参数方程的定义,互化
1、参数方程的概念：
如图,一架救援飞机在A点，离地面500m高处以 100m/s的速度作水平直线飞行. 现在向地面投放救援 物资(不记空气阻力),求出该救援物资运动的轨迹方程？
投放点
？
救援点
1、参数方程的概念：
如图,一架救援飞机在离灾区地面500m高处以
100m/s的速度作水平直线飞行.现在向地面投放 救援物资(不记空气阻力),求出该救援物资运动 的轨迹方程设？飞机在点A将物资投出机舱，
例3、把下列参数方程化为普通方程，并说明各表示什么曲线？
（1）x t 1 (t为参数) y 1 2 t
（2)
x
y
sin cos 1 sin 2
(为参数）
解：(2)把x sin cos平方后减去y 1 sin 2得到x2 y,
又x sin cos 2 sin( ),
y
4
x [ 2, 2],
解:(1)把x 3cos代入椭圆方程,得:9 cos2 y2 1,
94
y2 4(1 cos2 ) 4sin2 ,
即y 2sin
由参数的任意性，可取y 2sin,
椭圆 x2 y2 1的参数方程是
94
x 3cos
y
2 sin
(为参数)
例4、求椭圆 x2 y2 1的参数方程 94
(3) y x2 (1 x 1)
(4)x2 y2 1
(5) y 2(x 2或x 2）
参数方程化为普通方程的步骤
步骤：
1、消掉参数(代入消元，三角变形，配 方消元,常用结论)
2、写出定义域（x的范围） 注意：
在参数方程与普通方程的互化中，必须 使x,y前后的取值范围保持一致。
2、曲线y=x2的一种参数方程是（ ）.
o
x
1、参数方程的概念：
如图,一架救援飞机在离灾区地面500m高处以
100m/s的速度作水平直线飞行.现在向地面投放救
援物资(不记空气阻力),求出该救援物资运动的
轨迹方程？
y
解：物资出舱后，设在时刻t，水平位移为x，
500
垂直高度为y，所以
x 100t,
y
500
1 2
gt
2.（g=9.8m/s2
相对于参数方程而言，直接给出点的坐标间关系 的方程叫做普通方程。
关于参数几点说明： 参数是联系变数x,y的桥梁,
1.参数方程中参数可以有物理意义, 几何意义, 也可以没有明显意义。
2.同一曲线选取参数不同, 曲线参数方程形式也不一样 3.在实际问题中要确定参数的取值范围
例1:
已知曲线C的参数方程是
三、平抛物体运动轨迹上的点与满足方程组 的有序实数对（x,y）之间有一一对应关系。
1、参数方程的概念：
一般地, 在平面直角坐标系中,如果曲线上任意一点的
坐标x, y都是某个变数t的函数 x f (t),
y
g (t ).
（2）
并且对于t的每一个允许值, 由方程组(2) 所确定的点 M(x,y)都在这条曲线上, 那么方程(2) 就叫做这条曲线的 参数方程, 联系变数x,y的变数t叫做参变数, 简称参数.
D、x
1 1
cos cos
2t 2t
(t为参数)
y tan t
D
在经过飞行航线（直线）且垂直于地平面的平面上建立
y
平面直角坐标系，其中x轴为地平面与这个平面的交线， y轴经过点A.
A
记物资投出机舱时为时刻0，在时刻t时物资
的位置为M(x,y).则x表示物资的水平位移量，
y表示物资距地面的高度。
由于水平位移量x与高度y 是两种不
同的运动得到的，因此直接建立x,y
所要满足的关系式并不容易。
)
o
x
一、方程组有3个变量，其中的x,y表示点的 坐标，变量t叫做参变量，而且x,y分别是t的 函数。
二、由物理知识可知，物体的位置由时间t唯 一决定，从数学角度看，这就是点M的坐标 x,y由t唯一确定，这样当t在允许值范围内连 续变化时，x,y的值也随之连续地变化，于是 就可以连续地描绘出点的轨迹。
注：本题两个参数方程和起来才是椭圆的参数方程。
例4、求椭圆 x2 y2 1的参数方程 94
（1）设x 3cos,为参数。
（2）设y 2t, t为参数
1.如果没有明确x、y与参数的关系，则参数方程是有
限个还是无限个？
无限个
2.为什么（1）的正负取一个，而（2）却要取两个？
如何区分？
两个解的范围一样只取一个；不一样时，两个都要取.
因此M1在曲线C上。
把点M2(5,4)代入方程组，方程组无解，
因此M2不在曲线C上。
（2）因为M3 （6，a)在曲线C上。
解得：t=2,a=9
∴a=9
6 3t,
a
2t
2
1.
训练1：
1、曲线
x
1t2
(t为参数与）x轴的交点坐标是(
y 4t 3
A、（1，4）；B、
C(、25 , 0);
D、(1, 3);
注意： 在参数方程与普通方程的互化中，必须 使x，y的取值范围保持一致。否则，互化就是 不等价的.
类型二：普通方程化为参数方程
例4、求椭圆 x2 y2 1的参数方程 94
（1）设x 3cos,为参数。
（2）设y 2t, t为参数
例4、求椭圆 x2 y2 1的参数方程 94
（1）设x 3cos,为参数。 （2）设y 2t,t为参数
o
x
1、参数方程的概念：
如图,一架救援飞机在离灾区地面500m高处以
100m/s的速度作水平直线飞行.现在向地面投放救 援物资(不记空气阻力),求出该救援物资运动的 轨迹方程？
y 500
物资投出机舱后，它的运动由下列两种运动合成： （1）沿ox作初速度为100m/s的匀速直线运动； （2）沿oy反方向作自由落体运动。
x
y
3t, 2t 2
(t为参数) 1.
