2019年北京市东城区高三上学期期末理科数学试题及答案

2019北京东城区高三（上）期末

数

学（理）

本试卷共4页，共150分。考试时长120分钟。考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效。考试结

束后，将答题卡一并交回。

第一部分（选择题共40分）

一、选择题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。(1)已知集合{20},{2,1,0,1,2}A x x B =-<≤=--，则A B = (A){2,1}--(B){2,0}-(C){1,0}

-(D){2,1,0}

--(2)下列复数为纯虚数的是(A)2

1i

+(B)2

i i

+(C)11i

-

(D)2

(1i)

-(3)下列函数中，是奇函数且存在零点的是(A)3

y x x =+(B)2log y x =(C)223

y x =-(D)2y x

=

(4)执行如图所示的程序框图，若输入的5,3n m ==，则输出的p 值为(A)360(B)60(C)36(D)12

(5)“5

12

m =

π”是“函数()cos(2)6f x x π=+的图象关于直线x m =对称”的

(A)充分而不必要条件(B)必要而不充分条件(C)充分必要条件

(D)既不充分也不必要条件

(6)某三棱锥的三视图如图所示，在此三棱锥的六条棱中，最长棱的

长度为

(A)2

(C)(D)3

(7)在极坐标系中，下列方程为圆=2sin ρθ的切线方程的是(A)cos 2ρθ=(B)2cos ρθ=(C)cos 1

ρθ=-（D）sin 1

ρθ=-(8)地震里氏震级是地震强度大小的一种度量.地震释放的能量E (单位：焦耳)与地震里氏震级M 之间的关系为

lg 4.8 1.5E M =+.已知两次地震的里氏震级分别为8.0级和7.5级，若它们释放的能量分别为1E 和2E ，则

12

E E 的值所在的区间为(A)(1,2)(B)(5,6)(C)(7,8)

(D)(15,16)

第二部分（非选择题

共110分）

二、填空题共6小题，每小题5分，共30分。

（9）若,x y 满足223,,x y x x y ??

??+?

，≤≤≥则2x y +的最小值为

.

22

(10)1______.3x y m m m

-

==已知双曲线的一个焦点为，则(11)若等差数列{}n a 和等比数列{}n b 满足111,2a b =-=，321a b +=-，试写出一组满足条件的数列{}n a 和

{}n b 的通项公式：n a =，n b =

.

(12)在菱形ABCD

中，若BD =，则CB DB ?

的值为

.

(13)函数()sin(cos()63f x x x ππ=-

+-在区间2

[,]63

π-π上的最大值为.

(14)已知函数()f x 定义域为R ，设()()1,()1() 1.

f f x f x F x f x ?≤?=?>??，，①若2

2

()1x f x x =+，则(1)_______f F =；

②若()e 1a x f x -=-，且对任意x ∈R ，()()f F x f x =，则实数a 的取值范围为________.

三、解答题共6小题，共80分。解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程。

(15)（本小题13分）

在△ABC sin cos sin .A B a C =

（Ⅰ）求B ∠的大小；

2cos ABC a A (Ⅱ)若的面积为△，求的值.

(16)（本小题13分）

某中学有学生500人，学校为了解学生的课外阅读时间，从中随机抽取了50名学生，获得了他们某一个月课外阅读时间的数据（单位：小时），将数据分为5组：[10,12)，[12,14)，[14,16)，[16,18)，[18,20]，整理得到如图所示的频率分布直方图.

（Ⅰ）求频率分布直方图中的x 的值；

（Ⅱ）试估计该校所有学生中，课外阅读时间不小于16小时的学生人数；

（Ⅲ）已知课外阅读时间在[10,12)的样本学生中有3名女生，现从阅读时间在[10,12)的样本学生中随机抽取3人，

记X 为抽到女生的人数，求X 的分布列与数学期望()E X .

(17)（本小题14分）

如图1，在四边形ABCD 中，AD BC ，2BC AD =,E ,F 分别为,AD BC 的中点，AE EF =，

2AF AE =.将四边形ABFE 沿EF 折起，使平面ABFE ⊥平面EFCD (如图2)，G 是BF 的中点.

(Ⅰ)证明：AC EG ⊥；

(Ⅱ)在线段BC 上是否存在一点H ，使得DH 平 面ABFE ？若存在，求

BH

BC

的值；若不存在，说明理由；(Ⅲ)求二面角D AC F --的大小.

