2019年北京市东城区高三上学期期末理科数学试题及答案
D_北京市东城区2019届高三第一学期期末数学理科试题(精品解析)
2018-2019学年北京市东城区高三（上）期末数学试卷（理科）一、选择题（本大题共8小题，共40.0分）1.若集合A={x|-2＜x≤0}，B={-2，-1，0，1，2}，则A∩B=（ ）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】直接利用交集运算得答案．【详解】∵集合表示到0的所有实数，集合表示5个整数的集合，∴，故选C．【点睛】本题主要考查了交集的概念及其运算，是基础题．2.下列复数为纯虚数的是（ ）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】直接利用复数的运算对每个选项逐一求解即可得答案.【详解】∵，，，，∴为纯虚数的是，故选D．【点睛】本题主要考查了复数的基本运算及基本概念，是基础题3.下列函数中，是奇函数且存在零点的是（ ）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】由函数的奇偶性及函数的零点可判断为奇函数，且存在零点为，为非奇非偶函数，为偶函数，不存在零点，故得解．【详解】对于选项A：为奇函数，且存在零点为x=0，与题意相符；对于选项B：为非奇非偶函数，与题意不符；对于选项C：为偶函数，与题意不符；对于选项D：不存在零点，与题意不符，故选：A．【点睛】本题主要考查了函数的奇偶性及函数的零点，熟练掌握常见初等函数的性质是解题的关键，属于简单题．4.执行如图所示的程序框图，如果输入，则输出的等于（ ）A. 3B. 12C. 60D. 360【答案】C【解析】【分析】通过程序框图，按照框图中的要求将几次的循环结果写出，得到输出的结果．【详解】模拟执行程序，可得，，，，，满足条件，执行循环体，，，满足条件，执行循环体，，，不满足条件，退出循环，输出的值为60．故选C．【点睛】本题考查程序框图的应用，解决程序框图中的循环结构的输出结果问题时，常采用写出几次的结果找规律，属于基础题．5.“”是“函数的图像关于直线对称”的（ ）A. 充分而不必要条件B. 必要而不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】A【解析】【分析】根据三角函数的对称性求出函数的对称轴为，结合充分条件和必要条件的定义进行判断即可．【详解】若函数的图象关于直线，则，得，当时，，即“”是“函数的图象关于直线对称”的充分不必要条件，故选A．【点睛】本题主要考查充分条件和必要条件的判断，结合三角函数的对称性求出的取值范围是解决本题的关键．6.某三棱锥的三视图如图所示，在此三棱锥的六条棱中，最长棱的长度为（ ）A. 2B.C.D. 3【答案】D【解析】【分析】由三棱锥的三视图知该三棱锥是三棱锥，其中底面，，，，由此能求出在该三棱锥中，最长的棱长．【详解】由三棱锥的三视图知该三棱锥是如图所示的三棱锥，其中底面，，，，∴，∴在该三棱锥中，最长的棱长为，故选D．【点睛】本题考查三棱锥中最长棱长的求法，考查三棱锥性质及其三视图等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，是基础题．7.在极坐标系中，下列方程为圆的切线方程的是（ ）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】首先求出圆的直角坐标方程为，圆心为，半径，将每个选项分别利用直角坐标表示，根据直线与圆的位置关系能求出结果．【详解】圆，即，∴圆的直角坐标方程为，即，圆心为，半径，在A中，即，圆心到的距离，故不是圆的切线，故A错误；在B中，是圆，不是直线，故B错误；在C中，即，圆心到的距离，故是圆的切线，故C正确；在D中，即，圆心到的距离，故不是圆的切线，故D错误．故选C．【点睛】本题考查圆的切线方程的判断，考查直角坐标方程、参数方程、极坐标方程的互化等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．8.地震里氏震级是地震强度大小的一种度量．地震释放的能量E（单位：焦耳）与地震里氏震级M之间的关系为lg E=4.8+1.5M．已知两次地震的里氏震级分别为8.0级和7.5级，若它们释放的能量分别为E1和E2，则的值所在的区间为（ ）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】先把数据代入已知解析式，再利用对数的运算性质即可得出．【详解】，∴，，∴，，∴，∵，，，∴，∴的值所在的区间为，故选B．【点睛】本题考查了对数的运用以及运算，熟练掌握对数的运算性质是解题的关键，属于基础题.二、填空题（本大题共6小题，共30.0分）9.若满足，则的最小值为______．【答案】4【解析】【分析】作出不等式组对应的平面区域，利用的几何意义即可得到结论．【详解】作出，满足对应的平面区域，由，得，平移直线，由，解得由图象可知当直线经过点时，直线的截距最小，此时最小，此时，故答案为4．【点睛】本题主要考查线性规划中利用可行域求目标函数的最值，属简单题.求目标函数最值的一般步骤是“一画、二移、三求”：（1）作出可行域（一定要注意是实线还是虚线）；（2）找到目标函数对应的最优解对应点（在可行域内平移变形后的目标函数，最先通过或最后通过的顶点就是最优解）；（3）将最优解坐标代入目标函数求出最值.10.已知双曲线-=1的一个焦点为，则m=______．【答案】3【解析】【分析】由双曲线的焦点坐标可得的值，列出关于的方程，解出即可．【详解】双曲线的一个焦点为，即，解得，故答案为3．【点睛】本题主要考查双曲线的标准方程，注意分析、的关系，属于基础题.11.若等差数列{a n}和等比数列{b n}满足a1=-1，b1=2，a3+b2=-1，试写出一组满足条件的数列{a n}和{b n}的通项公式：a n=______，b n=______．【答案】(1). -n(2). 2【解析】【分析】设等差数列的公差为，等比数列的公比为，由等差数列和等比数列的通项公式，解方程可得，，即可得到所求通项公式，注意答案不唯一．【详解】等差数列的公差设为，等比数列的公比设为，，，，可得，即为，可取，可得，则，，故答案为，2．【点睛】本题主要考查等差数列和等比数列的通项公式的运用，考查方程思想和运算能力，属于基础题．12.在菱形ABCD中，若，则的值为______．【答案】【解析】【分析】根据菱形的对角线互相垂直且平分，则，结合平面向量的数量积公式计算即可．【详解】菱形中，，由可得则，故答案为．【点睛】本题考查了平面向量的数量积计算问题，由菱形的性质得到是解题的关键，属于基础题．13.函数在区间上的最大值为______．【答案】【解析】【分析】利用两角差的正弦与余弦公式化简，根据在上，结合三角函数的性质可得最大值．【详解】函数；∵，∴当时，取得最大值为，故答案为.【点睛】本题主要考查了两角和与差公式的应用和计算能力，得到是解题的关键，属于基础题．14.已知函数f（x）为定义域为R，设F f（x）=．①若f（x）=，则F f（1）=______；②若f（x）=e a-|x|-1，且对任意x∈R，F f（x）=f（x），则实数a的取值范围为______．【答案】(1). (2).【解析】【分析】①通过的范围，可得，代入可得所求值；②由题意可得恒成立，运用绝对值不等式的性质和参数分离，以及函数的最值求法，可得的范围．【详解】①若，由，可得，成立，即有，则；②若，且对任意，，可得恒成立，即为，即有，可得，即，由的最小值为，则，故答案为，．【点睛】本题主要考查分段函数的运用：求函数值和解析式，考查变形能力和转化思想，注意运用参数分离和绝对值不等式的性质，将问题转化为恒成立是解决②的关键，属于中档题三、解答题（本大题共6小题，共80.0分）15.在△ABC中，．（1）求∠B的大小；（2）若△ABC的面积为a2，求cos A的值．【答案】（1）；（2）【解析】【分析】（1）由正弦定理可得，结合范围，可求的值；（2）利用三角形的面积公式可求的值，根据余弦定理可求的值，进而可求的值．【详解】（1）在△ABC中，由正弦定理可得：，所以：，又，．（2）因为△ABC的面积为，∴2，由余弦定理，，所以．．【点睛】本题主要考查了正弦定理，三角形面积公式，余弦定理在解三角形中的综合应用，考查了计算能力和转化思想，属于基础题16.某中学有学生500人，学校为了解学生的课外阅读时间，从中随机抽取了50名学生，获得了他们某一个月课外阅读时间的数据（单位：小时），将数据分为5组：[10，12），[12，14），[14，16），[16，18），[18，20]，整理得到如图所示的频率分布直方图．（1）求频率分布直方图中的x的值；（2）试估计该校所有学生中，课外阅读时间不小于16小时的学生人数；（3）已知课外阅读时间在[10，12）的样本学生中有3名女生，现从阅读时间在[10，12）的样本学生中随机抽取3人，记X为抽到女生的人数，求X的分布列与数学期望E（X）．【答案】（1）0.15；（2）150；（3）见解析【解析】【分析】（1）利用频率分布直方图，通过概率和为1，即可求解；（2）利用分布直方图求解即可；（3）随机变量的所有可能取值为0，1，2，3，求出概率得到分布列，然后求解期望．