（1）判断点M1(0, 1)，M2(5, 4)与曲线C的位置关系； （2）已知点M3(6, a)在曲线C上, 求a的值。
解：（1）把点M1(0,1)代入方程组，解得：t=0,
因此M1在曲线C上。
把点M2(5,4)代入方程组，方程组无解，
因此M2不在曲线C上。
与参数方程等价的普通方程为：
x2 y, x [ 2, 2]. 这是抛物线的一部分。
2 o 2 x
三角变换消元法
将下列参数方程化为普通方程：
x t
(2)
y
t
2
x sin t
(3)
y
sin
2
t
(4)
x y
1 2 1 2
(t (t
1) t 1) t
(5)
x
t
1 t
y 2
(2) y x2
方程，则比较简单。
由参数方程得：
cos x 3 sin y ,
sin2 cos2 x2 y2 1
(x 3)2 y2 1
所以点M的轨迹是圆心在（3，0），半径为1的圆。
类型一：参数方程化为普通方程
例3、把下列参数方程化为普通方程，并说明各表示什么曲线？
（1）x t 1 (t为参数) y 1 2 t
练习： 将下列参数方程化为普通方程：
x 2 3cos
(1)
y
3sin
x sin
(2)
y
c
os2
x=t+1/t
步骤：（1）消参；
(3)
（2）求定义域。
y=t2+1/t2
（1）（x-2）2+y2=9 （2）y=1- 2x2（- 1≤x≤1） （3）x2- y=2（X≥2或x≤- 2）
练习：
（1）设x 3cos,为参数。 （2）设y 2t,t为参数
解:(2)把y 2t代入椭圆方程，得 x2 4t2 1 94
于是x2 9(1 t2 ), x 3 1 t2
椭圆 x2 y2 1的参数方程是: 94
x 3 1 t2
(t为参数)和x 3 1 t2
(t为参数)
y 2t
y 2t
（2)
x
y
sin cos 1 sin 2
(为参数）
解:(1)由x t 1 1 有 t x 1
代入y 1 2 t , 得到y 2x 3
与参数方程等价的
y (1,1)
普通方程是y 2x 3(x 1)
这是以(1,1)为端点的
o
一条射线(包括端点)
x
代入消元法
类型一：参数方程化为普通方程
5、若已知直线的参数方程为xy
1 1
t t
(t为参数)
求它与曲线 xy
2 cos 2 sin
(为参数)的交点。
(2,0),(0,2)
6.下列参数方程与方程y2 x表示同一曲线的是
A、
x y
t t
2
(t为参数)
B、x sin2 t (t为参数) y sin t
C、x t y
(t为参数) t
A 、
x y
t2 t4B 、 Fra bibliotekx y
sin t sin2
t
分析: 在y=x2中，x∈R, y≥0，
C、x t y t
D、x y
t t
2
在A、B、C中，x,y的范围都
发生了变化，因而与 y=x2不等价； x,y范围与y=x2中x,y的范围相同，
而在Ｄ中，
x t
且以
y
t
2
代入y=x2后满足该方程，从而D是曲线y=x2的一种参数方程.
（2）因为M3 （6，a)在曲线C上。
参数方程
x 3 cos y 2 sin
由于点P在圆上，所以可设P（3+cosθ，2+sinθ）， （1） x2+y2 = (3+cosθ)2+(2+sinθ)2 =14+4 sinθ +6cosθ=14+2 sin(θ +ψ). 13 (其中tan ψ =3/2)
∴ x2+y2 的最大值为14+2 13 ，最小值为14- 2 (2) x+y= 3+cosθ+ 2+sinθ=5+ sin（ θ + 2
13 。
） 4
∴ x+y的最大值为5+ 2 ，最小值为5 - 2 。
(3)
4 2 sin( ) 3 cos 2 sin 1 4 d 2 2
解:设M的坐标为(x,y), 圆x2+y2=16 的参数方程为 x =4cosθ y =4sinθ ∴可设点P坐标为(4cosθ,4sinθ)
y
P
M
O
A x
x =6+2cosθ 由中点公式得:点M的轨迹方程为 y =2sinθ ∴点M的轨迹是以(6,0)为圆心、2为半径的圆。
例2. 如图,已知点P是圆x2+y2=16上的一个动点, 点A是x轴上的定点,坐标为(12,0).当点P在圆 上运动时,线段PA中点M的轨迹是什么?
（3）参数方程与普通方程的互化
x2+y2=r2
( x a) ( y b) r
2 2 2
参数方程的定义,互化
（ 2) x y 1 si n sin 2 cos(为 参 数 ）
解 ： ( 2 ) 把 x s i n c o s 平 方 后 减 去 y 1 s i n 2 得 到 x 2 y ,
又 xsincos2sin(),
y
4
x[ 2, 2],
与 参 数 方 程 等 价 的 普 通 方 程 为 ：
16
)
B
( 25 ,0); 16
2、方程 yxcsions(为参所数表）示的曲线上一点的坐标是
（）
D
Байду номын сангаас
A、（2，7）；B、
( 1 C, 、2 ) ; 33
( D1 、, （1 )1;，0） 22
B
11
3.参数方程和普通 方程的互化
B
12
由 参 数 方 程 xy csions3,(为 参 数 )直 接 判 断 点 M的 轨 迹 的
解得：t=2,a=9
∴a=9 B
6 3t,
a
2t
2
1.
