多边形的内角和与外角和讲义
多边形及其内角及讲义学生用
多边形内角和第一部分知识点回首定义：由三条或三条以上的线段首位按序连结所构成的关闭图形叫做多边形。
凸多边形分类1：凹多边形正多边形：各边相等，各角也相等的多边形叫做正多边形。
分类2：多边形非正多边形：多边形的定理1、 n 边形的内角和等于180 °（ n-2）。
2 、随意凸形多边形的外角和等于360 °。
3、 n 边形的对角线条数等于1/2·n（ n-3）只用一种正多边形：3、4、 6/ 。
镶嵌拼成360 度的角只用一种非正多边形（全等）：3、 4。
知识点一：多边形及有关观点1、多边形的定义：在同一平面内。
多边形的分类：不叫三边形2、镶嵌：用一些不重叠摆放的多边形把平面的一部分完整覆盖，往常把这种问题叫做用多边形覆盖平面 (或平面镶嵌 )。
这里的多边形能够形状同样，也能够形状不同样。
实现镶嵌的条件：拼接在同一点的各个角的和恰巧等于360°；相邻的多边形有公共边。
3、常有的一些正多边形的镶嵌问题：(1)用正多边形实现镶嵌的条件：边长相等；极点公用；在一个极点处各正多边形的内角之和为360°。
(2)只用一种正多边形镶嵌地面：只有正三角形、正方形、正六边形的地砖能够用。
注意：随意四边形的内角和都等于 360°。
因此用一批形状、大小完整同样但不规则的四边形地砖也能够铺成无缝隙的地板，用随意同样的三角形也能够铺满地面。
(3)用两种或两种以上的正多边形镶嵌地面用两种或两种以上面长相等的正多边形组合成平面图形，重点是有关正多边形“交接处各角之和可否拼成一个周角”的问题。
比如，用正三角形与正方形、正三角形与正六边形、正三角形与正十二边形、正四边形与正八边形都能够作平面镶嵌。
第二部分经典习题种类一：多边形内角和及外角和定理应用1．一个多边形的内角和等于它的外角和的 5 倍，它是几边形【变式【变式1】若一个多边形的内角和与外角和的总度数为2】一个多边形除了一个内角外，其他各内角和为1800 °，求这个多边形的边数.2750°，求这个多边形的内角和是多少.【变式3】个多边形的内角和与某一个外角的度数总和为1350°，求这个多边形的边数。
多边形内角和与外角和(基础)知识讲解
多边形内角和与外角和（基础）知识讲解【学习目标】1.理解多边形的概念；2.掌握多边形内角和与外角和公式；3.灵活运用多边形内角和与外角和公式解决有关问题，体验并掌握探索、归纳图形性质的推理方法，进一步培养说理和进行简单推理的能力.【要点梳理】知识点一、多边形的概念1．定义：在平面内不在同一直线上的一些线段首尾顺次连接结所组成的封闭图形叫做多边形．其中，各个角相等、各条边相等的多边形叫做正多边形．2．相关概念：边：组成多边形的各条线段叫做多边形的边．顶点：每相邻两条边的公共端点叫做多边形的顶点．内角：多边形相邻两边组成的角叫多边形的内角，一个n 边形有n 个内角. 外角：多边形的边与它的邻边的延长线组成的角叫做多边形的外角.对角线：连接多边形不相邻的两个顶点的线段，叫做多边形的对角线．3. 多边形的分类:画出多边形的任何一边所在的直线，如果整个多边形都在这条直线的同一侧，那么这个多边形就是凸多边形，如果整个多边形不在直线的同一侧，这个多边形叫凹多边形．如图：要点诠释： (1)正多边形必须同时满足“各边相等”，“各角相等”两个条件，二者缺一不可；(2)过n 边形的一个顶点可以引(n -3)条对角线，n 边形对角线的条数为(3)2n n ； (3)过n 边形的一个顶点的对角线可以把n 边形分成(n -2)个三角形．知识点二、多边形内角和定理n 边形的内角和为(n-2)·180°(n ≥3)．要点诠释：(1)内角和定理的应用：①已知多边形的边数，求其内角和；②已知多边形内角和求其边数；凸多边形 凹多边形(2)正多边形的每个内角都相等，都等于(2)180nn°；知识点三、多边形的外角和多边形的外角和为360°．要点诠释：(1)在一个多边形的每个顶点处各取一个外角，这些外角的和叫做多边形的外角和．n边形的外角和恒等于360°，它与边数的多少无关；(2)正n边形的每个内角都相等，所以它的每个外角都相等，都等于360n°；(3)多边形的外角和为360°的作用是：①已知各相等外角度数求多边形边数；②已知多边形边数求各相等外角的度数．【典型例题】类型一、多边形的概念1．（优质试题•重庆校级模拟）如图，正四边形有2条对角线，正五边形有5条对角线，正六边形有9条对角线，则正十边形有（）条对角线．A．27 B．35 C．40 D．44【答案】B．【解析】解：当n=10时，==35，即凸十边形的对角线有35条．【总结升华】本题考查了多边形的边数与对角线的条数之间的关系，熟记多边形的边数与对角线的条数的关系式是解决此类问题的关键．举一反三：【变式】过正十二边形的一个顶点有条对角线，一个正十二边形共有条对角线【答案】9，54。
多边形的内角和与外角和 教学课件
线段AC是四边形ABCD的一条对角线； 多边形的对角线用虚线表示。
请大家思考：五边形ABCDE共有几条对 角线呢？
五边形ABCDE共有5条对角线。
请大家思考：六边形ABCDEF共有几条对角 线呢？
有没有什么 规律呢？
六边形ABCDEF共有9条对角线。
120°,则这个多边形的边数是_____
• • • • 解: 120°n=（n－2）×180° 120°n=n×180°-360 ° 60°n =360 ° n =6
例6.如果一个正多边形的一个内角等于150°,
A 则这个多边形的边数是_____
A.12 B.9 C. 8 D.7
例7.如果一个多边形的每一个外角等于30°, 12 则这个多边形的边数是____ 例8.如果一个多边形的边数增加1,则这个多 增加180 ° 边形的内角和_____
例3. 已知在一个十边形中，九个内角的和 的度数是1290°，求这个十边形的另一个 内角的度数.
