高中数学 2.2.1椭圆及其标准方程(一) 新人教A版选修2-1
椭圆标准方程课件-高二上学期数学人教A版选修2-1
思考：当椭圆的焦点在y轴上时,它的标准方程是怎样 的呢
椭圆的标准方程
y2 a2
x2 b2
1
(a b 0)
它表示:
① 椭圆的焦点在y轴
② 焦点是F1（0，-c）、 F2（0，c） ③ c2= a2 - b2
y
F2
P
ox
F1
填表
标准方程
x2 + y2 = 1a > b > 0 y2 + x2 = 1a > b > 0
因此, 所求椭圆的标准方程为x2 y2 1 .
10 6
求椭圆标准方程的方法： （1）定义法； （2）待定系数法； 注意先判断焦点的位置. 探究8、本节课你都学到了哪些知识？
1、椭圆的标准方程
标准方程
x2 + y2 = 1a > b > 0 y2 + x2 = 1a > b > 0
a2 b2
a2 b2
a2 b2
a2 b2
y
不
图形
同
点
y P
F1 O F2
x
F2 P
O
x
F1
焦点坐标
F1 -c , 0，F2 c , 0
F1 0,- c，F2 0,c
相
定义
平面内到两个定点F1，F2的距离的和等 于常数（大于F1F2）的点的轨迹
同 点
a、b、c 的关系
a2 = b2 + c2
焦点位置的判断 分母哪个大，焦点就在哪个轴上
并且经过点
, 求它的标准方程.
解： 由椭圆的定义知
2a ( 5 2)2 ( 3)2 ( 5 2)2 ( 3)2 2 10
高中数学 2.2.1 椭圆及其标准方程试题 新人教A版选修21
2.2.1椭圆及其标准方程一、选择题1．【题文】已知椭圆221102x y m m +=--，焦点在y 轴上，若焦距为4，则m 等于（ ） A ．4 B ．5 C ．7 D ．82．【题文】已知椭圆221416x y +=上的一点P 到椭圆一个焦点的距离为5，则P 到另一个焦点的距离为 （ ）A ．2B ．3C ．5D ．73．【题文】设()14,0F -，()24,0F 为定点，动点M 满足128MF MF +=，则动点M 的轨迹是 （ ）A ．椭圆B ．直线C ．圆D ．线段4．【题文】已知△ABC 的顶点B 、C 在椭圆2213x y +=上，顶点A 是椭圆的一个焦点，且椭圆的另外一个焦点在BC 边上，则△ABC 的周长l 是 （ ）A ．．6 C ．．125．【题文】如果椭圆2218125x y +=上一点M 到此椭圆一个焦点1F 的距离为2，N 是1MF 的中点，O 是坐标原点，则ON 的长为 ( )A ．2B ．4C ．8D ．326．【题文】已知椭圆()22:1,2,04x C y A +=，点P 在椭圆C 上，且OP PA ⊥，其中O 为坐标原点，则点P 的坐标为（ ）A ．2,33⎛⎫±⎪ ⎪⎝⎭ B ．2,33⎛⎫± ⎪ ⎪⎝⎭C ．2,33⎛-± ⎝⎭D ．233⎛⎫-± ⎪ ⎪⎝⎭7．【题文】若△ABC 顶点B ，C 的坐标分别为()4,0-，()4,0，AC ，AB 边上的中线长之和为30，则△ABC 的重心G 的轨迹方程为 ( )A.()221010036x y y +=≠ B.()221010084x y y +=≠ C.()221010036x y x +=≠ D.()221010084x y x +=≠8．【题文】已知12,F F 为椭圆22:14x C y +=的左，右焦点，点P 在C 上，123PF PF =，则12cos F PF ∠等于 （ ） A ．34 B ．13- C ．