8
例1:
已知曲线C的参数方程是
x3t,
y
2t2
(t为参数) 1.
（1）判断点M1(0, 1)，M2(5, 4)与曲线C的位置关系； （2）已知点M3(6, a)在曲线C上, 求a的值。
解：（1）把点M1(0,1)代入方程组，解得：t=0,
o
xB
4
1、参数方程的概念：
如图,一架救援飞机在离灾区地面500m高处以
100m/s的速度作水平直线飞行.现在向地面投放救援
物资(不记空气阻力),求出该救援物资运动的轨迹
方程？
y
解 ： 物 资 出 舱 后 ， 设 在 时 刻 t， 水 平 位 移 为 x，
参数方程和普通方程的互化
参数方程和普通方程的互化首先，我们来了解一下参数方程的定义。
参数方程是指使用单一变量来表示曲线上的点的坐标，其中变量通常表示为 t。
对于平面上的曲线，参数方程可以表示为 x=f(t)，y=g(t)，其中 f(t) 和 g(t) 是 t 的函数。
参数方程通常用来表示曲线上每一个点的坐标，在数学中有着广泛的应用。
例如，圆的参数方程可以表示为 x=rcos(t)，y=rsin(t)，其中 r 表示圆的半径，t 表示角度。
与之相对应的，普通方程是用一个或多个变量的代数方程来表示曲线的方程。
对于平面上的曲线，普通方程可以表示为F(x,y)=0，其中F(x,y)是二元函数。
普通方程常常用来表达曲线的性质和方程，例如直线的普通方程可以表示为Ax+By+C=0，其中A、B和C是常数。
1.由参数方程到普通方程：要将参数方程转换为普通方程，可以将参数方程中的参数表示为普通方程中的变量，并解出其他变量的表达式。
具体步骤如下：a.将x=f(t)，y=g(t)中的t表示为普通方程中的变量，如令t=x。
b.将t的表达式代入f(t)和g(t)中，得到x=f(x)，y=g(x)。
c.将得到的方程进行整理，化为普通方程的形式。
2.由普通方程到参数方程：要将普通方程转换为参数方程，可以选取一个合适的参数来表示曲线上每一点的坐标，并构造对应的参数方程。
具体步骤如下：a.选择一个变量作为参数，通常可以选择x或y。
b.将选取的参数代入普通方程中，得到一条关于参数的方程。
c.将方程整理，化为参数方程的形式。
值得注意的是，参数方程和普通方程在表示曲线时的优势和劣势不同。
参数方程可以方便地描绘复杂的曲线，如椭圆、双曲线等，而普通方程可以方便地计算曲线的性质和方程。
因此，在不同的问题和计算需求中，我们可以选择合适的方程形式。
除了上述的基本转换方法，还有一些特殊的曲线可以通过参数方程和普通方程的互化来简化求解。
例如，对于一些特殊的曲线，我们可以通过参数方程的方法来求解它的曲率和切线方程，然后转换为普通方程表示的形式。
曲线的参数方程和与普通方程的互化
2、参数方程和普通方程 的互化
（1）普通方程化为参数方程需要引入参数。
如：①直线L 的普通方程是2x-y+2=0，可以化为参数方程
x t, （t为参数） y 2t 2.
②在普通方程xy=1中，令x = tan,可以化为参数方程
x t an , （为参数） y cot .
y都是某个变数t的函数即并且对于t的每一个允许值由上述方程组所确定的点mxy都在这条曲线上那么上述方程组就叫做这条曲线的参数方程联系xy之间关系的变数叫做参变数简称参数
第二讲
参 数 方 程
1、参数方程的概念
（1）在取定的坐标系中，如果曲线上任意一点的坐 标x 、y都是某个变数t的函数，即
x f (t ) y g (t )
步骤：（1）消参；
(3)
y=t2+1/t2
（2）求定义域。
（1）（x-2）2+y2=9 （2）y=1- 2பைடு நூலகம்2（- 1≤x≤1） （3）x2- y=2（X≥2或x≤- 2）
练习 1.化下列参数方程为普通 方程 x t 1 （ 1 ） y 1 2 t x sin t (3) 2 y sin t 1 x t (5) t y 2 x t (2) 2 y t 1 t t x ( e e ) 2 (4) y 1 (e t e t ) 2
并且对于t的每一个允许值，由上述方程组所确定的 点M（x,y）都在这条曲线上，那么上述方程组就叫 做这条曲线的参数方程 ，联系x、y之间关系的变数 叫做参变数，简称参数。参数方程的参数可以是有 物理、几何意义的变数，也可以是没有明显意义的 变数。 （2） 相对于参数方程来说，前面学过的直接给出 曲线上点的坐标关系的方程，叫做曲线的普通方程。
参数方程与普通方程互化例题和知识点总结
参数方程与普通方程互化例题和知识点总结在数学的学习中，参数方程与普通方程的互化是一个重要的知识点，它不仅在解析几何中有着广泛的应用，对于解决实际问题也具有重要的意义。
下面我们将通过一些例题来深入理解参数方程与普通方程的互化，并对相关知识点进行总结。
一、参数方程的概念参数方程是指在平面直角坐标系中，如果曲线上任意一点的坐标＼（x\）、＼（y\）都是某个变数＼（t\）的函数，并且对于＼（t\）的每一个允许的取值，由方程组确定的点＼（（x,y)＼）都在这条曲线上，那么这个方程就叫做曲线的参数方程，联系变数＼（x\）、＼（y\）的变数＼（t\）叫做参变数，简称参数。
例如，圆的参数方程为：＼（＼begin{cases}x ＝ r\cos\theta ＼＼ y＝ r\sin\theta\end{cases}＼）（＼（＼theta\）为参数），其中＼（r\）为圆的半径。
二、普通方程的概念普通方程是指用＼（x\）和＼（y\）直接表示其关系的方程。
例如，圆的普通方程为：＼（x^2 ＋ y^2 ＝ r^2\）。