先求出十边形的内角和再减去1290°,就可 以得出. • 解: （10－2）×180° =1440 ° • 则十边形的另一个内角的度数为 • 1440 °- 1290° =150 °
那么对于正多边形来说,又遇到怎样的问题呢?
请问：N边形从一个顶点出发，能引出N-3条对角 线？
我们已经知道一个三角形的内角和等于180°， 那么四边形的内角和等于多少呢？五边形、六边形 呢？由此，n边形的内角和等于多少呢？
我们学习数学的 基本思想什么？ 化未知为已知
那么我们能不能 利用三角形的内角 和，来求出四边形 的内角和，以及五 边形、六边形，n边 形的内角和？
• 11X = 440° • X = 40° • 则这个五边形的内角分别为40, 80°, 120°, 160°, 140°.
人教版 八年级数学 多边形及其内角和讲义 (含解析)
第2讲多边形及其内角和知识定位讲解用时：5分钟A、适用范围：人教版初二，基础一般；B、知识点概述：本讲义主要用于人教版初二新课，本节课我们要学习多边形及其内角和，首先要学会判断凸多边形和凹多边形，然后要学会计算多边形的内角和和外角和，能够处理多边形的一些基础题目。
知识梳理讲解用时：20分钟凸多边形、凹多边形1、多边形：在平面内，由一些线段首尾顺次相接组成的图形叫做多边形。
2、凸多边形：如果把一个多边形的所有边中，有一条边向两方无限延长成为一直线时，其他各边不都在此直线的同旁，那么这个多边形就叫做凹多边形，其内角中至少有一个钝角。
3、凹多边形：如果把一个多边形的所有边中，任意一条边向两方无限延长成为一直线时，其他各边都在此直线的同旁，那么这个多边形就叫做凸多边形，其内角应该全不是钝角，任意两个顶点间的线段位于多边形的内部或边上。
目前我们研究的都是凸多边形1、多边形的内角：多边形相邻两边组成的角叫做它的内角。
2、多边形的外角：多边形的一边与它的邻边的延长线组成的角叫做多边形的外角。
3、多边形的对角线：连接多边形不相邻的两个顶点的线段，叫做多边形的对角线。
4、正多边形：在平面内，各个角都相等，各条边都相等的多边形叫做正多边形。
从同一个顶点引出对角线的条数：0 1 2 3 n-3 （n≥3）分割出三角形的个数：0 2 3 4 n-2 （n≥3）多边形内角和：180° 360° 540° 720° (n-2)·180°课堂精讲精练【例题1】设四边形内角和等于，五边形外角和等于，则与之间的关系是（ ） A.B.C.D.【答案】B【解析】四边形的内角和是360°，多边形的内角和也是360°.解：多边形边数为，则内角和为，四边形内角和，多边形外角和为， 五边形外角和， 因此． 故正确答案为：．讲解用时：2分钟解题思路：此题比较简单，熟记多边形的内角和和外角和公式做题即可. 教学建议：掌握多边形的内角和和外角和公式，灵活做题.难度： 3 适应场景：当堂例题 例题来源：无 年份：2018【练习1.1】下列图形中，多边形有（ ）总结：1、多边形对角线的条数：（1）从n 边形的一个顶点出发可以引（n-3）条对角线，把多边形分词（n-2）个三角形。
[初二数学 第3讲 多边形及其内角和]讲义教师版
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多边形及其内角和1.掌握多边形的相关概念；2.掌握多边形对角线的计算公式及其推导过程；3.熟练应用多边形的内角和、外角和进行相关计算；4.会利用多边形的特点处理镶嵌问题.1.多边形的内角和、外角和及对角线的相关计算；2.多边形的镶嵌问题.多边形及其相关概念1、多边形的相关概念（1）多边形的概念：在平面内，由一些线段首尾顺次相接组成的图形叫做多边形．（2）多边形的对角线：连接多边形不相邻的两个顶点的线段，叫做多边形的对角线．（3）正多边形的概念：各个角都相等，各条边都相等的多边形叫做正多边形．（4）多边形的内角：多边形相邻两边组成的角叫做它的内角.（5）多边形的外角：多边形的边与它的邻边的延长线组成的角叫做多边形的外角.2、多边形的分类多边形可分为凸多边形和凹多边形，辨别凸多边形可用两种方法：①画多边形任何一边所在的直线整个多边形都在此直线的同一侧；①每个内角的度数均小于180°，通常所说的多边形指凸多边形．3、多边形的对角线（1）定义：连接多边形不相邻的两个顶点的线段，叫做多边形的对角线．（2）多边形条数的计算：n边形从一个顶点出发可引出（n﹣3）条对角线．从n个顶点出发引出（n﹣3）条，而每条重复一次，所以n边形对角线的总条数为：()32n n-（n≥3，且n为整数）.例1.如图，下列图形是多边形的有（填序号）．【答案】①①【解析】解：下列图形是多边形的有①①，故答案为：①①．