【详解】（1）由，可得0.15（2），即课外阅读时间不小于16个小时的学生样本的频率为0.30.500×0.30=150，所以可估计该校所有学生中，课外阅读时间不小于16个小时的学生人数为150．（3）课外阅读时间在[10，12）的学生样本的频率为0.08×2=0.16，50×0.16=8，即阅读时间在[10，12）的学生样本人数为8，8名学生为3名女生，5名男生，随机变量X的所有可能取值为0，1，2，3，； ；；．所以X的分布列为：X0123P故的期望【点睛】本题主要考查离散型随机变量的分布列以及期望的求法，频率分布直方图的应用，考查计算能力，属于中档题.17.如图1，在四边形ABCD中，AD∥BC，BC=2AD，E，F分别为AD，BC的中点，AE=EF，．将四边形ABFE沿EF折起，使平面ABFE⊥平面EFCD（如图2），G是BF的中点．（1）证明：AC⊥EG；（2）在线段BC上是否存在一点H，使得DH∥平面ABFE？若存在，求的值；若不存在，说明理由；（3）求二面角D-AC-F的大小．【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）【解析】【分析】（1）推导出，，，从而平面，进而，四边形为正方形，，由此能证明平面，从而；（2）由，，两两垂直，建立空间直角坐标系，由此利用向量法能求出在线段上存在一点，使得平面，并能求出的值；（3）求出平面的法向理和平面的法向量，利用向量法能求出二面角的大小．【详解】证明：（1）在图1中，，可得△AEF为等腰直角三角形，AE⊥EF．因为AD∥BC，所以EF⊥BF，EF⊥FC．因为平面ABFE⊥平面EFCD，且两平面交于EF，CF⊂平面CDEF，所以CF⊥平面ABFE．又EG⊂平面ABFE，故CF⊥EG；由G为中点，可知四边形AEFG为正方形，所以AF⊥EG；又AF∩FC=F，所以EG⊥平面AFC．又AC⊂平面AFC，所以AC⊥EG（2）由（1）知：FE，FC，FB两两垂直，如图建立空间直角坐标系F-xyz，设FE=1，则F（0，0，0），C（0，2，0），B（0，0，2），D（1，1，0）．设H是线段BC上一点，．因此点．由（1）知为平面ABFE的法向量，=（0，2，0），因为平面ABFE，所以平面，当且仅当，即，解得．．（3）设A（1，0，1），E（1，0，0），G（0，0，1）．由（1）可得，是平面的法向量，．，设平面ACD的法向量为n=（x，y，z），由即令x=1，则y=1，z=1．于是n=（1，1，1）．所以．所以二面角D-AC-F的大小为90°【点睛】本题主要考查线线垂直的证明，考查满足线面平行的点是否存在的判断与求法，考查二面角的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．18.已知函数f（x）=axe x-x2-2x．（1）当a=1时，求曲线y=f（x）在点（0，f（0））处的切线方程；（2）当x＞0时，若曲线y=f（x）在直线y=-x的上方，求实数a的取值范围．【答案】（1）；（2）【解析】【分析】（1）根据题意，求出函数的导数，由导数的几何意义可得切线的斜率，求出切点的坐标，由直线的点斜式方程分析可得答案；（2）根据题意，原问题可以转化为恒成立，设，求出的导数，由函数的导数与函数单调性的关系分析可得其最大值，分析可得答案．【详解】（1）当时，，其导数，．又因为，所以曲线y=f（x）在点（0，f（0））处的切线方程为；（2）根据题意，当时，“曲线y=f（x）在直线的上方”等价于“恒成立”，又由x＞0，则，则原问题等价于恒成立；设，则，又由，则，则函数在区间上递减，又由，则有，若恒成立，必有，即的取值范围为．【点睛】本题考查利用导数分析函数的切线方程以及最值，考查恒成立问题，正确分离参数是关键，也是常用的一种手段．通过分离参数可转化为或恒成立，即或即可，利用导数知识结合单调性求出或即得解，属于中档题.19.已知椭圆过点P（2，1）．（1）求椭圆C的方程，并求其离心率；（2）过点P作x轴的垂线l，设点A为第四象限内一点且在椭圆C上（点A不在直线l上），点A关于l的对称点为A'，直线A'P与C交于另一点B．设O为原点，判断直线AB与直线OP的位置关系，并说明理由．【答案】（1）见解析；（2）见解析【解析】【分析】（1）将点代入椭圆方程，求出，结合离心率公式即可求得椭圆的离心率；（2）设直线，，设点的坐标为，，分别求出，，根据斜率公式，以及两直线的位置关系与斜率的关系即可得结果.【详解】（1）由椭圆方程椭圆过点P（2，1），可得．所以，所以椭圆C的方程为+=1，离心率e==，（2）直线AB与直线OP平行．证明如下：设直线，，设点A的坐标为（x1，y1），B（x2，y2），由得，∴，∴同理，所以，由，有，因为A在第四象限，所以，且A不在直线OP上．∴，又，故，所以直线与直线平行．【点睛】本题考查椭圆的简单性质，考查了直线与椭圆位置关系的应用，训练了斜率和直线平行的关系，是中档题．20.对给定的d∈N*，记由数列构成的集合．（1）若数列{a n}∈Ω（2），写出a3的所有可能取值；（2）对于集合Ω（d），若d≥2．求证：存在整数k，使得对Ω（d）中的任意数列{a n}，整数k不是数列{a n}中的项；（3）已知数列{a n}，{b n}∈Ω（d），记{a n}，{b n}的前n项和分别为A n，B n．若|a n+1|≤|b n+1|，求证：A n≤B n．【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）见解析【解析】【分析】（1）推导出，，，，由此能求出的所有可能取值；（2）先应用数学归纳法证明数列，则具有，（）的形式，由此能证明取整数，则整数均不是数列中的项；（3）由，得：，从而，由此利用累加法得，从而，同理，由此能证明．【详解】（1）由于数列{a n}∈Ω（2），即d=2，a1=1．由已知有|a2|=|a1+d|=|1+2|=3，所以a2=±3，|a3|=|a2+d|=|a2+2|，将a2=±3代入得a3的所有可能取值为-5，-1，1，5．证明：（2）先应用数学归纳法证明数列：若{a n}∈Ω（d），则a n具有md±1，（m∈Z）的形式．①当n=1时，a1=0•d+1，因此n=1时结论成立．②假设当n=k（k∈N*）时结论成立，即存在整数m0，使得a k=m0d0±1成立．当n=k+1时，|a n+1|=|m0d0±1+d0|=|（m0+1）d0±1|，a k+1=（m0+1）d±1，或a k+1=-（m0+1）±1，所以当n=k+1时结论也成立．由①②可知，若数列{a n}∈Ω（d）对任意n∈N*，a n具有md±1（m∈Z）的形式．由于a n具有md±1（m∈Z）的形式，以及d≥2，可得a n不是d的整数倍．故取整数k=d，则整数k均不是数列{a n}中的项（3）由|a n+1|=|a n+d|，可得：=，所以有=+2a n d+d2，=+2a n-1d+d2，，…=，以上各式相加可得，即A n =-，同理B n =-，当时，有，∵d ∈N *，∴≤，∴≤-，∴【点睛】本题考查数列的第项的所有可能取值的求法，考查数列不等式的证明，考查数学归纳法、不等式性质等基础知识，考查运算求解能力，是难题．。
2019届北京市各区高三数学理科期末试卷【解析几何类题】汇集及答案解析
北京市各区2019届高三数学理科期末试卷【解析几何类题】汇集【海淀】18．（本小题满分14分）椭圆2212xy+=的左焦点为F，过点(2,0)M-的直线l与椭圆交于不同两点A,B（Ⅰ）求椭圆的离心率；（Ⅱ）若点B关于x轴的对称点为B’，求'AB的取值范围. 【东城】(19)（本小题13分）已知椭圆222:12x yCa+=过点(2,1)P.（Ⅰ）求椭圆C的方程，并求其离心率；（Ⅱ）过点P作x轴的垂线l，设点A为第四象限内一点且在椭圆C上（点A不在直线l上），点A关于l的对称点为A'，直线A P'与C交于另一点B.设O为原点，判断直线与直线OP的位置关系，并说明理由.【朝阳】19.（本小题满分14分）AB过椭圆W :2212x y +=的左焦点1F 作直线1l 交椭圆于,A B 两点，其中A (0,1)，另一条过1F 的直线2l 交椭圆于,C D 两点（不与,A B 重合），且D 点不与点()01-，重合. 过1F 作x 轴的垂线分别交直线AD ，BC 于E ,G .（Ⅰ）求B 点坐标和直线1l 的方程； （Ⅱ）求证：11EF FG =.【丰台】18．（本小题14分）已知椭圆C :22221(0)x y a b a b +=>>的右焦点为(1,0)F ，离心率为12，直线:(4)l y k x =-(0)k ≠与椭圆C 交于不同两点,M N ，直线,FM FN 分别交y 轴于,A B 两点. （Ⅰ）求椭圆C 的方程； （Ⅱ）求证：||||FA FB =.【西城】19．（本小题满分14分）已知椭圆222 1(2x y C a a +=>：的离心率为2，左、右顶点分别为,A B ，点M 是椭圆C 上异于,A B 的一点，直线AM 与y 轴交于点P .（Ⅰ）若点P 在椭圆C 的内部，求直线A M 的斜率的取值范围；（Ⅱ）设椭圆C 的右焦点为F ，点Q 在y 轴上，且//AQ BM ，求证：PFQ ∠为定值.【石景山】18. （本小题14分）已知抛物线2:2C y px =经过点(1,2)P ，其焦点为F ．