35- D ．45二、填空题9．【题文】椭圆221167x y +=上横坐标为2的点到右焦点的距离为 .10．【题文】已知方程2213+2x y k k+=-表示椭圆，则k 的取值范围为 .11．【题文】椭圆221259x y +=的左焦点为1F ，P 为椭圆上的动点，M 是圆 (221x y +-=上的动点，则1PM PF +的最大值是 .三、解答题12．【题文】已知椭圆的中心在原点，两焦点1F ，2F 在x 轴上，且过点()4,3A -．若12F A F A ⊥，求椭圆的标准方程．13．【题文】求适合下列条件的椭圆的标准方程： (1)焦点在x 轴上，且经过点()2,0和点()0,1；(2)焦点在y 轴上，与y 轴的一个交点为()0,10P -，P 到距它较近的一个焦点的距 离等于2.14．【题文】已知定点1,02A ⎛⎫- ⎪⎝⎭，B 是圆C ：22142x y ⎛⎫-+= ⎪⎝⎭上的一个动点，线段AB 的垂直平分线交BC 于M 点，求动点M 的轨迹方程．2.2.1椭圆及其标准方程 参考答案及解析1. 【答案】D【解析】因为焦点在y 轴上，所以2100m m ->->，即610m <<，又 ()()22102m m ---=，所以8m =，故选D. 考点：椭圆的标准方程． 【题型】选择题 【难度】一般 2. 【答案】B【解析】设所求距离为d ，由题意得4a =．根据椭圆的定义得25253a d d a =+⇒=-=，故选B ．考点：椭圆的定义． 【题型】选择题 【难度】较易 3. 【答案】D【解析】动点M 满足128MF MF +=，128F F =，故动点M 的轨迹是线段12F F .考点：椭圆的定义. 【题型】选择题 【难度】一般 4. 【答案】C【解析】如图，设椭圆的另外一个焦点为F ，由椭圆的方程知a =ABC 的周长()()4l AB AC BC AB BF AC CF a =++=+++==．考点：椭圆的定义及其应用． 【题型】选择题 【难度】一般 5. 【答案】C【解析】∵椭圆方程为2218125x y +=，∴9a =，根据椭圆的定义得2=18216MF -=， 而ON 是△12MF F 的中位线，∴216822MF ON ===，故选C ． 考点：椭圆的定义． 【题型】选择题 【难度】一般 6. 【答案】A【解析】设(),P x y ，由OP PA ⊥，得OP PA ⊥，所以()()()2,2,20OP PA x y x y x x y ⋅=⋅--=--=，与椭圆方程2214x y +=联立，解得23x =（2x =舍去），此时3y =±，即点P 的坐标为2,33⎛± ⎝⎭，故选A.考点：椭圆上点的坐标. 【题型】选择题 【难度】一般 7. 【答案】B【解析】设AC 、AB 边上的中线分别为BD 、CE ，∵23BG BD =，23CG CE =， ∴()22302033BG CG BD CE +=+=⨯=（定值）. 因此，重心G 的轨迹为以B 、C 为焦点的椭圆，220a =，4c =，∴10a =，b =，可得椭圆的方程为22110084x y +=.∵当G 点在x 轴上时，A 、B 、C 三点共线，不能构成△ABC ，∴G 的纵坐标不能是0，可得△ABC 的重心G 的轨迹方程为()221010084x y y +=≠，故选B. 考点：椭圆的定义及标准方程. 【题型】选择题 【难度】较难 8. 