《相似三角形应用举例》第3课时 公开课教学PPT课件【人教版数学九年级下册】
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最新人教版九年级数学下册《第3课时 两边成比例且夹角相等的两个三角形相似》优质教学课件
求证：△ABC ∽△AED. 证明：∵ AB ·AD = AE·AC，
∴ AB AC . AE AD
又∵ ∠DAB =∠CAE，
A D
∴∠ DAB +∠BAE =∠CAE +∠BAE，
即∠DAE =∠BAC．
E
∴ △ABC ∽△AED.
B
C
拓展提升
6. 如图，已知 △ABC 中，D 为边 AC 上一点，P 为边
∠A = 120°，AB = 7 cm，AC = 14 cm， ∠A′ = 120°，A′B′ = 3 cm ，A′C′ = 6 cm．
解：∵ AB 7， AC 14 = 7 , ∴ AB AC .
A' B' 3 A'C' 6 3
A' B' A' C'
又 ∠A′ = ∠A，∴△ABC∽△A′B′C′.
两边成比例且夹角相等的两个三角形相似． A'
符号语言：
在 △ABC 和 △A′B′C′ 中，
∵ AB AC ，∠A =∠A′，
B'
A' B' A' C'
A C'
∴ △ABC ∽ △A′B′C′ .
B
C
思考： 对于△ABC和 △A′B′C′，如果 AB AC ，∠C = A' B' A' C'
∠C′，这两个三角形一定会相似吗？试着画画看.
练一练
1. 在 △ABC 和 △DEF 中，∠C =∠F=70°，AC = 3.5 cm，
BC = 2.5 cm，DF =2.1 cm，EF =1.5 cm.
C
求证：△DEF∽△ABC.
部审人教版九年级数学下册ppt课件27.2.3 相似三角形应用举例》两套
分析：如图，设观察者眼睛的位置 (视点) 为点 F，画 出观察者的水平视线 FG，它交 AB，CD 于点 H，K. 视线 FA，FG 的夹角 ∠AFH 是观察点 A 的仰角. 类似 地，∠CFK 是观察点 C 时的仰角，由于树的遮挡，区 域Ⅰ和Ⅱ都在观察者看不到的区域 (盲区) 之内. 再往 前走就根本看不到 C 点了.
在同一时刻下地面上的影长即
可，则下面能用来求AB长的等
式是
(C)
A．AB EF DE BC
C．AB BC DE EF
B．AB DE EF BC
D．AB AC DE DF
2. 如图，九年级某班数学兴趣小组的同学想利用所学 数学知识测量学校旗杆的高度，当身高 1.6 米的楚 阳同学站在 C 处时，他头顶端的影子正好与旗杆 顶端的影子重合，同一时刻，其他成员测得 AC = 2 米，AB = 10 米，则旗杆的高度是___8___米．
当堂练习
1. 小明身高 1.5 米，在操场的影长为 2 米，同时测得
教学大楼在操场的影长为 60 米，则教学大楼的高
度应为
( A)
A. 45米 B. 40米 C. 90米 D. 80米
2. 小刚身高 1.7 m，测得他站立在阳光下的影子长为 0.85 m，紧接着他把手臂竖直举起，测得影子长 为 1.1 m，那么小刚举起的手臂超出头顶 (A)
例1 如图，木杆 EF 长 2 m，它的影长 FD 为3m，测 得 OA 为 201 m，求金字塔的高度 BO.
解：太阳光是平行的光线，因此 ∠BAO =∠EDF.
又 ∠怎AO样B测=∠出DFE = 90°，∴△ABO ∽△DEF.
