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第3章 逻辑系统
命题语言与原子公式
• 命题逻辑：研究复合命题之间的推导关系 • 命题语言：是命题逻辑使用的形式语言， 是符号的集合,用Lp表示
• 包括：命题符号、连接词、左右括号
• 原子公式：命题语言中的一个表达式是原 子公式，当且仅当它是一个命题符号 / 原 子公式也称为文字(包括正文字和负文字)
31
第3章 逻辑系统
3.3 逻辑推理举例
9
第3章 逻辑系统
命题逻辑基础
• 定义：
• • • • • 若A无成假赋值，则称A为重言式或永真式； 若A无成真赋值，则称A为矛盾式或永假式； 若A至少有一个成真赋值，则称A为可满足的； ………… 析取范式：仅由有限个简单合取式组成的析取 式 • 合取范式：仅由有限个简单析取式组成的合取 式
10
第3章 逻辑系统
7
第3章 逻辑系统
简单命题与复合命题
• 简单命题：一个被视为整体的、具有真 或假的命题是简单命题 • 复合命题：使用联结词将简单命题联结 起来的命题是复合命题
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第3章 逻辑系统
命题逻辑基础
• 定义：
• 合取式：p与q，记做p ∧ q • 析取式：p或q，记做p ∨ q • 蕴含式：如果p则q，记做p → q • 等价式：p当且仅当q，记做p q
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第3章 逻辑系统
论域与个体
• 论域和个体：在一阶逻辑中，被研究对 象构成的非空集称为论域；论域中的每 个元素称为个体
• 论域例子：前面例子中的论域是“人” / 所 有的有理数都是实数：其论域为有理数 • 一阶逻辑还研究个体之间的关系（或个体的 性质）及作用于个体的函数 • 论域/个体/个体间关系/作用于个体函数 这4 个成分构成了一阶逻辑的结构
• 1 “如果我进城我就去看你，除非我很累” 设：p, 我进城，q，去看你，r，我很累，则有命 题公式： ~r (p q) • 2”应届高中生，得过数学或物理竞赛的一等奖， 保送上大学“ 设：p，应届高中生；q,保送上大学；r,得过数学 竞赛的一等奖；t,得过物理竞赛的一等奖。则有命 题公式： p ∧(r∨t) q
人工智能原理
第3章 逻辑系统
第3章 逻辑系统
本章内容
3.1 命题逻辑和一阶谓词逻辑
3.2 逻辑系统的语法和语义 3.3 逻辑推理举例 3.4 逻辑智能体的推理策略 参考书目 附录 形式系统简介
第3章 逻辑系统
经典数理逻辑 经典数理逻辑
• AI研究内容之一是推理，即研究怎样使 计算机获得自动推理的能力 • 数理逻辑用数学方法研究各种推理中的 逻辑问题，以推理本身作为研究对象 • AI要使用逻辑推理，就必然涉及数理逻 辑 / 数理逻辑的经典部分—经典的命题 逻辑和一阶谓词逻辑，同时作为人工智 能的知识表示方法和推理方法而存在； 因此数理逻辑是人工智能的一个基础
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第3章 逻辑系统
一阶语言的项和公式
• L的项：一阶语言中的一个符号是项t， 当且仅当它能通过有限次使用下述步骤 生成：
(1)个体常量、自由变量是项； (2)如果t1…tn是项，且f是n元函数，则f(t1…tn) (2) t f n f(t )是项
• L的原子公式：一阶语言中的一个表达式 是一个原子公式，当且仅当它有如下2种 形式：
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例子
• • • • • 小王是个工程师 8是个自然数 我去买花 小丽和小华是朋友 其中，“小王”、“工程师”、“8”、“我”、“花”、 “小丽”、“小华”都是个体，而“是个工程师”、 “是个自然数”、“去买花”、“是朋友”都是谓词。 显然前两个谓词表示的是事物的性质，第三个谓词表 示的是一个动作，也表示了主、宾两个个体的关系， 最后一个谓词“是朋友”表示两个个体之间的关系。
• 命题逻辑的主要研究对象是公式
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例子
• 将陈述句转化成命题公式。 • 如：设“下雨”为p，“骑车上班”为q • 1 “只要不下雨，我就骑车上班”。 ~p是q的充分条件，因而可得命题公式： ~p q • 2 “只有不下雨，我才骑车上班”。 ~p是q的必要条件，因而可得命题公式： q ~p
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例子
命题逻辑基础
• 基本等值式（24个）
• 交换律：p∨q q ∨p p∧q q∧p • 结合律： (p∨q) ∨ r p∨(q ∨r); (p ∧ q) ∧ r p ∧(q ∧ r) • 分配律： p∨(q ∧ r) p ∧(q ∨ r) (p∨q)∧(p ∨r) ； (p ∧ q) ∨(p ∧ r)