【答案】B【解析】由题意可知，12F F ==12222344PF PF PF PF PF +=+==，211,3PF PF ∴==，(22222212121212311cos 22313PF PF F F F PF PF PF +-+-∴∠===-⋅⨯⨯，故选B ．考点：椭圆的定义，余弦定理． 【题型】选择题 【难度】较难 9. 【答案】2.5【解析】由椭圆方程可知22216,7,9,3a b c c ==∴=∴=，右焦点为()3,0，将2x =代入椭圆方程得2214y =，所以两点间距离为2.5d ==. 考点：椭圆的定义.【题型】填空题 【难度】一般10. 【答案】132,2k k k ⎧⎫-<<≠-⎨⎬⎩⎭且【解析】由椭圆的定义知30,20,32,k k k k +>⎧⎪->⎨⎪+≠-⎩解得132,2k k k ⎧⎫-<<≠-⎨⎬⎩⎭且. 考点：椭圆的定义. 【题型】填空题 【难度】一般 11. 【答案】17【解析】圆(221x y +-=的圆心为(0,C ，半径为1.由椭圆方程221259x y +=可知2225,9a b ==，所以5a =，左焦点为()14,0F -，右焦点为()24,0F .122221010PC PF PC a PF PC PF CF +=+-=+-≤+=，()()11maxmax 117PM PF PC PF +=++=.考点：椭圆的定义. 【题型】填空题 【难度】较难12. 【答案】2214015x y += 【解析】设椭圆的标准方程为()222210x y a b a b+=>>，焦点()1,0F c -，()2,0F c ．∵12F A F A ⊥，∴120F A F A ⋅=，而()14,3FA c =-+， ()24,3F A c =--， ∴()()24430c c -+--+=，∴225c =，即5c =.∴()15,0F -，()25,0F ．∵122a AF AF =+==∴a=，∴(22222515b a c =-=-=.∴所求椭圆的标准方程为2214015x y +=.考点：椭圆的标准方程. 【题型】解答题 【难度】一般13. 【答案】(1)2214x y +=(2)22110036y x += 【解析】(1)因为椭圆的焦点在x 轴上，所以可设它的标准方程为()222210x y a b a b+=>>. ∵椭圆经过点()2,0和()0,1，∴224,1a b ==，故所求椭圆的标准方程为2214x y +=. (2)∵椭圆的焦点在y 轴上，所以可设它的标准方程为()222210y x a b a b+=>>，∵()0,10P -在椭圆上，∴10a =.又∵P 到距它较近的一个焦点的距离等于2， ∴()102c ---=，故8c =，∴22236b a c =-=.∴所求椭圆的标准方程是22110036y x +=. 考点：椭圆的定义，椭圆的标准方程. 【题型】解答题 【难度】一般14. 【答案】22413y x += 【解析】∵线段AB 的垂直平分线交BC 于M 点，∴MB MA =，又∵2MB MC +=， ∴2MA MC AC +=>，点M 的轨迹是以A 、C 为焦点的椭圆， 此时122,2a c ==，∴1,a =234b =, ∴所求的点M 的轨迹方程是22413y x +=. 考点：椭圆的定义及动点的轨迹方程. 【题型】解答题 【难度】一般。
人教A版高中数学选修2-1课件2.2.1《椭圆的标准方程》(新).pptx
a4-2a2cx+c2x2 = a2x2-2a2cx+a2c2+a2y2 ,
整理得
（a2-c2)x2+a2y2 = a2(a2-c2) .