M 为抛物线上除了原点外的任一点，过M的直线l 与x 轴，y 轴分别交于,A B ． （Ⅰ）求抛物线C 的方程以及焦点坐标；（Ⅱ）若BMF △与ABF △的面积相等，求证：直线l 是抛物线C 的切线．【解析卷】北京市各区2019届高三数学理科期末试卷【解析几何类题】汇集【海淀】18．（本小题满分14分）椭圆2212x y +=的左焦点为F ，过点(2,0)M -的直线l 与椭圆交于不同两点A,B（Ⅰ）求椭圆的离心率；解：（Ⅰ） 因为,ab ==2221，所以,a bc ===11 所以离心率c e a ==（Ⅱ）法一：设1122(,),(,)A x y B x y 显然直线l 存在斜率，设直线l 的方程为(2)y k x =+ 所以()x y y k x ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩22122，所以()k x k x k +++-=222221882028160k ∆=->，所以k <212 所以k x x k k x x k ⎧-+=⎪⎪+⎨-⎪=⎪+⎩212221228218221 因为22'(,)B x y - 所以|'|AB = 因为22212121222816()()4(21)k x x x x x x k --=+-=+，12121224(2)(2)()421ky y k x k x k x x k +=+++=++=+ 所以 |'|AB==因为k ≤<2102，所以|'|AB ∈法二：设1122(,),(,)A x yB x y 当直线l 是x 轴时，|'|AB =当直线l 不是x 轴时，设直线l 的方程为2x t y =-所以x y x t y ⎧+=⎪⎨⎪=-⎩22122，所以()t y t y ++=-222420， 所以t y y t y y t ⎧+=⎪⎪+⎨⎪=⎪+⎩1221224222因为22'(,)B x y - 所以|'|AB =因为 2222222212121212122216()()()[()4](1)(2)t x x ty ty t y y t y y y y t t -=-=-=+-=++所以|'|AB=222222)222t t t ====-+++ 因为t >22，所以|'|AB ∈ 综上，|'|AB的取值范围是. 【东城】(19)（本小题13分）已知椭圆222:12x y C a +=过点(2,1)P . （Ⅰ）求椭圆C 的方程，并求其离心率；（Ⅱ）过点P 作x 轴的垂线l ，设点A 为第四象限内一点且在椭圆C 上（点A 不在直线l 上），点A 关于l 的对称点为A '，直线A P '与C 交于另一点B .设O 为原点，判断直线与直线OP 的位置关系，并说明理由. （19）（共13分）解：（Ⅰ）由椭圆方程222:1(21)2x y C a +=过点,，可得28a =. 所以椭圆C 的方程为22182x y +=，离心率e ==. .........................4分 （Ⅱ）直线AB 与直线OP 平行.证明如下：设直线():12PA y k x -=-，():12PB y k x -=--，(,)(,).A AB B A x y B x y 设点的坐标为点的坐标为，AB由2218221x y y kx k ⎧+=⎪⎨⎪=-+⎩，得()222418(12)161640.k x k k x k k ++-+--=22228(12)16(12)8822,2.414141A A k k k k k k x x k k k ----+=-=--=+++则 同理2288k 241B k x k +-=+，所以216k.41A Bx x k --=+ 21A A y kx k =-+由，21B B y kx k =-++，()28441A B A B ky y k x x k k --=+-=+有，因为A 在第四象限，所以0k ≠，且A 不在直线OP 上.1.21,.2A B AB A B op AB OP y y k x x k k k -==-==又故 所以直线与直线OP 平行. .............................13分【朝阳】19.（本小题满分14分）过椭圆W :2212x y +=的左焦点1F 作直线1l 交椭圆于,A B 两点，其中A (0,1)，另一条过1F 的直线2l 交椭圆于,C D 两点（不与,A B 重合），且D 点不与点()01-，重合. 过1F 作x 轴的垂线分别交直线AD ，BC 于E ,G .（Ⅰ）求B 点坐标和直线1l 的方程； （Ⅱ）求证：11EF FG =. 19. （本小题满分14分）AB解：（Ⅰ）由题意可得直线1l 的方程为1y x =+.与椭圆方程联立,由22112y x x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩ 可求41(,)33B --. ……………4分（Ⅱ）当2l 与x 轴垂直时，,C D 两点与E ,G 两点重合，由椭圆的对称性，11EF FG =. 当2l 不与x 轴垂直时，设()11,C x y ，()22,D x y ，2l 的方程为(1)y k x =+（1k ≠）.由22(1)12y k x x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩消去y ，整理得()2222214220k x k x k +++-=. 则21224+21k x x k -=+，21222221k x x k -=+. 由已知，20x ≠，则直线AD 的方程为2211y y x x --=，令1x =-，得点E 的纵坐标2221E x y y x -+=.把()221y k x =+代入得()221(1)E x k y x +-=.由已知，143x ≠-，则直线BC 的方程为111143()4333y y x x ++=++,令1x =-，得点G 的纵坐标111143()3G y x y x --=+.把()111y k x =+代入得()111(1)34G x k y x +-=+.()()21211(1)1(1)34E Gx k x k y y x x +-+-+=++ ()()212121(1)1(34)1(34)k x x x x x x -++-+⎡⎤⎣⎦=⋅+[]121221(1)23()4(34)k x x x x x x -+++=⋅+把21224+21k x x k -=+，21222221k x x k -=+代入到121223()4x x x x +++中，121223()4x x x x +++=222222423()402121k k k k --⨯+⨯+=++.即0E G y y +=，即11EF FG =. .…………14分 【丰台】18．（本小题14分）已知椭圆C :22221(0)x y a b a b +=>>的右焦点为(1,0)F ，离心率为12，直线:(4)l y k x =-(0)k ≠与椭圆C 交于不同两点,M N ，直线,FM FN 分别交y 轴于,A B 两点. （Ⅰ）求椭圆C 的方程； （Ⅱ）求证：||||FA FB =. 18.（共14分）解：（Ⅰ）由题意得222112.c c a a b c =⎧⎪⎪=⎨⎪=+⎪⎩，，解得2a b =⎧⎪⎨=⎪⎩，所以椭圆C 的方程为22143x y += ………………5分 （Ⅱ）设()()112212,,,(11)M x y N x y x x ≠≠且.由()224,1.43y k x x y =-⎧⎪⎨+=⎪⎩ 得()2222433264120k x k x k +-+-=依题意()()()2222=3244364120k k k ∆--⋅+⋅->，即2104k <<. 则2122212232,436412.43k x x k k x x k ⎧+=⎪⎪+⎨-⎪=⎪+⎩………………8分因为121211MF NF y yk k x x +=+-- ()()12124411k x k x x x --=+-- ()()()12121225811k x x x x x x -++⎡⎤⎣⎦=--()()222212641232258434311k k k k k x x ⎡⎤⎛⎫⎛⎫-⋅-⋅+⎢⎥ ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭⎣⎦=--0=.所以直线MF 的倾斜角与直线NF 的倾斜角互补，即OFA OFB ∠=∠. 因为OF AB ⊥，所以||||FA FB =. …………………14分【西城】19．（本小题满分14分）已知椭圆222 1(2x y C a a +=>：，左、右顶点分别为,A B ，点M 是椭圆C 上异于,A B 的一点，直线AM 与y 轴交于点P .（Ⅰ）若点P 在椭圆C 的内部，求直线A M 的斜率的取值范围；（Ⅱ）设椭圆C 的右焦点为F ，点Q 在y 轴上，且//AQ BM ，求证：PFQ ∠为定值. 19．（本小题满分14分） 解：（Ⅰ）由题意，得222c a =-，c a =， ……………… 2分 解得2a =，c =C 的方程为22142x y +=. ……………… 3分设(0,)P m ，由点P 在椭圆C的内部，得m 又因为(2,0)A -，所以直线AM的斜率0(022AM m m k -==∈+， …………… 5分 又因为M 是椭圆C 上异于,A B 的一点，所以2((0,)2AM k ∈.