∴ BOOA的O长A？， EF FD
∴ BO OA EF 201 2
最新人教版九年级数学下册27.2.3：相似三角形的应用举例课件
相交于点C。此时，测得DE 、 BC、BD就可以求两岸间
的大致距离AB了。
A
此时如果测得DE＝120米， BC＝60米，BD＝50米，求
两岸间的大致距离AB． B
请同学们自已解答
并进行交流
D
C
E
例4:为了估算河的宽度,我们可以在河对岸 选定一个目标点P,在近岸取点Q和S,使点P、 Q、S共线且直线PS与河垂直，接着在过点 S且与PS垂直的直线a上选择适当的点T,确 定PT与过点Q且垂直PS的直线b的交点R.如 果测得QS=45m,ST=90m,QR=60m, 求河的宽度PQ.
分别根据上述两种不同方 A
法求出树高（精确到0.1M）
C
请你自己写出求解过程，
并与同伴探讨，还有其
B
他测量树高的方法吗？
D
E
5.小华为了测量所住楼房的高度，他请来 同学帮忙，测量了同一时刻他自己的影长 和楼房的影长分别是0.5米和15米．已知小 华的身高为1.6米，那么他所住楼房的高度 为 米．
6.如图，一条河的两岸有一段是平行的，在
A D
B
CE F
7.教学楼旁边有一棵树，数学兴趣小组的同 学们想利用树影测量树高。课外活动时在阳 光下他们测得一根长为1米的竹竿的影长是 0.9米，但当他们马上测量树高时，发现树的 影子不全落在地面上，有一部分影子落在教 学楼的墙壁上。他们测得落在地面的影长2.7 米，落在墙壁上的影长1.2米，请你和他们一 起算一下，树高多少米？
P
Q Rb
a
S
T
P
例题
求河宽?
45m
解：∵∠PQR=∠PST= 90° ∠P=∠P
∴ △PQR ∽△PST
60m QR
27.2.3 相似三角形应用举例 课件(共36张PPT) 2024-2025学年数学人教版九年级下册
∴△ABO ∽△DEF.
怎样测出
OA 的长？
合作探究
归纳 测高方法一：
1.太阳离我们非常远，因此可以把太阳光近似地看
成平行光线
2.测量不能到达顶部的物体的高度，可以用“在同一时刻物
高与影长成正比例”的原理解决.
表达式：物1高 ：物2高 = 影1长 ：影2长
3.此方法要求被测物体的底部可以到达（或可以间接求出其影长）
3.测量方法：如图，观测者的眼睛C必须与标杆的顶
端D和物体的顶端A“三点共线”，标杆与地面要
垂直，测量出标杆的高度DF， 人眼离地面的高度
CE，人与标杆的距离EF，标杆与
物体的距离FG.
利用相似三角形 “对应边的比相等”的性质求物体
的高度AG.
合作探究
如图，左、右并排的两棵大树的高分别是 AB =8 m 和 CD = 12 m，两树
∽△
′ ′ <
>，
/m
′
∴ ′ ′
>
m
<
=
>，
/m
<
又
<
> = <
m
>米，
/m
= − = − = <
>
m
<
>米，
/m
< ′ ′ = = . <
>
m
>米，
/m
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∴
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m
.
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/m
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∴ ′ = . <
>
m
<
怎样测出
OA 的长？
合作探究
归纳 测高方法一：
1.太阳离我们非常远，因此可以把太阳光近似地看
成平行光线
2.测量不能到达顶部的物体的高度，可以用“在同一时刻物
高与影长成正比例”的原理解决.
表达式：物1高 ：物2高 = 影1长 ：影2长
3.此方法要求被测物体的底部可以到达（或可以间接求出其影长）
3.测量方法：如图，观测者的眼睛C必须与标杆的顶
端D和物体的顶端A“三点共线”，标杆与地面要
垂直，测量出标杆的高度DF， 人眼离地面的高度
CE，人与标杆的距离EF，标杆与
物体的距离FG.
利用相似三角形 “对应边的比相等”的性质求物体
的高度AG.