令a2 c2 b2
(1)(a2 c2 )(x c )2 a2 y2 2
两边同除以a
a
2b
2 (a2
2，
c2 )得b2
36 16
36 16
x2 y2
2.已知椭圆 a2
b2
1, (a b 0), F1, F2为
焦点， 过F1的直线与椭圆交于A、 、 B两点,
则ABF2的周长为 4a
操作型：
线段AB的两端点A、B分别在x轴、y 轴上滑动，|AB|=8，点M是AB上一 点，且|AM|=3，点M随线段AB的运 动而变化，求点M的轨迹方程。
A 5 B 7 C 8 D 10
C x2
2.椭圆
y2
1的焦距为2,则m的值等于
m4
A 5 B 3 C 3或5 D 以上都不对
二、填空题：
1.已知a+b=10,c= 2 5 ,则椭圆的标准 方程为_x__2_____y__2_____1_或 _____y__2_____x__2_____1____
两边同除以a 2b 2，
x2 得
y2
1
a2 b2
x2 y2 (1)焦点在x轴上 : 1(a b 0)
a2 b2 y2 x2 (2)焦点在y轴上 : 1 (a b 0)
椭圆方程a2有b2特点 系数为正加相连 分母较大焦点定 右边数“1”记心间
例1 求适合下列条件的椭圆的标
高中数学人教A版选修2-1之211椭圆及其标准方程1课件
本章知识结构
圆锥曲线的实际背景 椭圆
坐标系 标准方程 简单的几何性质
双曲线
抛物线
简单应用
a
2
c x
2
2
a y
2
2
a a
2
2
c
2
当点M运动到y轴正半轴上时
x
M
a
a2 c2
F1
O
y
c
F2
图
设 b2 a 2 c 2 即 b a 2 c 2
返回
由点（-3/2，5/2）到两个焦点的距离之和求 2a,再求b.可得方程。
2
2
y x 2）或：设方程为 2 2 1, a a 4 将点（-3/2，5/2）代入可求方程（待定系数法）
2
2
（解见课本）
变式练习：求适合条件的椭圆标准方程 x2 (1) y 2 1 ①a=4，b=1, 焦点在x轴上 16
2
2
根据所学知识完成下表
定 义 平面内到两个定点F1，F2的距离的和等 于常数（大于F1F2）的点的轨迹
y P
y F2
x
O
不 同 点
图
形
F1
O
P x
F2
F1
标准方程 焦点坐标 相 a、b、c 的关系 同 点 焦点位置的判断
x2 y2 + 2 = 1 a > b > 0 2 a b
F1 -c , 0，F2 c , 0
高二数学2.2.1椭圆及其标准方程教案1人教新课标A版选修21
P F 2F 1课题：2.2.1椭圆及其标准方程（1） 第 课时 总序第 个教案课型： 新授课 编写时时间： 年 月 日 执行时间： 年 月 日教学目标：◆ 知识与技能目标理解椭圆的概念，掌握椭圆的定义、会用椭圆的定义解决实际问题；理解椭圆标准方程的推导过程及化简无理方程的常用的方法；了解求椭圆的动点的伴随点的轨迹方程的一般方法．◆ 过程与方法目标通过作图展示与操作，必须让学生认同：圆、椭圆、双曲线和抛物线都是圆锥曲线，是因它们都是平面与圆锥曲面相截而得其名；已知几何图形建立直角坐标系的两个原则，及引入参量22b a c =-的意义，培养学生用对称的美学思维来体现数学的和谐美。
◆ 情感、态度与价值观目标会把几何问题化归成代数问题来分析，反过来会把代数问题转化为几何问题来思考，培养学生的数形结合的思想方法；培养学生的会从特殊性问题引申到一般性来研究，培养学生的辩证思维能力．批 注教学重点：理解椭圆的概念，掌握椭圆的定义、会用椭圆的定义解决实际问题。
教学难点：理解椭圆标准方程的推导过程及化简无理方程的常用的方法。
教学用具： 多媒体，三角板 教学方法： 推导，分析教学过程： 一、课前准备（预习教材P 38~ P 40）复习1：过两点(0,1),(2,0)的直线方程 ．复习2：方程22(3)(1)4x y -++= 表示以 为圆心, 为半径的 ．二、新课导学 ※ 学习探究取一条定长的细绳，把它的两端都固定在图板的同一个点处，套上铅笔，拉紧绳子，移动笔尖，这时笔尖画出的轨迹是一个 ．如果把细绳的两端拉开一段距离，分别固定在图板的两个点处，套上铅笔，拉紧绳子，移动笔尖，画出的轨迹是什么曲线？思考：移动的笔尖（动点）满足的几何条件是什么？经过观察后思考：在移动笔尖的过程中，细绳的 保持不变，即笔尖 等于常数．