……………… 6分 （Ⅱ）由题意F ，设00(,)M x y ，其中02x ≠±，则2200142x y +=.所以直线AM 的方程为00(2)2y y x x =++. …………… 7分 令0x =，得点P 的坐标为002(0,)2y x +. ……………… 8分 因为002MB y k x =-，所以002AQ yk x =-. 所以直线AQ 的方程为00(2)2y y x x =+-. ………………10 分 令0x =，得点Q 的坐标为002(0,)2y x -.由002()2y FP x =-+，002()2y FQ x =-- ， ……………… 12分 得 FP FQ ⋅222000220042482044y x y x x +-=+==--， 所以FP FQ ⊥，即90PFQ ∠=，所以PFQ ∠为定值.……………… 14分【石景山】18. （本小题14分）已知抛物线2:2C y px =经过点(1,2)P ，其焦点为F ．M 为抛物线上除了原点外的任一点，过M的直线l 与x 轴，y 轴分别交于,A B ．（Ⅰ）求抛物线C 的方程以及焦点坐标；（Ⅱ）若BMF △与ABF △的面积相等，求证：直线l 是抛物线C 的切线．18.（本小题14分）解：（Ⅰ）因为抛物线2:2C y px =经过点(1,2)P ，所以222p =，2p =．所以抛物线C 的方程为24y x =，焦点F 点坐标为(1,0)．（Ⅱ）因为BMF △与ABF △的面积相等，所以BM AB =，所以B 为AM 的中点．设0000(,)(0)M x y x y ≠，则0(,0)A x -．所以直线l 的方程为000()2y y x x x =+，与抛物线24y x =联立得： 2000840x y y x y -+=， 2200002006464161604x x x x y x ∆=-=-= 所以直线l 是抛物线C 的切线．。
东城区2019-2020第一学期期末数学答案(终稿)(1)
高三数学参考答案及评分标准
2020.1
一、选择题（共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分）
（1）D
（2）C
（3）B
（5）B
（6）C
（7） A
二、填空题（共 6 小题，每小题 5 分，共 30 分）
（9） 4
（11） 0 （答案不唯一） （13） 2 或10
3
...................................................................................................7 分
（Ⅱ）由正弦定理得 sin B= b sin C 2
3 2
1,
c
23 2
又因为 0 B ， 3
则切线 l
方程为
y
1 3
x03
x02
3ax0
( x02
2x0
3a)(x
x0 ) .
又直线 l
过
P(1, b)
，有 b
1 3
x03
x02
3ax0
( x02
2x0
3a)(1
x0 )
，
即
2 3
x03
2 x02
+2x0
3a
b
0
.
设 g(x) 2 x3 2x2 2x 3a b ， 3
g '(x) 2x2 4x 2 2(x 1)2 0 .
（4）A （8）C
（10） 1 45 24
（12） 4 （14）②
三、解答题（共 6 小题，共 80 分） （15）（共 13 分）
北京市东城区2019届高三上学期期末考试数学理试卷 Word版含解析
2018-2019学年北京市东城区高三（上）期末数学试卷（理科）一、选择题（本大题共8小题，共40.0分）1.若集合A={x|-2＜x≤0}，B={-2，-1，0，1，2}，则A∩B=（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】直接利用交集运算得答案．【详解】∵集合表示到0的所有实数，集合表示5个整数的集合，∴，故选C．【点睛】本题主要考查了交集的概念及其运算，是基础题．2.下列复数为纯虚数的是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】直接利用复数的运算对每个选项逐一求解即可得答案.【详解】∵，，，，∴为纯虚数的是，故选D．【点睛】本题主要考查了复数的基本运算及基本概念，是基础题3.下列函数中，是奇函数且存在零点的是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】由函数的奇偶性及函数的零点可判断为奇函数，且存在零点为，为非奇非偶函数，为偶函数，不存在零点，故得解．【详解】对于选项A：为奇函数，且存在零点为x=0，与题意相符；对于选项B：为非奇非偶函数，与题意不符；对于选项C：为偶函数，与题意不符；对于选项D：不存在零点，与题意不符，故选：A．【点睛】本题主要考查了函数的奇偶性及函数的零点，熟练掌握常见初等函数的性质是解题的关键，属于简单题．4.执行如图所示的程序框图，如果输入，则输出的等于（）A. 3B. 12C. 60D. 360【答案】C【解析】【分析】通过程序框图，按照框图中的要求将几次的循环结果写出，得到输出的结果．【详解】模拟执行程序，可得，，，，，满足条件，执行循环体，，，满足条件，执行循环体，，，不满足条件，退出循环，输出的值为60．故选C．【点睛】本题考查程序框图的应用，解决程序框图中的循环结构的输出结果问题时，常采用写出几次的结果找规律，属于基础题．5.“”是“函数的图像关于直线对称”的（）A. 充分而不必要条件B. 必要而不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】A【解析】【分析】根据三角函数的对称性求出函数的对称轴为，结合充分条件和必要条件的定义进行判断即可．【详解】若函数的图象关于直线，则，得，当时，，即“”是“函数的图象关于直线对称”的充分不必要条件，故选A．【点睛】本题主要考查充分条件和必要条件的判断，结合三角函数的对称性求出的取值范围是解决本题的关键．6.某三棱锥的三视图如图所示，在此三棱锥的六条棱中，最长棱的长度为（）A. 2B.C.D. 3【答案】D【解析】【分析】。
北京市东城区2019届高三数学上学期期末考试试卷理(含解析)
其中PA ⊥ 底面ABC，AC ⊥ BC，PA = AC = 2，BC = 1， ∴PB = PA2 + AB2 = PA2 + AC2 + BC2 = 4 + 4 + 1 = 3， ∴在该三棱锥中，最长的棱长为PB = 3，故选 考查三棱锥性质及其三
5
1 z 1 z 1 z
{
{
{
{
此时z = 2 + 2 × 1 = 4，故答案为 4．
【点睛】本题主要考查线性规划中利用可行域求目标函
数的最值，属简单题.求目标函数最值的一般步骤是“一画、二移、三求” ： （1）作出可行 域（一定要注意是实线还是虚线）；（2）找到目标函数对应的最优解对应点（在可行域内 平移变形后的目标函数，最先通过或最后通过的顶点就是最优解）；（3）将最优解坐标代 入目标函数求出最值. 10.已知双曲线 - =1 的一个焦点为(2 3,0)，则 m=______． 【答案】3 【解析】 【分析】 由双曲线的焦点坐标可得的值，列出关于m的方程，解出即可． 【详解】双曲线 − = 1的一个焦点为(2 3,0)，即c = m + 3m = 2 3， m 3m 解得m = 3，故答案为 3． 【点睛】本题主要考查双曲线的标准方程，注意分析、b的关系，属于基础题. 11.若等差数列{an}和等比数列{bn}满足 a1=-1，b1=2，a3+b2=-1，试写出一组满足条件的数 列{an}和{bn}的通项公式：an=______，bn=______． 【答案】 【解析】 【分析】 设等差数列的公差为d，等比数列的公比为q，由等差数列和等比数列的通项公式，解方程可 得d，q，即可得到所求通项公式，注意答案不唯一． (1). -n (2). 2
北京市东城区2018-2019第一学期高三期末数学理科(word解析)
8.0 级和 7.5 级，若它们释放的能量分别为 E1 和 E2，则������2的值所在的区间为（ ）
A. (1,2)
B. (5,6)
C. (7,8)
D. (15,16)
二、填空题（本大题共 6 小题，共 30.0 分） ������ ≤ 2 ������ ≤ 2������ 若 x，y 满足 ������ + ������ ≥ 3，则 x+2y 的最小值为______．
17. 如图 1，在四边形 ABCD 中，AD∥BC，BC=2AD，E，F 分别为 AD，BC 的中点， AE=EF，������������ = 2������������．将四边形 ABFE 沿 EF 折起，使平面 ABFE⊥平面 EFCD（如
图 2），G 是 BF 的中点． （Ⅰ）证明：AC⊥EG；
2018-2019 学年北京市东城区高三（上）期末数学试卷 （理科）
一、选择题（本大题共 8 小题，共 40.0 分） 1. 若集合 A={x|-2＜x≤0}，B={-2，-1，0，1，2}，则 A∩B=（ ）
A. { ‒ 2, ‒ 1}
2.