练习1.如图所示的图形中，属于多边形的有（）个．A．3个B．4个C．5个D．6个【答案】A【解析】解：所示的图形中，属于多边形的有第一个、第二个、第五个．故选A．熟悉多边形的概念，边为直线段，而不是曲线.例2.下列图中不是凸多边形的是（）A．B．C．D．【答案】A【解析】解：选项B、C、D中，画出这个多边形的任意一条边所在的直线，整个多边形都在这条直线的同一侧，所以都是凸多边形，只有A不符合凸多边形的定义，不是凸多边形．故选A．练习1.如图，下列图形不是凸多边形的是（）A．B．C．D．【答案】C【解析】解：选项A、B、D中，画出这个多边形的任意一条边所在的直线，整个多边形都在这条直线的同一侧，所以都是凸多边形，只有C不符合凸多边形的定义，不是凸多边形．故选C．明确多边形的定义及判定方法，初中阶段常说的多边形一般指凸多边形.例3.下列图形中，是正多边形的是（）A．等腰三角形B．长方形C．正方形D．五边都相等的五边形【答案】C【解析】解：正方形四个角相等，四条边都相等，故选：C．练习1.下列说法正确的有（）（1）由四条线段首尾顺次相接组成的封闭图形是四边形；（2）各边都相等的多边形是正多边形；（3）各角都相等的多边形一定是正多边形．A．0个B．1个C．2个D．3个【答案】A【解析】解：（1）在同一平面内，由四条线段首尾顺次相接组成的封闭图形是四边形，故此选项错误；（2）各边都相等的多边形是正多边形，错误，例如菱形；（3）各角都相等的多边形一定是正多边形，错误，例如矩形．故选：A．明确正多边形的定义：边、角都相等的多边形才是正多边形，只有边相等或者只有角相等一个条件并不能判断，这一点需要特别注意，并且要能够举出反例来说明.初三学到圆的时候还会学到正多边形，那部分知识主要是针对多边形进行计算.例4.下列图形中具有稳定性有（）A．2个B．3个C．4个D．5个【答案】B【解析】解：根据三角形具有稳定性，只要图形分割成了三角形，则具有稳定性．显然（2）、（4）、（5）三个．故选B．练习1.要使一个五边形具有稳定性，则需至少添加（）条对角线．A．1B．2C．3D．4【答案】B【解析】解：如图需至少添加2条对角线．故选：B．练习2.从一个七边形的某个顶点出发，分别连接这个点与其余各顶点，可以把一个七边形分割成（）个三角形．A．6B．5C．8D．7【答案】B【解析】解：从一个七边形的某个顶点出发，分别连接这个点与其余各顶点，可以把一个七边形分割成7﹣2=5个三角形．故选：B．三角形具有稳定性，若想要多边形也具有稳定性，只需将多边形变成三角形即可，根据这一原理即可进行划分.例5.若从多边形的一个顶点可以引出七条对角线，则这个多边形是（）A．七边形B．八边形C．九边形D．十边形【答案】D【解析】解：设这个多边形有n条边，由题意得：n﹣3=7，解得：n=10，故选：D．练习1.从一个多边形的任何一个顶点出发都只有6条对角线，则它的边数是（）A．6B．7C．8D．9【答案】D【解析】解：设多边形有n条边，则n﹣3=6，解得n=9．故选：D．练习2.将已知六边形ABCDEF，用对角线将它剖分成互不重叠的4个三角形，那么各种不同的剖分方法种数是（）A．6B．8C．12D．14【答案】D【解析】解：①六边形ABCDEF有6个顶点，用对角线将它剖分成互不重叠的4个三角形，①只能通过同一个顶点作三条对角线（如图1），这种分法有6种，也从一个顶点作两条对角线（如图2），这种分法有2种，如图3，中间是个四边形，两端2个三角形，把四边形加条对角线，这种分法有6种，故各种不同的剖分方法有14种．故选D．首先明确多边形对角线的精确定义，根据多边形对角线的定义逐点计算多边形对角线的条数，理解多边形对角线总条数公式的推导过程，体会推导思想.例6.一个多边形截去一个角后，形成一个六边形，那么原多边形边数为（）A．5B．5或6C．5或7D．5或6或7【答案】D【解析】解：如图可知，原来多边形的边数可能是5，6，7．故选：D．练习1.四边形剪掉一个角后，变为（）边形．A．3B．4C．5D．3或4或5【答案】D【解析】解：如下图所示：观察图形可知，四边形减掉一个角后，剩下的图形可能为五边形，可能为四边形，可能为三角形，故选D．练习2.将一个正方形桌面砍下一个角后，桌子剩下的角的个数是（）A．3个B．4个C．5个D．3个或4个或5个【答案】D【解析】解：正方形桌面砍下一个角以后可能是：三角形或四边形或五边形，如下图所示：因而还剩下3个或4个或5个角．故选D．多边形截角问题主要考查学生的图形想象力和分类讨论思想.明确截角的不同情况对多边形边数的影响.