新知１： 我们把平面内与两个定点12,F F 的距离之和等于常数（大于12F F ）的点的轨迹叫做椭圆，这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点间的距离叫做椭圆的焦距 ．反思：若将常数记为2a ，为什么122a F F >？ 当122a F F =时，其轨迹为 ；当122a F F <时，其轨迹为 ．试试：已知1(4,0)F -，2(4,0)F ，到1F ，2F 两点的距离之和等于8的点的轨迹是 ．小结：应用椭圆的定义注意两点：①分清动点和定点；②看是否满足常数122a F F >． 新知２：焦点在x 轴上的椭圆的标准方程 ()222210x y a b a b +=>> 其中222b ac =- 若焦点在y 轴上，两个焦点坐标 ，则椭圆的标准方程是 ．※ 典型例题例1 写出适合下列条件的椭圆的标准方程： ⑴4,1a b ==，焦点在x 轴上；⑵4,15a c ==，焦点在y 轴上；⑶10,25a b c +==．变式：方程214x ym+=表示焦点在x 轴上的椭圆，则实数m 的范围 ．小结：椭圆标准方程中：222a b c =+ ；a b > ．例2 已知椭圆两个焦点的坐标分别是()2,0-，(2,0)，并且经过点53,22⎛⎫- ⎪⎝⎭，求它的标准方程 ．变式：椭圆过点 ()2,0-，(2,0)，(0,3)，求它的标准方程．小结：由椭圆的定义出发，得椭圆标准方程 ．※ 动手试试练1. 已知ABC ∆的顶点B 、C 在椭圆2213x y +=上，顶点A 是椭圆的一个焦点，且椭圆的另外一个焦点在BC 边上，则ABC ∆的周长是（ ）．彗星太阳A ．23B ．6C ．43D ．12练2 ．方程219x ym-=表示焦点在y 轴上的椭圆，求实数m 的范围．三、总结提升 ※ 学习小结 1. 椭圆的定义： 2. 椭圆的标准方程：※ 知识拓展1997年初，中国科学院紫金山天文台发布了一条消息，从1997年2月中旬起,海尔·波普彗星将逐渐接近地球，过4月以后,又将渐渐离去,并预测3000年后,它还将光临地球上空1997年2月至3月间,许多人目睹了这一天文现象天文学家是如何计算出彗星出现的准确时间呢？原来，海尔·波普彗星运行的轨道是一个椭圆，通过观察它运行中的一些有关数据，可以推算出它的运行轨道的方程，从而算出它运行周期及轨道的的周长．学习评价※ 自我评价 你完成本节导学案的情况为（ ）． A. 很好 B. 较好 C. 一般 D. 较差※ 当堂检测（时量：5分钟 满分：10分）计分：1．平面内一动点M 到两定点1F 、2F 距离之和为常数2a ，则点M 的轨迹为（ ）．A ．椭圆B ．圆C ．无轨迹D ．椭圆或线段或无轨迹2．如果方程222x ky +=表示焦点在y 轴上的椭圆，那么实数k 的取值范围是（ ）．A ．(0,)+∞B ．(0,2)C ．(1,)+∞D ．(0,1)3．如果椭圆22110036x y +=上一点P 到焦点1F 的距离等于6，那么点P 到另一个焦点2F 的距离是（ ）．A ．4B ．14C ．12D ．84．椭圆两焦点间的距离为16，且椭圆上某一点到两焦点的距离分别等于9和15，则椭圆的标准方程 是 ．5．如果点(,)M x y 在运动过程中，总满足关系式2222(3)(3)10x y x y ++++-=，点M 的轨迹是 ，它的方程是 ．课后作业1. 写出适合下列条件的椭圆的标准方程：⑴焦点在x 轴上，焦距等于4，并且经过点()3,26P -； ⑵焦点坐标分别为()()0,4,0,4-，5a =；⑶10,4a c a c+=-=．2. 椭圆2214x yn+=的焦距为2，求n的值．教学后记：。
高中数学人教A版选修2-1课件：2.2.1 椭圆及其标准方程
满足
当椭圆的焦点在 y 轴上时,
������2 设椭圆的方程为 2 ������
������2 ������2 a>b>0,∴所求椭圆的标准方程为 + 15 5
( 3)2 (-2)2 + 2 = 1, 2 ������ ������2 = 15, ������ ∴ ∴ 2 2 2 ������ = 5, (-2 3) 1 + 2 = 1. 2 ������ ������
③将x',y'代入f(x,y)=0, 即得所求的轨迹方程.