B. { ‒ 2,0}
C. { ‒ 1,0}
D. { ‒ 2, ‒ 1,0}
8.
B. ������ = 2������������������������
C. ������������������������������ =‒ 1
D. ������������������������������ =‒ 1
地震里氏震级是地震强度大小的一种度量．地震释放的能量 E（单位：焦耳）与 地震里氏震级 M 之间的关系为 lgE=4.8+1.5M．已知两次地震的里氏震级分别为
2018-2019学年东城区高三上学期期末理科数学试卷及答案
一、选择题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1．若集合A ＝{x|−2＜x ≤0}，B ＝{−2，−1，0，1，2}，则A ∩B ＝（ ）A 、{−2，−1}B 、{−2，0}C 、{−1，0}D 、{−2，−1，0}2．下列复数为纯虚数的是（ ）A 、1＋i 2B 、i ＋i 2C 、1−i1D 、(1−i)2 3．下列函数中，是奇函数且存在零点的是（ ）A 、y ＝x 3＋xB 、y ＝log 2xC 、y ＝2x 2−3D 、y ＝x2 4．执行如图所示的程序框图，如果输入n ＝5，m ＝3，则输出p 的等于（ ）A 、3B 、12C 、60D 、3605．“m ＝π125”是“函数f(x)＝cos(2x ＋6π)的图象关于直线x ＝m 对称”的（ ）A 、充分而不必要条件B 、必要而不充分条件C 、充分必要条件D 、既不充分也不必要条件6．某三棱锥的三视图如图所示，在此三棱锥的六条棱中，最长棱的长度为（ ）A 、2B 、5C 、22D 、37．在极坐标系中，下列方程为圆ρ＝2sin θ的切线方程的是（ ）A 、ρcos θ＝2B 、ρ＝2cos θC 、ρcos θ＝−1D 、ρsin θ＝−18．地震里氏震级是地震强度大小的一种度量．地震释放的能量E （单位：焦耳）与地震里氏震级M 之间的关系为lgE ＝4.8＋1.5M ．已知两次地震的里氏震级分别为8.0级和7.5级，若它们释放的能量分别为E 1和E 2，则21E E 的值所在的区间为（ ） A 、（1，2） B 、（5，6）C 、（7，8）D 、（15，16）二、填空题共6小题，每小题5分，共30分．9．若x ，y 满足⎪⎩⎪⎨⎧≥+≤≤322y x x y x ，则x ＋2y 的最小值为________．10．已知双曲线m x 2−my 32＝1的一个焦点为（23，0），则m ＝_______． 11．若等差数列{a n }和等比数列{b n }满足a 1＝−1，b 1＝2，a 3＋b 2＝−1，试写出一组满足条件的数列{a n }和{b n }的通项公式：a n ＝_______，b n ＝_________．12．在菱形ABCD 中，若BD ＝3，则•的值为_________．13．函数f(x)＝sin(x −6π)＋cos(x −3π)在区间[−6π，32π]上的最大值为________． 14．已知函数f （x ）为定义域为R ，设F f （x ）＝⎩⎨⎧>≤1|)(|,11|)(|),(x f x f x f ． ①若f （x ）＝221xx +，则F f （1）＝_________； ②若f （x ）＝e −1，且对任意x ∈R ，F f （x ）＝f （x ），则实数a 的取值范围为________．三、解答题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．15．在△ABC 中，2csinAcosB ＝asinC ．（Ⅰ）求∠B 的大小；（Ⅱ）若△ABC 的面积为a 2，求cosA 的值．16．某中学有学生500人，学校为了解学生的课外阅读时间，从中随机抽取了50名学生，获得了他们某一个月课外阅读时间的数据（单位：小时），将数据分为5组：[10，12），[12，14），[14，16），[16，18），[18，20]，整理得到如图所示的频率分布直方图．（Ⅰ）求频率分布直方图中的x 的值；（Ⅱ）试估计该校所有学生中，课外阅读时间不小于16小时的学生人数；（Ⅲ）已知课外阅读时间在[10，12）的样本学生中有3名女生，现从阅读时间在[10，12）的样本学生中随机抽取3人，记X 为抽到女生的人数，求X 的分布列与数学期望E （X ）．17．如图1，在四边形ABCD 中，AD ∥BC ，BC ＝2AD ，E ，F 分别为AD ，BC 的中点，AE ＝EF ，AF ＝2AE ．将四边形ABFE 沿EF 折起，使平面ABFE ⊥平面EFCD （如图2），G 是BF 的中点．（Ⅰ）证明：AC ⊥EG ；（Ⅱ）在线段BC 上是否存在一点H ，使得DH ∥平面ABFE ？若存在，求BCBH 的值；若不存在，说明理由；（Ⅲ）求二面角D −AC −F 的大小．18．已知函数f（x）＝axe x−x2−2x．（Ⅰ）当a＝1时，求曲线y＝f（x）在点（0，f（0））处的切线方程；（Ⅱ）当x＞0时，若曲线y＝f（x）在直线y＝−x的上方，求实数a的取值范围．19．已知椭圆C ：22ax ＋22y ＝1过点P （2，1）． （Ⅰ）求椭圆C 的方程，并求其离心率；（Ⅱ）过点P 作x 轴的垂线l ，设点A 为第四象限内一点且在椭圆C 上（点A 不在直线l 上），点A 关于l 的对称点为A'，直线A'P 与C 交于另一点B ．设O 为原点，判断直线AB 与直线OP 的位置关系，并说明理由．20．对给定的d ∈N*，记由数列构成的集合Ω(d)＝{{a n }| a 1＝1 ， |a 1+n |＝|a n ＋d| ，n ∈N*}．（Ⅰ）若数列{a n }∈Ω（2），写出a 3的所有可能取值；（Ⅱ）对于集合Ω（d ），若d ≥2．求证：存在整数k ，使得对Ω（d ）中的任意数列{a n }，整数k 不是数列{a n }中的项；（Ⅲ）已知数列{a n }，{b n }∈Ω（d ），记{a n }，{b n }的前n 项和分别为A n ，B n ．若|a 1+n |≤|b 1+n |，求证：A n ≤B n ．。
2018-2019学年北京市东城区高三(上)期末数学试卷(理科)(解析版)
2018-2019学年北京市东城区高三（上）期末数学试卷（理科）一、选择题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1．（5分）若集合A＝{x|﹣2＜x≤0}，B＝{﹣2，﹣1，0，1，2}，则A∩B＝（）A．{﹣2，﹣1}B．{﹣2，0}C．{﹣1，0}D．{﹣2，﹣1，0} 2．（5分）下列复数为纯虚数的是（）A．1+i2B．i+i2C．D．（1﹣i）23．（5分）下列函数中，是奇函数且存在零点的是（）A．y＝x3+x B．y＝log2x C．y＝2x2﹣3D．4．（5分）执行如图所示的程序框图，如果输入n＝5，m＝3，则输出p的等于（）A．3B．12C．60D．3605．（5分）“”是“函数的图象关于直线x＝m对称”的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件6．（5分）某三棱锥的三视图如图所示，在此三棱锥的六条棱中，最长棱的长度为（）A．2B．C．D．37．（5分）在极坐标系中，下列方程为圆ρ＝2sinθ的切线方程的是（）A．ρcosθ＝2B．ρ＝2cosθC．ρcosθ＝﹣1D．ρsinθ＝﹣1 8．（5分）地震里氏震级是地震强度大小的一种度量．地震释放的能量E（单位：焦耳）与地震里氏震级M之间的关系为lgE＝4.8+1.5M．已知两次地震的里氏震级分别为8.0级和7.5级，若它们释放的能量分别为E1和E2，则的值所在的区间为（）A．（1，2）B．（5，6）C．（7，8）D．（15，16）二、填空题共6小题，每小题5分，共30分．9．（5分）若x，y满足，则x+2y的最小值为．10．（5分）已知双曲线﹣＝1的一个焦点为（2，0），则m＝．11．（5分）若等差数列{a n}和等比数列{b n}满足a1＝﹣1，b1＝2，a3+b2＝﹣1，试写出一组满足条件的数列{a n}和{b n}的通项公式：a n＝，b n＝．12．（5分）在菱形ABCD中，若，则的值为．13．（5分）函数在区间上的最大值为．14．（5分）已知函数f（x）为定义域为R，设F f（x）＝．①若f（x）＝，则F f（1）＝；②若f（x）＝e a﹣|x|﹣1，且对任意x∈R，F f（x）＝f（x），则实数a的取值范围为．三、解答题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．15．（13分）在△ABC中，．（Ⅰ）求∠B的大小；（Ⅱ）若△ABC的面积为a2，求cos A的值．