对空间中任意一点O ，有111632OP OA OB OC =++，根据空间向量的基本定理，可得,,,P A B C 四点一定共面，所以是正确的；对于C 中，由{},,a b c 是空间中的一组基底，则向量,,a b c 不共面，可得向量,a b b c ++，c a +也不共面，所以{},,a b b c c a +++也是空间的一组基底，所以是正确的； 对于D 中，若0a b ⋅<，又由,[0,]a b π∈，所以,(,]2a b ππ∈，所以不正确．故选ABC ．45．（河北省沧州市盐山中学2019-2020学年高一下学期期末）若长方体1111ABCD A B C D -的底面是边长为2的正方形，高为4，E 是1DD 的中点，则（ ）A ．11B E A B ⊥B ．平面1//B CE 平面1A BDC ．三棱锥11C B CE -的体积为83D ．三棱锥111C B CD -的外接球的表面积为24π【答案】CD【解析】以1{,,}AB AD AA 为正交基底建立如图所示的空间直角坐标系，则 (0,0,0)A ，(2,0,0)B ，(2,2,0)C ，(0,2,0)D ，1(0,0,4)A ，1(2,0,4)B ，(0,2,2)E ，所以1(2,2,2)B E =--，1(2,0,4)A B =-， 因为1140840B E A B ⋅=-++=≠，所以1B E 与1A B 不垂直，故A 错误； 1(0,2,4)CB =-，(2,0,2)CE =-，设平面1B CE 的一个法向量为111(,,)n x y z =，则由100n CB n CE ⎧⋅=⎨⋅=⎩，得1111240220y z x z -+=⎧⎨-+=⎩，所以11112y z x z =⎧⎨=⎩，不妨取11z =，则11x =，12y =，所以(1,2,1)n =， 同理可得设平面1A BD 的一个法向量为(2,2,1)m =，故不存在实数λ使得n λm =，故平面1B CE 与平面1A BD 不平行，故B 错误； 在长方体1111ABCD A B C D -中，11B C ⊥平面11CDD C ，故11B C 是三棱锥11B CEC -的高，所以111111111184223323三棱锥三棱锥CEC C B CE CEC B V V S B C --==⋅=⨯⨯⨯⨯=△，故C 正确； 三棱锥111C B CD -的外接球即为长方体1111ABCD A B C D -的外接球，故外接球的半径2R ==所以三棱锥111C B CD -的外接球的表面积2424S R ππ==，故D 正确．故选CD ．46．（山东省济南市2019-2020学年高二下学期末考试）如图，棱长为的正方体1111ABCD A B C D -中，P 为线段1A B 上的动点（不含端点），则下列结论正确的是（ ）A ．直线1D P 与AC 所成的角可能是6π B ．平面11D A P ⊥平面1A AP C ．三棱锥1D CDP -的体积为定值D ．平面1APD 截正方体所得的截面可能是直角三角形 【答案】BC【解析】对于A ，以D 为原点，DA 为x 轴，DC 为y 轴，DD 1为z 轴，建立空间直角坐标系，()()()10,0,1,1,0,0,0,1,0D A C ，设()()1,,01,01P a b a b <<<< ()()11,,1,1,1,0D P a b AC =-=-，(111cos ,01D P AC D P AC D P ACa b ⋅==<++-1301,01,,24a b D P AC ππ<<<<∴<<∴直线D 1P 与AC 所成的角为,42ππ⎛⎫⎪⎝⎭，故A 错误； 对于B ，正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，A 1D 1⊥AA 1，A 1D 1⊥AB ， ∵AA 1AB ＝A ，∴A 1D 1⊥平面A 1AP ，∵A 1D 1⊥平面D 1A 1P ，∴平面D 1A 1P ⊥平面A 1AP ，故B 正确；对于C ，1111122CDD S=⨯⨯=，P 到平面CDD 1的距离BC ＝1， ∴三棱锥D 1﹣CDP 的体积：111111326D CDP P CDD V V --==⨯⨯=为定值，故C 正确；对于D ，平面APD 1截正方体所得的截面不可能是直角三角形，故D 错误；故选BC ．