题型一
题型二
题型三
题型四
用待定系数法求椭圆的标准方程
【例 1】 已知椭圆经过点( 3, −2)和(−2 3, 1), 求椭圆的标准方程. 分析:因为不确定焦点所在的坐标轴,故可设椭圆方程为
������2 mx +ny =1(m>0,n>0,m≠n),用待定系数法求解;也可设 2 ������ ������2 ������2 1 和 2 + 2 = 1(������ > ������ > 0), 分别求解. ������ ������
∴动圆圆心 M
������2 ������2 的轨迹方程是 + 25 16
= 1.
题型一
题型二
题型三
题型四
椭圆定义的应用
【例 3】 点 P
F1PF2=30°,求△F1PF2 的面积.
分析:可以先利用 a,b,c 的关系求出|F1F2|,再利用余弦定理求出 |PF1|· |PF2|,最后可求出������△������1 ������������2 .
利用椭圆的定义求轨迹方程 【例2】 已知B,C是两定点,|BC|=8,且△ABC的周长等于18,求这个 三角形顶点A的轨迹方程. 分析:本题可先建立直角坐标系,再利用椭圆的定义得出点A的轨 迹是椭圆,利用待定系数法求出方程即可.
【高中数学选修2-1】2.2.1椭圆及其标准方程PPT课件
14
式
定义
图形
方程 焦点 a,b,c之间的关系
|MF1|+|MF2|=2a (2a>2c>0)
y
y
M
F2 M
F1 o F2 x
x2 a2
by22
1ab0
ox
F1
y2 a2
bx22
1ab0
F(±c，0)
F(0，±c)
c2=a2-b2
注:
共同点：椭圆的标准方程表示的一定是焦点在坐标轴上， 中心在坐标原点的椭圆；方程的左边是平方和，右边是1.
x2 y2 1
a2
b2
(a＞b ＞0)由椭圆定
义知 2 a (5 2 )2 ( 3 )2(5 2 )2 ( 3 )2 210
2
22
2
所以 a 10 ,又因为 c2 ,所以 b 2 a 2 c 2 1 4 0 6
因此,椭圆的标准方程为
x2
y2
1
10 6
待定系数法
2021
21
练习、求满足下列条件的椭圆的标准方程：
定点F1、F2叫做椭圆 的焦点。
两焦点之间的距离叫
做焦距(2c)。
2021
M1FM2F2a
(2a>2c)
M
F2
F1
7
数学实验
• [1]在平面内，任取两个 定点F1、F2 ；
• [2]取一细绳并将细绳 （大于两定点的距离） 的两端分别固定在F1、 F2两点 ；
• [3]用笔尖（点M）把细 绳拉紧，慢慢移动笔尖 看看能画出什么图形？
演示1
演示2 2021
若改为小于或等于将 是什么情况？
M
F1
F2
人教A版高中数学选修2-1课件2.2.1椭圆的标准方程(1)
课堂练习：
1.口答：下列方程哪些表示椭圆？ 若是,则判定其焦点在何轴？ 并指明 a2,b2 ，写出焦点坐标.
x2
y2
(1)
1
(4)9x2 25 y 2 225 0
16 16
(2) x 2 y 2 1 25 16
(5) 3x2 2 y 2 1
? (3) x2 m2
b2 x2 a2 y 2 a2b2
两边除以 a 2b 2得
x2 a2
y2 b2
1(a b 0).