16．（13分）某中学有学生500人，学校为了解学生的课外阅读时间，从中随机抽取了50名学生，获得了他们某一个月课外阅读时间的数据（单位：小时），将数据分为5组：[10，12），[12，14），[14，16），[16，18），[18，20]，整理得到如图所示的频率分布直方图．（Ⅰ）求频率分布直方图中的x的值；（Ⅱ）试估计该校所有学生中，课外阅读时间不小于16小时的学生人数；（Ⅲ）已知课外阅读时间在[10，12）的样本学生中有3名女生，现从阅读时间在[10，12）的样本学生中随机抽取3人，记X为抽到女生的人数，求X的分布列与数学期望E（X）．17．（14分）如图1，在四边形ABCD中，AD∥BC，BC＝2AD，E，F分别为AD，BC的中点，AE＝EF，．将四边形ABFE沿EF折起，使平面ABFE⊥平面EFCD（如图2），G是BF的中点．（Ⅰ）证明：AC⊥EG；（Ⅱ）在线段BC上是否存在一点H，使得DH∥平面ABFE？若存在，求的值；若不存在，说明理由；（Ⅲ）求二面角D﹣AC﹣F的大小．18．（13分）已知函数f（x）＝axe x﹣x2﹣2x．（Ⅰ）当a＝1时，求曲线y＝f（x）在点（0，f（0））处的切线方程；（Ⅱ）当x＞0时，若曲线y＝f（x）在直线y＝﹣x的上方，求实数a的取值范围．19．（13分）已知椭圆过点P（2，1）．（Ⅰ）求椭圆C的方程，并求其离心率；（Ⅱ）过点P作x轴的垂线l，设点A为第四象限内一点且在椭圆C上（点A不在直线l 上），点A关于l的对称点为A'，直线A'P与C交于另一点B．设O为原点，判断直线AB与直线OP的位置关系，并说明理由．20．（14分）对给定的d∈N*，记由数列构成的集合．（Ⅰ）若数列{a n}∈Ω（2），写出a3的所有可能取值；（Ⅱ）对于集合Ω（d），若d≥2．求证：存在整数k，使得对Ω（d）中的任意数列{a n}，整数k不是数列{a n}中的项；（Ⅲ）已知数列{a n}，{b n}∈Ω（d），记{a n}，{b n}的前n项和分别为A n，B n．若|a n+1|≤|b n+1|，求证：A n≤B n．2018-2019学年北京市东城区高三（上）期末数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1．【解答】解：∵集合A表示﹣2到0的所有实数，集合B表示5个整数的集合，∴A∩B＝{﹣1，0}，故选：C．2．【解答】解：∵1+i2＝1﹣1＝0，i+i2＝i﹣1，，（1﹣i）2＝1﹣2i+i2＝﹣2i．∴为纯虚数的是（1﹣i）2．故选：D．3．【解答】解：对于选项A：y＝x3+x为奇函数，且存在零点为x＝0，与题意相符，对于选项B：y＝iog2x为非奇非偶函数，与题意不符，对于选项C：y＝2x2﹣3为偶函数，与题意不符，对于选项D：y＝不存在零点，与题意不符，故选：A．4．【解答】解：模拟执行程序，可得n＝5，m＝3，k＝1，p＝1，p＝3，满足条件k＜m，执行循环体，k＝2，p＝12，满足条件k＜m，执行循环体，k＝3，p＝60，不满足条件k＜m，退出循环，输出p的值为60．故选：C．5．【解答】解：若函数的图象关于直线x＝m，则2m+＝kπ，得m＝﹣+，当k＝1时，m＝，即“”是“函数的图象关于直线x＝m对称”的充分不必要条件，故选：A．6．【解答】解：由三棱锥的三视图知该三棱锥是如图所示的三棱锥P﹣ABC，其中P A⊥底面ABC，AC⊥BC，P A＝AC＝2，BC＝1，∴PB＝＝＝3，∴在该三棱锥中，最长的棱长为PB＝3．故选：D．7．【解答】解：圆ρ＝2sinθ，即ρ2＝2ρsinθ，∴圆的直角坐标方程为x2+y2＝2y，即x2+（y﹣1）2＝1，圆心为（0，1），半径r＝1，在A中，ρcosθ＝2即x＝2，圆心（0，1）到x＝2的距离d＝2＞r＝1，故ρcosθ＝2不是圆的切线，故A错误；在B中，ρ＝2cosθ是圆，不是直线，故B错误；在C中，ρcosθ＝﹣1即x＝﹣1，圆心（0，1）到x＝﹣1的距离d＝1＝r＝1，故ρcosθ＝﹣1是圆的切线，故C正确；在D中，ρsinθ＝﹣1即y＝﹣1，圆心（0，1）到y＝﹣1的距离d＝2＞r＝1，故ρsinθ＝﹣1不是圆的切线，故D错误．故选：C．8．【解答】解：lgE＝4.8+1.5M，∴lgE1＝4.8+1.5×8＝16.8，lgE2＝4.8+1.5×7.5＝16.05，∴E1＝1016.8，E2＝1016.05，∴＝100.75，∵100.75＞90.75＝31.5＝3×＞5，∴的值所在的区间为（5，6），故选：B．二、填空题共6小题，每小题5分，共30分．9．【解答】解：作出x，y满足对应的平面区域，由z＝x+2y，得y＝﹣x+，平移直线y＝﹣x+，由，解得A（2，1）由图象可知当直线经过点A（2，1）时，直线y＝﹣x+的截距最小，此时z最小，此时z＝2+2×1＝4．故答案为：4．10．【解答】解：双曲线﹣＝1的一个焦点为（2，0），即c＝，解得m＝3，故答案为：3．11．【解答】解：等差数列{a n}的公差设为d，等比数列{b n}的公比设为q，a1＝﹣1，b1＝2，a3+b2＝﹣1，可得﹣1+2d+2q＝﹣1，即为d＝﹣q，可取d＝﹣1，可得q＝1，则a n＝﹣1﹣（n﹣1）＝﹣n；b n＝2．故答案为：﹣n，2．12．【解答】解：菱形ABCD中，，则＝•＝||×||×cos∠CBD＝||×||＝×＝．故答案为：．13．【解答】解：函数＝sin x cos﹣cos x sin+cos x cos +sin x sin＝sin x；∵x∈上∴当x＝时，f（x）取得最大值为sin＝．故答案为：14．【解答】解：①若f（x）＝，由|f（x）|≤1，可得x2≤1+x2，成立，即有F f（x）＝f（x）＝，则F f（1）＝；②若f（x）＝e a﹣|x|﹣1，且对任意x∈R，F f（x）＝f（x），可得|f（x）|≤1恒成立，即为﹣1≤e a﹣|x|﹣1≤1，即有0≤e a﹣|x|≤2，可得a﹣|x|≤ln2，即a≤|x|+ln2，由|x|+ln2的最小值为ln2，则a≤ln2．故答案为：，（﹣∞，ln2]．三、解答题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．15．【解答】（本题满分为13分）解：（Ⅰ）在△ABC中，由正弦定理可得：c sin A＝a sin C，所以：cos B＝＝，又0＜∠B＜π，．…（5分）（Ⅱ）因为△ABC的面积为a2＝ac sin，∴c＝2，．．…（13分）16．【解答】（共13分）解：（Ⅰ）由0.05×2+0.08×2+0.10×2+0.12×2+2x＝1，可得x＝0.15…（3分）（Ⅱ）0.10×2+0.05×2＝0.30，即课外阅读时间不小于16个小时的学生样本的频率为0.30.500×0.30＝150，所以可估计该校所有学生中，课外阅读时间不小于16个小时的学生人数为150．…（6分）（Ⅲ）课外阅读时间在[10，12）的学生样本的频率为0.08×2＝0.16，50×0.16＝8，即阅读时间在[10，12）的学生样本人数为8，8名学生为3名女生，5名男生，随机变量X的所有可能取值为0，1，2，3，；；；．所以X的分布列为：故X的期望…（13分）17．【解答】证明：（Ⅰ）在图1中，，可得△AEF为等腰直角三角形，AE⊥EF．因为AD∥BC，所以EF⊥BF，EF⊥FC．因为平面ABFE⊥平面EFCD，且两平面交于EF，CF⊂平面CDEF，所以CF⊥平面ABFE．又EG⊂平面ABFE，故CF⊥EG；由G为中点，可知四边形AEFG为正方形，所以AF⊥EG；又AF∩FC＝F，所以EG⊥平面AFC．又AC⊂平面AFC，所以AC⊥EG…（4分）解：（II）由（Ⅰ）知：FE，FC，FB两两垂直，如图建立空间直角坐标系F﹣xyz，设FE＝1，则F（0，0，0），C（0，2，0），B（0，0，2），D（1，1，0）．设H是线段BC上一点，．．由（Ⅰ）知为平面ABFE的法向量，＝（0，2，0），因为DH⊄平面ABFE，，即（﹣1，2λ﹣1，2﹣2λ）•（0，2，0）＝0.．．…（9分）（III）设A（1，0，1），E（1，0，0），G（0，0，1）．由（I）可得，．，设平面ACD的法向量为n＝（x，y，z），由令x＝1，则y＝1，z＝1．于是n＝（1，1，1）．．所以二面角D﹣AC﹣F的大小为90°…（14分）18．【解答】解：（Ⅰ）当a＝1时，f（x）＝xe x﹣x2﹣2x，其导数f'（x）＝e x（x+1）﹣2x ﹣2，f'（0）＝﹣1．