47．（江苏省苏州中学园区校2020-2021学年高三上学期8月期初调研）如图，正方体1111ABCD A B C D -的棱长为1，线段11B D 上有两个动点E ，F ，且12EF =，则下列结论中正确的是（ ）A ．线段11B D 上存在点F ，使得AC AF ⊥ B ．//EF 平面ABCD C ．AEF 的面积与BEF 的面积相等 D ．三棱锥A BEF -的体积为定值【答案】BD【解析】如图，以C 为坐标原点建系CD ，CB ，1CC 为x ，y ，z 轴，()1,1,0A ，()0,0,0C ，()1,1,0AC =--，1B F B λ=11D ，即()()0,1,11,1,0x y z λ---=-,∴x λ=，1y λ=-，1z =，∴(),1,1F λλ-，()1,,1AF λλ=--,()()11010AC AF λλ⋅=--++=≠， ∴AC 与AF 不垂直，A 错误．E ，F 都在B ，D 上，又11//BD B D ，∴//EF BD ，BD ⊂平面ABCD ，EF ⊄平面ABCD ，∴//EF 平面ABCD ，B 正确AB 与EF 不平行，则1A B 与EF 的距离相等，∴AEF BEF S S ≠△△，∴C 错误A 到BEF 的距离就是A 到平面11BDDB 的距离，A 到11BDD B 的距离为22AC =1111224BEF S =⨯⨯=△，∴1134224A BEF V -=⨯⨯=是定值，D 正确．故选BD ．48．（江苏省扬州市宝应中学2020-2021学年高三上学期开学测试）在正三棱柱ABC A B C '''-中，所有棱长为1，又BC '与B C '交于点O ，则（ ）A ．AO =111222AB AC AA '++ B ．AO B C '⊥C ．三棱锥A BB O '-D ．AO 与平面BB ′C ′C 所成的角为π6【答案】AC【解析】由题意，画出正三棱柱ABC A B C '''-如图所示，向量()()111222AO AB BO AB BC BB AB AC AB AA ''=+=++=+-+ 111222AB AC AA '=++，故选项A 正确；在AOC △中，1AC =，22OC，1OA ==， 222OA OC AC +≠，所以AO 和B C '不垂直，故选项B 错误；在三棱锥A BB O '-中，14BB O S '=，点A 到平面BB O '的距离即ABC 中BC 边上的高，所以h =以111334A BB O BB O V S h ''-==⨯=C 正确； 设BC 中点为D ，所以AD BC ⊥，又三棱柱是正三棱柱，所以AD ⊥平面BB C C ''，所以AOD ∠即AO 与平面BB ′C ′C 所成的角，112cos 12OD AOD OA ∠===，所以3AOD π∠=，故选项D 错误．故选AC49．（山东省泰安肥城市2020届高三适应性训练（一））如图四棱锥P ABCD -，平面PAD ⊥平面ABCD ，侧面PAD 是边长为ABCD 为矩形，CD =Q 是PD 的中点，则下列结论正确的是（ ）A ．CQ ⊥平面PADB ．PC 与平面AQC所成角的余弦值为3C ．三棱锥B ACQ -的体积为D ．四棱锥Q ABCD -外接球的内接正四面体的表面积为【答案】BD【解析】取AD 的中点O ，BC 的中点E ，连接,OE OP ，因为三角形PAD 为等边三角形，所以OP AD ⊥，因为平面PAD ⊥平面ABCD ，所以OP ⊥平面 ABCD ，因为AD OE ⊥，所以,,OD OE OP 两两垂直，所以，如下图，以O 为坐标原点，分别以,,OD OE OP 所在的直线为x 轴，y 轴 ，z 轴，建立空间直角坐标系，则(0,0,0),(O D A ，(P C B ，因为点Q 是PD 的中点，所以Q ，平面PAD 的一个法向量为(0,1,0)m =，6(QC =，显然 m 与QC 