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第3章 逻辑系统
一阶语言(1) 一阶语言(1)
• 一阶语言L：是一阶逻辑使用的形式语言， 可以和任何结构（论域）没有联系，也可以 与某个结构有联系
• 与结构没有联系的一阶语言由8类符号组成： (1)无限序列的个体符号（个体常量） (2)无限序列的谓词符号，有确定的元数n≥1 有一个特殊的谓词符号称为相等符号（等式）， 记为=。 L可含或不含=，如果含有，即称为 含=的一阶逻辑
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第3章 逻辑系统
一阶语言的公式(2) 一阶语言的公式(2)
• 一阶谓词公式的例子
• 数学命题的表示：5只被1和5整除 • 设Q(x,y)表示x被y整除，N(x)表示x是自然数 ⇒ ∀x(Q(5,x)→N(5)∨N(1)) • 自然语言语句的表示：他不能在所有时刻欺 骗所有人 • 设F(x)表示“x是人”/G(x)“x是一个时 刻”/H(x,y)“他能在y时刻欺骗x” ⇒ ¬ ∀x ∀y (F(x)∧G(y) → H(x,y)) 或者 ∃x∃y(¬H(x,y)∧F(x)∧G(y))
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第3章 逻辑系统
约束变量和自由变量
• 区别：自由变量可代入常量，约束变量不 行，因为∀a P(a)无意义 ；约束变量可改名， 自由变量不行
• 带有全称变量∀x的命题表示为一阶公式时， 其表示形式为 ∀x(P(x)→…)，带有存在变量∃ x的命题则表示形式为∃x(P(x)∧…) • 例子：所有有理数都是实数 ∀x(P(x)→R(x))， 有些人身高超过2米∃x(M(x)∧G(x)) • 上述使用方式不可改变，否则造成逻辑错误
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第3章 逻辑系统
一阶谓词逻辑
• 从命题到一阶谓词：命题内部逻辑结构 的分解 → 对判断的分解，把判断中的具 体内容抽出，称为个体；剩下的判断即 为谓词 • 谓词可看作是从个体域或个体域的笛卡 儿乘积到真值集合{T/F}的映射 • 典型的推理例子：(1)凡人皆有死；(2)苏 格拉底是人；(3)苏格拉底有死。（三段 论式）M(x)→D(x), M(s)├ D(s)
• 是命题的例子： • 2+2=4 / 二月份有30天 / 2002年威海有地 震 / 北京是中国首都 • 不是命题的例子： • 快点走吧 / 张三比李四聪明 / 公共汽车内 非常拥挤（各人认识不同）
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第3章 逻辑系统
命题变量与真值
• 命题变量（变元）：一个命题用符号表示，称为 命题符号 • 当命题符号代表任一个命题时，即为命题变量 • 真值：真或假 – 一个命题或命题变量具有真值 • 真值连接词（5个）：否定/合取/析取/蕴涵/等价 • 真值函数：真值联结词可以视为一元或二元映射 (真值函数)，￢是从{T,F}到{T,F}，其余是{T,F}2 到{T,F}的映射 / 其函数定义由真值表确定
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第3章 逻辑系统
一阶语言的公式(3) 一阶语言的公式(3)
• 一阶谓词公式的例子
• 1 所有人都是要死的 • 2 有的人活到一百岁以上 • 在个体域D为人类集合时，可符号化为： ∀x 1 ∀ P(x), 其中P(x)表示x是要死的 2 ∃xQ(x), 其中Q(x)表示x活到一百岁以上 • 在个体域D是全总个体域时，引入特殊谓词R(x)表 示x是人，可符号化为 1 ∀x （R(x) P(x)) 2 ∃x (R(x) ∧Q(x))
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第3章 逻辑系统
逻辑智能体
• 基于知识的智能体的核心部件是知识库， 当这些知识以逻辑形式表示并进行相应 的推理时，就是逻辑智能体
• 知识表示：命题逻辑、一阶谓词逻辑 • 推理(一阶谓词逻辑)—主要有3类推理算法： 前向链接和演绎系统、反向链接和逻辑程序 设计(本章)、归结反演和定理证明系统(第4 章)
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第3章 逻辑系统
变量与量词
• 变量(变元)：表示论域内的任意一个个体 / 常量(常元)，表示确定的个体 • 量词与变量：量词用来表示谓词的判断特性 • 全称量词∀：对所有的x ∀x P(x) • 存在量词∃：存在x ∃x P(x) • 约束变量：∀、∃中x的变量，量词所管辖的 公式如P(x)称为量词辖域 • 自由变量：不在量词辖域内的变量为自由变 量