(18)（本小题13分）

已知函数2

()e 2x f x ax x x =--．

(Ⅰ)当1a =时，求曲线()y f x =在点(0,(0))f 处的切线方程；

(Ⅱ)当0x >时，若曲线()y f x =在直线y x =-的上方，求实数a 的取值范围．

(19)（本小题13分）

已知椭圆22

2:12

x y C a +

=过点(2,1)P .（Ⅰ）求椭圆C 的方程，并求其离心率；

（Ⅱ）过点P 作x 轴的垂线l ，设点A 为第四象限内一点且在椭圆C 上（点A 不在直线l 上），点A 关于l 的对称点为A '，直线A P '与C 交于另一点B .设O 为原点，判断直线AB 与直线OP 的位置关系，并说明理由.(20)（本小题14分）

对给定的d *∈N ，记由数列构成的集合11Ω(){{}1,,}n n n d a a a a d n *

+===+∈N .

（Ⅰ）若数列{}Ω(2)n a ∈，写出3a 的所有可能取值；

（Ⅱ）对于集合Ω()d ，若2d ≥.求证：存在整数k ，使得对Ω()d 中的任意数列{}n a ，整数k 不是数列{}n a 中的

项；

（Ⅲ）已知数列{}n a ，{}n b ()d ∈Ω，记{}n a ，{}n b 的前n 项和分别为,n n A B .若11n n a b ++≤，求证：n n A B ≤.

数学试题答案

一、选择题（共8小题，每小题5分，共40分）（1）C （2）D （3）A （4）B （5）A

（6）D

（7）C

（8）B

二、填空题（共6小题，每小题5分，共30分）

（9）4

（11）2n -（答案不唯一）

（12）

3

2

（14）

12

(,ln 2]

-∞三、解答题（共6小题，共80分）（15）（共13分）解:

sin

sin sin cos sin 2

ABC a C c A a C B c A ==(Ⅰ)在△中，由正弦定理得所以，=

0B <∠<π又，

=.

4

B π

∠所以.............................5分

21

sin ,.24

S =

ABC ac a c π

==(Ⅱ)因为的面积所以△

22282,.

2

b a a a b =+-???=由余弦定理所以，222

cos

10A ==所以.............................13分

（16）（共13分）

解：（Ⅰ）由0.0520.0820.1020.12221x ?+?+?+?+=，

可得0.15x =.

.............................3分

（Ⅱ）0.1020.0520.30?+?=，

即课外阅读时间不小于16个小时的学生样本的频率为0.30.5000.30150?=，

所以可估计该校所有学生中，课外阅读时间不小于16个小时的学生人数为150.

.............................6分

（Ⅲ）课外阅读时间在[10,12)的学生样本的频率为0.0820.16?=，

500.168?=,即阅读时间在[10,12)的学生样本人数为8，

8名学生为3名女生，5名男生，

随机变量X 的所有可能取值为0，1，2，3，

35385

(0)28

C P X C ===；

12353815

(1)28

C C P X C ===；

21

353815

(2)56C C P X C ===；

3

3381

(3)56

C P X C ===.

所以X 的分布列为：X 0123P

528

1528

1556

156

故X 的期望5151519()0123282856568

E X =?

+?+?+?=..............................13分

（17）（共14分）

解：(Ⅰ)在图1中，,2,

AE EF AF AE ==

可得△AEF 为等腰直角三角形，AE EF ⊥.因为AD BC ， 所以,.

EF BF EF FC ⊥⊥因为平面ABFE ⊥平面,EFCD EF 且两平面交于，CF CDEF ?平面，所以CF ABFE ⊥平面.

又EG ABFE ?平面，故CF EG ⊥；

由G 为中点，可知四边形AEFG 为正方形，AF EG ⊥所以；又AF FC F = ，EG AFC .

⊥所以平面AC AFC ?又平面，.

AC EG ⊥所以.............................4分

（II）由(Ⅰ)知：FE ，FC ，FB 两两垂直，F xyz -如图建立空间直角坐标系，

设1FE =，则(0,0,0),(0,2,0),(0,0,2),(1,1,0).

F C B D H BC 设是线段上一点，

[0,1].

BH BC λλ∈=

则存在使得(0,2,22)(1,21,22).

H DH λλλλ-=---

因此点，

(0,2,0).

FC ABFE FC =

由（Ⅰ）知为平面的法向量，DH ABFE ?因为平面，

0DH ABFE DH FC ?=

所以平面当且仅当，

(12122)(0,2,0)=0.λλ?即-,-,-1

=.

