Rossler系统的动力学行为研究及混沌抑制

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一类非线性Lur’e系统的混沌周期性的预测控制研究

一
类复杂大系统存在着很多具有拓扑结构的吸引子如不动点极限环拟周
，
动状态后原来稳定的周期轨道变成了不稳定的周期轨道混沌吸引子中不稳定的周期轨道处处稠密其中
，
包含无数多个不稳定的周期轨道混沌吸引子可以用这些不稳定的周期轨道来描述
273
文献标志码：A
文章编号
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定义１如果（）一ｚ且０（ｊ— ｘＯ＜ｉｚｚ（＜）则称ｚ是ｋ的周期，，并称为映射０的周期点。定义２如果对于所有的ｚｚＥＪ，（）ＥＪ，Ｊ是实数域Ｒ上的区间，存在不可数集合Ｓｃ（括非若Ｊ包周期点）满足下述条件：，
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超混沌Lorenz系统与超混沌Rossler系统的异结构同步

超混沌Lorenz系统与超混沌Rossler系统的异结构同步蒋楠【摘要】超混沌系统的异结构同步是非线性科学领域研究的一项重要内容。

基于Lyapunov稳定性理论，在参数全部未知的情况下，分别实现了超混沌Lorenz系统与超混沌Rossler系统的主动和自适应同步，并且利用数值模拟来阐释理论的有效性。

%Synchronization of hyperchaos system in different structures is an important content in research of nonlinear science .Based on Lyapunov stability theory , the active and adaptive synchronization between hyperchaotic Rossler system and hyperchaotic Lorenz system is realized in unknown parameters , and numerical simulation results are used to illustrate the effectiveness of the proposed theory .【期刊名称】《山西广播电视大学学报》【年(卷),期】2013(000)004【总页数】3页(P50-52)【关键词】超混沌系统;主动同步;自适应同步;Lyapunov稳定性理论【作者】蒋楠【作者单位】山西广播电视大学，山西太原 030027【正文语种】中文【中图分类】G728引言最近几年，人们掀起了超混沌系统异结构同步研究的热潮，其中4维不同超混沌系统之间的同步问题已经成为研究者关注的一个重要研究方向。

在保密通讯应用中，由于高维非线性动力系统中通常会产生超混沌现象，即同时存在2个或2个以上的正的Lyapunov指数，故其保密性和抗破译性有了很大的改观，因此研究超混沌系统的异结构同步具有很重要的价值。

R_ssler系统中的混沌控制

ROssler 系统中的混沌控制渠慎明，侯松鹂（河南大学，河南开封475004）摘要：基于线性反馈控制方法和R outh-Hurwitz 判据研究了R ossler 系统中的混沌控制问题。

给出了将受控R ossler 系统镇定到不稳定平衡点的条件，并进行了理论证明，同时进行了数值仿真，进一步验证了所用控制方法的有效性。

关键词：R ossler 系统；混沌控制；线性反馈控制中图分类号:TP391文献标识码:A·计算技术与自动化·Chaos Cont r ol of Rossler Chaot ic Syst emQU Shen-ming ，HOU Song-li(Henan University,Henan Kaifeng 475004)Key words:R o ssler system ；chaos control ；linear feedback control混沌系统属于非线性的随机系统，对系统初始值极端敏感。

由于混沌的奇异特性，尤其是对初始条件极其微小的变换的高度敏感性及不稳定性，使得混沌控制难以实现。

1990年，Ott 、Grebogi 和York 基于参数扰动法，成功实现了混沌系统的控制，此后，在物理学界掀起了混沌控制的研究热潮。

所谓混沌控制[1]，一种是对混沌现象的抑制，即消除有害的混沌；另一种是混沌的反控制，即控制一个非混沌系统产生有利的混沌；还包括混沌追踪问题，即通过施加控制使受控系统的输出信号达到事先给定的参考信号，其特殊而重要的情形就是镇定问题。

目前，用的较为广泛的混沌控制方法[2][3]可分为反馈和非反馈两类：反馈方法主要是通过控制混沌系统中的不稳定周期轨道实现混沌控制；非反馈方法是在控制参数或状态变量上施加一个弱的外部周期扰动，使得混沌系统转化为周期轨道，从而达到控制混沌的目的。