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第3章 逻辑系统
命题逻辑的特点
• 命题逻辑：使用陈述性、上下文无关、无歧义 性、合成性的形式语言
• 陈述性—使用符号描述(语句形式)显式地表示知 识 ( 相对于过程性—将需要的知识直接编写为程 序代码 ) • 上下文无关—其含义不因环境而改变 • 无歧义性—含义唯一 • 合成性—语句的含义是其各部分含义的一个函数 (也是一种唯一性)
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第3章 逻辑系统
谓词
• 谓词（关系）：一阶形式语言中用于指 称论域中个体的性质或者个体之间关系 的形式符号（大写字母表示）
• 给定了论域，就确定了谓词的真假值 • 一元谓词：个体的性质；二元谓词(多元谓 词)：个体的关系 • 个体的位置—空位，具体化—构成意义完整 的语句 • 空位的数目—谓词的元数→几元谓词
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第3章 逻辑系统
一阶语言(2) 一阶语言(2)
(3)无限序列的函数符号，有确定的元数m≥1 (4)无限序列的自由变量：用u/v/w等表示自由 变量 (5)无限序列的约束变量：用x/y/z等表示约束 变量 (6)联结词：￢∧∨→≡ (7)量词： ∀、∃ (8)标点：左右括号、逗号 ( ) ,
• 一阶逻辑：描述对象和关系的陈述性、合 成性的形式语言
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第3章 逻辑系统
命题逻辑的合式公式
• 合式公式(well-formed formula)，简称公 式，记作wff：一个表达式是一个公式， 当且仅当它能通过有限次地使用下述步 骤生成：
(1)原子公式是公式； (2)如果A是公式，则(￢A)是公式； (3)如果A、B均为公式，则A*B是公式，其中* 表示∧∨→≡中的任意一个 • 公式的形成规则
• 采用命题和谓词演算进行推理的系统(如 演绎系统)是一种典型的逻辑智能体 4
第3章 逻辑系统
3.1 命题逻辑和一阶谓词逻辑
命题、真值、原子公式、合式公式 谓词、论域、个体 量词、变量、函数 一阶语言、一阶语言的项
第3章 逻辑系统
命题
• 命题：描述客观世界的可区分真假的陈 述句, 即一个判断（经典二值逻辑：非 真即假）
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第3章 逻辑系统
命题逻辑基础
• 基本等值式（24个）
• 摩根律: ～ (p∨q) ～p∧～q； ～ (p ∧q) ～p∨～q • 吸收律: p∨(p∧q ) p； p ∧(p∨q ) p • 同一律: p∨0 p； p∧1 p • 蕴含等值式：p → q ～ p∨q • 假言易位式: p → q ～p→～q
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第3章 逻辑系统
函数
• 函数：表示个体之间的运算，可作用于 一个或数个个体（用小写字母）
• 给定一个或若干个体（对象），产生一个新 / 的个体（对象）/ 函数的元数 • 例子：x的父亲 father(张三) • 两数之和仍是一个数 add(e1, e2)
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第3章 逻辑系统
函数与谓词的区别
• 谓词和函数的区别：谓词代表语句，结 果是关系（具有真假值）；函数代表关 系运算，结果是一个新个体 • 例子：谓词SUM(e1, e2, e3) 说明e1、e2、 e3之间的关系是e1与e2的和是e3 ， • 函数add(e1, e2)说明e1与e2相加的结果仍 是一个数
(1)F(t1…tn)，F是n元谓词，t1…tn是项； (2)=(t1,t2)或t1=百度文库2， t1、t2是项
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第3章 逻辑系统
一阶语言的公式(1) 一阶语言的公式(1)
• L的公式：一阶语言中的一个表达式是一 个公式，当且仅当它能通过有限次使用 下述步骤生成：
(1)原子公式是公式； (2)如果A是公式，则(￢A)是公式； (3)如果A、B均为公式，则A*B是公式，其中* 表示∧∨→≡中的任意一个 (4)如果A(u)是公式，且x不在A(u)中出现，则 ∀x A(x)、∃x A(x)都是公式
第3章 逻辑系统
命题语言与原子公式
• 命题逻辑：研究复合命题之间的推导关系 • 命题语言：是命题逻辑使用的形式语言， 是符号的集合,用Lp表示