不共线，所以CQ 与平面PAD 不垂直，所以A 不正确；3632(6,23,32),(,0,),(26,PC AQ AC =-==， 设平面AQC 的法向量为(,,)n x y z =，则3602260n AQ x zn AC ⎧⋅==⎪⎨⎪⋅=+=⎩， 令=1x ，则y z ==(1,2,3)n =--，设PC 与平面AQC 所成角为θ，则21sin 36n PC n PCθ⋅===，所以22cos 3θ=，所以B 正确；三棱锥B ACQ -的体积为1132B ACQ Q ABC ABCV V S OP --==⋅ 1116322=⨯⨯⨯=，所以C 不正确；设四棱锥Q ABCD -外接球的球心为)M a ，则MQ MD =，所以22222222a a ⎛⎫⎛++-=++ ⎪ ⎪ ⎝⎭⎝⎭，解得0a =，即M 为矩形ABCD 对角线的交点，所以四棱锥Q ABCD -外接球的半径为3，设四棱锥Q ABCD -外接球的内接正四面体的棱长为x ，将四面体拓展成正方体，其中正四面体棱为正方体面的对角线，故正方体的棱长为2x ，所以2236⎫=⎪⎪⎝⎭，得224x =，所以正四面体的表面积为244x ⨯=，所以D 正确．故选BD.50．（山东省滕州市第一中学2020-2021学年高二9月开学收心考试）在四面体P ABC -中，以上说法正确的有（ ）A ．若1233AD AC AB =+，则可知3BC BD = B ．若Q 为△ABC 的重心，则111333PQ PA PB PC =++C ．若0PA BC =，0PC AB =，则0PB AC =D ．若四面体P ABC -各棱长都为2，M N ，分别为,PA BC 的中点，则1MN = 【答案】ABC 【解析】对于A ，1233AD AC AB =+，32AD AC AB ∴=+， 22AD AB AC AD ∴-=- ， 2BD DC ∴=，3BD BD DC BC ∴=+=即3BD BC ∴=，故A 正确；对于B ，Q 为△ABC 的重心，则0QA QB QC ++=，33PQ QA QB QC PQ∴+++=()()()3PQ QA PQ QB PQ QC PQ ∴+++++=，3PA PB PC PQ ∴++=，即111333PQ PA PB PC ∴=++，故B 正确；对于C ，若0PA BC =，0PC AB =，则0PA BC PC AB +=，()0PA BC PC AC CB ∴++=，0PA BC PC AC PC CB ∴++=0PA BC PC AC PC BC ∴+-=，()0PA PC BC PC AC ∴-+= 0CA BC PC AC ∴+=，0AC CB PC AC ∴+=()0AC PC CB ∴+=，0AC PB ∴=，故C 正确；对于D ，111()()222MN PN PM PB PC PA PB PC PA ∴=-=+-=+- 1122MN PB PC PA PA PB PC ∴=+-=-- 222222PA PB PC PA PB PC PA PB PA PC PC PB --=++--+==2MN ∴=D 错误．故选ABC.三、填空题51．（辽宁省辽阳市辽阳县集美中学2020-2021学年高二上学期第一次月考）O 为空间中任意一点，A ，B ，C 三点不共线，且3148OP OA OB tOC =++，若P ，A ，B ，C 四点共面，则实数t ＝_________．。
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舒城中学2020—2021学年度第一学期第二次统考
高二文数
命题： 审题： 磨题：
（总分：150分 时间：120分钟）
一、选择题（本大题共12小题，共60.0分） 1. 直线310x y ++=的倾斜角是
（ ） A.
34
π
B.
23
π C.
4
π D.
56
π 2..已知正项等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，()4123S a a =+，则公比q 的值为 （ ）
A. 2
B.
3
C.