本文利用线性反馈控制方法实现了R o ssler 混沌系统的不稳定平衡点的镇定问题，给出了理论证明，并通过数值仿真验证了反馈控制方法的有效性。

Rossler混沌系统的追踪控制与同步

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混沌理论及其应用实例

我们就说这个函数是线性的. 反之,该函数为非线性的.
3
牛顿第二定律研究自由落体:
m dv mg , dt dx v dt
xt0 , vt0
通常我们所处理的是线性系统:原因处理方法简单 (数理方法)
建立微分方程组
只要知道了物体在某一时刻的运动状态以及作用于
这个物体的外部的力，就可以准确地确定这个物体
1
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不存在能量以外的解析不变量，力学系统运动的稳定性成了大问题。KAM不从整体的不变量行为讨论，而就给定的具体环面的稳定性问题讨论
图像：在 1 时大多数环面微小变化，环面原有基本特
性得以保持。少量环面被极大破坏和变形。被破坏环面测度小，但稠密地镶嵌于未被破坏的环面之间，这使整体的解析不变量不存在
51
(2) KAM理论(Kolmogorov- Anold- Moser)
1954, 前苏联数学家Kolmogorov(柯尔莫哥罗夫) 提出定理, 1963, 其学生Anold(阿诺德)给出定理的严格证明, 1973, 瑞士数学家Moser(莫塞)给出改进的证明. 不可积系统:
H H0 H1(J1, J2, θ1, θ2 )
理论解析分析: 有时+计算机分析
7
1.2 非线性系统和混沌现象
非线性广泛存在自然界和社会生活中,线性行为只是平衡态
附近的近似结果,自然界本质是非线性的.
弹性振动
1.简谐振动: 振子质量m=1,角频率 ,x为位
移, 势能 U (x) 1 2x2
2
牛顿第二定律: 线性系统
d2x m d 2t
解
x x0et , t 0,x x0 t , x
考虑实际外界因素影响: 资源不足,不同区域间作用

rossler微分方程组matlab

一、引言Rossler微分方程组是混沌动力系统的一个经典模型，由德国数学家Rossler在1976年提出。

这个方程组描述了一个三维空间中的混沌运动，对于非线性动力学和混沌理论的研究具有重要意义。

在数学建模和工程应用中，对Rossler微分方程组的数值求解和仿真分析也具有重要意义。

而在数值求解中，Matlab作为一个功能强大的数学分析软件，能够很好地发挥作用，本文将结合Rossler微分方程组的相关理论和Matlab的数值求解技巧，介绍如何使用Matlab对Rossler微分方程组进行仿真分析。

二、Rossler微分方程组的数学模型1. Rossler方程的形式Rossler微分方程组由下列三个微分方程组成：dx/dt = - y - zdy/dt = x + aydz/dt = b + z(x - c)其中，x、y、z是三个未知函数，t是自变量，a、b、c是模型中的参数，通常取a=0.2，b=0.2，c=5.7。

Rossler方程组具有混沌特性，其解在相空间中呈现出复杂的、不可预测的运动轨迹。

2. Rossler系统的特性Rossler系统具有混沌、奇点和吸引子等重要特性，其中混沌现象是其最为显著的特征之一。

混沌运动是指一种复杂、无序、无规律的非周期性运动行为，通常表现为对初始条件敏感和长时间运动的随机性。

三、Matlab数值求解Rossler微分方程组1. Matlab对微分方程组的求解在Matlab中，可以使用ode45等数值求解器对微分方程组进行求解。

以Rossler微分方程组为例，使用Matlab进行数值求解的一般步骤如下：（1）定义微分方程组：将微分方程组写成一个m文件；（2）选择数值求解器：在m文件中调用Matlab中的数值求解器，如ode45；（3）设定初值和积分区间：设置初值和积分区间，并定义求解选项；（4）调用数值求解器：调用ode45等数值求解器，得到微分方程组的数值解。