多边形的内角和、外角和及其应用1、多边形内角和定理：()2180n -⋅（n≥3且n 为整数）注：此公式推导的基本方法是从n 边形的一个顶点出发引出（n ﹣3）条对角线，将n 边形分割为（n ﹣2）个三角形，这（n ﹣2）个三角形的所有内角之和正好是n 边形的内角和． 2、多边形的外角和等于360°（1）多边形的外角和指每个顶点处取一个外角，则n 边形取n 个外角，无论边数是几，其外角和永远为360°．（2）借助多边形的内角和公式及邻补角的概念共同推导出以下结论：外角和()1802180360n n =︒--⋅︒=︒例1.若正多边形的一个内角是150°，则该正多边形的边数是（ ）A ．6B ．12C ．16D ．18【答案】B【解析】解：设多边形为n 边形，由题意，得（n ﹣2）•180°=150n ，解得n=12，故选：B ． 练习1.内角为108°的正多边形是（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】B【解析】解：外角是：180°﹣108°=72（度），360÷72=5， 则这个多边形是正五边形，故选B ．练习2.一个凸n 边形的内角和小于1999°，那么n 的最大值是（ ） A ．11B ．12C ．13D ．14【答案】C【解析】解：（n ﹣2）•180°＜1999°，n ＜+2=+2①n 为正整数，①n 的最大值是13．故答案为C ．练习3.把n边形变为（n+x）边形，内角和增加了720°，则x的值为（）A．4B．6C．5D．3【答案】A【解析】解：多边形的边数增加1，它的内角和增加180度，720°÷180°=4，①x=4，故选A．明确多边形内角和的计算公式，体会多边形内角和与边数之间的关系.例2.若一个正多边形的一个外角是45°，则这个正多边形的边数是（）A．10B．9C．8D．6【答案】C【解析】解：①多边形外角和=360°，①这个正多边形的边数是360°÷45°=8．故选C．练习1.正五边形的每个外角等于（）A．36°B．60°C．72° D．108°【答案】C【解析】解：360°÷5=72°．故正五边形的每个外角等于72°．故选：C．练习2.一个多边形的每个外角都相等且都小于45°，则这个多边形的边数最少是（）A．7B．8C．9D．10【答案】C【解析】解：设多边形的边数为n，①多边形的外角和是360°，且多边形的每一个外角都相等，①根据题意得，＜45，①45n＞360，n＞，n＞8，由于n是整数，①n的最小值为9，故选：C．明确多边形的外角和，理解多边形的外角和与边数之间的关系.例3.一个多边形的内角和是外角和的2倍，则这个多边形是（）A．四边形B．五边形C．六边形D．八边形【答案】C【解析】解：设所求正n边形边数为n，由题意得（n﹣2）•180°=360°×2，解得n=6．则这个多边形是六边形．故选：C．练习1.如果一个多边形的内角和与外角和相等，那么这个多边形是（）A．四边形B．五边形C．六边形D．七边形【答案】A【解析】解：设多边形的边数为n，根据题意（n﹣2）•180°=360°，解得n=4．故选A．熟练掌握多边形的内、外角和公式，能够通过边的数量将两公式进行灵活转化.例4.一个多边形除了一个内角外，其余各内角之和为2570°，则这个内角度数为（）A．120°B．130°C．135°D．150°【答案】B【解析】解：设这个内角度数为x°，边数为n，则（n﹣2）×180﹣x=2570，180•n=2930+x，①n=，①n为正整数，0°＜x＜180°，①n=17，①这个内角度数为180°×（17﹣2）﹣2570°=130°．故选B．练习1.看图回答问题：（1）内角和为2016°，佳佳为什么说不可能？（2）音音求的是几边形的内角和？【答案】解：（1）①n边形的内角和是（n﹣2）•180°，①内角和一定是180度的倍数，①2016÷180=11余36，①内角和为2016°不可能；（2）设漏加的内角为x，依题意有（n﹣2）•180=2016+x，①x=180n﹣2376，①90＜x＜180，①90＜180n﹣2376＜180，解得13.7＜n＜14.2，因而多边形的边数是14，故音音求的是十四边形的内角和．【解析】（1）根据n边形的内角和一定是180度的倍数，进行判断即可；（2）设漏加的内角为x，得出方程（n﹣2）•180=2016+x，求得x=180n﹣2376，再根据90＜x＜180，得到90＜180n﹣2376＜180，最后求得n的范围即可．练习2.一个多边形的内角和除去一个内角后为1720°，试问这个多边形是几边形？它的对角线有多少条？