三、参数方程与普通方程互化的方法1、消去参数消去参数的方法主要有代入消元法、加减消元法、利用三角函数的恒等式消元法等。
例如，对于参数方程＼（＼begin{cases}x ＝ t ＋ 1 ＼＼ y ＝t^2\end{cases}＼），可以通过将＼（x ＝ t ＋ 1\）变形为＼（t ＝ x 1\），然后代入＼（y ＝ t^2\）中，得到普通方程＼（y ＝（x 1)＾2\）。
2、利用三角函数的恒等式对于形如＼（＼begin{cases}x ＝ a\cos\theta ＼＼ y ＝b\sin\theta\end{cases}＼）的参数方程，可以利用三角函数的平方和恒等式＼（＼cos^2\theta ＋＼sin^2\theta ＝ 1\）进行消参。
例如，将＼（x ＝ a\cos\theta\）两边平方得＼（x^2 ＝a^2\cos^2\theta\），将＼（y ＝ b\sin\theta\）两边平方得＼（y^2 ＝b^2\sin^2\theta\），然后将两式相加可得：＼（＼frac{x^2}｛a^2} ＋＼frac{y^2}｛b^2} ＝ 1\）。
参数方程与普通方程互化
参数方程与普通方程互化一、引言在数学中，方程是研究数学问题的基础。
方程可以描述物理规律、经济模型、自然现象等各种问题，是数学建模的重要工具。
在代数学中，我们常常用普通方程来表示问题，例如一元一次方程、二次方程等。
然而，在某些情况下，使用普通方程描述问题可能会比较复杂，此时参数方程就能够提供更加简洁的表示方法。
参数方程是一种用参数化变量表示的方程系统，通过引入参数，可以将复杂的方程化简为一系列简单的参数方程。
参数方程与普通方程之间具有相互转换的关系，本文将介绍参数方程与普通方程的互化方法。
二、参数方程的基本概念参数方程是一种常见的数学表达形式，它由一个或多个参数化变量组成。
在参数方程中，每个变量都是独立的，并且可以通过参数的变化来表示方程中的不同解。
例如，我们可以用参数方程来描述一个点在直线上的运动轨迹。
设直线的方程为y = mx + b，参数方程可以表示为：x = t y = mt + b在这个参数方程中，t是一个独立的参数，它的变化可以表达直线上所有的点。
三、参数方程与普通方程的转换参数方程与普通方程之间可以通过参数的消除和引入来进行转换。
下面将介绍几种常见的转换方法。
1. 从普通方程到参数方程的转换如果我们已知一个普通方程，想要将其转换为参数方程，可以通过参数的引入来实现。
具体步骤如下：（1）选取一个或多个参数，用它们表示方程中的变量。
（2）将参数代入普通方程中，得到参数方程。
例如，我们有一个圆的方程为x^2 + y^2 = r^2，我们希望将其转换为参数方程。
我们可以选取参数θ表示角度，并引入参数方程：x = r * cos(θ) y = r * sin(θ)在这个参数方程中，当θ取遍所有的值时，圆上的所有点都可以覆盖到。
2. 从参数方程到普通方程的转换如果我们已知一个参数方程，想要将其转换为普通方程，可以通过参数的消除来实现。
具体步骤如下：（1）从一个参数方程中解出一个参数。
（2）将解出的参数代入另一个参数方程中，得到普通方程。
参数方程的定义互化
参数方程的定义互化参数方程是用参数来表示一个曲线、曲面或者空间曲线的方程。
与直角坐标系下的一般方程不同，参数方程使用参数变量来描述对象在坐标系中的位置。
参数方程在数学、物理和工程领域中有着广泛的应用，可以用来描述复杂的曲线和曲面形状。
一维参数方程是指一个变量参数描述的曲线，通常以t或者θ作为参数变量。
一维参数方程可以表示直线、圆、椭圆、双曲线等曲线形状。
例如，对于圆的参数方程，可以用x = a*cos(t)，y = a*sin(t)表示，其中a是圆的半径。
二维参数方程是指两个变量参数描述的曲面，通常以u和v作为参数变量。
二维参数方程可以表示三维空间中的曲面，例如球、圆柱、锥体等形状。
例如，对于球体的参数方程，可以用x = r*sin(u)*cos(v)，y =r*sin(u)*sin(v)， z = r*cos(u)表示，其中r是球的半径。
参数方程之间的互化是指将一个参数方程转化为另一个参数方程的过程。
互化可以通过代换或者消参的方式实现。
代换是指将原参数方程的参数变量用一个关于另一个参数变量的函数来表示。
例如，对于二维参数方程x=f(u)，y=g(u)，可以通过代换将其中一个参数用另一个参数表示，得到u=h(x)，然后带入原方程，得到新的参数方程。
消参是指将原参数方程中的一个参数变量用一个关于另一个参数变量的表达式消去，从而得到一个只含有一个参数变量的方程。
消参可以通过方程联立和消元的方式实现。
例如，对于一维参数方程x=f(t)，y=g(t)，可以通过联立方程得到y的表达式，并将y带入x的方程中，从而得到只含有一个参数t的方程。
总结来说，参数方程是用参数变量来描述曲线、曲面和空间曲线的方程。
互化是将一个参数方程转化为另一个参数方程的过程，可以通过代换和消参实现。
参数方程的定义和互化在数学和应用领域中有广泛的应用。
曲线参数方程与普通方程的互化 知乎
曲线参数方程与普通方程的互化知乎一、前言曲线参数方程与普通方程是高等数学中的两个重要概念，它们在解决不同类型的问题时都具有独特的优势。
本文将从曲线参数方程和普通方程的定义、互化方法以及应用举例三个方面进行详细阐述。
二、曲线参数方程和普通方程的定义1. 曲线参数方程曲线参数方程是指用一个或多个变量表示曲线上各点的坐标，其中变量称为参数。