2. Matlab对Rossler微分方程组的仿真分析使用Matlab对Rossler微分方程组进行仿真分析，可以得到系统的相图、时间序列图、Lyapunov指数等重要结果。

混沌理论中的哲学思想

混沌理论中的哲学思想摘要：混沌是一种普遍存在的现象，看似毫无规律可循的混沌中没什么是完全重复的，但这些混乱无序的背后，缺隐藏着一些简单规则。

就是这些规则使得自然中很多东西由简单变为复杂、有序变为无序，从而产生我们这个多样的世界。

其中蕴含的哲学思想非常丰富，本文将依次进行分析。

关键词：混沌理论辩证统一有序与无序创新点：本文以工科研究中的混沌现象为切入点，研究混沌中隐含的各种矛盾关系。

一、前言本世纪六十年代初，混沌学开始在美国兴起。

二三十年间，这门新兴学科在理论概念及实际应用上迅速发展，已渗透到各个学科和领域。

混沌是非线性系统中存在的一种普遍现象，它也是非线性系统所特有的一种复杂状态[1]。

正像给“生命”下定义一样，究竟什么是混沌，这个定义是很难确切地下出来的，之所以这样是因为：至少到目前为止，还没有一个统一的、有足够数学定理支持的、普遍适用和完美的混沌理论，科学家们只能通过混沌系统所表现出的一些普遍现象总结归纳出其所谓的本质。

对此，专家们的观点是──哈肯：“混沌性为来源于决定性方程的无规运动。

”费根包姆：“确定系统的内在随机运动。

”洛仑兹：“确定性非周期流。

”赫柏林：“没有周期性的有序。

”钱学森：“混沌是宏观无序、微观有序的现象。

”最出名的便洛伦兹的蝴蝶效应：一只在巴西丛林里煽动翅膀的蝴蝶会在大气中激起几个月后有可能改变伦敦天气的小旋风。

二、混沌理论2.1 混沌现象（1）Rossler混沌系统。

下方的图片中，x，y，z是随着时间变化的，其变化是杂乱无序，毫无规律可循，这就是个混沌系统。

但将这三个量放到三维空间，随着时间依次变化时，发现其惊人的结果：三者在空间中运动轨迹随机的出现在图中任意轨道中，可以预知其下一个非常近的时刻的位置，却无法预测其长时间运动后的轨道，但它却是由非常简单的方程组实现的，这就是著名的Rossler 微分方程组：该方程组也成为吸引子[2]。

当a=b=0.2,c=5.7，初始条件为x=y=z=0时便有了上述的变化。

混沌理论综述很全

趋向远离也不趋向接近，两种状态交替出现； 3. 任一混沌轨道不趋于任一周期轨道。
第10页，共42页。
混沌的特点
1. 对初值的敏感性
❖ 混沌对初值具有敏感依赖性，初值的微小差别会导致未来的混沌轨道的巨大差别,正是所谓“失之毫厘，谬以千里”。
❖ 1963年，荷兰科学家洛伦兹(Hendrik Antoon Lorenz)在《大气科学》杂志上发表了“决定性的非周期流”的著名论文。该论文以一个底部加热、顶部冷却的两维运动流体块中的对流为模型，提出了著名的Lorenz方程。Lorenz用数值方法揭示了该模型中存在混沌运动，并发现系统初值的微小变化会导致轨道在长时间以后完全不同，即解对初值的极端敏感性，就是著名的蝴蝶效应。
混沌的特点?几种典型的混沌吸引子chens吸引子lorenz吸引子rossler吸引子混沌现象举例?机床切削金属时或打印机机头因冲击而引起的混沌振动?正常的脑电波则近乎随机讯号其脑电图曲线代表的就是典型的混沌现象?单摆是我们熟知的确定性运动的典型但当角度大到一定程度并有驱动力和阻力时也居然能够进入混沌状态?湍流三体问题蝴蝶效应昆虫繁衍混沌现象举例蝴蝶效应?1961年美国气象学家洛伦兹利用他的一台老爷计算机根据他导出的描述气象演变的非线性动力学方程进行长期气象预报的模拟数值计算探讨准确进行长期天气预报的可能性
❖ 直到20世纪六十年代后，混沌现象才引起学术界的广泛注意，到七十年代才诞生了还不大成熟的“混沌学”。其后，“混沌学” 得到了迅速发展，到了八十年代，更在世界上掀起了混沌现象研究的热潮。
第3页，共42页。
三体问题的进展 16世纪以来科学家就在寻找这一问题的简单特解即特
殊情况下的简单稳定运动轨道。
第11页，共42页。
混沌的特点