【答案】解：设多边形的边数是n，则（n﹣2）•180°=1720°，解得n=11…100，①除去了一个内角，①边数是11+1=12，故这个多边形的边数为12，它的对角线的条数==54．答：这个多边形是十二边形，共有54条对角线．【解析】据多边形的内角和公式（n﹣2）•180°可知多边形的内角和是180°的倍数，然后用1720°÷180°所得商的整数部分加1就是（n﹣2）的值；n边形的对角线公式为．在计算多边形内角和时少加一个内角问题，是多边形的角度计算中比较难的一个问题，需要注意的是少算一个角，不能直接把边数减1，而要根据凸多边形的内角的取值范围进行讨论，所以此类题型的条件比较隐晦，需要考虑到在没有特殊说明的情况下，初中阶段所说的多边形就是指的凸多边形，其内角的取值范围是0°~180°.此类例题选讲.多边形的边、角、对角线综合计算1、多边形边、角及对角线计算的本质都是通过计算公式转化成多边形的边的数量（或者顶点的数量），较复杂的综合计算问题，就需要将几种公式结合使用.2、多边形的内角和的计算常会与圆的面积或者周长相结合，其本质关系是多边形的内角和为圆的面积、周长提供了度数这一关键数据.3、凹多边形（如：五角星等）的内角和的计算是对三角形外角性质的一个典型应用.例1.一个凸多边形的每一个内角都等于150°，则这个多边形所有对角线的条数共有（）A．42条B．54条C．66条D．78条【答案】B【解析】解：①一个凸多边形的每一个内角都等于150°，①此多边形的每一个外角是180°﹣150°=30°，①任意多边形的外角和是：360°，①此多边形边数是：360°÷30°=12，①这个多边形所有对角线的条数是：n（n﹣3）÷2=12×（12﹣3）÷2=54．故选B．练习1.若一个正n边形的每个内角为144°，则这个正n边形的所有对角线的条数是（）A．7B．10C．35D．70【答案】C【解析】解：①一个正n边形的每个内角为144°，①144n=180×（n﹣2），解得：n=10．这个正n边形的所有对角线的条数是：==35．故选C．多边形边、角及对角线计算的本质都是通过计算公式转化成多边形的边的数量（或者顶点的数量），较复杂的综合计算问题，就需要将几种公式结合使用.例2.（选讲）如图所示，分别在三角形、四边形、五边形广场各角修建半径为R的扇形草坪．（1）图1中草坪的面积为．（2）图2中草坪的面积为．（3）图3中草坪的面积为．（4）如果多边形边数为n，其余条件不变，那么，你认为草坪的面积为．【答案】，πR2，，【解析】解：（1）三个角的和是：180°，则面积是：=；（2）四个内角的和是：360°，则面积是：=πR2；（3）五个内角的和是：540°，则面积是：=；（4）多边形边数为n，则内角和是：（n﹣2）•180°，则面积是：=．故答案是：，πR2，，．练习1.如图所示，分别在三角形．四边形的广场各角向内或向外修建半径为R的扇形草坪（阴影部分）．求：（1）图a中草坪的面积．（2）图b中草坪的面积．（3）图c中草坪的面积．【答案】解：（1）因为半径为1的圆面积为πR2，故该草坪形成的内角和度数为180°，所以a草坪的面积为πR2；（2）因为半径为1的圆面积为πR2，故b草坪的面积为4πR2﹣πR2=3πR2；（3）因为四边形外角和为360°，因此c草坪的面积为πR2．【解析】①因为半径为R的圆面积为π．图1的草坪形成的内角和度数为180°，为一个半圆，所以草坪的面积为πR2．①图b中草坪的面积为4个圆的面积减去1个圆的面积；①图c 中草坪的面积是1个圆的面积．多边形的内角和的计算常会与圆的面积或者周长相结合，其本质关系是多边形的内角和为圆的面积、周长提供了度数这一关键数据.例3.如图，求证：①A+①B+①C+①D+①E+①F+①G=180°．【答案】解：如图所示，①A+①B=①1，①C+①D=①2，①E+①2=①3，①F+①G=①4，①①A+①B+①C+①D+①E+①F+①G=①1+①3+①4，①三角形的内角和等于180°，①①1+①3+①4=180°，①①A+①B+①C+①D+①E+①F+①G=180°．【解析】根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和把这六个角转化为一个三角形的内角，再根据三角形的内角和等于180°解答．练习1.如图，以四边形ABCD各顶点及各边延长线上的点构成①AEF、①BGH、①CMN、①DPQ，求①E+①F+①G+①H+①M+①N+①P+①Q的度数．【答案】解：由三角形外角的性质可得：①FAB=①E+①F，①HBC=①G+①H，①DCN=①M+①N，①QDA=①P+①Q，①四边形的外角和为360°，①①FAB+①HBC+①DCN+①QDA=360°，①①E+①F+①G+①H+①M+①N+①P+①Q=360°．