通常情况下，我们用t表示参数，因此曲线参数方程也被称为t表示法。
对于平面直角坐标系上的曲线，其一般形式为：x = f(t)y = g(t)其中f(t)和g(t)分别是t的函数。
2. 普通方程普通方程是指用x和y表示曲线上各点的坐标，其一般形式为：F(x, y) = 0其中F(x, y)是x和y的函数。
三、曲线参数方程与普通方程的互化方法1. 曲线参数方程转换为普通方程将曲线参数方程中的t消去即可得到相应的普通方程。
具体步骤如下：（1）将一个未知量（如x或y）表示为t的函数，即x = f(t)或y =g(t)。
（2）将上式代入另一个未知量的方程中，得到只含有t的方程。
（3）将只含有t的方程解出t，并代入第一步中的式子中，即可得到相应的普通方程。
2. 普通方程转换为曲线参数方程将普通方程转换为曲线参数方程需要用到参数消元法。
具体步骤如下：（1）选取一个未知量作为参数，例如x = t。
（2）将x = t代入普通方程中，得到只含有y和t的关系式。
（3）解出y与t之间的关系式，并代入第一步中的式子中，即可得到相应的曲线参数方程。
四、曲线参数方程与普通方程的应用举例1. 曲线参数方程在物理学中的应用曲线参数方程在物理学中有广泛应用。
例如，在描述质点运动时，我们可以用曲线参数方程来表示质点在空间中运动所经过的路径。
又例如，在描述电磁场时，我们可以用曲线参数方程来表示电场强度和磁场强度随时间和空间位置变化所形成的路径。
2. 普通方程在几何学中的应用普通方程在几何学中也有广泛应用。
例如，在描述直线、圆、椭圆等几何图形时，我们可以用普通方程来表示它们的形状和位置。
第2章 1 参数方程的概念
§1参数方程的概念1.参数方程的概念(1)一般地，在取定的坐标系中，如果曲线上任意一点的坐标(x ，y )都是某个变数t 的函数 ⎩⎨⎧x ＝f （t ），y ＝g （t ），① 并且对于t 取的每一个允许值，由方程组①所确定的点P (x ，y )都在这条曲线上，那么方程组①就叫作这条曲线的参数方程，联系x ，y 之间关系的变数t 叫作参变数，简称参数.相对于参数方程，我们把直接用坐标(x ，y )表示的曲线方程f (x ，y )＝0叫作曲线的普通方程.(2)在参数方程中，应明确参数t 的取值范围.对于参数方程x ＝f (t )，y ＝g (t )来说，如果t 的取值范围不同，它们表示的曲线可能是不相同的.如果不明确写出其取值范围，那么参数的取值范围就理解为x ＝f (t )和y ＝g (t )这两个函数的自然定义域的交集.2.参数方程和普通方程的互化(1)曲线的参数方程和普通方程是曲线方程的不同形式.(2)在参数方程与普通方程的互化中，必须使x ，y 的取值范围保持一致. 【思维导图】【知能要点】 1.参数方程的概念. 2.求曲线的参数方程. 3.参数方程和普通方程的互化.题型一 参数方程及其求法1.曲线的普通方程直接地反映了一条曲线上的点的横、纵坐标之间的联系，而参数方程是通过参数反映坐标变量x 、y 间的间接联系.在具体问题中的参数可能有相应的几何意义，也可能没有什么明显的几何意义.曲线的参数方程常常是方程组的形式，任意给定一个参数的允许取值就可得到曲线上的一个对应点，反过来对于曲线上任一点也必然对应着其中的参数的相应的允许取值.2.求曲线参数方程的主要步骤：第一步，画出轨迹草图，设M (x ，y )是轨迹上任意一点的坐标.画图时要注意根据几何条件选择点的位置，以利于发现变量之间的关系.第二步，选择适当的参数.参数的选择要考虑以下两点：一是曲线上每一点的坐标x ，y 与参数的关系比较明显，容易列出方程；二是x ，y 的值可以由参数惟一确定.第三步，根据已知条件、图形的几何性质、问题的物理意义等，建立点的坐标与参数的函数关系式，证明可以省略.【例1】 设质点沿以原点为圆心，半径为2的圆作匀角速度运动，角速度为π60 rad/s.试以时间t 为参数，建立质点运动轨迹的参数方程.解 如图所示，运动开始时质点位于点A 处，此时t ＝0，设动点M (x ，y )对应时刻t ，由图可知⎩⎨⎧x ＝2cos θ，y ＝2sin θ，又θ＝π60t (t 的单位：S)，故参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2cos π60t ，y ＝2sin π60t .【反思感悟】 以时间t 为参数，在图形中分别寻求动点M 的坐标和t 的关系.1.已知定直线l 和线外一定点O ，Q 为直线l 上一动点，△OQP 为正三角形(按逆时针方向转，如图所示)，求点P 的轨迹方程. 解 以O 点为原点，过点O 且与l 垂直的直线为x 轴，过点O 与l 平行的直线为y 轴建立直角坐标系.设点O 到直线l 的距离为d (为定值，且d >0)，取∠xOQ ＝θ为参数， θ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，π2， 设动点P (x ，y ).