《对高中解析几何的教学感悟》

对高中解析几何的教学感悟 内容提要：从历史角度看，解析几何的创立，引入了一系列新的数学概念，特别是将变量引入数学，使数学进入了一个新的发展时期，这就是变量数学的时期。

解析几何在数学发展中起了推动作用。

在现代数学教学中，解析几何是学习高等数学的基础， 另一部分则是数学基础课的内容。

高中数学中，解析几何巧妙地把代数与几何结合起来，数学成为双面的工具。

一方面，几何概念可以用代数表示，几何目的可通过代数运算来达到。

另一方面，给代数概念以几何解释，可以直观地掌握这些概念的意义。

也就是说，解析几何是用数形结合的思想将抽象的数学语言与直观的图形结合起来。

本人当中，我根据6年来的高中数学教学经验结合实际问题谈谈我对解析几何的教学的一点感悟。

关键词： 代数 几何 数形结合 思想 感悟
一、重视“数形结合”的思想
数形结合的思想是解决解析几何问题的一种重要的数学思想方法，其实质是将抽象的数学语言与直观的图形结合起来，即将代数问题几何化，运用图形的几何性质来解决；或将几何问题代数化，运用代数特征进行运算解决，其方法是以形助数，以数助形，数形渗透，相互作用.其目的是将复杂的问题简单化，隐蔽的问题明朗化，抽象的问题直观化，以便迅速、简捷、合理地解决问题.
例1如图，已知(4,0)A 、(0,4)B ，从点(2,0)P 射出的光线经直线AB 反向后再射到直线OB 上，最后经直线OB 反射后又回到P 点，则光线所经过的最小路程是
A ．210
B ．6
C ．33
D ．25
[解析]设点P 关于直线AB 的对称点为)2,4(D ，关于y 轴
的对称、)0,2(-C ，则光线所经过的路程PMN 的长
=≥++=++=CD NC MN DM NP MN PM 210
【归纳小结】本例是运用数形结合解题的典范，关键是灵活利用平面几何知识与对称的性质实现转化，一般
地，在已知直线上求一点到两个定点的距离之和的最小
值，需利用对称将两条折线由同侧化为异侧，在已知直
线上求一点到两个定点的距离之差的最大值，需利用对
称，将两条折线由异侧化为同侧，从而实现转化。

关键点1：怎样将几何问题转化为代数问题？在教学中尽量让学生了解几何对象的本质特征，能够用代数形式将几何问题准确表示出来。

有意识的对常见几何对象根据几何特征进行代数化训练。

关键点2:提高“代数结论”向“几何结论”转化的意识和能力。

这样也就是通过代数问题的解决使几何题目得以解决。

在平时的教学中将前两个关键点融会贯通，才能使学生理解解析几何的思维方法。

二、用数学思想方法指导平时的教学
在平时教学中指导学生在解决问题时运用数学思维方法，努力提高他们运用数学思维方法的意识。

解题时注意分析题目，在分析时注意数学思维方法的运用。

解题过程中要注意提炼数学思维方法解决问题的思维过程。

解题思想的探求即是运用数学思维方法解决问题的过程。

例2抛物线D 以双曲线188:22=-x y C 的焦点)0(),,0(>c c F 为焦点． N M C D
（1）求抛物线D 的标准方程；
（2）过直线1:-=x y l 上的动点P 作抛物线D 的两条切线，切点为A ，B ．求证：直线AB 过定点Q ，
并求出Q 的坐标；
（3）在（2）的条件下，若直线PQ 交抛物线D 于M ，N 两点，求证：|PM|·|QN|=|QM|·|PN| 解：（1）由题意，.21,4181812==+=c c 所以)21
,0(F ，抛物线D 的标准方程为.22y x =
（2）设),1,(),,(),,(002211-x x P y x B y x A 由121|'.',2x y x y y x x x ====因此得
抛物线D 在点A 处的切线方程为.),(11111y x x y x x x y y -=-=-即
而A 点处的切线过点,1),1,(101000y x x x x x P -=--所以
即.01)1(101=-+-y x x 同理，.01)1(202=-+-y x x
可见，点A ，B 在直线01)1(0=-+-y x x 上．
令1,01,01===-=-y x y x 解得所以，直线AB 过定点Q （1，1）
（3）设),,(),,(),1,(443300y x N y x M x x P -
直线PQ 的方程为.1
112,1)1(11)1(00000-+--=+----=x x x x
y x x x y 即
由,,,
211
122000y y x x x x x y 消去⎪⎩⎪⎨⎧
=-+
--=
得.012
1)2(20002=-----x x x x x
由韦达定理，.12
,1)
2(20430043-
-=--=+x x x x x x x
而|||
||||
|||||||||QN QM PN PM PN QM QN PM =⇔⋅=⋅
30
3304403404343403401()(1)()(1)
12()()20()
x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x --⇔=⇔--=----⇔-+-++=*
将1
2
,1)
2(20430043--=--=+x x x x x x x 代入方程（*）的左边，得
（*）的左边000000021
)
2(21)
2(214x x x x x x
x +--------=
1224242400200200--++-+--=x x x x x x =0．因而有|PM|·|QN|=|QM|·|PN|。