【解析】首先根据外角的性质可得：①FAB=①E+①F，①HBC=①G+①H，①DCN=①M+①N，①QDA=①P+①Q，根据四边形的外角和为360°，所以①FAB+①HBC+①DCN+①QDA=360°，即可解答．练习2.（1）如图①，你知道①BOC=①B+①C+①A的奥秘吗？请你用学过的知识予以证明；（2）如图①﹣1，则①A+①B+①C+①D+①E=°；如图①﹣2，则①A+①B+①C+①D+①E=°；如图①﹣3，则①A+①B+①C+①D+①E=°；（3）如图①，下图是一个六角星，其中①BOD=70°，则①A+①B+①C+①D+①E+①F=°．【答案】解：（1）如下图①，延长BO交AC于点D，①BOC=①BDC+①C，又①①BDC=①A+①B，①①BOC=①B+①C+①A．（2）如下图①，，根据外角的性质，可得①1=①A+①B，①2=①C+①D，①①1+①2+①E=180°，①x=①A+①B+①C+①D+①E=180°．如下图③，，根据外角的性质，可得①1=①A+①B，①2=①C+①D，①①1+①2+①E=180°，①x=①A+①B+①C+①D+①E=180°．如下图④，延长EA交CD于点F，EA和BC交于点G，，根据外角的性质，可得①GFC=①D+①E，①FGC=①A+①B，①①GFC+①FGC+①C=180°，①x=①A+①B+①C+①D+①E=180°．（3）如下图⑤，，①①BOD=70°，①①A+①C+①E=70°，①①B+①D+①F=70°，①①A+①B+①C+①D+①E+①F=70°+70°=140°．故答案为：180、180、180、140．【解析】（1）首先延长BO交AC于点D，可得BOC=①BDC+①C，然后根据①BDC=①A+①B，判断出①BOC=①B+①C+①A即可．（2）a、首先根据外角的性质，可得①1=①A+①B，①2=①C+①D，然后根据①1+①2+①E=180°，可得x=①A+①B+①C+①D+①E=180，据此解答即可．b、首先根据外角的性质，可得①1=①A+①B，①2=①C+①D，然后根据①1+①2+①E=180°，可得x=①A+①B+①C+①D+①E=180，据此解答即可．c、首先延长EA交CD于点F，EA和BC交于点G，然后根据外角的性质，可得①GFC=①D+①E，①FGC=①A+①B，再根据①GFC+①FGC+①C=180°，可得x=①A+①B+①C+①D+①E=180°，据此解答即可．（3）根据①BOD=70°，可得①A+①C+①E=70°，①B+①D+①F=70°，据此求出①A+①B+①C+①D+①E+①F 的度数是多少即可．凹多边形（如：五角星等）的内角和的计算是对三角形外角性质的一个典型应用.多边形的镶嵌问题利用正多边形进行镶嵌问题的基本原理是同一个顶点处的角能够凑成360°，才能实现密铺.无论由多少种几何图形进行镶嵌，其本质思想都是不变的.例1.下列几种形状的瓷砖中，只用一种不能够铺满地面的是（）A．正六边形B．正五边形C．正方形D．正三角形【答案】B【解析】解：A、正六边形的每个内角是120°，能整除360°，能密铺；B、正五边形每个内角是180°﹣360°÷5=108°，不能整除360°，不能密铺；C、正方形的每个内角是90°，4个能密铺；D、正三角形的每个内角是60°，能整除360°，能密铺．故选B．练习1.在下列正多边形的地板瓷砖中，单独用其中一种能够铺满地面的是（）A．正方形B．正五边形C．正八边形D．正十边形【答案】A【解析】解：A、正方形每个内角是90°，能整除360°，能密铺；B、正五边形每个内角是180°﹣360°÷5=108°，不能整除360°，不能密铺；C、正八边形每个内角为180°﹣360÷8=135°，不能整除360°，不能密铺；D、正十边形每个内角为180°﹣360÷10=144°，不能整除360°，不能密铺；故选A．由同一种正多边形进行镶嵌，只需要保证该正多边形的内角的度数是360°的因数即可.例2.在下列正多边形组合中，不能铺满地面的是（）A．正八边形和正方形B．正五边形和正八边形C．正六边形和正三角形D．正三角形和正方形【答案】B【解析】解：A、正方形的每个内角是90°，正八边形的每个内角是135°，由于90°+2×135°=360°，故能铺满；B、正五边形和正八边形内角分别为108°、135°，显然不能构成360°的周角，故不能铺满；C、正六边形和正三角形内角分别为120°、60°，由于60×4+120=360，故能铺满；D、正三角形、正方形内角分别为60°、90°，由于60×3+90×2=360，故能铺满．故选B．练习1.