合作探究
如图，左、右并排的两棵大树的高分别是 AB =8 m 和 CD = 12 m，两树
∽△
′ ′ <
>，
/m
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∴ ′ ′
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∴ ′ = . <
>
m
<
九年级数学下册相似三角形27.2.3相似三角形应用举例课件(新版)新人教版
1.观察者眼睛的位置称为 视点 ,由视点出发的线称为 视线 ;在 进行测量时,从下向上看,视线与水平线的夹角叫做 仰角 . 2.如图是小明在同一地点观察左、右并排的两棵大树AB和CD的 F 示意图,根据图中的条件回答下列问题:视点是点 ,视线 是 FA , FC ,仰角分别是 ∠AFH ,∠CFK .
解析
������������ 1 .5
关闭
������������
������������
答案
1
3
4
5
3.如图,A,B两处被池塘隔开,在AB外取一点C,连接AC,BC,在AC上取 点M,使AM=3MC.作MN∥AB交BC于点N,量得MN=3.8 m,则AB的长 为 .
关闭
△CMN∽△CAB,
������������ ������������
关闭
A
答案
1
2
3
4
5
2.某校数学兴趣小组为测量学校旗杆AC的高度,在点F处竖立一根 长为1.5 m的标杆DF,如图所示,量出DF的影子EF的长度为1 m,再 量出旗杆AC的影子BC的长度为6 m,那么旗杆AC的高度为( ) A.6 m B.7 m C.8.5 m D.9 m
关闭
易证△ABC∽△DEF, 所以������������ = ������������ , 即6 = 1, D AC=9 m. 所以
=
������������ ������������
= ,AB=4MN=4× 3.8=15.2(m).
1 4
关闭
15.2 m
解析 答案
1
2
3
4
5
4.
如图是小玲设计用手电来测量某古城墙高度的示意图.在点P处放一水平的平面镜,光线从点 A出发经平面镜反射后,刚好射到古城墙CD的顶端C处.已知AB⊥BD,CD⊥BD,且测得AB=1.4 m,BP=2.1 m,PD=12 m,则该古城墙CD的高度是 m.
解析
������������ 1 .5
关闭
������������
������������
答案
1
3
4
5
3.如图,A,B两处被池塘隔开,在AB外取一点C,连接AC,BC,在AC上取 点M,使AM=3MC.作MN∥AB交BC于点N,量得MN=3.8 m,则AB的长 为 .
关闭
△CMN∽△CAB,
������������ ������������
关闭
A
答案
1
2
3
4
5
2.某校数学兴趣小组为测量学校旗杆AC的高度,在点F处竖立一根 长为1.5 m的标杆DF,如图所示,量出DF的影子EF的长度为1 m,再 量出旗杆AC的影子BC的长度为6 m,那么旗杆AC的高度为( ) A.6 m B.7 m C.8.5 m D.9 m
关闭
易证△ABC∽△DEF, 所以������������ = ������������ , 即6 = 1, D AC=9 m. 所以
=
������������ ������������
= ,AB=4MN=4× 3.8=15.2(m).
1 4
关闭
15.2 m
解析 答案
1
2
3
4
5
4.
如图是小玲设计用手电来测量某古城墙高度的示意图.在点P处放一水平的平面镜,光线从点 A出发经平面镜反射后,刚好射到古城墙CD的顶端C处.已知AB⊥BD,CD⊥BD,且测得AB=1.4 m,BP=2.1 m,PD=12 m,则该古城墙CD的高度是 m.