• 包括：命题符号、连接词、左右括号
• 原子公式：命题语言中的一个表达式是原 子公式，当且仅当它是一个命题符号 / 原 子公式也称为文字(包括正文字和负文字)
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第3章 逻辑系统
3.3 逻辑推理举例
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第3章 逻辑系统
命题逻辑基础
• 定义：
• • • • • 若A无成假赋值，则称A为重言式或永真式； 若A无成真赋值，则称A为矛盾式或永假式； 若A至少有一个成真赋值，则称A为可满足的； ………… 析取范式：仅由有限个简单合取式组成的析取 式 • 合取范式：仅由有限个简单析取式组成的合取 式
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第3章 逻辑系统
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第3章 逻辑系统
简单命题与复合命题
• 简单命题：一个被视为整体的、具有真 或假的命题是简单命题 • 复合命题：使用联结词将简单命题联结 起来的命题是复合命题
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第3章 逻辑系统
命题逻辑基础
• 定义：
• 合取式：p与q，记做p ∧ q • 析取式：p或q，记做p ∨ q • 蕴含式：如果p则q，记做p → q • 等价式：p当且仅当q，记做p q
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第3章 逻辑系统
论域与个体
• 论域和个体：在一阶逻辑中，被研究对 象构成的非空集称为论域；论域中的每 个元素称为个体
• 论域例子：前面例子中的论域是“人” / 所 有的有理数都是实数：其论域为有理数 • 一阶逻辑还研究个体之间的关系（或个体的 性质）及作用于个体的函数 • 论域/个体/个体间关系/作用于个体函数 这4 个成分构成了一阶逻辑的结构
• 1 “如果我进城我就去看你，除非我很累” 设：p, 我进城，q，去看你，r，我很累，则有命 题公式： ~r (p q) • 2”应届高中生，得过数学或物理竞赛的一等奖， 保送上大学“ 设：p，应届高中生；q,保送上大学；r,得过数学 竞赛的一等奖；t,得过物理竞赛的一等奖。则有命 题公式： p ∧(r∨t) q
人工智能原理
第3章 逻辑系统
第3章 逻辑系统
本章内容
3.1 命题逻辑和一阶谓词逻辑
3.2 逻辑系统的语法和语义 3.3 逻辑推理举例 3.4 逻辑智能体的推理策略 参考书目 附录 形式系统简介
第3章 逻辑系统
经典数理逻辑 经典数理逻辑
• AI研究内容之一是推理，即研究怎样使 计算机获得自动推理的能力 • 数理逻辑用数学方法研究各种推理中的 逻辑问题，以推理本身作为研究对象 • AI要使用逻辑推理，就必然涉及数理逻 辑 / 数理逻辑的经典部分—经典的命题 逻辑和一阶谓词逻辑，同时作为人工智 能的知识表示方法和推理方法而存在； 因此数理逻辑是人工智能的一个基础
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第3章 逻辑系统
一阶语言的项和公式
• L的项：一阶语言中的一个符号是项t， 当且仅当它能通过有限次使用下述步骤 生成：
(1)个体常量、自由变量是项； (2)如果t1…tn是项，且f是n元函数，则f(t1…tn) (2) t f n f(t )是项
• L的原子公式：一阶语言中的一个表达式 是一个原子公式，当且仅当它有如下2种 形式：
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例子
• • • • • 小王是个工程师 8是个自然数 我去买花 小丽和小华是朋友 其中，“小王”、“工程师”、“8”、“我”、“花”、 “小丽”、“小华”都是个体，而“是个工程师”、 “是个自然数”、“去买花”、“是朋友”都是谓词。 显然前两个谓词表示的是事物的性质，第三个谓词表 示的是一个动作，也表示了主、宾两个个体的关系， 最后一个谓词“是朋友”表示两个个体之间的关系。
• 命题逻辑的主要研究对象是公式
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例子
• 将陈述句转化成命题公式。 • 如：设“下雨”为p，“骑车上班”为q • 1 “只要不下雨，我就骑车上班”。 ~p是q的充分条件，因而可得命题公式： ~p q • 2 “只有不下雨，我才骑车上班”。 ~p是q的必要条件，因而可得命题公式： q ~p
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例子
命题逻辑基础