用两种正多边形镶嵌，不能与正三角形匹配的正多边形是（）A．正方形B．正六边形C．正八边形D．正十二边形【答案】C【解析】解：A、正三角形的每个内角是60°，正方形的每个内角是90°．①3×60°+2×90°=360°，①正方形能匹配；B、正六边形的每个内角是120°，正三角形的每个内角是60度．①2×120°+2×60°=360°，或120°+4×60°=360°，①正六边形能匹配；C、正三角形的每个内角是60°，正八边形内角为135°，显然不能构成360°的周角，故不能匹配．D、正三角形的每个内角是60°，正十二边形的每个内角是180°﹣360°÷12=150°，①60°+2×150°=360°，①正十二边形能匹配；故选C．练习2.用正四边形和正八边形镶嵌成一个平面，则在某一个顶点处，正四边形和正八边形的个数分别为（）A．2个和1个B．1个和2个C．3个和1个D．1个和3个【答案】B【解析】解：正八边形内角为135°，（360﹣90）÷135=2，所以一个顶点周围应该有两个正八边形，一个正四角形．故选B．由多种正多边形进行镶嵌，问题相对来说比较复杂，需要进行讨论，保证同一个顶点处几个多边形的内角能够凑成360°.本次课的重点内容是对多边形的处理，包括多边形的内角和、外角和及对角线的相关计算，对相关公式的充分理解及是学习本章内容的首要条件.。
多边形的内角和与外角和
多边形的内角和与外角和多边形是指由若干个边和角组成的图形，在数学中占据着重要的地位。
多边形的内角和与外角和是探究多边形性质的重要内容之一。
一、多边形的基本概念多边形是由连续的直线段组成的封闭图形。
根据边的数量，可以将多边形分为三角形、四边形、五边形等不同类别。
而每个多边形都由不同数量的内角和外角组成。
二、多边形的内角和多边形的内角和指的是多边形内部所有角度的总和。
对于n边形（n≥3），其内角和的计算公式可表示为：（n-2）×180°。
举个例子，对于三角形来说，n=3，根据内角和计算公式可知，内角和为（3-2）×180°=180°。
三、多边形的外角和多边形的外角和指的是多边形外部所有角度的总和。
对于n边形（n≥3），其外角和的计算公式可表示为：360°。
继续以三角形为例，根据外角和的计算公式可知，外角和为360°。
在了解了内角和和外角和的概念之后，我们可以进一步探究它们之间的关系。
四、内角和与外角和的关系对于任意一个多边形而言，其内角和和外角和之间存在着特殊的关系：内角和 + 外角和 = 360°。
这个结论可以通过数学推导得到，也可以通过多边形的图形表示进行观察验证。
举个例子，我们以四边形为例。
四边形的内角和计算公式为（4-2）×180°=360°，外角和为360°。
将内角和和外角和相加，可以得到360°+360°=720°。
由此可见，无论是三角形、四边形，还是更多边形，它们的内角和与外角和的和都是360°。
结论：多边形的内角和与外角和是数学中重要的概念。
对于任意n边形来说，其内角和为（n-2）×180°，外角和为360°。
并且内角和与外角和的和始终为360°。
通过研究多边形的内角和与外角和，我们不仅能够更深入地了解多边形的性质，也能够在解决相关问题时运用这些概念和公式。
多边形内角和与多边形外角和
多边形内角和与多边形外角和是初中数学重要内容，在解题中如能将这两者巧妙结合起来，可以化难为易，事半功倍的效果，现举例说明.例1.一个多边形每一个内角都是144°，求此多边形的边数。
析解：本题有两种思路：思路一：设边数为n，由内角和公式列方程: (n-2)·180°=n·144°，解得n=10.思路二：先求出外角的度数，再由外角和公式求边数：多边形每一个外角为180°-144°=36°，所以边数为360°÷36°=10.评注：比较这两种思路，不难发现思路二较好，通过内外角的关系求出外角，再根据多边形外角和直接求出边数.例2.多边形的外角中最多有几个钝角？内角中最多有几个锐角？析解：若一个多边形有4个外角为钝角，则多边形外角和大于360°，这与多边形外角和等于360°相矛盾，可见多边形外角中最多有3个钝角.第二个问题实际上与第一个问题是同一个问题，因为内角为锐角，外角必为钝角，根据第二个问题可知多边形外角中最多有3个钝角，其相应内角为锐角，可见多边形最多有3个内角为锐角.例3.已知n边形恰有四个内角是钝角．这种多边形共有多少个？其中边数最少的是几边形？边数最多的是几边形？析解：本题与例2相类似，根据例2中的结论：n边形外角中最多有3个钝角，而本题中的 n边形恰有四个内角是钝角，即 n边形恰有四个外角是锐角，所以可分三种情况进行讨论：（1）若n边形恰有四个外角是锐角和一个钝角，则是五边形；（2）若n边形恰有四个外角是锐角和两个钝角，则是六边形；（3）若n边形恰有四个外角是锐角和三个钝角，则是七边形；所以其中边数最少的是五边形；边数最多的是七边形.