九年级数学下册相似相似三角形应用举例课件新人教版
DC
60
因此河面宽度为100米。
课堂小结
谈谈本节课你有哪些收获．
利用自然界的太阳光、利用人类的视线，再借助 于一些数学知识，解决实际中存在的问题，这是 学习数学的目的。本节中，我们利用三角形的相 似，可以解决一些不能直接测量的物体的高度或 宽度的问题．在天文测量中，也大量运用了相似 三角形，课后可以搜索一些资料，共同分享一下 各自寻找的资料。
分析：设河宽PQ长为x m ， 由于此种测量方法构造了三 角形中的平行截线，故可得 到相似三角形，因此有， 即 x 60 ．再解x的方程 可求x 出 4河5 宽90．
解：Q PQR PST 90 , P P, PQR : PST , PQ QR ,
PS ST 即 PQ QR , PQ 60 ,
在古希腊，有一位伟大的科学家叫泰勒斯．一天，希腊国王阿 马西斯对他说：“听说你什么都知道，那就请你测量一下埃及 金字塔的高度吧！”，这在当时条件下是个大难题，因为是很 难爬到塔顶的．你知道泰勒斯是怎样测量大金字塔的高度的吗？
旗杆的顶端、金字塔是很 难爬不上去的！分组讨论， 借助什么手段可以测量出
它们的高度。
课堂小结：
1、相似三角形的应用主要有如下两个方面 （1） 测高(不能直接使用皮尺或刻度尺量的) （2） 测距(不能直接测量的两点间的距离)
2、测高的方法 测量不能到达顶部的物体的高度,通常用“在同
一
时刻物高与影长的比例”的原理解决
3、测距的方法 测量不能到达两点间的距离,常构造相似三角形 求解
★★★感谢您的下载★★★
PQ QS ST PQ 45 90 PQ 90 (PQ 45) 60, 解得 PQ 90. 因此河宽大约为90m。
2、如图，测得BD=120 m，DC=60 m，EC=50 m， 求河宽AB。
下册相似三角形应用举例人教版九年级数学全一册完美课件
解得 CD＝10.5(m)，故选 B．
图27－2－49
下册 27.2.3 相似三角形应用举例-2020秋人教版九 年级数 学全一 册课件 (共26 张PPT)
下册 27.2.3 相似三角形应用举例-2020秋人教版九 年级数 学全一 册课件 (共26 张PPT)
3．[2018·绍兴]学校门口的栏杆如图 27－2－50 所示，栏杆从水平位置 BD 绕 O 点旋 转到 AC 位置，已知 AB⊥BD，CD⊥BD，垂足分别为 B，D，AO＝4 m，AB＝1.6 m， CO＝1 m，则栏杆 C 端应下降的垂直距离 CD 为( C )
若 AF∶AC＝1∶3，则这块木板截取正方形 CDEF 后，剩余部分的面积为( D )
A．200 cm2
B．170 cm2
C．150 cm2
D．100 cm2
图27－2－55
【解析】 设 AF＝x，则 AC＝3x， ∵四边形 CDEF 为正方形， ∴EF＝CF＝2x，EF∥BC， ∴△AEF∽△ABC，∴EBFC＝AAFC，∴BC＝6x， 在 Rt△ABC 中，AB＝ （3x）2＋（6x）2＝3 5x， ∴3 5x＝30，解得 x＝2 5， ∴AC＝6 5，BC＝12 5， ∴剩余部分的面积＝12×6 5×12 5－(4 5)2＝100(cm2)．
∵AEFF＝01.4，∴AF＝E0.F4＝11.5(m)，
∴AB＝AF＋BF＝AF＋CD＝11.5＋0.3＝11.8(m)，
即树高为 11.8 m．故选 C.
第9题答图
10．[2018·陕西]周末，小华和小亮想用所学的数学知识测量家门前小河的宽．测量
时，他们选择了河对岸岸边的一棵大树，将其底部作为点 A，在他们所在的岸边选
(2)当小华走到路灯 B 的底部时，他在路灯 A 下的影长
人教版数学九年级下册《 两边成比例且夹角相等的两个三角形相似》PPT课件
探究新知 归纳： 由此得到利用两边和夹角来判定三角形相似的定理：
两边成比例且夹角相等的两个三角形相似．
符号语言：
∵
AB A' B'
AC A' C
'
，∠A=∠A′，
∴ △ABC ∽ △A′B′C′ . B'
A' A
C' B
C
探究新知
【思考】对于△ABC和 △A′B′C′，如果 A′B′ : AB= A′C′ : AC. ∠C=∠C′， 这两个三角形一定会相似吗？
B
∴ DF EF 3 .