• 基本等值式（24个）
• 交换律：p∨q q ∨p p∧q q∧p • 结合律： (p∨q) ∨ r p∨(q ∨r); (p ∧ q) ∧ r p ∧(q ∧ r) • 分配律： p∨(q ∧ r) p ∧(q ∨ r) (p∨q)∧(p ∨r) ； (p ∧ q) ∨(p ∧ r)
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第3章 逻辑系统
一阶语言(1) 一阶语言(1)
• 一阶语言L：是一阶逻辑使用的形式语言， 可以和任何结构（论域）没有联系，也可以 与某个结构有联系
• 与结构没有联系的一阶语言由8类符号组成： (1)无限序列的个体符号（个体常量） (2)无限序列的谓词符号，有确定的元数n≥1 有一个特殊的谓词符号称为相等符号（等式）， 记为=。 L可含或不含=，如果含有，即称为 含=的一阶逻辑
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第3章 逻辑系统
一阶语言的公式(2) 一阶语言的公式(2)
• 一阶谓词公式的例子
• 数学命题的表示：5只被1和5整除 • 设Q(x,y)表示x被y整除，N(x)表示x是自然数 ⇒ ∀x(Q(5,x)→N(5)∨N(1)) • 自然语言语句的表示：他不能在所有时刻欺 骗所有人 • 设F(x)表示“x是人”/G(x)“x是一个时 刻”/H(x,y)“他能在y时刻欺骗x” ⇒ ¬ ∀x ∀y (F(x)∧G(y) → H(x,y)) 或者 ∃x∃y(¬H(x,y)∧F(x)∧G(y))
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第3章 逻辑系统
约束变量和自由变量
• 区别：自由变量可代入常量，约束变量不 行，因为∀a P(a)无意义 ；约束变量可改名， 自由变量不行
• 带有全称变量∀x的命题表示为一阶公式时， 其表示形式为 ∀x(P(x)→…)，带有存在变量∃ x的命题则表示形式为∃x(P(x)∧…) • 例子：所有有理数都是实数 ∀x(P(x)→R(x))， 有些人身高超过2米∃x(M(x)∧G(x)) • 上述使用方式不可改变，否则造成逻辑错误
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第3章 逻辑系统
一阶谓词逻辑
• 从命题到一阶谓词：命题内部逻辑结构 的分解 → 对判断的分解，把判断中的具 体内容抽出，称为个体；剩下的判断即 为谓词 • 谓词可看作是从个体域或个体域的笛卡 儿乘积到真值集合{T/F}的映射 • 典型的推理例子：(1)凡人皆有死；(2)苏 格拉底是人；(3)苏格拉底有死。（三段 论式）M(x)→D(x), M(s)├ D(s)
• 是命题的例子： • 2+2=4 / 二月份有30天 / 2002年威海有地 震 / 北京是中国首都 • 不是命题的例子： • 快点走吧 / 张三比李四聪明 / 公共汽车内 非常拥挤（各人认识不同）
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第3章 逻辑系统
命题变量与真值
• 命题变量（变元）：一个命题用符号表示，称为 命题符号 • 当命题符号代表任一个命题时，即为命题变量 • 真值：真或假 – 一个命题或命题变量具有真值 • 真值连接词（5个）：否定/合取/析取/蕴涵/等价 • 真值函数：真值联结词可以视为一元或二元映射 (真值函数)，￢是从{T,F}到{T,F}，其余是{T,F}2 到{T,F}的映射 / 其函数定义由真值表确定
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第3章 逻辑系统
一阶语言的公式(3) 一阶语言的公式(3)
• 一阶谓词公式的例子
• 1 所有人都是要死的 • 2 有的人活到一百岁以上 • 在个体域D为人类集合时，可符号化为： ∀x 1 ∀ P(x), 其中P(x)表示x是要死的 2 ∃xQ(x), 其中Q(x)表示x活到一百岁以上 • 在个体域D是全总个体域时，引入特殊谓词R(x)表 示x是人，可符号化为 1 ∀x （R(x) P(x)) 2 ∃x (R(x) ∧Q(x))
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第3章 逻辑系统
逻辑智能体
• 基于知识的智能体的核心部件是知识库， 当这些知识以逻辑形式表示并进行相应 的推理时，就是逻辑智能体
• 知识表示：命题逻辑、一阶谓词逻辑 • 推理(一阶谓词逻辑)—主要有3类推理算法： 前向链接和演绎系统、反向链接和逻辑程序 设计(本章)、归结反演和定理证明系统(第4 章)
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第3章 逻辑系统
变量与量词