2

λ解得1

.2

BH BC H DH ABFE BC =所以在线段上存在点使得平面此时

， ..........................9分（III）(1,0,1)(1,0,0)(0,0,1).

A E G 设，，由(I)可得,(1,0,1).EG AFC EG =-

是平面的法向量，

(0,1,1),(1,1,0),

AD CD =-=-

设平面ACD 的法向量为(,,)

x y z =n ，

由0,0AD CD ??=???=??

，n n 00.

y z x y -=??-=?，即1,1, 1.x y z ===令则(1,1,1).

于是n =cos ,0.EG EG EG ?<>==

所以n

n n

所以二面角90.

D AC F --

的大小为.............................14分

（18）（共13分）

解：(Ⅰ)当1a =时，2

()e 2x

f x x x x =--，所以()e (1)22x

f x x x '=+--，(0)1f '=-.

又因为(0)0f =，

所以曲线()y f x =在点(0,(0))f 处的切线方程为y x =-．

.................4分

(Ⅱ)当0x >时，“曲线()y f x =在直线y x =-的上方”等价于“2

e 2x

ax x x x -->-恒成立”，即

0x >时e 10x a x -->恒成立，

由于e 0x

>，所以等价于当0x >时，1

e

x x a +>

恒成立.令1

(),0

e x

x g x x +=

≥，则()e x x g x -'=.当0x ≥时，有()0.g x '≤所以g (x )在区间[0,)+∞单调递减.

1

(0)1()[0,)0,

1e

x x g g x x +=+∞><故是在区间上的最大值从而对任意恒成立.，综上，实数a 的取值范围为[1,)+∞.

.............................13分

（19）（共13分）

解：（Ⅰ）由椭圆方程22

2:1(21)2

x y C a +

=过点,，可得28a =.所以椭圆C 的方程为22

182x y +=

，离心率32e =

=..........................4分

（Ⅱ）直线AB 与直线OP 平行.证明如下：

设直线():12PA y k x -=-，():12PB y k x -=--，

(,)(,).

A A

B B A x y B x y 设点的坐标为点的坐标为，由22

182

21x y y kx k ?+=???=-+?

，得()222

418(12)161640.k x k k x k k ++-+--=22228(12)16(12)882

2,2.

414141A A k k k k k k x x k k k ----+=-=--=+++则同理2288k 241

B k x k +-=+，所以2

16k

.41A B x x k --=+21A A y kx k =-+由，21B B y kx k =-++，

()2

8441

A B A B k

y y k x x k k --=+-=

+有，因为A 在第四象限，所以0k ≠，且A 不在直线OP 上.

1

.

21

,.2

A B AB A B op AB OP y y k x x k k k -=

=-=

=又故所以直线AB 与直线OP 平行.

.............................13分

（20）（共14分）

解：（Ⅰ）由于数列{}Ω(2)n a ∈，即2d =，1 1.

a =由已知有21123a a d =+=+=，所以23a =±，

3222a a d a =+=+，

将23a =±代入得3a 的所有可能取值为5,1,1,5.--..............................4分

（Ⅱ）先应用数学归纳法证明数列:

{}()1()n n a d a md m ∈Ω±∈Z 若数列则具有的形式.

，①当1n =时，101a d =?+，因此1n =时结论成立.

②假设当n k k *=∈N （）时结论成立，即存在整数0m ，使得001k a m d =±成立.

当1n k =+时，1000001(1)1k a m d d m d +=±+=+±，

10(1)1k a m d +=+±，或10(1) 1.

k a m d +=-+±所以当1n k =+时结论也成立.

由①②可知，若数列{}Ω()n a d ∈，n n a *∈N 对任意，具有1()md m ±∈Z 的形式.由于n a 具有1()md m ±∈Z 的形式，以及2d ≥，可得n a 不是d 的整数倍.故取整数k d =，则整数k 均不是数列{}n a 中的项.

.............................9分

（Ⅲ）由1n n a a d +=+可得：22212.

n n n a a a d d +=++所以有22212n n n a a a d d +=++，

222112n n n a a a d d --=++，2221222n n n a a a d d ---=++，

2222112.

a a a d d =++以上各式相加可得22112n n a d n S d +-=+，即22221111

..2222n n n n a b nd nd A B d d d d

++++=-=-同理当11n n a b ++≤时，有22

+1+1n n a b ≤，

由于d *

∈N ，所以22+1122n n a b d d

+≤

，于是22

2211

112222n n a b nd nd d d d d ++++--≤，.

n n A B ≤即成立.............................14分