2)椭圆的标准方程
y
M
焦点在x轴： x2 y2 1a b 0
a2 b2
F1 o F2 x
(x c)2 y2 (x c)2 y2 2a
焦点在y轴：
x2 y2 1a b 0
a2 b2 根据题意有 2a 3，2c 2.4
即 a 1.5， c 1.2
F1
O
F2
x
b2 a2 c2 1.52 1.22 0.81
x2
y2
因此，这个椭圆的标准方程为
1 2.25 0.81
例3 ：将圆 x 2 y 2= 4上的点的横坐标保持不变，
灿若寒星整理制作
高中数学课件
椭圆的标准方程
一.问题情境
生 活 中 的 椭 圆
如何精确地设计、制作、建造出现实生活中这些椭圆形的 物件呢？
二、复习回顾：
PF1+PF2=2a(2a>2c>0, F1F2=2c)
1 椭圆定义：
平面内与两个定点 F1, F2 的距离和等于常数（大于 | F1F2 |）的点的轨迹叫作椭圆，这两个定点叫做椭圆的焦 点，两焦点间的距离叫做椭圆的焦距．
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接
∴2a＝ （5＋4）2＋ （5－4）2＝10，∴a＝5.
又 c＝4，∴b2＝a2－c2＝25－16＝9.
故所求椭圆的方程为2x52 ＋y92＝1.
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(2)由于椭圆的焦点在 y 轴上，
∴设它的标准方程为ay22＋xb22＝1(a＞b＞0)．
由于椭圆经过点(0，2)和(1，0)，
栏
目
∴ aa0422＋＋bb1022＝＝11，⇒ab22＝＝41，.
1(a＞b＞0)．∵2a＝10，2c＝8，∴a＝5，c＝4，
∴b2＝a2－c2＝52－42＝9，
∴所求椭圆标准方程为2x52 ＋y92＝1.
栏 目
(2)方法一 ∵椭圆的焦点在 y 轴上，∴设它的标准方程为ya22＋xb22
链 接
＝1(a＞b＞0)．
由椭圆的定义知，
2a＝ －322＋52＋22＋ －232＋52－22
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规律方法：椭圆的标准方程：(1)只有当椭圆的两个焦点 F1、F2
在坐标轴上，且线段 F1F2 的垂直平分线也是坐标轴时得到的方程才
是椭圆的标准方程．
栏
目
(2)椭圆的焦点位置决定椭圆标准方程的两种形式．
链
接
(3)椭圆中的代表 a，b，c 的三条线段的关系是 a2＝b2＋c2.
(4)椭圆标准方程的一般式：mx2＋ny2＝1(m＞0，n＞0，m≠n)．当
条件判断出点的轨迹是椭圆，然后根据定义确定椭圆的标准方程．(2)
栏 目
待定系数法：由题设条件确定方程的类型，设出标准方程，再由条件 链
接
求出方程中的参数．当椭圆的焦点位置不确定时，常设椭圆的标准方
程为一般式．
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析
疑
难
提
能 力 栏 目 链
接
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(1)求 F1，F2 的坐标；
栏
(2)若 AB 为过椭圆的焦点 F1 的一条弦，求△ABF2 的周长．
目
解析：(1)由椭圆的方程2x52＋y92＝1 可知，a2＝25，b2＝9，
链 接
∴c2＝a2－b2＝25－9＝16，
∴c＝4.
∴F1(－4，0)，F2(4，0)．
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(2)由椭圆的定义可知
|AF1|＋|AF2|＝2a＝10，|BF1|＋|BF2|＝2a＝10.
►变式训练
1．椭圆2x52＋y92＝1 上一点 P 到一个焦点的距离为 5，则 P 到另一
栏
个焦点的距离为( )
目
链
A．5 B．6 C．4 D．10
接
解析：点 P 到椭圆的两个焦点的距离之和为 2a＝10，10－5＝5.