• 变量(变元)：表示论域内的任意一个个体 / 常量(常元)，表示确定的个体 • 量词与变量：量词用来表示谓词的判断特性 • 全称量词∀：对所有的x ∀x P(x) • 存在量词∃：存在x ∃x P(x) • 约束变量：∀、∃中x的变量，量词所管辖的 公式如P(x)称为量词辖域 • 自由变量：不在量词辖域内的变量为自由变 量
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第3章 逻辑系统
命题逻辑的特点
• 命题逻辑：使用陈述性、上下文无关、无歧义 性、合成性的形式语言
• 陈述性—使用符号描述(语句形式)显式地表示知 识 ( 相对于过程性—将需要的知识直接编写为程 序代码 ) • 上下文无关—其含义不因环境而改变 • 无歧义性—含义唯一 • 合成性—语句的含义是其各部分含义的一个函数 (也是一种唯一性)
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第3章 逻辑系统
谓词
• 谓词（关系）：一阶形式语言中用于指 称论域中个体的性质或者个体之间关系 的形式符号（大写字母表示）
• 给定了论域，就确定了谓词的真假值 • 一元谓词：个体的性质；二元谓词(多元谓 词)：个体的关系 • 个体的位置—空位，具体化—构成意义完整 的语句 • 空位的数目—谓词的元数→几元谓词
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第3章 逻辑系统
一阶语言(2) 一阶语言(2)
(3)无限序列的函数符号，有确定的元数m≥1 (4)无限序列的自由变量：用u/v/w等表示自由 变量 (5)无限序列的约束变量：用x/y/z等表示约束 变量 (6)联结词：￢∧∨→≡ (7)量词： ∀、∃ (8)标点：左右括号、逗号 ( ) ,
• 一阶逻辑：描述对象和关系的陈述性、合 成性的形式语言
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第3章 逻辑系统
命题逻辑的合式公式
• 合式公式(well-formed formula)，简称公 式，记作wff：一个表达式是一个公式， 当且仅当它能通过有限次地使用下述步 骤生成：
(1)原子公式是公式； (2)如果A是公式，则(￢A)是公式； (3)如果A、B均为公式，则A*B是公式，其中* 表示∧∨→≡中的任意一个 • 公式的形成规则
• 采用命题和谓词演算进行推理的系统(如 演绎系统)是一种典型的逻辑智能体 4
第3章 逻辑系统
3.1 命题逻辑和一阶谓词逻辑
命题、真值、原子公式、合式公式 谓词、论域、个体 量词、变量、函数 一阶语言、一阶语言的项
第3章 逻辑系统
命题
• 命题：描述客观世界的可区分真假的陈 述句, 即一个判断（经典二值逻辑：非 真即假）
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第3章 逻辑系统
命题逻辑基础
• 基本等值式（24个）
• 摩根律: ～ (p∨q) ～p∧～q； ～ (p ∧q) ～p∨～q • 吸收律: p∨(p∧q ) p； p ∧(p∨q ) p • 同一律: p∨0 p； p∧1 p • 蕴含等值式：p → q ～ p∨q • 假言易位式: p → q ～p→～q
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第3章 逻辑系统
函数
• 函数：表示个体之间的运算，可作用于 一个或数个个体（用小写字母）
• 给定一个或若干个体（对象），产生一个新 / 的个体（对象）/ 函数的元数 • 例子：x的父亲 father(张三) • 两数之和仍是一个数 add(e1, e2)
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第3章 逻辑系统
函数与谓词的区别
• 谓词和函数的区别：谓词代表语句，结 果是关系（具有真假值）；函数代表关 系运算，结果是一个新个体 • 例子：谓词SUM(e1, e2, e3) 说明e1、e2、 e3之间的关系是e1与e2的和是e3 ， • 函数add(e1, e2)说明e1与e2相加的结果仍 是一个数
(1)F(t1…tn)，F是n元谓词，t1…tn是项； (2)=(t1,t2)或t1=百度文库2， t1、t2是项
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第3章 逻辑系统
一阶语言的公式(1) 一阶语言的公式(1)
• L的公式：一阶语言中的一个表达式是一 个公式，当且仅当它能通过有限次使用 下述步骤生成：
(1)原子公式是公式； (2)如果A是公式，则(￢A)是公式； (3)如果A、B均为公式，则A*B是公式，其中* 表示∧∨→≡中的任意一个 (4)如果A(u)是公式，且x不在A(u)中出现，则 ∀x A(x)、∃x A(x)都是公式