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工业仪表与自动化装置
２０１３年第４期
Ｒｏｓｓｌｅｒ系统的动力学行为研究及混沌抑制
尤晓玲
（兰州石化职业技术学院电子电气工程系，兰州７３００６０）摘要：研究了Ｒｏｓｓｌｅｒ系统的动力学行为，用Ｌｙａｐｕｎｏｖ指数理论论证了该系统存在混沌现象，
ｒａｍｅｔｅｒｓｃｈａｎｇｅ，ｔｈｅｓｙｓｔｅｍｈａｖｅａｓｉｍｉｌａｒｃｈａｎｇｅｔｅｎｄｅｎｃｙ，ｂｕｔｔｈｅｃｈａｎｇｅｏｆｓｙｓｔｅｍｐａｒａｍｅｔｅｒｓｉｎｄｉｆ－
提供了理论依据。
关键词：Ｒｏｓｓｌｅｒ系统；周期运动；分岔；混沌；相图
中图分类号：０３２２
文献标志码Biblioteka ：Ａ文章编号：１０００— ０６８２（２０１３）０４— ０００６一Ｏ３
ｆｏｒＲｏｓｓｌｅｒｓｙｓｔｅｍａｎｄｃｈａｏｓｃｏｎｔｒｏｌＳｔｕｄｙｄｙｎａｍｉｃｓｂｅｈａｖｉｏｒ
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（ＤｅｐａｒｔｍｅｎｔｏｆＥｌｅｃｔｒｏｎｉｃａｎｄＥｌｅｃｔｒｉｃＥｎｇｉｎｅｅｒｉｎｇ，ＬａｎｚｈｏｕＰｅｔｒｏｃｈｅｍｉｃａｌＣｏｌｌｅｇｅＶｏｃａｔｉｏｎＴｅｃｈｎｏｌｏｇｙ，Ｌａｎｚｈｏｕ７３００６０，Ｃｈｉｎａ）
数值仿真的相图揭示了混沌现象存在的具体形式，全局分岔图显示了随着系统参数的变化，系统由周期轨道经倍化分岔序列通向混沌的动力学特性。系统随不同参数变化的分岔图表明：随着参数的变化，系统变化的趋势基本一致，只是系统参数变化的方向不同，系统变量的取值范围不同。利用比例微分控制器控制混沌，当控制参数取恰当数值时，该方法能将系统控制到期望的周期轨道。该文进一步完善了对Ｒｏｓｓｌｅｒ系统动力学行为的研究，为该系统混沌行为的抑制及实际工程的应用
ｆｅｒｅｎｔｄｉｒｅｃｔｉｏｎｓ，ｔｈｅｓｙｓｔｅｍｖａｒｉａｂｌｅｒａｎｇｅｓａｒｅｄｉｆｆｅｒｅｎｔ．Ｕｓｉｎｇｐｒｏｐｏｒｔｉｏｎａｌａｎｄｄｉｆｆｅｒｅｎｔｉａｌｃｏｎｔｒｏｌｌｅｒｔｏｃｏｎｔｒｏｌｔｈｅｃｈａｏｓ，ｗｈｅｎｔｈｅｃｏｎｔｒｏｌｐａｒａｍｅｔｅｒｓｉｓａｐｐｒｏｐｒｉａｔｅｖａｌｕｅ，ｔｈｉｓｍｅｔｈｏｄｃａｎｂｅｃｏｎｔｒｏｌｌｅｄｓｙｓｔｅｍｔｏｔｈｅｄｅｓｉｒｅｄｐｅｒｉｏｄｉｃｏｒｂｉｔ．ＴｈｅｗｏｒｋｔｏｆｕｒｔｈｅｒｉｍｐｒｏｖｅｓｔｕｄｙＯｎｄｙｎａｍｉｃｂｅｈａｖｉｏｒｆｏｒＲｏｓｓｌｅｒｓｙｓｔｅｍ，