在Rt △OQN 中， ∵|OQ |＝dcos θ，|OP |＝|OQ |， ∠xOP ＝θ＋π3， ∴x ＝|OP |cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＋θ＝d cos θ·cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＋θ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12－32tan θ·d ， y ＝|OP |·sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＋θ＝d cos θ·sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＋θ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫32＋12tan θ·d . ∴点P 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12－32tan θd ，y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫32＋12tan θd ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2<θ<π2. 题型二 参数方程和普通方程的互化参数方程化为普通方程，消去参数方程中的参数即可，通过曲线的普通方程来判断曲线的类型.由普通方程化为参数方程要选定恰当的参数，寻求曲线上任一点M 的坐标x ，y 和参数的关系，根据实际问题的要求，我们可以选择时间、角度、线段长度、直线的斜率、截距等作为参数.【例2】 已知某条曲线C 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝1＋2t y ＝at 2(其中t 是参数，a ∈R )，点M (5，4)在该曲线上. (1)求常数a ；(2)求曲线C 的普通方程.分析 本题主要应根据曲线与方程之间的关系，可知点M (5，4)在该曲线上，则点M 的坐标应适合曲线C 的方程，从而可求得其中的待定系数，进而消去参数得到其普通方程.解 (1)由题意可知有⎩⎨⎧1＋2t ＝5，at 2＝4，故⎩⎨⎧t ＝2，a ＝1.∴a ＝1.(2)由已知及(1)可得，曲线C 的方程为⎩⎨⎧x ＝1＋2t ，y ＝t 2. 由第一个方程得t ＝x －12代入第二个方程，得 y ＝⎝⎛⎭⎪⎫x －122，即(x －1)2＝4y 为所求. 【反思感悟】 参数方程化为普通方程时，求参数的表达式应从简单的有唯一结论的式子入手，易于代入消参.2.把下列参数方程化为普通方程.⎩⎨⎧x ＝3＋cos θ，y ＝2－sin θ，解 由已知得⎩⎨⎧cos θ＝x －3，sin θ＝2－y .由三角恒等式sin 2θ＋cos 2θ＝1，可知(x －3)2＋(y －2)2＝1这就是所求的普通方程. 【例3】 选取适当的参数，把普通方程x 216＋y 29＝1化为参数方程. 解 设x ＝4cos φ，代入椭圆方程，得16cos 2φ16＋y 29＝1.∴y 2＝9(1－cos 2φ)＝9sin 2φ，即y ＝±3sin φ.由参数φ的任意性可知y ＝3sin φ.故所求参数方程为⎩⎨⎧x ＝4cos φ，y ＝3sin φ(φ为参数).【反思感悟】 选取的参数不同，所得曲线的参数方程不同，注意普通方程和参数方程的等价性.3.选取适当参数，把直线方程y ＝2x ＋3化为参数方程.解 选t ＝x ，则y ＝2t ＋3，由此得直线的参数方程⎩⎨⎧x ＝t ，y ＝2t ＋3(t ∈R ).也可选t ＝x ＋1，则y ＝2t ＋1，参数方程为⎩⎨⎧x ＝t －1，y ＝2t ＋1.1.已知曲线C 的参数方程是：⎩⎨⎧x ＝3t ，y ＝2t 2＋1(t 为参数). (1)判断点M 1(0，1)，M 2(5，4)与曲线C 的位置关系； (2)已知点M 3(6，a )在曲线C 上，求a 的值.解 (1)把点M 1的坐标(0，1)代入方程组，得：⎩⎨⎧0＝3t ，1＝2t 2＋1 解得：t ＝0.∴点M 1在曲线C 上.同理，可知点M 2不在曲线C 上. (2)∵点M 3(6，a )在曲线C 上，∴⎩⎨⎧6＝3t ，a ＝2t 2＋1，解得：t ＝2，a ＝9.∴a ＝9. 2.将下列曲线的参数方程化为普通方程，并指明曲线的类型. (1)⎩⎨⎧x ＝a cos θ，y ＝b sin θ(θ为参数，a 、b 为常数，且a >b >0)；(2)⎩⎪⎨⎪⎧x ＝a cos φ，y ＝b tan φ(φ为参数，a 、b 为正常数)； (3)⎩⎨⎧x ＝2pt 2，y ＝2pt(t 为参数，p 为正常数). 解 (1)由cos 2θ＋sin 2θ＝1，得x 2a 2＋y 2b2＝1 (a >b >0)，它表示的曲线是椭圆.(2)由已知1cos φ＝x a ，tan φ＝yb ，由1cos 2φ＝1＋tan 2φ，有x 2a 2－y 2b 2＝1，它表示的曲线是双曲线. (3)由已知t ＝y 2p ，代入x ＝2pt 2得y 24p 2·2p ＝x ， 即y 2＝2px 它表示的曲线是抛物线.3.两曲线的参数方程为⎩⎨⎧x ＝3cos θ，y ＝4sin θ (θ为参数)和⎩⎨⎧x ＝－3t 2，y ＝－4t 2(t 为参数)，求它们的交点坐标.解 将两曲线的参数方程化为普通方程， 得x 29＋y 216＝1，y ＝43x (x ≤0).联立解得它们的交点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫－322，－22. 4.△ABC 是圆x 2＋y 2＝r 2的内接三角形，已知A (r ，0)为定点，∠BAC ＝60°，求△ABC 的重心G 的轨迹方程.