F
AC BC 5
又 ∵∠C =∠F = 70°，∴△DEF∽△ABC. D
E
例 2 如图，△ABC 与 △ADE 都是等腰三角形，AD =
AE，AB = AC，∠DAB =∠CAE. 求证：△ABC∽△ADE.
AB AC . 求证：△ABC∽△A′B′C′. A' B' A' C'
证明：在 △A′B′C′ 的边 A′B′ 上取点 D， 使 A′D = AB．过点 D 作 DE∥B′C′， D
交 A′C′ 于点 E.
B'
∵ DE∥B′C′，∴ △A′DE∽△A′B′C′.
A'
E A C'
∴ A' D A' E . A' B' A' C'
巩固练习
已知∠A=40°，AB=8，AC=15， ∠A' =40°，A'B' =16， A'C' =30 ，判断△ABC与△A'B'C'是否相似，并说明理 由.
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问题3 据传说，古希腊数学家、天文学家泰勒斯曾利用相似三角 形的原理，在金字塔影子的顶部立一根木杆，借助太阳光线构成 两个相似三角形，来测量金字塔的高度.
二、合作交流，探究新知
分析： 根据太阳光的光线是互相平行的特点，可知在同一时刻的阳光下， 竖直的两个物体的影子互相平行，从而构造相似三角形，再利用相似三 角形的判定和性质，根据已知条件，求出金字塔的高度.
三、运用新知
追问：你还可以用什么方法来测量河的宽度？ 方法不唯一，如图构造相似三角形的方法也可以测量河宽.
三、运用新知
四、巩固新知
1. 如图，小东用长为 3.2 m 的竹竿做测量工具测量学校旗杆的高度，
移动竹竿，使竹竿、旗杆顶端的影子恰好落在地面的同一点.此时，竹
竿与这一点相距 8 m、与旗杆相距 22 m，则旗杆的高为（ ）
追问：你还可以用什么方法来测量金字塔的高度？
三、运用新知
例1 : 如图,为了估算河的宽度,我们可以在河对岸选定一个目标点P ,在近岸取 点 Q 和 S ,使点 P、Q、S共线且直线 PS 与河垂直,接着在过点 S 且与 PS 垂直 的直线 a 上选择适当的点T ,确定 PT 与过点 Q 且垂直 PS 的直线 b 的交点 R . 如果测得 QS = 45 m, ST = 90 m, QR = 60 m, 求河的宽度 PQ.
再见
五、归纳小结
说说你在本节课的收获： 1. 测量不能到达顶部的物体的高度，通常用“在同一时刻物高与 影长成比例”的原理来解决；测量不可到达两点间的距离，常构 成相似三角形求解. 2. 数学建模的关键是把生活中的实际问题转化为数学问题，转化 的方法之一是先根据题设中的已知量与未知量画出数学示意图， 将问题中的数量关系与位置关系呈现出来，进而根据几何图形的 知识形成解题思路和方法.
A. 12m
B. 10m C. 8m
D. 7m
四、巩固新知
2. 如图，小明在 A 时测得某树的影长为 2 m，B 时又测得该树的影 长为 8 m，若两次日照的光线互相垂直，则树的高度为_____m.