答案：A
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题型二 已知焦点位置求椭圆方程
例 2 写出适合下列条件的椭圆的标准方程：
3）2＋b12＝1，
栏 目 链 接
解得ab22＝＝155. ，故所求椭圆的标准方程为1x52＋y52＝1.
当焦点在 y 轴上时，设椭圆的标准方程为ya22＋xb22＝1(a＞b＞0)．
依题意有 a（12＋－a（22）－2＋2b2（3）b322＝）12＝，精1品，课解件得ab22＝＝51，5.
因为 a>b>0，所以无解．
2．2.1 椭圆及其标准方程(一)
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栏 目 链 接
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1．了解椭圆的实际背景，了解椭圆在刻画现实世 界和解决实际问题中的作用． 2．掌握椭圆的定义、几何图形、标准方程以及标 准方程的推导过程．
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栏
研
题
型
学
习
法目 链 接
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题型一 椭圆定义的应用
例 1 已知 F1，F2 是椭圆2x52＋y92＝1 的左、右两个焦点．
链 接
故所求椭圆的方程为y42＋x2＝1.
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题型二 待定系数法求椭圆方程
例 3 已知椭圆经过点 A( 3，－2)，B(－2 3，1)，求椭圆的标准方程．
解析：方法一 当焦点在 x 轴上时，
设椭圆的标准方程为xa22＋by22＝1(a＞b＞0)．依题意有
（ a32）2＋（－b22）2＝1，
（－2 a2
∴△ABF2的周长为|AB|＋|AF2|＋|BF2|＝(|AF1|＋|AF2|)＋
(|BF1|＋|BF2|)＝2a＋2a＝4a＝20.
栏
规律方法：一般地，关于椭圆的一些问题我们经常考虑利用 目
其定义求解，这时候就要关注它的两个焦点，把问题转化为 链
研究椭圆上的点到两个焦点的距离之和的问题．
接
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＝23 10＋12 10＝2 10，
∴a＝ 10.
又 c＝2，∴b2＝a2－c2＝10－4＝6，
栏
∴所求标准方程为1y02 ＋x62＝1.
目 链
接
方法二 ∵b2＝a2－c2＝a2－4，
∴可设所求方程为ay22＋a2x－2 4＝1，然后将点－32，52的坐标代入
可求出 a，从而求出椭圆方程．
综上，所求椭圆的标准方程为1x52 ＋y52＝1.
方法二 设所求椭圆的方程为 mx2＋ny2＝1(m>0，n>0，m≠n)，
栏
依题意有31m2m＋＋4nn＝＝11，，解得
m＝115， n＝15，
目 链 接
所以所求的椭圆方程为1x52 ＋y52＝1.
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规律方法：求椭圆标准方程的方法：(1)定义法：能够根据题设
(1)两个焦点坐标分别是(－4，0)、(4，0)，椭圆上一点 P 到两焦 栏
点的距离之和等于 10；
目
链
(2)两个焦点坐标分别是(0，－2)和(0，2)且过－32，25.
接
分析：求椭圆的标准方程时，要先判断焦点位置，确定出适合题
意的椭圆标准方程的形式，最后由条件确定出 a 和 b 即可．
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解析：(1)∵椭圆的焦点在 x 轴上，∴设它的标准方程为xa22＋by22＝
焦点位置不定时，常设一般式．
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►变式训练
2．求适合下列条件的椭圆的标准方程：
(1)两个焦点的坐标分别为(－4，0)和(4，0)，且椭圆经过点(5，
0)；
(2)焦点在 y 轴上，且经过两个点(0，2)和(1，0)．
栏
解析：(1)由于椭圆的焦点在 x 轴上，
目 链
∴设它的标准方程为xa22＋by22＝1(a＞b＞0)．