解 因为∠BAC ＝60°，所以∠BOC ＝120°，于是可设B (r cos θ，r sin θ)，C (r cos(θ＋120°)，r sin(θ＋120°))，重心坐标为(x ，y )， 则⎩⎪⎨⎪⎧x ＝r ＋r cos θ＋r cos （θ＋120°）3，y ＝r sin θ＋r sin （θ＋120°）3，消去θ得(3x －r )2＋(3y )2＝r 2，所以△ABC 重心G 的轨迹方程为⎝ ⎛⎭⎪⎫x －r 32＋y 2＝r29 (0≤x ≤r 2).[P 28思考交流]把引例中求出的铅球运动轨迹的参数方程消去参数t 后，再将所得方程与原方程进行比较，体会参数方程的作用.答⎩⎨⎧x ＝v 0t cos α，y ＝h ＋v 0t sin α－12gt2其中v 0、α，h 和g 都是常数.这里的g 是重力加速度.h 是运动员出手时铅球的高度.消去参数t 整理得：y ＝－g2v 20cos 2αx 2＋x ·tan x ＋h .参数方程的作用：当参数t 每取一个允许值，就可以相应地确定一个x 值和一个y 值.这样铅球的位置就相应的确定了.这样建立的t 与x ，y 之间的关系不仅方便，而且清晰地反映了变数的实际意义.如x ＝v 0t cos α反映了铅球飞行的水平距离. y ＝h ＋v 0t sin α－12gt 2反映了铅球的高度与飞行时间的关系.总之它是物理学中弹道曲线的方程. 【规律方法总结】1.求轨迹的参数方程，可以通过对具体问题的分析，选择恰当的参数，建立参数方程.2.曲线的参数方程和普通方程可以互化，两种方程具有等价性.3.曲线上点的坐标如果需要单独表示，使用参数方程比较方便.一、选择题1.下列各点在方程⎩⎨⎧x ＝sin θ，y ＝cos 2θ(θ是参数)所表示曲线上的点是( )A.(2，－7)B.⎝ ⎛⎭⎪⎫13，23 C.⎝ ⎛⎭⎪⎫12，12 D.(1，0)解析 由已知可得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝sin θ，y ＝1－2sin 2θ，将选项代入上式即可.∴x ＝12时，y ＝12.故应选C. 答案 C2.将参数方程⎩⎨⎧x ＝2＋sin 2θ，y ＝sin 2θ(θ为参数)化为普通方程为( ) A.y ＝x －2 B.y ＝x ＋2C.y ＝x －2 (2≤x ≤3)D.y ＝x ＋2 (0≤y ≤1)解析 将参数方程中的θ消去，得y ＝x －2.又x ∈[2，3]，故选C. 答案 C3.曲线(x －1)2＋y 2＝4上的点可以表示为( ) A.(－1＋cos θ，sin θ) B.(1＋sin θ，cos θ) C.(－1＋2cos θ，2sin θ)D.(1＋2cos θ，2sin θ)解析 可设⎩⎪⎨⎪⎧x －1＝2cos θ，y ＝2sin θ，∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋2cos θ，y ＝2sin θ，∴曲线x 的点可表示为(1＋2cos θ，2sin θ). 答案 D4.直线l 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝a ＋t ，y ＝b ＋t (t 为参数)，l 上的点P 1对应的参数是t 1，则点P 1与P (a ，b )之间的距离为( ) A.|t 1| B.2|t 1| C.2|t 1|D.22|t 1|解析 点P 1对应的点的坐标为(a ＋t 1，b ＋t 1)， ∴|PP 1|＝（a ＋t 1－a ）2＋（b ＋t 1－b ）2＝2t 21＝2|t 1|.答案 C5.参数方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t 2＋2t ＋3y ＝t 2＋2t ＋2表示的曲线是( ) A.双曲线x 2－y 2＝1 B.双曲线x 2－y 2＝1的右支 C.双曲线x 2－y 2＝1，但x ≥0，y ≥0 D.以上结论都不对解析 平方相减得x 2－y 2＝1，但x ≥2，y ≥1. 答案 D 二、填空题6.已知曲线⎩⎨⎧x ＝2sin θ＋1，y ＝sin θ＋3(θ为参数，0≤θ＜2π).下列各点A (1，3)，B (2，2)，C (－3，5)，其中在曲线上的点是________.解析 曲线方程可化为x －2y ＋5＝0，将A ，B ，C 三点坐标代入曲线的参数方程可知只有A 符合. 答案 A7.物体从高处以初速度v 0(m/s)沿水平方向抛出，以抛出点为原点，水平直线为x 轴，物体所经路线的参数方程为________.解析 设物体抛出的时刻为0 s ，在时刻t s 时其坐标为M (x ，y )，由于物体作平抛运动，依题意，得⎩⎨⎧x ＝v 0t ，y ＝－12gt 2，这就是物体所经路线的参数方程. 答案 ⎩⎪⎨⎪⎧x ＝v 0t ，y ＝－12gt 2(t 为参数)8.以过点A (0，4)的直线的斜率k 为参数，将方程4x 2＋y 2＝16化成参数方程是__________.解析 设直线为y ＝kx ＋4，代入4x 2＋y 2＝16化简即可.答案⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－8k 4＋k 2，y ＝16－4k 24＋k 29.将参数方程⎩⎨⎧x ＝sin θ＋cos θy ＝sin θcos θ化成普通方程为__________.解析 应用三角变形消去θ，同时注意到|x |≤ 2. 