四、巩固新知
3. 如图，一条河的两岸有一段是平行的，在河的南岸边每隔 5 米有一棵树，
在北岸边每隔 50 米有一根电线杆.小丽站在离南岸边 15 米的点处看北岸，
第二十七章 相似
27.2 相似三角形
第 3 课时
一、提出问题，思考引入
问题1 ⑴判定两个三角形相似有哪些方法？ ⑵相似三角形有什么性质？ 问题2 同学们，你们知道世界现存规模最大的金字塔位于哪个国家吗？ 这个金字塔的名字是什么？ 追问：你知道泰勒斯是怎样测量大金字塔的高度的吗？
二、合作交流，探究新知
发现北岸相邻的两根电线杆恰好被南岸的两棵树遮住，并且在这两棵树之
间还有三棵. 小明想利用树影测量树高，他在某一时刻测得长为 1 m 的竹竿影长 0.9 m，但当他马上测量树影时，因树靠近一幢建筑物，影子不全落在 地面上，有一部分影子在墙上，如图，他先测得留在墙上的影高 1.2 m， 又测得地面部分的影长 2.7 m，他求得的树高是多少？
二、合作交流，探究新知
分析： 根据太阳光的光线是互相平行的特点，可知在同一时刻的阳光下， 竖直的两个物体的影子互相平行，从而构造相似三角形，再利用相似三 角形的判定和性质，根据已知条件，求出金字塔的高度.
三、运用新知
追问：你还可以用什么方法来测量河的宽度？ 方法不唯一，如图构造相似三角形的方法也可以测量河宽.
三、运用新知
四、巩固新知
1. 如图，小东用长为 3.2 m 的竹竿做测量工具测量学校旗杆的高度，
移动竹竿，使竹竿、旗杆顶端的影子恰好落在地面的同一点.此时，竹
竿与这一点相距 8 m、与旗杆相距 22 m，则旗杆的高为（ ）
追问：你还可以用什么方法来测量金字塔的高度？
三、运用新知
例1 : 如图,为了估算河的宽度,我们可以在河对岸选定一个目标点P ,在近岸取 点 Q 和 S ,使点 P、Q、S共线且直线 PS 与河垂直,接着在过点 S 且与 PS 垂直 的直线 a 上选择适当的点T ,确定 PT 与过点 Q 且垂直 PS 的直线 b 的交点 R . 如果测得 QS = 45 m, ST = 90 m, QR = 60 m, 求河的宽度 PQ.
再见
五、归纳小结
说说你在本节课的收获： 1. 测量不能到达顶部的物体的高度，通常用“在同一时刻物高与 影长成比例”的原理来解决；测量不可到达两点间的距离，常构 成相似三角形求解. 2. 数学建模的关键是把生活中的实际问题转化为数学问题，转化 的方法之一是先根据题设中的已知量与未知量画出数学示意图， 将问题中的数量关系与位置关系呈现出来，进而根据几何图形的 知识形成解题思路和方法.
A. 12m
B. 10m C. 8m
D. 7m
四、巩固新知
2. 如图，小明在 A 时测得某树的影长为 2 m，B 时又测得该树的影 长为 8 m，若两次日照的光线互相垂直，则树的高度为_____m.
四、巩固新知
3. 如图，一条河的两岸有一段是平行的，在河的南岸边每隔 5 米有一棵树，
在北岸边每隔 50 米有一根电线杆.小丽站在离南岸边 15 米的点处看北岸，
第二十七章 相似
27.2 相似三角形
第 3 课时
一、提出问题，思考引入
问题1 ⑴判定两个三角形相似有哪些方法？ ⑵相似三角形有什么性质？ 问题2 同学们，你们知道世界现存规模最大的金字塔位于哪个国家吗？ 这个金字塔的名字是什么？ 追问：你知道泰勒斯是怎样测量大金字塔的高度的吗？
二、合作交流，探究新知
发现北岸相邻的两根电线杆恰好被南岸的两棵树遮住，并且在这两棵树之
间还有三棵. 小明想利用树影测量树高，他在某一时刻测得长为 1 m 的竹竿影长 0.9 m，但当他马上测量树影时，因树靠近一幢建筑物，影子不全落在 地面上，有一部分影子在墙上，如图，他先测得留在墙上的影高 1.2 m， 又测得地面部分的影长 2.7 m，他求得的树高是多少？