【归纳小结】本题重点考查直线与直线、直线与双曲线之间的位置关系。

数形结合、熟练地进行坐标运算、设而不求的消元思想、用代数方法解决几何问题是解析几何的主题，复习时要注重培养学生的综合运算能力。

例3如图,为了绿化城市，拟在矩形区域ABCD 内建一个矩形草坪，另外△AEF 内部有一文物保护区域不能占用，经过测量AB=100m,BC=80m,AE=30m,AF=20m,应该如何设计才能使草坪面积最大？ [解析]建立如图示的坐标系，则E （30，0） F （0，20），那么线段EF 的方程就是
1(030)3020x y x +=≤≤，在线段EF 上取点P （m,n ） 作PQ ⊥BC 于Q,作PR ⊥CD 于R,设矩形PQCR 的面积
是S ，则S=|PQ||·|PR|=（100-m ）(80-n),又因为1(030)3020m n x +=≤≤，所以，20(1)30
m n =-，故 2(100)(8020)3S m m =--+2218050(5)33
m =--+ (030)m ≤≤，于是，当m=5时S 有最大值，这时305551
EP PF -==. 例4一场篮球赛中，小明跳起投篮，已知球出手时离地面高20/9米，与篮圈中心的水平距离为8米，当球出手后水平距离为4米时到达最大高度4米，设篮球运行的轨迹为抛物线，篮圈中心距离地面3米。

问此球能否投中？
解：
x y
A E P F D R
C Q 048 （4，4） 920x
y 如图，建立平面 直角坐标系，点（4，4）是图中这段抛物线的顶点，因此可设这段抛物线对应的函数为：
()442
+-=x a y (0≤x≤8)
【归纳小结】对于有些几何题目在没有坐标系时可以通过建立适当的坐标系，再根据其图形的几何性质来用方程来表示曲线，通过研究方程来研究曲线。

三、一点感悟
苏联著名几何学家格列诺夫在他所编的《解析几何》前言中说：“解析几何没有严格确定的内容，对它来说，决定性的因素，不是研究对象，而是方法。

”“这个方法的实质，在于用某种标准的方式把方程（方程组）同几何对象（即图形）相对应，使得图形的几何关系在其方程的性质中表现出来。

”
由于解析几何方法解决各类问题的普遍性，它已成为几何研究中的一个基本方法。

不仅如此，它还被广泛应用于其他精确的自然科学领域，如力学和物理学之中。

解析几何的重要性在于他的方法──建立坐标系，用方程来表示曲线，通过研究方程来研究曲线。

因此我们学习解析几何，主要是掌握它的基本思想、基本方法，而不仅仅在于记住它的某些具体结论。

解析几何的基本方法，包括两个方面：一是由图形到方程，二是从方程到图形，也就是选择坐标系，建立图形方程。

通过对方程的研究得到图形的性质，了解图形的形状。

解析几何离不开代数，但又要随时把各种代数表示的几何涵义放在心中。

学习中要特别注意，培养自己的几何直观能力。

这种能力对于数学的学习是极为重要的。

参考文献：
[1]普通高中课程标准实验教科书数学选修1-1[M].北京：北京师范大学出版社,2015
[2] 陈绍纲：论解析几何的作用与意义 [J]．科技视界，2013. [3]王敬庚：平面解析几何中的基本数学思想初探[J];数学通报;1992年11期
[4]朱慕菊主编《走进新课程——与课程实施者的对话》，北京师范大学出版社，2002.6
⎪⎭⎫ ⎝⎛9200，抛物线经过点 ()
4409202+-=∴a ()44912+--=∴x y (0≤x≤8) 91-=∴a 9208==y x 时，当∵篮圈中心距离地面3米 ∴此球不能投中。