答案 x 2＝1＋2y (|x |≤2) 三、解答题10.已知曲线C ：⎩⎨⎧x ＝cos θ，y ＝－1＋sin θ，如果曲线C 与直线x ＋y ＋a ＝0有公共点，求实数a 的取值范围. 解 ∵⎩⎨⎧x ＝cos θ，y ＝－1＋sin θ，∴x 2＋(y ＋1)2＝1.圆与直线有公共点，d ＝|0－1＋a |2≤1，解得1－2≤a ≤1＋ 2.11.已知圆的极坐标方程为ρ2－42ρcos ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π4＋6＝0.(1)将极坐标方程化为普通方程，并选择恰当的参数写出它的参数方程； (2)若点P (x ，y )在该圆上，求x ＋y 的最大值和最小值.解 (1)由ρ2－42ρcos ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π4＋6＝0得ρ2－4ρcos θ－4ρsin θ＋6＝0，即x 2＋y 2－4x －4y ＋6＝0为所求， 由圆的标准方程(x －2)2＋(y －2)2＝2， 令x －2＝2cos α，y －2＝2sin α，得圆的参数方程为⎩⎨⎧x ＝2＋2cos α，y ＝2＋2sin α(α为参数).(2)由上述可知x ＋y ＝4＋2(cos α＋sin α)＝4＋2sin(α＋π4)， 故x ＋y 的最大值为6，最小值为2.12.如图所示，OA 是圆C 的直径，且OA ＝2a ，射线OB 与圆交于Q 点，和经过A 点的切线交于B 点，已知动点P 满足PQ ⊥OA 于D ，PB ∥OA ，试求点P 的轨迹方程. 解 设点P 坐标为(x ，y )， 则B (2a ，y )，D (x ，0). 在Rt △OAB 中，tan θ＝AB OA ， ∴AB ＝OA ·tan θ，即y ＝2a ·tan θ. 在Rt △OAQ 中，cos θ＝OQ OA ，∴OQ ＝OA ·cos θ，在Rt △OQD 中，cos θ＝ODOQ ， ∴OD ＝OQ ·cos θ，∴OD ＝OA ·cos 2θ，即x ＝2a · cos 2θ.即有⎩⎨⎧x ＝2a cos 2θ，y ＝2a tan θθ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，π2，化为普通方程为：xy 2＋4a 2x ＝8a 3.13.在长为a 的线段AB 上有一个动点E ，在AB 的同侧以AE 和EB 为斜边，分别作等腰直角三角形AEC 和EBD ，点P 是CD 的定比分点，且CP ∶PD ＝2∶1，求点P 的轨迹.解 建立如图所示坐标系(设C ，D 在x 轴上方).设E (t ，0)(t 为参数，t ∈[0，a ])，B (a ，0)，则点C 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫t 2，t 2，点D 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋t 2，a －t 2.∵CP ∶PD ＝2∶1，即λ＝2.由定比分点公式，有⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t 2＋2·12（a ＋t ）1＋2＝16（2a ＋3t ），y ＝t 2＋2·12（a －t ）1＋2＝16（2a －t ）t ∈[0，a ]，这就是点P 运动轨迹的参数方程.。
三维参数方程与普通方程的互化
三维参数方程与普通方程的互化三维参数方程与普通方程的互化是数学中的一个重要概念，它们互为表示同一几何图形的不同方式。
三维参数方程由一组关于参数的方程组成，可以将三维空间中的点表示为参数的函数。
而普通方程则是直接将点的坐标表示为未知量的函数。
本文将从互化的定义、互化的方法以及互化的应用等方面进行探讨，以加深对这一概念的理解。
首先是互化的定义。
三维参数方程与普通方程之间的互化是指将一个方程转化为另一个方程的过程。
具体而言，对于给定的三维参数方程，可以利用参数的关系式将其转化为普通方程；反之，对于给定的普通方程，也可以通过消参求解的方法将其转化为参数方程。
这种互化的目的是为了更好地描述几何图形的性质和特征，并方便进行计算和推导。
接下来是互化的方法。
对三维参数方程转化为普通方程，最常用的方法是通过将参数表示为已知量的函数，并进行消参求解。
例如，对于参数方程：x=f(u,v)y=g(u,v)z=h(u,v)可以将其中的参数u和v表示为已知变量x、y和z的函数，即求解u=u(x,y,z)和v=v(x,y,z)。
进一步将这两个方程代入参数方程，则可以得到普通方程。
反过来，将普通方程转化为参数方程，则需要通过参数化的方法进行求解。
对于给定的普通方程：F(x,y,z)=0其中F是一个关于x、y和z的函数，可以利用参数化的方法将x、y和z表示为参数的函数。
具体而言，可以取一个参数t，并令x=x(t)，y=y(t)和z=z(t)，然后将这三个方程代入F(x,y,z)=0中，最终可以得到关于参数t的方程组。
进一步求解这个方程组，就可以得到参数方程。
最后是互化的应用。
三维参数方程与普通方程之间的互化在几何学、物理学和工程学中都有广泛的应用。
在几何学中，互化可以用来描述和研究几何图形的性质，如曲线的切线、曲率和长度等。
在物理学中，互化可以用来描述物体在运动中的位置、速度和加速度等。
在工程学中，互化可以用来设计和分析物体的形状和结构，如建筑物、汽车和机械设备等。