又因为f（0）＝0，所以曲线y＝f（x）在点（0，f（0））处的切线方程为y＝﹣x；（Ⅱ）根据题意，当x＞0时，“曲线y＝f（x）在直线y＝﹣x的上方”等价于“axe x﹣x2﹣2x＞﹣x恒成立”，又由x＞0，则axe x﹣x2﹣2x＞﹣x⇒ae x﹣x﹣1＞0⇒a＞，则原问题等价于a＞恒成立；设g（x）＝，则g′（x）＝﹣，又由x＞0，则g′（x）＜0，则函数g（x）在区间（0，+∞）上递减，又由g（0）＝＝1，则有＜1，若a＞恒成立，必有a≥1，即a的取值范围为[1，+∞）．19．【解答】解：（Ⅰ）由椭圆方程椭圆过点P（2，1），可得a2＝8．所以c2＝a2﹣2＝8﹣2＝6，所以椭圆C的方程为+＝1，离心率e＝＝，（Ⅱ）直线AB与直线OP平行．证明如下：设直线P A：y﹣1＝k（x﹣2），PB：y﹣1＝﹣k（x﹣2），设点A的坐标为（x1，y1），B（x2，y2），由得（4k2+1）x2+8k（1﹣2k）x+16k2﹣16k﹣4＝0，∴2x1＝，∴x1＝同理x2＝，所以x1﹣x2＝﹣，由y1＝kx1﹣2k+1，y2＝﹣kx1+2k+1有y1﹣y2＝k（x1+x2）﹣4k＝﹣，因为A在第四象限，所以k≠0，且A不在直线OP上．∴k AB＝＝，又k OP＝，故k AB＝k OP，所以直线AB与直线OP平行．20．【解答】（共14分）解：（Ⅰ）由于数列{a n}∈Ω（2），即d＝2，a1＝1．由已知有|a2|＝|a1+d|＝|1+2|＝3，所以a2＝±3，|a3|＝|a2+d|＝|a2+2|，将a2＝±3代入得a3的所有可能取值为﹣5，﹣1，1，5．…（4分）证明：（Ⅱ）先应用数学归纳法证明数列：若{a n}∈Ω（d），则a n具有md±1，（m∈Z）的形式．①当n＝1时，a1＝0•d+1，因此n＝1时结论成立．②假设当n＝k（k∈N*）时结论成立，即存在整数m0，使得a k＝m0d0±1成立．当n＝k+1时，|a n+1|＝|m0d0±1+d0|＝|（m0+1）d0±1|，a k+1＝（m0+1）d±1，或a k+1＝﹣（m0+1）±1，所以当n＝k+1时结论也成立．由①②可知，若数列{a n}∈Ω（d）对任意n∈N*，a n具有md±1（m∈Z）的形式．由于a n具有md±1（m∈Z）的形式，以及d≥2，可得a n不是d的整数倍．故取整数k＝d，则整数k均不是数列{a n}中的项…（9分）（Ⅲ）由|a n+1|＝|a n+d|，可得：＝，所以有＝+2a n d+d2，＝+2a n﹣1d+d2，，…＝，以上各式相加可得，即A n＝﹣，同理B n＝﹣，当|a n+1|≤|b n+1|时，有，∵d∈N*，∴≤，∴≤﹣，∴A n≤B n．…（14分）。
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2019北京东城区高三（上）期末数学（理）本试卷共4页，共150分。
考试时长120分钟。
考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效。
考试结束后，将答题卡一并交回。
第一部分（选择题共40分）一、选择题共8小题，每小题5分，共40分。
在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。
(1)已知集合{20},{2,1,0,1,2}A x x B =-<≤=--，则A B = (A){2,1}--(B){2,0}-(C){1,0}-(D){2,1,0}--(2)下列复数为纯虚数的是(A)21i+(B)2i i+(C)11i-(D)2(1i)-(3)下列函数中，是奇函数且存在零点的是(A)3y x x =+(B)2log y x =(C)223y x =-(D)2y x=(4)执行如图所示的程序框图，若输入的5,3n m ==，则输出的p 值为(A)360(B)60(C)36(D)12(5)“512m =π”是“函数()cos(2)6f x x π=+的图象关于直线x m =对称”的(A)充分而不必要条件(B)必要而不充分条件(C)充分必要条件(D)既不充分也不必要条件(6)某三棱锥的三视图如图所示，在此三棱锥的六条棱中，最长棱的长度为(A)2(C)(D)3(7)在极坐标系中，下列方程为圆=2sin ρθ的切线方程的是(A)cos 2ρθ=(B)2cos ρθ=(C)cos 1ρθ=-（D）sin 1ρθ=-(8)地震里氏震级是地震强度大小的一种度量.地震释放的能量E (单位：焦耳)与地震里氏震级M 之间的关系为lg 4.8 1.5E M =+.已知两次地震的里氏震级分别为8.0级和7.5级，若它们释放的能量分别为1E 和2E ，则12E E 的值所在的区间为(A)(1,2)(B)(5,6)(C)(7,8)(D)(15,16)第二部分（非选择题共110分）二、填空题共6小题，每小题5分，共30分。
（9）若,x y 满足223,,x y x x y ⎧⎪⎨⎪+⎩，≤≤≥则2x y +的最小值为.22(10)1______.3x y m m m-==已知双曲线的一个焦点为，则(11)若等差数列{}n a 和等比数列{}n b 满足111,2a b =-=，321a b +=-，试写出一组满足条件的数列{}n a 和{}n b 的通项公式：n a =，n b =.(12)在菱形ABCD中，若BD =，则CB DB ⋅的值为.(13)函数()sin(cos()63f x x x ππ=-+-在区间2[,]63π-π上的最大值为.(14)已知函数()f x 定义域为R ，设()()1,()1() 1.f f x f x F x f x ⎧≤⎪=⎨>⎪⎩，，①若22()1x f x x =+，则(1)_______f F =；②若()e 1a x f x -=-，且对任意x ∈R ，()()f F x f x =，则实数a 的取值范围为________.三、解答题共6小题，共80分。
解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程。
(15)（本小题13分）在△ABC sin cos sin .A B a C =（Ⅰ）求B ∠的大小；2cos ABC a A (Ⅱ)若的面积为△，求的值.(16)（本小题13分）某中学有学生500人，学校为了解学生的课外阅读时间，从中随机抽取了50名学生，获得了他们某一个月课外阅读时间的数据（单位：小时），将数据分为5组：[10,12)，[12,14)，[14,16)，[16,18)，[18,20]，整理得到如图所示的频率分布直方图.（Ⅰ）求频率分布直方图中的x 的值；（Ⅱ）试估计该校所有学生中，课外阅读时间不小于16小时的学生人数；（Ⅲ）已知课外阅读时间在[10,12)的样本学生中有3名女生，现从阅读时间在[10,12)的样本学生中随机抽取3人，记X 为抽到女生的人数，求X 的分布列与数学期望()E X .(17)（本小题14分）如图1，在四边形ABCD 中，AD BC ，2BC AD =,E ,F 分别为,AD BC 的中点，AE EF =，2AF AE =.将四边形ABFE 沿EF 折起，使平面ABFE ⊥平面EFCD (如图2)，G 是BF 的中点.(Ⅰ)证明：AC EG ⊥；(Ⅱ)在线段BC 上是否存在一点H ，使得DH 平 面ABFE ？若存在，求BHBC的值；若不存在，说明理由；(Ⅲ)求二面角D AC F --的大小.(18)（本小题13分）已知函数2()e 2x f x ax x x =--．(Ⅰ)当1a =时，求曲线()y f x =在点(0,(0))f 处的切线方程；(Ⅱ)当0x >时，若曲线()y f x =在直线y x =-的上方，求实数a 的取值范围．(19)（本小题13分）已知椭圆222:12x y C a +=过点(2,1)P .（Ⅰ）求椭圆C 的方程，并求其离心率；（Ⅱ）过点P 作x 轴的垂线l ，设点A 为第四象限内一点且在椭圆C 上（点A 不在直线l 上），点A 关于l 的对称点为A '，直线A P '与C 交于另一点B .设O 为原点，判断直线AB 与直线OP 的位置关系，并说明理由.(20)（本小题14分）对给定的d *∈N ，记由数列构成的集合11Ω(){{}1,,}n n n d a a a a d n *+===+∈N .（Ⅰ）若数列{}Ω(2)n a ∈，写出3a 的所有可能取值；（Ⅱ）对于集合Ω()d ，若2d ≥.求证：存在整数k ，使得对Ω()d 中的任意数列{}n a ，整数k 不是数列{}n a 中的项；（Ⅲ）已知数列{}n a ，{}n b ()d ∈Ω，记{}n a ，{}n b 的前n 项和分别为,n n A B .若11n n a b ++≤，求证：n n A B ≤.