[回答2] 7条边. 凸边形不管几条边，外角和是360度，内角度数越大，边数越多，即该四边形4个钝角，其他角都是直角. 由此设边数为N，即内角个数也为N，4个钝角对应的外角度数分别为ABCD，联立方程：. （N-4）*90度+A+B+C+D=360 . N 属于正整数. 0>A,B,C,D>90. 要想N最大，A,B,C,D的和需要无限趋近于0，按照都为0近似得到N=8. 所以最多7条边例1. 如果一个多边形的边数增加1倍，它的内角和是2160°，求原来多边形的边数。
多边形的内角和与外角和
课题：6.4.1多边形的内角和与外角和课型：新授课年级：八年级教学目标：1.经历探索多边形内角和公式的过程，发展合情推理能力.2.掌握多边形内角和公式，运用多边形的内角和公式解决简单的几何问题,发展应用意识..3. 通过多边形内角和定理的探索过程，体会类比、转化和从特殊到一般的思想方法. 教学重点与难点：重点：探索多边形内角和公式.难点：多边形内角和公式的应用.课前准备：多媒体课件．教学过程:一、复习回顾，导入新课活动内容：回顾三角形相关知识，梳理知识顺序，确立研究对象和研究思路。
处理方式：以问题串的形式让学生回忆三角形的研究思路，引导学生对多边形的性质内容提出问题，进而解决问题.设计意图：激发学生提出问题，为接下来的自主学习、探究做作铺垫．二、探究学习，感悟新知活动内容1：探索四边形内角和（多媒体出示）处理方式：让学生回顾三角形内角和的探究方法，几何画板演示“拼凑法”，总结“实验---猜想---证明”的一般研究思路，类比猜想四边形的内角和，并用几何语言证明。
设计意图：让学生进一步认识转化的方法，为下一步的多边形内角和的探讨作何准备.活动内容2：探索五边形内角和（多媒体出示）处理方式：学生们通过小组合作，互相交流，分享方法，并展示小组成果，利用Geogebra 软件动态演示，便于学生直观理解。
设计意图：学生可以类比四边形的内角和的证明方法，合作探究五边形的内角和，并说明自己采用的方法和依据，提高学生应用的熟练程度.主要还是为下一步的探索做好伏笔.活动内容3：探索n边形内角和（多媒体出示）提出问题： n边形的内角和又是多少呢？你会计算吗?下面请同学们完成学习任务单。
处理方式：1.学生自主完成，教师巡视学生的探索情况，必要时给予引导点拨.学生完探索三：成后小组派代表展示自己的探索成果，同时渗透从“特殊到一般”的数学思想.得到定理：n 边形内角和等于(n-2)·180 °.（n是大于等于3的正整数）2.教师带领学生总结探究多边形内角和的方法。
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龙文教育一对一讲义
教师:学生：日期:星期:时段:课题多边形的内角和与外角和
学习目标与分析目标:会求多边形的内角和,会根据多边形的外交和求相应的边角关系。
考点:1)多年形内角和公式：(n-2）*18０0
2)多年形外角和为36０0
学习重点重点：会运用多边形的内角和公式进行相关的计算。
难点：运用外角和定理,内角和公式求多边形的边角关系。
学习方法讲授与练习，归纳与总结
学习内容与过程教师分析与批改1.12边形内角和是_＿_____
2．已知一个多边形的每个内角为1４0度则这个多边形是—————边形
3.若这多边形边数加1则这多边形的内角和增加——
4．在四边形ABＣD中四个内角度数比为2:3:4：3则每个内角—————
5.下列角中能成为一个多边形内角和的是————
A 270度
B ５6０度
C 18０0度Ｄ1９0０度
6. 如果一个多边形的每个外角都等于40°，则这个多边形的内角和是多少？
7.如果一个多边形的每一个内角都等于150°,则这个多边形的边数是多少？
８.如图：求正五边形的每一个外角以及每一个内角的度数
各是多少度?
学习内容与过程教师分析与批改
９.如图，Ｄ是△ＡBＣ的BC边上一点，
∠Ｂ=∠BＡＤ，∠ADC＝80°，
∠BＡC＝７0°.
求:（1）∠B的度数；
（２）∠C的度数．
10、一个零件的形状如图所示,按规定∠A应等于9０0, ∠Ｂ和∠Ｃ应分别是21０和3２０,检验工人量得∠BDＣ＝1480,就断定这个零件不合格．运用你学过的三角形的有关知识说明零件不合格的理由.
１1. (1）如图(甲）,在五角星图形中,求∠A+∠B+ ∠Ｃ+ ∠D+ ∠E的度数。
(2）把图(乙)、（丙)叫蜕
化的五角星,问它们的五
角之和与五角星图形的五
角之和仍相等吗?为什么?。