2
D
5
3. 已知直线 l 过圆 ()4322=-+y x 的圆心，且与直线 01=++y x 垂直，则l 的方程是
（ ）
A. 02=-+y x
B. 02=+-y x
C. 03=-+y x
D. 03=+-y x
4. 胡夫金字塔是底面为正方形的锥体，四个侧面都是相同的等腰三角形．研究发现，该金字塔底面周长除以2倍的塔高，恰好为祖冲之发现的密率π≈113
355
.若胡夫金字塔的高为h ，则该金字塔的侧棱长
（ ）
A ．h 122
+π
B ．h
8
422+π C ．h
4
162+π D ．h
4
1622+π 5.将函数sin(2)5y x π
=+的图象向右平移10
π个单位长度，所得图象对应的函数
（ ）
A. 在区间35[,]44
ππ
上单调递增 B. 在区间3[
,]4
π
π上单调递减 C. 在区间53[
,]42
ππ
上单调递增 D. 在区间3[
,2]2
π
π上单调递减 6. 设m ，n 是空间两条不同的直线，α，β是空间两个不同的平面．给出下列四个命题： ①若m ∥α，n ∥β，α∥β，则m ∥n ；②若α⊥β，m ⊥β，m ⊄α，则m ∥α；
③若m ⊥n ，m ⊥α，α∥β，则n ∥β；④若α⊥β，α∩β＝l ，m ∥α，m ⊥l ，则m ⊥β． 其中正确的是
（ ）
①②
B ．②③
C ．②④
D ．③④
7.已知实数y x ,满足约束条件⎪⎩
⎪
⎨⎧≤--≤-+≥0
1031
y x y x x ，则11++=x y z 的取值范围为
（ ）
A. 13,22⎡⎤
⎢⎥⎣⎦
B. 12,23⎡⎤
⎢⎥⎣⎦
C. 13,,2
2⎛⎤⎡⎫-∞+∞ ⎪⎥
⎢⎝
⎦⎣⎭
D. 12,,23⎛⎤⎡⎫-∞+∞ ⎪⎥
⎢⎝
⎦
⎣⎭
8.某几何体的三视图如下图所示，则该几何体的最大棱长为
（ ）
A. 42
B. 43
C. 214
D. 8
9.在直棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1中，若△ABC 为等边三角形，且AB BB 31=，则AB 1与C 1B 所成角的余弦值为
（ ）
A ．
83 B ．
41 C ．
43 D ．
8
5 10.已知正项等比数列{a n }满足56732a a a +=，若存在两项n m a a ,，使得2
19a a a n m =，则n
m 9
1+的最小值为
（ ）
A ．16
B ．
C ．5
D ．4
11.如图，在△ABC 中，D 是边AC 上的点，且AD AB =，BD AB 32=，BD BC 2=，则C sin 的值为
（ ）
A.
B ．
C ．
D ．
12.已知四棱锥ABCD P -的顶点都在球O 的球面上，PA ⊥平面ABCD ，且
1==AD AB ,2==CD BC 若球O 的表面积为π36，则PA ＝
（ ）
A ．2
B ．6
C ．31
D ．33
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．
13. 已知正三角形ABC 的边长为a ，那么△ABC 的平面直观图△A ′B ′C ′的面积为 14. 已知,a b 为单位向量，且||2||a b a b +=-，则a 在a b +上的投影为 15. 已知圆锥的顶点为S ，母线SB SA ,互相垂直，SA 与圆锥底面所成角为
30，若SAB ∆的
面积为 8，则该圆锥的体积为 16. 已知数列{}n a 满足：11a =，()12n n n a a n a
*+=
∈+N ．设()()1121n n b n n a λ*+⎛⎫
=-⋅+∈ ⎪⎝⎭
N ，215b λλ=-，且数列{}n b 是单调递增数列，则实数的取值范围是
三、解答题：共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17.（1）求经过直线
：
与
：
的交点，且平行于直线
的直线方程;
（2）已知圆经过点
，圆心在直线
上，且与直线
相切，求
圆的方程．
18.已知在等差数列{}n a 中，35a =，1763a a =． （1）求数列{}n a 的通项公式：
（2）设2
(3)
n n b n a =+，求数列{}n b 的前n 项和n S ．
19．如图所示，在梯形ABCD 中，AD ∥BC ，AB ⊥BC ，1AB BC ==，
PA ⊥平面ABCD ，CD ⊥PC ．
（1）设M 为PD 中点 证明：AM CD ⊥
（2）若PA AD =，AC 与平面PCD 所成角的正弦值 20.设ABC ∆的内角,,A B C 所对的边分别是,,a b c ，且
2cos cos a c b
C B
-=. （1）求角B 的大小；
（2）设3b =，求ABC ∆周长的最大值.
21.如图，四棱锥 ABCD P - 中，底面 ABCD 为平行四边形，ABCD PA 平面⊥，
1==AP BC ，3=AB ，4=AC ，N M , 分别在线段 PC AD , 上，且
4==NC
PN
MD AM ．
（1）求证：PAB MN 平面//； （2）求三棱锥 AMN P - 的体积
22.如图，ABCD 为矩形，点A 、E 、B 、F 共面，ABE ∆和ADF ∆均为等腰直角三角形，且
90,BAE AFB ︒=∠=∠若平面ABCD ⊥平面.AEBF
（1）证明:平面BCF ⊥平面ADF
（2）问在线段EC 上是否存在一点G ，使得//BG 平面CDF 若存在，求出此时三棱锥
ABE G -与三棱锥ADF G -的体积之比，若不存在，请说明理由.
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