数学试题答案一、选择题（共8小题，每小题5分，共40分）（1）C （2）D （3）A （4）B （5）A（6）D（7）C（8）B二、填空题（共6小题，每小题5分，共30分）（9）4（11）2n -（答案不唯一）（12）32（14）12(,ln 2]-∞三、解答题（共6小题，共80分）（15）（共13分）解:sinsin sin cos sin 2ABC a C c A a C B c A ==(Ⅰ)在△中，由正弦定理得所以，=0B <∠<π又，=.4B π∠所以.............................5分21sin ,.24S =ABC ac a c π==(Ⅱ)因为的面积所以△22282,.2b a a a b =+-⋅⋅⋅=由余弦定理所以，222cos10A ==所以.............................13分（16）（共13分）解：（Ⅰ）由0.0520.0820.1020.12221x ⨯+⨯+⨯+⨯+=，可得0.15x =..............................3分（Ⅱ）0.1020.0520.30⨯+⨯=，即课外阅读时间不小于16个小时的学生样本的频率为0.30.5000.30150⨯=，所以可估计该校所有学生中，课外阅读时间不小于16个小时的学生人数为150..............................6分（Ⅲ）课外阅读时间在[10,12)的学生样本的频率为0.0820.16⨯=，500.168⨯=,即阅读时间在[10,12)的学生样本人数为8，8名学生为3名女生，5名男生，随机变量X 的所有可能取值为0，1，2，3，35385(0)28C P X C ===；12353815(1)28C C P X C ===；21353815(2)56C C P X C ===；33381(3)56C P X C ===.所以X 的分布列为：X 0123P52815281556156故X 的期望5151519()0123282856568E X =⨯+⨯+⨯+⨯=..............................13分（17）（共14分）解：(Ⅰ)在图1中，,2,AE EF AF AE ==可得△AEF 为等腰直角三角形，AE EF ⊥.因为AD BC ， 所以,.EF BF EF FC ⊥⊥因为平面ABFE ⊥平面,EFCD EF 且两平面交于，CF CDEF ⊂平面，所以CF ABFE ⊥平面.又EG ABFE ⊂平面，故CF EG ⊥；由G 为中点，可知四边形AEFG 为正方形，AF EG ⊥所以；又AF FC F = ，EG AFC .⊥所以平面AC AFC ⊂又平面，.AC EG ⊥所以.............................4分（II）由(Ⅰ)知：FE ，FC ，FB 两两垂直，F xyz -如图建立空间直角坐标系，设1FE =，则(0,0,0),(0,2,0),(0,0,2),(1,1,0).F C B D H BC 设是线段上一点，[0,1].BH BC λλ∈=则存在使得(0,2,22)(1,21,22).H DH λλλλ-=---因此点，(0,2,0).FC ABFE FC =由（Ⅰ）知为平面的法向量，DH ABFE ⊄因为平面，0DH ABFE DH FC ⋅=所以平面当且仅当，(12122)(0,2,0)=0.λλ⋅即-,-,-1=.2λ解得1.2BH BC H DH ABFE BC =所以在线段上存在点使得平面此时， ..........................9分（III）(1,0,1)(1,0,0)(0,0,1).A E G 设，，由(I)可得,(1,0,1).EG AFC EG =-是平面的法向量，(0,1,1),(1,1,0),AD CD =-=-设平面ACD 的法向量为(,,)x y z =n ，由0,0AD CD ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，n n 00.y z x y -=⎧⎨-=⎩，即1,1, 1.x y z ===令则(1,1,1).于是n =cos ,0.EG EG EG ⋅<>==所以nn n所以二面角90.D AC F --的大小为.............................14分（18）（共13分）解：(Ⅰ)当1a =时，2()e 2xf x x x x =--，所以()e (1)22xf x x x '=+--，(0)1f '=-.又因为(0)0f =，所以曲线()y f x =在点(0,(0))f 处的切线方程为y x =-．.................4分(Ⅱ)当0x >时，“曲线()y f x =在直线y x =-的上方”等价于“2e 2xax x x x -->-恒成立”，即0x >时e 10x a x -->恒成立，由于e 0x>，所以等价于当0x >时，1ex x a +>恒成立.令1(),0e xx g x x +=≥，则()e x x g x -'=.当0x ≥时，有()0.g x '≤所以g (x )在区间[0,)+∞单调递减.1(0)1()[0,)0,1ex x g g x x +=+∞><故是在区间上的最大值从而对任意恒成立.，综上，实数a 的取值范围为[1,)+∞..............................13分（19）（共13分）解：（Ⅰ）由椭圆方程222:1(21)2x y C a +=过点,，可得28a =.所以椭圆C 的方程为22182x y +=，离心率32e ==..........................4分（Ⅱ）直线AB 与直线OP 平行.证明如下：设直线():12PA y k x -=-，():12PB y k x -=--，(,)(,).A AB B A x y B x y 设点的坐标为点的坐标为，由2218221x y y kx k ⎧+=⎪⎨⎪=-+⎩，得()222418(12)161640.k x k k x k k ++-+--=22228(12)16(12)8822,2.414141A A k k k k k k x x k k k ----+=-=--=+++则同理2288k 241B k x k +-=+，所以216k.41A B x x k --=+21A A y kx k =-+由，21B B y kx k =-++，()28441A B A B ky y k x x k k --=+-=+有，因为A 在第四象限，所以0k ≠，且A 不在直线OP 上.1.21,.2A B AB A B op AB OP y y k x x k k k -==-==又故所以直线AB 与直线OP 平行..............................13分（20）（共14分）解：（Ⅰ）由于数列{}Ω(2)n a ∈，即2d =，1 1.a =由已知有21123a a d =+=+=，所以23a =±，3222a a d a =+=+，将23a =±代入得3a 的所有可能取值为5,1,1,5.--..............................4分（Ⅱ）先应用数学归纳法证明数列:{}()1()n n a d a md m ∈Ω±∈Z 若数列则具有的形式.，①当1n =时，101a d =⋅+，因此1n =时结论成立.②假设当n k k *=∈N （）时结论成立，即存在整数0m ，使得001k a m d =±成立.当1n k =+时，1000001(1)1k a m d d m d +=±+=+±，10(1)1k a m d +=+±，或10(1) 1.k a m d +=-+±所以当1n k =+时结论也成立.由①②可知，若数列{}Ω()n a d ∈，n n a *∈N 对任意，具有1()md m ±∈Z 的形式.由于n a 具有1()md m ±∈Z 的形式，以及2d ≥，可得n a 不是d 的整数倍.故取整数k d =，则整数k 均不是数列{}n a 中的项..............................9分（Ⅲ）由1n n a a d +=+可得：22212.n n n a a a d d +=++所以有22212n n n a a a d d +=++，222112n n n a a a d d --=++，2221222n n n a a a d d ---=++，2222112.a a a d d =++以上各式相加可得22112n n a d n S d +-=+，即22221111..2222n n n n ab nd nd A B d d d d++++=-=-同理当11n n a b ++≤时，有22+1+1n n a b ≤，由于d *∈N ，所以22+1122n n a b d d +≤，于是222211112222n n a b nd nd d d d d ++++--≤，.n n A B ≤即成立.............................14分。